siêu tâm của vành nửa đơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH


Nguyễn Thành Trung


SIÊU TÂM CỦA VÀNH NỬA ĐƠN


Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số
Mã số : 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


NGƯỜIHƯỚNGDẪNKHOAHỌC:
PGS. TS. BÙI TƯỜNG TRÍ




Thành phố Hồ Chí Minh-2010
THƯ
VIỆN
LỜI CẢM ƠN



Lờiđầutiêntrongluậnvănnàychotôibàytỏlòngbiếtơnchânthànhđến
PGS.TS.BùiTườngTrívàcácthầycôkhoaToánTrườngĐạiHọcSưPhạmđã

tậntìnhhướngdẫngiúpđỡtôitrongsuốtquátrìnhhọctậpvàlàmluậnvăncao
học.
 XinchânthànhcảmơnPhòngSauĐạiHọcTrườngĐạiHọcSưPhạmvà
BanGiámHiệuTrườngTHPTHàmThuậnBắcđãtạođiềukiệntốtnhấtđểcho
tôihoànthànhkhóahọc.
 Xinchânthànhcảmơncácbạnbè,đồngnghiêp,giađìnhđãgiúpđỡtôi
trongsuốtkhóahọc,tạođiềukiệnthuậnlợiđểtôihoànthànhtốtnhiệmvụhọc
tậpcủamình.

TP.Hồ Chí Minh 09-2010



Nguyễn Thành Trung
LỜI MỞ ĐẦU


Trongcácđịnhlývềgiaohoánđượctrìnhbàytrongchương3cuốnsáchvànhkhông
giaohoáncủaI.N.HesteincóđịnhlýKaplansky:NếuRlà vànhkhôngcónil-idealkhác
khôngvàvớimọiphầntửa

R,tồntạisốnguyênn=n(a)saocho
a
n
Z

vớiZlàtâmvành
RthìRlàvànhgiaohoán.Hersteinmuốnmởrộngkếtquảnàybằngcáchđưavàokháiniệm
siêu tâm của vành đó là tập T(R)=



a / a a, ( ,a) 1,
n n
R x x n n x x R
     
. Rõ ràng
T(R)

Z.VấnđềđặtralàvớiđiềukiệnnàocủaRthìsiêutâmtrùngvớitâm.Trongluậnvăn
này,banđầubàitoánđượcđặtravớiRlàvànhchiađượcthìsiêutâmtrùngvớitâm,tiếp
theolàvànhnủađơn.Nhưngsauđó,tôithấyrằngcóthểmởrộngralớpvànhkhôngcónil-
idealkháckhông(phầnnàyđượcđặtraởphầncuốichương3củacuốnluậnvănnày).

Luậnvănđượcchialàmbachương:
Chương1 :Kiếnthứccơbản
Chương2 :Cácđịnhlývềtínhgiaohoán
Chương3 :Siêutâmcủavànhnửađơn.

Chương 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 Module
Định nghĩa 1.1.1: NhómcộngAbelMgọilàR_modulenếucómộtánhxạMxR

M;
(m,r)

mrsaocho
1 2
a
, , ; ,

m m m M b R
   

1. m(a+b)=ma+mb
2.
1 2 1 2
a a
( )
m m m m b
  

3. (ma)b=m(ab)
NếuvànhRcóđơnvị1vàm1=m
m M
 
thìMđượcgọilàR_module
đơnnguyên.
Định nghĩa 1.1.2: R_moduleMđượcgọilàR_moduletrungthànhnếuMr=0thìr=0.Điều
nàycónghĩalànếur

0thìMr

0. 
 NếuMlàmộtR_modulethìtađặtA(M)=


| (0)
r R Mr 

KhiđóA(M)đượcgọilàlinhhóatửcủaM,đóchínhlàtậphợptấtcảcácphầntửlinhhoá

toànbộM.
Bổ đề 1.1.1: A(M)làmộtidealhaiphíacủaR.Hơnnữa,MlàmộtR/A(M)_moduletrung
thành.
Chứng minh. A(M)làmộtidealhaiphíacủaR.
o
, ( ):
x y A M
 
M(x-y)=Mx-My=0

x-y

A(M)
( ), ,
x A M r R
   
tacó:
o M(xr)=(Mx)r=(0)r=(0)

xr

A(M)
o M(rx)=(Mr)x

Mx=(0)

M(rx)=(0)

rx


A(M)
 MlàmộtR/A(M)_moduletrungthành,vớiphépnhânngoàiđượcxác
địnhnhưsau:MxR/A(M)

M;(m,r+A(M))

m(r+A(M))=mr

M.
o Địnhnghĩanàylàhợplývìnếucó
1 2
( ) ( )
r A M r A M
  
thì
1 2
( )
r r A M
 
,suyram(
1 2
r r

)=0

1 2
mr mr

.Hơnnữa,nếuM(r+A(M))=(0)thì
Mr=(0)


r

A(M)=>r+A(M)=0.DođóMlàR/A(M)_moduletrungthành.
KýhiệuE(M)làtậphợptấtcảcáctựđồngcấucủanhómcộngM.Khiđó,E(M)lập
thànhmộtvànhvớiphépcộngvàphépnhânánhxạthôngthường.Vớimỗir

R,tađịnh
nghĩa
r
T
:M

Msaochom
r
T
=mr,

m

M.DoMlàR_modulenên
r
T

E(M).
Tađịnhnghĩaánhxạ

:R

E(M)saocho


(r)=
r
T
,
r R
 
.Dễdàngkiểmtrarằng

làđồngcấuvành.Hơnnữaker

=A(M).
Bổ đề 1.1.2. R/A(M)đẳngcấuvớimộtvànhconcủaE(M)
NếuMlàR_moduletrungthànhthìA(M)=0.Khiđó

làmộtđơncấuvàtacóthể
nhúngRvàoE(M).Kýhiệu
 C(M)=


( ) / ,
r r
E M T T r R
  
   

KhiđóC(M)đượcgọilàvànhgiaohoántửcủaRtrênM.TấtnhiênC(M)làvànhcon
củaE(M).Hơnnữanếu
( )
C M



thì
,
m M r R
   
tacó
 (m

)r=(m

)
r
T
=m(

r
T
)=m(
r
T

)=(m
r
T
)

=(mr)



Suyra

khôngnhữnglàmộttựđồngcấucủaMnhưlànhómcộnggiaohoánmàcòn
làmộttựđồngcấucủaMnhưlàR_module.Ngượclạitadễdàngkiểmtrađượcbấtkỳmột
tựđồngcấuR_modulenàocũngthuộcC(M).TacóthểđịnhnghĩaC(M)nhưlàvànhcáctự
đồngcấuR_module.
Định nghĩa 1.1.3:MđượcgọilàmộtR_modulebấtkhảquynếuMR

(0)vàMkhôngcó
R_moduleconthựcsự,tứcMchỉcócácR_modulecontầmthườnglà(0)vàM.
Định lý 1.1.1(Bổ đề Schur) NếuMlàmộtR_modulebấtkhảquythìC(M)làmộtthể
M(vànhchia).
Chứng minh. Hiểnnhiên,C(M)làvànhconcủaE(M).DođóC(M)làmộtvành.Tachứng
minh
( )
C M

 
và
0


đều có phần tử khả nghịchtrong C(M). Thật vậy do
0


nên
M



(0)vàM

cũnglàmoduleconcủaM.Theogiảthiết,MlàR_modulebấtkhảquy
nênM

=M,suyra


làtoàncấu.Mặtkhác

làđơncấudoker

=0.Nếuker


0thì
ker

=M, suy ra

=0(mâu thuẫn). Vậy

 là đẳng cấu nên tồn tại tự đồng cấu ngược
1



E(M).



