Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải quyết hiệu quả bài toán tính khoảng cách trong không gian 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11
GIẢI QUYẾT HIỆU QUẢ BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG
CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Phạm Thị Hiền
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2017


MỤC LỤC
1.

2.

3.

MỞ ĐẦU .....................................................................................

Trang 01

1.1. Lí do chọn đề tài ..............................................................

Trang 01

1.2. Mục đích nghiên cứu …………………………………...

Trang 01

1.3. Đối tượng nghiên cứu …………………………………..

Trang 02

1.4. Phương pháp nghiên cứu ………………………………

Trang 02

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ............................

Trang 02

2.1. Cơ sở lí luận của Sáng kiến kinh nghiệm ......................
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh
nghiệm ..............................................................................
2.3. Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề ...............................................................................
2.3.1. Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt
phẳng .............................................................................
2.3.2. Phương pháp tính khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt
phẳng
song
song ............................................................

2.3.3. Phương pháp tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song .............................................................................
2.3.4. Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau .............................................................................
2.3.5. Bài tập củng cố, rèn luyện .........................................
2.4. Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường .....

Trang 02

KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ .........................................................

Trang 18

3.1. Kết luận ….……………………………………………..

Trang 18

3.2. Kiến nghị ………………………………………………..

Trang 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………….....

Trang 20

Trang 03
Trang 03
Trang 04
Trang 10

Trang 11
Trang 12
Trang 16
Trang 18


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình dạy học sinh giải các dạng toán tính khoảng cách trong
không gian của môn Hình Học 11, tôi nhận thấy rất nhiều học sinh chưa hứng
thú, còn e ngại đối với nội dung này, kết quả học tập còn yếu. Bởi đây là dạng
toán tổng hợp nhiều loại kiến thức, tính trừu tượng cao, sử dụng hình vẽ trong
mặt phẳng để biểu diễn hình không gian nên giảm tính trực quan,... Do đó để
học tốt nội dung này, đòi hỏi người học không chỉ phải nắm vững kiến thức,
có tư duy trừu tượng, biết vẽ hình và khai thác hình vẽ,... mà bên cạnh đó phải
nắm vững phương pháp giải toán và được rèn luyện để hình thành kỹ năng.
Về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến
thức nếu như không có sự tìm tòi, nghiên cứu để đưa ra phương pháp giảng
dạy hiệu quả, phù hợp với nội dung bài dạy và đối tượng học sinh. Để hướng
dẫn cho học sinh lớp 11 giải quyết tốt bài toán về tính khoảng cách trong
không gian, bên cạnh người dạy giúp cho học sinh nắm vững lý thuyết, vẽ
hình tốt,… còn phải giúp học sinh nắm vững các dạng toán cơ bản và phương
pháp giải chúng, từ đó gây hứng thú cho học sinh, giúp học sinh học tập tự tin
hơn, không còn e ngại và từng bước khuyến khích học sinh học tập, rèn luyện
hình thành kỹ năng, phát triển tư duy. Tuy nhiên, nếu không nghiên cứu để hệ
thống các dạng toán và đưa ra phương pháp giải thì khi giảng dạy, giáo viên
sẽ gặp khó khăn khi truyền đạt hoặc chưa đưa ra đầy đủ các dạng toán hay
chưa đưa ra phương pháp giải tốt nhất. Trong khi đó bản thân học sinh rất khó
để tự rút các dạng toán cơ bản và phương pháp giải. Bên cạnh đó, tôi nhận
thấy hiện nay chưa có nhiều đề tài, tài liệu tham khảo viết về vấn đề này sát

với điều kiện thực tế và đối tượng học sinh trường THPT Như Xuân, trong khi
nhiều học sinh chưa biết tự sàng lọc tài liệu để học. Ngoài ra, nếu học sinh
giải quyết tốt bài toán tính khoảng cách ở Hình Học 11 sẽ giúp các em giải
quyết tốt bài toán tính thể tích ở môn Hình Học 12; và đây cũng chính là hai
dạng toán rất quan trọng và thường gặp trong chương trình toán THPT. Đặc
biệt, với việc ra đề toán theo hình thức trắc nghiệm ở các kỳ thi, hai dạng toán
này sẽ xuất hiện nhiều hơn và đòi hỏi học sinh có kỹ năng để tính nhanh và
chính xác kết quả.
Chính vì những lý do trên, trong năm học 2016-2017, tôi đã chọn đề tài
của Sáng kiến kinh nghiệm để áp dụng giảng dạy trong trường THPT Như
Xuân là “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải quyết hiệu quả bài toán tính
khoảng cách trong không gian”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Tôi nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra những phương pháp giảng dạy
phù hợp với điều kiện thực tế và đối tượng học sinh nhà trường, giúp học sinh
lớp 11 giải quyết tốt bài toán tính khoảng cách trong môn hình học, từ đó học
sinh tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn khi học, không e ngại môn học này,
có hứng thú khi học và nâng cao chất lượng học tập môn học; giúp người dạy
có thêm kinh nghiệm khi giảng dạy bộ môn này, từ đó nâng cao chất lượng
giảng dạy môn hình học không gian nói chung và bài toán tính khoảng cách
trong môn Hình Học 11 nói riêng, làm tiền đề để học sinh giải quyết tốt bài
1


toán tính thể tích ở Hình Học 12. Đồng thời bản thân mong muốn Sáng kiến
kinh nghiệm này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho người học và người
dạy, góp phần vào phong trào đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn
hiện nay.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là phương pháp giải bài toán tính

khoảng cách trong giảng dạy nội dung chương III – Quan hệ vuông góc, sách
giáo khoa Hình Học 11, chương trình chuẩn ([1]).
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết và phương pháp
điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của Sáng kiến kinh nghiệm:
Sáng kiến kinh nghiệm này được áp dụng để giúp học sinh giải quyết
tốt bài toán tính khoảng cách trong Chương III – Quan hệ vuông góc, Hình
Học 11, chương trình chuẩn, bao gồm: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng; khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song; khoảng cách
giữa hai mặt phẳng song song; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Các kiến thức sử dụng trong sáng kiến này đều thuộc phạm vi chương
trình sách giáo khoa Hình Học 11 THPT, chương trình chuẩn ([1]) và chủ yếu
là trong Chương III – Quan hệ vuông góc, đảm bảo chuẩn kiến thức kỹ năng
theo chương trình hiện hành. Ngoài ra, Sáng kiến này sử dụng một số kiến
thức mà người dạy có thể hướng dẫn học sinh dễ dàng suy ra từ các kiến thức
đã được học, cụ thể như sau:
Tính chất 1. Nếu hai điểm phân biệt M, A nằm trên đường thẳng song song
với mặt phẳng (P) thì ta có:
d ( M ,( P)) = d ( A,( P)).

