Chuyên đề bài toán tiếp tuyến

GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

Chuyên ñề: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
1.ðịnh nghĩa:





Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y=f(x) tại ñiểm
0 0
( ; ( ))
M x f x
.
Phương pháp:

* Tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
( )
y f x
=
tại
0 0
( ; )
M x y
là:
0 0 0
'( )( )
y f x x x y
= − +

với

0 0
( )
y f x
=
.

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
( )
y f x
=
, biết tiếp tuyến
có h
ệ số góc k.
Ph
ương pháp:
Cách 1: *Phương trình tiếp tuyến có dạng:
y kx b
= +

*
ðiều kiện tiếp xúc là hệ pt:
( ) (1)
'( ) (2)
f x kx b
f x k

= +





=



T
ừ (2) ta tìm ñược x, thế vào (1) ta có ñược b. Ta có tiếp tuyến cần tìm.
Cách 2: * Giải phương trình
'( )
f x k
=
giải phương trình này ta tìm ñược các nghiệm
1 2
, , ,
n
x x x
.
* Phương trình tiếp tuyến:
'( )( ) ( ) ( 1,2, , )
i i i
y f x x x f x i n
= − + =
.

Chú ý: ðối với bài toán này ta cân lưu ý một số vấn ñề sau:
* Số tiếp tuyến của ñồ thị chính là số nghiệm của phương trình
'( )
f x k
=
.

*Cho hai ñường thẳng
1 1 1
:
d y k x b
= +
và
2 2 2
:
d y k x b
= +
. Khi ñó
i)
1 2
1 2
tan
1 .
k k
k k
α
−
=
+
, trong ñó

1 2
( , )
d d
α
=
.

ii)
1 2
1 2
1 2
//
k k
d d
b b
=


⇔

≠



iii)
1 2 1 2
. 1
d d k k
⊥ ⇔ = −


Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
( )
y f x
=
, biết tiếp tuyến
ñi qua ñiểm

( ; )
A A
A x y
.
Phương pháp:

Cách 1: Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( )
A A
y k x x y
= − +

ðiều kiện tiếp xúc: hệ pt
( ) ( ) (1)
'( ) (2)
A A
f x k x x y
f x k

= − +




=


có nghi
ệ
m.

GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

Thay (2) vào (1), ta ñược:
( ) '( )( )
A A
f x f x x x y
= − +
, giải pt này ta tìm ñược các
nghiệm
1 2
, , ,
n
x x x
. Thay vào (2) ta tìm ñược k từ ñó suy ra phương trình tiếp tuyến.
Cách 2:
Gọi
0 0
( ; )
M x y
là tiếp ñiểm. Khi ñó tiếp tuyến có dạng:
0 0 0
'( )( )
y f x x x y
= − +

Vì tiếp tuyến ñi qua A nên ta có:
0 0 0
'( )( )
A A
y f x x x y

= − +
, giải phương trình này ta
tìm ñược x
0
suy ra phương trình tiếp tuyến.

Chú ý: *Nếu giải theo cách 1 thì số tiếp tuyến của ñồ thị chính là số nghiệm của
phương trình:
( ) '( )( )
A A
f x f x x x y
= − +

* Nếu giải theo cách 2 thì số tiếp tuyến là số nghiệm của phương trình
0 0 0
'( )( )
A A
y f x x x y
= − +
(với ẩn là x
0
).

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến
Phương pháp: Ta dựa vào ba bài toán trên

Ví dụ 1: Cho hàm số
3 2
y= 3 2

x x x
− +
,
có ñồ thị
(C)
1) Vi
ế
t ph
ươ
ng
trì
nh ti
ế
p tuy
ế
n
củ
a (C)
tạ
i
ñ
i
ể
m u
ố
n .
2) Vi
ế
t ph
ươ

ng
trì
nh ti
ế
p tuy
ế
n
củ
a (C)
tạ
i
ñ
i
ể
m
có hoà
nh
ñộ
b
ằ
ng
1
−
.
3) Vi
ế
t ph
ươ
ng
trì

nh ti
ế
p tuy
ế
n
củ
a (C)
tạ
i
ñ
i
ể
m
có
tung
ñộ
b
ằ
ng
6
.
4) Vi
ế
t ph
ươ
ng
trì
nh ti
ế
p tuy

ế
n
củ
a (C)
tạ
i giao
ñ
i
ểmcủ
a (C) v
ớ
i tr
ụ
c
hoà
nh.
5) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ti
ế
p tuy
ế
n
tạ
i
ñ
i
ể

m u
ố
n
có
h
ệ
s
ố gó
c
nhỏ
nh
ấ
t.

Giải:
1)Ta có:
2
' 3 6 2 '' 6 6 " 0 1
y x x y x y x
= − + ⇒ = − ⇒ = ⇔ =
, do ñó tọa ñộ ñiểm uốn
là
(1;0)
U

Phương trình tiếp tuyến tại U là:
'(1)( 1) 0 1
y y x x
= − + = − +
.

2) Ta
có
0 0
1 6
x y
= ⇒ = −
và
0
'( ) '( 1) 11
y x y
= − =
, suy ra
Ph
ương trình tiếp tuyến là:
'( 1)( 1) 6 11 5
y y x x
= − + − = +
.
3) Gọi
0
( ;6)
M x
là tiếp ñiểm , ta có:
3 2 2
0 0 0 0 0 0
3 2 6 ( 3)( 2) 0 3
x x x x x x
− + = ⇔ − + = ⇔ =

V

ậ
y ph
ươ
ng
trì
nh ti
ế
p tuy
ế
n
là
:
'(3)( 3) 6 11 27
y y x x
= − + = −
.
4) PTH
ð
giao
ñ
i
ể
m
củ
a (C) v
ớ
i Ox:
3 2
3 2 0 0, 1, 2
x x x x x x

− + = ⇔ = = =

* x=0 ta
có
ti
ế
p tuy
ế
n:
'(0)( 0) 0 2
y y x x
= − + =
.
* x=1 ta
có
ti
ế
p tuy
ế
n:
'(1)( 1) 0 1
y y x x
= − + = − +
.
* x=2 ta
có
ti
ế
p tuy
ế

n:
'(2)( 2) 0 2 4
y y x x
= − + = −
.
5)
Vì
h
ệ
s
ố gó
c
củ
a
mọ
i ti
ế
p tuy
ế
n
ñề
u
có dạ
ng
'( )
f x
và
h
ệ
s