C(M)

,
r r
T T r R
 
  


1 1 1
, ,
r r r r
T T r R T T r R
     
  

     


1 1 1
, ( )
r
T R r R C M
  
  

   

Định nghĩa 1.1.4: Idealphải


củaRđượcgọilàchínhquynếutồntạiphầntửr

Rsaocho
x-rx


,
r R
 
.
NếuvànhRcóđơnvị1thìmọiidealđềulàidealchínhquyvìtachỉcầnchọnr=1thì
vớimọiideal

và
x R
 
thìx-1x=x-x=0


.
Bổ đề 1.1.3.NếuMlàR_modulebấtkhảquythìMđẳngcấu(nhưlàmộtmodule)với
R_modulethươngR/

trongđó

làmộtidealphảitốiđạivàchínhquynàođócủaR.
Ngượclạinếu

làmộtidealphảitốiđạivàchínhquythìR_modulethươngR/


là
R_modulebấtkhảquy.
Chứng minh. GiảsửMlàR_modulebấtkhảquy,khiđóMR

(0).Đặt
  S=


/ (0)
m M mR
 

DễdàngkiểmtrađượcSlàmoduleconcủaM.NếuS

(0)thìS=M(doMlàmodule
bấtkhảquy)suyraMR=(0)(mâuthuẫn).DođóS=(0),nên
m M
 
vàm

0thìmR

(0),
suyramR=M.
Xétánhxạ

:R

M
r


mr
Dễdàngkiểmtra

làđồngcấu.Hơnnữa,domR=Mnên

làtoàncấu.TheođịnhlýNo-
ethertacóđẳngcấuR/ker


M.Đặt

=ker

,tachứngminh

làidealphảitốiđại
chínhquycủaR.
 Hiểnnhiên

làidealphảicủaR.
 

tốiđại
Giảsửcó
'

làidealphảicủaRsaocho



'

.Khiđó
'

/


(0)làmoduleconcủa
R/

.DoR/


MlàR_modulebấtkhảquynên
'

/

=R/

,suyra
'

=R.Dođó

là
idealphảitốiđạicủaR.



chínhquy
TừđẳngthứcmR=M,suyratồntạir

Rsaochomr=m.Khiđó
x R
 
:m(x-rx)=mx-
mrx=mx-mx=0

x-rx


.
Ngượclạigiảsử

làidealphảitốiđạivàchínhquycủaR.Tasẽchứng
minhR/

làR_modulebấtkhảquy.
 (R/

)R

(0)
Do

làidealphảichínhquynêntồntạir

Rsaochox-rx



,
x R
 
.Từđósuyra
cóx

Rsaochorx


.Thậtvậy,nếu
x R
 
tađềucórx


,
x R
 


=R(mâu
thuẫn).Vậy(r+

)x

0.
 Do

làidealphảitốiđạinênR/


khôngcómoduleconthậtsự.
VậyR/

làR_modulebấtkhảquy. 
1.2 Căn Jacobson của một vành
Định nghĩa 1.2.1. CănJacobsoncủavànhR,kýhiệuJ(R)hoặcRad(R),làtậphợptấtcảcác
phầntửcủaRlinhhoáđượctấtcảcácR_modulebấtkhảquy.
 J(R)={
,
/ (0)
r R Mr
 
vớimọiMlàR_modulebấtkhảquy}
NếuRkhôngcóR_modulebấtkhảquythìtaquyướcJ(R)=R.KhiđóvànhRđược
gọilàvànhRadical.Theobổđề1.1.3tacókếtquảvànhRlàvànhRadicalnếuRkhôngcó
idealphảitốiđạichínhquy.
Nhận xét. NếuRcóđơnvị1thìRkhônglàvànhRadical.
Tacó A(M)=


/ 0
r R Mr
 

Khiđó J(R)=
 ( )
A M

(MlàR_modulebấtkhảquy) 

DoA(M)làmộtidealhaiphíacủaRnênJ(R)cũnglàmộtidealhaiphíacủaR.Mặt
khácvìtachỉxétMnhưlàR_modulephảinênJ(R)cònđượcgọilàcănJacobsonphảicủa
vànhR.tươngtựtacũngcóđịnhnghĩacănJacobsontráicủavànhR.
Cho

làmộtidealphảicủavànhR.Tađịnhnghĩa
  (

:R)=


/r R Rr

 

Xéttrườnghợp

làidealphảitốiđạichínhquycủaR.TađặtM=R/

theobổđề
1.1.3tasuyraMlàR_modulebấtkhảquy.
A(M)=






/ (0) /( / ) 0 / ( : )
r R Mr r R R r r R Rr R

  
        

Suyra(

:R)làidealhaiphíacủaR.Dễdàngkiểmtrađược(

:R)làidealhaiphía
lớnnhấtcủaRnằmtrong

.
Định lý 1.2.1.  J(R)=
( : )
R


(

làidealphảitốiđạivàchínhquy)
Tachỉcầnchứngminh(

:R)làidealhaiphíalớnnhấtcủaRnằmtrong

.
 Dễdàngkiểmtra(

:R)làidealhaiphía.

( : ) .
x R Rx

 

  
Tacórx


.Dox-rx


nênx


.Dođó(

:R)



.
 GiảsửcólàidealhaiphíacủaRsaocho
'



.Khiđó
'
x

 
thì

'
Rx
 
 

x

(

:R)nên
'


(

:R).
Bổ đề 1.2.1. Nếu

làidealphảichínhquythậtsựbấtkỳthìbaogiờcũngnhúng

vàomột
idealphảitốiđạichínhquynàođócủaR.
Định lý 1.2.2.  J(R)=



(

làidealphảitốiđạivàchínhquy)
Chứng minh.Theođịnhlý1.2.1tacó:

J(R)=
( : )
R






(

làidealphảitốiđạivàchínhquy)
Đặt

=


(

làidealphảitốiđạivàchínhquy)
KhiđóJ(R)


.Tachứngminh


J(R)
Vớimỗix



,taxéttậphợp
'

=


/
xy x y R
 
.Tachứngminh
'


R.Giảsử
'


R.Khiđó
'

làmộtidealphảichínhquycủaR.Tínhchínhquycủa
'

cóđượclàdota
chọna=-xsuyray-ax=y+xy

'

;


y

R.Theobổđề1.2.1tacó
'

đượcnhúngvàomột
idealphảitốiđạivàchínhquy
0

nàođócủaR.
Khiđóx



0


x

0


xy

0

vày+xy

0


nêny

0

.Vậy

y

R

y

0

do
đó
0

=R(mâuthuẫntínhtốiđạicủa
0

)nên
'

=R.

x


tồntạiw


R:xw+w=-xhay
x+w+xw=0.Đâylàmộttínhchấtquantrọngcủamộtphầntửthuộc

.Phầntửcótínhchất
nhưvậyđượcgọilàtựachínhquyphải.Tachứngminh


J(R)bằngphảnchứng:
Giảsử


J(R),khiđótồntạimộtmodulebấtkhảquyMkhôngbị

linhhoánghĩa
làM


(0).Suyratồntạim

M,m

0saochom


(0).Dễdàngkiểmtram

làmodule
concủaMvàdoMbấtkhảquynênm


=M.Dođótồntạit


saochomt=-m.Dot


nên
tồntạis

Rsaochot+s+ts=0.Khiđó,0=m0=m(t+s+ts)=mt+ms+mts=-m+ms-ms=-m.Suyra
m=0(mâuthuẫn).Vậy


J(R).
NhưvậychúngtađãkhảosátcấutrúccănJacobsontrêncơsởMlàR_modulephải.
TrongtrườnghợpMlàR_moduletráitacũngcókếtquảhoàntoàntươngtự.Vấnđềđặtra
làmốiquanhệgiữacănJacobsontráivàcănJacobsonphảinhưthếnào?
Định nghĩa 1.2.2. Phầntửa

Rđượcgọilàtựachínhquyphảinếutồntại
'
a

Rsaocho
a+
'
a
+a
'
a

=0.Phầntử
'
a
đượcgọilàtựanghịchđảophảicủaa.
 Tươngtự,tacũngcóđịnhnghĩaphầntửtựachínhquytráivàphầntửtựanghịchđảo
trái.
Chú ý.NếuvànhRcóđơnvị1thìphầntửa

