Chuyên đề: Bài toán liên quan đến KSHS

Ôn thi TN, Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Bài toán liên quan đến
KSHS
CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC
Cho hàm số
( )
xfy =
,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
.
− Tính đạo hàm và giá trị
( )
0
'f x
.
− Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
'y f x x x y= − +
.
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
có hệ số góc
( )
0

'k f x=
.
Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là
k
.
− Giải phương trình:
( )
'f x k=
, tìm nghiệm
0 0
x y⇒
.
− Phương trình tiếp tuyến dạng:
( )
0 0
y k x x y= − +
.
Chú ý: Cho đường thẳng
: 0Ax By C∆ + + =
, khi đó:
− Nếu
( )
// :d d y ax b∆ ⇒ = +
⇒ hệ số góc k = a.
− Nếu
( )
:d d y ax b⊥ ∆ ⇒ = +
⇒ hệ số góc
1
k

a
= −
.
Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
( ) ( )
;
A A
A x y C∉
.
− Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó
( ) ( )
:
A A
d y k x x y= − +
− Điều kiện tiếp xúc của
( ) ( )
à d v C
là hệ phương trình sau phải có nghiệm:
( ) ( )
( )
'
A A
f x k x x y
f x k

= − +


=



Tổng quát: Cho hai đường cong
( ) ( )
:C y f x=
và
( ) ( )
' :C y g x=
. Điều kiện để hai đường cong
tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm.
( ) ( )
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x

=


=


.
1. Cho hàm số
4 2
2y x x= −
a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C):
i. Tại điểm có hoành độ
2x =
.

ii. Tại điểm có tung độ y = 3.
iii. Tiếp tuyến song song với đường thẳng:
1
: 24 2009 0d x y− + =
.
iv. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
2
: 24 2009 0d x y+ + =
.
2. Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 1 có đồ thị (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm
phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau.
Lời giải:
Pt hoành độ giao điểm của d và (C
m
) là: x
3
+ mx
2
+ 1 = – x + 1
⇔

x(x
2
+ mx + 1) = 0 (*)
Đặt g(x) = x
2
+ mx + 1 . d cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt
⇔
g(x) = 0 có hai nghiệm phân
biệt khác 0.
( )
2
4 0
2
2
0 1 0
g m
m
m
g

∆ = − >
>


⇔ ⇔


< −

= ≠



.
GV: Hồ Thanh Lai Trang 1
Ôn thi TN, Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Bài toán liên quan đến
KSHS
Vì x
B
, x
C
là nghiệm của g(x) = 0
1
B C
B C
S x x m
P x x
= + = −

⇒

= =

.
Tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có:
( )
( )

1
C B
f x f x
′ ′
= −
( )
( )
3 2 3 2 1
B C B C
x x x m x m⇔ + + = −

( )
2
9 6 4 1
B C B C B C
x x x x m x x m
 
⇔ + + + = −
 
( )
2
1 9 6 4 1m m m
 
⇔ + − + = −
 

2
2 10m⇔ =
5m⇔ = ±
(nhận so với điều kiện)

3. Cho hàm số
( )
3 2
3 3
m
y x mx x m C= − − +
. Định m để
( )
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
4. Cho hàm số
( )
( )
4 3 2
1
m
y x x m x x m C= + + − − −
. Định m để
( )
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
5. Cho đồ thị hàm số
( )
3 2
: 3 4C y x x= − +
. Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể
kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
6. Cho đồ thị hàm số

( )
4 2
: 2 1C y x x= − +
. Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tiếp
tuyến đến (C).
7. Cho đồ thị hàm số
( )
3
: 3 2C y x x= − +
. Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể
kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
8. Cho hàm số y = 4x
3
– 6x
2
+ 1 (1) (ĐH Khối−B 2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm
M(–1;–9).
Lời giải:
a. D=R, y’ = 12x
2
– 12x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = 1.
BBT :
b. Tiếp tuyến qua M(−1;−9) có dạng y = k(x + 1) – 9.
Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng :
4x
3
– 6x
2

