Dạng toán về tính Quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất , thời gian ngắn nhất và dài nhất

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài toán 1: Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất mà vật đi được khi xét
trong cùng khoảng thời gian

t.

Phương pháp giải:
So sánh khoảng thời gian t mà bài toán cho với nửa chu kỳ

 TH1: Nếu 0  t 

T
.
2

T
2

Vật dao động điều hịa có tốc độ càng lớn khi vật càng gần vị trí cân bằng và tốc độ càng nhỏ khi vật càng
gần vị trí biên nên xét trong cùng một khoảng thời gian, quãng đường đi được càng dài khi vật ở càng gần vị
trí cân bằng và càng ngắn khi vật càng gần vị trí biên. Do có tính đối xứng nên qng đường dài nhất gồm 2
phần bằng nhau đối xứng qua vị trí cân bằng, còn quãng đường ngắn nhất cũng gồm 2 phần bằng nhau nhưng
đối xứng qua vị trí biên.
Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều.
Ta có: Góc quét    t.
Quãng đường lớn nhất đối xứng qua trục sin khi vật đi từ M1  M 2 (hình 1):
Smax  2 A sin

W: www.hoc247.net


2

 2 A sin

F: www.facebook.com/hoc247.net

. t
2

.

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Quãng đường ngắn nhất đối xứng nhau qua trục cos khi vật đi từ M1  M 2 (hình 2):


. t 


Smin  2 A 1  cos   2 A  1 cos
.
2 
2 



 TH2: Nếu t 

Tách t  n.

T
.
2

T
T
 t  ở đó n  *;0  t   .
2
2

Với khoảng thời gian n

T
thì quãng đường vật đi được là 2nA .
2

Trong khoảng thời gian t  

T
thì qng đường lớn nhất, nhỏ nhất được tính một trong hai cách như trường
2

hợp 1.

Bài tốn 2: Tính thời gian ngắn nhất và dài nhất khi xét cùng độ dài qng

đường S.
Phương pháp giải:
Vật dao động điều hịa có tốc độ càng lớn khi vật càng gần vị trí cân bằng và tốc độ càng nhỏ khi vật càng
gần vị trí biên nên trong cũng quãng đường, khoảng thời gian sẽ dài khi vật đi gần vị trí biên. Khoảng thời
gian sẽ ngắn khi vật đi xung quanh gần vị trí cân bằng.
 TH1: Nếu S < 2A ta có:
Thời gian ngắn nhất vật đi được quãng đường S: S  2 A sin

min
2

 2 A sin



Thời gian dài nhất vật đi được quãng đường S: S  2 A 1  cos max
2

 TH2: Nếu S  2 A  S  n.2 A  S   t  n

 tmin
2

.

 tmax


  2 A 1  cos
2





.


T
 t   S   2 A .
2

 như trường hợp 1.
 hoặc tmax
Khi đó ta tìm tmin

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T. Tìm quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất mà
vật đi được trong các khoảng thời gian sau:
A.

T
.
6

B.

T
.
4

C.

T
.
3

D.

2T
.
3

Lời giải

Dựa vào trục thời gian và các khoảng thời gian đặc biệt, ta có:
a) Ta có:

T T T
A A
A 3

   Smax    A; Smin  2  A 

6 12 12
2 2

2 



 Smax  2 A sin 6  A
T
2 T 

Hoặc: t    
.  
.


6
T 6 3
 Smin  2 A 1  cos    2  A  A 3 


6
2 


b) Ta có:

A 2

A 2
 Smax  2.
2
T T T

  
.
4 8 8
 S  2  A  A 2   A 2  2

 min
2 









Smax  2 A sin  A 2

4
T
2 T 

.  
.
Hoặc: t    


8
T 8 4


 Smin  2 A 1  cos   A  A 2
4







c) Ta có:
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai


A 3
Smax  2.
A 3


T T T

2
  
.
3 6 6
S  2  A  A   A
min



2



d) Trong trường hợp này t 

T
.
2

Ta có:
2T T T T T T
  2 A  A  3 A.
      Smax  2 A  Smax
3
2 6 2 12 12

A 3

  2A  2 A 
Smin  2 A  Smin
  4 A  A 3.

2





Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình x  8cos  5 t   cm . Quãng đường lớn nhất mà
4

vật đi được trong khoảng thời gian 0,7s là
A. 53,66 cm.

