vành hoàn thiện và nửa hoàn thiện và các đặc trưng đồng điều của chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH






Văn Thị Kim Xuyến







VÀNH HOÀN THIỆN VÀ NỬA HOÀN
THIỆN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU
CỦA CHÚNG









LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH





Văn Thị Kim Xuyến






VÀNH HOÀN THIỆN VÀ NỬA HOÀN THIỆN
VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU
CỦA CHÚNG



Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS BÙI TƯỜNG TRÍ





Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết về các môđun trên vành Artin một phía đã phát triển rất mạnh mẽ. Đến thập
niên 1960, một phần lý thuyết này đã được mở rộng đến vành nửa hoàn thiện và vành hoàn
thiện phải (trái). Điều này thật sự có ý nghĩa đối với đại số đồng điều bởi các đặc trưng khá thú
vị của chúng: mọi môđun (trái, phải) hữu hạn sinh trên vành nửa hoàn thiện đều có cái phủ xạ
ảnh, mọi môđun phải dẹt trên vành hoàn thiện phải đều là môđun xạ ảnh… Những đặc trưng
khá thú vị này đã đem lại nhiều ứng dụng cho phương pháp đồng điều trong lý thuyết vành.
Vành nửa hoàn thiện và vành hoàn thiện phải đều được khái quát từ vành Artin một
phía. Hơn nữa, chúng còn được khái quát từ vành nửa nguyên sơ. Ta đã biết vành R được gọi là
vành nửa nguyên sơ nếu
R
radR
là vành nửa đơn và

radR
là lũy linh. Sự xuất hiện của vành
hoàn thiện phải và vành nửa hoàn thiện là kết quả của việc xem xét tính lũy linh của
radR
.
Ngoài ra, vành hoàn thiện phải còn được đặc trưng bởi điều kiện dây chuyền giảm (DCC) trên
các iđêan trái chính. Mối quan hệ giữa hai lớp vành này với các lớp vành cơ bản được thể hiện
qua sơ đồ sau:
{vành Artin một phía}
∩
{vành nửa nguyên sơ}
∩
{vành hoàn thiện phải}
∩
{vành địa phương} ⊂ {vành nửa hoàn thiện} ⊂ {vành nửa địa phương}


Luận văn nghiên cứu mối quan hệ giữa lớp các vành hoàn thiện, nửa hoàn thiện với các
lớp vành Artin trái (phải), vành nửa nguyên sơ, vành nửa địa phương, vành địa phương, đồng
thời nghiên cứu các đặc trưng đồng điều của vành nửa hoàn thiện và vành hoàn thiện phải.
Luận văn gồm ba chương:
- Chương 1: Những vấn đề cơ bản của lý thuyết vành và lý thuyết môđun
- Chương 2: Lớp các vành hoàn thiện, nửa hoàn thiện và mối quan hệ của chúng với các
lớp vành cơ bản
- Chương 3: Đặc trưng đồng điều của vành hoàn thiện và nửa hoàn thiện
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS. TS Bùi Tường Trí, người đã trực
tiếp tận tình giúp đỡ và hướng dẫn luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí
Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt nhiều kiến thức mới, bổ ích giúp tác giả làm quen dần
với việc nghiên cứu khoa học.

Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn này không tránh khỏi nhiều thiếu
sót, rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của độc giả.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011
Văn Thị Kim Xuyến











Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU 3

Mục lục 5
Chương 1: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH VÀ LÝ
THUYẾT MÔĐUN 8

1.1. Định nghĩa môđun, môđun con 8
1.1.1. Định nghĩa môđun 8
1.1.2. Định nghĩa môđun con 8
1.1.3. Ann(M) 9
1.2. Đồng cấu môđun 9
1.3. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) và điều kiện dây chuyền giảm (DCC) 10
1.3.1. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) 10

1.3.2. Điều kiện dây chuyền giảm (DCC) 10
1.4. Môđun Noether và môđun Artin 10
1.5. Vành Noether và vành Artin 11
1.5.1. Vành Noether 11
1.5.2. Vành Artin 11
1.6. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp 11
1.7. Dãy khớp 13
1.7.1. Định nghĩa dãy khớp 13
1.7.2. Định nghĩa dãy khớp ngắn 13
1.7.3. Định nghĩa dãy khớp ngắn chẻ 13
1.7.4. Một số tính chất 13
1.8. Môđun tự do 14
1.9. Môđun xạ ảnh 14
1.9.1. Định nghĩa môđun xạ ảnh 14
1.9.2. Một số tính chất 14
1.10. Hàm tử tenxơ 14
1.11. Môđun dẹt 16
1.12. Môđun đơn, môđun nửa đơn 17
1.12.1. Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui) 17
1.12.2. Định nghĩa môđun nửa đơn 17
1.12.3. Tính chất 17
1.13. Vành đơn, vành nửa đơn 17
1.14. Vành nguyên 17
1.15. Vành chia 17
1.16. Vành nguyên thủy 18
1.17. Tập nil , tập lũy linh 18
1.18. Radical Jacobson của một vành 18
1.18.1. Định nghĩa radical Jacobson của một vành 18
1.18.2. Định nghĩa vành J-nửa đơn (vành nguyên thủy) 18
1.18.3. Một số tính chất 18