+ 1 = (12x
2
– 12x)(x + 1) – 9.
⇔ 4x
3
– 6x
2
+ 10 = (12x
2
– 12x)(x + 1) ⇔ 2x
3
– 3x
2
+ 5 = 6(x
2
– x)(x + 1).
⇔ x = –1 hay 2x
2
– 5x + 5 = 6x
2
– 6x ⇔ x = –1 hay 4x
2
– x – 5 = 0.
⇔ x = –1 hay x =
5
4
; y’(−1) = 24;
5 15
'
4 4

y
 
=
 ÷
 
.
Vậy phương trình các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y =
15
4
x
21
4
−
.
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
Cho hàm sô
( )
xfy =
,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
− Nghiệm của phương trình
( )
' 0f x =
là hoành độ của điểm cực trị.
− Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0

f x
f x

=


<


thì hàm số đạt cực đại tại
0
x x=
.
− Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x

=


>


thì hàm số đạt cực tiểu tại

0
x x=
.
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
GV: Hồ Thanh Lai Trang 2
x
−∞ 0 1
+∞
y'
+ 0 − 0 +
y
1 +∞
−∞ −1
CĐ
CT
f(x)=4x^3-6x^2+1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-6
-4
-2
2
x
y
32
461
yxx
=−+
Ôn thi TN, Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Bài toán liên quan đến
KSHS
− Để hàm số

( )
y f x=
có 2 cực trị
'
0
0
y
a ≠


⇔

∆ >


.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y⇔ <
.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
. 0
CĐ CT

x x⇔ <
.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm phía trên trục hoành
0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
+ >

⇔

>

.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành
0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
+ <


⇔

<

.
− Để hàm số
( )
y f x=
có cực trị tiếp xúc với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y⇔ =
.
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực
trị.
1. Cho hàm số
( )
3 2
1
2 1
3
y x mx m x= − + + −
. Định m để:
a.Hàm số luôn có cực trị.
b.Có cực trị trong khoảng

( )
0;+∞
.
c.Có hai cực trị trong khoảng
( )
0;+∞
.
2. Cho hàm số y = x
3
−3x
2
+3mx+3m+4.
a.Khảo sát hàm số khi m = 0.
b.Định m để hàm số không có cực trị.
c.Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.
3. Cho hàm số
3 2
3 9 3 5y x mx x m= − + + −
. Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương
trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.
4. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 2 2 2y x m x m x m= + − + − + +
. Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng
thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
5. Cho hàm số
( )
( )
3 2

1
2 1 2
3
m
y x mx m x m C= − + − − +
.Định m để hs có hai điểm cực trị cùng dương.
ĐS :
3
0 3
m
m
< −


< <

Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN − NGHỊCH BIẾN
Cho hàm sô
( )
xfy =
có tập xác định là miền D.
− f(x) đồng biến trên D
( )
Dxxf ∈∀≥⇔ ,0'
.
− f(x) nghịch biến trên D
( )
Dxxf ∈∀≤⇔ ,0'
.
(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)

Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai:
( )
2
f x ax bx c= + +
.
1. Nếu
0∆ <
thì f(x) luôn cùng dấu với a.
2. Nếu
0∆ =
thì f(x) có nghiệm
2
b
x
a
= −
và f(x) luôn cùng dấu với a khi
2
b
x
a
≠ −
.
3. Nếu
0∆ >
thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2
nghiệm f(x) cùng dấu với a.
So sánh nghiệm của tam thức với số 0
GV: Hồ Thanh Lai Trang 3
Ôn thi TN, Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Bài toán liên quan đến

KSHS
*
1 2
0
0 0
0
x x P
S
∆ >


< < ⇔ >


<

*
1 2
0
0 0
0
x x P
S
∆ >


< < ⇔ >


>


*
1 2
0 0x x P< < ⇔ <
1. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 1 3 1 1y x m x m x= − + + + +
. Định m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R.
b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng
( )
2;+∞
.
2. Xác định m để hàm số
3 2
2 1
3 2
x mx
y x= − − +
.
a. Đồng biến trên R.
b. Đồng biến trên
( )
1; +∞
.
3. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 2 1 12 5 2y x m x m x= − + + + +

.
a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
2;+∞
.
b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
; 1−∞ −
.
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG
Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm
Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C
1
) và y=g(x) có đồ thị (C
2
). Khảo sát sự tương giao
giữa hai đồ thị (C
1
) và (C
2
) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số giao điểm của (C
1
) và (C
2
) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1).
(1) vô nghiệm ⇔ (C
1
) và (C
2

