lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN VẬT LÝ
XW



LÊ GIANG BẮC
LỚP DH5L




KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

LẬP BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH NHIỆT DUNG
CỦA HỆ MẠNG TINH THỂ LẬP PHƯƠNG







Giảng viên hướng dẫn: ThS. VŨ TIẾN DŨNG

Long Xuyên, tháng 05 năm 2008

i
LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu Trường Đại Học An Giang,
khoa sư phạm và tổ bộ môn Vật Lý đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
được tham gia nghiên cứu khoa học.
Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn giảng viên hướng dẫn là thầy Vũ Tiến Dũng
đã tận tình hướng dẫn và cung cấp nguồn tài liệu quý báu để tôi hoàn thành khoá
luận này đúng thời hạn.
Cuố
i cùng, tôi xin cảm ơn tất cả bạn bè và người thân đã động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian thực hiện đề tài. Tôi hy vọng rằng, kết quả nghiên cứu của khoá
luận sẽ không phụ lòng mong mỏi của mọi người và giúp ích cho việc tự học, tự
nghiên cứu của bạn đọc.

ii
LỜI NÓI ĐẦU

Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành vật lý chất rắn đóng
một vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho các
ngành kỹ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử,…Trong
những năm gần đây, xuất hiện hàng loạt công trình về siêu dẫn nhiệt độ cao, đặc biệt
là công nghệ nanô làm cho v
ị trí của ngành vật lý chất rắn ngày càng thêm nổi bật.
Vật lý chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật lý tổng quát mà tập hợp nhiều
các nguyên tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp một cách đều đặn và tạo thành
các tinh thể. Kể từ khi có sự ra đời của các lý thuyết lượng tử và các tiến bộ của khoa
học kỹ thuật thì vật lý chấ
t rắn mới có được cơ sở vững chắc và thu được những kết
quả hết sức quan trọng về mặt ứng dụng cũng như lý thuyết.
Trong khi học tập môn vật lý chất rắn đại cương, tôi thấy thích thú và bị lôi cuốn
bởi môn học này. Bởi lẽ đó, mà tôi quyết định sẽ tìm hiểu và khám phá hơn nữa về
môn. Đặc biệt nhất là về: cấu trúc tinh th
ể, hệ lập phương, lý thuyết về dao động
mạng tinh thể và các tính chất nhiệt của chất rắn. Tôi quyết định chọn tên của khóa
luận là: “ Lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương”
để nghiên cứu và tìm hiểu. Trong đề tài này tôi trình bày các kiến thức về cấu trúc
của mạng tinh thể, lý thuyết về dao động mạng và trên cơ sở đó đ
i thiết lập biểu thức
xác định nhiệt dung của chất rắn do dao động của mạng tinh thể. Sau đó, sẽ áp dụng
cho hệ mạng tinh thể lập phương và sẽ giải thích một số hiện tượng vật lý có liên
quan ở chương trình phổ thông.
Chắc chắn rằng khóa luận này còn có những thiếu sót và hạn chế. Rất mong được
sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô, và bạn đọ
c để cho khóa luận ngày được hoàn

thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn.


An Giang, tháng 04 năm 2008
Sinh viên thực hiện
Lê Giang Bắc



NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN
X#"W

MỤC LỤC


Lời cảm ơn i
Lời nói đầu ii
PHẦN I. MỞ ĐẦU 1
I. Lý do chọn đề tài 1
II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1
1. Mục đích nghiên cứu 1
2. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
III. Khách thể và đối tượng nghiên cứu 1
1. Khách thể nghiên cứu 1
2. Đối tượng nghiên cứu 1
IV. Phương pháp nghiên cứu 2
V. Phạm vi nghiên cứu 2
VI. Giả thuyết khoa học 2
VII. Đóng góp mới của đề tài 2
VIII. Bố cục c
ủa khóa luận 2
PHẦN II. NỘI DUNG 3
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3
I. Cấu trúc của mạng tinh thể 3

1. Mạng tinh thể 3
1.1. Cấu trúc tinh thể 3
1.2. Mạng không gian 3
1.3. Các tính chất đối xứng của mạng không gian 4
1.4. Phân loại mạng Bravais 6
1.4.1. Hệ lập phương 6
1.4.2. Hệ tứ giác 6
1.4.3. Hệ trực giao (còn gọi là hệ vuông góc) 7
1.4.4. Hệ trực thoi (hay hệ tam giác) 7
1.4.5. Hệ đơn tà 8
1.4.6. Hệ tam tà 8
1.4.7. Hệ lục giác 8
1.5. Sơ lượ
c về hệ mạng tinh thể lập phương 8
1.5.1. Mạng tinh thể lập phương đơn giản 9
1.5.2. Mạng tinh thể lập phương tâm khối 9


1.5.3. Mạng tinh thể lập phương tâm mặt 9
2. Mạng đảo 9
2.1. Khái niệm mạng đảo 9
2.2. Tính chất của các vectơ mạng đảo 10
2.3. Các tính chất của vectơ mạng đảo 10
2.4. Ô cơ sở của mạng đảo 10
2.5. Ý nghĩa vật lý của mạng đảo 11
3. Điều kiện tuần hoàn khép kín Born – Karman 11
II. Lý thuyết cổ điển về dao động mạng tinh thể 12
1. Dao động chuẩn của mạ
ng tinh thể 12
2. Bài toán dao động mạng 12

2.1. Dao động của mạng một chiều, một nguyên tử 14
2.1.1. Trường hợp q rất nhỏ (qa<<1) 16
2.1.2. Trường hợp
a
q
π
±= 16
2.2. Dao động của mạng một chiều, hai nguyên tử 17
3. Dao động mạng ba chiều 20
4. Tọa độ chuẩn 24
III. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể 27
1. Lượng tử hóa dao động mạng 27
2. Phonon 28
2.1. Phương pháp chuẩn hạt 28
2.2. Tính chất của chuẩn hạt 28
2.3. Phonon 29
2.4. Tính chất của phonon 29
CHƯƠNG II. THIẾT LẬP BIỂU THỨC TINH NHIỆT DUNG CỦA HỆ MẠNG
TINH THỂ LẬP PHƯƠNG. 31
I. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung 31
II. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung 32
1. Hàm phân bố Bose - Einstein 32
2. Lý thuyết Einstein 33
2.1. Trường hợp ở miền nhiệt độ cao 34
2.2. Trường hợp ở miền nhiệt độ thấp 34
3. Lý thuyết Debye 35
3.1. Trường hợp ở miền nhiệt độ cao 38


