Tổng hợp các công thức logarit quan trọng

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC LOGARIT QUAN TRỌNG
1. Định nghĩa
 Với a > 0, a  1, b > 0 ta có: log a b    a  b

a  0, a  1
Chú ý: log a b có nghĩa khi 
b  0
 Logarit thập phân:

lg b  log b  log10 b

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe):

 1
ln b  loge b (với e  lim 1    2, 718281 )
 n

n

2. Tính chất
 log a 1  0 ;

log a a  1 ;

aloga b  b (b  0)

loga a b  b ;

 Cho a > 0, a  1, b, c > 0. Khi đó:

+ Nếu a > 1 thì log a b  log a c  b  c
+ Nếu 0 < a < 1 thì log a b  log a c  b  c
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có:
 log a (bc)  log a b  log a c

b
 log a    log a b  log a c
c

 log a b   log a b

4. Đổi cơ số
Với a, b, c > 0 và a, b  1, ta có:
 logb c 

log a c
log a b

 log a b 

1
log b a

hay loga b.log b c  log a c
 log a c 

1
log a c (  0)


5. Bài tập
Câu 1:

Cho log7 12  x , log12 24  y và log54 168 

axy  1
, trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính
bxy  cx

giá trị biểu thức S  a  2b  3c.
A. S  4 .

B. S  19.

C. S  10.

D. S  15.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: log54 168 

log 7  24.7  log 7 24  1 log 7 12 log12 24  1


log 7 54
log 7 54
log 7 54

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai



log 7 12 log12 24  1
xy  1

log 7 12 log12 54
x.log12 54

Tính log12 54  log12  27.2   3log12 3  log12 2  3log12

3.2.12.24
24
 log12 .
2.12.24
12

123
24
 log12
 3  3  2log12 24    log12 24  1  8  5log12 24  8  5 y .
2
24
12

 3log12

Do đó: log54 168 

xy  1
xy  1
.

x  8  5 y  5 xy  8 x

a  1

Vậy b  5  S  a  2b  3c  15
c  8


Câu 2:

Nếu log8 a  log 4 b2  5 và log 4 a 2  log8 b  7 thì giá trị của ab bằng
A. 29.

B. 218.

C. 8.

D. 2.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đặt x  log 2 a  a  2x ; y  log 2 b  b  2 y .

1
x y 5
log8 a  log 4 b 2  5
 x  3 y  15
x  6
 3



Ta có 
. Suy ra ab  2x y  29 .



2
3x  y  21  y  3
x  1 y  7
log 4 a  log8 b  7
 3
BÌNH LUẬN
Nguyên tắc trong bài này là đưa về logarit cơ số 2.
Câu 3:

Với a  0, a  1 , cho biết: t  a
A. u  a

1
.
1  log a v

1
1 log a u

B. u  a

;v  a

1
1 log a t

1
.
1  log a t

. Chọn khẳng định đúng:
C. u  a

1
.
1  log a v

D. u  a

1
.
1  log a v

Giải:
Từ giả thiết suy ra: log a t 
log a v 

1
1
.log a a 
1  log a u
1  log a u

1
1
.log a a 

1  log a t
1  log a t 1 

1
1
1  log a u



1  log a u
 log a u

  log a v log a u  1  log a u  log a u 1  log a v   1
1

1
 log a u 
 u  a 1loga v
1  log a v

Chọn D.

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Câu 4:

Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm số y  a x , y  b x , y  logc x .

ya

x

y
3

y  bx

2

y  logc x

1
1

O

1

3

2

x

.
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
A. c  a  b.

B. a  c  b.

C. b  c  a.

D. a  b  c.

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Từ đồ thị
Ta thấy hàm số y  a x nghịch biến  0  a  1 .
Hàm số y  b x , y  logc x đồng biến  b  1, c  1

 a  b, a  c nên loại A, C
Nếu b  c thì đồ thị hàm số y  b x và y  logc x phải đối xứng nhau qua đường phân giác góc
phần tư thứ nhất y  x . Nhưng ta thấy đồ thị hàm số y  logc x cắt đường y  x nên loại
D.
Câu 5:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y 

1
xác định trên
m log x  4log3 x  m  3
2
3

khoảng  0;   .
A. m   ; 4   1;   .

B. m  1;   .

C. m   4;1 .

D. m  1;   .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đặt t  log3 x , khi đó x   0;    t  .
y

1
1
y

trở
thành
.
2

mt  4t  m  3
m log32 x  4log3 x  m  3

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Hàm số y 

y

1
xác định trên khoảng  0;   khi và chỉ khi hàm số
m log x  4log3 x  m  3
2
3

1
xác định trên
mt  4t  m  3
2

 mt 2  4t  m  3  0 vô nghiệm
   4  m2  3m  0  m  4  m  1 .

Câu 6:

Cho

log a log b log c
b2


 log x  0;
 xy .
p
q
r
ac

A. y  q 2  pr .

B. y 

pr
.
2q

nh y theo p, q, r .
C. y  2q  p  r .