Rlàtựachínhquyphảikhivàchỉkhiphầntử
1+acónghịchđảophảitrongR.
Chứng minh.Giảsửphầntửalàtựachínhquyphải,thìtồntạiphầntử
'
a
saocho
a+
'
a
+a
'
a
=0suyra1+a+
'
a
+a
'
a
=0

(1+a)(1+
'

a
)=1.Vậyphầntử1+acóphầntửnghịchđảo
là1+
'
a
.
Ngượclại,giảsử1+acónghịchđảophảitrongR.Dođótồntạir

Rsaocho
(1+a)r=1

r-1+ar=0.Đặt
'
a
=r-1,tasẽcóđẳngthứca+
'
a
+a
'
a
=0.Vậyalàtựachínhquy
phải.
Mệnh đề 1.2.1. IdealJ(R)làtựachínhquyphải.Nếu

làidealtựachínhquyphảicủavành
Rthì


J(R).Chứng minh.Trongphầnchứng
minhđịnhlý1.2.2tađãchỉrađượcmọiphầntửcủaJ(R)đềulàphầntửtựachínhquyphải

củaR.DođóJ(R)làidealtựachínhquyphảicủaR.
Lấy

làmộtidealtựachínhquyphảicủaR.Giảsử


J(R).Khiđótồntạimodulebất
khảquyMsaochoM


(0).Suyratồntạim

Mvàm

0saochom


(0).Dom

là
moduleconcủaMvàMbấtkhảquynênm

=M,tồntạix


,x

0saomx=-m.Do
x



và

làidealtựachínhquyphảinêntồntại
'
x

Rsaochox+
'
x
+x
'
x
=0.
Tacó:0=m0=m(x+
'
x
+x
'
x
)=mx+m
'
x
+mx
'
x
=-m+m
'
x
-m

'
x
=-m
Suyram=0(mâuthuẫn)
Từmệnhđềtrênsuyrađịnhlýsau:
Định lý 1.2.3. J(R)làidealtựachínhquyphảicủaRvànóchứatấtcảcácidealtựa
chínhquyphảicủaR.Dođó,J(R)làidealtựachínhquyphảilớnnhấtcủaR.
 TrongquátrìnhxâydựngkháiniệmcănJacobson,tachỉxétMnhưlàR_modulephải
nênJ(R)cònđượcgọilàcănJacobsonphảicủaR,kýhiệuJ
phải
(R).TươngtựnếutaxétM
nhưlàR_moduletráithìJ(R)sẽđượcgọilàcănJacobsontráicủaR,kýhiệuJ
trái
(R).Tiếp
theo,tasẽcốgắngkhẳngđịnhkếtquả
J
phải
(R)=J
trái
(R)
GiảsửavừalàphầntửtựachínhquyphảivừalàphầntửtựachínhquytráicủaR.
Gọib,clầnlượtlàphầntửtựanghịchđảophải,tựanghịchđảophảicủaa.Tacó:a+b+ab=0
=>ca+cb+cab=0vàa+c+ca=0=>ab+cb+cab=0.Suyraca=ab=>b=c.Nghĩalàmọiphầntửtự
nghịchđảophảivàtựanghịchđảotráicủacùngmộtphầntử(nếucó)thìtrùngnhau.Với
mọia

J(R),doJ(R)làidealtựachínhquyphảinêntồntại
'
a


Rsaochoa+
'
a
+a
'
a
=0.Khi
đó
'
a
=-a-a
'
a

J(R)vàtồntại

Rsaocho
'
a
+
"
a
+
'
a
"
a
=0.Tacóalàphầntửtựanghịchđảo
tráivà
"

a
làphầntửtựanghịchđảophảicủacùngphầntử
'
a
.Theonhậnxéttrêntacóa=
"
a
.
Dođóa+
'
a
+
'
a
a=0,suyraacũnglàphầntửtựachínhquytráicủaR.VậyJ(R)cũnglàideal
tựachínhquytráicủaR.
 NếutaxâydựngJ(R)bằngcáchxétMnhưlàR_moduletráithìtacũngđượckếtquả
J(R)làidealhaiphíalớnnhấttrongtấtcảcácidealtựachínhquytrái.Tómlạitađiđếnkết
quảthúvị:
J
phải
(R)=J
trái
(R)

Định nghĩa 1.2.3.
 Phầntửa

Rđượcgọilàlũylinhnếutồntạisốnguyêndươngnsaocho
a

n
=0
 Mộtideal(phải,trái,haiphía)đượcgọilànil_idealnếumọiphầntửcủanóđềulàlũy
linh.
 Mộtideal(phải,trái,haiphía)

đượcgọilàlũylinhnếutồntạisốnguyêndươngnsao
cho
1 2 1 2
a a a 0; a ,a , ,a
n n

  
.Điềunàycónghĩalà
0
n


.
Nhận xét. Nếu

làideallũylinhthì

lànil_ideal.Điềungượclạikhôngđúng.Mọi
phầntửluỹlinhđềulàphầntửtựachínhquyphảivàtựachínhquytrái.Thậtvậy,giảsử
alàphầntửlũylinhcủaR,tứctồntạisốnguyêndươngmsaocho
m
a
=0.Đặtb=-a+a
2

–
a
3
+ +(-1)
m-1
a
m-1
.  Khiđó tadễdàng kiểm tra đượca+b+ab=0 và a+b+ba=0. Suy raa
cũnglàphầntửtựachínhquyphảivàcũnglàphầntửtựachínhquytrái.Nóicáchkhác,
mọinil_idealcũnglàidealtựachínhquyphảivàcũnglàidealtựachínhquytrái.Dođó
J(R)chứamọinil_ideal.

Căn của đại số
 MộtđạisốAtrêntrườngFlàmộtkhônggianvectơtrênFsaochotrênAcómột
phépnhânvàcùngvớiphépnhânnày,Alàmộtvành.Hơnnữacấutrúckhônggian
vectơcóthểkhớpvớicấutrúcvànhtheoluật:
 k(ab)=(ka)b=a(kb);
; ,
k F a b A
   

 NếuAcóđơnvị1(đơnvịcủavànhđốivớiphépnhân)thìtừtínhkhớp(kếthợptrong
)giữahaicấutrúc(vànhvàkhônggianvectơ)tacótậphợpcácvôhướngF1sẽnằm
trongtâmcủaA.Thậtvậy,vớimọik

F,vớimọia

A,tacó:
 (k1)a=k(1a)=ka=k(a1)=a(k1)
 BấtkểAcóđơnvịhaykhông,cácánhxạ

 T
a
:A

A;x

xT
a
=xa
 L
a
:A

A;x

xL
a
=ax
làcácphépbiếnđổituyếntínhcủaAtrênF.
 ĐốivớimộtđạisốA,tađịnhnghĩacáckháiniệmideal,đồngcấu, bằngcáchgáncho
chúngthừahưởngcáccấutrúccủaA.Chẳnghạn

đượcgọilàidealcủađạisốAnếu

làidealcủavànhAvà

cũnglàkhônggianconcủakhônggianvectơAtrênF.Sử
dụngcáckháiniệmtrêntacóhoàntoànthểđịnhnghĩacăncủađạisốA.Đólàgiao
củatấtcảcácidealphảichínhquytốiđạicủađạisốA.
Mộtcâuhỏiđượcđặtramộtcáchtựnhiênlàliệucósựtươngđồnghay

khácbiệtnàogiữacăncủađạisốAvàcăncủavànhA.Nhữnglặpluậndướiđâychứng
tỏchúngtrùngnhau.Lấy

làmộtidealphảichínhquytốiđạicủavànhA.Tasẽchứng
minhrằng

cũnglàkhônggianconcủakhônggianvectơAtrênF.
GiảsửphảnchứngF



.DễdàngkiểmtraF

làidealphảicủaA.Dotínhtốiđại
của

tacóA=F

+

.Vìvậy,tacó
A
2
=(F

+

)A

(F


)A+

A


(FA)+




Do

chínhquynêntồntạia

Rsaochox-ax


,

x

A.Mà
ax

A
2


nênx



,

x

A.Suyra

=A.MâuthuẫnnàychứngtỏF



và

làkhônggianconcủakhônggianvectơAtrênF.
VậymỗiidealphảichínhquytốiđạicủavànhAcũnglàidealphải
chínhquytốiđạicủađạisốAtrênF.Dođótheođịnhlý1.2.2căncủađạisốA
trùngvớicăncủavànhA.Vậytacó:
J
đạisố
(A)=J
vành
(A)
NếutathươnghóaRbởicănJacobsoncủanóthìvànhthươngnhận
đượcsẽcócănJacobsonnhưthếnào?
Định lý 1.2.4.J(R/J(R))=(0)
Chứng minh.Đặt 
R
=R/J(R) và


là ideal phải tốiđạichính quy của R. Khi đóta có
J(R)