3.2. Trường hợp ở miền nhiệt độ thấp 39

III. Áp dụng công thức nhiệt dung cho mạng tinh thể lập phương 40
1. Áp dụng biểu thức nhiệt dung cho hệ mạng lập phương 40
2. Tính nhiệt dung mol của một số chất 43
IV. Giải thích một số hiện tượng vật lý trong chương trình phổ thông 43
1. Phân biệt chất rắn kết tinh và chất rắn vô định hình 43
2. Những tính chất nhiệt của vật r
ắn 45
2.1. Sự giãn nở vì nhiệt của vật rắn 45
2.2. Nhiệt dung mol vật rắn 46
PHẦN III. KẾT LUẬN 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO 49
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 1
PHẦN I. MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, các vật liệu trong tự nhiên hay đang được sử dụng hàng
ngày trong đời sống của con người, có thể tồn tại ở thể rắn, thể lỏng hoặc thể khí. Do
vậy, vật lý học cũng chia thành các chuyên ngành nghiên cứu sự vận động của vật
chất ở ba thể tồn tại trên. Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành
vật lý chấ
t rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lý chất rắn đã tạo ra những
vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng
nguyên tử,…Trong những năm gần đây, xuất hiện hàng loạt công trình về siêu dẫn
nhiệt độ cao, đặc biệt là công nghệ nanô làm cho vị trí của ngành vật lý chất rắn ngày
càng thêm nổi bật.
Vật lý chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật lý tổng quát mà tập hợp nhiều
các nguyên tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp một cách đều đặn và tạo thành
các tinh thể. Kể từ khi có sự ra đời của các lý thuyết lượng tử và các tiến bộ của khoa

học kỹ thuật thì vật lý chất rắn mới có được cơ sở vững chắ
c và thu được những kết
quả hết sức quan trọng về mặt ứng dụng cũng như lý thuyết.
Hiện nay, ở nước ta cùng với nhu cầu nghiên cứu và sử dụng các vật liệu rắn, đặc
biệt là vật liệu mới ngày càng tăng. Chính vì thế, mà ngành vật lý chất rắn đã được
phát triển rất nhanh trong những năm qua.
Trong khi học tập môn vật lý chất rắn, tôi thấy mình bị
lôi cuốn bởi môn học này,
nên tôi thấy mình cần phải tìm hiểu và khám phá hơn nữa về nó. Đặc biệt nhất là về:
cấu trúc tinh thể, hệ lập phương, các dao động mạng tinh thể và các tính chất nhiệt
của nó.
Chính vì những lý do trên, tôi quyết định chọn tên đề tài là: “ Lập biểu thức xác
định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương” để nghiên cứu và có được hiểu
biết sâu rộng h
ơn về vấn đề này.
II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
1. Mục đích nghiên cứu
Khảo sát tính chất nhiệt của hệ mạng tinh thể lập phương. Qua đó, giải thích một
số hiện tượng vật lý liên quan đến chất rắn được trình bày trong chương trình phổ
thông.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về cấu trúc tinh thể của hệ lập phương, dao động mạng tinh th
ể và các
tính chất nhiệt của vật rắn.
Lập biểu thức nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương.
III. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
1. Khách thể nghiên cứu
Hệ mạng tinh thể lập phương. Chương trình vật lý phổ thông.
2. Đối tượng nghiên cứu
Tính chất nhiệt và thiết lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập

phươ
ng.
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 2
IV. Phương pháp nghiên cứu
Trong khi thực hiện đề tài này, tôi có sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau
đây:
- Phương pháp đọc sách và tài liệu tham khảo.
- Phương pháp hệ thống hóa lý thuyết.
- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.
- Phương pháp gần đúng.
V. Phạm vi nghiên cứu
Thiết lập biểu thức tính nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương theo quan
điể
m năng lượng và chỉ xét đến đóng góp của dao động mạng vào tính chất nhiệt của
chất rắn.
VI. Giả thuyết khoa học
Bằng lý thuyết dao động mạng, có thể thiết lập được biểu thức tính nhiệt dung của
hệ mạng tinh thể lập phương và giải thích được một số hiện tượng vật lý liên quan
đến chất rắn trong chương trình Vật lý phổ thông.
VII. Dự ki
ến đóng góp của đề tài
Phát triển được hướng tiếp cận về tính chất nhiệt của mạng tinh thể lập phương.
Giải thích chính xác và hoàn chỉnh các tính chất vật lý liên quan đến chất rắn
trong chương trình vật lý phổ thông, làm tiền đề để nâng cao chất lượng dạy và học ở
phổ thông. Làm phong phú thêm tư liệu học tập về vật lý chất rắn.
VIII. Bố cục của khóa luậ
n
Bố cục của khóa luận gồm có 3 phần:

Phần I. Mở đầu (2 trang) trình bày về lý do chọn đề tài, mục đích và nhiệm vụ, đối
tượng và khách thể nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, giả
thuyết khoa học, đóng góp của đề tài và bố cục của khoá luận.
Phần II. Nội dung (43 trang) gồm hai chương.
Chương I. Cơ sở lý thuyết.
I. Cấu trúc của mạng tinh thể
.
II. Lý thuyết cổ điển về dao động mạng tinh thể.
III. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể.
Chương II. Thiết lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng lập phương.
I. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung.
II. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung.
III. Áp dụng cho hệ mạng tinh thể lập phương.
IV. Giải thích một số
hiện tượng vật lý trong chương trình phổ thông.
Phần III. Kết luận (1 trang) trình bày kết quả đạt được và những hạn chế của khóa
luận.
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 3
PHẦN II. NỘI DUNG

CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I. Cấu trúc của mạng tinh thể
1. Mạng tinh thể
Để mô tả cấu trúc tinh thể người ta dùng khái niệm mạng tinh thể và gắn một
nguyên tử hoặc một nhóm các nguyên tử gọi là cơ sở của mạng tinh thể đó. Trong
các tinh thể đơn giản nhất như đồng, bạc hay kim loại kiềm chẳng hạn đều có cấu
trúc chỉ một nguyên tử, trong các nguyên t
ử phức tạp hơn đơn vị có thể chứa một vài

nguyên tử hoặc phân tử.
1.1. Cấu trúc tinh thể
Cấu trúc tinh thể là dạng thực của tinh thể chất rắn nếu ta đặt nguyên tử hay nhóm
nguyên tử vào mỗi nút mạng hay gần mỗi nút mạng. Trong các tinh thể phân tử ở
mỗi nút mạng là mỗi phân tử có chứa hàng chục có khi hàng trăm nguyên tử. Nguyên
tử hoặc nhóm nguyên tử như vậy gọ
i là gốc.
Do đó, có thể viết một cách tượng trưng như sau:
Mạng không gian + gốc = Cấu trúc tinh thể
Trong không gian, các nguyên tử phân tử được sắp xếp một cách có trật tự đều
đặn, tuần hoàn trong không gian mạng tinh thể.
1.2. Mạng không gian
Trong các vật rắn, nguyên tử, phân tử được sắp xếp một cách đều đặn, tuần hoàn
trong không gian tạo thành mạng tinh thể. Ta bắt đầu bằng việc khảo sát tinh thể lí
tưởng, là tinh thể trong đó sự sắp xếp các nguyên tử, phân tử là hoàn toàn tuần hoàn.
Tinh thể lí tưởng phải hoàn toàn đồng nhất, nghĩa là mọi nơi, nó đều chứa những loại
nguyên tử như nhau, được phân bố như nhau. Tinh thể lí tưởng phải có kích thước
trải rộng vô hạn để không có mặt giới hạn làm ảnh hưởng đến tính chất sắp xếp tuyệt
đối tuần hoàn của các nguyên tử, phân tử
.
Có thể xây dựng nên tinh thể bằng cách lặp lại trong không gian theo một quy luật
nhất định các đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi là các ô sơ cấp. Ở các tinh thể đơn giản
như tinh thể đồng, bạc, tinh thể kim loại kiềm, mỗi ô sơ cấp chỉ chứa một nguyên tử.
Ở các tinh thể phức tạp, có thể chứa nhiều nguyên tử, phân tử.
Để mô tả cấu trúc tinh thể, ta coi nh
ư nó gồm các ô sơ cấp lặp lại tuần hoàn trong
không gian. Gắn với mỗi đỉnh của ô sơ cấp là một nhóm các nguyên tử. Nhóm
nguyên tử đó gọi là gốc. Với tinh thể lí tưởng có thể coi như gồm các nguyên tử phân
bố trong mạng không gian.
Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ

1
a ,
2
a ,
3
a , gọi là ba vectơ tịnh tiến
cơ sở. Chúng có tính chất là khi khảo sát tinh thể từ một điểm tùy ý có bán kính
vectơ
r
, ta thấy nó giống hệt như khi ta khảo sát nó từ điểm có bán kính vectơ
'
r
:
'
r
=
r
+ n
1
1
a
+ n
2
2
a
+ n
3
3
a
(1.1.1)

Trong đó: n
1
, n
2
, n
3
là các số nguyên tùy ý.
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 4
Tập hợp các điểm có bán kính vectơ
'
r
(sau này gọi là điểm
'
r
) xác định theo
(1.1.1) với các giá trị khác nhau của n
1
, n
2
, n
3
lập thành mạng không gian. Các điểm
đó gọi là nút của mạng không gian.
Ba vectơ cơ sở
1
a
,
2

a
,
3
a
cũng đồng thời xác định các trục của hệ tọa độ trong
tinh thể. Nói chung, đó là hệ tọa độ không vuông góc. Hình hộp được tạo thành từ ba
vectơ cơ sở chính là ô sơ cấp.






Hình 1.1 Minh họa một số cách chọn các vectơ cơ sở cho mạng hai chiều.
Sự lựa chọn ba vectơ cơ sở, và do đó lựa chọn ô sơ cấp không phải là duy nhấ
t.
Hình vẽ 1.1 cho ta thấy một vài thí dụ về cách chọn các vectơ cơ sở và ô sơ cấp trong
mạng hai chiều.
Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, còn có thể xây dựng ô sơ cấp sao cho nó có
dạng đối xứng trung tâm. Ô như vậy, gọi là ô Vicnơ – Daixơ (Wignet – Seitz). Các ô
này được giới hạn bởi các mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng nối nút mạng
đang xét với các nút mạng lân cận.
Như vậy, m
ạng lí tưởng là một khái niệm toán học, nó bao trùm toàn bộ không
gian, và có tính tuần hoàn trong không gian đặc trưng bằng vectơ
'
r
như trên. Từ
công thức (1.1.1) ta thấy chỉ cần biết các vectơ cơ sở thì ta có thể xác định được toàn
mạng.

Mạng tinh thể lí tưởng chỉ là hình ảnh trừu tượng hóa của những tinh thể có thực
trong tự nhiên hoặc nhân tạo. Tinh thể thực cũng có cấu trúc tuần hoàn, nhưng khác
với tinh thể lí tưởng ở chỗ: nó hữu hạn, nghĩa là có kích thước xác định; sự bố trí các
nhóm nguyên tử
ở các nút mạng không tuyệt đối giống hệt nhau mà có những sai
hỏng. Những sai hỏng này có thể xảy ra trong phạm vi một nút hay một tập hợp nút.
Ngoài ra, các nguyên tử không cố định mà thực hiện dao động quanh vị trí cân bằng
của chúng. Tuy nhiên, khái niệm mạng tinh thể lí tưởng giúp ta bước đầu hiểu được
bản chất dị hướng của các đặc trưng vật lý cũng như ảnh hưởng của cấu trúc tu
ần
hoàn lên các tính chất đó của tinh thể thực.
Mạng tinh thể được xác định bởi các chỉ số Miller (hkl). Chỉ số Miller cho phép
xác định đường thẳng mạng, mặt phẳng mạng và hướng của mạng tinh thể. Ngoài ra,
còn giúp ta xác định thể tích ô cơ sở.
1.3. Các tính chất đối xứng của mạng không gian
Tất cả các tinh thể đều có một tính chất chung là tính chất tuần hoàn tịnh tiến.
Ngoài ra, tùy vào các trường hợp c
ụ thể, chúng còn có (hoặc không có) các tính chất
đối xứng khác nữa. Phép đối xứng của tinh thể được định nghĩa chung như sau: Nếu
sau một phép biến đổi cứng rắn (không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất
2
a


1
a


1
a

1
a

2
a


1
a

2
a

2
a

2
a


1
a

SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 5
°
°

°
° ° ° ° °
°
°
°°°°
°
° ° °
°°
2
π

×

×

Hình 1.2
kì trong tinh thể) nào đó mà mạng tinh thể chuyển sang một vị trí mới hoàn toàn
giống như vị trí cũ (chỉ có sự đổi chỗ của các nguyên tử cùng loại), thì phép biến đổi
này được gọi là phép đối xứng của tinh thể. Các phép biến đổi của mạng không gian
là: đối xứng với phép tịnh tiến, đối xứng với phép quay quanh một trục xác định, đối
xứng với phép nghịch đảo,
đối xứng với phép phản xạ qua một số mặt phẳng.
Đặc điểm cơ bản của mạng không gian là tính chất đối xứng của nó. Điều này
được thể hiện ở chỗ mạng bất biến đối với một số phép biến đổi, hay nói một cách
khác là mạng trùng lại với chính nó khi ta thực hiện một số phép biến đổi.
Mạng không gian có tính chất đối x
ứng tịnh tiến. Điều này ta thấy được khi thực
hiện một phép dịch chuyển toàn bộ mạng không gian đi một vectơ
R
, gọi là vectơ

tịnh tiến:
3
3
2
2
1
1
anananR ++=
(n
1
, n
2
, n
3
là những số nguyên). Sau phép dịch
chuyển này, một nút mạng nào đó đến chiếm vị trí của nút mạng khác. Toàn bộ mạng
không có gì thay đổi. Hai nút mạng bất kì được nối với nhau bằng vectơ tịnh tiến
R
.
Nếu ta lấy điểm gốc ở một nút mạng, thì
R
là vectơ vị trí của các nút mạng, gọi là
vectơ mạng.
Mạng không gian có tính đối xứng với phép quay quanh một số trục. Thật vậy, ta
hãy xét mạng vuông hai chiều như hình vẽ 1.2,
có thể coi nó như hình chiếu của mạng không
gian trên mặt phẳng, nghĩa là phía trên và phía
dưới của mặt phẳng hình vẽ ta có những mạng
vuông giống hệt như vậy. Khi ta quay mạng
một góc

2
π
(hay
4
1
vòng tròn) quanh trục
vuông góc với mặt phẳng, đi qua một nút mạng
(hoặc một trong các điểm có đánh dấu X như
trên hình vẽ 1.2, thì mạng lại trùng với chính
nó. Trục quay như vậy, gọi là trục quay bậc 4, và mạng đang xét đối xứng với phép
quay quanh trục bậc 4.
Mạng không gian chỉ có thể có trục quay bậc n = 2, 3, 4 và 6. Khi quay mạng một
góc
n
π
ϕ
2
= mạng lại trùng với chính nó. Không tồn tại các mạng có trục quay bậc 5,
bậc 7 hoặc cao hơn.
Mạng không gian có tính đối xứng nghịch
đảo. Phép nghịch đảo là phép biến đổi, trong đó
vectơ vị trí đổi dấu:
r
biến thành
r
−
. Như vậy,
mạng không gian có tâm đối xứng. Mạng vuông
hai chiều trên hình vẽ 1.2 bất biến với phép
nghịch đảo và có tâm đối xứng.