1.19. Vành nửa nguyên sơ 19
1.20. Iđêan nguyên tố, iđêan nửa nguyên tố 20
1.21. Radical nguyên tố của một vành 20
1.22. Vành nguyên tố, vành nửa nguyên tố 20
1.23. Tập lũy linh địa phương 21
1.24. Định nghĩa phần tử lũy đẳng 21
1.25. Vành địa phương 21
1.26. Môđun không phân tích được, môđun thật sự không phân tích được 21
1.27. Vành nửa địa phương 22
1.28. Lý thuyết về các phần tử lũy đẳng 23
Chương 2: LỚP CÁC VÀNH HOÀN THIỆN, NỬA HOÀN THIỆN VÀ MỐI
QUAN HỆ CỦA CHÚNG VỚI CÁC LỚP VÀNH CƠ BẢN 27

2.1. Vành nửa hoàn thiện 27
2.2. Vành hoàn thiện 34
2.3. Một số nghiên cứu về các phát biểu tương đương của định lí Bass 41
Chương 3: ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU CỦA VÀNH NỬA HOÀN THIỆN VÀ
VÀNH HOÀN THIỆN 44

3.1. Môđun con đủ bé 44
3.1.1. Định nghĩa 44
3.2.2. Một số nhận xét 44
3.2. Radical của môđun 45
3.2.1. Định nghĩa 45
3.2.2. Nhận xét 3.2 45
3.3. Một số tính chất 45
3.4. Cái phủ xạ ảnh 47
3.4.1. Định nghĩa 47
3.4.2. Một số nhận xét về cái phủ xạ ảnh 48
3.5. Đặc trưng đồng điều của vành hoàn thiện và vành nửa hoàn thiện 49

3.6. Một số nghiên cứu thêm về các đặc trưng đồng điều của vành hoàn thiện phải và vành nửa hoàn
thiện 59
Kết luận 61
Tài liệu tham khảo 62


















Chương 1: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH VÀ LÝ
THUYẾT MÔĐUN

1.1. Định nghĩa môđun, môđun con
1.1.1. Định nghĩa môđun
Cho R là vành có đơn vị. Nhóm cộng Aben
( )
,M +

được gọi là một môđun phải trên
vành R nếu trên M ta đã xác định được một tác động phải từ R, tức có ánh xạ
:MR M
µ
×→
mà
kết quả
( )
,xr
µ
ta ký hiệu là
xr
và gọi là tích của phần x với hệ tử r, ngoài ra các tiên đề sau
cần được thỏa mãn:
M
1
:
.1xx=

M
2
:
( ) ( )
x rs xr s=

M
3
:
( )
x y r xr yr+=+

M
4
:
( )
x r s xr xs+=+

với mọi
,rs R∈
và mọi
,xy M∈
.
Ký hiệu:
R
M
, ta gọi M là R-môđun phải, R là vành hệ tử.
Môđun trái trên vành R được định nghĩa hoàn toàn tương tự nếu trên M ta đã xác định
được một tác động trái từ R.
1.1.2. Định nghĩa môđun con
Cho A, B là các tập con của môđun M và
KR⊂
( với
,,ABK≠∅
), ta định nghĩa:

{ }
{ }
,
,
A B a ba Ab B

KA ra r K a A
+= + ∈ ∈
= ∈∈

Tập
A ≠∅
trong X được gọi là bộ phận ổn định của M nếu
AA A+⊂
và
RA A⊂
.
Mỗi bộ phận ổn định A của môđun M, cùng với các phép toán cảm sinh lập thành một
R-môđun và ta gọi A là môđun con của môđun M.
Nhận xét: - Mỗi môđun bất kỳ luôn có hai môđun con tầm thường là (0) và chính nó.
- Mỗi vành R đều là R-môđun trái (phải) với các môđun con chính là các iđêan
trái (phải) của R.
1.1.3. Ann(M)
Cho M là R-môđun, ta định nghĩa ann(M) là tập tất cả các phần tử của vành hệ tử R,
linh hóa M. Cụ thể:
- Nếu M là R-môđun phải thì
( ) ( )
{ }
0ann M r R Mr=∈=
.
- Nếu M là R-môđun trái thì
( ) ( )
{ }
0ann M r R rM
=∈=
.

1.2. Đồng cấu môđun
Định nghĩa. Cho M, M’ là các R-môđun. Ánh xạ
'
:fM M→
được gọi là R-đồng cấu
nếu
( ) ( ) ( )
1122112 2
frx rx rfx rfx+= +
với mọi
12
,xx M∈
và với mọi
12
,rr R∈
.
Để giản tiện về mặt ngôn ngữ, các R-đồng cấu được gọi một cách đơn giản là các
đồng cấu.
Khi f là đồng cấu, ta định nghĩa:
+ Ảnh của f là
( ) ( )
{ }
fM fxx M= ∈
.
+ Hạt nhân của f là
( ) ( )
{ }
1
00
Kerf f x M f x

−
==∈=
.
Đồng cấu f được gọi là đơn cấu nếu f đồng thời là đơn ánh.
Đồng cấu f được gọi là toàn cấu nếu f đồng thời là toàn ánh.
Nếu f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu thì f được gọi là đẳng cấu.
Tính chất
- Cho
'
:fM M→
là đồng cấu. Khi đó nếu N là môđun con của M thì f(N) là mô đun
con của M’, còn nếu N’ là môđun con của M’ thì
( )
1'
fN
−
là môđun con của M.
- Tích của hai đồng cấu là một đồng cấu. Tích của hai đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu)
là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu).
- Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = (0).
-Nếu
'
:fM M→
là một đẳng cấu thì
1'
:fM M
−
→
cũng là một đẳng cấu.
- Nếu

'
:fM M→
là một toàn cấu thì
M
Y
Kerf
≅
.