B. 59,31 cm.

C. 56 cm.

D. 61,86 cm.

Lời giải
Ta có: T 

Mặt khác

2



 0, 4s;

t 7
T T
  t  3   Smax  3.2 A S  T 
max  
T 4
2 4
4

T T T
  A 2  8 2  Smax  48  8 2  59,31cm. Chọn B.
   Smax
4 8 8

 4 t  
  cm. Quãng đường ngắn nhất mà
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hịa với phương trình x  10cos 
4
 3

vật đi được trong khoảng thời gian t  11,5s là
A. 302,7 cm.

B. 310 cm.

C. 160 cm.

D. 152,7 cm.

Lời giải
Ta có: T 

2



 1,5s;

W: www.hoc247.net

t 23
T T
T T T

 t  15   15.   .
T
3
2 6
2 12 12
F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

  30 A  2 A  A 3  302,7cm. Chọn A.
Do đó Smax  15.2 A  Smin
Ví dụ 4: Một vật dao động điều hịa với chu kì T và biên độ A. Quãng đường lớn nhất vật đi được trong
khoảng thời gian

5T
là
3

A. 5A.

B. 7A.

C. 3A.

D. 6,5A.

Lời giải
Ta có:

5T
T T

 3   Smax  3.2 A  Smax.
3
2 6

Lại có:

T

T
  A  Smax  7 A. Chọn B.
 2.  Smax
6
12

Ví dụ 5: Một vật dao động điều hịa với biên độ A và tần số góc  . Thời gian ngắn nhất để vật đi được
quãng đường có độ dài A 3 là:
A.


6

B.


12

C.

1
6

D.

2
3

Lời giải
Thời gian ngắn nhất vật thực hiện được quãng đường đó khi vật di chuyển đối xứng qua vị trí cân bằng.

Khi đó: A 3 

A 3 A 3
T T 2

 tmin  2.  
.
2
2
6 3 3

Cách 2: Áp dụng công thức: Thời gian ngắn nhất vật đi được quãng đường S  A 3 thỏa mãn:

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

S  2 A sin

 tmin
2

 tmin 

2



.arcsin

S
2

. Chọn D.
2 A 3

Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và tần số f. Thời gian ngắn nhất để vật đi được quãng
đường có độ dài 3A là
A.

3
.
4f

B.

2
.
3f

C.

5

.
6f

D.

5
.
4f

Lời giải
Ta có: 3 A  2 A  A  tmin 

T
 .
 tmin
2

Thời gian ngắn nhất vật thực hiện được quãng đường A khi vật di chuyển đối xứng qua vị trí cân bằng
Ta có: A 

A A
T T
 2  .
  tmin
2 2
12 6

Do đó: tmin 

T T 2T

2
 

. Chọn B.
2 6
3 3f

Ví dụ 7: Một vật nhỏ đang dao động điều hòa, biết rằng khoảng thời gian dài nhất giữa hai lần liên tiếp vật
đi qua vị trí có li độ bằng A/n đúng bằng khoảng thời gian trong đó vật đi được quãng đường dài nhất là
3A. Giá trị của n là
A. n  2.

1
B. n  .
2

C. n 

3
.
2

D. n 

2
.
3

Lời giải

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Smax  k.2 A  2 A sin  2  3 A
T  T T 2T
 k  1 và    3  t  1.    
s ( cứ đi
2  2 6
3

được 2A hết T/2 s).
Khoảng thời gian đi trong đoạn 3A trên bằng với khoảng
thời gian giữa 2 lần liên tiếp đi qua li độ A n  t  2T 3 s.
  2  .t 

2 2T 4
.

rad .
T 3
3

Quãng thời gian t dài nhất ứng với  2 là cung lớn trên
đường tròn.

 Cung nhỏ 1  2 3 rad .

    3  A n  A.cos  3  n  2. Chọn A.

2

Ví dụ 8: Một chất điểm khối lượng 200g dao động điều hòa với phương trình x  10cos  2 t 
3



 cm .


Tại thời điểm t1 gia tốc của chất điểm cực tiểu. Tại thời điểm t2  t1  t (t2  2015T ) thì độ lớn động lượng
của chất điểm là 0,02 2kgm / s . Giá trị lớn nhất của t là
A. 2015,825 s.

B. 2014,542 s.

C. 2014,875 s.

D. 2014,625 s.

Lời giải
Chu kì dao động T = 1 s. Ta có t  t2  t1 để tmax   t2  t1 max
Khi p  0, 02 2  v 

p
 10 2cm / s.
m

Khi v  10 2  x  10 2. Trong một chu kì vật đi qua vị trí có vận tốc 10 2cm / s 2 lần
Để  t2  t1 max thì lúc đó chất điểm phải ở xa vị trí biên dương nhất  chính là vị trí có x  10 2 và v  0

 Từ vị trí t1, đến vị trí đó mất khoảng thời gian t  T 

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T 7T 7

 s
8
8 8
Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 7


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Do   t2  t1 max  kT 

7
7

 2k  .
8
8

Do t  2015T  2k 

7
 4030  k  2014,5625  k  2014  tmax  2014,825s. Chọn C.
8



Ví dụ 9: Một chất điểm dao động điều hịa với phương trình x  A cos   t   cm . Tại thời điểm t1 , gia
6

tốc của chất điểm đổi chiều. Tại thời điểm t2  t1  t ( t  2015T ) thì tốc độ của chất điểm là

A
cm / s.
3

Giá trị lớn nhất của t là
A. 4029,608 s.

B. 4029,892 s.

C. 4025,25 s.

D. 4025,4 s.

Lời giải
Chu kì dao động T = 2 s. Ta có t  t2  t1 để tmax   t2  t1 max
A
A
2 2A
v
. Trong một chu kì vật đi qua vị trí có tốc độ
cm / s 4 lần.
 x  A2    
3
3
3
 
2

Khi v 

Để  t2  t1 max thì lúc đó chất điểm phải ở xa vị trí biên dương nhất  chính là vị trí có x  10 2 và v  0
Và lúc đó chiều chuyển động là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm

2 2
arcsin 
T
3
T

  0, 6959T  1, 4s
 Từ vị trí t1 đến vị trí đó mất khoảng thời gian t  
2
2

Do   t2  t1  max  kT 1, 4  2k  1, 4
Do t  2015T  2k  1, 4  4030  k  2014,3  k  2014  tmax  4029, 4s. Chọn D.
Ví dụ 10: Một vật dao động điều hịa có biên độ A = 10 cm. Trong khoảng thời gian

13
s vật đi được
6

quãng đường lớn nhất S = 90 cm. Tìm tốc độ của vật ở cuối quãng đường trên.
A. 5 2 cm / s.

B. 10 2 cm / s.

C. 10 3 cm / s.

D. 10 cm / s.

Lời giải

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 8


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Smax  90cm  9 A  2.(4 A)  A  t 

13
s  2T  t
6

 Smax  t   A đối xứng nhau qua vị trí cân bằng, mỗi bên  A 2
 MN 

t 


3

 t

T
.
6

13
T
s  2T   T  1s
6
6

xcuoi  

A
3

3
v
v0 
.2 .10  10 3 cm / s.
2
2
2

Chọn C.
Ví dụ 11: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, gọi t là khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp vật
có động năng bằng thế năng. Tại thời điểm t vật qua vị trí có tốc độ 15 3cm / s với độ lớn gia tốc
22,5m / s 2 , sau đó một khoảng thời gian đúng bằng t vật qua vị trí có độ lớn vận tốc 45 cm / s . Lấy

 2  10 . Quãng đường mà vật có thể đi được tối đa trong 0,1s là
A. 6 3cm

B. 6 6cm

C. 6 2cm

D. 6cm

Lời giải
Thời gian ngắn nhất giữa 2 lần liên tiếp vật có động năng bằng thế năng: t 

T

  .
4
2

Vận tốc tại thời điểm t1 vuông pha với vận tốc tại thời điểm t  t1  t suy ra x 
2

A
.
2

2

 v   a 
2
Áp dụng hệ thức vuông pha tại thời điểm t1 ta có: 
 
  1  amax  15 3m / s
 vmax   amax 

 

amax
 5  A  6 3cm.
vmax

Mặt khác Smax  2 A sin

W: www.hoc247.net

 t
2

 2.6 3.sin

5 .0,1
 6 3cm. Chọn A.
2

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 9


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng
các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng
TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.

Khoá Học Nâng Cao và HSG
Học Toán Online cùng Chun Gia
-

Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6,
7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ
thi HSG.

-

Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam
Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đơi HLV đạt thành
tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh học tập miễn phí
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí
HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
-

HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn
học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo
phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-

HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn phí
từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 10