Mạng không gian có thể đối xứng với phép
phản xạ qua một số mặt phẳng. Phép nghịch đảo
chính là gồm một phép quay góc
π và phản xạ
qua mặt phẳng vuông góc với trục quay và đi
qua tâm đối xứng. Ở hình vẽ 1.3, ta có O là tâm
đối xứng, m là mặt phẳng phản xạ, C là trục

phản xạ
m
nghịch
đảo
A’’
O
A
A’
C
góc quay
π

Hình 1.3
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 6
quay góc π.
Các phép biến đổi đối xứng vừa nói đến ở trên, có thể cùng tồn tại ở một mạng
không gian. Tuy nhiên, thực tế chỉ đối xứng với một số trong các phép biến đổi đó.
1.4. Phân loại mạng Bravais
Dựa trên các tính chất đối xứng đối với nhóm tịnh tiến, các mạng Bravais được
phân chia ra làm 14 loại. Ngoài tính đối xứng

đối với nhóm tịnh tiến, mỗi mạng Bravais còn
có tính đối xứng đối với một nhóm điểm nào
đó. Các mạng có cùng một nhóm điểm tạo
thành một hệ. Căn cứ vào tính đối xứng với
các nhóm điểm khác nhau 14 mạng Bravais
được chia làm 7 hệ, ứng với 7 loại ô sơ c
ấp
khác nhau, đó là các hệ: lập phương, tứ giác,
trực giao, trực thoi, đơn tà, tam tà, lục giác.
Mỗi hệ được đặc trưng bởi quan hệ giữa các
vectơ cơ sở
321
,, aaa
và các góc α, β, γ giữa
các vectơ đó.
1.4.1. Hệ lập phương

Hệ lập phương có a
1
= a
2
= a
3
=a ;
0
90===
γβα
. Ô sơ cấp là hình lập phương.
Hệ có trục quay bậc 4 qua tâm của các mặt đối diện, bốn trục quay bậc 3 trùng với
các đường chéo chính của hình lập phương, sáu trục quay bậc 2 qua điểm giữa của

các cạnh đối diện, sáu mặt phẳng phản xạ đi qua các cạnh đối diện, ba mặt phẳng
phản xạ chứa trục bậc và song song với các mặt của hình hộp. Hệ l
ập phương có ba
loại mạng: lập phương đơn giản, lập phương tâm khối (hay còn gọi tâm thể), lập
phương tâm mặt (hay còn gọi tâm diện).
1.4.2. Hệ tứ giác
Hệ tứ giác có a
1
= a
2
≠ a
3
;
0
90===
γβα
. Ô sơ cấp có dạng hình lăng trụ
đứng, đáy vuông. Hai phương
1
a và
2
a tương đương nhau. Phương của
3
a phân
biệt với hai phương trên và gọi là phương c . Hệ có một trục quay bậc 4 theo phương
c , bốn trục quay bậc 2 vuông góc với trục bậc 4 và 5 mặt phẳng phản xạ. Hệ tứ giác
có hai loại mạng: tứ giác đơn và tứ giác tâm khối.
1
a
γ

2
a
Hình 1.4
β

α

3
a

Hệ lập phương: a
1
= a
2
= a
3
;
0
90===
γβα

đơn
tâm kh
ối
tâm mặt
Hình 1.5
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 7

1.4.3. Hệ trực giao (còn gọi là hệ vuông góc)
Hệ trực giao có a
1
≠ a
2
≠ a
3
;
0
90===
γβα
. Ô sơ cấp có dạng hình hộp chữ
nhật. Hệ có ba trục quay bậc 2 vuông góc với nhau và ba mặt phẳng phản xạ vuông
góc với các trục quay. Hệ trực giao có 4 loại mạng: trực giao đơn, trực giao tâm khối,
trực giao tâm đáy, trực giao tâm mặt.
1.4.4. Hệ trực thoi (hay hệ tam giác)

Hệ trực thoi có có a
1
= a
2
= a
3
;
0
90,, ≠
γβα
. Hệ có một trục quay bậc 3, ba trục
bậc 2, cắt nhau dưới góc 60

0
và ba mặt phẳng phản xạ nằm giữa các trục bậc 2. Hệ
chỉ có một loại mạng là mạng đơn.
Hệ tứ giác: a
1
= a
2
≠ a
3
;
0
90===
γβα

đơ
ntâm kh
ố
i
Hình 1.6
Hệ trực giao: a
1
≠ a
2
≠ a
3
;
0
90===
γβα

đơn
tâm kh
ối
tâm mặt tâm đáy
Hình 1.7
Hệ trực thoi:a
1
= a
2
= a
3
;
0
90,, ≠
γβα

Hình 1.8
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 8
1.4.5. Hệ đơn tà
Hệ đơn tà có a
1
≠ a
2
≠ a
3
;
00
90,90 ≠==

αγβ
. Hệ có một trục quay bậc 2 và
mặt phẳng phản xạ vuông góc này. Hệ có hai loại mạng: đơn và tâm khối.
1.4.6. Hệ tam tà
Hệ tam tà có a
1
≠ a
2
≠ a
3
;
0
90,, ≠
γβα
. Hệ chỉ đối xứng với phép nghịch đảo. Hệ
chỉ có một mạng đơn.
1.4.7. Hệ lục giác

Hệ lục giác có ô sơ cấp có dạng lăng trụ đứng, đáy là
hình thoi, có góc 60
0
. Tuy nhiên, để nhấn mạnh đến tính
đối xứng của hệ lục giác, người ta thường ghép thêm vào
hai ô sơ cấp nữa, đặt lệch nhau 120
0
, để có ô dưới dạng
lăng trụ đứng, đáy lục giác, có nút mạng ở tâm hai đáy. Ô
này có a
1
= a

2
≠ a
3
(a
3
gọi là c); α = β = 90
0
; γ = 120
0
.
Hệ có một trục quay bậc 6, sáu trục quay bậc 2 cắt nhau
góc 30
0
, một mặt phẳng phản xạ vuông góc với trục bậc 6
và sáu mặt phẳng chứa trục bậc 6 và một trục bậc 2.
1.5. Sơ lược về hệ mạng tinh thể lập phương
Hệ tinh thể lập phương là một hệ tinh thể có các ô sơ cấp hình lập phương. Đây là
một trong những tinh thể đơn giản nhất và phổ biến nhất của các tinh thể kim loại.
Hệ đơn tà: a
1
≠ a
2
≠ a
3
;
00
90,90 ≠≠=
αγβ