1.3. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) và điều kiện dây chuyền giảm (DCC)
1.3.1. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC)
Một họ các tập con
{ }
i
iI
C
∈
của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền
tăng (viết tắt là ACC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô hạn, tăng nghiêm ngặt:

12

ii
CC
≠≠
⊂⊂

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:
(1) Mọi dây chuyền tăng
12

ii
CC⊆⊆
trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại
n∈
sao cho
12

nn n
ii i
CC C
++
= = =

(2) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối đại.
1.3.2. Điều kiện dây chuyền giảm (DCC)
Một họ các tập con
{ }
i
iI
C
∈
của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền
giảm (viết tắt là DCC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô hạn, giảm nghiêm ngặt:

12

ii
CC
≠≠

⊃⊃

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:
(1) Mọi dây chuyền giảm
12

ii
CC⊇⊇
trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại
n∈
sao
cho
12

nn n
ii i
CC C
++
= = =

(2) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối tiểu.
1.4. Môđun Noether và môđun Artin
Cho vành R và M là R-môđun trái (hoặc R-môđun phải). Ta nói M là Noether (Artin) nếu họ
gồm tất cả các môđun con của M thỏa mãn ACC (DCC).
Tính chất: - Môđun M là Noether khi và chỉ khi mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh.

- Môđun M vừa Noether vừa Artin khi và chỉ khi M có chuỗi hợp thành (hữu
hạn)
1.5. Vành Noether và vành Artin
1.5.1. Vành Noether

Vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu R là Noether khi được xem như R-
môđun trái (phải). Nói cách khác, vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu một trong
các điều kiện sau thỏa mãn:
- Mọi dây chuyền tăng các iđêan trái (phải) của R đều dừng.
- Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối đại.
1.5.2. Vành Artin
Vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu R là Artin khi được xem như R-môđun
trái (phải). Nói cách khác, vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu một trong các điều
kiện sau thỏa mãn:
- Mọi dây chuyền giảm các iđêan trái (phải) của R đều dừng.
- Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối tiểu.
1.6. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp
Tích trực tiếp của họ các môđun
Cho họ bất kỳ khác rỗng các môđun
{ }
i
iI
M
∈
trên cùng vành hệ tử R, ta xác định trên tập tích
Đêcac
i
iI
M
∈
∏
các phép toán sau:

( )
( ) ( )

( ) ( )
''
i i ii
ii
x x xx
r x rx
+=+
=

với mọi
( )
( )
'
,
ii i
iI
xx M
∈
∈
∏
và mọi
rR∈
.
Với các phép toán trên,
i
iI
M
∈
∏
là một môđun và được gọi là tích trực tiếp của họ

{ }
i
iI
M
∈
.
Nó cũng được ký hiệu là
i
iI
M
∈
∏
hay đơn giản hơn là
i
M
∏
.
Với mỗi
kI∈
, ta có cặp phép nhúng
:
kk i
jM M→
∏
và phép chiếu
:
k ik
p MM→
∏
được

xác định bởi các công thức sau:
●
( ) ( )
( )
kk kk
i
jx jx=


trong đó
( )
0
k
kk
i
x khi i k
jx
khi i k
=

=



≠

với mọi
kk
xM∈
.

●
( )
ki k
px x=


, với mọi
( )
ii
xM∈
∏
.
Các phép nhúng
k
j
là đơn cấu và các phép chiếu
k
p
là các toàn cấu. Mối quan hệ giữa phép
nhúng và phép chiếu được mô tả bởi công thức:

1
k
kk X
pj=
và
0
kl
pj=
nếu

kl≠
.
Hơn nữa, một phần tử bất kỳ
i
iI
xM
∈
∈
∏
là hoàn toàn xác định bởi bộ giá trị chiếu của nó. Cụ
thể:
( )
( )
i
iI
x px
∈
=
.
Cho các họ môđun
{ }
{ }
'
,
ii
MM
có cùng tập chỉ số I và họ các đồng cấu
{ }
'
:

ii i
iI
fM M
∈
→
.
Khi đó đồng cấu
'
:
ii
fM M→
∏∏
được xác định bởi công thức

( ) ( )
( )
i ii
iI
iI
f x fx
∈
∈

=

, với mọi
( )
ii
xM∈
∏

được gọi là tích trực tiếp của họ đồng cấu
{ }
i
iI
f
∈
, và được ký hiệu là
i
ff=
∏
.
Tổng trực tiếp của họ các môđun
Cho họ khác rỗng các môđun
{ }
i
iI
M
∈
. Xét tập con của
i
M
∏
gồm các bộ
( )
i
xx=
mà hầu
hết các thành phần
0

i
x =
, trừ ra một số hữu hạn. Đây là một môđun con của
i
M
∏
và được
gọi là môđun tổng trực tiếp của họ
{ }
i
M
. Ký hiệu:
i
iI
M
∈
⊕
hay đơn giản hơn là
i
M⊕
.
Khi thu hẹp
i
ff=
∏
trên tổng trực tiếp
i
M⊕
ta được một đồng cấu gọi là tổng trực tiếp
của họ các đồng cấu

{ }
i
iI
f
∈
, và ký hiệu là
i
ff= ⊕
.
Tổng trực tiếp trong của họ các môđun con
Cho họ
{ }
i
iI
M
∈
các môđun con của môđun M thỏa:
i)
i
MM
=
∑
,
ii)
( )
0,
ij
ji
M M iI
≠