Chứng minh:
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông
góc của M, A lên (P) thì MHKA là hình
chữ nhật nên
MH = AK hay d ( M ,( P)) = d ( A,( P)).

M

H

A

K

P

Tính chất 2. Nếu hai điểm phân biệt M, A không thuộc (P) và đường thẳng
MA cắt (P) tại điểm I thì ta có:
d ( M ,( P)) IM
=
.
d ( A,( P ))
IA

2


Chứng minh:
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông
góc của M, A lên (P) thì MH // AK và I,
H, K thẳng hàng nên theo định lí Ta-lét
ta có
d ( M ,( P)) IM
MH IM
=
=
hay
.

d ( A,( P ))
IA
AK
IA

A
M

I

H

K

P

Như vậy, với hai tính chất được chứng minh một cách đơn giản trên
cùng với những kiến thức học sinh đã được học trong chương trình toán
THPT, có thể khẳng định học sinh hoàn toàn có đủ kiến thức, khả năng để tiếp
thu nội dung của Sáng kiến này và hoàn toàn phù hợp với chuẩn kiến thức của
chương trình hiện hành.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm:
Trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này trong giảng dạy môn
Hình Học 11, tôi nhận thấy đa số học sinh rất e ngại, không hứng thú khi giải
bài toán tính khoảng cách trong không gian. Khi giải toán học sinh chưa định
hướng được phương pháp giải rõ ràng, còn mơ hồ, mò mẫm; chưa biết đặt ra
các câu hỏi định hướng như: Bài toán này thuộc dạng nào? Phương pháp giải
dạng này như thế nào? Thực hiện theo các bước như thế nào, bước nào trước,
bước nào sau? Khai thác giả thiết ra sao? Cần vận dụng những kiến thức liên
quan nào? Vẽ hình thế nào, có cần vẽ thêm hình phụ không? Trình bày lời giải

thế nào? Lời giải trình bày như thế có sai sót gì không?…. Chính điều đó làm
cho học sinh lúng túng khi giải toán và không hứng thú học dẫn đến kết quả
học tập chưa cao, đa số học sinh thường không giải được bài toán dù không
khó hoặc còn gặp sai lầm, lời giải sai sót. Từ đó kéo theo việc học sinh học
yếu môn Hình Học ở lớp 12 nói chung và việc giải quyết bài toán tính thể tích
đa diện nói riêng. Bên cạnh đó, khi giảng dạy bài toán tính khoảng cách nếu
người dạy không có sự nghiên cứu kỹ lưỡng sẽ khiến học sinh khó tiếp thu,
kết quả giảng dạy không cao.
2.3. Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Để giải quyết thực trạng trên, khi giảng dạy học sinh giải bài toán tính
khoảng cách trong nội dung Chương III, Hình Học 11, tôi đã nghiên cứu đưa
ra các dạng toán và phương pháp giải, sắp xếp một cách hợp lý, sau đó hướng
dẫn học sinh một cách tỉ mỉ, có ví dụ cụ thể để học sinh nắm được. Đồng thời
hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua hệ thống bài tập luyện
tập và bài tập tự luyện được lựa chọn cẩn thận. Sau đây là các dạng toán cơ
bản, phương pháp giải, hệ thống ví dụ, bài tập mà tôi đã áp dụng để giúp học
sinh giải quyết tốt bài toán tính khoảng cách trong chương trình Hình Học 11.
Trước hết, tôi phân chia thành bốn dạng toán về tính khoảng cách và
sắp xếp theo thứ tự, đó là:
Dạng 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Dạng 2: Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Dạng 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Dạng 4: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
3


Sau đó, tôi hướng dẫn học sinh lần lượt nắm vững phương pháp giải và
hình thành, rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán đó. Để đưa ra các dạng toán
và phương pháp giải tôi đã tự nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm, kết hợp với
tham khảo trong [2], [3]. Cụ thể như sau:

2.3.1. Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Xét bài toán: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
Trước hết, giáo viên phân tích để học sinh thấy đa số bài toán tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng sẽ có giả thiết liên quan đến một
hình chóp hoặc có thể quy bài toán liên quan đến một hình chóp. Vì vậy ta xét
bài toán trong 3 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Điểm M trùng với chân đường cao của hình chóp và (P) là
một mặt bên của hình chóp.
Giáo viên giới thiệu trường hợp cụ thể, xem là Bài toán gốc 1:
Xét hình chóp S.ABC, có SA vuông góc với đáy (ABC). Tính khoảng
cách từ A đến (SBC).
Phương pháp: (Xác định trực tiếp đường thẳng đi qua A và vuông góc với
mặt phẳng (SBC)).
Thực hiện theo các bước như sau:
S
- Bước 1: Kẻ đường thẳng AK vuông góc
với BC tại K.
(Giáo viên nhấn mạnh BC là giao tuyến
của mặt đáy (ABC) và mặt (SBC)).
H
- Bước 2: Kẻ đường thẳng AH vuông góc
với SK tại H.
A
C
- Bước 3: Chứng minh AH ⊥ ( SBC ) .
K
Thật vậy, ta có AH ⊥ BC (do BC ⊥ ( SAK ) )
và AH ⊥ SK nên AH ⊥ ( SBC ) .
B
- Bước 4: Tính AH.

Lưu ý: Nếu bài toán chưa cho sẵn chân đường cao, giáo viên cần hướng dẫn
học sinh tìm chân đường cao. Khi đó giáo viên cần củng cố và hướng dẫn học
sinh vận dụng các tính chất sau:
1) Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào
nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc
với mặt phẳng kia [1].
2) Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng
thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó [1].
3) Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao của
hình chóp đó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy của nó.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam
giác SAB đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Gọi M là
trung điểm cạnh AB. Tính theo a các khoảng cách sau:
a) d ( M ,( SBC )) .
b) d ( M ,( SCD)) .
4


Hướng dẫn: Chứng minh M là chân đường cao. Từ đó tính d ( M ,( SBC )) ,
d ( M ,( SCD)) theo các bước của Bài toán gốc 1.
Lời giải:
S
a) Ta có SM ⊥ AB (do tam giác SAB đều).
Mà ( SAB) ⊥ ( ABCD) , ( SAB) ∩ ( ABCD) = AB
nên SM ⊥ ( ABCD ) . Suy ra M là chân đường
cao của hình chóp S.ABCD.
Ta thấy ( SBC ) ∩ ( ABCD) = BC nên:
H2
- Kẻ MK1 vuông góc với BC tại K1.
A