) không có điểm chung.
(1) có n nghiệm ⇔ (C
1
) và (C
2
) có n điểm chung.
(1) có nghiệm đơn x
1
⇔ (C
1
) và (C
2
) cắt nhau tại N(x
1
;y
1
).
(1) có nghiệm kép x
0
⇔ (C
1
) tiếp xúc (C
2
) tại M(x
0
;y
0
).
1. Cho hàm số
( ) ( )

2 2
1 1y x x= + −
có đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình
( )
2
2
1 2 1 0x m− − + =
.
2. Cho hàm số
3 2
4y x kx= + −
.
a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3.
b. Tìm các giá trị của k để phương trình
3 2
4 0x kx+ − =
có nghiệm duy nhất.
Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
Các công thức về khoảng cách:
Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng):
( ) ( )
2 2
B A B A
AB x x y y= − + −
.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng
: 0Ax By C∆ + + =
và

điểm M(x
0
;y
0
) khi đó
( )
0 0
2 2
,.
Ax By C
d M
A B
+ +
∆ =
+
.
1. Cho hàm số
( )
3 2
3 3 3 2
m
y x mx x m C= − − + +
. Định m để
( )
m
C
có cực đại cực tiểu đồng thời
khoảng cách giữa chúng là bé nhất.
GV: Hồ Thanh Lai Trang 4
Ôn thi TN, Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Bài toán liên quan đến

KSHS
2. Cho hàm số
( )
2 2
:
1
x
C y
x
+
=
−
. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến
hai tiệm cận là nhỏ nhất.
3. Cho hàm số
( )
2 2
:
1
x
C y
x
+
=
−
. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho
đoạn MN nhỏ nhất.
Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH
Phương pháp:
Từ hàm số

( )
,y f x m=
ta đưa về dạng
( ) ( )
, ,F x y mG x y=
. Khi đó tọa độ điểm cố định
nếu có là nghiệm của hệ phương trình
( )
( )
, 0
, 0
F x y
G x y
 =


=


.
1. Cho hàm số
( )
( )
3 2
3 1 3 2
m
y x m x mx C= − − − +
. Chứng minh rằng
( )
m

C
luôn đi qua hai điểm
cố định khi m thay đổi.
2. Cho hàm số
( )
( ) ( )
4 2
: 1 2 3 1
m
C y m x mx m= − + − +
. Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên.
3. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số
( ) ( ) ( )
( )
3 2
3 3 3 6 1 1
m
y m x m x m x m C= + − + − + + +
luôn
đi qua ba điểm cố định.
Dạng 7: ĐỒ THỊ CH ỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
y = f(x) có đồ thị (C)
( )
y f x=
có đồ thị (C’)
( )
y f x=
có đồ thị (C “)
( )
0,y f x x D= ≥ ∀ ∈

. Do đó ta
phải giữ nguyên phần phía trên
trục Ox và lấy đối xứng phần phía
dưới trục Ox lên trên.
( )
y f x=
có
( ) ( )
f x f x− =
,
x D∀ ∈
nên đây là hàm số
chẵn do đó có đồ thị đối xứng
qua trục tung Oy.
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C)
f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5)
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C')
f(x)=abs(x)^3- 2x^2-0 .5
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C'')
Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ
8

1. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3 2
2 9 12 4y x x x= − + −
.
b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt:
3
2
2 9 12x x x m− + =
.
(ĐH Khối A−2006)
GV: Hồ Thanh Lai Trang 5
Ôn thi TN, Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Bài toán liên quan đến
KSHS
f(x)=2x^3-9x^2+12x
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
3 2
2 9 12
y x x x
= − +
f(x)=2abs(x)^3-9 x^2+12abs(x)
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2

-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
3
2
2 9 12
y x x x
= − +
a. ĐS: b. 4<m<5.
Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG
Điểm
( )
0 0
;I x y
là tâm đối xứng của đồ thị
( ) ( )
:C y f x=

⇔
Tồn tại hai điểm M(x;y) và
M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa:
( ) ( )
0
0

' 2
' 2
x x x
f x f x y
+ =



+ =


( )
( )
0
0 0
' 2
2 2
x x x
f x f x x y
= −


⇔

+ − =


Vậy
( )
0 0

;I x y
là tâm đối xứng của (C)
⇔
( )
( )
0 0
2 2f x y f x x= − −
.
1. Cho hàm số
3
2
11
3
3 3
x
y x x= − + + −
có đồ thị
( )
C
. Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau
qua trục tung.
2. Cho hàm số
( )
3 2
1y x ax bx c= + + +
. Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là
I(0;1) và đi qua điểm M(1;−1).
3. Cho hàm số y = x
3
– 3x