ố gó
c
củ
a ti
ế
p tuy
ế
n
tạ
i
ñ
i
ể
m u
ố
n b
ằ
ng -1. Do
ñó ñể
ch
ứ
ng minh
bà
i
toá
n ta
chỉ
c
ầ
n ch

ứ
ng minh
'( ) 1
f x
≥−
.
ð
i
ề
u
nà
y luôn
ñú
ng
vì
:
2
'( ) 1 3( 1) 0
f x x x R
+ = − ≥ ∀ ∈
(
ñ
pcm).
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

Chú ý: Chứng minh tương tự ta có kết quả tổng quát của câu 5 như sau
“Cho hàm số
3 2
( 0)
y ax bx cx d a

= + + + ≠
. Nếu
0
a
>
thì
ti
ế
p tuy
ế
n
tạ
i
ñ
i
ể
m u
ố
n
có
h
ệ
s
ố gó
c
nhỏ
nh
ấ
t
cò

n n
ế
u
0
a
<
thì
ti
ế
p tuy
ế
n
tạ
i
ñ
i
ể
m u
ố
n
có
h
ệ
s
ố gó
c l
ớ
n
nh
ấ

t”.

Ví dụ 2: Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
có ñồ thị (C)
1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng

:3 4 1 0
x y
∆ − + =
.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ
( 1;3)
M
−
.
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) ñi qua giao ñiểm hai ñường tiệm cận của (C).
4) Biện luận theo
0
m
≠
số

ti
ế
p tuy
ế
n
củ
a (C)
mà
ti
ế
p tuy
ế
n vuông
gó
c v
ớ
i
ñườ
ng
th
ẳ
ng
: 1 0
m
x my m
∆ − + + =
.

Giải:
Ta có

2
2
2
'
( 1)
x x
y
x
−
=
−

1)Gọi d là tiếp tuyến song song với ñường thẳng
3 1
:
4 4
y x
∆ = +
, khi ñó d có hệ số
góc là
3
4
k
=

Xét phương trình:
2
2
2
1

2 3
' 2 3 0
3
4
( 1)
x
x x
y k x x
x
x

= −
−

= ⇔ = ⇔ − − = ⇔

=
−

.
*
3
1
2
x y
= − ⇒ = − ⇒
phương trình tiếp tuyến:
3 3
4 4
y x

= −
.
*
7
3
2
x y
= ⇒ = ⇒
phương trình tiếp tuyến:
3 5
4 4
y x
= +
.
2) Gọi d là ñường thẳng ñi qua
( 1;3)
M
−
, có hệ số góc k, khi ñó phương trình d có
dạng:
( 1) 3
y k x
= + +

d là tiế
p tuyến
⇔
hệ phương trình sau có nghiệm:
2
2

2
1
( 1) 3 (1)
1
2
(2)
( 1)
x x
k x
x
x x
k
x


− +

= + +


−




−

=



−




Th
ế (2) vào (1) ta ñược:
2 2
2
1 2
( 1) 3
1
( 1)
x x x x
x
x
x
− + −
= + =
−
−

2
2
2 5 2 0
1
2
x
x x
x


=

⇔ − + = ⇔


=



* V
ớ
i
2 0
x k
= ⇒ = ⇒
Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n y=3.
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

*V
ớ
i
1
3

2
x k
= ⇒ = − ⇒
Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
3
y x
= −

3)
ðồ
th
ị
có hai ti
ệ
m c
ậ
n
1
x
=
và
y x
=
suy ra giao

ñ
i
ể
m c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n là I(1;1)
G
ọ
i d là
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua I, có h
ệ
s
ố
góc k
: ( 1) 1
d y k x
⇒ = − +

d là ti
ế
p tuy

ế
n
⇔
h
ệ

2
2
2
1
( 1) 1
1
2
( 1)
x x
k x
x
x x
k
x


− +

= − +


−





−

=


−



có nghi
ệ
m
Th
ế
k vào ph
ươ
ng trình th
ứ
hai ta
ñượ
c:
2 2
2 2
1 2
1 1 2 1
1 1
x x x x
x x x x x

x x
− + −
= + ⇔ − + = − + −
− −
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m
V
ậ
y qua I không có ti
ế
p tuy
ế
n nào k
ẻ

ñế
n (C).
4)
m
∆
có h
ệ
s
ố
góc
1
m

k
m
=
. S
ố
ti
ế
p tuy
ế
n th
ỏ
a mãn bài toán chính là s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a
ph
ươ
ng trình:
2
2
2
( 2 )
'. 1 1 ( 1) 2( 1) 1 0 (*)
( 1)
m
m x x
y k m x m x

x
−
= − ⇔ = − ⇔ + − + + =
−

( v
ớ
i
ñ
k
1
x
≠
)
* N
ế
u m=-1
(*)
⇒
vô nghi
ệ
m
⇒
không có ti
ế
p tuy
ế
n nào.
*N
ế

u
1
m
≠ −
: (*) có
' ( 1)
m m
∆ = +
và (*) có nghi
ệ
m
1 0
x m
= ⇔ =

+ Khi
0
1
m
m

>

⇒

<−

(*) có hai nghi
ệ
m phân bi

ệ
t
⇒
có hai ti
ế
p tuy
ế
n
+ Khi
1 0
m
− < ≤
thì (*) vô nghi
ệ
m
⇒
không có ti
ế
p tuy
ế
n nào.

Chú ý:
*H
ệ
s
ố
góc c
ủ
a m

ọ
i ti
ế
p tuy
ế
n luôn có d
ạ
ng:
'( )
f x
.
*
ðố
i v
ớ
i hàm phân th
ứ
c
2
( . ' 0)
' '
ax bx c
y a a
a x b
+ +
= ≠
+
không có ti
ế
p tuy

ế
n nào
ñ
i
qua gia
ñ
i
ể
m c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n.

Ví dụ 3: Cho hàm số
2 2
(2 )
y x x
= −
, có ñồ
th
ị
(C).
1) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti

ế
p tuy
ế
n t
ạ
i giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (C) v
ớ
i Parabol
2
y x
=

2) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C), bi
ế

t ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
i qua
ñ
i
ể
m A(2;0).

Giải: Ta có:
4 3 2 3 2
4 4 ' 4 12 8
y x x x y x x x
= − + ⇒ = − +

1) PTHð giao ñiểm của (C) và Parabol
2
y x
=

4 3 2 2 2 2
4 4 ( 4 3) 0 0, 1, 3
x x x x x x x x x x
− + = ⇔ − + = ⇔ = = =
.