D
H1
Suy ra K1 trùng với B (do AB ⊥ BC ).
- Kẻ MH1 vuông góc với SB tại H1.
K2
M
Khi đó MH1 ⊥ SB và MH1 ⊥ BC (do BC ⊥ ( SAB )
nên MH1 ⊥ ( SBC ) . Suy ra d ( M ,( SBC )) = MH1 .
B
C
1
1
1
4
4
16
a 3.
=
+
+ 2 = 2 ⇒ d ( M ,( SBC )) = MH1 =
2
2
2 =
2
MH1 MB
MS
a 3a
3a
4
b) Ta thấy ( SCD) ∩ ( ABCD) = CD nên:

- Kẻ MK2 vuông góc với CD tại K2. Suy ra K2 là trung điểm CD (do MK 2 / / BC ).
- Kẻ MH2 vuông góc với SK2 tại H2. Suy ra d ( M ,( SCD)) = MH 2 .
1
1
1
1
4
7
a 21 .
=
+
+ 2 = 2 ⇒ d ( M ,( SCD )) = MH 2 =
2
2
2 =
2
MH 2 MK 2 MS
a 3a
3a
7

Trường hợp 2: Điểm M không trùng với chân đường cao của hình chóp,
(P) là một mặt bên của hình chóp và không chứa chân đường cao.
Phương pháp: (Tính gián tiếp thông qua phương pháp đổi điểm).
Giả sử A là chân đường cao của hình chóp.
M
A
Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa trường
hợp 2 về trường hợp 1 bằng phương pháp đổi

điểm M về A như sau:
- Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng MA và
H
K
mặt phẳng (P).
P
- Nếu MA // (P), theo Tính chất 1 (trang 2)
ta có: d ( M ,( P)) = d ( A,( P)).
A
(Gọi là phương pháp đổi điểm song song).
M
- Nếu MA cắt (P) tại I, theo Tính chất 2 (trang
2) ta có:
d ( M ,( P)) IM
IM
=
.d ( A,( P)) .
hay d ( M ,( P)) =
d ( A,( P ))
IA
IA

I

H

K

P

(Gọi là phương pháp đổi điểm cắt nhau).
Nhận xét: Phương pháp đổi điểm giúp ta chuyển bài toán tính d ( M ,( P)) về
bài toán tính d ( A,( P)) , trong đó A là điểm mà việc thực hiện tính khoảng cách
tới (P) thuận lợi hơn so với M. Thông thường A là chân đường cao hoặc A
thuộc mặt đáy của hình chóp.
5


Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,
AC = a , SA ⊥ ( ABCD ) , góc giữa cạnh SB và mặt đáy (ABCD) bằng 60 0. Gọi
G là trọng tâm tam giác SAB. Tính theo a các khoảng cách sau:
a) d ( B,( SCD)) .
b) d (O,( SCD)) .
c) d (G,( SCD)) .
Hướng dẫn: A là chân đường cao nên tính được d ( A,( SCD)) theo các bước
của Bài toán gốc 1. Vì vậy để tính d ( B,( SCD)) , d (O,( SCD )) , d (G ,( SCD)) cần
tính theo d ( A,( SCD )) bằng cách đổi các điểm B, O, G về A. Đối với điểm G,
do việc xét vị trí tương đối giữa GA với (SCD) gặp khó khăn nên cần đổi G
qua một điểm trung gian thuộc mặt đáy của hình chóp, sau đó đổi về A.
Lời giải:
S
a) Ta có A là chân đường cao của hình chóp.
BA // CD, CD ⊂ (SCD) nên BA // (SCD).
Suy ra d ( B,( SCD)) = d ( A,( SCD)) .
Do ( SCD) ∩ ( ABCD) = CD nên ta thực hiện:
- Kẻ AK vuông góc với CD tại K.
H
Suy ra K là trung điểm CD và AK =

a 3

2

.G

- Kẻ AH vuông góc với SK tại H (1).
Suy ra AH ⊥ ( SCD ) nên d ( A,( SCD)) = AH .
Ta có:

1
1
1
a 3
=
+ 2 , AK =
.
2
2
AH
AK
SA
2

M

A

D
K

O

B

C

Góc giữa SB và (ABCD) là góc SBA (do SA ⊥ ( ABCD ) ) nên góc SBA bằng
600. Do đó trong tam giác SAB, ta có SA = AB.tan 600 = a 3 .
1
4
1
5
a 15
= 2 + 2 = 2 ⇒ d ( B,( SCD)) = d ( A,( SCD )) = AH =
.
2
AH
3a 3a
3a
5
d (O,( SCD )) CO 1
=
=
b) Ta có OA cắt (SCD) tại C nên
d ( A,( SCD )) CA 2
1
1
a 15
a 15
hay d (O,( SCD )) = .d ( A,(SCD)) = . AH =
⇒ d (O,( SCD)) =

.
2
2
10
10

Suy ra:

c) Gọi M là trung điểm AB thì GM cắt (SCD) tại S nên
d (G, ( SCD)) SG 2
2
=
=
hay d (G,( SCD)) = .d ( M , ( SCD)) (3).
d ( M ,( SCD)) SM 3
3
Mặt khác, MA // (SCD) nên d ( M ,( SCD)) = d ( A,( SCD)) (4).
2
2
2a 15
Từ (3) và (4) suy ra d (G,( SCD)) = .d ( A,( SCD)) = . AH =
.
3
3
15
2a 15
Vậy d (G,( SCD)) =
.
15

Ví dụ 3. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu
vuôg góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường
thẳng A’C và đáy bằng 60 0 . Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt
phẳng (ACC’A’) [5].
6


Hướng dẫn: Cần gắn bài toán vào một hình chóp hợp lý (Gợi ý: Sao cho hình
chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) là chân đường cao và (ACC’A’) là mặt
phẳng chứa mặt bên của hình chóp này). Sau đó sử dụng phương pháp đổi
điểm để đổi điểm B về chân đường cao.
A’

Lời giải:
Gọi M là trung điểm AB thì
A’M ⊥ (ABC) và M là chân đường cao
của hình chóp A’.ABC.
Suy ra hình chiếu của A’C lên (ABC) là
CM nên góc giữa A’C và (ABC) là góc
A’CM bằng 60 0 .
BM ∩ (ACC’A’) = A nên
A
d ( B,( ACC ' A '))
AB
=
=2
d ( M ,( ACC ' A ')) AM
hay d ( B,( ACC ' A ')) = 2.d ( M ,( ACC ' A ')) .