2
+ 4 (1) (ĐH Khối D−2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt
đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Lời giải:
a. D = R.
y' = 3x
2
− 6x = 3x(x − 2), y' = 0 ⇔ x = 0, x = 2.
y" = 6x − 6, y" = 0 ⇔ x = 1.
x − ∞ 0 1 2 +∞
y' + 0 − | − 0 +
y" − − 0 + +
y 4 + ∞
CĐ 2 CT
− ∞ U 0
b. d : y − 2 = k(x − 1) ⇔ y = kx − k + 2.
Phương trình hoành độ giao điểm: x
3
− 3x
2
+ 4 = kx − k + 2 ⇔ x
3
− 3x
2
− kx + k + 2 = 0.
⇔ (x − 1)(x
2
− 2x − k − 2) = 0 ⇔ x = 1 ∨ g(x) = x

2
− 2x − k − 2 = 0.
Vì ∆' > 0 và g(1) ≠ 0 (do k > − 3) và x
1
+ x
2
= 2x
I
nên có đpcm!.
Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN
1. Định nghĩa: (d) là tiệm cận của (C)
( )( )
0lim =⇔
∈
∞→
CM
M
MH
2. Cách xác định tiệm cận
a. Tiệm cận đứng:
( ) ( )
0
:lim
0
xxdxf
xx
=⇒∞=
→
.
b. Tiệm cận ngang:

( ) ( )
00
:lim yydyxf
x
=⇒=
∞→
.
GV: Hồ Thanh Lai Trang 6
f(x)=x^3-3x^2+4
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
O
f(x)=(2x+1)/(1-x)
y=3x+1
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=-2
Series 1
f(x)=-(1/3)x-13/3
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4
-12
-10
-8

-6
-4
-2
2
x
y
N(2;-5)
M
H
Ôn thi TN, Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Bài toán liên quan đến
KSHS
Trường hợp đặc biệt:
*Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến)
nmx
bax
y
+
+
=
+TXĐ: D= R\






−
m
n
+TCĐ:

( )
m
n
xdy
m
n
x
−=⇒∞=
−→
:lim
+TCN:
( )
m
a
yd
m
a
y
x
=⇒=
∞→
:lim
f(x)=x/(x-1)
f(x)=1
x(t)=1 , y(t)=t
T ?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11
-10
-9

-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
m
a
y
=
m
n
x
−=
I
1. Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=

−
có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận
nhỏ nhất.
2. Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (H).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (H) tại giao điểm với trục tung.
c. Tìm những điểm N (x
N
>1) thuộc (H) sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến ∆ ngắn
nhất.
HD câu b, c.
* Gọi M klà giao điểm của (C) với trục tung⇒
( )
0;1M
. Phương trình tiếp tuyến là
3 1y x= +
hay
( )
3 1 0x y− + = ∆

.
* Lấy
( ) ( ) ( )
0 0 0 0
0
3
; ; 2 , 1
1
N x y H N x x
x
 
∈ ⇒ − + >
 ÷
−
 
. Khi đó
( )
0
0
3
3 2 1
1
,
10
x
x
d N
+ − +
−
∆ =

. Đặt
( )
0 0
0
3
3 3
1
g x x
x
= + −
−
.
( ) ( )
min min
,d N g x∆ ⇔
.
* Khảo sát hàm
( )
0 0
0
3
3 2
1
g x x
x
= + −
−
trên khoảng
( )
0;+∞

,
( )
( )
0
2
0
3
' 3
1
g x
x
= −
−
,
( )
0
0
0
0
' 0
2
x
g x
x
=

= ⇒

=


, (lập bảng biến thiên
…)
* Do
0
1x >
nên ta chỉ nhận nghiệm
0
2x =
thay vào N ta được
( )
2; 5N −
. Vậy
( )
2; 5N −
thì
( )
min
6 10
,
5
d N ∆ =
.
Dạng 10: DIỆN TÍCH − THỂ TÍCH
Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệp)
a. Diện tích
Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C
1
), (C
2
). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C

1
),
(C
2
) và hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức:
GV: Hồ Thanh Lai Trang 7
x
y
O
f(x)
g(x)
ba
Ôn thi TN, Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Bài toán liên quan đến
KSHS

( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −
∫
Chú ý: Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b
ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b.
b. Thể tích
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi
{(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox
được tính bởi công thức:
( )
[ ]
∫

=
b
a
dxxfV
2
π
Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox
(f(x)≥g(x), ∀x∈[a;b]) được tính bởi công thức:
( )
[ ]
( )
[ ]
{ }
∫
−=
b
a
dxxgxfV
22
π
.
ĐỀ THI CHUNG CỦA BỘ GD-ĐT
A. HÀM BẬC BA
Bài 1:(TN-2008) Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= + −
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Biệm luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
2 3 1x x m+ − =

Bài 2: (TN- 2008L2) Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b. Tìm các giá trị của m để phương trình
3 2
3 0x x m− − =
có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 3 : (TN- 2007) Cho hàm số y=
3
3 2x x− +
có đồ thị là (C) .
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A(2 ;4) .
Bài 4 : (TN- 2006) Cho hàm số y=
3 2
3x x− +
có đồ thị (C) .
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b/ Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình :
3 2
3x x− +
-m=0 .
Bài 5 : (TN-2004PB) Cho hàm số y=
3 2
6 9x x x− +
có đồ thị là (C) .
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là nghiệm của pt : y’’=0 .

c/ Với giá trị nào của m thì đường thẳng y=x+m
2
-m đi qua trung điểm của đoạn
thẳng nối cực đại vào cực tiểu .
Bài 6: (TN-2004KPB) Cho hàm số y=
3 2 3
3 4x mx m− +
.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1 .
b/ Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=1 .
Bài 7: (CĐ SP-2004) Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4m
a. Chứng minh đồ thị hàm số luôn có 2 cực trị.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
Bài 8:Cho hàm số y =
3 2 2
2 2x mx m x− + −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m =1
b. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Bài 9: (ĐHQG-1998D) Cho hàm số f(x) = x
3
+ 3 x
2
-9x + m
1. Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 1
2. Tìm m để pt f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 10: (ĐHBK-1999)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm y = x
3
-3 x + 2
GV: Hồ Thanh Lai Trang 8
y
O
f(x)
ba x
Ôn thi TN, Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Bài toán liên quan đến
KSHS
2. Giải và biện luận theo m số nghiệm của pt: x
3
-3 x + 2 =
2
1
2
m
m
 
+
 ÷
 

Bài 11: (ĐH Mỏ 1997) Cho (C
m
): y = (m+2)x
3
+ 3 x
2
+ mx-5

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
2.Tìm m để hàm số có CĐ và CT
Bài 12: (HVCNBCVT-2001) Cho hàm số y=x
3
-3x (C)
1. Khảo sát hàm số
2. CMR khi m thay đổi thì đường thẳng y = m(x+1)+2 luôn cắt đồ thị tại một điểm
A cố định. Hãy xác định m để đường thẳng cắt (C) tại 3 điểm A,B,C khác nhau sao cho
tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau.
Bài 13:(ĐHL-ĐHD-2001) Cho hàm số y= x
3
-3(a-1)x
2
+ 3a(a-1)x +1
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập sao cho
21 ≤≤ x
.
Bài 14:(ĐHBK-99) Cho hàm số y = x
3
+ax +2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Tìm a để đồ thị cắt Ox tại đúng 1 điểm. (Tiếp xúc, cắt tại 3 điểm phân biệt )
Bài 15: (ĐH-2002A).Cho hàm số y = − x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 − m
2
)x + m

3
− m
2
(1)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm k để phương trình − x
3
+ 3x
2
+ k
3
− 3k
2
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
ĐS: b.
1 3
0 2
k
k k
− < <


≠ ∧ ≠

, c.
2
2y x m m= − +
.
Bài 16: (ĐH-2002 Dựbị) Cho hàm số y =

3
1
22
3
1
23
−−−+ mxm
xx
(1) với m là tham số
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1/2
2 Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến song song với (d):y=4x+2
Bài 17: (ĐH-2003B): Cho hàm số y=x
3
-3x
2
+m
1,Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ
2.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 2
ĐS: 1.
( ) ( )
0 0 0
, 0f x f x x= − − ∀ ≠
⇒
… m>0.
Bài 18: (ĐH - 2003DB) Cho hàm số y=(x-1)(x
2
+mx+m) với m là tham số
1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục ox tại 3 điểm phân biệt
2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 4
Bài 19: (ĐHCĐ-2003Dự bị)