∩ = ∀∈
∑
.
Khi đó ta có
i
MM≅⊕
, và môđun M được gọi là tổng trực tiếp trong của họ môđun
{ }
i
M
và
mỗi môđun
i
M
được gọi là hạng tử trực tiếp của M.
1.7. Dãy khớp
1.7.1. Định nghĩa dãy khớp
Dãy các đồng cấu môđun (hữu hạn hay vô hạn)

( )
1
fg
ABC→→→→

được gọi là khớp tại môđun B nếu Imf = Kerg .
Dãy đồng cấu (1) được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mỗi môđun trung gian.
1.7.2. Định nghĩa dãy khớp ngắn
Dãy khớp ngắn là dãy khớp có dạng:

( )

0 02ABC
χ
σ
→→→→

Nhận xét: Dãy (2) là khớp khi và chỉ khi
χ
là đơn cấu,
σ
là toàn cấu, và
Im Ker
χσ
=
.
1.7.3. Định nghĩa dãy khớp ngắn chẻ
Cho dãy khớp dạng (1). Dãy khớp này được gọi là chẻ ra tại B nếu Imf là hạng tử trực
tiếp của B, tức tồn tại môđun con B
1
sao cho:
1
ImB fB= ⊕
.
Một dãy khớp gọi là chẻ nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung gian.
Dãy khớp ngắn (2) là chẻ khi và chỉ khi dãy chẻ tại B.
1.7.4. Một số tính chất
Định lí 1.1. Đối với mỗi dãy khớp ngắn
00ABC
χ
σ
→→→→

, ba phát biểu sau là tương
đương:
(1) Dãy khớp là chẻ ra;
(2) Đồng cấu
χ
có nghịch đảo trái;
(3) Đồng cấu
σ
có nghịch đảo phải.
Hệ quả 1.1. Nếu dãy khớp

fg
ABC→→→→
chẻ ra tại B thì ta có:

B Imf Img≅⊕

1.8. Môđun tự do
Cho môđun M. Tập
SM⊂
được gọi là cơ sở của môđun M nếu S là hệ sinh của M đồng
thời S độc lập tuyến tính.
Môđun có cơ sở được gọi là môđun tự do.
1.9. Môđun xạ ảnh
1.9.1. Định nghĩa môđun xạ ảnh
Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu
:BC
σ
→
, mỗi đồng cấu

:fP C→
, tồn tại đồng cấu
:PB
ϕ
→
sao cho
f
σϕ
=
.
1.9.2. Một số tính chất
Định lí 1.2. Mỗi môđun tự do đều là môđun xạ ảnh.
Định lí 1.3. Tổng trực tiếp của họ môđun
i
iI
PP
∈
= ⊕
là xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi môđun
thành phần
i
P
là xạ ảnh.
Định lí 1.4. Đối với mỗi môđun P, ba phát biểu sau là tương đương:
(1) P là môđun xạ ảnh;
(2) Mỗi dãy khớp
00ABP→→→→
là chẻ ra;
(3) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do nào đó.
Định lí 1.5. Khi R là vành chính, R-môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi P tự do.

1.10. Hàm tử tenxơ
Tích tenxơ hai môđun
Cho vành R,
R
M
và
R
N
lần lượt là các R-môđun phải và R-môđun trái, G là nhóm Aben.
Ánh xạ
:MN G
ϕ
×→
được gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu thỏa:
i)
ϕ
là cộng tính, tức là:

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
12 1 2
12 1 2
, , ,,
, , ,,
x xy xy xy
xy y xy xy
ϕ ϕϕ
ϕ ϕϕ
+= +
+= +

với mọi
12
,,xx x M∈
và mọi
12
,,yy y N∈
.
ii)
ϕ
là kết hợp trong đối với phép nhân ngoài trên M và N’, tức là:

( ) ( )
,,xr y x ry
ϕϕ
=

với mọi
rR∈
và mọi
,x My N∈∈
.
Tích tenxơ của hai môđun M và N’ là các nhóm Aben, mà ta ký hiệu là
'
MM⊗
, sao cho
có ánh xạ song tuyến tính
''
:MN M N
τ

×→⊗
có tính phổ dụng đối với bất kỳ ánh xạ song
tuyến tính
:MN G
ϕ
×→
, tức là với mỗi ánh xạ song tuyến tính
ϕ
đó, tồn tại duy nhất đồng
cấu
:fM N G⊗→
thỏa mãn
f
ϕτ
=
. Ánh xạ song tuyến tính
τ
khi đó được gọi là ánh xạ
tenxơ.
Tích tenxơ của hai môđun là tồn tại duy nhất và sai khác một đẳng cấu.
Tính chất: Cho họ
{ }
i
iI
M
∈
là họ các R-môđun phải và
{ }
j
jJ