0

x
=
ta có phương trình tiếp tuyến là:
0
y
=


1
x
=
ta có ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n là:
1
y
=


3
x
=
ta có phương trình tiếp tuyến là:
24 63
y x
= −

.
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

2) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A, có hệ số góc k
: ( 2)
d y k x
⇒ = −

d là ti
ếp tuyến
⇔
hệ
2 2
(2 ) ( 2)
4 ( 2)( 1)
x x k x
x x x k


− = −



− − =


có nghiệm
Thay k vào ph
ương trình thứ nhất ta ñược:
4 3 2 3 2 2

4 4 ( 2)(4 12 8 ) (3 4)( 2) 0
x x x x x x x x x x
− + = − − + ⇔ − − =

4
0, 2,
3
x x x
⇔ = = =
.

0 0
x k
= ⇒ = ⇒
Phương trình tiếp tuyến
0
y
=


2 0
x k
= ⇒ = ⇒
Phương trình tiếp tuyến
0
y
=


4 32

3 27
x k
= ⇒ = − ⇒
Phương trình tiếp tuyến
32 64
27 27
y x= − +
.
Ví dụ 4: Cho hàm số
1
2
mx
y
x m
+
=
+ −
,có
ñồ
th
ị
là (C
m
)
1)Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế

p tuy
ế
n c
ủ
a (C
1
),bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
i qua
ñ
i
ể
m P(3;1).
2)Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C

1
),bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
i qua
ñ
i
ể
m A(2;-1)
3)Tìm m
ñể
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
ñ
i
ể
m có hoành
ñộ
x=1 vuông góc v
ớ

i
ñườ
ng th
ẳ
ng y=x+1.
Giải:

Với m=1 ta có
1
1
( ):
1
x
C y
x
+
=
−

1) G
ọ
i d là
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua P, có h
ệ
s

ố
góc k
: ( 3) 1
d y k x
⇒ = − +
.
d là ti
ếp tuyến
⇔
hệ
2
1
( 3) 1
1
2
( 1)
x
k x
x
k
x

+


= − +


−



−


=


−


có nghiệm.
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñược:
2
1 2
( 3) 1 2
1
( 1)
x
x x
x
x
+ −
= − + ⇔ =
−
−

2
k
⇒ = − ⇒
Phươ

ng trình ti
ế
p tuy
ế
n:
2 7
y x
= − +
.
2) G
ọ
i d là
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua A, có h
ệ
s
ố
góc k
: ( 2) 1
d y k x
⇒ = − −
.
d là ti
ế
p tuy
ế

n
⇔
h
ệ

2
1
( 2) 1
1
2
( 1)
x
k x
x
k
x

+


= − −


−


−


=



−


có nghi
ệ
m.
Th
ế
k vào ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t, ta
ñượ
c:
2
1 2
( 2) 1 2
1
( 1)
x
x x
x
x
+ −
= − − ⇔ = ±

−
−

*
2 2(3 2 2)
x k
= ⇒ = − + ⇒
ti
ế
p tuy
ế
n:
2(3 2 2) 11 8 2
y x
= − + + +
.
*
2 2(3 2 2)
x k
= − ⇒ = − − ⇒
ti
ế
p tuy
ế
n:
2(3 2 2) 11 8 2
y x
= − − + −
.
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

3) Ta có
2
2
2 1
'
( 2)
m m
y
x m
− −
=
+ −
.
Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
ñ
i
ể
m có hoành
ñộ
x=1 vuông góc v
ớ
i
ñườ

ng th
ẳ
ng y=x+1
2
2
2 1
'(1) 1 1 0, 2
( 1)
m m
y m m
m
− −
⇔ =− ⇔ = − ⇔ = =
−
.
Ví dụ 5:
Có bao nhiêu ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố

ln

y x x
=
ñ
i qua
ñ
i
ể
m M(2,1)?
Giải:
Gọi d là ñường thẳng ñi qua M, có hệ số góc k
: ( 2) 1
d y k x
⇒ = − +
.
D là tiế
p tuyến
⇔
hệ
ln ( 2) 1
ln 1
x x k x
x k

= − +




+ =



có nghiệm
Th
ế k vào phương trình thứ nhất, ta ñược:
ln (ln 1)( 2) 1
x x x x
= + − +

2ln 1 0
x x
⇔ − + =
(*)
S
ố tiếp tuyến kẻ từ M chính là số nghiệm của phương trình (*)
Xét hàm số
2
( ) 2ln 1 '( ) '( ) 0 2
x
f x x x f x f x x
x
−
= − + ⇒ = ⇒ = ⇔ =
.
M
ặ
t khác:
0
( ) ;
x x
Lim f x Lim

→ →+∞
= −∞ = −∞
;
(2) 2ln2 1
f
= −

BBT:
x
0
2
+∞

f’(x) + 0 -

f(x)

2ln2 1
−


−∞

−∞

D
ự
a vào BBT ta th
ấ
y ph

ươ
ng trình (*) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
V
ậ
y có hai ti
ế
p tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ
M.

Ví dụ 6: Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x
= − +
t
ạ
i
ñ
i

ể
m có
hoành
ñộ
b
ằ
ng -1 song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng 5x-y=0.
Giải:
Tiếp tuyến d của ñồ thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ x=-1, có dạng :
( 1) 1
2
m
y m x
= + + +

d song song với ñường thẳng y=5x
1 5
4
1 0
2
m
m
m


+ =



⇔ ⇔ =


+ ≠



.
Vậy m=4 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 7: Cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
(C).
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

1) Gọi I là tâm ñối xứng của (C) và M là một ñiểm bất kì thuộc (C). Tiếp tuyến tại M
cắt hai ñường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung ñiểm của AB và tam
giác IAB không phụ thuộc vào vị trí của M.