.Dođótheođịnhlýđồngcấu,

=

/J(R)làmộtidealphảitốiđạichínhquycủa
R
.Thậtvậy,doJ(R)



Rnêntacó
   R/


(R/J(R))/(

/J(R))
Từtínhtốiđạicủa

trongvànhRtasuyratínhtốiđạicủa

/J(R)trongvànhthương
R
.Tachứngminh


cũngchínhquytrongvành
R
.
Do

chínhquynêntồntạia

Rsaochox-ax


,

x

R.Suyratồntại
a

R
sao
cho
, .
x ax x R

   

DoJ(R)=


,với


chạykhắpcácidealphảichínhquytốiđạicủaRnêntacó
(0)



.Theođịnhlý1.2.2tacóJ(
R
)bằnggiaocủatấtcảcácidealphảichínhquytối
đạicùa
R
màgiaonàynằmtrong
(0)



nêntasuyraJ(
R
)=(0).
Tínhchấtcủa cănJacobson được trình bày trong định lý 1.2.4 ở trên làmột trong
nhữngtínhchấtđượcgọilà“radical_like””giốngnhưcăn”.Nhữngnghiêncứuvềcáctính
chấtnàycủamộtcănJacobsoncủamộtvànhtổngquátđượctiếnhànhbởiAmitsurvàKu-
rosh.Đểkếtthúcmụcnày,tasẽđưarahaiđịnhlýtrìnhbàycáctínhchấtnhưtrên.Tađịnh
nghĩasau:
Định nghĩa 1.2.4.VànhRđượcgọilànửađơnnếuJ(R)=0.
Theođịnhlý1.2.4tacóvànhthươngR/J(R)luônlàvànhnửađơnvớibấtkỳvànhR.
Định lý 1.2.5.NếuAlàmộtidealcủavànhRthìJ(A)=A
( )
J R

.Chứng

minh.Nếua

A
( )
J R

thìxema

J(R)tacóalàphầntửtựachínhquyphảicủaR.Nói
cáchkhác,tồntại

Rsaochoa+
'
a
+a
'
a
=0,suyra=-a-a
'
a

A.Dođóacũnglàphầntửtựa
chínhquyphảicủaA.Theođịnhlý1.2.3tacóA
( )
J R


J(A).
 Đểchứngminhbaohàmthứcngượclại,talấy


làideanphảichínhquytốiđạicủaR
vàđặt
A

=
A


.
NếuA


thìdotínhtốiđạicủa

taphảicóA+

=R.Dođó,theođịnhlýđồngcấu
tacó R/

=(A+

)/


A/(A


)=A/
A



Do

tốiđạitrongRnênR/

bấtkhảquyvàdođóA/
A

cũngvậy.Suyra
A

làideal
phảitốiđạitrongA.Tasẽchứngminh
A

chínhquytrongA.Do

chínhquytrong
R nên tồn tại b

R sao cho x-bx


,

x

R. Ta có b

R=A+



b=a+r với a

A,
r


.Khiđóx-bx=x-ax-rx


.Dorx


nênx-ax


.Tómlại,tồntạia

Asaocho
x-ax

A


=
A

,


x

Ahay
A

chínhquytrongA.VậytacóJ(A)

A

vớimọi

làidealphảichínhquytốiđạicủaR,

khôngchứaA.Nếu


Athìbaohàmthức
trên cũng đúng. Thật vậy,
A

=
A


=A

J(A). Do đó, J(A)

( ) ( )
A

A J R A
 
   


.
Hệ quả 1.2.1NếuRlàvànhnửađơnthìmọiidealcủaRcũnglàvànhnửađơn.
Chúng minh.GọiAlàidealcủavànhnửađơnR.Tacó:
  J(A)=J(R)

A=(0)

A=(0)
DođóAcũnglàvànhnửađơn.
Kết luận của định lý 1.2.5 sẽ không còn đúng nếu A chỉ là ideal mộtphía của R.
ChẳnghạntalấyRlàvànhmatrậnvuôngcấp2trêntrườngsốthực.VìRcóđơnvịlàma
trậnđơnvị
1 0
0 1
E
 

 
 
nênJ(R)

R.HơnnữaRkhôngcóidealhaiphíakhôngtầmthường
nêntacóJ(R)=0.Thậtvậy,giảsửAlàidealhaiphíacủaRvàA

(0).

Đặt
11 12 21 22
1 0 0 1 0 0 0 1
; ; ;
0 0 0 0 1 0 0 0
E E E E
       
   
       
       

VìA

(0)nêntồntại
11 12
21 22
a a
a
a a
 

 
 

(0)mà
a A

.Giảsử
11
0

a

,doAlàidealhai
phíacủaRnên
11
11 11
0
0 0
a
E aE A
 
 
 
 
.
Suyra
11
11
11
1
0
0
a
0 0
0 0
a
E A
 
 
 

 
 
 
 
 
 
và
21 11 12 22
E E E E A
 
.
Dođó
11 22
E E E A
  
.SuyraA=R(mâuthuẫn)hayRlàvànhđơn.Lậpluậntương
tựtathuđượckếtquảtổngquátsau:
VànhcácmatrậnvuôngcấpnlấyhệtửtrênmộttrườngFđềulàvànhđơn.Bâygiờta
xéttậphợp: 
Dễthấy

làidealphảicủaR.Talạicó
1
0
/
0 0
b
b F

 

 
 
 
 
 
 
làmộtidealphảicủa

và mọiphần tử của
1

đều lũy linh. Do đó
1

là nil_idealphải khác (0) của

 suy ra
J(

)

(0) vì ta luôncó
1


J(

).Điềuđócho thấyđịnhlý 1.2.5khôngcònđúngtrong
trườnghợpnàyvìJ(


)

(0)trongkhiđó


J(

)=


(0)=(0).
Mộttínhchất“radical_like”cơbảnkhácnữalàsựthayđổicủacănJacobsonkhita
chuyểntừvànhRsangvànhmatrậnvuôngcấpmlấyhệtửtrênvànhR.VớiRlàmộtvành,
tagọi
m
R
làvànhcácmatrậnvuôngcấpmlấyhệtửtrênvànhR.CănJacobsoncủaRsẽthay
đổinhưthếnàonếutachuyểntừvànhRsangvành
m
R
?Câutrảlờisẽcótrongđịnhlýsau:
Định lý 1.2.6 Gọi
m
R
làvànhmatrậnvuôngcấpmlấyhệtửtrongvànhRvà
( )
m
J R
làvành
matrậnvuôngcấpmlấyhệtửtrongvànhJ(R).Khiđó,taluôncóJ(

m
R
)=
( )
m
J R
.
Chúng minh.LấyMlàR_modulebấtkhảquytùyý.Đặt


( )
1 2
( , , , ) /
m
m i
M m m m m M
 

DễdàngkiểmtrađượcM
(m)
làmộtR_modulevớiphépcộnglàphépcộngtheotừngthành
phần,phépnhânngoàichẳngqualàphépnhânvàobênphảicủamộtbộtrongM
(m)
vớimột
matrậntrongR
m
.HơnthếnữaM
(m)
cònlàR_modulebấtkhảquy.Thậtvậy:
 M

m
R
m

(0),chẳnghạn

 
0 0
0r 0
, , , ( , , , ) (0,0, ,0)

