Ứng dụng tích phân giải bài toán về chuyển động

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI BÀI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG
1. Phương pháp giải
- Giả sử vật M chuyển động trên quãng đường có độ dài là s trong khoảng thời gian t. Khi đó, vật M
chuyển động với vận tốc trung bình là
v

s
t

- Tuy nhiên, chúng ta gặp rất nhiều trường hợp vật chuyển động không đều, vận tốc thay đổi liên tục tùy
theo vị trí và thời gian. Ví dụ xe chạy trên đường gặp nhiều chướng ngại vật thì giảm tốc, chạy trên
đường thơng thống thì tăng tốc. Vì vậy ta cần phương pháp tính đúng vận tốc của xe tại mỗi thời điểm.
- Giả sử v(t) là vận tốc của vật M tại thời điểm t, và s(t) là quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian
t tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Ta có mối liên hệ giữa s(t) và v(t)
+ Đạo hàm của quãng đường là vận tốc

s  t   v  t 
+ Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường
s  t    v  t  dt

- Từ đây ta cũng có quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t   a; b  là:
b

 v t  dt  s  b   s  a 
a

- Nếu gọi a(t) là gia tốc của vật M thì ta có mối liên hệ giữa v(t) và a(t)
+ Đạo hàm của vận tốc chính là gia tốc
v  t   a  t 

+ Nguyên hàm của gia tốc chính là vận tốc
v  t    a  t  dt

Ví dụ: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, ơ tơ chuyển động

chậm dần đều với vận tốc v  t   5t  10  m/s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc
đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ơ tơ cịn di chuyển được bao nhiêu mét ?
A. 0, 2m
B. 2m .
C. 10m .
D. 20m .
Hướng dẫn giải



Lúc bắt đầu đạp phanh, tức là tại thời điểm t0 , ơ tơ có vận tốc v0  10  m / s  . Suy ra
v  t0   5t0  10  10  t0  0 .



Khi ô tô dừng lại tại thời điểm t1 thì vận tốc v1  0  m / s  . Suy ra v  t1   5t1  10  0  t1  2 .

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai



Ta có mối liên hệ giữa 2 đại lượng biến thiên quãng đường đi được S  t  và vận tốc v  t  là: Nguyên
hàm của vận tốc v  t  chính là quãng đường đi được S  t  . Suy ra quãng đường đi được từ lúc đạp
phanh đến khi dừng lại là tích phân của hàm v  t  khi thời gian t từ 0s đến 2s.
2

 t2

v
t
dt


5
t

10
dt


5

10
t





  10m .
0

0
2

0
2



2

Vậy chọn đáp án C.

2. Bài tập
Bài 1: Một xe mô tô phân khối lớn sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên
tục được biểu thị bằng đồ thị là đường cong Parabol có hình bên. Biết rằng sau 15s thì xe đạt đến vận tốc
cao nhất 60m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được
quãng đường bao nhiêu mét ?

Hướng dẫn giải



Hàm vận tốc v  t   at 2  bt  c có dạng là đường Parabol có đỉnh I 15; 60  , đồng thời đi qua gốc tọa
độ O(0;0), suy ra



a.0 2  b.0  c  0
c  0
c  0



4

 b

 15
 30a  b  0
 a  

15
 2a
a.152  b.15  0  60

2

a.15  b.15  c  60
b  8
4
 v  t    t 2  8t .
15
Theo đồ thị thì xe bắt đầu tăng tốc lúc t  0 và đạt vận tốc cao nhất lúc t  15 s nên quãng đường đi
được của xe từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất
15

 4 2

 4 3
2
0 v t  dt  0   15 t  8t  dt    45 t  4t   600m .

0

15



15

Vậy từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được một quãng đường dài 600m.

Bài 2: Một máy bay đang chuyển động thẳng đều trên mặt đất với vận tốc v  3  m/s  thì bắt đầu tăng
tốc với độ biến thiên vận tốc là hàm số a  t  có đồ thị hàm số là đường thẳng như hình bên. Sau 15s tăng
tốc thì máy bay đạt đến vận tốc đủ lớn để phóng khỏi mặt đất. Hãy tính vận tốc khi máy bay bắt đầu rời
khỏi mặt đất.

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Hướng dẫn giải


Đường thẳng a  t   mt  n đi qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm A(16;90) nên suy ra

m.0  n  0
n  0

 a  t   6t .


m.15  n  90
m  6



Ta hiểu rằng: Nguyên hàm của gia tốc a  t  chính là vận tốc của vật chuyển động. Do đó ta có cơng
thức vận tốc v(t) được tính theo công thức

v  t    a  t  dt   6tdt  3t 2  C



Tại thời điểm bắt đầu tăng tốc thì xem như t  0 và vận tốc lúc đó là v  3  m/s  .
Suy ra v  0   3  3.02  C  3  C  3  v  t   3t 2  3 .



Vậy vận tốc máy bay đạt được khi bắt đầu phóng khỏi mặt đất là

v 15   3.152  3  678 (m/s).