2) Tìm vị trí của M ñể AB nhỏ nhất.
3)Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với tiệm cận xiên.
Giải:
1) (C) có hai tiệm cận là x=-1 và y=x+1
I là tâm ñối xứng
( 1;0)
I
⇒ −
(I là giao của hai tiệm cận).
Xét
0 0
( ; ( )) ( )
M x f x C
∈
. Tiếp tuyến ∆ tại M của (C):
0 0 0
'( )( )
y y x x x y
= − +

hay là:
0
2
2
0
0 0
0
2
0
0

2 2
2
( )
1
( 1)
x x
x x
y x x
x
x
+ +
+
= − +
+
+

∆ cắt tiệm cận ñứng tại
0
2
( 1; )
1
A
x
−
+
và cắt tiệm cận xiên tại
0 0
(2 1;2 2)
B x x
+ +

suy ra
0
2
0 0
0
2
2 2
2 1
A B
M
A B
M
x x
x x
x x
y y
y
x

+


= =



⇒



+ +
+

= =


+


M là trung ñiểm của AB.
Gọi H là hình chiếu của B lên IA
0
2| 1|
BH x
⇒ = +
, mà
0
2
| 1|
IA
x
=
+
, suy ra
1
. 2
2
ABI
S BH IA
∆

= = ⇒
ñpcm.
2) Ta có:
2 2
0
2
0
1
4[2( 1) 2] 4(2 2 2) 2 2 2 2
( 1)
AB x AB
x
= + + − ≥ − ⇒ ≥ −
+

ðẳng thức xảy ra
4
0 0
4
1
2( 1) 1 1
2
x x⇔ + = ⇔ =− ±
.
3)


Chú ý: Tính chất trên cũng ñúng trong trường hợp tổng quát, tức là ta có bài toán sau:
“Cho hàm số
2

( . ' 0)
' '
ax bx c
y a a
a x b
+ +
= ≠
+
có ñồ thị (C). Gọi I là tâm ñối xứng của (C)
và M là một ñiểm bất kì thuộc (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai ñường tiệm cận tại A và
B. Chứng minh rằng M là trung ñiểm của AB và tam giác IAB không phụ thuộc vào
vị trí của M .”






GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

Dạng 2: Biện luận số tiếp tuyến

Ví dụ 1: Cho hàm số
2
6 9
2
x x
y
x
− +

=
− +
.
1) Tìm tất cả các ñiểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ ñược ít nhất một tiếp tuyến
với ñồ thị,song song với ñường thẳng
3
4
y x
= −
.
2) N là ñiểm nằm trên tiệm cận ñứng. Hỏi từ N có thể kẻ ñến (C) bao nhiêu tiếp
tuyến.
3) Tìm tập hợp tất cả các ñiểm nằm trong mặt phẳng Oxy sao cho từ ñó có thể kẻ ñến
ñồ thị (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Giải:
1)
(0; )
M Oy M m
∈ ⇒
. gọi d là ñường thẳng ñi qua và song song với ñường thẳng
3
4
y x
= −
3
:
4
d y x m
⇒ = − +

.
d là tiếp tuyến
⇔
hệ
2
2
2
6 9 3
(1)
2 4

4 3 3
(2)
4
( 2)
x x
x m
x
x x
x


− +

= − +


− +





− + −


= −


−


có nghiệm.
2
(2) 4 0 0, 4.
x x x x
⇔ − = ⇔ = =

*
9 9
0 (0; )
2 2
x m M= ⇒ = ⇒ .
*
7 7
4 (0; )
2 2
x m M= ⇒ = ⇒ .
Vậy có hai ñiểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2) Ta có:
(2; )

N n
. ðường thẳng d ñi qua N, hệ số góc k có pt:
( 2)
y k x n
= − +
.
d là tiếp tuyến
⇔
hệ
2
2
2
6 9
( 2) (3)
2

4 3
(4)
( 2)
x x
k x n
x
x x
k
x


− +

= − +



− +




− + −


=


−


có nghiệm.
Thế (4) vào (3) ta ñược:
2 2
6 9 4 3
( 2) 2( 3) (*)
2 2
x x x x
n n x n
x x
− + − + −
= − ⇔ − = −
− + −

Số tiếp tuyến kẻ từ N ñến (C) chính là số nghiệm của (*)

* Nếu n=2 thì (*) vô nghiệm nên không có tiếp tuyến nào kẻ từ N.
* Nếu
2
n
≠
thì (*) có nghiệm duy nhất nên có ñúng một tiếp tuyến kẻ từ N
Vậy từ
(2; )
N n
với
2
n
≠
kẻ ñược duy nhất một tiếp tuyến ñến (C), còn từ
'(2;2)
N

không có tiếp tuyến nào kẻ ñến (C).
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

3) Xét
0 0
( ; )
M x y
. ðườ
ng th
ẳ
ng d
ñ
i qua M, h

ệ
s
ố
góc k có ptrình : y=k(x-x
0
)+y
0
.
d là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C)
⇔
h
ệ

2
0 0
2
2
6 9
( )
2

4 3

( 2)

x x
k x x y
x
x x
k
x


− +

= − +


− +




− + −


=


−


có nghi
ệ
m.

H
ệ

0 0
2
1
( 2) 2 ( 2) (2 )
2

1
1
( 2)
x k x x k y
x
k
x



− − + − = − + − +


−

⇔



− + =



−



0 0
2
1 1
2 (2 )
2 2
1
1
( 2)
x k y
x x
k
x



− = + − +

 − −

⇔



− + =



−


0 0
2
1 1
(2 ( 2) )
2 2

1
1
( 2)
x k y
x
k
x



= + − −

 −

⇔



− + =



−



2
0 0
0
0
1
1 [( 2) 2 ]
4
2
2
x k y k
y
k
x



− + − + − =



⇒


−


≠


−



2 2 2
0 0 0 0
0
0
( 2) 2[( 2)( 2) 2] ( 2) 4 0 (*)
2
2
x k x y k y
y
k
x


− − − − + + − − =




⇔

−

≠



−




ðể
t
ừ
M k
ẻ

ñượ
c hai ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc
⇔
(*) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
0
0
2
2
y

x
−
≠
−

và k
1
.k
2
=-1
0
0
2
2 2
0
0 0
2
0
0 0
0 0
2
2
( 2) 4
1 ( 2) ( 2) 4
( 2)
4 0
4 0
x
x
y

x y
x
x y
x y

≠



≠







− −

 
⇔ = − ⇔ − + − =
 
 
−
 
 
+ − ≠
 
 


+ − ≠



.
V
ậ
y qu
ỹ
tích c
ủ
a M là
ñườ
ng tròn
2 2
( 2) ( 2) 4
x y
− + − =
, tr
ừ
b
ố
n
ñ
i
ể
m sau
1
(2;0)
M

2 3 4
(2;4); (2 2;2 2); (2 2;2 2)
M M M
+ − − +
.