N
∈
là họ các R-môđun trái.
Khi đó ta có:
( )
( )
( )
( )
,
i j ij
iI jJ ij I J
M N MN
∈ ∈ ∈×
⊕ ⊗⊕ ≅ ⊕ ⊗
.
Tích tenxơ hai đồng cấu
Cho
'
:
RR
fM M→
là đồng cấu R-môđun phải và
'
:
RR
gN N→
là đồng cấu các R-môđun
trái. Tích tenxơ của f và g là đồng cấu
''
:

f gM N M N
⊗ ⊗→ ⊗
mà với mỗi phần tử sịnh
x yM N⊗∈ ⊗
, ta có:
( )( ) ( ) ( )
f g x y fx gy⊗ ⊗= ⊗
.
Tính chất
- Tích tenxơ của hai đồng cấu đồng nhất là một đồng cấu đồng nhất.
- Nếu
fg
ABC→→
là các đồng cấu R-môđun phải và
''
'''
fg
ABC→→
là các đồng cấu R-môđun
trái thì
( ) ( ) ( )( )
' ' ''f f gg f g f g⊗=⊗⊗
.
- Tích tenxơ của hai đồng cấu có tính chất phân phối cả hai phía đối với phép cộng các
đồng cấu.
Định lí. Cho
'
:
RR
fM M→

và
'
:
RR
gN N→
là các toàn cấu R-môđun phải và R-môđun
trái. Khi đó, tích tenxơ
''
:
f gM N M N
⊗ ⊗→ ⊗
là toàn cấu nhóm, đồng thời hạt nhân
( )
Ker f g⊗
là nhóm con của
MN⊗
được sinh bởi các phần tử
xy⊗
trong đó
x Kerf∈
hoặc
y Kerg∈
.
Hàm tử tenxơ
Với mỗi R-môđun phải A, ta xây dựng một hàm tử

A:
R
Mod Ab⊗− →

như sau:
● Đặt mỗi vật
R
X Mod∈
tương ứng với nhóm
AX⊗
.
● Đặt mỗi đồng cấu
:XY
α
→
tương ứng với đồng cấu nhóm
1:
A
AX AY
α
⊗ ⊗ →⊗
.
Tương tự, với mỗi R-môđun trái B, ta xây dựng hàm tử
:
R
B Mod Ab−⊗ →
:
● Đặt mỗi vật
R
X Mod∈
ứng với nhóm Aben
XB⊗
.
● Đặt mỗi đồng cấu

:XY
α
→
ứng với đồng cấu nhóm
1:
B
XBYB
α
⊗ ⊗→⊗
.
( )
A⊗−
và
( )
B−⊗
là các hàm tử khớp về bên phải, tức là:
● Với mỗi dãy khớp các R-môđun trái:
00XYZ
χ
σ
→ →→→
ta có dãy sau là khớp:
11
0
AA
AX AY AZ
χσ
⊗⊗
⊗ → ⊗→ ⊗→
.

● Với mỗi dãy khớp các R-môđun phải:
00XYZ
χ
σ
→ →→→
ta có dãy sau là khớp:
11
0
BB
XB YB ZB
χσ
⊗⊗
⊗ →⊗ → ⊗→
.
Các hàm tử tenxơ
( )
A⊗−
và
( )
B−⊗
bảo toàn tính khớp chẻ của dãy khớp ngắn và chẻ.
1.11. Môđun dẹt
R-môđun phải M
R
được gọi là môđun dẹt nếu hàm tử
R
M ⊗−
là hàm tử khớp. Nói cách
khác, M
R

là môđun dẹt nếu với mỗi dãy khớp ngắn các R-môđun trái:

:0 0S ABC→→→→

ta luôn có được dãy các nhóm Aben sau đây là khớp:

:0 0
R RRR
M S M AM BM C⊗ →⊗ →⊗ →⊗ →

Ta đã biết
R
M ⊗−
là hàm tử khớp về bên phải. Do đó, tính dẹt phải của M
R
tương đương
với: Nếu
AB→
là đơn cấu thì
RR
M AM B⊗ →⊗
cũng là đơn cấu.
Tính chất: - Tổng trực tiếp các môđun dẹt là môđun dẹt.
-
R
R
luôn là môđun dẹt.
- Mọi môđun tự do đều là môđun dẹt.
- Hạng tử trực tiếp của môđun dẹt là môđun dẹt.
- Môđun xạ ảnh là môđun dẹt.

1.12. Môđun đơn, môđun nửa đơn
1.12.1. Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui)
R-môđun M được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả qui) nếu M chỉ có hai
môđun con tầm thường là (0) và M.
1.12.2. Định nghĩa môđun nửa đơn
R-môđun M được gọi là môđun nửa đơn (hay môđun hoàn toàn khả qui) nếu mọi
môđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M.
1.12.3. Tính chất
Định lí 1.6. Đối với mỗi R-môđun M, các phát biểu sau đây là tương đương:
(1) M là nửa đơn;
(2) M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn;
(3) M là tổng của các môđun con đơn.
1.13. Vành đơn, vành nửa đơn
Vành
( )
0R ≠
được gọi là vành đơn (nửa đơn) nếu R là môđun đơn (nửa đơn) trên chính
nó.
Định lí 1.7. Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(1) R là R-môđun trái nửa đơn;
(2) Mọi R-môđun trái đều là môđun xạ ảnh;
(3) Mọi R-môđun trái hữu hạn sinh đều là môđun xạ ảnh;
(4) Mọi R-môđun xyclic đều là môđun xạ ảnh.
1.14. Vành nguyên
Vành R được gọi là vành nguyên nếu
( )
0R ≠
và
00ab a=⇒=
hoặc

