Áp dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học môn toán ở lớp 9 THCS

BÁO CÁO SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Giáo dục đóng vai trị hết sức quan trọng trong mỗi quốc gia. Nó là nền tảng,
là cơ sở để phát triển nền khoa học công nghệ. Thực tế đã chứng minh không một
quốc gia nào trên thế giới muốn phát triển kinh tế xã hội, muốn phát triển khoa học
kỹ thuật mà lại không đầu tư để phát triển giáo dục. Nếu không phát triển giáo dục
thì con người sẽ khơng tiếp cận kịp thời với trình độ khoa học kỹ thuật, cơng nghệ
thông tin đang phát triển như vũ bão.
Nghị quyết hội nghị lần thứ 2 BCH TW khoá VIII (1997) của Đảng Cộng Sản
Việt Nam đã chỉ rõ: “cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải hướng vào
người học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề
một cách năng động, độc lâp sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở nhà trường
phổ thông. Áp dụng phương pháp giáo dục hiệu quả để bồi dưỡng cho học sinh
năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề”. Điều đó phản ánh nhu cầu
đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng hiện đại hoá người học nhằm nâng
cao chất lượng giáo dục.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của
nhiều nhà tâm lý học và lý luận dạy học nổi tiếng như: Đanilôp, Xcatkin, Lencne…
Điểm qua các nghiên cứu của các tác giả ta nhận thấy: “ Dạy học phát hiện và giải
quyết vấn đề là quá trình thầy giáo tạo ra những tình huống gợi vấn đề, điều khiển
học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo để giải
quyết vấn đề thơng qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được các
mục tiêu học tập khác”.
Mơn Tốn là một môn học cơ bản trong nhà trường phổ thông. Không thể
khơng nhắc đến tầm quan trọng của mơn Tốn 9 trong chương thình mơn Tốn
trường THCS. Có thể nói nội dung Tốn 9 là phần nội dung cao và có nhiều ứng
dụng trong thực tiễn cuộc sống và các môn khoa học khác. Việc tiếp thu vận dụng
mơn Tốn trong trường THCS hiện nay vẫn còn nhiều hạn chế. Để góp phần thực
hiện đổi mới PPDH ở bậc THCS theo hướng tích cực hố hoạt động học tập của
học sinh. Do vậy, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “Áp dụng dạy học phát hiện và
1

giải quyết vấn đề vào dạy học mơn Tốn ở lớp 9 THCS” nhằm phát huy tính tích
cực học tập của học sinh góp phần nâng cao hiệu quả dạy học ở trường THCS.
2. Tên sáng kiến: “Áp dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học
mơn Tốn ở lớp 9A trường THCS Trung Thành”
3. Tác giả: Nguyễn Thị Lan Phương
Địa chỉ sáng tác sáng kiến: Trường THCS Trung Thành, thị xã Phổ Yên, tỉnh
Thái Nguyên.
Số điện thoại: 0982612875

Gmail:

4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thị Lan Phương – Giáo viên trường
THCS Trung Thành – Thị xã Phổ Yên – Tỉnh Thái Nguyên
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến được áp dụng trong cơng tác giảng dạy
bộ mơn tốn lớp 9.
6. Sáng kiến này được áp dụng lần đầu: tại lớp 9A trường THCS Trung Thành từ
ngày 14 tháng 8 năm 2017.
7. Bản chất của sáng kiến
7.1. Về nội dung sáng kiến
7.1.1. Mục đích nghiên cứu
Sáng kiến nghiên cứu áp dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào
một số nội dung cụ thể trong mơn Tốn ở lớp 9 THCS nhằm phát huy tính tích
cực học tập của học sinh.
7.1.2. Đối tượng nghiên cứu
Vận dụng dạy dọc phát hiện và giải quyết vấn đề vào một số nội dung mơn
Tốn ở lớp 9 nhằm phát huy tính tích cực hoạt động của học sinh.
7.1.3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tổng quan về dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.

- Áp dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào một số nội dung mơn
Tốn ở lớp 9 THCS theo hướng tích cực hố hoạt động học tập của học sinh.
7.1.4 Giới hạn nghiên cứu
- Giới hạn về nội dung nghiên cứu
2


Sáng kiến này được nghiên cứu nhằm vận dụng dạy dọc phát hiện và giải
quyết vấn đề vào một số nội dung mơn Tốn ở lớp 9A trường trung học cơ sở
Trung Thành, thị xã Phổ Yên, tỉnh Thái Nguyên trong năm học 2017-2018.
- Giới hạn về địa bàn và người được nghiên cứu:
Sáng kiến này được triển khai nghiên cứu tại trường trung học cơ sở Trung
Thành, thị xã Phổ Yên, tỉnh Thái Nguyên.
7.1.5 Các phương pháp nghiên cứu.
- Đọc các tài liệu tham khảo:
+ Tài liệu về dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
+ Lý luận dạy học bộ mơn.
+ SGK Tốn 9, sách bài tập và sách nâng cao Toán lớp 9 THCS.
- Quan sát thực tế quá trình học tập của học sinh lớp 9A trường trung học cơ
sở Trung Thành.
- Ghi lại kết quả thực tế đầu năm và kết quả đạt được.
- Thử nghiệm minh họa: Trên cơ sở lý luận vận dụng vào thực tiễn tiến hành
thử nghiệm minh hoạ.
7.1.6 Các bước thực hiện
7.1.6.1. Tổng quan về dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
a. Những khái niệm cơ bản về dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
* Vấn đề
Để hiểu thế nào là vấn đề hay khái niệm vấn đề thì đồng thời chúng ta phải
hiểu và làm rõ một số hệ thống khái niệm liên quan như: Khái niệm hệ thống, tình
huống, chủ thể, khách thể hay khái niệm bài tốn…Trong đó đơn cử các khái niệm

như:
Hệ thống được hiểu là một tập hợp những phần tử cung với những quan hệ
giữa những phần tử của tập hợp đó.
Một tình huống được hiểu là một hệ thống phức tạp chủ thể và khách thể.
Trong đó chủ thể có thể là người cịn khách thể là một hệ thống nào đó.
Nếu trong một tình huống chủ thể cịn chưa biết ít nhất một phần tử của
khách thể thì tình huống này được gọi là một tinh huống bài toán đối với chủ thể.
3