C’

H

B’

K

C

M

* Tính d ( M ,( ACC ' A ')) :
B
- Kẻ MK vuông góc với AC tại K.
- Kẻ MH vuông góc với A’K tại H.
Suy ra MH ⊥ (ACC’A’) nên d ( M ,( ACC ' A ')) = MH .
a 3 a 3
a 3
3a
=
.tan 600 =
; A’M = MC.tanA’CM =
.
2 2
4
2
2
1
1
1

4
16
52
3a 13
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ MH =
.
2
2
2
MH
A'M
MK
9a 3a
9a
26
3a 13
Vậy d ( B,( ACC ' A ')) = 2.d ( M ,( ACC ' A ')) = 2 MH =
.
13

MK = AM.sin600 = .

Trường hợp 3: Mặt phẳng (P) chứa đường cao của hình chóp, điểm M
thuộc mặt đáy của hình chóp.
Khi đó ta xét một trường hợp cụ thể, xem là Bài toán gốc 2 như sau:
Xét hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC). Tính khoảng
cách từ C đến mặt phẳng (SAB).
Phương pháp: (Trực tiếp xác định đường thẳng đi qua C và vuông góc với

S
mặt phẳng (SAB)).
Thực hiện theo các bước như sau:
- Bước 1: Kẻ CH vuông góc với AB tại H.
(Giáo viên nhấn mạnh AB là giao tuyến
của mặt đáy (ABC) và mặt bên (SAB)).
- Bước 2: Chứng minh CH ⊥ ( SAB) .
A
C
Thật vậy, ta có CH ⊥ SA (do SA ⊥ ( ABC ) )
và CH ⊥ AB nên CH ⊥ ( SAB) .
H
- Bước 3: Tính CH.
B

Lưu ý: Nếu điểm M không thuộc mặt đáy của hình chóp thì sử dụng phương
pháp đổi điểm, đổi M về một điểm thuộc mặt đáy của hình chóp.
7


Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Biết rằng tứ diện
SABD là tứ diện đều cạnh a. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính theo a:
a) d ( B,( SAC )) .
b) d (G ,( SAC )) .
Hướng dẫn: Hình chóp không có sẵn đường cao nên cần xác định đường cao
với lưu ý sử dụng giả thiết tứ diện SABD đều, khi đó sẽ thấy (SAC) chứa
đường cao của hình chóp. Do B thuộc mặt đáy của hình chóp nên sử dụng
trực tiếp các bước của Bài toán gốc 2. Điểm G không thuộc mặt đáy của hình
chóp nên đổi về một điểm thuộc mặt đáy.
Lời giải:

a) Gọi O là tâm của tam giác đều ABD thì SO ⊥ ( ABD) (do SABD là tứ diện
đều). Suy ra SO là đường cao của hình chóp S.ABCD.
Ta thấy mặt phẳng (SAC) chứa đường cao SO và ( ABCD) ∩ ( SAC ) = AC nên
S
để tính d ( B,( SAC )) ta thực hiện:
- Kẻ BH vuông góc với AC tại H thì
H chính là giao điểm của BD và AC
(do ABCD là hình thoi).
- Khi đó BH ⊥ SO (do SO ⊥ ( ABCD) )
.G
và BH ⊥ AC nên BH ⊥ ( SAC ) .
A
- Suy ra: d ( B,( SAC )) = BH =

a
.
2

a
Vậy d ( B,( SAC )) = .
2

I

D

K
O

H

B

b) Gọi I là trung điểm AB thì GI cắt (SAC) tại S nên

C

d (G ,( SAC )) SG 2
2
=
=
hay d (G,( SAC )) = .d ( I ,( SAC )) (1).
d ( I ,( SAC )) SI 3
3

Mặt khác IB cắt (SAC) tại A nên
d ( I ,( SAC )) AI 1
1
=
=
hay d ( I ,( SAC )) = .d ( B,( SAC )) (2).
d ( B,( SAC )) AB 2
2
1
1 a a
Từ (1) và (2) ta có d (G ,( SAC )) = .d ( B,( SAC )) = . = .
3
3 2 6
a
Vậy d (G ,( SAC )) = .

6
Lưu ý: Có thể tính d ( I ,( SAC )) trực tiếp như sau: Kẻ IK vuông góc với AC tại
K. Khi đó IK // BD nên K là trung điểm AH và d ( I ,( SAC )) = IK .

Ví dụ 5. Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB = a , AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A1 lên (ABCD) trùng với giao
điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD 1A1) và (ABCD) bằng
600. Tính theo a khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) [6].
Hướng dẫn: Cần tìm cách gắn bài toán với một hình chóp phù hợp. Giáo viên
có thể gợi ý học sinh theo các bước sau:
- Gọi O = AC ∩ BD thì A1O ⊥ (ABCD) và (A1BD) chứa A1O.
- Từ đó cần tìm hình chóp có đường cao là A1O và (A1BD) là mặt bên.
8


- Sau khi đã tìm được hình chóp phù hợp, xét xem B1 có thuộc mặt đáy của
hình chóp này không? Nếu không hãy sử dụng phương pháp đổi điểm chuyển
B1 về một điểm thuộc mặt đáy của hình chóp (có thể đổi điểm song song hoặc
đổi điểm cắt nhau).
A1
B1
Lời giải:
I

D1

C1
A

B

H

H1

O

D

C

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì A1O ⊥ (ABCD).
Xét hình chóp A1.ABD có O là chân đường cao và mặt bên (A 1BD) chứa
đường cao A1O.
Gọi I là giao điểm của A1B và AB1 thì B1A ∩ (A1BD) = I.
d ( B1 ,( A1BD )) IB1
=
= 1 hay d ( B1 ,( A1BD)) = d ( A,( A1BD)) .
d ( A,( A1BD )) IA
*Tính d ( A,( A1 BD)) :

Do đó:

Kẻ AH vuông góc với BD tại H.
Suy ra AH ⊥ (A1BD) nên d ( A,( A1BD)) = AH .
Trong tam giác ABD vuông tại A ta có:
1
1
1
1
1

4
a 3
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ AH =
.
2
2
2
AH
AB
AD
a 3a
3a
2
a 3
Vậy d ( B1 ,( A1BD)) = d ( A,( A1BD)) = AH =
.
2

Lưu ý: Do B1C // (A1BD) nên có thể đổi điểm song song từ B về C. Khi đó
xét hình chóp A1.BCD ta cũng có mặt bên (A1BD) chứa đường cao A1O nên
kẻ CH1 vuông góc với BD tại H1 thì d ( B1 ,( A1BD)) = d (C ,( A1BD)) = CH1 .
Kết luận mục 2.3.1
Mục 2.3.1 trình bày phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng bằng cách gắn bài toán vào một hình chóp. Khi vận dụng, giáo
viên cần hướng dẫn học sinh:
- Biết phát hiện và gắn bài toán vào hình chóp phù hợp thuộc một
trong ba trường hợp trên (nếu như đề bài chưa cho sẵn).
- Phát hiện chân đường cao của hình chóp.