1. Khảo sát y = 2x
3
-3x
2
-1 (C)
2. Gọi d
k
là đường thẳng đi qua M(0:1) và có hệ số góc bằng k.Tìm k để đường
thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
Bài 20: (ĐH-2004B) Cho hàm số y=
3 2
1
2 3
3
x x x− +
(1) có đồ thị (C )
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C )
2. Viết pt tiếp tuyến
∆
của đồ thị hàm số tại điểm uốn .CM hệ số góc của
∆
là tiếp
tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị (C )
Bài 21: (ĐH-2004D) Cho hàm số y=x
3
-3 m x
2
+9x +1 (1) Với m là tham số.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =2
2. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng y=x +1

Bài 22: (ĐH-2005D) Gọi( C
m
) là đồ thị hàm số
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= − +
(*)
GV: Hồ Thanh Lai Trang 9
Ôn thi TN, Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Bài toán liên quan đến
KSHS
1.Khảo sát và vẽ đồ thị với m= 2
2.Gọi điểm M thuộc đồ thị có hoành độ = -1,tim m sao cho tiếp tuyến tại M song song
với đường thẳng 5 x - y = 0 ĐS: m=4.
Bài 23: (CĐ SPA 2005) Cho hàm số
mxmy
xx
−−+=
23
(1 ) có đồ thị (C
m
)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1
2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành
cấp số cộng
3. Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m.
Bài 24: (CĐSP KT 2005) Cho hàm số y=x
3
+3x

2
+4 (1)
1. Khảo sát và vẽ đò thị hàm số
2. Chứng minh đồ thị hàm số luôn có tâm đối xứng
3. Viết pttt của đồ thị hàm số đi qua A(0:1).
Bài 25: (ĐH-2006D) Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đó cho.
b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) cú hệ số gúc m. Tỡm m để đường
thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. ĐS: b.
15
, 24
4
m m> ≠
Bài 26: (ĐH- 2007B) Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1y x x m x m= − + + − − −
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều điểm O.
ĐS : b
1
2
m = ±
.
Bài 27: (ĐH-2008B) Cho hàm số
= − +
3 2
4 6 1y x x

(1)
1. Khảo sát
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua
điểm M(-1;-9)
Bài 28: (ĐH-2008D) Cho hàm số:
= − +
3 2
3 4y x x
(1)
1. Khảo sát
2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k>-3) đều cắt
đồ thị của h.số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn AB.
Bài 29: (ĐH-2006A)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=2x
3
-9x
2
+12x -4
2.Tìm m để pt sau có 6 nghiệm phân biệt
3
2
2 9 12x x x m− + =
B. HÀM BẬC BỐN
Bài 1: (ĐH-2009B) Cho hàm số y = 2x
4
– 4x
2
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của m, pt:

2 2
x x 2 m− =
có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?
Bài 2: (ĐH-2009D) Cho hàm số y = x
4
– (3m + 2)x
2
+ 3m (C
m
), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đó cho khi m = 0.
2. Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (C
m
) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ
nhỏ hơn 2.
Bài 3: (ĐHQG TPHCM 1996) Cho C
m
: y= x
4
-2 m x
2
+ m
3
-m
2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 1,
2. Tìm m để hàm số tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm phân biệt
Bài 4: (ĐH Huế 1998) Cho C
m
: y= -x

4
+2mx
2
-2m +1
GV: Hồ Thanh Lai Trang 10
Ôn thi TN, Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Bài toán liên quan đến
KSHS
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1
2. CMR C
m
luôn đi qua 2 điểm A B cố định.
3.Tìm m để các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau.
Bài 5 : (ĐHNN 1999) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=
1
4
x
4
-2x
2
-
9
4
2.Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các giao điểm của nó với trục Ox.
Bài 6: (ĐH Huế 2000) Cho hàm số y= x
4
-5x
2
+4
1.Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị 3 đoạn thẳng bằng nhau.
2.Tìm m để y = m cắt đồ thị hàm số tại bốn điểm phân biệt,