Trong một tình huống bài tốn, nếu trước chủ thể đặt ra mục tiêu tìm phần tử
chưa biết nào đó dựa vào một số những phần tử cho trước trong khách thể thì ta có
một bài tốn.
Một bài tốn được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa có trong tay một thuật giải
nào để tìm ra phần tử chưa biết của bài tốn.
Tóm lại:
Một vấn đề được biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu hỏi (hoặc
yêu cầu hành động) thoả mãn các yêu cầu sau:
+ Câu hỏi chưa được giải đáp (yêu cầu hành động chưa được thực hiện)
+ Chưa có một phương pháp có tính chất thuật tốn để giải đáp câu hỏi hoăc
thực hiện yêu cầu đặt ra.
* Tình huống gợi vấn đề.
Tình huống gợi vấn đề là tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về
lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không
phải ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật tốn mà phải trải qua một
q trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hay điều chỉnh kiến
thức có sẵn.
Như vậy một tình huống gợi vấn đề phải thoả mãn các điều kiện:
•

Tồn tại một vấn đề.

•

Gợi nhu cầu nhận thức.

•

Gây niềm tin ở khả năng.

Trong đó:
-

Tình huống tồn tại một vấn đề tức là trong tình huống đó phải bộc lộ những mâu
thuẫn thực tiễn và trình độ nhận thức của chủ thể. Chủ thể phải nhận thức được
những khó khăn trong tư duy hoặc trong hành động của mình mà năng lực hiểu
biết chưa đủ để vượt qua.

-

Tình huống đã có vấn đề song chưa đủ để trở thành tình huống gợi vấn đề, nó phải
gợi nhu cầu nhận thức của chủ thể có thể bằng cách nào đó làm cho mâu thuẫn
giữa tri thức đã có của học sinh với thực tiễn được bộc lộ làm cho học sinh cảm
thấy cần phải có nhu cầu nhận thức vấn đề đó.
4


- Tuy nhiên tình huống đã có vấn đề đã gợi nhu cầu nhận thức nhưng nếu
vấn đề đó quá sức với người học thì nó chưa thể là tình hng gợi vấn đề được. Vì
vậy một tình huống có vấn đề khơi dạy niềm tin vào khả năng của bản thân trên cơ

sở nó vừa sức với người học.
b. Đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo ra những tình
huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích
cực, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề thơng qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn
luyện kỹ năng và đạt được những mục tiêu học tập khác.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những đặc điểm sau:
+ Học sinh được đặt vào tình huống gợi vấn đề chứ khơng phải là được
thơng báo tri thức dưới dạng có sẵn.
+ Học sinh hoạt động tự giác, tích cực chủ động sáng tạo, tận lực huy động
tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không phải là
chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động.
+ Mục tiêu dạy học không phải là chỉ làm cho học sinh lĩnh hội kết quả của
quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ làm ho họ phát triển khả
năng tiến hành những quá trình như vậy. Nói cách khác học sinh được học bản thân
việc học.
c. Những hình thức và cấp độ của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có thể được thực hiện dưới những
hình thức sau:
* Người học độc lập phát hiện và giải quyết vấn đề
Đây là hình thức dạy học mang tính độc lập cao, người dạy chỉ tạo ra tình
huống gợi vấn đề cho người học tự phát hiện và giải quyết vấn đề đó. Người học
độc lập nghiên cứu vấn đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của q trình nghiên
cứu đó.
* Người học hợp tác phát hiện và giải quyết vấn đề
Trong hình thức này q trình phát hiện và giải quyết vấn đề khơng diễn ra
đơn lẻ ở mơt cá nhân mà cịn có sự hợp tác giữa những người học với nhau (dưới
5