Chú ý:
T
ừ
câu 2 ta th
ấ
y trên m
ọ
i
ñ
i
ể
m ti
ệ
m c
ậ
n
ñứ
ng (tr
ừ
giao c
ủ
a hai ti

ệ
m c
ậ
n) ta
luôn k
ẻ

ñượ
c
ñ
úng m
ộ
t ti
ế
p tuy
ế
n
ñế
n
ñồ
th
ị
. Tính ch
ấ
t này c
ũ
ng
ñ
úng cho m
ọ

i hàm
phân th
ứ
c có d
ạ
ng
2
;
' ' ' '
ax b ax bx c
y y
a x b a x b
+ + +
= =
+ +
.
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

Ví dụ 2:

Cho hàm số
= − + +
3
3 2
y x x
. Tìm những ñiểm trên trục hoành sao cho từ
ñó kẻ ñược ba tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số và trong ñó có hai tiếp tuyến vuông góc
với nhau.
Giải:
Xét ñiểm

( ;0)
M m Ox
∈
. ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt:
( )
y k x m
= −
.
d là tiếp tuyến
⇔
hệ
3
2
3 2 ( )

3 3
x x k x m
x k


− + + = −





− + =


có nghiệm.

Th
ế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc:
2 3
3( 1)( ) ( 3 2) 0
x x m x x
− − − − − =

2 2
( 1)(3 3(1 ) 3 ) ( 1)( 2) 0
x x m x m x x x
⇔ + − + + − + − − =

2
2
1
( 1)[2 (3 2) 3 2] 0
2 (3 2) 3 2 0 (*)
x
x x m x m
x m x m

= −

⇔ + − + + + = ⇔


− + + + =


ðể

t
ừ
M k
ẻ

ñượ
c ba ti
ế
p tuy
ế
n thì (*) ph
ả
i có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khác -1
2
(3 2)(3 6) 0
V 2
3
3 3 0
1
m m
m m
m
m





∆ = + − >
<− >


 
⇔
 
 
+ ≠
 

≠ −



(**).
G
ọ
i x
1
,x
2
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a (*), khi
ñ
ó h

ệ
s
ố
góc c
ủ
a ba ti
ế
p tuy
ế
n là :
2
1 1
3 3,
k x
= − +
2
2 2
3 3,
k x
= − +
3
0
k
=
.
ðể
hai trong ba ti
ế
p tuy
ế

n này vuông góc v
ớ
i nhau
1 2
. 1
k k
⇔ = −

2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
9( 1)( 1) 1 9 9( ) 18 8 0 (i)
x x x x x x x x
⇔ − − = ⇔ − + + + =

M
ặ
t khác theo
ðị
nh lí Viet
1 2 1 2
3 2 3 2
;
2 2
m m
x x x x
+ +
+ = =
. Do
ñ
ó

26
( ) 9(3 2) 8 0
27
i m m⇔ + + = ⇔ = −
th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n (**) .
V
ậ
y
26
( ;0)
27
M −
là
ñ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Ví dụ 3:
Tìm t
ất cả những ñiểm nằm trên trục tung sao cho từ ñó có thể kẻ tới ñồ thị

hàm số
4 2
2 1
y x x
= − −
ñ
úng ba ti
ế
p tuy
ế
n.

Giải:
Xét
(0; )
M m Oy
∈
. ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt:
y kx m
= +
.
d là tiếp tuyến
⇔
hệ
4 2
3
2 1

4 4
x x kx m

x x k


− − = +





− =


có nghiệm.
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc:
4 2 4 2
2 1 4 4
x x x x m
− − − = − +

4 2
5 2 1 0
x x m
− + + =
(*)
ðể từ M ta có thể kẻ ñến ñồ thị ñúng ba tiếp tuyến
(*)
⇔
có ba nghiệm phân biệt
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

1 0 1
m m
⇔ + = ⇔ = −
. Khi ñó (*) có 2 nghiệm
2
0;
5
x x= = ±
và ba tiếp tuyến ñó
là:
2
1; 1
5
y y x
= − = ± −
.
Vậy M(0;-1) là ñiểm cần tìm.

Ví dụ 4: Tìm tất cả các ñiểm nằm trên trục tung mà từ ñó chỉ có thể kẻ ñược ñúng
một tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
.

Giải:
Xét
(0; )
M m Oy
∈
. ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt:
y kx m
= +
.
d là tiếp tuyến
⇔
hệ
2
1

1

2

( 1)
x
kx m
x
k
x

+


= +



−



−

=


−


có nghiệm.
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc:
2
2
1 2
( 1) 2( 1) 1 0
1
( 1)
x x
m m x m x m
x
x
+ −
= + ⇔ − − + + + =
−
−

(*).
ðể từ M chỉ kẻ ñược ñúng một tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số ñã cho
⇔
(*) có ñúng
một nghiệm. Do (*) không có nghiệm x=1 nên (*) có ñúng một nghiệm
1 1
' 2 2 0 1
m m
m m
 
= =
 
⇔ ⇔
 
∆ = + = =−
 
 
.
Vậy có hai ñiểm
1 2
(0;1), (0; 1)
M M
−
thoảmanx bài toán.
Ví dụ 5: Cho hàm số:
2
1
x
y
x

+
=
−
(C). Cho
ñ
i
ể
m M(0;m). Xác
ñị
nh m
ñể
t
ừ
A k
ẻ

ñượ
c
2 ti
ế
p tuy
ế
n
ñế
n (C) sao cho hai ti
ế
p
ñ
i
ể

m t
ươ
ng
ứ
ng n
ằ
m v
ề
hai phía
ñố
i v
ớ
i tr
ụ
c
Ox.