00 r
r
m m m mr mr mr
 
 
 
 
 
 
 

 trongđóm

M,r

Rsaochomr

0(doMlàR_modulebấtkhảquynênMR


(0)và
dođócóm

Mvàr

Rsaochomr

0)
 LấyN

(0)làmoduleconcủaM
(m)
.Ta sẽchứngminh N=M
(m)
hayM
(m)

N. Thật
vậy,doN

(0)nêntồntại(0,0, ,0)

(m
1
,m
2
, ,m
m
)


N.Giảsửtồntạiisaochom
i

0.Do
m
i
Rlàmoduleconkhác0củamodulebấtkhả

quy

Mnênm
i
R=M.
Khiđóvớimọi(x
1
,x
2
, ,x
m
)

M
(m)
;vớimọij=1,2, ,m;tồntạir
j

Rsaochom
i
r
j

=x
j
.
Dođó
 
1 2 1 2 1 2
00 0

( , , ) ( , , , ) r r  r

00 0
m m m
x x x m m m N
 
 
 
 
 
 
 
 
 

VậyM
(m)
làR_modulebấtkhảquy.
Nếu(a
ij
)


J(R
m
)thìvớimọim
i

M;

i=1,2, ,mtaluôncó
  (m
1
,m
2
, ,m
m
)(a
ij
)=(0,0, ,0)
SuyraMa
ij
=0,vớimọi1

i,j

m.Dođóa
ij

J(R),vớimọi1

i,j


m.Điềuđócónghĩa
là(a
ij
)

J(R)
m
.VậyJ(R
m
)

J(R)
m
.
ĐểchứngminhbaohàmthứcngượclạitachứngtỏJ(R)
m
làidealphảitựachínhquy
củaR
m
vànhưthếthìtheođịnhlý1.2.3tasuyra

J(R)
m

J(R
m
).Xét
 
11 12 1
1 1

a a  a
00 0
/ a ( )

00 0
m
j
J R

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Dễdàngkiểmtrađược
1

làidealphảicủa
m
R

.Tasẽchứngminh
1


J(R
m
),hay
mọiphầntử
1

đềulàphầntửtựachínhquyphải.Xét
 
11 12 1
1
a a  a
00 0

00 0
m
X

 
 
 
 
 
 
 

Lấy 

'
11
a 0 0
00 0

00 0
Y
 
 
 

 
 
 

trongđó
'
11
a
làphầntửtựanghịchđảophảicủaa
11
,tứclàa
11
+
'
11
a
+a
11
'

11
a
=0.Đặt
W=X+Y+XYthìkhiđó
 
12 1
0a  a
00 0

00 0
m
W
 
 
 

 
 
 

SuyraW
2
=0.DođóWlàphầntử

lũylinh

WlàphầntửtựachínhquyphảicủaR
m
.
TồntạiZ


R
m
saochoW+Z+WZ=0,suyra
  X+(Y+Z+YZ)+X(Y+Z+YZ)=0
VậyXlàphầntửtựachínhquyphải,nên
1

làphầntửtựachínhquyphảicủaR
m
.
Tươngtự,tacó
 
1 2
00 0

a a  a / a ( )

00 0
i i i im ij
J R

 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

làidealtựachínhquyphảicủaR
m
.Dođó
i


J(R
m
);

i=1,2, ,m.DoJ(R
m
)làidealcủaR
m

nênJ(R
m
)làđóngvớiphépcộng.Vìvậytacó
1 2

( ),
m m
J R
  
   
hayJ(R)
m

J(R
m
).
1.3 Vành Artin
Định nghĩa 1.3.1TagọimộtvànhlàArtinphảinếumọitậphợpcácidealphảikhácrỗng
đềucóidealphảitốitiểu.Từđâyvềsau,tagọivànhArtinphảilàvànhArtin.
VềmốiquanhệgiữakháiniệmvànhArtinvàcănJacobsoncủamộtvành,chúngta
thuđượcmộtsốkếtquảsau.
Định lý 1.3.1NếuRlàvànhArtinthìJ(R)làideallũylinh.
Chứng minh. ĐặtJ=J(R).Xétdãycácidealphảilồngnhau
 
2 3

n
J J J J
    

DoRlàvànhArtinnêntồntạin>0saocho
1

n n
J J


 
.TasẽchứngminhrằngJ
n
=0.
ĐặtU=


/ (0)
n
x R xJ 
,dễdàngkiểmtrađượcUlàidealhaiphíacủaaR.Cóhaitrường
hợpcóthểxảyranhưsau:
Nếu
n
J U

thì
(0)
n n
J J 
,dođó
2
(0)
n n
J J  

Nếu
n
J U


thìtaxétvànhthương
/
R R U

vàdồngcấuchínhtắc
 
:
R R



  
n
n
J J


trongđó


/
n
n
J r U r J
  
làidealkhác0của
R
.Do
( )

n
J J R

nên
(0)
n
J


,với
mọiideal

của
R
.VìRlàvànhArtinnên
R
cũnglàvànhArtin.Dođótậphợp


{

là
cácidealkhác(0)của
R
/


n
J
}cóidealtốitiểulà


.Taxem

nhưlàmodeletrên
R
.
Vì

làtốitiểunênhoặcbấtkhảquyhoặc
(0)
n
J


.Trongcảhaitrườnghợptađềucó
(0)
n
J


,suyra
n
J U


.Dođó
2
(0)
n n n n
J J J J

  
  
nghĩalà
U


,suyra

=(0)(mâuthuẫn).Vậytrườnghợpnàykhôngxảyravàđịnhlýđượcchứngminh.
Hệ quả 1.3.1TrongmộtvànhArtin,mọinil_idealđềulàideallũylinh.
Chứng minh.NếuAlànil_idealcủavànhArtinRthìA

J(R).MặtkháctacóJ(R)lũylinh
nênAcũnglũylinh.
Định nghĩa 1.3.2.Phầntửe

R,e

0đượcgọilàlũyđẳngnếue
2
=e.
Bổ đề 1.3.1.ChoRlàvànhkhôngcóideallũylinhkhác(0).Giảsừ


(0)làidealphảitối
tiểucủaR.Khiđó

=eR,vớielàphầntửlũyđẳngnàođócủaR.
Chứng minh.Taphảicó


2

(0)vìnếu

2
=(0)thì

làideallũylinhkhác0củaRsuyra
Rcóidealhaiphíalũylinhkhác0(mâuthuẫn).Vậy

2

(0)nên

x


saochox


(0)
nhưng{x

/x


}làidealphảicủaRnằmtrong

.Dotínhtốitiểucủa


nênx

=

suy
ratồntạie


saochoxe=x

xe=xe
2


x(e-xe)=0.Gọi

o
={a


/xa=0}đâylàmộtideal
phảicủaR.Ngoàiratacó

o


(

o



vìnếu

o
=


x

=0=>

=0(mâuthuẫn)).Vì

tốitiểusuyra

o
=0.
Do e-e
2


o
 nên e-e
2
=0 hay e=e
2
 do đó phần tử e là lũy đẳng. Hơn nữa e





eR


vàeR

(0)(vì0

e=e
2

eR)nên

=eR.
Nhận xét. Trongvànhkhôngcóideallũylinhkhác0thìmọiidealphảikhác0tốitiểuđềulà
idealchínhsinhbởiphầntửlũyđẳng.
NếuidealphảicủavànhArtinchứacácphầntửlũylinhkhác0thìđócũnglàideallũy
linh.Từđócâuhỏiđượcđặtralà“Phảichăngidealphảicóchứaphầntửkhônglũylinh
trongvànhArtinthìtrongđóthếnàocũngtìmđượcphầntửlũyđẳng?”
Bổ đề 1.3.2. ChoRlàvànhtùyý,a

Rsaochoa
2
-alũylinh.Khiđóhoặcchínhalũylinh
hoặctồntạiđathứcq(x)vớihệsốnguyênsaochoe=aq(a)làphầntửlũyđẳng.
Chứng minh. Giảsử(a
2
-a)
k
=0.Khaitriểnvếtráitađượca

k
=a
k+1
p(a)trongđóp(x)làđathức
hệsốnguyên.
Vậy
2 2
a a .ap(a)=a .ap(a).ap(a)=a .[ap(a)] = =a [ap
(a)] =a [p(a)] 
k k k k k k k k