các hình thức như hợp tác theo nhóm, tổ)
* Thầy trò vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề
Trong quá trình vấn đáp: Để phát hiện và giải quyết vấn đề người học khơng
hồn tồn độc lập mà có sự gợi ý dẫn dắt của thầy. Giáo viên dùng những câu hỏi
làm phương tiện để thực hiện vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề
Ở hình thức này có sự đan kết giữa hoạt động của thầy và hoạt động của trị.
* Giáo viên thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề
Đây là hình thức mà mức độ độc lập của học sinh thấp hơn các hình thức
trên.
Thầy giáo là người tạo ra tình huống có vấn đề sau đó thầy phát hiện vấn đề,
trình bày q trình suy nghĩ giải quyết vấn đề. Tri thức được trình bày khơng phải
dạng có sẵn mà là q trình người ta khám phá ra chúng.
Các hình thức trên được sắp xếp theo mức độ độc lập của học sinh trong q
trình phát hiện và giải quyết vấn đề. Nó đồng thời cũng là cấp độ dạy học phát
hiện và giải quyết vấn đề .
d. Các bước dạy học phát hiện và giải quyết vần đề
Hạt nhân của day học phát hiện và giải quyết vấn đề là điều khiển học sinh
thực hiện hoặc hồ nhập vào q trình nghiên cứu vấn đề.
Q trình này có thể chia thành nhiều bước, mỗi bước có nhiều khâu, trong
đó bước nào, khâu nào do học sinh tự làm hoặc có sự gợi ý của thầy giáo, hoặc do
thầy trình bày là tuỳ thuộc sự lựa chọn một cấp độ thích hợp.
Bước 1: Phát hiện và thâm nhập vấn đề.
- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gơị vấn đề thường do thầy đặt ra.
- Giải thích và chính xác hố tình huống để hiểu đúng vấn đề đặt ra.
- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.
Bước 2: Tìm giải pháp.
- Tìm một cách giải quyết vấn đề, việc này thường được thực hiện theo sơ đồ
(hình 1)
Trong q trình phân tích vấn đề, cần làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã
biết và cái phải tìm. Trong mơn Tốn, thường dựa vào những tri thức toán đã học,

6


liên tưởng tới những định lý, định nghĩa thích hợp.
- Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề thường hay sử dụng những
phương pháp, kỹ thuật nhận thức, tính tốn, quy lt về suy luận hướng đích, đặc
biệt hoá, chuyển qua những trường hợp suy biến, tương tự hoá, khái quát hoá, xem
xét những mối liên hệ và phụ thuộc suy xuôi, suy ngược tiến, suy ngược lùi…
- Phương hướng đề xuất khơng phải là bất biến có thể diều chỉnh hoặc thay
đổi và chuyển hướng khi cần thiết, khâu này có thể được làm nhiều lần cho đến khi
tìm ra hướng đi hợp lý.
- Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề là hình
thành một giải pháp.
- Việc tiếp theo là kiểm tra giải pháp xem nó có phù hợp với u cầu đặt ra
hay khơng? Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay, nếu khơng đúng thì lặp lại từ
khâu phân tích vấn đề cho đế khi tìm được giải pháp đúng.
- Tìm thêm những giải pháp khác (theo sơ đồ trên).
- So sánh các giải pháp tìm được với nhau để tìm ra giải pháp hợp lý nhất.
Bước 3: Trình bày giải pháp
- Khi đã giải quyết vấn đề đặt ra người học trình bày lại tồn bộ q trình từ
việc phát hiện vấn đề cho tới giải pháp.
- Vấn đề là một đề bài cho sẵn thì có thể không cần phát hiện lại vấn đề.
- Trong khi trình bày, cần tuân thủ các chuẩn mực đề ra như: ghi rõ giả thiết,
kết luận đối với bài toán chứng minh, phân biệt các phần: phân tích, cách dựng,
chứng minh, biện luận đối với bài tốn dựng hình…
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả
- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tình huống tương tự, khái
qt hố, lật ngược vấn đề…và giải quyết nếu có thể

7


Hình 1
e. Những cách thơng dụng để tạo tình huống có vấn đề
- Dự đốn nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm
- Lật ngược vấn đề
- Xét tính tương tự.
- Khái quát hóa.
- Giải bài tập mà người học chưa biết cách giải.
- Tìm sai lầm trong lời giải.
- Phát hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm.
7.1.6.2. Áp dụng dạy học và giải quyết vấn đề vào những tình huống
điển hình trong mơn tốn lớp 9
a. Dạy học khái niệm
Ví dụ 1. Dạy học khái niệm “Căn bậc ba” (Tốn 9 tập I trang 34)
 Đây là tình huống gợi vấn đề vì:

- Học sinh mới chỉ có biết về căn bậc hai, cách tìm căn bậc hai của một số không
âm, học sinh vẫn chưa biết thế nào là căn bậc ba và cách tìm căn bậc ba của một
số.
- Có nhu cầu giải quyết vấn đề: HS đã biết về căn bậc hai nay muốn biết thêm về
căn bậc ba.
8


Phát hiện và thâm nhập vấn đề.



Ta đã được biết khái niệm căn bậc hai và nghiên cứu sâu các tính chất, các phép
biến đổi của căn bậc hai. Liệu căn bậc cao hơn hai thì sao ví dụ như căn bậc ba,
bậc 4…Chúng có sự khác biệt như nào đối với căn bậc hai đã học? Để trả lời điều
đó hơm nay ta đi tìm hiểu khái niệm và tính chất của căn bậc ba nó có gì khác căn
bậc hai không? và ứng dụng trong thực tiễn như thế nào?
Tìm giải pháp.



Để đi đến khái niệm căn bậc ba ta đi tìm hiểu bài tốn đầu (SGK_tr 34):
“Một người thợ cần làm một thùng hình lập phương chứa được đúng 64 lít nước.
Hỏi người thợ có phải chọn độ dài cạnh của thùng là bao nhiêu đêximét?”
Ta đã biết cơng thức tính thể tích của một hình lập phương là V = a 3 (a là
cạnh của hình lập phương). Ta áp dụng vào giải bài toán trên.
Nếu ta gọi cạnh của hình lập phương là x. Theo bài ra ta sẽ được một
phương trình: x3 = 64. Từ đó tìm x.
Nếu ta tổng qt lên ta được điều gì? Phát biểu kết quả tìm được.
Tình bày giải pháp.