đơn tâm đáy

Hình 1.9
Hệ tam tà: a
1
≠ a
2
≠ a
3
;
0
90,, ≠
γβα

đơn
Hình 1.10
Hình 1.11
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 9
Phổ biến nhất là lập phương tâm khối với các nguyên tố như: Na, Cr, W,……và lập
phương tâm mặt như: Cu, Al, Pb, Fe…
1.5.1. Mạng tinh thể lập phương đơn giản
Ô cơ sở (hay ô sơ cấp) hình lập phương, với cạnh là a.
Trong một ô mạng cơ sở của tinh thể lập phương đơn giản có
8 nguyên tử ở 8 đỉnh. Mỗi nguyên tử này là chung cho 8 ô
mạng cơ sở tiếp xúc nhau ở một đỉnh. Vậy trong một ô mạng
cơ sở lập phương đơn giản có 1 nguyên tử vì: n =
8
1
.8 =1.
Thể tích ô cơ sở của mạng lập phương đơn giản là :

3
av
c
=
.
1.5.2. Mạng tinh thể lập phương tâm khối
So với một ô mạng lập phương đơn giản, mỗi ô mạng cơ
sở của lập phương tâm khối có thêm một nguyên tử ở tâm
của nó. Vậy trong một ô mạng cơ sở lập phương tâm khối có
2 nguyên tử. Như vậy, n =
8
1
.8 + 1 = 2 nguyên tử. Thể tích ô
cơ sở của mạng lập phương tâm khối là :
2
3
a
v
c
= .
1.5.3. Mạng tinh thể lập phương tâm mặt
So với một ô mạng lập phương đơn giản, mỗi ô mạng cơ sở của lập phương tâm
mặt có thêm 6 nguyên tử ở 6 mặt mà mỗi nguyên tử này cho
hai mặt tiếp xúc nhau của hai ô mạng cơ sở tiếp xúc qua mặt
đó. Vậy trong một ô mạng cơ sở lập phương tâm mặt có 4
nguyên tử. Như vậy, số nguyên tử trong một ô cơ sở là n =
8
1
.8 +
2

1
.6 = 4 nguyên tử. Thể tích ô cơ sở của mạng lập
phương tâm mặt là :
4
3
a
v
c
= .
2. Mạng đảo
2.1. Khái niệm mạng đảo

Mạng đảo là một khái niệm hết sức quan trọng của vật lý chất rắn, do Josiah
Willard Gibbs (1839 – 1903) đề xuất. Sự xuất hiện của mạng đảo là một hệ quả tất
yếu của tính tuần hoàn tịnh tiến của mạng thuận (mạng tinh thể thực).
Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ cơ sở là
1
a ,
2
a ,
3
a , ta định nghĩa
mạng đảo là mạng được xây dựng từ ba vectơ
1
b ,
2
b ,
3
b , được xác định như sau:
Hình 1.12

Hình 1.13
Hình 1.14
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 10
[
]
[]
[]
[]
[]
[]
321
21
3
321
13
2
321
32
1
.2
.2
.2
aaa
aa
b
aaa
aa
b

aaa
aa
b
∧
∧
=
∧
∧
=
∧
∧
=
π
π
π
(1.1.2)
Các vectơ
1
b ,
2
b ,
3
b , là các vectơ cơ sở của mạng đảo. Vị trí các nút mạng đảo
được xác định bởi vectơ mạng đảo có dạng:
332211
bmbmbmG ++= (1.1.3)
Trong đó: m
1
, m
2

, m
3
là các số nguyên dương hoặc âm có thể bằng 0.
2.2. Tính chất của các vectơ mạng đảo
Tính chất 1:
213
132
321
,
,
,
aab
aab
aab
⊥
⊥
⊥
(1.1.4)
Tính chất 2:
ijji
ba
πδ
2= (1.1.5)
Trong đó:
ij
δ
là kí hiệu Kronecker :
ij
0
1

khi i j
khi i j
δ
≠
⎧
=
⎨
=
⎩

2.3. Các tính chất của vectơ mạng đảo
Tính chất 1: Mạng đảo cũng là một mạng Bravais.
Tính chất 2: Mạng đảo của mạng đảo của một mạng Bravais chính là mạng Bravais
đã cho.
Tinh chất 3: Mỗi một vectơ cơ sở của mạng đảo đều trực giao với một họ mặt phẳng
mạng nào đó của mạng thuận.
Tính chất 4: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng thuộc họ (hkl) được xác định theo
công thứ
c:
hkl
hkl
b
d
π
2
=
(1.1.6)
2.4. Ô cơ sở của mạng đảo

Cách thông thường để xây dựng ô cơ sở của mạng đảo là xây dựng hình hộp

không gian trên cơ sở các vectơ
1
b ,
2
b ,
3
b . Ô cơ sở Wigner – Seitz của mạng đảo
được gọi là vùng Brillouin (thứ nhất) của mạng thuận.
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 11
Có thể tính ra rằng thể tích v của ô cơ sở của mạng Bravais (mạng thuận) và thể
tích Ω của mạng đảo liên hệ với nhau theo công thức:
(
)
v
3
2
π
=Ω (1.1.7)
2.5. Ý nghĩa vật lý của mạng đảo

Khái niệm mạng đảo nảy sinh ra một cách trực tiếp từ bài toán khai triển Fourier
của một hàm tuần hoàn. Tuy vậy, ý nghĩa vật lý của khái niệm này sâu sắc và rộng
lớn hơn nhiều vì nó đại diện cho tính chất tuần hoàn của mọi loại chuyển động xảy ra
trong tinh thể tuần hoàn tịnh tiến. Có thể nói rằng khái niệm mạng đảo có các ý nghĩa
vật lý sau đây:
-
Mạng đảo là khung của không gian chuyển động.
-

Mạng đảo thể hiện tính chất: Tinh thể tuần hoàn dẫn đến chuyển động cũng
tuần hoàn.
-
Ý nghĩa thực tế: Khi nghiên cứu cấu trúc tinh thể bằng phương pháp nhiễu xạ
tia X thì bức tranh thu được chỉ là ảnh của chùm tia bị tinh thể nhiễu xạ (chứ
không phải ảnh chụp cách sắp xếp các nguyên tử trong tinh thể), bức tranh này
chính là hình ảnh mạng đảo của tinh thể và từ đó ta có thể suy ra mạng thuận
(mạng tinh thể thực).
3. Điều kiện tuần hoàn khép kín Born – Karman
Trong thực tế không có tinh thể lớn vô hạn mà chỉ có tinh thể nhiều nguyên tử
(N>>1), nếu tinh thể là hữu hạn thì các tính chất của tinh thể vô hạn, chẳng hạn tính
đối xứng không còn đúng nữa, ta phải xét điều kiện ở biên tinh thể. Trong mạng tinh
thể một chiều đó là đầu và biên của dãy nguyên tử. Tuy nhiên, nếu mạng tinh thể là
đủ lớn thì ảnh hưởng của biên là rất nhỏ, và tính chất của tinh th
ể gần như khi mạng
là vô hạn.
Để đảm bảo tính chất tuần hoàn tịnh tiến của các nút trong mạng tinh thể. Chúng
ta đưa ra điều kiện biên tuần hoàn Born – Karman như sau:
Dao động của nguyên tử cuối dãy (nút thứ N) giống hệt như nguyên tử ở đầu dãy
(nút thứ 1). Bằng cách đó, ta coi các dãy giống nhau được xếp kế tiếp nhau thành
một dãy dài vô hạn. Cũng có thể tưởng tượng là mạng mộ
t chiều có đầu và cuối nối
nhau thành một vòng kín. Giả thiết là điều kiện tuần hoàn giúp cho việc tính toán
được thuận lợi nhưng không ảnh hưởng gì đến kết quả vật lý.
Từ điều kiện tuần hoàn, ta thấy dao động thứ m và dao động thứ (m + N) là như
nhau:

(
)
taNmqi

Nmm
Aerr
ϖ
−+
+
==

()
iqNatqmai
eAe
ϖ
−
=

iNqa
m
er=

Muốn vậy: 1=
iqNa
e
Hay:
π
nqNa 2= (với
Ζ
∈
n )
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 12

Hoặc: n
L
Na
n
q
π
π
22
== (1.1.8)
Với L là chiều dài của dãy nguyên tử. Trong mạng một chiều
a
q
a
π
π
≤≤−
, vì vậy;
các giá trị nằm trong khoảng:
22
N
n
N
≤≤−
.
Các giá trị này cho ta N giá trị khác nhau của q. Như vậy, điều kiện tuần hoàn đã
đưa đến sự gián đoạn của các vectơ sóng q. Các giá trị này cách nhau
Na
π
2
. Trong

phổ ω(q) chỉ cho các giá trị của ω ứng với N giá trị của q.
II. Lý thuyết cổ điển về dao động mạng tinh thể
1. Dao động chuẩn của mạng tinh thể
Các nguyên tử trong vật rắn thực hiện dao động xung quanh vị trí cân bằng của
mình. Khi dao động thì chúng tương tác với nhau mạnh, dao động này rất phức tạp.
Việc mô tả một cách chính xác chuyển động của dao động này vô cùng khó khăn. Vì
thế, trong đề tài này tôi đã sử dụng phương pháp gần đúng và các cách đơn giản hóa
khác nhau để giải bài toán này. Thay cho việc mô tả dao động của từng hạt riêng lẻ,
ta khảo sát sự chuyển độ
ng của cả hệ trong tinh thể như là chuyển động của một hệ
được sắp xếp một cách đều đặn trong không gian. Cơ sở của việc đơn giản hóa này là
ở chỗ các lực liên kết giữa các hạt trong hệ mạnh, dao động xuất hiện ở một hạt sẽ
nhanh chóng lan truyền đến hạt bên cạnh, bằng cách đó trong tinh thể xuất hiện
chuyển động của t
ất cả các hạt trong hệ dưới dạng sóng đàn hồi. Chuyển động dao
động này của cả hệ được gọi là dao động chuẩn. Số các dao động chuẩn có thể xuất
hiện trong mạng bằng số bậc tự do của các hạt có trong tinh thể, tức là 3N (trong đó
N là số hạt có trong tinh thể).
2. Bài toán dao động mạng

Những tính chất quan trọng của vật rắn đều liên quan đến tính dao động của mạng
tinh thể. Mỗi nguyên tử ở nút mạng (có thể là ion hoặc phân tử) tương tác với những
nguyên tử khác và có một vị trí cân bằng trung bình mà nó dao động xung quanh.
Quá trình này không chỉ hạn chế ở nút mạng đó mà nhờ lực tương tác dao động được
lan truyền khắp mạng.
Đặc trưng của những sóng dao động này phụ thuộ
c vào hai yếu tố: loại lực liên
kết và cấu trúc của mạng. Yếu tố thứ nhất liên quan đến bản chất của nguyên tử trong
tinh thể và sự tương tác giữa chúng. Yếu tố thứ hai liên quan đến sự sắp xếp các
nguyên tử ở trong mạng. Thực ra hai yếu tố này không hoàn toàn tách rời nhau ra mà

có ảnh hưởng lẫn nhau. Với những tinh thể đã cho những dao động tinh thể riêng
này, hay nói cách khác phonon quyết định nhữ
ng tính chất quan trọng của chất rắn.
Trong tinh thể các nguyên tử phân tử không hoàn toàn nằm cố định tại các nút
mạng hay các vị trí xác định mà luôn luôn thực hiện dao động nhỏ quanh vị trí cân
bằng. Ta xét tinh thể gồm N ô sơ cấp có khối lượng M. Năng lượng dao động của tất
cả các nguyên tử trong mạng là:
UKE
đ
+
=
(1.2.1)
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 13
Trong đó:
∑
=
=
N
n
nđ
rMK
1
2
2
1
&
r
(1. 2. 2) là động năng của các nguyên tử dao động.

n
r
r
là độ lệch của nguyên tử khỏi nút thứ n với vectơ mạng
n
R
.

n
r
r
&
là vận tốc của nguyên tử ở nút
n
R .
Để viết ra dạng tuần hoàn thế năng thì cần phải biết trước lực tác dụng của nguyên
tử. Song có thể giải thích một cách tổng quát rằng: Tồn tại một hàm U =
U
12
(, , , )
N
ll l
rur uur
nào đó biểu thị sự phụ thuộc có tính chất tuần hoàn của thế năng tinh
thể vào tọa độ của tất cả các nguyên tử trong tinh thể, hay đúng hơn là độ dịch
chuyển tức thời của các nguyên tử này. Hàm U = U
12
( , , , )
N

ll l
r
ur uur
là thế năng của hệ
được tạo nên do tương tác đẩy và hút giữa các nguyên tử trong tinh thể. Vectơ
n
l
u
r
là
vectơ vị trí của nguyên tử thứ n:
nnn
rRl += (1.2.3)
Do đó:
(
)
NN
rRrRrRUU +++= , ,,
2211
(1.2.4)
n
r
r
là độ lệch nhỏ quanh vị trí cân bằng
n
R
, nên có thể phân tích U thành chuỗi
Taylor theo
n
r

r
. Trong hệ tọa độ Đecac, ta có:
2
333
0
11 1111
1
2
NNN
nnm
nnm
nnm
UU
UU r rr
lll
α
αβ
ααβ
ααβ
== ====
⎛⎞
⎛⎞
∂∂
=+ +
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
⎝⎠

∑∑ ∑∑∑∑
(1.2.5)
n
r
r
có hình chiếu trên các trục là r
nα
; α =1, 2, 3 ứng với x, y, z. Trong biểu thức
(1. 2. 5), U
0
= U
12
( , , , )
n
R
RR
uuruur uur
là giá trị thế năng khi mọi hạt đều ở vị trí cân bằng
(tức là nằm ở các nút mạng, và mọi r
n
= 0). Chỉ số 0 là kí hiệu các đại lượng ở vị trí
cân bằng. Ta giới hạn khai triển ở số hạng bậc 2, tức là xét phép gần đúng điều hòa.
Khi mọi nguyên tử đều nằm ở vị trí cân bằng, thế năng của hệ là cực tiểu. Do đó,
đạo hàm số hạng bậc nhất của thế năng U ở vị trí cân bằng bằng 0:
0
n
U
l
α
⎛⎞