 Nếua
k
=0thìalũylinh.
 Nếua
k

0

e=
a [ (a)]
k k
p

0vàdođó
2 2
(a [ (a)] )[ (a)]
k k k
e p p e

 
suyraelũyđẳng.
Định lý 1.3.2.NếuvànhRArtinvà

làidealphảikhác0,khônglũylinhcủaRthếthì

chứaphầntửlũyđẳng.
Định lý 1.3.3.NếuRlàvànhtùyývàelàphầntửlũyđẳngthếthìJ(eRe)=eJ(R)e.
Nhận xét.Rlàvànhtùyý,nhưngeRe={exe/x

R}

RlạilàvànhconcủaRcóđơnvị.
Định lý 1.3.4.GiảsửRlàvànhkhôngcóideallũylinhkhác0,elàphầntửlũyđẳngkhác0
củaR.KhiđóeRlàidealtốitiểucủaRkhivàchỉkhieRelàmộtthể.
Định lý 1.3.5.GiảsửGlàmộtnhómhữuhạnbậc
( )
G

vàFlàtrườngcóđặcsố0hoặcđặc
sốp,p
( )
G

.ThếthìJ(F(G))=(0).
Chứng minh.TrướchếttanhắclạiđịnhnghĩađạisốnhómF(G):
ChoGlànhómhữuhạnG=


1 2 3

, , , ,
n
g g g g
;Flàmộttrườngbấtkỳ.Tagọitậphợpký
hiệuF(G)làtập hợpcácphầntử,mỗiphầntử làmộttổnghìnhthức códạng
i i
g


với
i


Fvàg
i

G.TrênF(G)tađịnhnghĩacácphéptoán:
 
( )
i i i i i i i
g g g
   
  
  

 
.
i i i i i i
g g g
  


  

Lúcđó(F(G),+)trởthànhmộtnhómAbel.HơnnữaF(G)cònlàkhônggianvectơtrên
F.F(G)đượcgọilàđạisốnhómvàdimF(G)=n=cấpcủanhómG,trongđómộtcơsởcủa
khônggianF(G)là


1 2 3
, , , ,
n
g g g g
.Bâygiờtachứngminhđịnhlý.
Nếua

F(G)tađịnhnghĩaánhxạT
a
:F(G)

F(G);x

xa=xT
a

T
a
trởthànhmộtphépbiếnđổituyếntínhkhônggianvectơcủađạisốF(G).
Xétánhxạ

:F(G)


Hom(F(G),F(G))
a

a

=T
a

Khiđó

trởthànhphépnhúngđẳngcấu.Thậtvậy,rõràng

làtoàncấu.Tachứng
minh

đơncấuhayker

=(0).
Lấya

ker

tacóT
a
=0

xa=0,

x


F,đặcbiệtlấyx=1.e=>xa=a=0=>ker

=0.Vậy

đơncấudođó

làđẳngcấu.
Vớimọiphépbiếnđổituyếntínhtabiếtrằngđềucómatrậntươngứng.Dođó,vớig
i


Gtươngứngtacó
i
g
T
,chính
i
g
T
lạicómatrậnđốivớicơsởG=


1 2 3
, , , ,
n
g e g g g

là
1 1

 g g =g 
g
i
T
i i
g 

  
2 2
 g g =g 
g
i
T
i k
g 
vớiknàođó
  ………… 
  
 g g =g 
g
i
T
n n i l
g 
vớilnàođó
 Suyra
i
g
T
matrậncókiểu

01 00
10..00

00..10
A
 
 
 

 
 
 
mỗihàngcómộtsố1,mỗicộtkhông
cóhaisố1(đểýrằngtrongGcóluậtgiảnướcnênnếu
m i n i m n
g g g g g g
  
)Vếtcủama
trậnAlàtr(A)=
11 22
a a a
nn
  
,đặtbiệt
1
g
T
=T
e
=matrậnđơnvị,nêntacótr(

1
g
T
)=cấpnhóm
G=
( )
G

.
 Nếu
1i
g g e
 
thì tr(
i
g
T
) =0 vì
i
g
T
có đường chéo chính toàn là 0.(thật vậy khi đó
2 2
i
g g g

và
3 3
i
g g g


).
 Nếux

Jvàx

0

xlũylinh(doJlũylinh)dođó
x
T
làphépbiếnđổituyếntínhlũy
linh

tr(
x
T
)=0.
Vìx

0tacóthểgiảsửx=
1 1 2 2

n n
g g g
  
  
với
1
0



.Bằngcáchnhânhaivếcho
1
1
g


tađượcx=
1 2 2

n n
g g
  
  
.
Suyra0=tr(
x
T
)=
2
1 1 2 1
( ) ( ) ( ) 0
n
g n g
trT tr T tr T G
    
    
(mâuthuẫn).
1.4. Vành nguyên thủy

Định nghĩa 1.4.1. VànhRđượcgọilàvànhnguyênthủynếunócómộtR_modulebấtkhả
quyvàtrungthành.
Nhận xét. 1. NếuRlàvànhnguyênthủythìtồntạiMlàR_modulebấtkhảquyvàtrung
thành.SuyraA(M)=


/ (0) (0)
r R Mr  
.
Xétánhxạ
: ( )
R E M




:
r
r T M M


saocho
( )
r
T m mr

,vớimọim

M.
TacóMtrungthànhkhivàchỉkhiA(M)=ker


=(0)tứclà

đơncấu,khiđóRnhúng
đẳngcấuvàotrongE(M).
2. NếuRlàvànhnguyênthủythìRcómộtR_modulebấtkhảquyvàtrungthànhM.Khi
đó A(M)=(0) và J(R)=

A(M)=(0). Suy ra R cũng là vành nửa đơn. Vậy mọi vành
nguyênthủyđềulàvànhnửađơn.
3. ChoRlàvànhtùyývàMlàR_modulebấtkhảquy.KhiđóA(M)làidealhaiphíacủa
R và MlàR/A(M)_modulebất khả quy trung thành. Dođó R/A(M)là vànhnguyên
thủy.
4. Cho Rlà vànhtùy ývà

là idealphảitối đạichínhquycủaR. KhiđóM=R/

là
R_modulebấtkhảquyvàA(M)=(

:R)làidealhaiphíalớnnhấtnằmtrong

.Suyra
Rnguyênthủykhivàchỉkhitồntạiidealphảitốiđạichínhquy

và(

:R)=(0).
Định lý 1.4.1.VànhRlàvànhnguyênthủykhivàchỉkhitồntại


làidealphảitốiđại
chínhquytrongRsaocho(

:R)=(0).TrongtrườnghợpđóRlàvànhnửađơn.Hơnnữa,
nếuvànhnguyênthủyRgiaohoánthìRlàtrường.
Chứng minh.Rnguyênthủykhivàchỉkhitồntạiidealphảitốiđạichínhquy




là
idealhaiphíatốiđại(vìRgiaohoán)

(

:R)=

(vì(

:R)làidealhaiphíalớnnhấtnằm
trong

).Do(

:R)=(0)suyra

=(0).Idealtốiđại

=(0)nênRlàmộttrường.GiảsửRlà
vànhnguyênthủyvàMlàR_modulebấtkhảquyvàtrungthành.TheobổđềSchurtacó:




( ) ( ) : ;
r r
C M E M T T r R
  
      

Làmộtthể(vànhchia)với
: ;
r r
T M M m mT mr
 

.
Định nghĩa 1.4.2(Tácđộngdàyđặc)GiảsửMlàR_modulebấtkhảquy.Đặt

=C(M),
theobổđềSchurthì

làmộtthểvàMcócấutrúckhônggianvectơtrênthể

.
VànhRđượcgọilàtácđộngdàyđặctrongM(hayRdàyđặctrongM)nếuvớimỗi
hệvectơ


1 2
, , ,

n
v v v M

độclậptuyếntínhtrên

vàbấtkỳnphầntử
1 2
, , ,
n
w w w
trong
Mthìtồntạir

Rsaocho
; 1,2, ,
i i
w v r i n
 
.
Nhận xét. 1. Ởđâykháiniệmdàyđặcđượchiểutheonghĩa:Lấytùyýhệhữuhạncácvectơ
củaMđộclậptuyếntínhtrên

vàmộthệhữuhạnbấtkỳcủaM.Baogiờcũngtồntạiphép
biếnđổituyếntínhbiếnhệđộclậpnàythànhhệkia.
2. Nếu
dim
M n


(hữuhạn)thì

( , ) .
Hom M M R


Thậtvậy:

r R
 
phépnhânbênphải
i
v
rlàphépbiếnđổituyếntínhcủa
không gian vectơ M trên thể

:
( , );
r
r T Hom M M r R

   
.Do đó

R
( , )
Hom M M


.

