Giải và biện luận phương trình, bất phương trình bằng phương pháp hàm số

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH
BẰNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ
I. Lý thuyết chung
1. Đối với phƣơng trình chứa tham số
Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1)
B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và đường thẳng
d: y = g(m).
B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m)
B3: Kết luận:

* phương trình có nghiệm: min f  x, m   g  m   max f  x, m  .
xD

xD

* phương trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm.
* phương trình vơ nghiệm khi: d không cắt (C ) .
2. Đối với bất phƣơng trình chứa tham số

f  x   g  m  với mọi x  D  g  m   max f  x 
xD

f  x   g  m  có nghiệm khi và chỉ khi g  m   min f  x 
xD

f  x   g  m  với mọi x  D  g  m   min f  x 
xD

f  x   g  m  có nghiệm khi và chỉ khi g  m   max f  x 

xD

Ví dụ:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:

x2  mx  2  2 x  1 có 2 nghiệm thực phân biệt.
A. m  9 .

B. m 

9
.
2

C. 1  m .

D. m  7 .

Hƣớng dẫn giải:
Ta có:

1

x

2
x  mx  2  2 x  1 1 
 2
3x  4 x  1  mx

2

 2

 *

Nhận xét:

1

 x   2
x  0 không phải là nghiệm của (2). Do vậy, ta tiếp tục biến đổi: *   2
 3 x  4 x  1  m  3

x
Bài tốn trở thành tìm m để (3) có 2 nghiệm thực phân biệt:

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

 1

x    ;   \ 0 .
2



Xét hàm số f  x  

3x 2  4 x  1
 1

với x    ;   \ 0 . Ta có:
x
 2


3x 2  1
 1

f ' x 
 0, x   ;   \ 0
2
x
 2

BBT

X





0

1
2

f ' x

+

+


f  x



9
2

Vậy với m 



9
thì phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt.
2

Chọn B.
II. Bài tập
Câu 1:

hương trình 2017sin x  sin x  2  cos2 x có ao nhi u nghiệm thực trong  5 ; 2017  ?
A. vô nghiệm

B. 2017 .

C. 2022 .

D. 2023 .

Hƣớng dẫn giải:
Chọn D
Ta có hàm số y  2017sin x  sin x  2  cos2 x tuần hoàn với chu kỳ T  2 .
Xét hàm số y  2017sin x  sin x  2  cos2 x trên  0; 2  .
Ta có


2sin x.cos x
sin x 
y  cos x.2017sin x.ln 2017  cos x 
 cos x.  2017sin x.ln 2017  1 

2 2  cos 2 x
1  sin 2 x 



3
Do vậy trên  0; 2  , y  0  cos x  0  x   x 
.
2
2
 
 3

y    2017  1  2  0 ; y 
2
 2

1

1  2  0

 2017

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Bảng biến thiên

x

3
2


2

0

y



0





0

0

 
y 
2

y

2

 3 
y 
 2

0

Vậy trên  0; 2  phương trình 2017sin x  sin x  2  cos2 x có đúng a nghiệm phân biệt.
Ta có y    0 , nên trên  0; 2  phương trình 2017sin x  sin x  2  cos2 x có ba nghiệm
phân biệt là 0,  , 2 .
Suy ra trên  5 ; 2017  phương trình có đúng 2017   5  1  2023 nghiệm.
Câu 2:

2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình m 2  tan x  m  tan x có ít nhất
một nghiệm thực.

A.  2  m  2 .

B. 1  m  1 .

C.  2  m  2 .

D. 1  m  1 .

Hƣớng dẫn giải:
Chọn C.
pt  m 

tan x
2  tan 2 x  1

Đặt tan x  t  m 
Xét hàm số f  t  

t
2  t 2 1

t
2  t 2 1

 f ' t  

2  2  t2
2t .







2



2  t 1
2

Lập BBT với lim f  t   1, lim f  t   1, f  2  2, f
t 

Câu 3:

t 

2

0t  2

 2 

2  m   2; 2  .

2
Giá trị của m để phương trình x  2 x  1  m có nghiệm là:

A. m 

2
.
2

B. m 

2
.
2

C. m 

2
.
2

D. m 

2
.
2

Hƣớng dẫn giải:

Chọn A.

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Đặt f ( x)  x  2 x 2  1  f   x   1 

2x
2x2  1

x  0
2

Ta có: f   x   0  2 x  1  2 x  
2 x 2
x  

2
2

Bảng biến thiên
Vậy, m 
Câu 4:

2
.
2

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2 x  1  x  m có nghiệm
thực?
A. m  2 .