Bài 7: (ĐH Y TPHCM 1998) Cho hàm số y = x
4
-2(m+1) x
2
+2m+1
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = -2
2. B,Tìm m để đồ thị hàm số cắt ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng
Bài 8: (ĐHNT 1994) Cho hàm số y = x
4
-4mx
3
+(3-3m)x
2
+3
1. khảo sát và vẽ đồ thị với m =1
2. Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
Bài 9: (ĐHSP II 1997). Cho hàm số y= (1-m) x
4
-mx
3
+2m-1
1. Khảo sát và vẽ đồ thị với m = -2
2. Tìm m để hàm số cắt ox tại 4 điểm phân biệt.
3. Tìm m để hàm số có đúng một cực trị.
4. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu mà tổng bình phương các hoành độ
bằng 27
Bài 10: (ĐH-2002B) cho hàm số y= mx
4
+ (m
2

-9) x
2
+10
1. Khảo sát với m=1
2. Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
Bài 11: (ĐH-2002Dự bị) Cho hàm số y=x
4
–mx
2
+ m -1
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=8.
2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục ox tại 4 điểm phân biệt
Bài 12: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y= x
4
-6 x
2
+5
2.Tìm m để pt sau có 4 nghiệm x
4
-6 x
2
–log
2
m =0
Bài 13: Cho hàm số y= x
4
-2 m
2
x
2

+1
1,Khảo sát và vẽ đồ thị với m=1
2.Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
C. HÀM NHẤT BIẾN
Bài 1: (ĐHTM 1999) Cho hàm số (C):
1
42
+
−−
=
x
x
y
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Giải và biện luận số giao điểm của (l) 2x-y +m=0 với (C).Khi chúng có hai giao
điểm M và N.Hãy tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
Bài 2: (ĐHAN 1997)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3
12
−
+
=
x
x
y
2. Tìm M
∈
(C) để tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài 3: (ĐHNT HCM 1997)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
1
−
+
=
x
x
y
2. Tìm M
∈
(C) để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục toạ độ là nhỏ nhất.
GV: Hồ Thanh Lai Trang 11
Ôn thi TN, Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Bài toán liên quan đến
KSHS
Bài 4: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2
12
+
+
=
x
x
y
2. CMR đường thẳng y=-x+m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B.Tìm m để AB
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Cho (C
m
)
mx

mxm
y
+
++
=
)1(
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m=1
2. Tìm M
( )
C∈
để tổng khoảng cách đến 2 đường tiệm cận nhỏ nhất.
3. CMR
m
∀
≠0 đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Bài 6: (ĐHQG.TP.HCM1997) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1
12
−
−
=
x
x
y
2. Tìm M
( )
C∈
với x
M
=m.Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận tại A và

B .Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận .CMR M là trung điểm của AB và diện tích
tam giác (IAB) không đổi
m
∀
.
Bài 7: (ĐHQG-1997D) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3
13
−
−
=
x
x
y
2. Tìm Max y và Min y = ?
Bài 8: (Đại học Thái Nguyên 1997D)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)hàm số
1
23
−
+
=
x
x
y
2. CMR không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận.
Bài 9: (Đại học cảnh sát 1997) 1. Khảo sát,vẽ
2
23
+

+
=
x
x
y
2. Viết pt tiếp tuyến với hệ số góc =4.Tìm tiếp điểm.
Bài 10: (ĐHQG 1998) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1
1
−
+
=
x
x
y
2. Tìm trên Oy các điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị .
Bài 11: (CĐ-TP.HCM 1998) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
1
1
−
+
=
x
x
y
2. CMR đường thẳng 2x-y+m=0 luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A,B nằm về
2nhánh của đồ thị.
3. Tìm m sao cho AB nhỏ nhất.
Bài 12: (ĐH-2007D) Cho hàm số
2

1
x
y
x
=
+
(C)
1. khảo sát
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại
A,B và tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
ĐS:
1
; 2
2
M
 
− −
 ÷
 
và
( )
1;1M
.
Bài 13: (ĐH-2002D) Cho hàm số
( )
2
2 1
1

m x m
y
x
− −
=
−
(1) ( m – tham số)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m = - 1.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) và 2 trục toạ độ .
3. Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.
ĐS: 2.
4
1 4ln
3
S = − +
, 3
1m ≠
.
Bài 14: (ĐH-2009A) Cho hàm số:
2
2 3
x
y
x
+
=
+
(1)
GV: Hồ Thanh Lai Trang 12
Ôn thi TN, Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Bài toán liên quan đến

KSHS
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục
hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A,B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
00
GV: Hồ Thanh Lai Trang 13