Giải:
ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt:
y kx m
= +
.
d là tiếp tuyến
⇔
hệ
2
2

1

3

( 1)
x
kx m
x
k
x

+


= +

 −



−

=


−


có nghiệm.
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc:
2

2
2 3
( 1) 2( 2) 2 0
1
( 1)
x x
m m x m x m
x
x
+ −
= + ⇔ − − + + + =
−
−
(*).
ðể từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

' 3( 2) 0
2
1 (i)
1
1 2( 2) 2 0
m
m
m
m
m m m

∆ = + >




> −




⇔ ≠ ⇔
 
 
≠
 


− − + + + ≠



Khi
ñ
ó t
ọ
a
ñộ
hai ti
ế
p
ñ
i
ể

m là:
1 1 1 2 2 2
( ; ), ( ; )
M x y M x y
v
ớ
i x
1
,x
2
là nghi
ệ
m c
ủ
a (*)
1 2
1 2
1 2
2 2
;
1 1
x x
y y
x x
+ +
= =
− −

ðể
M

1
, M
2
n
ằ
m v
ề
hai phía Ox thì
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
2( ) 4
. 0 0 (1)
( ) 1
x x x x
y y
x x x x
+ + +
< ⇔ <
− + +

Áp d
ụ
ng
ñị
nh lí Viet:
1 2 1 2
2( 2) 2
;
1 1

m m
x x x x
m m
+ +
+ = =
− −
.
9 6 2
(1) 0
3 3
m
m
+
⇒ ⇔ < ⇔ > −
−
.
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (i) ta có
2
3
1
m
m




> −





≠



là nh
ữ
ng giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví dụ 6:

Cho hàm số
2
2 1
1
x x
y
x
− +
=
−

(C).
1)Có nhận xét gì về các tiếp tuyến kẻ ñến (C) từ các ñiểm nằm trên ñường thẳng y=7.
2) Chứng tỏ rằng trên ñường thẳng y=7, có 4 ñiểm sao cho từ mỗi ñiểm ñó có thể kẻ
ñến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc
0
45
.
Giải:
Xét
0
( ;7)
M x
. ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có ptrình :
0
( ) 7
y k x x
= − +

d là tiếp tuyến của (C)
⇔
hệ
0
2
2
2 1 ( ) 7 (1)
1

2
2 (2)
( 1)

x k x x
x
k
x



+ + = − +

 −




− =


−


có nghiệm.
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc:
0
2
2 2
2( 1) 3 (2 )( 1) (1 ) 7
1
( 1)
x x x k
x

x
− + + = − − + − +
−
−
0
(1 ) 4
1
1 4
x k
x
− +
⇔ =
−

Thay vào (2) ta có:
2
0 0
2
0 0
0
[( 1) 8( 2)]=0
( 1) 8( 2) 0
k
k x k x
x k x

=

− − − ⇔



− − − =

.
Vậy ñường thẳng y=7 là tiếp tuyến của ñò thị hàm số.
2) ðể từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến thì
0
1
x
≠
. Khi ñó hệ số góc hai tiếp tuyến là
0
1 2
2
0
8( 2)
0;
( 1)
x
k k
x
−
= =
−
.
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

hai tiếp tuyến lập với nhau một góc
0
45

0
1 2
2
1 2
tan45 1 1
1
k k
k
k k
−
⇔ = = ⇔ = ±
+

*
0
2 0
2
0
8( 2)
1 1 5 2 2
( 1)
x
k x
x
−
= ⇔ = ⇔ = ±
−
.
*
0

2 0
2
0
8( 2)
1 1 3 2 6
( 1)
x
k x
x
−
= ⇔ =− ⇔ = ±
−
.
V
ậ
y ta tìm
ñượ
c 4
ñ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn bài toán
⇒
ñ
pcm.

Ví dụ 7:

Tìm những ñiểm trên ñồ thị (C) của hàm số
1
1
1
y x
x
= + +
−
có hoành
ñộ

l
ớ
n h
ơ
n 1 sao cho ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
ñ
ó t
ạ
o v
ớ
i hai ti
ệ
m c

ậ
n m
ộ
t tam giác có chu vi nh
ỏ

nh
ấ
t.

Giải:
Xét
0 0
0
1
( ; 1 )
1
M x x
x
+ +
+
. Tiếp tuyến tại M có phương trình
2 2
(1 ) 2 1
y m x m m
= − + + +
( với
0
1
1

m
x
=
−
)
tiếp tuyến cắt tiệm cận ñứng tại
(1;2 2)
A m
+
, cắt tiệm cận xiện tại
2 2
(1 ;2 )
B
m m
+ +

và hai ti
ệ
m c
ậ
n c
ắ
t nhau t
ạ
i I(1;2)
Chu vi tam giác ABI:
2
2
8 2 2
4 8 2| |

| |
P AB BI IA m m
m
m
= + + = + + + +

Áp d
ụ
ng B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c Côsi, ta có:
2
4
2
8 2 2
4 8 2; 2 | | 4 2
| |
m m
m
m
+ ≥ + ≥

4
8 2 8 4 2
P
⇒ ≥ + +

.
ðẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra
4
2
m
⇔ = ±

V
ậ
y
4
4 4
1 1
(1 ;2 2)
2 2
M ± ± ±
.

Ví dụ 8:
Tìm t
ất cả các ñiểm trên Oy sao cho từ ñó ta có thể vẽ ñược ít nhất một tiếp
tuyến ñến ñồ thị hàm số
2
4 2 1
y x x x

= + + +
.

Giải:
Xét
(0; )
M m Oy
∈
. ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có phương trình: y=kx+m.
d là tiếp tuyến
⇔
hệ
2
2
4 2 1
4 1
1
4 2 1
x x x kx m
x
k
x x


+ + + = +






+

+ =



+ +


có nghiệm.
Thay k vào phương trình thứ nhất ta ñược:
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

2
2
2
4
4 2 1
4 2 1
x x
x x x x m
x x
+
+ + + = + +
+ +

2 2 2
2
1
4 2 1 4 4 2 1 ( )

4 2 1
x
x x x x m x x m f x
x x
+
⇔ + + = + + + + ⇔ = =
+ +
(*)
ðể từ M kẻ ñược ít nhất một tiếp tuyến ñến ñồ thị
(*)
⇔
có ít nhất một nghiệm.
xét hàm số f(x), ta có:
2 3
3
'( ) '( ) 0 0
( 4 2 1)
x
f x f x x
x x
−
= ⇒ = ⇔ =
+ +

M
ặ
t khác:
1 1
( ) ; ( )
2 2

x x
Lim f x Lim f x
→+∞ →−∞
= = −

ta có BBT:
x
−∞
0
+∞

f’(x) + 0 -

f(x)
1

-1/2 1/2
(*) có nghi
ệ
m
1
1
2
m
⇔ − < ≤
.
V
ậ
y M(0;m) v
ớ

i
1
1
2
m
− < ≤
là nh
ữ
ng
ñ
i
ể
m c
ầ
n tìm.