Gọi cạnh của hình lập phương là x (dm). Điều kiện x > 0
Thể tích của hình lập phương được tính theo cơng thức: V = x3.
⇒
Theo bài ra ta có: x3 = 64 x = 4 (vì 43 = 64)
Vậy hình lập phương có cạnh là 4 (dm)
Từ 43 = 64 người ta gọi 4 là căn bậc ba của 64.
•

Với một số a bất kỳ thì căn bậc ba của nó như thế nào ?

Ta đi đến định nghĩa SGK_trang 34.
“Căn bậc của một số a là số x sao cho x3 = a”
3



Căn bậc ba của một số a được kí hiệu:

a

Số 3 gọi là chỉ số của căn. Phép tìm căn bậc ba của một số gọi là phép khai căn bậc
ba.

9


( )
3a

Tính :

3

=?

( )
3a

Ta có

3

= 3 a3 = a

( )
3a

Từ đó ta có chú ý : Từ định nghĩa ta có

3

= 3 a3 = a

Ví dụ 1 : 3 là căn bậc ba của 27 vì 33 = 27.
- 2 là căn bậc ba của - 8 vì (- 2)3 = - 8
 Nghiên cứu sâu giải pháp.

Theo định nghĩa ta hãy tìm căn bậc ba của 8, 0, - 1, - 125. Ta thấy
2 là căn bậc ba của 8 vì 23 = 8.
0 là căn bậc ba của 0 vì 03 = 0
- 1 là căn bậc ba của – 1 vì (- 1)3 = - 1
- 5 là căn bậc ba của – 125 vì (- 5)3 = - 125.
Từ ví dụ trên ta thấy: Với a > 0, a = 0, a < 0 mỗi số a đều có một căn bậc ba.


Với căn bậc hai thì chỉ có số khơng âm mới có căn bậc hai, số dương có hai
căn bậc hai là hai số đối nhau.

Với căn bậc ba thì :



- Căn bậc ba của một số dương là một số dương.
- Căn bậc ba của 0 là 0.
- Căn bậc ba của một số âm là một số âm.
- Hoạt động nhận dạng và thể hiện.
Cho học sinh làm
a) Ta thấy 27 = 33

?1

⇒ 3 27 = 3 33 = 3

Tương tự
3

3

3

−64 = 3 (−4)3 = −4

b)

;

d)

1
1

1
=3 ÷ =
125
5
5

Bài 67 (SGK_tr 36).
3

Hãy tìm

512,

3

−729, 3 0.064, 3 −0, 216,

3

−0,008

.
10


Ví dụ 2: Thực hiện dạy học khái niệm “Hàm số bậc nhất” (§2,SGK_Tr 46, 47
Tốn 9 tập 1).
 Thế nào là hàm số bậc nhất? là một tình huống gợi vấn đề vì:

HS mới chỉ biết về khái niệm hàm số : “Đại lượng y phụ thuộc vào đại

lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị
tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số”(lớp7). Còn thế
nào là hàm số bậc nhất thì cịn là một khái niệm mới và có nhu cầu giải quyết:
muốn biết về hàm số bậc nhất và tính chất của nó.
 Phát hiện vấn đề và thâm nhập vấn đề.

Ta đã biết khái niệm hàm số và biết lấy ví dụ về hàm số được cho bởi công
thức. Hàm số bậc nhất có gì khác với hàm số, phải chăng hàm số bậc nhất là một
trường hợp đặc biệt của hàm số?
Vậy hàm số bậc nhất là gì? Nó có dạng như thế nào? Nó có ứng dụng trong
thực tiễn khơng? Bài hơm nay ta sẽ đi tìm hiểu loại hàm số này.
 Tìm giải pháp

Để đi đến khái niệm (định nghĩa) hàm số bậc nhất, ta xét bài toán thực tế
(SGK.Tr 46). Với sơ đồ chuyển động sau:
TT Hà Nội

Bến xe

Huế

8km
Dựa vào tính chất của bài tốn chuyển động ta làm phần
hàm số để làm

?1 và khái niệm

?2

Tìm quãng đường đi được trong 1 thời gian nào đó. Và khi thời gian thay đổi

thì quãng đường đi được thay đổi như nào?
Từ đó rút ra kết luận.
 Trình bày giải pháp

- Xác định quãng đường của ô tô đi được sau một khoảng thời gian nhất định
?1

+ Sau 1h ô tô đi được : 50km
11


+ Sau t(h) ô tô đi được: 50t(km)
+ Sau t(h) ô tô cách trung tâm Hà Nội là: s = 50t + 8(km)
?2

- Xác định các giá trị tương ứng của s khi cho t lần lượt lấy các giá trị 1h, 2h,
3h…và giải thích tại sao đại lượng s là hàm số của t.
- Mối quan hệ giữa s và t
Ta có bảng sau:
t
1
2
3
S = 50t + 8 58
108 158
- Đại lượng s là hàm số của t vì:

4
208

…
…

Đại lượng s phụ thuộc vào t.
Ứng với mỗi giá trị của t chỉ có một giá trị tương ứng của s. Do đó s là hàm
số của t.
- Trong cơng thức s =50t + 8
Nếu thay s bởi y , t bởi x ta có cơng thức hàm số quen thuộc y = 50x + 8
Nếu thay 50 bởi a và 8 bởi b thì ta có y = ax + b ( a ≠ 0) đây gọi là hàm số bậc
nhất.
Vậy hàm số bậc nhất là gì?.
Ta đi đến định nghĩa (SGK trang 47 toán 9 tập 1)
“ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b với a,b là các
số cho trước, a ≠ 0”
Chú ý : khi b = 0 hàm số có dạng y = ax.
Ví dụ 2: a) y = 4x + 1 là hàm số bậc nhất
b) y = 1 – 5x là hàm số bậc nhất
 Nghiên cứu sâu giải pháp