∂
=
⎜⎟
∂
⎝⎠
. Mặt
khác, ta biết thế năng được xác định sai kém một hằng số. Nếu ta lấy gốc thế năng là
giá trị U
0
, thì có thể bỏ qua số hạng không đổi đó. Khi đó biểu thức (1. 2. 5) sẽ trở
thành:
2
33
1111
1
2
NN
nm
nm
nm
U
Urr
ll
α
β
αβ
αβ
====
⎛⎞
∂

=
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∑∑∑∑
(1.2.6)
Thế năng theo (1. 2. 6), chỉ chứa số hạng bậc hai theo độ dời, đó là số hạng điều hòa.
Biết được hàm thế năng U, có thể xác định được lực tác dụng. Thành phần β của lực
tác dụng lên nguyên tử thứ m là:
2
3
11
N
mn
n
mnm
UU
Fr
rll
β
α
α
βαβ
==
⎛⎞
∂∂
=− =−
⎜⎟
⎜⎟

∂∂∂
⎝⎠
∑∑
(1.2.7)
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 14
Lực này phụ thuộc vào độ dịch chuyển
n
r
r
của các nguyên tử khác vào các hệ số
có dạng
2
0
nm
U
ll
αβ
⎛⎞
∂
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
. Hệ số này đặc trưng cho lực tương tác giữa hai nguyên tử thứ n
và thứ m. Nó không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của từng nguyên tử mà vào khoảng
cách giữa hai hạt khi chúng cùng ở vị trí cân bằng, tức là vào
nm
R

R−
u
ur u u r
. Ta có thể viết:
()
2
0
nm
nm
U
URR
ll
αβ
αβ
⎛⎞
∂
=−
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
u
ur u u r
(1.2.8)
Biểu thức của định luật II Newton cho nguyên tử thứ m theo (1.2.7) và (1.2.8) là
các phương trình có dạng:
()
3
11
.

N
mm nmn
n
M
rF URRr
β
βαβα
α
==
==− −
∑∑
u
ur u u r
&&
(1.2.9)
Để biết được chuyển động của mọi nguyên tử, ta phải giải một hệ rất lớn (3N phương
trình) các phương trình vi phân liên hệ với nhau có dạng như phương trình (1.2.9).
2.1. Dao động của mạng một chiều, một nguyên tử
Ta xét trường hợp đơn giản nhất là trường hợp “mạng tinh thể một chiều” gồm
các nguyên tử giống nhau, đặt cách đều nhau trên một đường thẳng. Kết quả của bài
toán này cũng áp dụng được cho tinh thể ba chiều nếu ta xét trong một số trường hợp
đặc biệt, khi sóng đàn hồi thuần túy là dọc hoặc thuần túy ngang. Trong sóng dọc các
nguyên tử dịch chuyển song song với phương truyền sóng, còn trong sóng ngang các
nguyên tử d
ịch chuyển vuông góc với phương truyền sóng. Trong các trường hợp
này, các nguyên tử nằm trên cùng một mặt phẳng tinh thể vuông góc với phương
truyền sóng thì dao động giống nhau. Vì thế thay cho việc nghiên cứu dao động của
mọi nguyên tử trong tinh thể, ta chỉ cần xét trên mỗi mặt phẳng tinh thể một nguyên
tử. Bài toán này được quy về trường hợp mạng tinh thể một chiều.
Để cho đơn giản, giả thiết với dãy nguyên tử

một chiều, ta chỉ xét sóng ngang, và
coi như chỉ có tương tác giữa nguyên tử đang xét với hai nguyên tử gần nó nhất. Các
nguyên tử cách đều nhau một khoảng a nên ô mạng có kích thước là a. Ta viết lại
r
s - 2
q
Sóng ngang
r
s - 1
r
s
r
s + 1
r
s + 2
n + 1
r
n -
1
r
n + 1
r
n + 2
r
n + 3
r
n + 4
n - 1
n
n + 2 n + 4 n + 3

q

Sóng dọc
Hình 1.15
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 15
phương trình chuyển động cho nguyên tử thứ m, nhưng bỏ chỉ số α, β, vì đã giả thiết
chỉ xét dao động vuông góc với dãy nguyên tử. Khi đó, theo (1.2.9),
ta có:
()
n
N
n
mnm
rRRUFrM
∑
=
−−==
1
&&
(1.2.10)
Vì chỉ có tương tác giữa hai nguyên tử gần nguyên tử m nhất là đáng kể nên trong
tổng ở vế phải chỉ còn lại số hạng ứng với n = m, n = m + 1 và n = m – 1. Ta lại giả
thiết rằng lực tương tác là lực đàn hồi, tức là tỉ lệ với độ dời khỏi vị trí cân bằng. Ở
đây, vị trí cân bằng ứng với r
m
= r
m+1
= r

m – 1
= 0. Do đó, phương trình chuyển động
là:
(
)
(
)
11 −+
−
−
−
−
=
mmmmm
rrrrrM
α
α
&&
(1.2.11)
Hay:
(
)
11
2
−+
−
−
−
=
mmmm

rrrrM
α
&&
(1.2.12)

Nghiệm của các phương trình này là một hàm sóng mô tả sự dao động của nguyên
tử và sự lan truyền của dao động dọc theo tinh thể. Ta tìm nghiệm dưới dạng sóng:
(
)
tqRi
m
m
Aer
ω
−
= (1.2.13)
Ta chọn gốc O sao cho R
m
= a.m thì:
(
)
tqmai
m
Aer
ω
−
=
Lấy đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của r
m
ta được:

(
)
()
m
tiiqma
m
tiiqma
m
reiAer
eiAer
2
2
ωω
ω
ω
ω
−=−=
−=
−
−
&&
&

Sau đó ta thay vào phương trình (1.2.12)
và giản ước hai vế ta có:
(
)
iqaiqa
eeM
−

−−−=− 2
2
αω
(1.2.14)
Sử dụng công thức Ơle
qaiqae
iqa
sin.cos += ta thu được:
(
)
qaM cos12
2
−=
αω
(1.1.15)
Từ đó, ta tìm được biểu thức cho tần số góc của dao động:
()
2
sin4cos1
2
22
qa
M
qa
M
α
α
ω
=−=

2
sin
2
sin.2
max
qaqa
M
hay
ω
α
ω
==

(1.2.16)
Trong đó:
M
α
ω
2
max
=
Biểu thức (1.2.16) cho ta sự phụ
thuộc của tần số góc
ω
vào q
))(( q
ωω
= và được gọi là hệ thức tán
sắc của dao động, với q là độ lớn của
a

π

ω
M
α
2

a
π
−

q
O
Hình 1.16
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 16
vectơ sóng q . Vectơ này có cùng phương chiều với hướng lan truyền của sóng. Hình
1.16 biểu diễn sự phụ thuộc của
ω
theo q. Sau đây, ta sẽ khảo sát sự phụ thuộc của
)(q
ωω
=
; ω là hàm tuần hoàn của q với chu kỳ
a
π
2
. Thật vậy, nếu có : q
’

