Ứng dụng tích phân giải bài toán về tăng trưởng, phát triển

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI BÀI TOÁN VỀ TĂNG
TRƯỞNG, PHÁT TRIỂN
1. Phương pháp


Cho hàm số f  x  biểu diễn cho sự tăng (hay giảm) số lượng của một đối tượng nào đó (số người, vi
khuẩn, vi trùng, lượng nước chảy,...).



Giá trị f  x  là số lượng của đối tượng đó tại thời điểm x .



Đạo hàm f   x  chính là tốc độ tăng (hay giảm) của đối tượng đó tại thời điểm x .



Số lượng tăng thêm (hoặc giảm đi) của đối tượng trong khoảng x   a; b  là:
b

 f  x  dx
a

Ví dụ: Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau x tháng kể từ bây giờ, dân số của thành phố A sẽ tăng với tốc độ
v  x   10  2 2 x  1 (người/tháng). Dân số của thành phố sẽ tăng thêm bao nhiêu trong 4 tháng tới.

Hướng dẫn giải


Gọi f  x  là dân số của thành phố sau x tháng kể từ bây giờ.



Tốc độ thay đổi của dân số là v  x   10  2 2 x  1 .



Suy ra f  x    10  2 2 x  1 dx  10 x  2  2 x  1dx .



Mà



Do đó f  x   10 x 







2 x  1dx 



1

3
1
1
2 d 2x  1 
2 C .
2
x

1
2
x

1






2
3

3
2
2 x  1 2  C .

3
Số dân trong 4 tháng tới là:

f  4   f  0   10.4 

3


2
2
2.4  1 2  C   0   C   57 người

3
3



2. Bài tập
Bài 1: Tốc độ thay đổi của số lượng người V ( tính bằng ngàn người ) tham gia cơng tác tình nguyện ở

nước Mỹ từ năm 2000 đến năm 2006 có thể được mơ hình bởi hàm số V  t   119,85t 2  30et  37, 26e t
với t là năm ( t = 0 ứng với năm 2000 )
Hỏi số lượng người tham gia tình nguyện trong giai đoạn trên tăng lên hay giảm đi với số lượng bao
nhiêu. ( Nguồn: Cục thống kê lao động nước Mỹ ).
Hướng dẫn giải


Sự chênh lệch của số người tham gia tình nguyện trong giai đoạn từ năm 2000 đến năm 2006 là:
6

6

0

0





2
t
t
 V t  dt   119,85t  30e  37, 261e dt

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

6

 119,85 3


t  30et  37, 261e t   3473,756166   67, 261  3406 .
 3
0


Vậy trong khoảng thời gian từ năm 2000 đến năm 2006, số lượng người tham gia cơng tác tình
nguyện đã giảm đi khoảng 3406 người.
Bài 2: Tốc độ tăng các cặp đôi kết hôn ( đơn vị tính: triệu người ) của nước Mỹ từ năm 1970 đến năm
2005 có thể được mơ hình bởi hàm số f  t   1,218t 2  44,72t  709,1 với t là năm (t = 0 ứng với năm

1970 ) . Số lượng cặp đôi kết hơn vào năm 2005 là 59513 ngàn người.
a. Tìm một mơ hình biểu thị cho số lượng các cặp đơi kết hơn của nước Mỹ.
b. Sử dụng mơ hình đó để dự đốn số lượng các cặp đơi kết hôn của nước Mỹ vào năm 2012. Kết quả
của bạn liệu có hợp lí? Giải thích vì sao?
Hướng dẫn giải
a. Để tìm một mơ hình cho số lượng các cặp đơi kết hơn ta tìm ngun hàm của f  t 





F  t    1, 218t 2  44,72t  709,1 dt 

1, 218 3 44,72 2
t 
t  709,1t  C
3
2



 0,406t 3  22,36t 2  709,1t  C
Số lượng các cặp đôi kết hôn vào năm 2005 là 59513 triệu người nên ta có



Vậy một mơ hình cần tìm là F  t   0, 406t 3  22, 36t 2  709,1t  44678, 25

F  35  59513  0,406.353  22,36.352  709,1.35  C  59513  C  44678,25

b. Số lượng các cặp đôi kết hôn vào năm 2012 là F  42   65097,138 triệu người
Theo báo cáo của Cục điều tra dân số nước Mỹ thì vào năm 2012 tổng số các cặp đơi kết hôn của nước
Mỹ khoảng 61,047 triệu người. So với kết quả lý thuyết thì sự chênh lệch là tạm chấp nhận được.
Bài 3: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mơ hình bởi hàm số
1000
B  t  
, t  0 , trong đó B(t) là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày thứ t. Số lượng
2
1  0, 3t 
vi khuẩn ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số
vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lí và thay
nước mới cho hồ bơi.
Hướng dẫn giải


Số lượng của vi khuẩn tại ngày thứ t được mơ hình bởi hàm số B(t) là ngun hàm của B’(t).
B t   



1000

1  0, 3t 

dt  1000   1  0, 3t  dt  
2

2

Số lượng vi khuẩn lúc ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước nên

B  0   500  


1000
C .
0, 3 1  0, 3t 

1000
11500
.
 C  500  C 
3
0, 3 1  0, 3.0 

Suy ra hàm số biểu thị cho số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t là

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

B t   


1000
11500
.