( , );

f Hom M M

 
giảsử
1 2
, , ,
n
e e e
làcơsởcủaM.Đồngcấuf
hoàntoànđượcxácđịnhnếubiếtcácảnh
1 2
, , ,
n
e f e f e f
.Theotínhdàyđặctồntại
r R

sao chovớimọi
1 2
, , ,
n
w w w
M

tacó
i i
e r w

và
i i

e f w

,  i=1,2, ,n.Dođór=f
suyra
( , )
Hom M M R


.
Định lý 1.4.2.(Địnhlýdàyđặc)GiảsửRlàvànhnguyênthủyvàMlàR_module
bấtkhảquytrungthành.Nếu

=C(M)thìRlàvànhdàyđặccácphépbiếnđổituyếntính
trongMtrên

.(nóitắt:RdàyđặctrênM).Chứng minh. Trướchếttacónhận
xét:ĐểchứngminhtínhdàyđặccủaRtrênMhayRdàyđặctrên
( , )
Hom M M

tachỉcần
chứngminhnếuVlàkhônggianhữuhạnchiểucủaMtrên

vàm

M,m

Vthìtồntại
r


R:Vr=(0)vàmr

0(rlinhhóatoànbộVmàkhônglinhhóam).Thậtvậynếuđiềutrên
thỏathìmrR

(0)vàmrRlàmoduleconcủaMtrênR.VìMbấtkhảquy

mrR=M.Dođó
taphảitìms

RsaochomrslàbấtkỳphầntửnàocủaM(mrschạykhắpM).
Lưu ý:Vrs=(0).Giảsử
1 2
, , ,
n
v v v

Mlàhệđộclậptuyếntínhtrên

và
1 2
, , ,
n
w w w


M
tùy ý. Gọi  
i
V

 là không gian của M trên

sinh ra bởi các
j
v
với j

i. Đặt
/
i j
V v j i
  

i i
v V

.Vìhệ
1 2
, , ,
n
v v v
độclậptuyếntínhnênvớimỗiitồntại
i
t R

sao
cho
i i i
v t w


và
(0)
i i
Vt

.Đặtt=
1 2

n
t t t R
   
thìtacó
i i
v t w

theođịnhnghĩaRdày
đặctrênM.
Đểchứngminhđịnhlýtachứngminhnhậnxéttrênbằngquynạptheosốchiềucủa
khônggianvectơVtrên

.

NếudimV=0

V=(0)
, 0 (0)
m M m V m mR
      
(vìMbấtkhảquy)
(Nếu

, 0 (0)
m M m mR
    
 thì MR=(0)(mâu thuẫn tính chất bất khả
quy)

: 0
r R mr
  
vàVr=(0).

Giảsửmệnhđềđãđúngvớicáckhônggiancósốchiềunhỏhơnhoặcbằngsốchiều
củaV.TachứngminhnhậnxétđúngvớikhônggiancósốchiềubằngsốchiềucủaV.Giảsử
V=
0
V
+


trongđódim
0
V
=dimV-1và


0
V
(



làidealchínhsinhbởi

).Theogiả
thiếtquynạpvới
A(
0
V
)=


0
/ (0)
x V V x 
thì
0
,
m V r
   

0
( )
A V
sao cho mr

0. Mặt khác, nếu
m
0
( )
A V
=(0) thì m


0
V
.Tập hợp A(
0
V
) là ideal phải của vành R và do


0
V
 nên

A(
0
V
)

(0)làmoduleconcủaM


A(
0
V
)=M(1).(Suyra
,
m M m V
  
saochotừ
đẳngthứcVr=(0)suyramr=0làkhôngxảyra.)

 Giảsửphảnchứng:
,
m M m V
  
saochotừđẳngthứcVr=(0)suyramr=0.
Xétánhxạ

:M

M
x

x

=ma
trongđóađượcxácđịnhx=

avớia

A(
0
V
)do(1).Tacó

đượcđịnhnghĩatốt.Thậtvậy,
nếux=0thì0=x=

avìvậyalinhhóacảhai
0
V

và

,dođóalinhhóatoànbộV.Theogiả
thiếtphảnchứngma=0

x=x

=ma=0.Vậy

đượcđịnhnghĩatốt.
 Rõ ràng


E(M); hơn nữa nếu x=

a với a

A(
0
V
) thì
r R
 
, ar

 A(
0
V
) và
xr=(


a)r=

(ar)nên(xr)

=m(ar)=(ma)r=(x

)r.Điềunàychứngtỏ

nằmtrong

.Dođó
ar

A(
0
V
),ma=(

a)

=(


)asuyra(m-


)a=0,

a


A(
0
V
).Theogiảthiếtquynạpm-



0
V
vìvậym

0
V
+


=V(mâuthuẫn).
Định lý 1.4.3.GiảsửRlàvànhnguyênthủy,khiđóvớimộtthể

nàođóhoặclàvànhR
đẳngcắuvớivành
n

(vànhmatrậnvuôngcấpntrênthể

),hoặclàvớimọisốtựnhiênm,
tồntạivànhcon
m
S

củaRánhxạđồngcấuvào
m

.
Chứng minh.GiảsửRlàvànhdàyđặccácphépbiếnđổituyếntínhcủakhônggianvectơV
trênthể

.NếuVhữuhạntrên

thìRdàyđặctrênV,nghĩalàRđẳngcấuvớivànhcác
phépbiếnđổi

tuyếntínhtrênkhônggianV,chínhlà
n

vớin=
dim .
V


 NếukhônggianVtrên

làvôhạnchiềuthìvớimọisốtựnhiênmtồntạicácphần
tửphụthuộctuyếntínhtrên

:
1 2
, , ,
m
v v v V


.
Giả sử
1 2

m m
V v v v
      
 và


/
m m m
S x M V x V
  
. Định lý dày đặc khẳng định
rằng lúc đó
m
S
 dày đặc không gian các phép biến đổi

-tuyến tính
m
V
. Nếu ký hiệu


/ (0)
m m m
W x S V x  

thìtacóđẳngcấu

/ ( , )
m m m m m
S W Hom V V

  

Mộtứngdụngquantrọngđãđượcchứngminhdựavàođịnhlýdàyđặcnhưsau:(như
làmộtminhhọađẹpvềứngdụngcủađịnhlýdàyđặc).
Định lý 1.4.4.(ĐịnhlýWedderburn-Artin)GiảsửRlàvànhArtinđơnthìkhiđóRđẳngcấu
với
n
D
,trongđó
n
D
làtậphợpcácmatrậnvuôngcấpnlấyhệtửtrênthểD.Hơnnữa,nlà
duynhấtvàDsaikhácmộtphépđẳngcấu.Ngượclại,nếuDlàmộtthểtùyýthì
n
D
là
vànhArtinđơn.
Chứng minh.TrướchếttalưuýrằngmộtvànhvừađơnvừaArtinthìnólàvànhnửađơn.
Thậtvậy,giảsửRlàvànhđơnvàArtin.NếuJ(R)

