dạy học mô hình hóa hàm số thông qua bài toán tính diện tích trong môi trường tích hợp mềm cabri ii

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
__________________________

Nguyễn Thị Hồng Cúc





DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA HÀM SỐ THÔNG QUA BÀI TOÁN
TÍNH DIỆN TÍCH TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP MỀM
CABRI II






Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp giảng dạy Toán
Mã số: 60 14 10



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH

Thành Phố Hồ Chí Minh - 2010
THƯ
VIỆN
LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Chí Thành,
người đã tận tình chỉ dẫn, động viên tôi, giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn
thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái
Bảo Thiên Trung, PGS. TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp
những thắc mắc giúp chúng tôi có thể tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên ngành nghiên cứu rất thú vị
- Didactic Toán.
Tôi xin chân thành cảm ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học, ban chủ nhiệm và giảng
viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP TPHCM đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học.
- Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT Long Phú – Vĩnh Long đã tạo
điều kiện cho tôi trong suốt thời gian theo học cao học ở trường ĐHSP, đồng thời đã nhiệt tình hỗ
trợ tôi tiến hành thực nghiệm 1 và thực nghiệm 2.
- Ths Dương Hữu Tòng, là giảng viên trường ĐH Cần Thơ và cũng là học viên khóa trước, đã
động viên và chia sẻ cho tôi rất nhiều kinh nghiệm quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẻ cùng tôi những buồn vui và khó
khăn trong quá trình học tập.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình, những
người luôn là chỗ dựa vững chắc nhất cho tôi về mọi mặt.

NGUYỄN THỊ HỒNG CÚC
MỞ ĐẦU

1. CÁC GHI NHẬN BAN ĐẦU VÀ CÂU HỎI XUẤT PHÁT.

Hàm số là khái niệm quan trọng trong toán học hiện đại và trong nội dung dạy học toán phổ
thông ở Việt Nam. Hàm số qua các chương trình cải cách giáo dục được đưa vào giảng dạy cho học
sinh ở lớp 7, 9, 10, 11, 12. Cụ thể, lớp 9 học sinh học về hàm số bậc nhất và hàm số bậc 2 dạng y =
ax
2
(a

0), lớp 10 học sinh được ôn lại các hàm số đã học ở lớp 9, hàm số dạng y = ax
2
+ bx + c
(a

0) .Lớp 11, đưa vào học hàm số lượng giác. Lớp 12 học sinh được học về hàm số lũy thừa, mũ,
logarit, bậc 3, trùng phương, nhất biến, bậc 2 trên bậc nhất. Đặc biệt, ở lớp 12, nội dung này được
đưa vào giảng dạy với thời lượng khoảng 50% so với cả chương trình giải tích 12.
Mặt khác, nội dung khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trở thành câu hỏi không thể thiếu trong tất
cả các đề thi tốt nghiệp phổ thông và đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Liên quan với nội dung
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là câu hỏi về cực trị của hàm số. Người ta nhận thấy học sinh gặp khá
nhiều khó khăn khi bắt đầu vào học nội dung này.
Để học sinh phát triển được tính tư duy sáng tạo và một tiết dạy tập trung vào hoạt động của
học sinh, SGK cải cách 2006 đòi hỏi phải đổi mới PPDH.
Theo TS. Nguyễn Chí Thành, Đại học Giáo dục, ĐHQG Hà Nội “Hiện nay ứng dụng công nghệ
thông tin và truyền thông trong dạy học là điều tất yếu khi nói đến đổi mới phương pháp dạy học,
đặc biệt trong dạy học môn Toán…. Ứng dụng của công nghệ thông tin vào DH môn Toán cũng
không có nghĩa là chỉ sử dụng các công nghệ phần mềm DH để trình diễn, minh hoạ các kết quả
tính toán hay mô phỏng mà còn cần phải xây dựng các tình huống dạy học để tạo ra các môi trường
có tích hợp các CNTT nhằm giúp hs xây dựng vào khám phá các kiến thức mới”.
Tuy nhiên, SGK chưa có các hoạt động với phần mềm DH. Trong thực tế giảng dạy ở nhiều
trường phổ thông, các phần mềm DH bước đầu được nhiều GV quan tâm sử dụng như Cabri,
Geospace,… Song “việc sử dụng chỉ dừng ở mức độ minh hoạ tính chất và mô phỏng chuyển động

của hình trong các bài giảng điện tử của môn hình học”. Vấn đề chưa được ứng dụng trong toán
giải tích.
Trong các phần mềm, Cabri II Plus lôi cuốn chúng tôi nhiều nhất bởi nó có một giao diện
thân thiện với các biểu tượng, câu lệnh dễ nhớ. Cabri II Plus là một vi thế giới đã được việt hoá, có
tính tương tác cao, có thể tạo ra hình vẽ trực quan, và những hình ảnh này dễ dàng thay đổi vị trí
bằng các thao tác “rê” chuột. Điều này đặt ra câu hỏi về vai trò của phần mềm dạy học Cabri II Plus
trong thể chế DH Việt Nam.
Các bài toán thực tế xuất hiện ngày càng nhiều trong dạy học toán, vật lý, hóa học và sinh
học
.
Trong dạy học ở trung học phổ thông, khi nó nhờ đến một sự hình thức hóa toán học để hỗ trợ
nghiên cứu các bài toán thực tế, sự hình thức hóa này được điều khiển qua các mô hình toán học
sinh ra các hiện tượng dạy học mà công việc hiện tại của chúng tôi đang cố gắng làm rõ.
Trong việc mô hình hoá hàm số, có nhiều bài toán thể hiện chúng như: bài toán tính diện
tích, bài toán chuyển động, bài toán tính thể tích,…Trong các bài toán này, bài toán tính diện tích là
bài toán được nhắc lại rất nhiều lần cho HS qua các bài tập từ cấp tiểu học đến THPT. Mặt khác, bài
toán diện tích xuất hiện thường xuyên trong các nội dung dạy học hàm số và việc giải các bài toán
này bị rút gọn lại theo một quy trình: chọn biến (thường đã cho sẵn), tính công thức, khảo sát hàm
số (thường là hàm đa thức), kết luận. Vì thế, chúng tôi chọn nghiên cứu dạy học bài toán này trong
dạy học nội dung hàm số.
Từ những ghi nhận ban đầu trên đưa chúng tôi đến với những câu hỏi xuất phát sau:
Q
1
: Hàm số và bài toán diện tích được trình bày như thế nào trong chương trình Đại số và Giải tích
từ 2006 ở Việt Nam?
Q
2
: Trong chương trình Toán PT, SGK 2006 có những tình huống và dạng bài tập nào về mô hình
hoá hàm số?
Q