Củng cố khái niệm thông qua hoạt động nhận dạng và thể hiện.
- Hoạt động nhận dạng: các cơng thức sau có phải là hàm số bậc nhất khơng? Vì
sao ?

a) y = 2 – 5x

b) y =

1
2

x

c) y = mx + 2
12


d) y =

1
x

+4

e) y = 2x2 + 3

f) y = 0x + 7

Trả lời :
a) y = 2 - 5x là hàm số bậc nhất vì nó là hàm số được đo bởi công thức

y = ax + b ( a ≠ 0).

b) y =
c)

là hàm số bậc nhất.

y = mx + 2 không phải là hàm số bậc nhất vì chưa có điều kiện của

d) y =

e)

1
x
2

1
+4
x

khơng là hàm số bậc nhất vì khơng có dạng

y = ax + b

m ≠ 0

.

.

y = 2x2 + 3 không phải là hàm số bậc nhất.
f) y = 0x + 7 không phải là hàm số bậc nhất vì có dạng y = ax + b nhưng
a = 0.

-

Hoạt động thể hiện : Học sinh lấy một số ví dụ về hàm số bậc nhất.
Ví dụ 3. Dạy học khái niệm “Tứ giác nội tiếp” (SGK Toán 9 tập 2, trang 87, 88 ).
 Tạo tình huống gợi vấn đề : Xét hình sau :

- Chúng ta đã biết h.a là hình có tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O. Khi đó
tất cả các đỉnh của tam giác đều nằm trên đường tròn.

13


- Ở h.b ta thấy đó EFGH là một tứ giác và chúng cũng có tất cả các đỉnh cùng nằm
trên đường tròn tâm I. HS chưa biết rằng nếu một tứ giác có đặc điểm như vậy thì
gọi là gì. Tương tự như tam giác thì nó có được gọi là ‘‘Tứ giác nội tiếp’’ không ?
- ‘‘Tứ giác nội tiếp’’ là một khái niệm mới HS chưa biết và có nhu cầu giải quyết
đó là muốn biết thế nào là tứ giác nội tiếp và các tính chất của nó.


Phát hiện và thâm nhập vấn đề.
Chúng ta đã biết thế nào là tam giác nội tiếp một đường trịn, hơn nữa ta
ln vẽ được đường trịn đi qua ba đỉnh của tam giác.Vậy với tứ giác thì sao? Phải
chăng ta cũng làm được như vậy đối với một tứ giác?
Mọi tam giác ln nội tiếp một đường trịn. Có phải bất kỳ tứ giác nào cũng
nội tiếp được đường trịn hay khơng? Hơm nay chúng ta sẽ đi tìm hiểu và trả lời
câu hỏi đó.

 Tìm giải pháp.

Ta biết một tam giác nội tiếp là tam giác có tất cả các đỉnh cùng nằm trên
một đường tròn. Liệu một tứ giác nội tiếp có tương tự như một tam giác nội tiếp
khơng?
Vậy ta vẽ một đường trịn tâm O rồi vẽ một tứ giác có tất cả các đỉnh nằm
trên đường trịn đó.
Như trên ta đã biết một tam giác mà có 1 đỉnh khơng cùng thuộc một đường
trịn với hai đỉnh cịn lại thì tam giác đó không phải là tam giác nội tiếp. Phải chăng

một tứ giác cũng có đặc điểm tương tự như vậy? Ta vẽ một đường tròn tâm I rồi vẽ
một tứ giác có ba đỉnh nằm trên đường trịn đó cịn đỉnh thứ tư thì khơng.
Tương tự như tam giác ta có thể đưa ra khái niệm về một tứ giác nội tiếp.
 Trình bày giải pháp.

a)Vẽ một đường trịn tâm O, bán kính bất kì rồi vẽ một tứ giác ABCD có tất cả
các đỉnh nằm trên đường trịn đó. Khi đó tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp.
Vậy ta có định nghĩa (SGK_ tr 87):
“Mơt tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp
đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)”.
14


b) Vẽ một đường trịn tâm I, bán kính bất kì, vẽ một tứ giác MNPQ có ba đỉnh
nằm trên đường trịn đó cịn đỉnh thứ tư thì khơng. Ta có tứ giác MNPQ khơng nội
tiếp đường trịn tâm M.
Ví dụ: Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp (h.43).
Tứ giác MNPQ khơng là tứ giác nội tiếp (h.44).

Hình 43.

Hình 44.

Nghiên cứu sâu giải pháp.


-

Như vậy một tứ giác nội tiếp là tứ giác có tất cả các đỉnh cùng thuộc một đường
trịn. Khi đó ta thấy bán kính của đường trịn cũng chính là khoảng cách từ tâm

của đường trịn đến các đỉnh của tứ giác.

Ví dụ 1: Hãy chỉ ra các tứ giác nội tiếp trong hình bên:
- Có tứ giác nào trên hình
khơng nội tiếp được đường trịn (O)?
-

Hỏi tứ giác AMDE có nội tiếp

được đường trịn khác hay khơng? Vì sao?.