Bài tập
:
Bài 1: Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x
= − +
. Vi
ế
t ph
ươ

ng trình ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
ñ
i
ể
m u
ố
n
và ch
ứ
ng minh ti
ế
p tuy
ế
n này có h
ệ
s
ố
góc nh
ỏ
nh
ấ
t.
Bài 2:
Vi

ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố

4 2
2 1
y x x
= − +
, bi
ế
t ti
ế
p
tuy
ế
n
ñ
i qua A(0;1).

Bài 2:

1) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố

2
4 1
x x
y
x
+ +
=
bi
ế
t ti
ế

p tuy
ế
n
song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng y=-3x+1
2) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố
y=x
3
-6x
2

+11x-1 t
ạ
i
ñ
i
ể
m có tung
ñộ
b
ằ
ng 5.
3) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố

3 2
1 1 4

2
3 2 3
y x x x
= + − −
, bi
ế
t ti
ế
p
tuy
ế
n song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng y=4x+2.
Bài 3
: Cho hàm s
ố

3 2
2 3( 3) 11 3
y x m x m
= + − + −
(
m
C
)

GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

1) Cho m=2 . Tìm phương trình các ñường thẳng qua
19
( ,4)
12
A
và tiếp xúc với ñồ thị
(
2
C
) của hàm số .
2) Tìm m ñể hàm số có hai cực trị. Gọi
1
M
và
2
M
là các ñiểm cực trị ,tìm
m ñể các ñiểm
1
M
,
2
M
và B(0,-1) thẳng hàng.
Bài 4:
1. Khảo sát hàm số:
2
3 6

1
x x
y
x
− +
=
−
(C).
2. Từ ñồ thị (C), hãy nêu cách vẽ và vẽ ñồ thị của hàm số:
2
3 6
1
x x
y
x
− +
=
−

3.Từ góc toạ ñộ có thể vẽ ñược bao nhiêu tiếp tuyến của hàm số (C) ? Tìm toạ ñộ các
tiếp ñiểm (nếu có).
Bài 5:
1) Tìm toạ ñộ các giao ñiểm của các ñường tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
1
3
x
y
x
+
=

−
với
trục hoành ,biết rằng các tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng y=x+2001.
2) Cho hàm số
3 2
1 1 4
2
3 2 3
y x x x
= + − −
.Viết pt tt biết tt song song y=4x+2.
3) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
2
2 1
2
x x
y
x
− +
=
−
, biết tiếp tuyến ñi
qua ñiểm M(6;4).
4) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
2
4 1
x x
y
x
+ +

= , biết tiếp tuyến ñi
qua M(1;0).
BÀi 6: M là một ñiểm thuộc ñò thị hàm số
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x
= − +
có hoành
ñộ
b
ằ
ng -1.
Tìm m
ñể
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
t
ạ
i M song song v
ớ

i
ñườ
ng th
ẳ
ng 5x-y=0.
Bài 7:
Tìm nh
ữ
ng
ñ
i
ể
m trên
ñồ
th
ị
hàm s
ố

1
1
1
y x
x
= + +
−
có hoành ñộ lớn hơn 1 sao
cho tiếp tuyến tại ñó tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất?
Bài 8: Tìm những ñiểm M nằm trên ñường thẳng y=1 sao cho từ M có thể kẻ ñược
ñúng một tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số

2
2
1
x x
y
x
+
=
+

Bài 9: Tìm trên ñồ thị hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
các ñiểm sao cho tiếp tuyến tại ñó
vuông góc với tiệm cận xiên ñồ thị hàm số ñã cho.

Bài 10: Tìm những ñiểm trên trục Oy sao cho từ ñó kẻ ñược hai tiếp tuyến với ñồ thị
hàm số
2
2 1
1
x x
y

x
+ +
=
−
và hai tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau

GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

Bài 11: Cho hàm số
2
3 2
x x
y
x
− +
=

1) Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị(C) của hàm số.
2) Tìm trên
ñường thẳng x=1 những ñiểm M sao cho từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến ñến
(C) và hai ti
ếp tuyến ñó vuông góc với nhau.
Bài 12:
1) Kh
ảo sát và vẽ ñò thị hàm số :
2
1
x
y

x
=
−
.Gọi ñồ thị là (C)
2) Tìm trên
ñường thẳng y=4 tất cả các ñiểm mà từ mỗi ñiểm ñó có thể kẻ tới ñồ thị
(C) hai ti
ếp tuyến lập với nhau một góc
45
°

Bài 13:
Cho hàm s
ố
:
2
2
x x
y
x
+
=
−
(C)
1) Kh
ả
o sát hàm s
ố
(C)
2)

ðườ
ng th
ẳ
ng
( )
∆

ñi qua ñiểm B(0,b) và song song với tiếp tuyến của (C) tại ñiểm
O(0,0) .Xác ñịnh b ñể ñường thẳng
( )
∆
cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt M,N. Chứng
minh trung
ñiểm I của MN nằm trên một ñường thẳng cố ñịnh khi b thay ñổi.
Bài 14: Cho hàm số
2
2 (6 )
2
x m x
y
mx
+ −
=
+

1) Tìm m
ñể ñồ thị hàm số có ít nhất một tiếp tuyến ñi qua O.
2) Kh
ảo sát hàm số khi m=1 (C).
3) Ch

ứng minh rằng tại mọi ñiểm của ñồ thị (C) tiếp tuyến luôn luôn cắt hai tiệm cận
m
ột tam giác có diện tích không ñổi.
Bài 15: Cho hàm số :
3
1 2
3 3
y x x
= − +
(1)
1) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và c
ẽ

ñồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
(1)
2) Tìm trên
ñồ
th

ị
(C)
ñ
i
ể
m mà t
ạ
i
ñ
ó ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
(C) vuông góc v
ớ
i
ñườ
ng
th
ẳ
ng :
1 2
3 3
y x

= − +

Bài 16:
Cho hàm s
ố
:
3 2
1
1
3
y x mx x m
= − − + +

1) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

ñồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố

ứ
ng v
ớ
i m= 0 .
2) Trong t
ấ
t c
ả
các ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
ñồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố

ñ
ã kh
ả
o sát , hãy tìm ti
ế
p tuy
ế

n
có h
ệ
s
ố
góc nh
ỏ
nh
ấ
t .
Bài 17:
Cho hàm s
ố

2 1
1
x
y
x
−
=
−
(C).
1) Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th

ị
(C).
2) G
ọ
i I là giao
ñ
i
ể
m hai
ñườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a (C). Tìm
ñ
i
ể
m M thu
ộ
c (C) sao cho
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i M vuông góc v