0b =
.
Vành nguyên giao hoán gọi là miền nguyên.
1.15. Vành chia
Vành R được gọi là vành chia nếu
( )
0R ≠
và mọi phần tử khác không trong R đều khả
nghịch.
Vành chia giao hoán là trường.
1.16. Vành nguyên thủy
R-môđun M
R
được gọi là môđun trung thành nếu ann(M) = (0).
Vành R được gọi là vành nguyên thủy trái (phải) nếu có R-môđun trái (phải) bất khả qui
trung thành.
1.17. Tập nil , tập lũy linh
Cho vành R, tập
IR⊆
.
Phần tử
xR∈
được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại
n∈
sao cho
0
n
x =
.
I được gọi là tập nil nếu mọi phần tử của I đều lũy linh, và nếu I là iđêan của R, ta gọi I là

nil iđêan.
I được gọi là tập lũy linh nếu tồn tại
n∈
sao cho
0
n
I =
, và nếu I là iđêan của R, ta gọi I là
iđêan lũy linh.
Tính chất: Iđêan lũy linh là nil iđêan.
1.18. Radical Jacobson của một vành
1.18.1. Định nghĩa radical Jacobson của một vành
Cho vành R, ta định nghĩa radical Jacobson của vành R là giao của tất cả các iđêan
trái tối đại của R (đồng thời cũng là giao của tất cả các iđêan phải tối đại của R). Ký hiệu: radR.
Nếu R = (0), ta định nghĩa radR = (0).
RadR là iđêan của R.
Tính chất:
( ) ( )
nn
M radR radM R=

1.18.2. Định nghĩa vành J-nửa đơn (vành nguyên thủy)
Vành
( )
0R ≠
được gọi là J-nửa đơn nếu radR = (0).
1.18.3. Một số tính chất
Bổ đề 1.1. Với mỗi
yR∈
, các phát biểu sau là tương đương:

(1)
y radR∈
;
(2)
1 xy−
khả nghịch trái với mọi
xR∈
;
(3)
( )
0yM =
với mọi R-môđun trái M.
Từ kết quả của bổ đề này ta suy ra
( )
1 radR U R+⊆
, với
( )
UR
là tập các phần tử khả
nghịch của vành R.
Định lí 1.8. Cho R là vành Artin trái. Khi đó, radR là iđêan trái lũy linh lớn nhất của
R đồng thời là iđêan phải lũy linh lớn nhất của R.
Hệ quả 1.2. Trong vành Artin trái, mọi nil iđêan trái đều lũy linh.
Định lí 1.9. Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(1) R là nửa đơn;
(2) R là J-nửa đơn và Artin trái;
(3) R là J-nửa đơn và thỏa mãn DCC đối với các iđêan trái chính.
Định lí 1.10 (Định lí Hopkins – Levitzki (1939))
Cho R là vành mà radR lũy linh và
R

R
radR
=
là nửa đơn. Khi đó, với mỗi R-
môđun
R
M
, các phát biểu sau đây là tương đương:
(1) M là Noether;
(2) M là Artin;
(3) M có chuỗi hợp thành.
Đặc biệt: - Một vành là Artin trái khi và chỉ khi nó là Noether trái và nửa nguyên
thủy.
- Mọi môđun trái hữu hạn sinh trên vành Artin trái đều có chuỗi hợp
thành.
Bổ đề Nakayama. Với mỗi iđêan trái J của vành R, các phát biểu sau tương
đương:
(1)
J radR⊆
;
(2) Với mọi R-môđun trái hữu hạn sinh M,
( )
0JM M M=⇒=
;
(3) Với mọi R-môđun trái
NM⊆
mà
M
N
hữu hạn sinh,

N JM M N M+ = ⇒=
.
1.19. Vành nửa nguyên sơ
Vành R được gọi là vành nửa nguyên sơ nếu
R
radR
là vành nửa đơn và
radR
lũy linh.
1.20. Iđêan nguyên tố, iđêan nửa nguyên tố
Iđêan P của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu
ab P∈

aP⇒∈
hoặc
bP∈
.
Iđêan C của vành R được gọi là iđêan nửa nguyên tố nếu với mọi iđêan
UR⊆
mà
2
UC⊆
, ta luôn có
UC⊆
.
Mệnh đề 1.1. Với mỗi iđêan C bất kỳ của vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(1) C là nửa nguyên tố;
(2) Với mọi
aR∈
mà

( )
2
aC⊆
, ta luôn có
aC∈
;
(3) Với mọi
aR∈
mà
aRa C⊆
, ta luôn có
aC∈
;
(4) Với mọi iđêan trái (phải)
UR⊆
mà
2
UC⊆
ta luôn có
UC⊆
.
1.21. Radical nguyên tố của một vành
Radical nguyên tố của vành R là giao tất cả các iđêan nguyên tố của vành R.
Ký hiệu:
Nil R
∗
.
Nil R
∗
là iđêan nửa nguyên tố nhỏ nhất của vành R.