Ví dụ 2: Hình vng, hình chữ nhật bất kì có nội tiếp được một đường trịn khơng?
vì sao?
Đáp án:

15


Ví dụ 1: Các tứ giác nội tiếp là: Tứ giác AEDC, ABDE vì có tát cả các đỉnh cùng
nằm trên đưồng trịn tâm O. Tứ giác khơng nội tiếp đường trịn là: MADE vì có
đỉnh M khơng thuộc (O). Tứ giác MADE khơng nội tiếp được đường trịn khác vì
qua ba điểm A, D, E ta chỉ xác định được duy nhất một đường trịn.
Ví dụ 2: Hình vng ABCD nội tiếp được
một đường trịn vì: Nếu ta kẻ hai đường
chéo cắt nhau tại O thì OA = OB = OC = OD
(tính chất) do đó A, B, C, D cùng thuộc (O; OA).
Tương tự cho hình chữ nhật.
b. Dạy qui tắc và phương pháp
VD 1. (Toán 9 tập 2, tr 16). Áp dụng vào dạy quy tắc “Giải hệ phương trình bằng
phương pháp thế (quy tắc thế)”.

 T ạo tình huống gợi vấn đề :

Hãy đốn nhận về số nghiệm của hệ

3x − 2y = 1

−6x + 4y = 0

và hệ

Ta chỉ cần biến đổi hệ (1) về hệ


3x − 2y = 1


−6x + 4y = −2

3x − 2y = 1

3x − 2y = 0

Ta chỉ cần biến đổi hệ (2) về hệ

(1)

3x − 2y = 1

3x − 2y = 1

(2)

rồi kết luận hệ vô nghiệm.

đến đây ta có thể thấy ngay hệ có vơ

số nghiệm và giải tiếp như sau:
3x − 2y = 1
3
1
⇔ 3x − 2y = 1 ⇔ y = x −

2
2
3x − 2y = 1

Vậy nghiệm tổng quát của hệ là:

x ∈ ¡


3
1
y = 2 x − 2

16


Hãy giải hệ: (I)

2x − y = 3

 x + 2y = 4

không phải bằng phương pháp đồ thị (vẽ hình)

HS mới chỉ giải bằng phương pháp tọa độ đối với hệ này, vậy với phương
pháp khác ta làm thế nào?
 Phát hiện và thâm nhập vấn đề

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

a1x + b1y = c1

a 2 x + b 2 y = c2

Ta đã biết tập nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn
bởi một đường thẳng. Ta có thể dự đốn nghiệm của hệ phương trình, tìm nghiệm
của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn này bằng cách xác định toạ độ giao điểm của
hai đường thẳng. Tuy nhiên, kết quả thu được có thể khơng chính xác. Bởi vậy khi
muốn khẳng định chính xác một cặp nghiệm của hệ phương trình ta nên thử lại
bằng tính tốn. Đơi khi ta gặp khó khăn
Có cách nào đơn giản hơn mà ta khơng phải sử dụng bằng phương pháp đồ
thị không? Phải chăng ta có thể giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách quy
về phương trình bậc nhất một ẩn và ta giải phương trình này tìm được một ẩn và
thay vào một trong hai phương trình của hệ và tìm ra nghiêm cịn lại (ta sử dụng
thuật thay thế).
 Tìm giải pháp

Ta hãy rút ẩn y từ phương trình đầu của hệ (I) khi đó ta có

y = −2x + 3

(*)

rồi thế vào phương trình thứ hai ta được:
x + 2(−2x + 3) = 4
⇔ −3x + 2 = 0
Đây là một phương trình bậc nhất một ẩn mà chúng ta đã biết cách giải. Tìm được

x

ta thế vào (*) khi đó ta lại được một phương trình bậc nhất với ẩn y, giải ra ta

tìm được y.
 Trình bày giải pháp
17


- Từ phương trình thứ nhất trong hệ, ta có:

y = −2x + 3

(*). Lấy kết quả này thề vào

chỗ của y trong phương trình thứ hai thì được:

x + 2(−2x + 3) = 4 ⇔ −3x + 2 = 0 ⇔ x = 2
3

- Dùng phương trình này thay thế cho phương trình thứ nhất ta được một hệ mới


2
x =
3

 y = −2x + 3


(*)được

tương đương với hệ đã cho. Để giải hệ này ta thế

x

vào phương trình

y = −2. 2 + 3 = 5
3
3

Khi đó ta kết luận rằng hệ phương trình đã cho có nghiệm:

 −2 5 
, ÷

 3 3

Trên là nột cách giải khác của hệ phương tình bậc nhất hai ẩn. Người ta gọi

phương pháp này là “Phương pháp thế” hay còn gọi là quy tắc thế.
Vậy quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình
tương đương: Quy tắc thế gồm hai bước sau:
Bước 1: từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu
diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để dược một phương mới
(chỉ cịn một ẩn).
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ
(phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn
theo ẩn kia có được ở bước 1).
 Nghiên cứu giải pháp

Giải các hệ phương trình sau bằng cách áp dung quy tắc thế:
 x − 3y = 2
3x − 2y = 1
3x − 2y = 1
a) 
b) 
c) 
−2x + 5y = 1
−6x + 4y = 0
−6x+4y = −2

18


Lời giải
 x − 3y = 2
a) 
−2x + 5y = 1

(I)

Bước 1: Từ phương trình đầu, biểu diễn x theo y, ta có

x = 3y + 2

(*)

.