B. m  2 .

C. m  3 .

D. m  3 .

Chọn A.
Chọn B.
Đặt t  x  1, t  0

hương trình thành: 2t  t 2 1  m  m  t 2  2t  1

Xét hàm số f (t )  t 2  2t  1, t  0; f (t )  2t  2
Bảng biến thiên của f  t  :
0

1
0
2

Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi m  2 .
Câu 5:

hương trình x3  x  x  1  m  x 2  1 có nghiệm thực khi và chỉ khi:
2

3
A. 6  m   .
2

B. 1  m  3 .

C. m  3 .

1
3
D.   m  .
4
4

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Hƣớng dẫn giải:
Sử dụng máy tính bỏ túi.

x3  x  x  1  m  x 2  1  mx 4  x3   2m  1 x 2  x  m  0
2

Chọn m  3 phương trình trở thành 3x4  x3  5x2  x  3  0 (khơng có nghiệm thực) nên loại
đáp án B, C.
Chọn m  6 phương trình trở thành 6 x4  x3  13x2  x  6  0 (khơng có nghiệm thực) nên
loại đáp án A.
Kiểm tra với m  0 phương trình trở thành  x3  x2  x  0  x  0 nên chọn đáp án D.

Tự luận

x3  x 2  x
Ta có x  x  x  1  m  x  1  m  4
(1)
x  2 x2  1
3

Xét hàm số y 

x
y 
 3x



2

3

2

2

x3  x 2  x
xác định trên
x4  2x2  1

.

 x 2  x   x 4  2 x 2  1   x 3  x 2  x  x 4  2 x 2  1

x

4

 2 x 2  1

2

 2 x  1 x 4  2 x 2  1   x 3  x 2  x  4 x 3  4 x 

x

4

 2 x 2  1

2

 x 6  2 x5  x 4  x 2  2 x  1

 x  2 x  1
  x  1 x  2 x  1

 x  2 x  1
4

4

2

2

2

4

2

2

x  1
y  0    x 4  1 x 2  2 x  1  0  
 x  1
Bảng biến thiên

x3  x 2  x
hương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  4
x  2x2  1

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai



1
3

m .
4
4

Chọn D.
Câu 6:

Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình 2  x  1  x  m  x  x 2 có hai nghiệm
phân biệt.
 23 
A. m  5;  .
 4

B. m  5;6.

 23 
 23 
C. m   5;   6 . D. m  5;   6 .
 4 
 4 

Hƣớng dẫn giải:
+) 2  x  1  x  m  x  x 2 ( 1 )
Điều kiện: 1  x  2
+) 1  3  2  x2  x  2   x 2  x  m
Đặt:  x 2  x  t; f  x    x2  x; f   x   2 x  1
1
1 1

f  1  2, f  2   2, f     t  2; 

4
2 4


1  3  2

t  2  t  m  2 t  2  t  m3  m  2 t  2 3t

Đặt f  t   2 t  2  3  t

f  t  

1
1 t  2
. f   t   0  1  t  2  0  t  1
1 
t2
t 2

Bảng biến thiên
1
t

-

-2

-1

4

+

f'(t)
6
f(t)
23
5

4

+)  x2  x  t   x2  x  t  0
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt    1  4t  0  t 

1
4

1

Do đó để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình   có nghiệm t   2; 
4


Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Từ bảng biến thiên  m  5;6 .
Chọn B.

Câu 7:

Tìm

tất

cả

các

giá

trị

thực

của

tham

số

m

sao

cho

bất

phương

trình:

m x2  2 x  2  m  2 x  x 2  0 có nghiệm x  0;1  3  .
A. m 

2
.
3

B. m  1 .

C. m 

2
.
3

D. m  0 .

Hƣớng dẫn giải:
Bpt 





x2  2 x  2  1  x  2  x   0  m 

x2  2 x
x2  2 x  2  1

, 1

Đặt t  x2  2 x  2  x2  2 x  t 2  2 .
Ta xác đinhk ĐK của t:
Xét hàm số t  x 2  2 x  2 với x  0;1  3  , ta đi tìm ĐK ràng uộc của t.
Ta có: t ' 

x 1
x  2x  2
2

,t '  0  x  1.