1.22. Vành nguyên tố, vành nửa nguyên tố
Vành R được gọi là vành nguyên tố (nửa nguyên tố) nếu
( )
0
là iđêan nguyên tố (nửa
nguyên tố) của R.
Mệnh đề 1.2. Với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(1) R là vành nửa nguyên tố;
(2)
0Nil R
∗
=
;
(3) R không có iđêan lũy linh khác
( )
0
;
(4) R không có iđêan trái lũy linh khác
( )
0
.
Hệ quả 1.3. Nếu
A
là iđêan trái tối tiểu của vành nửa nguyên tố R thì
Re=A
, với e là
phần tử lũy đẳng nào đó trong
A
.
Định lí 1.11. Với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:

(1) R là nửa đơn;
(2) R là nửa nguyên tố và Artin trái;
(3) R là nửa nguyên tố và thỏa mãn DCC đối với các iđêan trái chính.
1.23. Tập lũy linh địa phương
Tập
SR⊆
được gọi là tập lũy linh địa phương nếu mọi vành con được sinh bởi hữu hạn
các phần tử của S đều là tập lũy linh.
Nếu
UR⊆
là iđêan một phía thì

U
là lũy linh
⇒

U
là lũy linh địa phương
⇒

U
là nil iđêan.
Ta luôn có:
Nil R L radR Nil R radR
∗
∗
⊆− ⊆ ⊆
, trong đó
L radR−
là tổng tất cả các iđêan lũy

linh địa phương của R, và là iđêan lũy linh địa phương lớn nhất của R,
Nil R
∗
là tổng của tất cả
các nil iđêan của R và là nil iđêan lớn nhất của R.
1.24. Định nghĩa phần tử lũy đẳng
Phần tử e của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu
2
ee=
.
Nhận xét: - Mỗi vành luôn có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1, và chúng được gọi là hai
phần tử lũy đẳng tầm thường
- Vành nguyên chỉ có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1.
1.25. Vành địa phương
Định lí 1.12. Với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(1) R có duy nhất iđêan trái tối đại;
(2) R có duy nhất iđêan phải tối đại;
(3)
R
radR
là vành chia;
(4)
( )
\RUR
là iđêan của R;
(5)
( )
\RUR
cùng với phép cộng làm thành một nhóm;
(5’)

( ) ( )
12
, :
ni
na a a UR ia UR∀ + + + ∈ ⇒∃ ∈
;
(5’’)
( ) ( )
a b UR a UR+∈ ⇒∈
hoặc
( )
b UR∈
.
Định nghĩa
Vành R thỏa mãn một trong các điều kiện của định lí 1.12 được gọi là vành địa
phương. Để nhấn mạnh vai trò của
m radR=
, ta nói
( )
,Rm
là vành địa phương.
1.26. Môđun không phân tích được, môđun thật sự không phân tích được
Định nghĩa
R-môđun phải
( )
0M ≠
được gọi là không phân tích được nếu M không thể viết được
thành tổng trực tiếp của hai R-môđun con thật sự. Điều kiện sau dẫn đến: Vành
( )
R

End M

không có phần tử lũy đẳng không tầm thường.
R-môđun phải
( )
0M ≠
được gọi là thật sự không phân tích được nếu
( )
R
End M
là
vành địa phương.
Nhận xét: Môđun thật sự không phân tích được là môđun không phân tích được. Chiều
ngược lại chưa chắc đúng.
Khi các môđun không phân tích được mà suy ra chúng thật sự không phân tích được thì
lớp các môđun như thế được gọi là có chiều dài hữu hạn, nghĩa là các môđun này thỏa mãn cả
DCC và ACC đối với các môđun con.
Định lí 1.13
Cho
R
M
là môđun không phân tích được chiều dài n (hữu hạn). Khi đó,
( )
R
E End M=
là vành địa phương và iđêan tối đại duy nhất của E là
m radE=
thõa mãn
( )
0

n
m =
. Hơn nữa, M là thật sự không phân tích được.
Định lí 1.14 (định lí Krull-Schmidt-Azumaya)
Cho vành R, giả sử
R
M
có hai sự phân tích theo các môđun con:

11

rs
MM M N N= ⊕⊕ = ⊕⊕

trong đó các
i
N
là các môđun không phân tích được, còn các
i
M
là các môđun thật sự không
phân tích được.
Khi đó,
rs=
và sau khi sắp xếp lại ta được
, 1,
ii
M Ni r≅=
.
1.27. Vành nửa địa phương

Định nghĩa
Vành R được gọi là nửa địa phương nếu
R
radR
là vành Artin trái hoặc
R
radR
là
vành nửa đơn.
Nhận xét: - Vành địa phương là nửa địa phương, vành Artin một phía là vành nửa địa
phương.
- Tổng trực tiếp của các vành nửa địa phương là vành địa phương.
Mệnh đề 1.3
Cho
K
là vành nửa địa phương giao hoán, R là
K
-đại số và là
K
-môđun hữu hạn
sinh. Khi đó, R là vành nửa địa phương và
( ) ( )
n
radR radK R radR
⊇⊇
, với
1n ≥
nào đó.
Mệnh đề 1.4. Vành nửa địa phương là Dedekind – hữu hạn.
1.28. Lý thuyết về các phần tử lũy đẳng

Với mỗi phần tử lũy đẳng e của vành R, ta luôn có ba sự phân tích sau:
(1)
R Re Rf= ⊕

(2)
R eR fR= ⊕

(3)
R eRe eRf fRe fRf=⊕⊕⊕

trong đó
1fe= −
là phần tử lũy đẳng bù với e, và

{ }
{ }
eRe r R er r re
fRf r R fr r rf
=∈==
=∈==

(1) và (2) là sự phân tích theo các iđêan phải, trái.
(3) là sự phân tích theo nhóm con đối với phép cộng.
Mệnh đề 1.5
Cho
,'ee
là các phần tử lũy đẳng của vành R, môđun
R
M