Lấy kết quả này thế vào chỗ của x trong phương trình thứ hai thì được :
−2(3y + 2) + 5y = 1

Bước 2: Dùng phương trình vừa có, thay thế cho phương trình thứ hai của hệ và
dung (*) thay thế cho phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình:
 x = 3y + 2

−2(3y + 2) + 5y = 1

Sau khi áp dụng quy tắc thế, ta thấy ngay có thể giải hệ (I) như sau:
 x = 3y + 2
 x = 3y + 2
 x = −13
⇔ 
⇔ 

 y = − 5
 y = − 5
 −2(3y + 2) + 5y = 1

vạy hệ (I) có nghiệm duy nhất: (-13, -5)
3x − 2y = 1
b) 

−6x + 4y = 0

(II)

(II)


1+ 2 y

1+ 2 y
3x − 2y = 1
 x = 3
x =
⇔
⇔
3

1
+
2
y
3x
−
2y
=
0

3.


− 2 y = 0 1 = 0

3
⇔

Ta thấy: 1 = 0 vô lý nên hệ (I) vô nghiệm
3x − 2y = 1
c) 
−6x + 4y = −2

(III)

y=
+ Biểu diễn y theo x từ phương trình đầu, ta được:

3x −1
2

19


−6x + 4.

+ Thế vào phương trình hai ta được:

3x −1
= −2 ⇔ 0x = 0

2

Phương trình này nghiệm đúng với mọi số thực x.
Vậy hệ (III) có vơ số nghiệm.
•

Ta có thể phát biểu quy tắc thế dưới dạng công thức:

 y = f(x)
 y = f(x)
a) 
⇔ 
F(x;y) = G(x;y)
F(x;f(x)) = G(x;f(x))
 x = g(y)
 x = g(y)
b) 
⇔ 
F(x;y) = G(x;y)
F(g(y);y) = G(g(y);y)

VD 2. (Toán 9 tập 2, trang 43) Áp dụng dạy học phát hiện và giải quyến vấn đề
với bài ‘‘Công thức nghiệm của phương trình bậc hai ’’.


Đây là tình huống có vấn đề vì : HS mới chỉ biết dạng của phương trình bậc hai
và tìm nghiệm của nó bằng cách biến đổi chúng về dạng phương trình tích hoặc về
các dạng phương trình đơn giản đã biết cách giải chứ chưa có cách giải cụ thể. Do
đó HS có nhu cầu tìm hiểu về cách giải tổng quát của chúng.



Phát hiện và thâm nhập vấn đề.
Hãy giải phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình
có vế trái là một bình phương, cịn vế phải là một hằng số:

3x 2 −12 x + 1 = 0

(1).

Yêu cầu giải thích từng bước biến đổi.
Lời giải.
- Chuyển 1 sang vế phải ta được:

x2 − 4 x = −
- Chia 2 vế cho 3 :

3x 2 −12 x = −1

1
3

- Tách 4x ở vế trái thành 2.x.2 và thêm vào hai vế cùng một số để vvế trái thành
mơt bình phương:

x 2 − 2.x.2+ = 4 −

1
3

Ta được :
20


( x − 2)

2

=

11
11
33
⇒ x−2= ±
=±
3
3
3
33
33
⇒ x1 = 2 +
, x2 = 2 −
3
3

Ở bài trước, ta đã biết cách giải một số phương trình bậc hai một ẩn chẳng hạn
biến đổi về phương trình tích.... Để giải một phương trình bậc hai bất kỳ chúng ta
lại phải thực hiện các bước như trên thì sẽ rất phức tạp và tính tốn dễ nhầm lẫn.
Bài này, một cách tổng qt ta sẽ xét xem khi bào phương trình bậc hai có
nghiệm và tìm cơng thức nghiệm khi phương trình có nghiệm.



Tìm giải pháp.
Ta sẽ đi xây dựng cơng thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai.
Với phương trình bậc hai tổng quát :

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

(*)

Ta biến đổi phương trình sao cho vế trái thành bình phương một biểu thức, vế phải
là một hằng số (tương tự như bài trên).
Và thực hiện ?1, ?2.


Trình bày giải pháp.
- Chuyển hạng tử tự do của (*) sang vế phải :

- Vì

( a ≠ 0)

ax 2 + bx = −c

b

c

a

a

x2 + x = −
, chia hai vế cho a, được :

2

- Tách

b x = 2. b .x
a
2a

và thêm vào hai vế

 b 
 2a ÷
 

để vế trái thành bình phương một

biểu thức :
2

x2 + 2.

2

b .x +  b ÷ =  b ÷ − c ⇔
 2a ÷

 2a ÷
a
2a





Để cho gọn ta đặt

∆ = b 2 − 4ac

2


b ÷
 x+

2a ÷


2
= b − 2ac
4a

(2)

và người ta gọi đó là biệt thức của phương trình (*).
21

2

Vậy


b 
∆
x+
÷ = 2
2a  4a


(2)

Vế trái của phương trình (2) là số khơng âm, vế phải có mẫu dương ( 4a 2 > 0
vì

a≠0

), cịn tử thức có thể dương, âm, bằng 0. Vậy nghiệm của phương trình phụ

thuộc vào ∆.
Tính x phụ thuộc vào dấu của ∆.
Xét dấu của ∆ :
Thực hiện ?1
2

a) Nếu ∆ > 0 thì (2) trở thành :


b 
∆
x+
÷ = 2
2a  4a


. Phương trình này có hai vế đều

khơng âm nên ta khai căn hai vế đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
x+

b
∆
=
2a 2a

⇔ x+

b
∆
=±
2a
2a
x1 =

Do đó phương trình có hai nghiệm :

−b − ∆

−b + ∆
, x2 =
2a
2a

2

b) Nếu ∆ = 0 thì (2) trở thành.

tích :


b ÷
x+

2a ÷


=0
ta phương trình về phương trình



b
b
x
+
=
0


x = −

b 
b 
2
a
2
a
.  x +
=0⇔ 
⇔
 x +
÷
÷
÷
÷
2a   2a 
b
b



 x + 2a = 0
 x = − 2a

Vậy phương trình (*) có nghiệm kép.

x1 = x2 = − b
2a
2

?2) Nếu ∆ < 0 thì (2) trở thành :


b 
∆
x+
÷ = 2
2a  4a


. Phương trình này có vế trái

là biểu thức khơng âm, vế phải là số âm do đó không tồn tại x để thoả mãn (2).
22


Vậy phương trình vơ nghiệm.
Từ các trường hợp trên ta có kết luận chung ( SGK_tr44). Đó là cơng thức nghiệm
của phương trình bậc hai dạng tổng quát theo dấu của biệt thức ∆.