Hai điều trên chính là chìa khoá giúp học sinh giải quyết tốt bài toán
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Từ đó làm tiền đề giúp học
sinh giải quyết tốt các dạng toán tính khoảng cách tiếp theo.
9


2.3.2. Phương pháp tính khoảng cách giữa đường
song song.
Xét bài toán: Tính khoảng cách giữa đường thẳng
khi ∆ và (P) song song với nhau.
Phương pháp:
- Chọn điểm M thuộc ∆ .
- Suy ra d (∆,( P )) = d ( M ,( P )) .
- Tính d ( M ,( P)) .
P

thẳng và mặt phẳng
∆ và mặt phẳng (P),

∆

M

H

Nhận xét: Như vậy bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song được quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng. Mấu chốt của bài toán tính d (∆,( P )) là chọn được điểm M thuộc ∆
phù hợp. Thông thường ta sẽ chọn điểm là chân đường cao, điểm thuộc mặt
đáy; điểm có thể đổi thuận lợi về chân đường cao, về điểm thuộc mặt đáy.

Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD, có SA vuông góc với đáy (ABCD),
SA = a 6 , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính
AD = 2a . Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SCD.
a) Chứng minh AD // (SBC) và tính d(AD,(SBC)) theo a [4].
b) Chứng minh GG’ // (SBC) và tính d(GG’,(SBC) theo a.
Hướng dẫn: A là chân đường cao, mặt phẳng (SBC) không chứa chân đường
cao nên cần quy bài toán về tính khoảng cách từ A đến (SBC). Đối với câu b)
do đường thẳng GG’ không thuộc mặt đáy (ABCD) nên cần đổi về điểm thuộc
mặt đáy, trong đó nên ưu tiên đổi trực tiếp về điểm A.
Lời giải:
a) Ta có AD // BC nên AD // (SBC). Suy ra d(AD, (SBC)) = d(A,(SBC)).
*Tính d(A,(SBC)):
- Kẻ AK vuông góc với BC tại K.
- Kẻ AH vuông góc với SK tại H.
Suy ra AH ⊥ (SBC) nên d(A,(SBC) = AH.
Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a nên
AB = BC = DC =

1
AD = a và góc
2

S

ABC bằng 1200, suy ra góc ABK bằng 1200.
Do đó, trong tam giác vuông ABK
a 3
;
2
1

1
1
1
4
9
= 2+
= 2+ 2 = 2
2
2
AH
SA
AK
6a 3a
6a
a 6
⇒ d ( A,( SBC )) = AH =
(1).
3
a 6
Vậy d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC)) =
.
3

và SAK ta có: AK = AB.sin 600 =

M

N

G

A

G’

H

K

D

B

C
10


b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC thì GG’ // MN, BC // MN nên
GG’ // BC, suy ra GG’ // (SBC). Do đó: d(GG’,(SBC)) = d(G,(SBC)) (2).
Mặt khác, GA ∩ (SBC) = M nên
d (G ,( SBC )) MG 1
1
=
=
hay d (G ,( SBC )) = .d ( A,( SBC )) (3).
d ( A,( SBC )) MA 3
3
1
3

Vậy từ (1), (2) và (3) suy ra: d (GG ',( SBC )) = .d ( A,( SBC )) =

a 6
.
9

2.3.3. Phương pháp tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Xét bài toán: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), khi (P) và
(Q) song song với nhau.
Phương pháp:
H’
M
- Chọn một điểm thuộc một trong hai
P
mặt phẳng, giả sử chọn M thuộc (P).
- Suy ra d((P),(Q)) = d(M,(Q)).
- Tính d(M,(Q)).
N
Lưu ý: Nếu chọn N thuộc (Q) thì
H
Q
d((P),(Q)) = d(N,(P)).
Nhận xét: Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Cũng như nhận xét ở mục
2.3.2, cần lưu ý chọn điểm thuộc một trong hai mặt phẳng sao cho hợp lý.
Ví dụ 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a, AB = b,
AD
= c. Chứng minh hai mặt phẳng (A’BD), (B’CD’) song song với nhau và tính
theo a, b khoảng cách giữa chúng.
Hướng dẫn: Có thể tính khoảng cách giữa (A’BD) và (B’CD’) như sau:
- Xác định một hình chóp có mặt bên là một trong hai mặt phẳng (A’BD),

(B’CD’) sao cho chân đường cao của hình chóp này dễ tìm.
(Chẳng hạn là hình chóp A’.ABD hoặc B’.CC’D’).
- Chọn một điểm thuộc mặt phẳng còn lại sao cho việc tính khoảng cách được
đổi về chân đường cao của hình chóp một cách thuận lợi.
Lời giải:
C’
B'
A’D // B’C nên A’D // (B’CD’);
’
A’B // D’C nên A’B // (B’CD’).
Suy ra (A’BD) // (B’CD’).
D’
A’
Do đó,
d((B’CD’),(A’BD)) = d(B’,(A’BD)) (1).
I
Mặt khác, gọi I = B’A ∩ A’B thì
C
H
B
B’A ∩ (A’BD) = I nên:
d ( B ',( A ' BD)) IB '
=
=1
d ( A,( A ' BD)) IA
hay d ( B ',( A ' BD)) = d ( A,( A ' BD)) (2).

K

D

A

*Tính d(A,(A’BD)): (Xét hình chóp A’.ABD có A là chân đường cao và
(A’BD) ∩ (ABD) = BD nên để tính d(A,(A’BD)) ta thực hiện như sau).
- Kẻ AK vuông góc với BD tại K.
11


- Kẻ AH vuông góc với A’K tại H ⇒ AH ⊥ (A’BD) ⇒ d(A,(A’BD)) = AH.
Trong các tam giác vuông A’AK và ABD ta có:
1
1
1
1
1 
 1
=
+
=
+
+
÷
2
2
2
2
2
AH
A' A

AK
A ' A  AB
AD 2 
abc
1 1 1
a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ⇒ AH =
= 2+ 2+ 2 =
(3).
a b c
a 2b 2 c 2
a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2
abc
Vậy từ (1), (2) và (3) ta có: d (( B ' CD '),( A ' BD)) = 2 2 2 2 2 2 .
a b +b c +c a