.
Khi đó, tồn tại đồng cấu nhóm cộng
( )
:,
R
Hom eR M Me
λ
→
. Đặc biệt, tồn tại đẳng cấu
nhóm cộng
( )
,' '
R
Hom eReR eRe≅
.
Hệ quả 1.4. Với mỗi phần tử lũy đẳng
eR∈
, ta luôn có
( )
R
End eR eRe≅
.
Mệnh đề 1.6. Với mỗi phần tử lũy đẳng
0e ≠
trong R, các phát biểu sau là tương đương:
(1) eR là R-môđun phải không phân tích được;
(1’) Re là R-môđun trái không phân tích được;
(2) Vành eRe không có phần tử lũy đẳng không tầm thường;
(3)
e

αβ
= +
, với
,
αβ
là các phần tử lũy đẳng trực giao khác 0.
Định nghĩa phần tử lũy đẳng nguyên thủy
Phần tử lũy đẳng
0e ≠
thỏa mãn một trong các điều kiện của mệnh đề 1.6 được gọi
là phần tử lũy đẳng nguyên thủy.
Mệnh đề 1.7. Với mỗi phần tử lũy đẳng
eR∈
, các phát biểu sau là tương đương:
(1) eR là R-môđun phải thật sự không phân tích được;
(1’) Re là R-môđun trái thật sự không phân tích được;
(2) eRe là vành địa phương.
Định nghĩa phần tử lũy đẳng địa phương
Phần tử lũy đẳng
eR∈
thỏa mãn một trong các điều kiện của mệnh đề 1.7 được gọi
là phần tử lũy đẳng địa phương.
Định nghĩa phần tử lũy đẳng bất khả qui
Phần tử lũy đẳng
0e ≠
trong vành R được gọi là bất khả qui phải nếu eR là iđêan
phải tối tiểu của R.
Phần tử lũy đẳng
0e ≠
trong vành R được gọi là bất khả qui trái nếu Re là iđêan trái

tối tiểu của R.
Mệnh đề 1.8. Cho phần tử lũy đẳng
eR∈
.
(1) Nếu e bất khả qui phải thì eRe là vành chia.
(2) Nếu R là vành nửa đơn thì ta có chiều ngược lại của (1).
Hệ quả 1.5
(1) Phần tử lũy đẳng bất khả qui phải là phần tử lũy đẳng địa phương.
(2) Nếu R là vành nửa nguyên tố thì phần tử lũy đẳng
eR∈
là bất khả qui phải khi và
chỉ khi e bất khả qui trái.
(3) Nếu R là vành nửa đơn thì phần tử lũy đẳng
eR∈
là bất khả qui phải khi và chỉ
khi e lũy đẳng địa phương, khi và chỉ khi e nguyên thủy.
Mệnh đề 1.9. Cho phần tử lũy đẳng
eR∈
,
,
R
J radR R
J
= =
. Ta có các phát biểu sau là
tương đương:
(1) e là phần tử lũy đẳng địa phương trong R;
(2)
e
là phần tử lũy đẳng bất khả qui phải trong

R
;
(2’)
e
là phần tử lũy đẳng bất khả qui trái trong
R
;
(3)
eR
eJ
là R-môđun phải đơn;
(4) eJ là môđun con tối đại duy nhất của eR.
Mệnh đề 1.10. Cho e, f là các phần tử lũy đẳng của vành R. Các phát biểu sau là tương
đương:
(1)
eR fR≅
(đẳng cấu R-môđun phải);
(1’)
Re Rf≅
(đẳng cấu R-môđun trái);
(2) Tồn tại
,a eRf b fRe∈∈
sao cho
,e ab f ba= =
.
(3) Tồn tại
,ab R∈
sao cho
,e ab f ba= =
.

Định nghĩa các phần tử lũy đẳng đẳng cấu
Nếu các phần tử lũy đẳng e, f thỏa mãn một trong các điều kiện của mệnh đề 1.10, ta
nói chúng là các phần tử lũy đẳng đẳng cấu với nhau. Ký hiệu:
ef≅
.
Chú ý 1.1. Cho
eR∈
là phần tử lũy đẳng bất kỳ,
'1ee= −
. Ta luôn có sự phân tích
'R eR e R= ⊕
. Do đó,
P eR=
là R môđun xạ ảnh, và với iđêan
IR⊆
,
R
R
I
=
ta có
eR
P
eR
PI eI
= ≅
(đẳng cấu
R
-môđun).
Mệnh đề 1.11

Cho I là iđêan của vành R và
I radR⊆
. Khi đó, với e, f là các phần tử lũy đẳng của
R, ta có:
ef≅
trong R khi và chỉ khi
ef
≅
trong
R
R
I
=
. Đặc biệt, nếu
ef=
thì
ef≅
.
Định nghĩa phần tử lũy đẳng nâng lên
Cho I là iđêan của vành R, ta nói phần tử lũy đẳng
R
x
I
∈
có thể được nâng lên từ R
nếu tồn tại phần tử lũy đẳng
eR∈
là tạo ảnh của x trong phép chiếu
R
R

I
→
(hay
ex=
).
Mệnh đề 1.12
Cho
eR∈
là phần tử lũy đẳng và
I radR⊆
là iđêan của R. Nếu
e
là nguyên thủy
trong
R
R
I
=
thì e là nguyên thủy trong R. Chiều ngược lại đúng khi các phần tử lũy đẳng của
R
có thể được nâng lên từ R.
Mệnh đề 1.13
Cho
I radR⊆
là iđêan của R sao cho các phần tử lũy đẳng của
R
R
I
=
đều có thể

được nâng lên từ R. Khi đó, với bất lỳ tập đếm được (hoặc hữu hạn) các phần tử lũy đẳng trực