D. y  2q  pr .

Hướng dẫn giải:
họn .
b2
b2
 x y  log
 log x y

ac
ac
 y log x  2 log b  log a  log c  2q log x  p log x  r log x
 log x  2q  p  r 

 y  2q  p  r (do log x  0 ).
BÌNH LUẬN
Sử dụng log a bc  log a b  log a c,log a
Câu 7:

b
 log a b  log a c,log a bm  m log a b
c

Giả sử p và q là các số thực dương sao cho: log9 p  log12 q  log16  p  q  . Tìm giá trị của
A.

4
3

B.

8
5



1
1 3
2

C.



D.



1
1 5
2

p
q



Hướng dẫn giải:
Đặt: t  log9 p  log12 q  log16  p  q  thì: p  9t , q  12t , 16t  p  q  9t  12t (1)
2t

t

t

4
4
4 q
Chia hai vế của (1) cho 9 ta được:    1    , đặt x      0 đưa về phương

p
3
3
3
trình:
t

x2  x 1  0  x 









1
q 1
1  5 do x  0 , suy ra  1  5 .
2
p 2

Chọn D.
Câu 8:

Cho a log6 3  b log6 2  c log6 5  5 , với a, b và c là các số hữu tỷ. các khẳng định sau đây,
khẳng định nào đúng?
A. a  b .

B. a  b .

C. b  a .

D. c  a  b .

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Hướng dẫn giải:
Ta có: a log6 3  b log6 2  c log6 5  5
 log3 3a 2b5c  5  3a 2b5c  65  35.25.50

Do a,b,c là các số hữu tỉ nên a=b=5 và c=0.
Chọn C.
Câu 9:

Cho n  1 là một số nguyên. Giá trị của biểu thức
A. 0.

B. n.

1
1
1
bằng

 ... 

log 2 n ! log3 n !
log n n !

C. n !.

D. 1.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

n  1, n  

1
1
1
1


 ... 
 log n! 2  log n! 3  log n! 4  ...  log n! n
log 2 n ! log3 n ! log 4 n !
log n n !

 log n!  2.3.4...n   log n! n !  1
BÌNH LUẬN

log a b 

1
, log a bc  log a b  log a c , log a a  1

log b a

Sử dụng cơng thức
Câu 10: Tính giá trị của biểu thức P  ln  tan1°  ln  tan 2  ln  tan3  ...  ln  tan89 .

1
B. P  .
2

A. P  1.

C. P  0.

D. P  2.

Hướng dẫn giải:
P  ln  tan1°   ln  tan 2   ln  tan 3   ...  ln  tan89 
 ln  tan1.tan 2.tan 3...tan89 
 ln  tan1.tan 2.tan 3...tan 45.cot 44.cot 43...cot1 

 ln  tan 45  ln1  0. (vì tan .cot   1 )
Chọn C.
Câu 11: Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho

loga 2019  22 log
A. 2017 .

a

2019  32 log 3 a 2019  ...  n2 log n a 2019  10082  20172 log a 2019

B. 2019 .

C. 2016 .

D. 2018 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

loga 2019  22 log

a

2019  32 log 3 a 2019  ...  n2 log n a 2019  10082  20172 log a 2019 (*)

Ta có n2 log n a 2019  n2 .n.log a 2019  n3 log a 2019 . Suy ra
 n(n  1) 
VT (*)  13  23  ...  n3  .log a 2019  
.log a 2019
 2 
2

VP (*)  10082  20172 log a 2019 . Khi đó (*) được:

n2 (n  1)2  22.10082.20172  20162.20172  n  2016 .

Câu 12: Cho các hàm số y  log a x và y  logb x có đồ thị
như hình vẽ bên. Đường thẳng x  5 cắt trục
hoành, đồ thị hàm số y  log a x và y  logb x lần
lượt tại A, B và C . Biết rằng CB  2 AB. Mệnh
đề nào sau đây là đúng?
A. a  b2 .

B. a3  b .

C. a  b3

D. a  5b .

Hướng dẫn gải:
Theo giải thiết, ta có A  5;0  , B  5;log a 5 , C 5;logb 5 .

 CB  2BA  log a 5  logb 5  2.   log a 5
Do CB  2 AB 

1

 3log a 5  logb 5 
 log a 5  logb 5 
 log a 5  log b3 5 
 a  b3 .
3
Chọn C.
1

1

 1 1
2
3log 2 2
2log 4 x
x
8
 1  1 . Giá trị của f  f  2017   bằng:
Câu 13: Kí hiệu f  x    x





A. 2016.

B. 1009.

C. 2017.

D. 1008.

Hướng dẫn gải:
1
1
 1 2log1 x
log 2 x
log 2 x
4
x


x
 x1 log x 2  x x    2 x

Ta có  1
.
1
1
3.
2
 3log x2 2
3.log 2 2
log 2 2
x
2
 2 x  2log2 x  x 2
8

1
2

1

2
Khi đó f  x    x  2 x  1  1   x  1  2  1  x.


2

Suy ra f  2017   2017 
 f  f  2017    f  2017   2017.

Chọn C.

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Trang | 7


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.
I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các rường ĐH và HP danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, iếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

-

Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn
Đức Tấn.

II.

Khoá Học Nâng Cao và HSG
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
-

Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình ốn Nâng Cao, oán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành t ch học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-

Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh học tập miễn phí
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí
HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
-

HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn ph , kho tư

liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-

HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, in Học và
Tiếng Anh.

Trang | 8