3
: Cách trình bày bài toán mô hình hóa của SGK đã ảnh hưởng như thế nào đến người học?
Q
4
: Có thể vận dụng phần mềm II Plus Cabri, để xây dựng nội dung dạy học trong các bài toán liên
quan đến mô hình hoá khái niệm hàm số như tính diện tích hay không?
2. PHẠM VI LÝ THUYẾT THAM CHIẾU:
Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi vận dụng lý thuyết
didactique Toán. Cụ thể, đó là một số khái niệm công cụ của lý thuyết nhân học, lý thuyết tình
huống và hợp đồng didactique.
Tại sao lại là “lý thuyết nhân học”? Bởi vì hai trong bốn câu hỏi của chúng tôi đều liên quan
đến khái niệm cơ bản của lý thuyết này: quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế với một đối tượng tri
thức, tổ chức toán học.
Hai câu hỏi xuất phát còn lại có liên quan đến các khái niệm trong lý thuyết tình huống.
Ngoài ra, chúng tôi có nghiên cứu thêm lý thuyết về dạy học mô hình hóa để trả lời cho các
câu hỏi có liên quan đến mô hình hóa.
Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thoả đáng của sự lựa
chọn phạm vi lý thuyết của mình.
Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức:
Một đối tượng một cái gì đó tồn tại, ít nhất đối với một cá nhân. Quan hệ cá nhân của một cá
nhân X đối với một đối tượng tri thức O, kí hiệu là R(X, O), là tập hợp những tác động qua lại mà X
có đối với O. R(X, O) cho biết X nghĩ gì về O.X hiểu O như thế nào, thao tác O ra sao.
Đối tượng O trong nghiên cứu của chúng tôi là “hàm số và bài toán diện tích”
Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức:
Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại lơ lững ở đâu đó mà luôn phải ở trong ít nhất một
thể chế. Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặt trong thể chế I nào
đó mà có sự tồn tại của X.
Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, kí hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp
các ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O.
Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng

buộc của R(I, O).
Với những định nghĩa trên thì trả lời câu hỏi Q
1
, Q
2
chính là làm rõ quan hệ của các thể chế
mà chúng tôi quan tâm và mối quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng O.
Thể chế dạy học mà chúng tôi quan tâm là thể chế dạy học theo chương trình được tiến hành
đại trà từ năm học 2006 – 2007.
Vậy làm thế nào để làm rõ mối quan hệ R(I, O), R(X,O)?
Theo Bosch và Chevallard.Y(1999), nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O sẽ làm
sáng tỏ mối quan hệ R(I, O).Ngoài ra, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho
phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của chủ thể X tồn tại trong O.
Trong luận văn này việc xác định các tổ chức toán học gắn liền với đối tượng O, liên quan
đến hàm số và bài toán diện tích, sẽ cho phép chúng tôi:
- Vạch rõ các mối quan hệ của thể chế R(I,O).
- Xác định mối quan hệ cá nhân học sinh duy trì với O trong thể chế I.
Vậy, “ một tổ chức toán học” là gì?
2.3. Tổ chức toán học:
Hoạt động toán học là một bộ phận của họat động xã hội. Do đó cũng cần thiết xây dựng
một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế. Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard
(1998) đã đưa vào khái niệm Praxeologie.
Theo Chevallard, mỗi Praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần:[T,

,

,

], trong đó:T là một
kiểu nhiệm vụ,


là kỹ thuật cho phép giải quyết T,

là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ,

là lí
thuyết giải thích cho , nghĩa là công nghệ của công nghệ .
Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức
toán học (organisation mathématique).
. Sự mô hình hoá:
Trong didactic toán, người ta có nói đến dạy học mô hình hoá và dạy học bằng mô hình hoá.
Điều này là một trong những mối quan tâm của chúng tôi khi nghiên cứu chương trình, sách giáo
khoa và thực hành giảng dạy của giáo viên.
Chính vì vậy, trước tiên chúng tôi sẽ trình bày ở đây một cách ngắn gọn về quá trình mô hình
hoá để sử dụng công cụ toán học vào giải quyết một vấn đề của thực tiễn hay của các khoa học khác
và sau đó là vấn đề dạy học mô hình hoá và bằng mô hình hoá.
Mô hình là một đối tượng cụ thể nào đó dùng thay thế cho một nguyên bản tương xứng để
có thể giải quyết một nhiệm vụ nhất định trên cơ sở sự đồng dạng về cấu trúc và chức năng.
Mô hình toán học là một mô hình biểu diễn toán học của những mặt chủ yếu của một
nguyên bản theo một nhiệm vụ nào đó, trong phạm vi giới hạn, với một độ chính xác vừa đủ và
trong dạng thích hợp cho sử dụng. Cụ thể hơn, mô hình toán học là các công thức để tính toán các
quá trình hoá học, vật lý, sinh học,… được mô phỏng từ hệ thống thực.
(Theo
Quá trình mô hình hoá toán học được minh hoạ bằng sơ đồ sau:

Phạm vi ngoài toán học
Hệ thống, tình huống cần
giải quyết (bài toán có nội
dung thực tiễn)
Câu trả lời cho bài toán có
nội dung thực tiễn
Bài toán phỏng thực
tế (BTPTT)
Câu trả lời
choBTPTT
Bài toán toán học
(BTTH)
Câu trả lời
choBTTH
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Giải
Sự
chuyển
đổi
phạm
vi và
hệ
thống

biểu
đạt
Sự
chuyển
đổi
phạm
vi và
hệ
thống
biểu
đạt
Phạm vi toán học
Tham khảo sơ đồ - quy trình mô hình hoá một hệ ngoài toán học, Coulange (1997)
Bước (1): tiến hành mô tả các vấn đề bản chất của một hệ thống, tình huống cần giải quyết (bài toán
có nội dung thực tiễn) để đưa vào một bài toán phỏng thực tiễn (BTPTT) bằng cách:
Loại bỏ những chi tiết không quan trọng làm cho bài toán có nội dung thực tiễn trở nên dễ
hiểu và dễ nắm bắt hơn. Từ đó, xác định các yếu tố, khía cạnh cốt lõi của hệ thống. Rút ra những
mối liên hệ, điều kiện, ràng buộc liên quan đến các yếu tố cốt lõi của hệ thống.
Bước (2): Chuyển từ một BTPTT thành bài toán toán học (BTTH) bằng cách sử dụng hệ thống biểu
đạt, công cụ toán học. Như vậy, mô hình hóa toán học là trừu tượng hóa dưới dạng ngôn ngữ toán
học của hiện tượng thực tế, cần phải được xây dựng sao cho việc phân tích nó cho phép ta hiểu được
bản chất của hiện tượng. Mô hình toán học thiết lập các mối liên hệ giữa các biến số và các tham số
điều khiển hiện tượng.
Như vậy, sau hai bước đầu ta đã phát biểu được bài toán cần giải.
Bước (3): Tìm và áp dụng các công cụ toán học để giải BTTH.
Bước (4): Nhìn lại các thao tác đã làm ở bước (2) để chuyển ngược lại từ câu trả lời của bài toán
toán học sang câu trả lời cho BTPTT.
Trong bước này cần phải xác lập mức độ phù hợp với mô hình lí thuyết với vấn đề thực tế mà
nó mô tả. Để thực hiện bước này, có thể làm thực nghiệm hoặc áp dụng phương pháp phân tích
chuyên gia.