Vậy với x  0;1  3  thì 1  t  2 .
Khi đó: (1)  m 

t2  2
với t  1; 2 .
t 1

Xét hàm số f  t  

t2  2
t 2  2t  2
với t  1; 2 . Ta có: f '  t  
 0, x  1; 2 . Vậy hàm số f
2

t 1
t  2

tăng tr n [1;2].
Do đó, y u cầu của bài tốn trở thành tìm m để (1) có nghiệm t  1; 2
 m  max f  t   f  2  
t1;2

Vậy m 

2
.
3

2
thì pt có nghiệm.
3

Chọn A.
Câu 8:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình
đúng 2 nghiệm dương?
A. 1  m  3 .

B. 3  m  5 .

C.  5  m  3 .

x2  4 x  5  m  4 x  x 2 có

D. 3  m  3 .

Hƣớng dẫn giải:
Chọn B.

Trang | 7


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Đặt t  f ( x)  x2  4 x  5 . Ta có f ( x) 

x2
x2  4 x  5

. f ( x)  0  x  2

Xét x  0 ta có bảng biến thiên
0

2
0

1

Khi đó phương trình đã cho trở thành m  t 2  t  5  t 2  t  5  m  0 (1).
Nếu phương trình (1) có nghiệm t1 , t2 thì t1  t2  1 . (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t  1 .
Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng 1

 

nghiệm t  1; 5  . Ta có g (t )  2t  1  0, t  1; 5  .

nghiệm t  1; 5 . Đặt g (t )  t 2  t  5 . Ta đi tìm m để phương trình g (t )  m có đúng 1

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra 3  m  5 là các giá trị cần tìm.
Câu 9:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:
m





1  x 2  1  x 2  2  2 1  x 4  1  x 2  1  x 2 có nghiệm.

A. m  2  1 .

B.

2 1  m  1.

C. m  1 .

D. m  1 .

Hƣớng dẫn giải:
ĐK: x   1;1 .

Đặt t  1  x2  1  x 2 . Với x   1;1 , ta xác định ĐK của t như sau:
Xét hàm số t  1  x2  1  x 2 với x   1;1 .
Ta có:

Trang | 8


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

t'

x
1  x2



x
1  x2



x



1  x2  1  x2
1  x4

 , cho t '  0  x  0

Ta có t  1  2, t  0   0, t 1  2
Vậy với x   1;1 thì t  0; 2 
Từ t  1  x2  1  x2  2 1  x4  2  t 2 .
Khi đó pt đã cho tương đương với: m  t  2   t 2  t  2 
Bài toán trở thành tìm m để phương trình
Xét hàm số f  t  
Ta có: f '  t  

t 2  t  2
t2

t 2  t  2
 m có nghiệm t  0; 2  .
t2

t 2  t  2
với t  0; 2  .
t2

t 2  4t

t  2

2

 0, t  0; 2 

Suy ra: max f  t   f  0   1, min f  t   f
t0; 2 

t0; 2 

 2 

2  1.

Bây giờ yêu cầu bài toán xảy ra khi: min f  t   m  max f  t   2  1  m  1
t0; 2 

t0; 2 

2  1  m  1 thảo yêu cầu bài tốn.

Vậy với
Chọn B.

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:

3 x  1  m x  1  2 4 x 2  1 1 có nghiệm.
A. m  2  1 .

2 1  m  1.

B.

1
C. 1  m  .
3

D. m  1 .

Hƣớng dẫn giải:
ĐK xác định của phương trình: x  1.
Khi đó:

1  3

x 1
x2 1
x 1
x 1
 m  24
3
 m  24
2
x 1
x 1
x 1
 x  1

Đặt t  2 4

x 1
,  t  0  . Vì
x 1

4

 2

x 1 4
2
 1
 1 nên t<1.
x 1
x 1

Vậy với x  1 thì 0  t  1

Trang | 9


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Khi đó,  2  3t 2  m  2t  3t 2  2t  m,  3 .
Bây giờ bài tốn trở thành tìm m để (3) có nghiệm t   0;1 .
Xét hàm số f  t   3t 2  2t trên khoảng  0;1 . Ta có:
1
f '  t   6t  2, f '  t   0  6t  2  0  t  .
3

BBT

t

0

f ' t 

f t 

+

0

Vậy với 1  m 

1

1
3

0
1
3

−

1

1
thỏa mãn yêu cầu đề bài.
3

Chọn C.

Trang | 10


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.
I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và TH T danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

-

Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn
Đức Tấn.

II.

Khoá Học Nâng Cao và HSG
Học Toán Online cùng Chun Gia
-

Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuy n dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-

Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh học tập miễn phí
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí
HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
-

HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-

HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuy n đề, ơn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Trang | 11