(0)thìJ(R)=R(đểýrằngvànhđơnlà
vànhkhôngcóidealthựcsựnàovà
2
R


(0)).MặckhácRArtinnênJ(R)lũylinhsuyraR
lũylinh.
Nhưng
2
R R




(0),
n
R R n
  
nênRkhônglũylinh(mâuthuẫn).VậyJ(R)=(0)
nênRnửađơn. TachúngtỏrằngRnửađơnthìRlàvànhnguyênthủy,nghĩalàtồntạiM
làmoduletrungthànhbấtkhảquyM.Thậtvậy,MlàmôđunbấtkhảquycủaR,tậpA(M)là
ideal hai phía của R và A(M)

R suy ra A(M)=(0) do đó M module trung thành nên R
nguyênthủy.
TheođịnhlýdàyđặcRdàyđặctrong
( , )
Hom M M

;R

( , )
Hom M M


trongthể

=C(M)
tachứngminhrằngR

( , )
Hom M M

.Điềuđóxảyrakhi
dim M

 
.Giảsửcómộtdãy
vôhạncácvectơđộclậptuyếntính
1 2
, , ,
n
v v v
, trongM.Taxâydựngmộtdãygiảmcác
idealphảinhưsau:
Đặt


/ 0, 1,2, ,
n i
x R v x i n

   
={x


R/xlinhhóacác
1 2
, , ,
n
v v v
}
Tacó
1 2

n
  
   
Hơnnữachúngkhácnhau,chẳnghạntachứngminhđượcrằng
1 2
 

.Thậtvậy,vì
1 2
,
v v
độclậptuyếntínhnênvớihệgồmhaivectơ0và
2
v
,theotínhdày
đặctồntạir

Rsaocho
1
0
v r


và
2 2
v r v

suyrar

1

(vìnólinhhóa
1
v
).Nhưngr

2

vìnó
khônglinhhóa
2
v
.Vậy
1 2
 

,tađượcdãyvôhạnthậtsự
1 2

n
  
   

.Dotính
Artin dãy này phải dừng(Mâu thuẫn). Vậy
dim
M

 hữu hạn suy R đẳng cấu với
( , )
Hom M M

.
1.5 Vành đơn - Vành nguyên tố
Định nghĩa 1.5.1. VànhRđượcgọilàvànhđơnnếu
2
R

(0)vàtrongRkhôngcóidealthực
sựnàongoài(0)vàR.
Định nghĩa 1.5.2.1 VànhRđượcgọilàvànhnguyêntốnếuvớimọia,b

Rthìtừđẳngthúc
aRb=0suyraa=0hoặcb=0.
Nhận xét.1.VànhRlàvànhnguyêntốnếuvàchỉnếunóthỏamãnmộttrongcácđiềukiện
sau:
 (a)Linhhóatửbênphảicủamộtidealphảikhác(0)củaRphàibằng(0).
 (b)Linhhóatửbêntráicủamộtidealtráikhác(0)củaRphảibằng(0).
 (c)NếuA,BlàhaiidealcủaRvàAB=(0)thìsuyraA=(0)hoặcB=(0).
2.NếuRlàvànhđơncóđơnvịthìRlàvànhnửađơn.Thậtvậy,vìRlàvànhđơnvàcóđơn
vịnênJ(R)

RnênJ(R)=(0).SuyraRlàvànhnửađơn.3.NếuRlàvànhArtinđơn

thìRlàvànhnửađơn.Thậtvậy,giảsửRlàvànhArtinđơn.KhiđóJ(R)lũylinh.Mặtkhác
doRđơnnên
2
(0)
R 
mà
2
R
làidealhaiphíacủaRnên
2
R
=R

(0)suyra
(0);
n
R R n
  

suyraRkhônglũylinh.DođóJ(R)

RmàJ(R)làidealhaiphíacủaRnênJ(R)=(0).Suyra
Rlàvànhnửađơn.
4.Mọivànhnguyênthủyđềulàvànhnguyêntố.Thậtvậy,giảsửRlàvànhnguyênthủy,khi
đótồntạiMlàR_moduletrungthànhbấtkhảquy.GiảsửtacóaRb=(0).Tachứngminha=0
hoặcb=0.Thậtvậy,giảsửa

0,khiđóaRlàidealphảichínhsinhbởia.Cóhaikhảnăng
xảyra:
(a)aR


(0).Đặt

=aR

(0).KhiđóM

làmoduleconcủaMvàdoMlàmodulebất
khảquynênM

=(0)hoặcM

=M.HơnnữaMlàmoduletrungthànhnênnếutacó
M

=(0) thì

=(0)(mâu thuẫn). Do đó M

=M, ta có:
 Mb=(M

)b=M(

b)=M(aRb)=M(0)=(0)
SuyrablinhhóatoànbộMmàMlàmoduletrungthànhnênb=0.
 (b) aR=(0).ĐặtJ=


/ (0)

r R rR 
. Dễ thấy a

R vàa

0 nênJlà ideal củaR và
J

(0).HơnnữatacóJb=(0)(vìb

R).DoMJlàmoduleconcủamodulebấtkhảquyMnên
MJ=(0)thìJ=(0)(mâuthuẫn).DođóMJ=M,khiđóMb=(MJ)b=M(Jb)=(0).Suyrablinhhóa
toànbộMmàMlàmoduletrungthànhnênb=0.












Chương 2
CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH GIAO HOÁN

ChúngtahãybắtđầuvớiđịnhlýWedderburnnổitiếngsau:
Định lý 2.1.(Wedderburn)Mọithểhữuhạnlàmộttrường.

Đểchứngminhđịnhlýtachứngminhbổđềsau:
Bổ đề 2.1. GiảsửDlàmộtthểcóđặcsốp

0vàZlàtâmcủathểD.Giảthiếtrằnga

D,
a

1,a

Zvà
a
n
p
=a,vớisốtựnhiênn

1nàođó.Thếthìtồntạix

Dsaocho
1
ax
x

=
a a
i

,
vớisốnguyêninàođó.
Chứng minh.Xétánhxạ

:
D D



  
x x xa ax

 


DođặcsốcủathểDbằngp

0nêntasuyra
a a
p p p
x x x

 
suyra
a a , 0
k k k
p p p
x x x k

   
.Giả
sửPlàtrườngconđơntrongZ,vìphầntửalàphầntửđạisốtrênPnêntrườngP(a)cũng
hữuhạnvàcó
m

p
phầntử.Khiđó,
m
p
a a

,dođó
a a
m m m
p p p
x x x

  
a ax=x , x D,
x

  

nghĩalà
m
p
 

.Nếu
(a)
P


thì
( ) ( )a a( ) ( a a ) ( )

x x x x x x
      
    
vìrằnghai
phầntửavà

làgiaohoáncủanhau.Bằngcáchkýhiệuánhxạ

I:
;
D D x x



tasuy
ra

Ivà

giaohoánđượcvớinhau
(a)
P

 
.Đathức
m
p
t t

cóthểphântíchtrênP(a)

thànhnhữngnhântửtuyếntính
m
p
t t

=
(a)
( )
P
t





nhưngdotínhgiaohoáncủa

Ivà


tasuyrarằng0=
m
p
 

=
( )
( )
P A
I


 



.
 Vìa

Znên


0.Giảsửklàsốbénhấtsaochotồntại
1 2
, , , (a)
k
P
  

thỏa
1
( ) ( ) 0
k
I I
    
  
.Theogiảthuyếtsốknhưthếtồntại,hơnnữak

1vì



0.Do
1 2
, , , (a)
k
P
  

thìtồntạiphầntửr

Dnàođósaocho
1 1
( ) ( ) 0
k
r I I
     

   

nhưng
( ) 0
k
I
  
 
nghĩalà
a-a =
k
   
.Do
0



nêntacó
1
a a (a)
k
P
  

  
,hơn
nữa
1
a a
 


do
0
k


.
 TrườngP(a)làhữuhạnvìvậynhómnhâncủanólàxyclicvàdođóbấtkỳhaiphầntử
khác0củaP(a)mànếucóchungmộtbậc(đốivớiphépnhân)thìphầntửnàylàlũythừacủa