Kết luận mục 2.3.2 và 2.3.3
Như vậy, để học sinh giải quyết tốt bài toán tính khoảng cách giữa
đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song, giáo
viên cần rèn luyện cho học sinh thành thạo kỹ năng tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng, kỹ năng chọn điểm và đổi điểm.
2.3.4. Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Xét bài toán: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Phương pháp:
Xét mối quan hệ vuông góc giữa a và b (hay xét xem có tồn tại một mặt
phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia). Từ đó chia
thành hai trường hợp:
Trường hợp 1: a và b vuông góc với nhau.
a
- Bước 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa
đường thẳng này và vuông góc với đường

thẳng kia. Giả sử (P) chứa b.
b
M
- Bước 2: Tìm giao điểm M của a và (P).
N
- Bước 3: Kẻ MN vuông góc với b tại N.
P
Suy ra d(a,b) = MN.
- Bước 4: Tính độ dài đoạn MN.
Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với đáy (ABCD), SA = a. Tính theo a khoảng cách giữa BD và SC.
Hướng dẫn: Chứng minh BD ⊥ (SAC) và thực hiện theo các bước giải trên.
Lời giải:
Ta có BD ⊥ SA, BD ⊥ AC nên
BD ⊥ (SAC). Suy ra (SAC) là mặt phẳng
chứa SC và vuông góc với BD.
Gọi O = BD ∩ (SAC), kẻ ON vuông góc
với SC tại N. Suy ra d(BD,SC) = ON.
Hai tam giác SAC và ONC đồng dạng nên
ON OC
SA.OC
a 6
=
⇒ ON =
=
.
SA SC
SC
6
a 6

Vậy d(DB,SC) =
.
6

S

A

D

N
O

B

C

12


Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt
bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy. Tính
theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC [7].
Hướng dẫn: Cần xác định mặt phẳng chứa SA và vuông góc với BC.
Lời giải:
S
Gọi M là trung điểm BC thì BC ⊥ SM và
BC ⊥ AM. Suy ra BC ⊥ (SAM).
Suy ra (SAM) là mặt phẳng chứa SA và vuông
góc với BC mà (SAM) ∩ BC = M nên kẻ MN

N
vuông góc với SA tại N thì d(SA,BC) = MN.
Ta có SM ⊥ BC mà (SBC) ⊥ (ABC)
A
B
và (SBC) ∩ (ABC) = BC nên SM ⊥ (ABC).
Suy ra tam giác SAM vuông tại M.
M
1
a
a 3
SM =
, AM = BC = .
2
2
2
C
1
1
1
4
4
16
a 3
=
+
=
+
=
⇒ MN =

Do đó:
.
MN 2 SM 2 AM 2 3a 2 a 2 3a 2
4
a 3
Vậy d(SA,BC) =
.
4

Trường hợp 2: a và b không vuông góc với nhau (hoặc chưa xác định
được mối quan hệ vuông góc giữa a và b).
- Bước 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa một trong hai đường a, b và song
song với đường thẳng còn lại. Giả sử xác định (P) chứa a và song song với b.
Cách xác định (P): Tìm trên a một điểm thuận
b
M
lợi để kẻ qua điểm đó đường thẳng b’ song song
với b. Khi đó (P) là mặt phẳng chứa a và b’.
Chú ý: Với hai đường thẳng chéo nhau a, b bất
kỳ thì (P) luôn tồn tại và duy nhất.
a
b’
- Bước 2: Chọn một điểm M thuộc b, suy ra
H
d(a,b) = d(b,(P))= d(M,(P)).
P
- Bước 3: Tính d(M,(P)).
Nhận xét:
S
1) Mấu chốt của phương pháp trên

là xác định được mặt phẳng (P) một cách
hợp lý. Thông thường ta sẽ gắn bài toán
vào một hình chóp sao cho một đường
thẳng thuộc mặt đáy (giả sử b thuộc mặt
a
đáy), một đường thẳng chứa cạnh bên của
hình chóp (giả sử a chứa cạnh bên), khi
A
D
đó (P) được xác định là mặt phẳng chứa a
b
(cạnh bên) và song song với b, bằng cách
O
b’
kẻ đường thẳng b’ qua giao điểm của a và
C
mặt đáy của hình chóp sao cho b’// b và
B
lấy (P) là mp(a,b’).
13


2) Do luôn tồn tại mặt phẳng (P) nên phương pháp ở trường hợp 2 có
thể áp dụng cho hai đường thẳng chéo nhau bất kỳ. Tuy nhiên nếu nhận ra hai
đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau thì nên ưu tiên sử dụng
phương pháp ở trường hợp 1 để lời giải đơn giản hơn.
3) Với a và b chéo nhau thì luôn tồn
tại (duy nhất) cặp mặt phẳng (P), (Q) lần lượt
M a’
b

chứa a, b và song song với nhau. Khi đó:
d(a,b) = d(a,(Q)) = d(b,(P))
Q
= d((P),(Q)) = d(M,(P)) = d(N,(Q)).
Với M ∈ (Q), N∈ (P).
a
Từ đó cho thấy việc nắm vững cách tính ba
b’
loại khoảng cách trước đó sẽ giúp học sinh
P
giải quyết tốt bài toán tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau.
Ví dụ 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
(ABCD) bằng 45o. Tính theo a:
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC [8].
Hướng dẫn: Với câu a) có sẵn (SCD) chứa cạnh bên SC và song song với
AB. Với câu b), cạnh bên SB cắt đáy tại B nên kẻ đường thẳng d qua B, song
song với AC và lấy (P) là mp(d,SB).
S
Lời giải:
SA ⊥ (ABCD) nên góc giữa SC và
(ABCD) là góc SCA và bẳng 45o, suy
ra tam giác SAC vuông cân đỉnh A
H1
nên SA = AC = a 2 .
a) Vì AB // CD nên AB // (SCD).
H2
Do đó d(AB,SC) = d(AB,(SCD))

A
D
= d(A,(SCD)).
(Chọn điểm A vì A là chân đường cao d
O
K2
của hình chóp).
*Tính d(A,(SCD)): (Vì A là chân
C
B
đường cao và (ABCD) ∩ (SCD) = CD
nên ta thực hiện như sau).
- Kẻ AK1 vuông góc với CD tại K1, suy ra K1 trùng với D.
- Kẻ AH1 vuông góc với SD tại H1.
Suy ra AH1 ⊥ (SCD) nên d(A,(SCD)) = AH1.
1
1
1
1
1
3
a 6
= 2+
+
=
2
2 =
2
2
2 ⇒ AH 1 =

AH1 SA
AD
2a a
2a
3
a 6
Vậy d(AB,SC) = AH1 =
.
3

Ta có:

14


b) Kẻ qua B đường thẳng d song song với AC và gọi (P) là mặt phẳng (d,SB)
thì (P) chứa SB và song song với AC.
Suy ra d(SB,AC) = d(AC,(P)) = d(A,(P)).
*Tính d(A,(P)): (Vì A là chân đường cao và (ABCD) ∩ (P) = d nên ta thực
hiện như sau).
- Kẻ AK2 vuông góc với d tại K2.
- Kẻ AH2 vuông góc với SK2 tại H2, ta có AK2 // BD.
Suy ra AH2 ⊥ (P) và d(A,(P)) = AH2.
Gọi O = AC ∩ BD thì AOBK2 là hình vuông nên AK2 = OB =

a 2
.
2

1

1
1
1
4
5
a 10
= 2+
+
=
.
2
2 =
2
2
2 ⇒ AH 2 =
AH 2 SA
AK 2
2a 2a
2a
5
a 10
Vậy d(SB,AC) = AH2 =
.
5

Ví dụ 11. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông
tại B, AA’ = AC = 2a, BC = a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB và A’C.
Hướng dẫn: Xác định mặt phẳng (P) chứa A’C và song song với AB bằng
cách qua C kẻ đường thẳng d song song với AB.