Ở đây có 2 khả năng :
Khả năng 1. Các kết quả tính phù hợp với thực tế. Khi đó có thể áp dụng nó vào việc giải quyết vấn
đề thực tế đặt ra.
Khả năng 2. Các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế. Trong trường hợp này cần phải xem
xét các nguyên nhân của nó. Nguyên nhân đầu tiên có thể do các
kết quả tính toán trong bước 3 là chưa có đủ độ chính xác cần thiết. khi đó cần phải xem lại các thực
tế cũng như các chương trình tính toán trong bước này. Một nguyên nhân khác rất có thể là do mô
hình xây dựng chưa phản ánh được đầy đủ hiện tượng thực tế. Nếu vậy, cần phải rà soát lại bước 1,
trong việc xây dựng mô hình định tính có yếu tố hoặc quy luật nào bỏ xót không ? Cuối cùng, cần
phải xem xét hoặc xây dựng lại mô hính toán học ở bước 2.
Bước (5): Phân tích kết quả thu được từ BTPTT, nhìn lại những gì đã làm ở bước (1) để chuyển từ
câu trả của BTPTT sang câu trả lời cho bài toán có nội dung thực tiễn.
Như vậy, quá trình mô hình hoá toán học đã khai thác việc sử dụng mô hình toán học kết hợp
với sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt. Điều đó đã tạo nên thế mạnh của quá trình mô hình
hoá toán học: giải quyết được nhiều vấn đề phức tạp, đa dạng trong nhiều phạm vi ngoài toán học.
Vấn đề dạy học mô hình hoá và bằng mô hình hóa đã được tác giả Lê Văn Tiến trình bày
trong giáo trình “Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông” (2005). Dạy học mô hình
hoá là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu
hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn. Từ đó, một quy trình dạy học tương ứng có thể là: dạy học tri thức
toán học lý thuyết → vận dụng các tri thức này vào việc giải các bài toán thực tiễn và do đó vào
việc xây dựng mô hình của thực tiễn. Tuy nhiên, quy trình này làm mất đi vai trò động cơ của các
bài toán thực tiễn và do đó làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học: tri thức toán
học không còn nảy sinh từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tiễn. Quan niệm “dạy học bằng mô
hình hoá” cho phép khắc phục khiếm khuyết này. Theo quan niệm này, vấn đề là dạy học toán
thông qua dạy học mô hình hoá. Như vậy, tri thức toán học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình
giải quyết các bài toán thực tiễn. Quy trình dạy học tương ứng có thể là: Bài toán thực tiễn → Xây
dựng mô hình toán học → Câu trả lời cho bài toán thực tiễn → Tri thức cần giảng dạy → Vận dụng
tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn.
3. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU:
Từ những ghi nhận ban đầu như trên kết hợp với khung lý thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày

lại những câu hỏi nghiên cứu mà việc trả lời chúng là mục tiêu của đề tài này:
Q
1
: Hàm số và bài toán diện tích được trình bày như thế nào trong các thể chế I1, I2(I1: Đại số 10
nâng cao(2006), I2: Giải tích 12 nâng cao(2008)). Các tổ chức toán học nào liên quan đến hàm số và
bài toán tính diện tích trong các thể chế này?
Q
2
: Đối với thể chế dạy học I1, I2 có những tình huống và dạng bài tập nào về mô hình hoá hàm
số?
Q
3
: Cách trình bày bài toán mô hình hóa của I1, I2 đã ảnh hưởng như thế nào đến người học?
Q
4
: Vai trò của phần mềm Cabri với việc dạy học mô hình hoá hàm số trong ra sao? Có những
kiểu nhiệm vụ nào với Cabri trong việc dạy học mô hình hoá hàm số?
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Phân tích chương trình và sách giáo khoa, sách giáo viên Đại số 10, Giải tích 12, tài liệu
hướng dẫn giảng dạy trong chương trình được thực hiện từ năm 2006.
- Mục đích:
+ Biết được cách trình bày các vấn đề về hàm số, bài toán cực trị, đặc biệt là bài toán tính diện
tích của chương trình (CT).
+ Làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng hàm số, đồng thời rút ra giả thuyết nghiên cứu.
+ Tiến hành thực nghiệm kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra.
+ Xây dựng thực nghiệm trên môi trường giấy bút truyền thống và trên phần mềm Cabri, để
biết được tác động từ môi trường trong việc dạy học mô hình hoá hàm số.
5. TỔ CHỨC CỦA LUẬN VĂN
 Phần mở đầu
 Chương I: Quan hệ thể chế với khái niệm hàm số và bài toán diện tích.

Nghiên cứu chương I nhằm trả lời cho các câu hỏi Q
1
, Q
2
, Q
3
. Muốn thế, chúng tôi tiến
hành phân tích CT , sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Đại số 10, Giải tích 12, tài liệu
hướng dẫn giảng dạy trong chương trình được thực hiện từ năm 2006. Chúng tôi cố gắng chỉ rõ các
tổ chức toán học liên quan. Từ những nghiên cứu trên chúng tôi xác định được mối quan hệ của
từng thể chế với đối tượng hàm số và bài toán diện tích, đồng thời rút ra giả thuyết nghiên cứu.
Chương II: Thực nghiệm thứ nhất .
+ Được tiến hành trong môi trường giấy bút truyền thống với học sinh.
Chương III: Thực nghiệm thứ hai .
+ Được tiến hành trong môi trường tích hợp của phần mềm Cabri II Plus với học sinh.
 Kết luận.
Tóm tắt những kết quả đạt được ở chương I, II, III và đề xuất một số hướng nghiên cứu có thể
mở ra từ luận văn này.







Chương I: QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM HÀM SỐ VÀ
BÀI TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH
Mở đầu:
Nghiên cứu chương này nhằm trả lời cho các câu hỏi Q
1

, Q
2
, Q
3
. Chúng tôi tiến hành phân
tích CT, sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Đại số 10, Giải tích 12, tài liệu hướng dẫn
giảng dạy trong chương trình được thực hiện từ năm 2006. Chúng tôi cố gắng chỉ rõ các tổ chức
toán học liên quan. Từ những nghiên cứu trên chúng tôi xác định được mối quan hệ của từng thể chế
với đối tượng hàm số và bài toán diện tích, đồng thời rút ra giả thuyết nghiên cứu của đề tài.
Năm học 2006 – 2007, toàn bộ khối 10 các trường phổ thông trong cả nước thực hiện chương
trình mới: chương trình phân ban. Chương trình toán 10 phân thành hai chương trình: chương trình
nâng cao – chương trình cơ bản. Đến năm học 2007 – 2008, toàn bộ khối 11 tiếp tục thực hiện
chương trình phân ban với sự phân chia ban giống như khối 10. Sau đó, đến năm học 2008 – 2009 là
thực hiện chương trình phân ban tương tự cho khối 12.
Trong Đại số-Giải tích, người ta sử dụng “đường cong - đồ thị hàm số” như một công cụ hữu
hiệu để nghiên cứu hàm số. Luận văn này chỉ tập trung nghiên cứu các vấn đề về hàm số, đồ thị kết
hợp với dạy học mô hình hoá hàm số thông qua bài toán tính diện tích. Chúng được trình bày chủ
yếu trong các SGK Đại số 10, Giải tích 12.
Chúng tôi chọn phân tích bộ SGK lớp 10, lớp 12 theo chương trình nâng cao, theo chủ đề
hàm số và bài toán diện tích. Tài liệu phân tích:
+ Sách giáo khoa Đại số 10, nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan
(chủ biên), 2006, NXBGD.
+ Sách giáo viên Đại số 10, nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ
biên), 2006, NXBGD.
+ Sách bài tập Đại số 10, nâng cao, Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), 2006, NXBGD.
+ Giải tích 12, nâng cao, Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), 2008,
NXBGD.
+ Sách giáo viên Giải tích 12, nâng cao, Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan
(chủ biên), 2008, NXBGD.
+ Sách bài tập Giải tích 12, nâng cao, Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), 2008, NXBGD.