= q +
a
π
2

thì:
()
()
mm
mitqamimitamqi
m
rreeAeAer ====
−−
πωπω
22'
'
vì e
i2πm
= 1. Như vậy, vectơ
sóng
q
và
'
q mô tả cùng một trạng thái dao động của mạng tinh thể ứng với một giá
trị ω của tần số dao động; nghĩa là q và q’ tương đương nhau về tính chất vật lí. Do
tính tuần hoàn này ta chỉ cần xét ω trong khoảng
a
π
2
trên trục q. Người ta thường

chọn khoảng
a
π
2
đối xứng quanh gốc O, tức là
a
q
a
π
π
≤≤−
, khoảng này chứa mọi
giá trị khả dĩ của ω. q có thứ nguyên của nghịch đảo chiều dài, nên đó chính là đại
lượng được xét trong không gian mạng đảo. Trong trường hợp đang xét mạng thuận
có chu kì a, thì mạng đảo có chu kì
a
π
2
. Mạng đảo của mạng một chiều là mạng một
chiều.
Khoảng giá trị
a
q
a
π
π
≤≤−
trong mạng đảo gọi là vùng Brillouin thứ nhất. Nếu
xét tại một thời điểm, thì trạng thái dao động của tinh thể lặp lại một cách tuần hoàn
trong không gian, với chu kì là bước sóng λ. Dựa vào biểu thức của hàm sóng

()
tqRi
m
m
Aer
ω
−
= , ta có:
(
)
(
)
[
]
tRqitqRi
mm
AeAe
ωλω
−+−
= hay e
iqλ
= 1. Điều này chỉ xảy ra khi: q =
λ
π
2
.
2.1.1. Trường hợp q rất nhỏ (qa<<1)
Ở gần tâm vùng Brillouin thứ nhất, tức là với qa<<1, thì sin
22
qaqa

≈
.
Do đó:
qa
M
qa
M
αα
ω
==
2
2
(1.2.17)
Ta đi tính vận tốc nhóm của sóng, tức là vận tốc truyền năng lượng dao động
trong môi trường:
consta
Mdq
d
v
g
=== .
αω
(1.2.18)
Như vậy với giá trị q nhỏ, tức là dao động với bước sóng λ lớn, vận tốc truyền
năng lượng dao động là một hằng số. Kết quả này cũng giống như đối với sóng đàn
hồi truyền trong môi trường liên tục.
2.1.2. Trường hợp
a
q
π

±=

Với những giá trị q lớn, vận tốc truyền sóng không còn là hằng số. Khi đó:
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 17
2
cos.
qa
M
a
dq
d
v
g
αω
==
(1.2.19)
Ở giá trị q = q
max
=
a
π
± , vận tốc truyền sóng v
g
= 0. Như vậy, ở biên vùng
Brillouin vận tốc truyền sóng bằng 0, ứng với sự tạo thành sóng đứng.
Với q
max
=

a
π
±
, ta có λ
min
= 2a. Đó là giá trị bước sóng ngắn nhất có thể tồn tại
trong mạng tinh thể. Nó ứng với trường hợp hai nguyên tử lân cận dao động ngược
pha nhau nhưng với biên độ bằng nhau.
2.2. Dao động của mạng một chiều, hai nguyên tử

Ta xét trường hợp phức tạp hơn, là trường hợp mạng một chiều có chứa hai loại
nguyên tử khác nhau. Để cho xác định ta giả thiết, hai loại nguyên tử có khối lượng
khác nhau. Giả sử các nguyên tử có khối lượng M
1
và M
2
đặt xen kẽ nhau, cách đều
nhau một khoảng a. Ta giả thiết chỉ xét tương tác giữa hai nguyên tử cạnh nhau, và
bỏ qua tương tác xa hơn và chỉ xét sóng ngang. Như vậy, ô sơ cấp có kích thước 2a
và mỗi ô chứa hai nguyên tử.
Gọi độ lệch của các nguyên tử ở ô thứ m là r
1,m
và r
2,m
, ta có thể viết hệ phương
trình như sau:
(
)
(
)

()()
⎩
⎨
⎧
−−−−=
−−−−=
+−
−
1,1,21,1,2,22
,2,11,2,1,11
mmmmm
mmmmm
rrrrrM
rrrrrM
αα
αα
&&
&&
(1.2.20)
Ta cũng tìm nghiệm dưới dạng sóng chạy, mà biên độ sóng cho hai loại nguyên tử
A
1
và A
2
:
(
)
()
⎩
⎨

⎧
=
=
−
−
tamqi
m
tamqi
m
eAr
eAr
ω
ω
2
1,1
2
1,1
(1.2.21)
Thay (1.2.21)vào (1.2.20), sau khi giản ước ta có hệ phương trình :
(
)
()
⎩
⎨
⎧
++−=−
++−=−
−
qai
qai

eAAAM
eAAAM
2
1222
2
2
2111
2
12
12
ααω
ααω
(1.2.22)
Biến đổi hệ phương trình trên ta được:
ο
ο
ο

ο
a
a
M
1
M
2
M
2
M
1
M

2
M
1
M
2
m
-
1
m + 1
m
r
1m
Hình 1.17
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng

Khoá luận tốt nghiệp Trang 18
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
−++
=++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
0
2
1
01
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1

1
1
2
A
M
Ae
M
Ae
M
A
M
qai
qai
α
ω
α
αα
ω
(1.2.23)
Giải hệ phương trình này, ta tìm được các ẩn A
1
, A
2
và ω(q). Điều kiện để hệ
phương trình có nghiệm không tầm thường là định thức các hệ số của A
1
, A
2
phải
bằng o. Tức là:

()
()
0
2
1
1
2
2
22
2
2
11
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
−
−
M
e
M
e
MM
qai
qai
α
ω
α
αα
ω
(1.2.24)
Đây là phương trình trùng phương đối với ω:
()
02cos1
.
2
.
2
21
2
2
21
21
4

=−+
+
− qa
MMMM
MM
α
ωαω
giải phương trình này ta có hai
nghiệm:
qa
MMMMMM
2
21
2
2121
2
sin.
.
41111
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+±
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
±
ααω
(1.2.25)
* Ta xét nghiệm ω
-
:
+ Khi q = 0, ω
-
= 0
+ Khi q nhỏ, sin
2
qa ≈ q
2
a
2
. Do đó:
qa
MM
.
21
+
=

−
α
ω
(1.2.26)
Như vậy, ở gần tâm vùng Brillouin ω tỉ lệ với q (ω∼q).
+ Khi
a
q
2
π
±=
, thì sin
2
qa = 1 và khi đó:
2
2
M
α
ω
=
−
(1.2.27)
* Ta xét nghiệm
ω
+
:
+ Khi q = 0,
21
21
.

2
MM
MM
+
=
+
αω
(1.2.28)
+ Khi
a
q
2
π
±= ,
2
2
M
α
ω
=
+
(1.2.29)