Bài 3: Một viên đạn được bắn lên trời với vận tốc là 72 m/s bắt đầu từ độ cao 2m. Hãy xác định chiều cao
của viên đạn sau thời gian 5s kể từ lúc bắn.
Hướng dẫn giải


Ta có vận tốc của viên đạn tại thời điểm t là

v  t    9,8dt  9,8t  C1

Do v  0   72 nên v  0   9,8.0  C1  72  C1  72  v  t   9,8t  72 .


Độ cao của viên đạn tại thời điểm t là

s  t    v  t  dt    9,8t  72  dt  4,9t 2  72t  C2

Vì s  0   2 nên s  0   4,9.02  72.0  C2  2  C2  2  s  t   4,9t 2  72t  2 .


Vậy sau khoảng thời gian 5s kể từ lúc bắn, viên đạn ở độ cao

s  5   4,9.52  72.5  2  239,5m .

Bài 4 : Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   160  10t  m / s  . Hỏi rằng trong 3s trước khi
dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét ?
Hướng dẫn giải:

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 Vật chuyển động chậm dần cho đến khi dừng hẳn thì

v  t   0  160  10t  0  t  16  s  .
 Quãng đường vật đi được từ giây thứ 13 đến giây thứ 16 là
16

16

13

13

S   v  t  dt 
Bài 5 : Một vật chuyển động với gia tốc a(t) 

 160  10t  dt  45m .

3
(m / s2 ) .Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Hỏi vận tốc
t 1

của vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải:
 Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo cơng thức
v  t    a(t )dt  

3
dt  3ln t  1  C .
t 1

 Vì vận tốc ban đầu (lúc t  0 ) của vật là v0  6m / s nên
v  0   3ln 0  1  C  6  C  6  v  t   3ln t  1  6 .

 Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là v 10   3ln 10  1  6  13,2m / s .
Bài 6 : Một xe mô tô phân khối lớn đang chạy với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc
a(t)  t2  3t(m / s2 ) . Hỏi quãng đường của xe đi được trong quãng thời gian 10s đầu tiên sau khi tăng
tốc ?

Hướng dẫn giải:
 Xe mô tô tăng tốc với gia tốc a(t )  t 2  3t(m / s 2 ) . Vận tốc v  t  chính là nguyên hàm của hàm số
a(t ) .





v  t    a(t )dt   t 2  3t dt 

t3
t2
 3 C .
3
2

 Vận tốc ban đầu (tại thời điểm t0  0 ) của xe là v0  10m / s nên

v  0   10 

03
02
t3
t2
 3  C  10  C  10  v  t    3  10 .
3
2
3
2

 Mặt khác, đạo hàm của quãng đường s(t) chính là vận tốc v(t) của xe chuyển động tại thời điểm t. Suy
ra, quãng đường đi được của xe sau 10s đầu tiên bằng tích phân của hàm v  t  khi biến t từ 0s đến
10s.
10
10
 t3

t2
4300
S   v  t  dt     3  10  dt 
(m).
3
2
3


0
0

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài 7 : Một xe ô tô chuyển động với vận tốc tại giây thứ t là v  t   4t 3  2t  3  m / s  . Hỏi xe đã đi được
quãng đường là bao nhiêu kể từ lúc bắt đầu  t  0  cho đến lúc t  5s .
Hướng dẫn giải:
 Nguyên hàm của vận tốc v  t  chính là quãng đường đi được s  t  . Suy ra quãng đường đi được trong
khoảng thời gian từ t  0s đến t  5s là:
5

5







S   v  t  dt   4t 3  2t  3 dt  t 4  t 2  3t
0



0

5
0

 665 m.

Bài 8 : Vận tốc chuyển động của máy bay là v  t   3t 2  5  m / s  . Tính quãng đường máy bay đi được từ
giây thứ 4 đến giây thứ 10.
Hướng dẫn giải:
 Quãng đường đi được của máy bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 bằng tích phân của hàm vận tốc v  t 
khi t  4s đến t  10s .
10

S   v  t  dt 
4

10

  3t

2





 5 dt  t 3  5t

4

Bài 9 : Một vật chuyển động với vận tốc v  t   1, 2 



10
4

 966m .

t2  4
 m / s  . Quãng đường đi được của vật đó trong
t3

4s đầu tiên bằng bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải:

 Quãng đường đi được của vật trong 4 giây đầu tiên là
4
4

t2  4 
S   v  t  dt    1, 2 
 dt  ...  11,81m .
t3 
0
0

Bài 10 : Một vận động viên điền kinh xuất phát chạy với gia tốc a  t   





1 3 5 2
t  t m / s 2 . Hỏi vào thời
24
16

điểm 5s sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải
 Vận tốc v  t  chính là nguyên hàm của gia tốc a  t  nên ta có:

 1
5 
1
5

v  t    a  t  dt     t 3  t 2  dt   t 4  t 3  C .
16 
96
48
 24
 Tại thời điểm ban đầu  t  0s  thì vận động viên ở tại vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là
v0  0  v  0   0  

1 4 5 3
0  0 C  0  C  0.
96
48

 Vậy công thức vận tốc là v  t   

1 4 5 3
t  t .
96
48

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là v  5   6, 51m / s .

Trang | 6

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.
I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

-

Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn
Đức Tấn.

II.

Khoá Học Nâng Cao và HSG
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
-

Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh học tập miễn phí
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí
HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
-

HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-

HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Trang | 7