1.1 Phân tích chương trình (CT) THPT từ năm 2006
1.1.1 CT Đại số 10 nâng cao (10NC)
“Hàm số và đồ thị hàm số” được trình bày ở chương 2, chương “Hàm số bậc nhất và bậc
hai”.Nội dung của chương gồm 3 bài, với 3 tiết luyện tập, được thực hiện trong 11 tiết, phân phối cụ
thể như sau:
1. Đại cương về hàm số (3tiết). Luyện tập (1 tiết).
2. Hàm số bậc nhất (1tiết). Luyện tập (1 tiết).
3. Hàm số bậc hai (2tiết). Luyện tập (1 tiết). Ôn chương (2 tiết).
« Trong chủ đề này, điểm cần nhấn mạnh là yêu cầu về kĩ năng đọc đồ thị, nghĩa là khi cho đồ thị của một hàm
số, hs phải lập được bảng biến thiên của hàm số đó và nêu được những tính chất đơn giản của nó. » (GV, tr.4)
“ Việc khảo sát hàm số, học sinh sẽ được học đầy đủ hơn ở lớp 12, sau khi đã được trang bị thêm công cụ đạo
hàm. Do đó, ở lớp 10, đối với hàm số cho bằng biểu thức( không quá phức tạp), chỉ yêu cầu học sinh biết tìm
tập xác định, xét tính chẵn – lẻ, và xét sự biến thiên bằng cách dùng tỉ số biến thiên đối với một vài hàm số cho
bằng biểu thức đơn giản trên một khoảng cụ thể cho trước.” (Tài liệu bồi dưỡng GV thực hiện CT, SGK toán 10
tr.198)
Khi cho hàm số bằng đồ thị, học sinh cần :
« - Biết cách tìm giá trị của hàm số tại một điểm cho trước thuộc tập xác định và ngược lại, tìm giá trị của x để
hàm số nhận một giá trị cho trước (nói chung là giá trị gần đúng, tuy nhiên, nếu kết hợp với các phương pháp khác thì
có thể tìm được giá trị chính xác)
- Nhận biết được sự biến thiên và biết lập bảng biến thiên của một hàm số thông qua đồ thị của nó
- Bước đầu nhận biết một vài tính chất của hàm số như : giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số (nếu có), dấu
của hàm số tại một điểm hoặc trên một khoảng
- Nhận biết được tính chẵn-lẻ của hàm số qua đồ thị » [SGV tr.69]
Các kiến thức về đồ thị hàm số y=ax
2
đã biết ở các lớp dưới vẫn được kế thừa. Đối với các
hàm số khác, việc vẽ đồ thị của nó chủ yếu dựa vào những đồ thị đã biết và một số phép biến đổi đồ
thị (phép tịnh tiến đồ thị). Sau đó từ đồ thị suy ra một số tính chất của các hàm số này. SGV tr.71
còn viết:
“Do tính phức tạp của vấn đề, SGK chỉ trình bày sơ lược và rất trực giác để hs hiểu thế nào là tịnh tiến một

đồ thị. Sau đó cho HS thừa nhận kết quả tổng quát về mối quan hệ giữa các hàm số mà đồ thị của hàm số này thu được
bằng cách tịnh tiến đồ thị của hàm số kia. Đây là sự chuẩn bị cho bài học sau, nhất là bài học về hàm số bậc hai”
.

Điều này cho thấy việc đưa vào “phép tịnh tiến đồ thị” nhằm mục đích phục vụ cho yêu cầu “vẽ đồ
thị” (một trong những yêu cầu chính của chương) và việc nghiên cứu hàm số bậc hai y=ax
2
+bx+c và
đồ thị của nó.
Để rèn luyện kĩ năng “đọc đồ thị”, ta thấy SGK luôn trình bày, song song tính chất của hàm số
và tính chất của đồ thị tương ứng. Cụ thể:
“Để hs nắm vững khái niệm hàm số, GV cần nhấn mạnh yêu cầu về tính duy nhất của số thực y ứng với mỗi giá
trị của x thuộc tập xác định. Điều đó được thể hiện qua đồ thị như sau: Nếu x
o
thuộc tập xác định thì đường thẳng song
song với trục tung và đ qua điểm (x
o
;0) bao giờ cũng cắt đồ thị của hàm số tại một điểm duy nhất (nếu x
o
không thuộc
tập xác định thì đường thẳng này không cắt đồ thị). Những hình không có tính chất, chẳng hạn đường tròn hay đường
thẳng song song với trục tung không thể là đồ thị của một hàm số nào cả ” [SGV tr.72]
Tính chất “ứng với mỗi x, luôn có duy nhất một giá trị y” của hàm số y=f(x) được đặt tương
ứng với tính chất của đồ thị “cắt các đường thẳng cùng phương với Oy tại không quá một điểm”
Qua phần trình bày trên ta nhận thấy:
- Yêu cầu “đọc đồ thị” được đặc biệt đề cao. Muốn “đọc đồ thị” thì hoặc là đề bài cho sẵn đồ
thị, hoặc là HS phải vẽ được đồ thị, do đó, vẽ đồ thị cũng đóng vai trò quan trọng. Từ đồ thị hàm số,
suy ra được sự biến thiên, lập được bảng biến thiên của hàm số và nêu được một số tính chất khác
của hàm số.
- Vấn đề tịnh tiến đồ thị chỉ là phương tiện hỗ trợ để HS hiểu tại sao có được đồ thị như vậy.

Do đó, đồ thị hàm số ở lớp 10 không có ý nghĩa minh họa tính chất hàm số, mà chỉ sử dụng để xác
định tính chất của hàm số. Ngoài ra, ở CT lớp 10: chưa đủ công cụ để vẽ đồ thị, HS vẽ đồ thị và
nhìn nhận một cách trực quan.
“Bài toán diện tích” được đề cập rất ít đến trong chương này, ngoại trừ có một bài toán trong bài
tập ôn chương có dùng đến hình vẽ là diện tích S để xác định biểu thức hàm số S(x).
“Bài toán diện tích”, còn được chương trình ĐS10NC đề cập đến trong chương IV: “Bất đẳng thức
và bất phương trình”. Cụ thể, chúng được đề cập trong bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng
thức của chương với mục tiêu:

“- Nắm vững bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai (ba) số không âm.
- Biết cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức chứa biến” (SGV ĐS10 NC
tr.153)
1.1.2 CT Giải tích 12 nâng cao (12NC)

Vấn đề liên quan đến “hàm số và đồ thị hàm số” được trình bày ở chươngI, chương: “Ứng
dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số”. Chương này gồm 8 bài, được
dự kiến phân phối dạy trong 23 tiết, cụ thể như sau:
1.Tính đơn điệu của hàm số ( 3 tiết)
2. Cực trị của hàm số (2 tiết)
3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( 3 tiết)
4. Đồ thị hàm số và phép tịnh tiến hệ trục toạ độ (1 tiết)
5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (3 tiết)
6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị một số hàm đa thức (3 tiết)
7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị một số hàm phân thức hữu tỉ(3 tiết)
8. Một số bài toán thường gặp về đồ thị (3 tiết). Ôn chương (2tiết).
Trong chương trình có một số bài tập mà nội dung mang tính thực tế. Chúng giúp cho HS
thấy được những ứng dụng của đạo hàm để giải một số bài toán thực tế. Khi giải một số bài tập
thuộc loại này, ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập
hợp số nguyên dương.
Nội dung của chương là một số ứng dụng quan trọng của lý thuyết giới hạn và đạo hàm trong

chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao.

