EC

ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC


I. GIỚI THIỆU

1.ĐƯỜNG CONG TRÊN TRƯỜNG SỐ THỰC
2. ĐƯỜNG CONG TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN


I. GIỚI THIỆU
Định nghĩa:
Đường cong elliptic trên trường K là tập hợp
các điểm thỏa phương trình:
(E):y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6

(1)
Với một đểm O gọi là điểm tại vơ cùng.
Phương trình phải thỏa điều kiện khơng kì dị.
Nghĩa là khi viết dưới dạng F(x,y)=0 thì tại mọi
điểm (x,y) có ít nhất một trong các đạo hàm
riêng khác 0.


• Điều kiện khơng kì dị nghĩa là nếu xét tập các điểm
trên một đường cong, thì dường cong đó khơng có
điểm bội.
• Hay nếu biểu diễn y2 như một đa thứ bậc 3 của x
thì đa thức khơng có nghiệm bội.


1.ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG

SỐTHỰC
• Trong những trường đặc số khác 2,3 phương trình
(1) có thể đưa dạng Weierstrass về:
(E):y2=4x3+a4x+a6
Biệt thức: Δ=-16(4a43+27a62)
Điều kiện khơng kì dị(khơng có điểm bội):
4a43+27a62≠0


(E):y2+y=x3-x
y2=x3+1/4*x+5/4

(E):


(E):y^2=x^3+2*x+1

(E):y^2=x^3-3*x+2


2. ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC
TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN
Các điểmcủa đường cong (E) KH: E(Fq) trên
trường Fq có q phần tử thỏa mãn phương
trình trong Fq:
y2=4x3+a4x+a6
Ví dụ:
(E): y2=x3+1 (a1=0, a6=1) trên F5
Các điểm thuộc đường cong:
(0,1),(0,-1),(2,2)(2,-2),(4,0)

II. CÁC PHÉP TỐN

• 1. TRƯỜNG HỮU HẠN
• 2. PHÉP CỘNG
• 3.PHÉP NHÂN


1.TRƯỜNG HỮU HẠN
• Trường là tập K với hai phép tốn cộng (+) và
nhân(*) thỏa:
• K là nhóm aben với phép tốn cộng có phần
tử trung hịa (của phép cộng)
• K\{O} là nhóm aben với phép táon nhân có
phần tử đơn vị
• Với mọi a,b,c thuộc K ta có:c(a+b)=ca+cb
Và (a+b)c=ca+cb (luật phân phối)


• Trường có thể có vơ hạn phần tử( VD: R)
• Một trường được gọi là hữu hạn nếu nó có hữu
hạn phần tử. VD:
• ZP={0,1,…,p-2,p-1}
Với p ngun tố.
• (Zp với phép cộng theo mod p, phép nhân theo
mod p)-->một trường


• Nếu p ngyên tố thì trường hữu hạn Fp là trừng

gồm các phần tử từ 0 đến p-1
• Nếu q=pr. Thì phần tử của trường Fq thỏa
phương trình:
• Xq-X=0
• Fq là tập nghiệm của pt này.
• Phần tử của trường Fq là các đa thức


• Đặc số của trường:
• K trường có phần tử đơn vị 1 với phép tốn
nhân. Khi đó đặc số của K được định nghĩa là:
sốn n nhỏ nhất sao cho:
• 1+1+…+1=0 (n lần)
• KÝ HIỆU: char K=n
• Nếu khơng tồn tại số n như vậy , nghĩa là
1+1+….+1≠ 0 ta cộng thêm “1” bao nhiêu
cũng được .=> đặc số bằng 0


• Bậc của a:
• Với a thuộc F*q: bậc của a là số k nhỏ nhất
khơng âm thỏa a k=1.
• Bậc của a luôn là ước của q-1.


• (Lecture Notes on Computer network Security by Avi Kak)


Tính chất:
• P+O=O+P=P với mọi P thuộc (E)

• Tồn tại –P sao cho P+-P=O
• Phép cơng :P+Q với P ≠ ±Q
• Phép nhân : nP với P≠-P


2. PHÉP CỘNG
Đường cong elliptic trên trường số thực:
Cộng hai điểm P(x1,y1) + Q(x2,y2).=(x3,y3). Ta có cơng
thức:


• Và phép nhân:

• Với:


• Trên Z(2n)
(E): y2+xy=x3+ax+b
• Điểm –p=(x,-(x+y)
• Công thức cộng hai điểm P,Q:

• Với


3.PHÉP NHÂN
Phép nhân ta có 2P=P+P:

Phép nhân nP ta thực hiện phép cộng P n
lần

Cộng hai điểm trên trường hữu hạn
• Ví dụ:p=29, a=4, b=20
(E): y2=x3+4x+20 trên F29
(5,22)+(16,27)=(13,16)
2(5,22)=(14,6)


Ví dụ:
F24 Với a=z3,b=z3+1, f(z)=z4+z+1
(E): y2+xy=x3+z3x2+(x3+1)
phần tử trong trường này có dạng:
a3z3+a2z2+a1z+a0 được biểu diển là:(a3a2a1a0)
Ta có:
P(0010,1111), Q(1100,1100)
• (0010,1111)+(1100,1100)=(0001,0001)
• 2(0010,1111)=(1011,0010)


III.CÁC BÀI TOÁN

1.
2.
3.
4.

KIỂM TRA ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG CONG
ĐẾM SỐ ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG CONG
CỘNG HAI ĐIỂM ,NHÂN HAI ĐIỂM
NHÂN NHANH

1.KIỂM TRA ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG
CONG

• Viết đường cong dưới dạng F(x,y)=0.
• Thế tung tọa độ của điểm P(x1,y1) vào F(x,y)
• Nếu F(x1,y1)=0 thì P thuộc đường cong
• Nếu F(x1,y1)≠0 thì P không thuộc đường cong


2.ĐẾM SỐ ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG CONG
• Ví dụ: y2=x3+1 trên F17
• Có 18 điểm (kể cả điểm vơ cùng)
• (0, 1);(0 ,16);(1, 6);(1, 11);(2, 3);(2 ,14);(6 ,
8);(6 ,9);(7, 2);(7, 15);(9, 4);
• (9 ,13);(10,7);(10, 10);(14 ,5);(14 ,12); (16 ,
0)