Lời giải:
Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB, gọi (P) là mặt phẳng (d,A’C) thì
(P) chứa A’C và song song với AB.
Suy ra d(AB,A’C) = d(AB,(P)) = d(A,(P)).
A’
B’
*Tính d(A,(P)):
- Kẻ AK vuông góc với d tại K.
Suy ra AK // BC (vì BC ⊥ AB nên
BC cũng vuông góc với d) và ABCK
C’
là hình chữ nhật.
- Kẻ AH vuông góc với A’K tại H.
Suy ra AH ⊥ (P) nên d(A,(P)) = AH.
H
1
1
1
1
1
5
=
+
= 2+ 2 = 2
2
2
2
AH
A' A
AK

4a a
4a
2a 5
⇒ AH =
.
5
2a 5
Vậy d(AB,A’C) =
.
5

A

K

B

d

C

Nhận xét: Mặt phẳng (P) ở cách giải trên chính là mặt phẳng (A’B’C) đã có
sẵn. Tuy nhiên cách giải trên vẫn kẻ đường thẳng d để xác định (P) bởi d phải
xuất hiện để xác định các điểm K, H (d chính là giao tuyến của (A’B’C) và
(ABC)). Nếu không muốn kẻ thêm đường phụ d (sử dụng luôn mặt phẳng
(A’B’C)) thì ta có thể làm như sau: Sử dụng phương pháp đổi điểm cắt nhau,
đổi điểm A về điểm C’ và xét hình chóp C.A’B’C’ (có C’ là chân đường cao)
để tính khoảng cách từ C’ đến (A’B’C)).
15

Kết luận mục 2.3.4
Qua mục 2.3.4 ta thấy nói chung việc tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau có thể quy về việc tính khoảng cách từ một điểm và một mặt
phẳng. Vì vậy, giáo viên cần chú ý rèn luyện cho học sinh thành thạo kỹ năng
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trước khi hướng dẫn học
sinh tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Làm được như vậy thì
dạng toán này không còn là trở ngại lớn đối với học sinh, giúp các em hứng
thú, tự tin hơn khi giải dạng toán này. Ngược lại, việc tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau sẽ giúp học sinh củng cố kỹ năng tính các dạng
khoảng cách còn lại.
2.3.5. Bài tập củng cố, rèn luyện.
Sau khi trang bị cho học sinh phương pháp và hình thành kỹ năng giải
toán tính khoảng cách thông qua các ví dụ cụ thể, giáo viên cần đưa thêm các
bài tập để học sinh củng cố, rèn luyện. Sau đây là một số bài tập như thế.
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại C, AC = a, BC = a 3 ,
hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB và
SH = 2a. Gọi M là trung điểm AC. Tính theo a các khoảng cách sau:
a) d(H,(SBC)).
b) d(M,(SBC).
c) d(A,(SBC)).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a,
BC = 4a, SB = 2a 3 , góc SBC bằng 30o, (SBC) ⊥ (ABC). Tính theo a khoảng
cách từ B đến (SAC) [9].
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC
bằng 30o, tam giác SBC đều cạnh a, (SBC) ⊥ (ABC). Tính theo a khoảng cách
từ C đến (SAB) [10].
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B;
SA = AB = BC = 2a, AD = 4a. Hình chiếu vuông góc H của S lên (ABCD) là
trung điểm AC. Tính theo a các khoảng cách sau:

a) d(H,(SCD)).
b) d(H,(SAB)).
Bài 5. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C,
AC
= a 3 , BC = a. Gọi H là trung điểm AB, A’H ⊥ (ABC). Tính theo a khoảng
cách từ A đến mặt phẳng (A’HC).
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính theo a:
a) d(AD,(A’BC)).
b) d((AB’D’),(BC’D)).
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm
AB. Tính theo a khoảng cách giữa:
a) SH và CD.
b) AD và SB.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm AB, AD; H là giao điểm của MD và NC, SH vuông góc với
đáy (ABCD), SH = a 3 . Tính theo a khoảng cách giữa MD và SC [11].
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = 2a, AB
= a. Hình chiếu vuông góc H của S lên (ABCD) nằm trên cạnh AB và HA =
3HB. Góc giữa SC và (ABCD) bằng 600. Tính theo a khoảng cách giữa AB và
SC.
16


Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC
= 2a. Hai mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với đáy (ABC). Gọi M là
trung điểm AB. Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N. Góc giữa
(SBC) và (ABC) bằng 600. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SN
và AB [12].
Bài 11. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, AD = 2a. Trên đường thẳng

vuông góc với (ABCD) tại D lấy điểm S sao cho SD = a 2 . Tính theo a
khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng (SAB).
Bài 12. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB = a, AA’ = 2a. Tính theo a
khoảng cách giữa AC’ và BC.
Hướng dẫn giải và đáp số
Bài 1.
a) H là chân đường cao.
b) Đổi điểm song song từ M về H.
c) Đổi điểm cắt nhau từ A về H.
Đáp số: a)

2a 17
2a 17
4a 17
; b)
; c)
.
17
17
17

Bài 2. Đổi điểm cắt nhau từ B đến chân đường cao H. Đáp số:

6a 7
.
7

Bài 3. Đổi điểm cắt nhau từ C về chân đường cao H, H là trung điểm BC.
Đáp số:

a 39
.
13

Bài 4. a) H là chân đường cao. b) Cần chứng minh AC ⊥ CD.
Đáp số: a) a; b)

a 6
.
3

Bài 5. (A’HC) chứa đường cao A’H. Đáp số:

a 3
.
2

Bài 6.
a) Chuyển về khoảng cách từ A đến (A’BC). Đáp số:

a 2
.
2

b) Có thể chuyển về khoảng cách từ A đến (BC’D) và đổi điểm cắt nhau từ A
về C. Trong đó C là chân đường cao của hình chóp C’.BCD. Đáp số:

a 3
.
3

Bài 7. Sử dụng phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau và vuông góc với nhau. Đáp số: a) a; b)

a 3
.
2

Bài 8. Chứng minh MD ⊥ CN, từ đó suy ra (SCN) là mặt phẳng chứa SC và
vuông góc với MD. Đáp số:

2a 57
.
19

Bài 9. (SCD) chứa SC và song song với AB. Từ đó chuyển về khoảng cách từ
H đến (SCD). Đáp số: a

780
.
211
17


Bài 10. Xác định mặt phẳng (P) chứa SN và song song với AB (bằng cách vẽ
đường thẳng qua N và song song với AB). Từ đó chuyển về khoảng cách từ A
đến (P). Đáp số:

2a 39
.