“Trong giảng dạy, GV nên hướng dẫn HS lập bảng biến thiên hàm số, giúp các em hiểu ý nghĩa của của bảng
biến thiên và sử dụng nó để xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số”.
(SGV GT12NC tr.20)
Tính đơn điệu của hàm số được xác định nhờ vào dấu của đạo hàm. Mang tính chất kế thừa,
tính đơn điệu của hàm số được suy ra từ tính chất đơn điệu của hàm số ở chương trình Đại số 10
nâng cao. Ngoài ra, tính đơn điệu của hàm số trong chương trình không chỉ được xét trên một
khoảng mà cả trên đoạn và trên nửa khoảng.
Định nghĩa cực trị của hàm số được đưa vào trực tiếp mà không xuất phát từ bất kỳ một động
cơ nào. Sau đó giới thiệu hai quy tắc tìm cực trị mà sách giáo viên nêu yêu cầu như sau:
“kỹ năng: rèn
luyện cho HS vận dụng thành thạo 2 quy tắc để tìm cực trị của hàm số.” (SGV GT12NC tr.30)
Ứng dụng tính đơn điệu và cực trị hàm số, vấn đề này được chương trình tiếp tục mở rộng khai
thác là tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, đây là nội dung có nhiều bài toán mang
tính thực tế.
Chủ đề “hàm số và vẽ đồ thị hàm số” được thể hiện ở các bước khảo sát hàm số và vẽ đồ thị
của các hàm số đó. Dựa vào đạo hàm, các tính chất của hàm số (sự biến thiên, cực trị, GTLN –
GTNN, …) đã được xác định rất rõ, từ đó đồ thị hàm số được vẽ ra như một mô hình minh họa các
tính chất của hàm số.
Mặt khác, SGV Giải tích 12 NC tr.64 lưu ý như sau:
“ Việc tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực của hàm số được thực hiện ngay từ đầu khi khảo sát sự biến
thiên của hàm số. Nhờ đó, sau khi xét dấu đạo hàm, có thể lập ngay được bảng biến thiên của hàm số.
HS dễ dàng đọc được một số tính chất của hàm số như tính đơn điệu, cực trị, GTLN – GTNN , … trên bảng biến
thiên đó.”
Ngoài ra, sau mỗi đồ thị hàm số SGK yêu cầu đưa ra nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.
Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi xin phân tích một số nội dung thường gặp liên
quan đến hàm số và nội dung bài toán tính diện tích. Chúng tôi lựa chọn phân tích các nội dung xuất
hiện trong bài 1, bài 3, bài 6, bài 7, bài 8.
Qua phần trình bày về CT Giải tích 12NC chúng tôi nhận thấy:

Đồ thị hàm số ở lớp 12 có ý nghĩa minh họa tính chất hàm số và cũng “có thể” sử dụng để xác
định được một số tính chất của hàm số. Chẳng hạn như: tính chẵn, lẻ (nếu có), tính đơn điệu, cực trị,
GTLN – GTNN trên đoạn, Ở đây, chúng tôi sử dụng từ “có thể” vì vấn đề dựa vào đồ thị xác định
được một số tính chất của hàm số là thể chế không mong đợi, đó chỉ là ý kiến cá nhân chúng tôi.
Lớp 12: đủ công cụ để vẽ đồ thị nhờ vào đạo hàm để khảo sát sự biến thiên, tìm cực trị hàm số,
….
Vậy, vấn đề dạy học mô hình hoá có được thể chế I1, I2 quan tâm đến hay không?
Trước hết, chúng tôi xin đưa ra nhận xét như sau: Trong thể chế I1, có rất ít bài toán mang
tính thực tế. Do đó, dạy học mô hình hóa hàm số chưa được thể chế I1 quan tâm. Nhưng, ở CT Giải
tích 12 có sự xuất hiện nhiều bài toán thực tế nên sự mô hình hoá toán học thông qua các bài toán
thực tế này được thể hiện rõ trong các hoạt động và bài tập. Trong chương trình GT12, bài toán thực
tế liên quan đến bài toán tính diện tích có 8 bài tập xuất hiện, khá nhiều so với chương trình ĐS10.
Chúng tôi sẽ phân tích rõ hơn trong phần phân tích sách giáo khoa.
1.2. Phân tích Sách giáo khoa (SGK) THPT từ năm 2006
1.2.1 Đại số 10 nâng cao (10NC)
Chương II: Hàm số bậc nhất và bậc hai
Bài 1: Đại cương về hàm số
Vì yêu cầu chính của chương này là “đọc đồ thị” nên trong bài này, ta thấy luôn có sự trình bày
song song các tính chất của hàm số và tính chất tương ứng của đồ thị. Hơn nữa, “phép tịnh tiến đồ
thị” cũng hỗ trợ cho việc giải thích các kỹ thuật vẽ một số đồ thị hàm số quy định trong chương
trình và giúp giải thích, tìm ra một số tính chất của đồ thị hàm số.
Luận văn Thạc sĩ “ Hàm số và đường cong trong day học toán ở trường phổ thông” của tác giả
Bùi Thị Ngát (2008), Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, rất gần với vấn đề mà chúng tôi
nghiên cứu trong phần này. Tác giả đã đề cập đến các tổ chức toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ:
T
doc
: Đọc đồ thị (xét sự biến thiên, tính chẵn lẻ của hàm số, xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất….
của hàm số bằng đồ thị) ; T
cm
1

: chứng minh tính chất của đồ thị hàm số dựa vào công thức hàm số ;
T
vt-ct
: Tìm hàm số có đồ thị (G’), trong đó (G’) có được khi tịnh tiến đồ thị (G) của một hàm số đã
cho bởi một phép tịnh tiến song song với trục tọa độ đã cho.
Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy trong phần bài tập có bài tập số 2 mang tính chất thực tế như
sau :

Từ bài tập này, xuất hiện kiểu nhiệm vụ: T
bttt
: Bài toán thực tế, với kỹ thuật giải quyết như sau :
+ Nhìn vào bảng xác định tập xác định.
+ Ứng với một giá trị của năm, ta có một giá trị sản lượng trên mỗi cột.
Bài 2: Hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0), vấn đề mà HS được học khá đầy đủ ở lớp dưới.
Trong bài 2 này không thấy xuất hiện kiểu nhiệm vụ T
bttt
.
Bài 3: Hàm số bậc hai
Kiểu nhiệm vụ kiểu nhiệm vụ T
ve
(2)
: Vẽ đồ thị hàm số y=ax
2
+bx+c này. Từ đồ thị hàm số, lập
được bảng biến thiên, sau đó xác định các tính chất của hàm số.
Từ đồ thị hàm số y= ax
2
+bx+c, SGK lập bảng biến thiên cho hàm số này, sau đó có 1 vd như
sau :

Vd tr.57, SGK :
Áp dụng kết quả trên, hãy cho biết sự biến thiên của hàm số y=-x
2
+4x-3. Vẽ đồ thị của hàm số đó
Giải
Ta tính được
2; 1
2 4
b
a a

   

