Chuyên đề bài toán vay trả góp – góp vốn

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHUYÊN ĐỀ BÀI TỐN VAY TRẢ GĨP – GĨP VỐN
1. Tóm tắt một số bài tốn thường gặp
Bài tốn 1: Ơng Ninh hàng tháng gửi vào ngân hàng Y một số tiền như nhau là a đồng,kì hạn1 tháng
với lãi suất r% một tháng. Sau n tháng ông Ninh nhận được số tiền vốn và lãi là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải


Cuối tháng thứ 1, ơng Ninh có số tiền là: P1  a  a.r  a 1  r 



Đầu tháng thứ 2, ơng Ninh có số tiền là:
P1  a  a 1  r   a  a  a 1  r   a 1  1  r 



Cuối tháng thứ 2, ơng Ninh có số tiền là:
2
P2  P1  P1 .r  a  a 1  r    a  a 1  r  .r  a 1  r   1  r 





Đầu tháng thứ 3, ông Ninh có số tiền là:
2
2
P2  a  a 1  r   1  r    a  a 1  1  r   1  r  








Cuối tháng thứ 3, ông Ninh có số tiền là:
2
2
3
2
P3  P2  P2 .r  a 1  1  r   1  r    a 1  1  r   1  r   .r  a 1  r   1  r   1  r 







…………………


Cuối tháng thứ n, ơng Ninh có số tiền là:


n
n1
n 2
2


Pn  a 1  r   1  r   1  r   ....  1  r   1  r 


Sn
 Pn  a 1  r 

1  r 
r

n

1

 3

(Lưu ý các số hạng của tổng Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân với công bội

1  r   1 )
qn  1
là q  1  r và số hạng đầu là u1  1  r nên ta có Sn  u1
 1  r 
q1
r
n

Ví dụ 1: Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng 3000.000 đồng, theo hình thức lãi kép,kì hạn1 tháng.
Biết rằng lãi suất hàng tháng là 0,67% . Hỏi sau 2 năm người đó nhận được số tiền là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải


Áp dụng công thức (3) cho a  3000.000 đồng, r  0, 67%,n  2  12  24 tháng



Ta có: Sau 2 năm người đó nhận được số tiền là:

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

P24  3000000(1  0 , 67%)

(1  0 , 67%)24  1
 78351483 , 45 đồng
0 , 67%

Bài toán 2: Giả sử có một người gửi vào ngân hàng a đồng, lãi suất r% một tháng , kì hạn 1 tháng. Mỗi
tháng người đó rút ra x đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau n tháng số tiền cịn lại là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải


Gọi Pn là số tiền còn lại sau tháng thứ n.



Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là: a  ar  a 1  r   ad với d  1  r
Rút x đồng thì số tiền cịn lại là: P1  ad  x  ad  x

d 1

d 1

Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là: ad  x   ad  x  r   ad  x 1  r    ad  x  d



Rút x đồng thì số tiền còn lại là:
P2   ad  x  d  x  ad 2  xd  x  ad 2  x  d  1  ad 2  x


d2  1
d 1

Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là:
ad 2  x  d  1   ad 2  x  d  1 r   ad 2  x  d  1 1  r    ad 2  x  d  1 d







Rút x đồng thì số tiền cịn lại là:





d3  1
P3   ad 2  x  d  1 d  x  ad 3  xd 2  xd  x  ad 3  x d 2  d  1  ad 3  x



d 1


………………………………………..



Sau

tháng

thứ

n

số

tiền

còn

lại

là:

1  r   1 , 4 với d  1  r
n
dn  1

Pn  ad  x
 Pn  a 1  r   x
 
d 1
r
n

n

Để hiểu rõ bài tốn trên các em theo rõi các ví dụ phía dưới
Ví dụ 2: Một cụ già có 100.000.000 gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất
0,65% một tháng. Mỗi tháng cụ rút ra 1000.000 đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau hai năm số
tiền còn lại của cụ là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải


Áp dụng công thức (4) với: n  24 ,r  0, 65%,x  1000000,a  100000000



Vậy số tiền bà cụ còn lại sau 2 năm là:

P

24

 100000000 1 0 ,65%

24

1 0 ,65%
 1000000.

24

0 ,65%

1

 90941121, 63 đồng.

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài toán 3: Trả góp ngân hàng hoặc mua đồ trả góp.
(Bài tốn này cách xây dựng giống bài toán số 2)
Ta xét bài toán tổng quát sau: Một người vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất cho số tiền
chưa trả là r% một tháng (hình thức này gọi là tính lãi trên dư nợ giảm dần nghĩa là tính lãi trên số tiền
mà người vay cịn nợ ở thời điểm hiện tại) , số tháng vay là n tháng, số tiền đều đặn trả vào ngân hàng là
x đồng. Tìm cơng thức tính x ? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian vay.

Ảnh minh hoạ: Nguồn internet
Hướng dẫn giải


Gọi Pn1 là số tiền còn lại đầu tháng thứ n  1 .



Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là: a  ar  a 1  r   ad với d  1  r
Trả x đồng thì số tiền còn lại đầu tháng thứ hai là: P2  ad  x  ad  x



d 1
d 1

Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là: ad  x   ad  x  r   ad  x 1  r    ad  x  d
Trả x đồng thì số tiền còn lại đầu tháng thứ 3 là:
P3   ad  x  d  x  ad 2  xd  x  ad 2  x  d  1  ad 2  x



d2  1
d 1

Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là:
ad 2  x  d  1   ad 2  x  d  1 r   ad 2  x  d  1 1  r    ad 2  x  d  1 d







Trả x đồng thì số tiền cịn lại đầu tháng thứ 3 là:





d3  1
P4   ad 2  x  d  1 d  x  ad 3  xd 2  xd  x  ad 3  x d 2  d  1  ad 3  x


d 1


……………………………………….



Sau

tháng

thứ

n  1 ,số

tiền

còn

lại

đầu

tháng

thứ

n

là:

1  r   1 ( 5a) với d  1  r
n
dn  1
 ad  x
 Pn1  a 1  r   x
d 1
r
n

Pn1


n

Do sau tháng thứ n người vay tiền đã trả hết số tiền đã vay ta có
a 1  r  .r
ad n  d  1
dn  1

x

 0  ad  x

0x
 5b 
n
d 1
dn  1
1  r   1
n

Pn1

n

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Ví dụ 3: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, lãi suất cho số tiền chưa trả là12%/năm. Ơng
muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách : Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ơng bắt đầu hồn nợ, hai
lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ
sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền x mà ông A phải trả cho ngân hàng trong
mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất ngân hàng khơng thay đổi trong thời gian ơng A hồn nợ.
(Trích đề minh hoạ mơn tốn năm 2017)
Hướng dẫn giải


Lãi suất 12% một năm suy ra lãi suất trong 1 tháng là 1% một tháng.



Áp dụng công thức (5b) cho: a  100000000 , ,r  ,1%,n  3,P4  0 . Tìm x ?



Vậy số tiền x mà ơng A phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ ,để 3 tháng hết nợ là:
x 



a .r . 1  r

1  r 

n



n



1



100.0, 01. 1  0, 01

1  0, 01

3



3

1

 34 triệu đồng một tháng .

2. Bài tập
Bài 1: Muốn có số tiền là 200 triệu đồng sau 36 tháng thì phải gửi tiết kiệm một tháng là bao nhiêu. Biết
rằng tiền gửi tiết kiệm ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất 0,67% một tháng. Lãi
suất không thay đổi trong thời gian gửi.
Hướng dẫn giải


Áp dụng công thức (3) cho Pn  200000000 đồng, r  0, 67%,n  36 tháng



Ta có:
Pn  a 1  r 
a

1  r 
r

n

1

a

r.Pn

1  r  1  r 

n

 1


0 , 67%.200000000
 a  4.898.146
 1  0 , 67% 36  1
1

0
,
67
%

 
 

Vậy hàng tháng phải gửi tiết kiệm số tiền gần 4.900.000 đồng.
Bài 2: Bạn An được gia đình cho gửi tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền là
200.000.000 đồng, theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất 0,75 % một tháng. Nếu mỗi tháng
An rút một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng tính lãi thì An phải rút bao nhiêu tiền một tháng để sau
đúng 5 năm, số tiền An đã gửi vừa hết?

Hướng dẫn giải


Áp dụng công thức (4) với: n  60 ,r  0 , 75%,a  200000000 ,Pn  P60  0 . Tìm x ?



ad 60  P60  d  1
d60  1
d60  1
60
x
 ad  P60  x 
Ta có P60  ad  x
d 1
d 1
d60  1
60





Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 200000000  1  0, 75% 60  0  0, 75%


x 
 4.151.671 đồng.
60
1  0, 75%   1

Bài 3: Một người vay ngân hàng với số tiền 50.000.000 đồng, mỗi tháng trả góp số tiền 4000.000 đồng
và phải trả lãi suất cho số tiền chưa trả là 1,1% một tháng theo hình thức lãi kép. Hỏi sau bao lâu người
đó trả hết nợ?
Hướng dẫn giải


Áp dụng cơng thức (5b) cho: a  50000000,x  4000000,r  1, 1%,Pn1  0 . Tìm n?



Từ cơng thức (5b) ta có:
x

a r 1  r 

1  r 

n

n

1

 x 1  r   x  a r 1  r 
n

  x  ar  1  r   x   1  r  
n

 n  log1 r

n

n

x
x  ar

x
4000000
 n  log11,1%
 n  13 , 52
x  ar
4000000  50000000  1, 1%

 n  14


Vậy sau 14 tháng người đó sẽ trả hết nợ.

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.
I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

-

Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn
Đức Tấn.

II.

Khoá Học Nâng Cao và HSG
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
-

Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh học tập miễn phí
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí
HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
-

HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-

HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Trang | 6