13

Bài 11. Chuyển về khoảng cách từ D đến (SAB). Đáp số:

2a 3
.
3

Bài 12. Xác định mặt phẳng (P) chứa AC’ và song song với BC. Từ đó
chuyển về khoảng cách từ C đến (P). Đáp số:

2a 57
.
19

2.4. Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Khi tôi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này trong giảng dạy, học sinh
đã hứng thú hơn trong học tập môn hình học không gian nói chung và bài
toán tính khoảng cách nói riêng, các em không còn e ngại và tự tin hơn trong
học tập. Đa số học sinh nắm vững các dạng toán tính khoảng cách, phương
pháp giải và biết vận dụng; trước mỗi bài toán đã có định hướng rõ ràng,
không còn mò mẫm, lúng túng, tìm được hướng giải, biết cách trình bày và ít
gặp sai lầm, thiếu sót, điểm số được nâng cao. Ngoài ra, trên cơ sở học sinh
nắm vững các dạng toán tính khoảng cách và có kỹ năng trong giải toán đã và
sẽ giúp các em nắm vững kiến thức về quan hệ song song, quan hệ vuông góc;
các em biết vận dụng để giải các dạng toán khác và làm tiền đề để học sinh
học tốt môn hình học không gian lớp 12, trong đó có bài toán tính thể tích, từ
đó kết quả học tập được nâng cao.
Bản thân tôi khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này trong giảng dạy,

tôi thấy hiệu quả tiết dạy được nâng cao, truyền tải nội dung kiến thức có hệ
thống, bài bản, hợp lý, đầy đủ, đảm bảo mạch kiến thức, tiến độ và nội dung
chương trình. Bản thân cũng cảm thấy tự tin, hứng thú hơn khi giảng dạy nội
dung này, cảm nhận thấy tiết dạy lôi cuốn; học sinh sôi nổi, chú ý, chủ động,
tích cực hơn.
Đối với đồng nghiệp và nhà trường, Sáng kiến kinh nghiệm này là một
tài liệu tham khảo và hướng đi thiết thực để khắc phục hiện tượng e ngại dạy
và học môn hình học không gian nói chung và bài toán tính khoảng cách nói
riêng, từ đó nâng cao chất lượng dạy và học môn hình học không gian, góp
phần vào phong trào đổi mới phương pháp giảng dạy trong nhà trường và của
ngành giáo dục.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Qua Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi rút ra một số kinh nghiệm trong
giảng dạy môn hình học không gian là:
- Người dạy phải nghiên cứu để hệ thống các dạng toán cơ bản và đưa
ra phương pháp giải phù hợp nhất, dễ vận dụng nhất.
- Hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, các dạng toán cơ bản
và phương pháp giải.
18


- Hướng dẫn học sinh cách vẽ hình để được hình vẽ đúng và trực quan
nhất, cách khai thác hình vẽ.
- Hình thành kỹ năng và rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán cơ bản
thông qua hệ thống bài tập được chọn lựa kỹ càng và có sự sắp xếp phù hợp.
Giáo viên tìm phương pháp tốt nhất để hướng dẫn học sinh cách phân tích, tư
duy tìm ra lời giải, hướng dẫn học sinh lập luận và trình bày chặt chẽ.
- Giao cho học sinh hệ thống bài tập rèn luyện có chọn lọc và kiểm tra,
chỉnh sửa việc làm bài tập của học sinh.

- Thường xuyên kiểm tra và ôn tập cho học sinh.
Bên cạnh đó người dạy phải có một số kỹ năng cơ bản sau:
- Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề.
- Kỹ năng giúp học sinh biết quy lạ về quen, biết phán đoán.
Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng rộng rãi trong các trường
THPT và phù hợp với tất cả các đối tượng học sinh. Đặc biệt, Sáng kiến kinh
nghiệm này có tác dụng thiết thực đối với xu hướng đổi mới ra đề theo hình
thức trắc nghiệm (dạng toán tính khoảng cách, thể tích sẽ xuất hiện nhiều) nên
cần được chú ý và đòi hỏi rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính nhanh và chính
xác kết quả. Dựa trên Sáng kiến kinh nghiệm này, người dạy có thể áp dụng
cách làm đó đối với các dạng toán khác, chương khác hay môn học khác.
3.2. Kiến nghị:
- Các tổ chuyên môn đẩy mạnh, nâng cao chất lượng việc báo cáo kết
quả Sáng kiến kinh nghiệm của các thành viên trong tổ theo định kỳ.
- Nhà trường khuyến khích, tạo điều kiện nhiều hơn nữa để ngày càng
nâng cao chất lượng viết Sáng kiến kinh nghiệm và các Sáng kiến kinh
nghiệm hiệu quả được triển khai áp dụng rộng rãi trong toàn trường.
- Sở Giáo dục và Đào tạo cần giới thiệu, phổ biến, triển khai các Sáng
kiến kinh nghiệm có chất lượng tốt đến các nhà trường để cùng nhau trao đổi
và áp dụng vào thực tế.
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 4 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là Sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, không sao chép
nội dung của người khác.

Phạm Thị Hiền

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hình Học 11, Trần Văn Hạo - Nguyễn Mộng Hy - Khu Quốc Anh Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2015.
2. Video “Khoảng cách trong không gian”, Lê Anh Tuấn, Nguồn
Internet (Youtube), năm 2017.
3. Video “Khoảng cách”, Lê Đình Nam, Nguồn Internet (Youtube), năm
2017.
4. Bài tập Hình Học 11, Nguyễn Mộng Hy – Khu Quốc Anh – Nguyễn
Hà Thanh, Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2007.
5. Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2014.
6. Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2011.
7. Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2014.
8. Đề thi THPT Quốc gia năm 2015.
9. Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2010.
10. Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2013.
11. Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2010.
12. Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2011.

20