ớ
i IM.
Bài 18:
Cho hàm s
ố

2
2
2
x x
y
x
− −
=
+
(C).
1) Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
(C).
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

2) Gi
ả
s

ử
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i
ñ
i
ể
m
( )
M C
∈
c
ắ
t hai ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a (C) t
ạ
i P và Q.
Ch
ứ

ng minh r
ằ
ng
MP MQ
=

Bài 19:
Tìm m
ñể

ñồ
th
ị
hàm s
ố

3 2
(2 1) 1
y x m x m
= − + + − −
ti
ế
p xúc v
ớ
i
ñườ
ng
th
ẳ
ng

2 1
y mx m
= − −
.
Bài 20:
Cho hàm s
ố

2
3
1
x x a
y
x
+ +
=
+
. V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a a thì
ñồ
th
ị
hàm s
ố
có ti

ế
p
tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i
ñườ
ng phân giác c
ủ
a góc th
ứ
nh
ấ
t. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng khi
ñ
ó hàm
s
ố
luôn có c
ự
c
ñạ
i và c
ự
c ti

ể
u.
Bài 21:
Cho hàm s
ố

1
1
x
y
x
+
=
−
. Tìm nh
ữ
ng
ñ
i
ể
m trên tr
ụ
c tung mà t
ừ
m
ỗ
i
ñ
i
ể

m
ấ
y
ch
ỉ
k
ẻ

ñượ
c
ñ
úng m
ộ
t ti
ế
p tuy
ế
n t
ớ
i
ñồ
th
ị
hàm s
ố
trên.
Bài 22:
Tìm t
ậ
p h

ợ
p các
ñ
i
ể
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy
ñể
t
ừ

ñ
ó ta có th
ể
v
ẽ

ñượ
c hai
ti
ế
p tuy
ế
n
ñế
n
ñồ

th
ị
hàm s
ố

2
1
x
y
x
=
−
và hai ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
ó vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 23:
Tìm nh
ữ
ng
ñ
i
ể
m M n
ằ

m trên
ñườ
ng th
ẳ
ng y=1 sao cho t
ừ

ñ
ó có th
ể
k
ẻ

ñượ
c
ñ
úng m
ộ
t ti
ế
p tuy
ế
n t
ớ
i
ñồ
th
ị
hàm s
ố

2
2
1
x x
y
x
+
=
+
.
Bài 24:
Cho hàm s
ố

3
( 1) (2 1) 1
y m x m x m
= + − + − +
, có
ñồ
th
ị
(C
m
).
1) Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng v
ớ
i m
ọ
i m,
ñồ
th
ị
hàm s
ố

ñ
ã cho luôn
ñ
i qua ba
ñ
i
ể
m c
ố

ñị
nh
th
ẳ
ng hàng.
2) V
ớ
i giá tr
ị

nào c
ủ
a m thì
ñồ
th
ị
(C
m
) có ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i
qua ba
ñ
i
ể
m c
ố

ñị
nh trên.

Bài 25:
Chi hàm s
ố

3 2
(2 1) ( 2) 2 ( )
m
y mx m x m x C
= − − + − −
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
m
ọ
i
ñườ
ng cong c
ủ
a h
ọ
(C
m
)
ñề
u ti
ế
p xúc v
ớ

i nhau.
Bài 26:
T
ừ
g
ố
c t
ọ
a
ñộ
có th
ể
v
ẽ

ñượ
c bao nhiêu ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
ñồ
th
ị
hàm s
ố

2

3 6
1
x x
y
x
− +
=
−
. Tìm t
ọ
a
ñộ
ti
ế
p
ñ
i
ể
m n
ế
u có.
Bài 27:
V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a a thì
ñồ

th
ị
hàm s
ố

2
a x (2 1) 3
2
a x a
y
x
+ + + +
=
+
ti
ế
p xúc
v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
4
y a
= +
.
Bài 28:
Tìm trên Oy các

ñ
i
ể
m mà t
ừ

ñ
ó có th
ể
k
ẻ

ñượ
c ít nh
ấ
t m
ộ
t ti
ế
p tuy
ế
n
ñế
n
ñồ

th
ị
hàm s
ố

2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
.
Bài 29:
Cho hàm s
ố

4
2
5
3
2 2
x
y x
= − +
(C).
1) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C).
2) G
ọi d là tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có hoành ñộ
M
x a
=

. Cmr hoành ñộ các giao
ñiểm của (C) và d là nghiệm của phương trình:
2 2 2
( ) ( 2 3 6) 0
x a x ax a
− + + − =
.
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích

3) Tìm a ñể tiếp tuyến d cắt (C) tại hai ñiểm P, Q khác M. Tìm quỹ tích trung ñiểm K
c
ủa PQ.
Bài 30: Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
2
4 3
4
mx x
y
x m
+ −
=
+
tại
ñiểm có hoành ñộ x=0 vuông góc với tiệm cận xiên của nó.
Bài 31: Cho hàm số
3 2
3 3 5
y x x x
= + + +

1) Ch
ứng minh rằng trên ñồ thị không tồn tại hai ñiểm sao cho tiếp tuyến tại hai ñiểm
ñó của ñồ thị vuông góc với nhau.
2) Tìm k
ñể có ít nhất một ñiểm mà tiếp tuyến tại ñó vuông góc với ñường thẳng
y=kx.
Bài 32: Cho hàm số
2
2
x mx m
y
x m
− +
=
+
.
1) Ch
ứng minh rằng nếu ñồ thị hàm số cắt Ox tại ñiểm
0
x x
=
thì hệ số góc của tiếp
tuy
ến tại ñó là:
0
0
2 2
x m
k
x m

−
=
+
.
2) Tìm t
ất cả các giá trị của m ñể ñồ thị hàm số cắt Ox tại hai ñiểm và tiếp tuyến tại
hai
ñiểm ñó vuông góc với nhau.
Bài 33: Tìm m sao cho qua A(0;1) không có tiếp tuyến nào kẻ ñến ñồ thị hàm số
2
2
1
x mx m
y
x
+ +
=
+
.
Bài 34: Chứng tỏ rằng ñồ thị hàm số
2
( 2) ( 2 4)
m x m m
y
x m
− − − +
=
−
luôn tiếp xúc
v

ới hai ñường thẳng cố ñịnh.