Vậy đồ thị hàm số y==-x
2
+4x-3 là parabol có đỉnh I(2;1), nhận đường thẳng x=2 làm trục đối xứng và hướng bề
lõm xuống dưới[…]
Chưa vẽ đồ thị, nhưng SGK vẫn kết luận được đồ thị hàm số trên là một parabol, do vận dụng
kết quả đã tìm được trong phần lý thuyết.
Ngoài ra, trong bài 3 này, phần bài tập SGK có đưa ra 4 bài toán thực tế: bài toán bóng đá, Bài
toán về cổng Ac-xơ(Arch), bài toán tàu vũ trụ và một bài toán phát biểu bằng ngôn ngữ hình học
(nằm trong bài tập ôn chương). Đây là những bài toán mang tính chất thực tế. Muốn giải chúng,
chúng ta đưa vào quy trình dạy học mô hình hoá toán học.
Chúng tôi xin nêu bốn bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T
bttt
, mà SGK ĐS10NC đưa ra như sau:
“
Bài 37 trang 60 SGK ĐS10 NC

Bài toán bóng đá: Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của
quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng giây), kể từ
khi quả bóng được đá lên; h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao 1,2m.
Sau đó 1 giây, nó đạt đến độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6m.
a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng
trong tình huống trên.
b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng (tính chính xác đến hàng phần nghìn).
c) Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên(tính chính xác đến hàng phần trăm).
Bài 38 trang 61SGK ĐS10 NC
Bài toán về cổng Ac – xơ (Arch):
Khi du lịch đến thành phố Xanh Lu – i (Mĩ)ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống
dưới, đó là cổng Ac – xơ. Giả sử ta lập một hệ toạ độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như hình 2.22 (x và y
tính bằng mét), chân kia của cổng có vị trí (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có toạ độ là (10; 43).
a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol nói trên.
b) Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). (
Hình vẽ 2.22)


Từ những vấn đề được nêu ra trong bài 37, 38, 45, 46 chúng tôi có thêm kiểu nhịêm vụ :
T
bttt
: bài toán thực tế
(bài toán hình học cũng được xét vào kiểu nhiệm vụ này)

: xác định hai kiểu nhiệm vụ
con:
 Kiểu nhiệm vụ T
btkdt
: bài toán thực tế không liên quan đến tính diện tích.
(bài 37, 38, 46)
Kỹ thuật
τ
btkdt
:
Tìm mối quan hệ giữa tung độ(biến phụ thuộc) và hoành độ(biến độc lập). Từ đó, suy ra biểu
thức hàm số.
Sử dụng các tính chất của hàm số tìm tung độ đỉnh và độ cao.
Công nghệ

btkdt
:Tính chất của hàm số và tính chất tương ứng của đồ thị hàm số.
 Kiểu nhiệm vụ T
btdt
: bài toán thực tế liên quan đến tính diện tích. (bài tập 45)
Kỹ thuật
τ
btdt
:
Dựa vào công thức tính diện tích của hình chữ nhật, tìm mối quan hệ giữa vị trí điểm
M và diện tích hình chữ nhật tương ứng với vị trí điểm M đó.
Công nghệ

btdt
: Công thức tính diện tích hình chữ nhật, tính chất hàm số trên từng khoảng,

đoạn.
Bảng 1.1: Thống kê các kiểu nhiệm vụ:
(Trích : Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hàm số và đồ thị CT Toán 10, luận văn thạc
sĩ, tác giả: Bùi Thị Ngát (2008), ĐHSP TP.HCM

Kiểu nhiệm vụ

SGK
SBT Tổng cộng

Vd- hđ Bt
Hàm số

quitac
hs
T

1 1 2
T
hs
tinh
3 2 5
T
hs
TXD

3 3 6
T
hs
bthien

3 3
T
hs
chanle
2 2 4
Quan
hệ
giữa
hàm
số v
à
đ
ồ thị
Hàm số
đồ thị

2
ve
T

2 3 8 13
T
lt
1 1
T
ct-đt
2 1 3
T
cm
1

1 1 2
Đồ thị
hàm số
T
bpt
1 2 2 5
T
đt-ct
3 1 4












Quan sát bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy:
Liên quan đến mối liên hệ giữa hàm số và đồ thị hàm số có những kiểu nhiệm vụ T
ve
2
; T
vt-ct
;
T

doc
; T
bpt
chiếm số lượng nhiều trong các bài tập được nêu trong SGK, SBT. Điều này cho chúng ta
thấy 2 loại nhiệm vụ trọng tâm trọng chương trình ĐS 10 là vẽ đồ thị hàm số bậc hai (dựa vào công
thức hàm số) và tìm các tính chất của hàm số dựa vào đồ thị. Ba kiểu nhiệm vụ T
vt-ct
; T
doc
; T
bpt
cũng
được giải quyết chủ yếu dựa vào đồ thị
Ngoài ra, chúng tôi thống kê thêm kiểu nhiệm vụ có liên quan đến bài toán thực tế.
Bảng 1.2
Kiểu nhiệm
vụ
Bài 1 Bài 2 Bài 3 Ôn chương
Tổng
cộng
SGK

SBT

SGK SBT SGK SBT SGK SBT
T
bttt
T
btdt
0 0 0 0 0 0 1 0 1

T
btkdt
1 0 1 1 2 0 1 0 6
Liên quan đến “hàm số và bài toán tính diện tích” trong I1, Chương IV: “Bất đẳng thức và
bất phương trình”, bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức, có xuất hiện kiểu nhiệm vụ:
T
bttt
: Bài toán thực tế . Bài toán cụ thể SGK tr.112 như sau:
“Một khách hàng đến một của hàng bán hoa quả mua 2kg cam đã yêu cầu cân hai lần. Lần đầu, người bán hàng đặt
quả cân 1kg lên đĩa cân bên phải và đặt cam lên đĩa cân bên trái cho đến khi cân thăng bằng và lần sau, đặt quả cân
1kg lên đĩa cân bên trái và đặt cam lên đĩa cân bên phải cho đến khi cân thăng bằng. Nếu cái cân đĩa đó không chính
xác (do hai cánh tay đòn dài, ngắn khác nhau) nhưng quả cân là đúng 1kg thì khách hàng có mua được đúng 2kg cam
hay không? Vì sao?”

Bài tập trong SBT tr.105:
“4.22. Cho một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 80 cm x 50 cm. Hãy cắt đi ở bốn góc vuông những hình vuông
bằng nhau để khi gập lại theo mép cắt thì được một cái hộp (không nắp) có thể tích lớn nhất”


T
đoc
6 2 8
T
nhandang
2 1 3
Công thức
vị trí tương
ứng của hai
đường cong
T

ct-vt

3 1 4
Vị trí tương
ứng của hai
đường cong
công thức
T
vt-ct
6 5 11
T
gđ
1 1 2
Tổng cộng 76
“4.25. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O có bán kính R (R>0). Trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy hai
điểm A và B sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó.
Hãy xác định tọa độ của A và B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.”
Trong 3 bài này có bài 4.22, khi giải thường HS chọn biến, thể tích là một biểu thức chứa
biến. Do đó, khi giải bài toán dạng này HS phải đưa vào quá trình mô hình hóa toán học.
Đối với kiểu nhiệm vụ T
bttt
, chương I trong SGK và SBT ĐS10NC, có 7 bài toán phỏng thực tế
liên quan đến hàm số. Chương 4, có 3 bài toán thực tế, trong đó có 1 bài khi giải cần lập biểu thức
của hàm số. Tất cả các bài toán thực tế của hai chương, chúng có chung đặc điểm như sau: Dữ liệu
bài toán vừa đủ, không thừa, không thiếu. Trong các bài toán này, vấn đề chọn biến để tìm ra được
công thức của hàm số thì đề bài đã chọn sẵn, HS không có nhiệm vụ chọn biến. Ngoài ra, mỗi bài
toán điều có hình vẽ minh họa trong hệ trục tọa độ vuông góc.
Từ đó cho thấy, năm bước của quá trình mô hình hoá có được thể chế quan tâm. Nhưng thực tế cho
thấy nó bị xem nhẹ và không là mục tiêu nhắm đến của chương, chúng chỉ mang nặng tính hình
thức. Tham chiếu với năm bước của quá trình mô hình hoá 1 bài toán thực phỏng thực tế, ta thấy:

Bước 1: Những bài toán thực tế được đưa ra chỉ là những bài toán toán học hoặc phỏng
thực tế nên bước 1 không có điều kiện xuất hiện.
Bước 2: Việc chuyển từ bài toán phỏng thực tế sang bài toán toán học (hàm số bậc hai) chỉ
mang tính hình thức.
Bước 3: Việc giải bài toán toán học được chú trọng đến cả chi tiết tiến trình giải lẫn kết quả.
Trong khi chỉ cần kết quả đúng để cung cấp cho bài toán phỏng thực tế.
Bước 4: Khâu chuyển từ kết quả của bài toán toán học sang bài toán phỏng thực tế thường
chỉ mang tính hình thức: kết quả đa phần là trùng nhau. Bài toán phỏng thực tế bao giờ cũng có
nghiệm.
Bước 5: Không có điều kiện xuất hiện.
Tiểu kết
- Về định nghĩa khái niệm hàm số trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, chúng mang tính
chất nhắc lại ở lớp dưới và bổ sung thêm về khái niệm này.
- Cung cấp kỹ thuật vẽ một số đồ thị hàm số trong chương trình: hàm số cho bởi nhiều biểu
thức, hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, hàm số y=ax
2
+bx+c.
- Phép tịnh tiến đồ thị cho phép giải thích một số tính chất của của đồ thị hàm số: như tên gọi,
đỉnh, trục đối xứng của đồ thị hàm số y=ax
2
+bx+c, điều kiện để 2 đường thẳng song song, trùng
nhau, cắt nhau…
- Trong chương này, từ hàm số ta suy ra một số tính chất của đồ thị hàm số như sau: tính chất
của đồ thị hàm số chẵn, lẻ, tính chất của đồ thị chứa giá trị tuyệt đối (nằm trên trục hoành). Mặt
khác, từ đồ thị hàm số ta có thể nhận biết các tính chất của hàm số: chẳng hạn nhận biết được sự
biến thiên và lập được bảng biến thiên, giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số (nếu có), dấu của
hàm số tại một điểm hoặc trên một khoảng, nhận biết được tính chẵn lẻ.
Với tư tưởng từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng; đồ thị được xem là phương tiện
chủ yếu để khảo sát hàm số trong chương trình Đại số 10.
Qua các tổ chức toán học đã được triển khai, liên quan đến bài toán thực tế là kiểu nhiệm vụ

T
bttt
, chúng tôi nhận thấy thể chế I1 không chú trọng khai thác việc dạy học mô hình hoá hàm số.
Đặc biệt, dạy học mô hình hoá hàm số thông qua bài toán diện tích chỉ có 1 bài tập xuất hiện trong
thể chế I1.
Tuy nhiên, những vấn đề chưa thực sự được thể chế I1 quan tâm ở đây, không thể nói là sự
thiếu sót vì lớp 12( thể chế I2) mới là lớp mà HS sẽ đủ công cụ để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị của hàm số. Có thể, vấn đề dạy học mô hình hoá hàm số thông qua bài toán diện tích sẽ thể hiện
một cách rõ ràng.
1.2.3 Phân tích SGK12 nâng cao (12nc)
Như đã nêu trong phân tích chương trình, chúng tôi lựa chọn phân tích các nội dung xuất hiện
trong bài 1, bài 3, bài 6, bài 7, bài 8. Vì, chúng có liên quan mật thiết với đề tài mà chúng tôi đang
nghiên cứu.
BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
SGK giải tích 12 NC trang 4 – 5 có nêu:

“ Trong bài này ta sẽ ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu (tức là tính đồng biến, nghịch biến ) của hàm số.
Trước tiên ta nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến trong sách giáo khoa đại số10 nâng
cao.[…]
Từ đó, người ta chứng minh được điều kiện sau đây:
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f’(x) ≥ 0, với mọi x  I.
b) Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f’(x) ≤ 0, với mọi x  I.
Đảo lại, có thể chứng minh được:
Định lý:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I
a) Nếu f’(x) > 0, x  I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I.
b) Nếu f’(x) < 0, x  I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I.
c) Nếu f’(x) = 0, x  I thì hàm số f không đổi trên khoảng I.
[…]

Người ta thường diễn đạt khẳng định này qua bảng biến thiên sau:
X a b
f’(x) +
f(x)


f(b)
f(a)
.[…]
Việc tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của một hàm số còn được nói gọn là xét chiều biến thiên của
hàm số đó.
Qua định lý đã nêu, ta thấy việc xét chiều biến thiên của một hàm số có đạo hàm có thể chuyển về việc xét
dấu đạo hàm của nó.
”
Từ phần trích dẫn trên, chúng ta thấy:
(1) Tính đơn điệu của hàm số ở chương trình 12 được xây dựng dựa trên tính đơn điệu của
hàm số ở chương trình lớp 10.
(2) Bảng biến thiên của hàm số được vẽ ra dựa vào dấu đạo hàm.
(3) Đoạn văn cuối của phần trích dẫn cho thấy rằng dấu đạo hàm là căn cứ quan trọng để có
được chiều biến thiên.
Tóm lại trong phần này, định lý được nêu ra như là một quy tắc để học sinh nhớ, áp dụng giải
đúng bài tập, trong khi học sinh có thể không biết được tại sao có định lý này.
Ngoài ra, chúng tôi cũng thấy xuất hiện kiểu nhiệm vụ T
bttt
, với kiểu nhiệm vụ con sau:
“T
btkdt
: bài toán thực tế về số dân của một thị trấn”
Bài toán cụ thể như sau: “Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính
bởi công thức:

26 10
( )
5
t
f t
t



, (f(t) được tính bằng nghìn người).
a) Tính số dân của thị trấn vào năm 1980 và năm 1995.
b) Xem f là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0; +∞). Tìm f’ và xét chiều biến thiên của
hàm số f trên nửa khoảng [0; +∞).
c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm).
 Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thị trấn.
 Vào năm nào thị tốc độ tăng dân số là 0,125 nghìn người/năm?”
Kỹ thuật, công nghệ:

a)
Tính t vào năm 1980, thay t vào f(t)  số dân năm 1980.
Từ đó tính t vào năm 1995, thay t vào f(t)  số dân năm 1995.

a)
Định nghĩa khái niệm hàm số.

b)
Tính f’(t)  Kết luận.

a)
Định lý về tính đơn điệu của hàm số.


c1)
Tính đạo hàm.
Tính t vào năm 1990  f’(t): tốc độ tăng dân số 1990.
Từ đó tính t vào năm 2008  f’(t).

c1)
Đạo hàm là hàm số, khái niệm hàm số.