3
0, 3 1  0, 3t 

Số lượng vi khuẩn dưới 3000 con trên mỗi ml nước thì người bơi vẫn an tồn; và người bơi khơng an
tồn khi

B  t   3000  



1000
11500

 3000
3
0, 3 1  0, 3t 

1000
2500

 1  0, 3t  4  t  10 .
3
0, 3 1  0, 3t 

Vậy vào ngày thứ 10 thì số lượng vi khuẩn sẽ là 3000 con và hồ bơi khơng cịn an toàn, cần phải thay
nước mới.

Bài 4: Một hồ nước bị ô nhiễm được xử lý bằng một chất diệt khuẩn. Tốc độ phát triển của số lượng vi
3000
khuẩn sống sót được mơ hình bởi B  t  

, t  0 với B(t) là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml
2
1

0,
2
t


nước là t là số ngày tính từ khi hồ nước được xử lý. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là 10000 con/ml
nước. Sử dụng mơ hình này xác định số lượng vi khuẩn sau 5 ngày. Liệu số lượng vi khuẩn có thể vượt
2000 con/ml nước.
Hướng dẫn giải


Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn sống sót được mơ hình bởi cơng thức đạo hàm
3000
B  t   
, t  0.
2
1  0, 2t 



Nguyên hàm của B  t  là hàm B  t  biểu thị số lượng vi khuẩn sống sót trong ngày thứ t. Ta có
B t   

3000

1  0, 2t 

dt  3000   1  0, 2t  dt  15000 1  0, 2t   C 
2

2



Vì số lượng vi khuẩn ban đầu là 10.000 con/ml nước nên có



Vậy hàm số biểu thị số lượng vi khuẩn sống sót tại ngày thứ t là
15000
B t  
 5000 .
1  0, 2t



Số vi khuẩn sau 5 ngày sẽ là B  5   2500con / 1ml .

1

15000
C
1  0, 2t

B  0   10000  15000  C  10000  C  5000 .

 Như vậy số lượng vi khuẩn đã vượt qua 2000 con/ml nước.
Bài 5: Người ta thay nước mới cho 1 bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là h1  280cm . Giả sử
h(t) là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của
1 3
t  3 và lúc đầu hồ bơi khơng có nước. Hỏi sau bao lâu
chiều cao mực nước tại giây thứ t là h  t  
500
3
thì nước bơm được độ sâu của hồ bơi?
4

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Hướng dẫn giải
 Ta biết rằng chiều cao h(t) của mực nước bơm được chính là nguyên hàm của tốc độ tăng h’(t) của
chiều cao mực nước.
4
1 3
3
t  3dt 
t  3 3  C .

500
2000
 Lúc ban đầu (tại t  0 ) hồ bơi không chứa nước, nghĩa là

h  t    h  t  dt  

7
4
3
33
.
h t   0 
0  3 3  C  0  C  

2000
2000
 Suy ra mực nước bơm được tại thời điểm t giây là

7
4
3
33
.
h t  
t  3 3 

2000
2000
3
 Theo giả thiết, lượng nước bơm được bằng
độ sâu của hồ bơi nên ta có
4
7
4
4

3
3
33
3
3 
h  t   h1 
t

3

.280

t

3
  2000 4
  3  140004, 33  t  7234s .
4
2000
3
 Vậy sau khoảng thời gian 2 giờ 34 giây thì bơm được độ sâu của hồ bơi.
4
Bài 6: Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện Hố Hô đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng nước





tại thời điểm t giây là v  t   10t  500 m3 / s . Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ chứa nước của nhà
máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải
 Lượng nước lũ đã xả trong khoảng thời gian 40 phút (2400 giây) sẽ bằng

L

2400



v  t  dt 

0

2400

 10t  500  dt   5t

2

 500t

0



2400
0

 

 3.107 m3 .

 Vậy trong khoảng thời gian 40 phút, nhà máy đã xả một lượng nước là 30 triệu khối, tức là hồ chứa
nước đã thoát đi 30 triệu khối nước.
Bài 7: Trọng lượng của một bào thai người nặng khoảng 0,04 ounce
(1ounce = 28,3495 gram) sau 8 tuần tuổi. Trong suốt 35 tuần tiếp theo, trọng lượng của bào thai này được
dự đoán tăng với tốc độ: B  t  

2436e 0,193t

1  784e

0,193t



2

,8  t  43 với B(t) là cân nặng tính bằng ounce và t là

thời gian tính bằng tuần. Hãy tính trọng lượng của bào thai sau 25 tuần tuổi.
Hướng dẫn giải
 Theo giả thiết thì trọng lượng của bào thai này được dự đoán tăng với tốc độ là hàm số

B  t  

2436e 0,193t

1  784e

0,193 t



2

,8  t  43 nên B(t) chính là nguyên hàm của B’(t).

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

B t   

24361e 0,193t

1  784e

0,193 t



2

dt .

 Đặt u  1  784e 0,193t , ta có
du 16,1
16,1

B  16,1 2 
C 
C .
u
u
1  784e 0,193t
16,1
 B t  
C .
1  784e 0,193t
 Sau 8 tuần tuổi thì bào thai cân nặng khoảng 0,04 ounce nên
16,1
B  8   0,04 
 C  0,04  C  0,0556
1  784e 0,193.8
 Do đó ta có hàm số cân nặng của bào thai là
16,1
B t  
 0,0556, 8  t  43.
1  784e 0,193t
 Cân nặng của bào thai sau 25 tuần tuổi là:
16,1
B  25  
 0,0556  2,152ounce .
1  784e 0,193.25

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.
I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

-

Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn
Đức Tấn.

II.

Khoá Học Nâng Cao và HSG
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
-

Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh học tập miễn phí
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí
HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
-

HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-

HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Trang | 6