Nghiên cứu sâu giải pháp.
HS nêu cách tính biệt thức ∆ và kết luận về nghiệm của phương trình theo dấu
của ∆.

ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Đối với phương trình
và biệt thức

+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt :
−b − ∆
−b + ∆
x1 =
, x2 =
2a
2a

∆ = b2 − 4ac

:

x1 = x2 = − b
2a

+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép :
+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vơ nghiệm.
Giải ví dụ áp dụng trang 44 SGK theo công thức trên :
Phương trình :
+ Tính

3x 2 + 5 x − 1 = 0

∆ = b2 − 4ac

.

.

Phương trình có các hệ số là : a = 3, b = 5, c = -1.

∆ = 52 − 4.3.(−1) = 25 + 12 = 37
Do ∆ > 0, áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 =

−5 − 37
−5 + 37
, x2 =
6
6

HS áp dụng công thức nghiệm để làm ?3
•

Chú ý. Nếu phương trình
∆ = b2 − 4ac

ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )

có a và c trái dấu, tức

ac < 0

thì

> 0 . Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c. Dạy học một số định lý

23

VD 1. Định lí đảo: “Nếu một tứ giác có, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180 0 thì
tứ giác đó nội tiếp được đường trịn ”.(SGK_tr88 Tốn 9 tập 2)
 Tạo tình huống gợi vấn đề

- Tồn tại một vấn đề là HS mới biết định lí. “Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo
hai góc đối nhau bằng 1800”. Điều ngược lại thì sao, nó có cịn đúng khơng? HS
chưa biết họ rất muốn tìm hiểu và giải quyết, hi vọng sẽ chứng minh được điều đó.
Phát hiện và thâm nhập vấn đề.



Từ định lí trên ta biết: “ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau
bằng 1800”. Vậy điều ngược lại: Trong một tứ giác bất kì có tổng hai góc đối là
1800 thì tứ giác đó có nội tiếp đường trịn được khơng? Ta đi chứng minh điều đó.
Tìm giải pháp.



Vẽ tứ giác ABCD có

Bˆ + Dˆ = 180o

ta

đi chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. Ta có
Tứ giác ABCD
GT
KL

Bˆ + Dˆ = 180o
Tứ giác ABCD nội tiếp

Một tứ giác nội tiếp là tứ giác có tất cả các đỉnh cùng nằm trên một đường
tròn. Mặt khác ta đã biết qua 3 điểm ta chỉ xác định được duy nhất một đường tròn.
Để đi chứng minh điều này trước tiên ta vẽ được một đường tròn đi qua ba
đỉnh của tứ giác và ta cần chứng minh cho đỉnh cịn lại cũng nằm trên đường trịn
đó.


Trình bày giải pháp.
Qua 3 đỉnh A, B, C của tứ giác ta vẽ
đường tròn (O) (bao giờ cũng vẽ được
đường tròn như vậy vì ba điểm A, B, C khơng
thẳng hàng).
Hai điểm A và C chia đường tròn (O) thành hai
24


cung
gúc (

ẳ
ABC

v

1800 àB

ẳ
AmC

ẳ
AmC

,trong ú

l cung cha

) dng trờn on thẳng AC.

Bˆ + Dˆ = 180o ⇒ Dˆ = 180o − Bˆ

Mặt khác, theo giả thiết
Vậy điểm D nằm trên cung

Hình 46

¼
AmC

của (O), do đó tứ giác ABCD nội tiếp vì có bốn

đỉnh nằm trên một đường trịn (O).
Từ đó nội dung của định lí đảo: “Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối
nhau bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường trịn”.
Nghiên cứu sâu giải pháp.



- Định lí đảo cho ta biết thêm một dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.
- Hãy cho biết trong các tứ giác đặc biệt đã học ở lớp 8, tứ giác nào nội tiếp được?
Vì sao?
Trả lời: Hình bình hành (nói chung) khơng nội tiếp được đường trịn, vì tổng hai
góc đối diện khơng bằng 1800. Trường hợp riêng của hình bình hành là hình chữ
nhật (hay hình vng) thì nội tiếp được đường trịn, vì tổng hai góc đối diện là 90 0
+ 900 = 1800.
Hình thang (nói chung), hình thang vng khơng nội tiếp được đường trịn.
Hình thang cân ABCD (AD = BC) có
hai góc mi ỏy bng nhau:
m

àA + ảD = 180o

àA = ¶B, C
µ = ¶D

( hai góc trong cùng phía

tạo bởi cát tuyến AD với AB // CD).
Suy ra

µA + C
µ = 180o

.Vậy hình thang cân ln có tổng hai góc đối diện bằng 180 0

nên nội tiếp được đường tròn.
VD 2: Dạy học “Định lí Vi-ét”

 Gợi vấn đề

25