c2)
Tính f’(t) = 0,125  t  năm.

c2)
Đạo hàm, khái niệm hàm số.
Nhận xét:
Qua phần trình bày trên, chúng tôi nhận thấy trong bài học đầu tiên của thể chế I2 có xuất
hiện bài toán phỏng thực tế. Bài toán phỏng thực tế đưa vào học sinh giải không cần chọn biến, hàm
số đã được biểu thị bằng công thức, chỉ việc ứng dụng khái niệm hàm số, định lí đạo hàm về tính
đơn điệu là chúng ta có được kết quả về số dân và tốc độ tăng dân số của thị trấn. Từ đó ta thấy năm
bước của quá trình mô hình một bài toán phỏng thực tế chưa được thể hiện đầy đủ.
Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
Đầu tiên SGK GT12NC tr.17 nhận định:
“ Nhiều bài toán dẫn đến việc tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất (GTLN – GTNN) của hàm số trên một tập hợp số
thực cho trước. Trong bài này ta sẽ ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số để tìm GTLN – GTNN của hàm số.”
Sau đó, đưa ra định nghĩa về GTLN – GTNN của hàm số một cách trực tiếp và có kết luận như sau:
“ Phương pháp thường được sử dụng để tìm GTLN – GTNN của hàm số trên một tập hợp là lập bảng biến thiên của
hàm số trên tập hợp đó” (
SGK GT12NC tr.19 )
Từ đó, chúng tôi nhận thấy rằng: bảng biến thiên là công cụ hữu hiệu để tìm GTLN – GTNN
của hàm số. SGV GT12NC tr39. Có nêu mục tiêu về kỹ năng như sau:

“ Giúp học sinh:
- Có kỹ năng hành thạo trong việc dùng bảng biến thiên của một hàm số để tìm GTLN – GTNN của hàm số
đó.
- Giải một số bài tập liên quan đến việc tìm GTLN – GTNN của hàm số trên một tập hợp số thực cho
trước.”
Ở CT ĐS10NC, học sinh đã được học về GTLN – GTNN của hàm số, nhưng ở CT GT12NC,
không nhắc đến kiến thức đã học, mà trực tiếp đưa vào định nghĩa, sau đó là đưa vào hai ví dụ và
một hoạt động áp dụng trực tiếp. Ngoài ra còn có một ví dụ được xem như là một bài toán phỏng
thực tế. Qua 3 ví dụ như thế các noosphere đưa ra nhận xét và quy tắc như sau:

“Người ta đã chứng minh được rằng hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
trên đoạn đó.
Trong nhiều trường hợp, có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn mà không cần
lập bảng biến thiên của nó.
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b), có thể trừ một số hữu hạn điểm.
Nếu f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc (a, b) thì ta có quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f trên
đoạn [a, b] như sau:
Quy tắc:
1. Tìm các điểm x
1
, x
2
,…, x
m
thuộc (a,b) tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
2. Tính f(x
1
), f(x
2
),…, f(x

m
), f(a) và f(b).
3. So sánh các giá trị tìm được.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn [a,b], số nhỏ nhất trong các giá trị là
giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn [a, b].”
Trở lại ví dụ 3 về bài toán phỏng thực tế, đây là dạng toán mà chúng tôi quan tâm.

Ngay trong phần bài học thì việc dạy học mô hình hoá hàm số đã được I2 quan tâm. Ngoài
các kiểu nhiệm vụ T
LN-NN
: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, còn xuất hiện khá nhiều
bài tập thuộc vào kiểu nhiệm vụ T
bttt
.
Các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T
LN-NN
chủ yếu dựa vào bảng biến thiên hoặc là quy tắc để
giải một cách trực tiếp, do đó chúng tôi xin phép không trình bày. Kiểu nhiệm vụ T
bttt
, chúng tôi xác
định 2 kiểu nhiệm vụ con: T
btdt
: bài toán thực tế liên quan đến tính diện tích và T
btkdt
: bài toán thực
tế không liên quan đến diện tích.
Các bài tập liên quan được SGK GT12 NC trình bày từ trang 20 đến 24, được tổng kết trong
bảng sau:
Bảng 1.3
KIỂU NHIỆM VỤ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

T
btdt
: bài toán thực tế
liên quan đến tính
diện tích
BT 19 trang 22 (SGK).
Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật
MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm
trên 2 cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí điểm M sao cho hình
chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.
BT 20 trang 22 (SGK).
Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: nếu trên
mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sao
một vụ cân nặng P(n) = 480 – 20n (gam)
Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sao một
vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
KIỂU NHIỆM VỤ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
BT 28 trang 24 (SGK).
Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm, hãy xác định hình chữ nhật có
diện tích lớn nhất.
T
btkdt
: bài toán thực
tế không liên quan
đến diện tích.

BT 23 trang 23 (SGK).
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức: G(x) =
0.025x
2

(30-x)
Trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng
miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm
nhiều nhất và tính độ giảm đó.
BT 25 trang 23 (SGK).Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một
khoảng cách là 300km. Vận tốc dòng nước là 6km/h. Nếu vận tốc bơi của
cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ
được cho bởi công thức: E(v) = cv
3
t,
Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng Jun. Tìm vận tốc bơi của cá
khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.
BT 26 trang 25 (SGK).
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người
nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là: f(t)
= 45t
2
– t
3
, t = 0, 1, 2, …, 25.
Nếu coi f là hàm số xác định trên đoạn [0;25] thì f’(t) được xem là tốc độ
truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t.
a) Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 5.
b) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó.
c) Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600.
Xác định chiều biến thiên cua hàm số f trên đoạn [0;25].
Ngoài ra, trong Sách bài tập GT12NC, có 8/10 (80 %) bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T
bttt
, dạng
toán này chiếm tỷ lệ cao trong tất cả các bài tập của bài 3. Ở đây, chúng tôi xin nói thêm, những

dạng toán viết bằng ngôn ngữ hình học cũng được xếp vào kiểu nhiệm vụ T
bttt
.
Ta bắt đầu với kiểu nhiệm vụ:T
btdt
: “bài toán thực tế liên quan đến bài toán diện tích”. Hai
bài tập 19 và 20, SGV GT12NC có trình bày lời giải khá cụ thể, còn bài tập 28 chỉ cho kết quả.
Nhưng từ lời giải của hai bài tập 19 và 20, ta có thể rút ra được kỹ huật giải quyết kiểu nhiệm vụ
T
btdt
như sau:


btdt
:+
Nếu đề bài đã cho công thức biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng. Ta tìm đạo hàm
của hàm số. Sau đó, lập bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên kết luận GTLN – GTNN của hàm
số. Cuối cùng, kết luận cho bài toán thực tế.
+ Nếu đề bài không cho công thức biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng thì trước tiên
phải tìm công thức đó. Sau đó thực hiện các bước tương tự trên.
Công nghệ: 
btdt
: Tính đơn điệu, cực trị, bảng biến thiên của hàm số.
Trong kiểu nhiệm vụ có sự chuyển đổi từ bài toán phỏng thực tế sang bài toán toán học đối
với bài tập 20. Còn đối với bài tập 19, 28, có sự chuyển đổi bài toán từ phạm vi hình học sang phạm
vi Đại số - Giải tích.
Ngoài ra, hai bài tập 19, 28 được phát biểu bằng ngôn ngữ hình học. Bài giải của bài tập 19
được thể chế mong đợi như sau: