Tóm tắt kiến thức hình học lớp 10

Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

Chương I : VECTƠ
§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng .
+ Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được
kí hiệu là AB ( đọc là vectơ AB).

࿿u࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿6#࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿$࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿% Một vectơ xác định cịn được kí hiệu
là a , b, x , y,...
B
A

b

a

(Chú ý: AB BA )
0 Vectơ – khơng (có gạch nối giữa 2 từ):
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhơng, kí hiệu 0
Ví dụ: MM , AA ,....
0 Giá của vectơ : Mỗi vectơ AB ≠ 0 , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB . Cịn vectơ
khơng AA thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó.
0 Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ.
1 Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng
nhau. Chú ý:

2 Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài a kí hiệu
là | a |, | AB | AB BA

 Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ
dài Nếu a bằng b thì ta viết a = b .
5888  BB= 0, |0|= 0.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm
a) Tất các vectơ khác 0 ;
b) Các vectơ cùng phương;
c) Các vectơ bằng nhau.

A

B
o

D

Các kí hiệu thường gặp
AB cùng phương CD kí hiệu: AB // CD
AB cùng hướng CD kí hiệu: ABCD
AB ngược hướng CD kí hiệu: AB CD

-1-

C


Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng
Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0 là AB, BA

Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu và điểm
cuối là các điểm đó.
Giải
Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E},
{D,E}. Do đó có 20 vectơ khác 0
Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ a khác 0 . Tìm điểm M sao cho:
AM cùng phương a
Giải

m
a
Gọi là giá của a
Nếu AM cùng phương a thì đường thẳng AM//
Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và //
Ngược lại, mọi điểm M thc m thì AM cùng phương a
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
Ta có thể dùng một trong các cách sau:
+ Sử dụng định nghĩa: | a || b |
 a b


a , b cùng hướng

Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì

AB

AB DC, BC AD,…
o
(hoặc viết ngược lại)

D
C
+ Nếu a b, b c a c
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
A
Chứng minh: EF CD
Giải
E
Cách 1: EF là đường trung bình của ABC nên EF//CD,
F
BC=CD
 EF=CD EF  CD (1)
EF= 1
2
EF cùng hướng CD (2)
Từ (1),(2) EF CD
Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
EF=

B

D

C

1
2 BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành EF CD

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I
M

là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN.
D

C

Chứng minh: AM NC, DK NI
Giải
Ta có MC//AN và MC=ANMACN là hình bình hành
AMNC
Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm

I

A

K

N

B

của MD DK = KM . Tứ giá IMKN là hình bình hành,
suy ra NI = KM DK NI
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có
chung điểm cuối (hoặc điểm đầu).
Giải
-2-


Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

Giả sử AB AC . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng
góc A BC.
(trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự)
Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ a . Dựng điểm M sao cho:
AM = a ;
AM cùng phương a và có độ dài bằng | a |.
Giải
Giả sử là giá của a . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d//
(nếu A thuộc thì d trùng). Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho:

AM1=AM2=| a |
d

Khi đó ta có:
a) AM1 = a
AM1 = AM

2

a

A

cùng phương với a

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối
xứng của B qua O. Chứng minh: AH B 'C .
Giải

BÀI TẬP §1
Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-khơng ) có điểm đầu và
điểm cuối là các đỉnh tam giác?




Bài 2: Cho hai vectơ khơng cùng phương a và b . Có hay khơng một véctơ cùng phương với cả hai véctơ
đó.


Bài 3: Cho ba vectơ a, b, c cùng phương và đểu khác véctơ khơng. Chứng minh rằng co ít nhất là hai
véctơ trong chúng có cùng hướng
Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ AB và AC cùng
hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng.
Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm
trên hình vẽ các véctơ bằng PQ , QR , RP .
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
Tìm các vectơ cùng phương với AB ;
Tìm các vectơ cùng hướng với AB ;
-3-


Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

Tìm các vectơ ngược hướng với AB ;
Tìm các vectơ bằng với MO , bằng với OB .
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA ;
Tìm các vectơ bằng vectơ AB ;

Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có:
Các điểm đầu là B, F, C
Các điểm cuối là F, D, C
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
bằng vectơ AB ; OB
Có độ dài bằng OB
Bài 9: Cho tứ giác ABCD.
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB DC
Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB DC thì AD BC
Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh : MNQP; NPMQ
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:

AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |;
AB và AC ngược hướng;
AB và AC cùng phương;

Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng

AM BA, MN DA, NP DC, PQ BC . Chứng minh AQ 0 .
HD §1
Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ.
Bài 2: có, đó là vectơ-không








Bài 3: nếu a ngược hướng b và a ngược hướng a
thì cùng hướng
Bài 4: Cùng hướng khi A khơng nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C.
Bài 5:
A

P

B

R

Q

C

Bài 6:
A
B
M

N

O
D

Bài 7: a) DA, AD, BC , CB , AO , OD , DO , FE , EF

OC, ED, FO

c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB
-4-

C


Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

khi đó BB ' AB

FO là vectơ cần tìm

Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//ABCC ' AB
+ tương tự
Bài 8: a) AB DC , OB DO

A
B
O
D

b) | OB || BO || DO || OD |
Bài 9:
Chứng minh chiều : * ABCD là hình bình hành

*

AB // CD

C

AB // CD





ABDC

AB CD

AB

 CD

Chứng minh chiều : * AB = DC AB , DC cùng hướng và * AB và A
B
DC cùng hướng AB // CD (1)

* A

B

 C
D

 DC

AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành

Bài 10: AB DC AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành AD BC

1

Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng 2
AC Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành
đpcm

Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:

AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |;
AB và AC ngược hướng;
AB và AC cùng phương;
HD: a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC | khi C nằm giữa A và B
AB và AC ngược hướng, khiA nằm giữa B và C
Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng

cùng hướng: nếu | AB |>| AC | thì theo a); nếu | AB |< AC | thì B nằm giữa A và C.
Ngược hướng thì theo b)
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng

AM BA, MN DA, NP DC,

PQ BC . Chứng minh AQ 0 .

HD: Ta có AM BA; NP DC AB
AM=NP và AM//NP AMNP là hình bình hành (1)
Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2)

-5-


Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

Từ (1)&(2) AQ AQ 0

-6-


Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

Cho ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0
2. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0
b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.




CMR: MQ = NP

ChoABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.


a/ Xác định các vectơ cùng phương với MN


b/ Xác định các vectơ bằng NP





Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD



CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.


Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ CI = DA . CMR :




a/ I là trung điểm AB và DI = CB






b/ AI = IB = DC







ChoABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng MK = CP và KL = BN




a/ CMR : KP = PN
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR : AL = 0

-7-




Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

§2+3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ

Tóm tắt lý thuyết
Tổng các vectơ
Định nghĩa: Cho 2 véc tơ


a

a





b



b

và







a

+ Cho vectơ

a

kí hiệu là -

. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng


a



b

B

.



b



C

c

AB+ AD = AC

D





=

C

A

2. Vectơ đối

, BC

a

Khi đó + = AC
Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ . A
Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC
Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì
B

 

AB = a

. Lấy 1 điểm A tùy ý, dựng



 a +(-

a

a



được gọi là vectơ đối của vectơ

)= 0

,

Mọi vectơ đều có vectơ đối, ví dụ AB có vectơ đối là BA nghĩa là
AB= -BA
vectơ đối của 0 là 0 .
Hiệu các vectơ (phép trừ)
Định nghĩa:

a



-

b

=



a

+(-



b



)

Quy tắc về hiệu vec tơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
OB OA AB (hoặc OA OB BA)hay AB OBOA
Tính chất : với a , b, c bất kì ta có:
Giao hốn : a b = b a
Kết hợp( a b ) + c = a (b + c )

a+0=0+a=a
+ a +( a )= a + a = 0

A

| a + b | ≤ | a |+| b |, dấu “=” xảy ra khi a , b cùng hướng.
a b và | b | ≥ | a | | a + b |=| b || a |
G

+ a = b a + c = b + c

a + c = b a = b c , c = b a
+ a( b + c )= ab c ; a( b c )= ab + c
B
Ghi chú:
+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB IA IB 0
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0

C

I
D

CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
Tìm tổng NC MC ; AM CD; AD NC
Chứng minh : AM AN AB AD
Giải:
+ Vì MC AN nên ta có


-8-


Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

NCMC = NCAN=ANNC=AC
+Vì CD BA nên ta có
AMCD = AMBA=BA AM =BM
+Vì NC AM nên ta có
AD NC = AD AM = AE , E là đỉnh của hình bình hành AMED.
Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có AM AN AC Vì
tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB AD AC
Vậy AM AN AB AD
Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O.
Chứng minh: OA OB OC OD OE OF 0
Giải
Vì O là tâm của lục giác đều nên:

OAOD0;OBOE0;OCOF0

đpcm
Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O.
Chứng minh rằng vectơ OA OB;OC OE đều cùng phương OD
Chứng minh AB và EC cùng phương.
Giải
Gọi d là đường thẳng chứa OD d là trục đối xứng của ngũ
giác đều. Ta có OA OB OM , trong đó M là đỉnh hình thoi
AMBO và M thuộc d. Tương tự OC OE ON

N d. Vậy OA OB và OC OE cùng phương OD
vì cùng giá d.
b) AB và EC cùng vng góc d AB//EC

AB // EC
Bài 4: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
Tìm AM AN ; MN NC ; MN PN ; BP CP .
Phân tích AM theo hai vectơ MN ; MP .
Giải
a) AM AN = NM
MNNC=MNMP=PN (Vì NCMP)
MNPN =MNNP=MP
BPCP=BPPC=BC
AM NPMPMN
0

Bài 5: Cho hình thoi ABCD có BAD =60 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.
B
Tính | AB AD |;| BA BC |;| OB DC |
Giải
0

3

Vì ABCD là hình thoi cạnh a và BAD =60 nên AC= a
và BD=a. Khi đó ta có :

A

AB AD AC| AB AD | AC a 3
BA BC CA| AB AD | CA a 3
OB DC DO DC CO| OB DC | CO

a 3
2

C
D


Bài 6: Cho hình vng ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo.
-9-


Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

Tính | OA CB |; | AB DC |;| CD DA |
Giải
Ta có AC=BD= a 2 ; OA CB CO CB BO
Do đó

| OA CB | BO

a 2
2

| AB DC || AB | | DC | 2a (vì AB DC )
Ta có CD DA CD CB BD | CD DA |=BD= a 2

* Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
Biến đổi vế này thành vế kia.
Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.
Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì.
AB



Chứng minh rằng: CD

  

AD
CB

(theo 3 cách)

Giải
Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái

ABCD ADDBCBBD ADCBBDDB ADCB
Cách 2: (sử dụng hiệu)

ABADCBCD DB DB
Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải
Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F.
Chứng minh: AB BE CF AE BF CD
Giải
VT =ABBECF AEEDBFFECDDF

AEBFCDEDDFFE
AE BF CD (vì ED DF FE 0 )=VP đpcm
Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
Chứng minh rằng: AC DE DC CE CB AB
Giải
Ta có DC CD; CE EC nên
VT = ACDEDCCECB=ACDECDECCB

AC CD DE EC CB AB =VP đpcm
Bài 10: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh
rằng với điểm O bất kì ta có:
OAOBOCOMONOP
Giải
VT =OAOBOC

OMMAON NBOP PC
OMONOPMA NB PC Mà
NBNMNP
MANBPC=MANMNPPC NANC0
VT= OM ON OP =VP đpcm

BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ






Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC + BD = AD + BC




-10-


Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

Cho 5 điểm A, B, C, D, E.










CMR:AB+CD+EA=CB+ED

Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F.
CMR: AEBFCD AFBDCE

Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H.














CMR:AC+BF+GD+HE=AD+BE+GC+HF



Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :














a/ DO + AO = AB





b/ OD + OC = BC


c/ OA + OB + OC + OD = 0








d/ MA + MC = MB + MD (với M là 1 điểm tùy ý)
Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.








CMR:OD+OC=AD+BC







7. ChoABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý AA' , BB' , CC'












CMR : AA' + BB' + CC' = BA' + CB' + AC' .




Cho hình vng ABCD cạnh a. Tính AB AD theo a
Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.




a/ Tính AB AD
b/ Dựng u = AB AC . Tính
Cho ABC vng tại A, biết AB = 6a, AC = 8a

b/ Tính v.
a/ Dựng v = AB AC .

u

,

,

,

Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ OA OB OC OD có độ dài bằng
nhau và OA ࿿ OB ࿿ OC ࿿ OD = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.




12. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AB CD=AC+DB
13. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :



































a/ CD + FA BA ED + BC

b/ AD FC EB = CD EA

FE=0

FB


c/ AB DC FE = CF DA + EB
ChoABC. Hãy xác định điểm M sao cho :


















c/ MB  MC + MA= 0













b/ MB  MC + BC= 0

a/ MA  MB + MC= 0

d/ MA  MB  MC = 0


e/ MC + MA MB + BC = 0
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.




a/ Tính AD AB
b/ Dựng u = CA AB . Tính
ChoABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.




a/ Tính AB AC





b/ Tính BA BI



ChoABC vng tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính AB AC

BÀI TẬP THÊM
-11-



u


Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau:

  ABDCBDCA
b) m AB CD BC DA
a) v
c) n BC CD AB DB .
d) p AB BC CD DE
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt AO = a ; BO = b
Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b
Bài 3: Cho hình vng ABCD cạnh a . Tính BC + AB ; AB - AC theo a.
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa
AO - AD=MO
AC - AD=NB
Bài 5: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :
AB+CD+EA=CB+ED
AD+BE+CF=AE+BF+CD
AB+CD+ EF+GA= CB+ED+ GF
AB-AF+ CD-CB+ EF-ED= 0
Bài 6 : Cho tam giác OAB. Giả sử OAOBOM , OA OBON . Khi nào điểm M nằm trên đường
phân giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngồi của góc AOB ?
Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh :

OA OBOC OD OEO
Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là
điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có:

OA OBOCOA' OB'OC'
Bài 9: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :
a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0
b) OA + OC + OE = 0
c) AB + AO + AF = AD
d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý )

Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD
Chứng minh rằng HB + HC = HD
Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng HA + HB + HC = HH ' Bài
11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : CA + CB = CA - CB


-12-


Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
1) Định nghĩa: Cho a ≠ 0 , 0≠k ta có c =k a (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó:
c cùng phương a
c cùng hướng a khi k>0
c ngược hướng a khi k<0
| c |=| k a |=|k|.| a |
Quy ước: 0 a = 0 ; k 0 = 0
2) Tính chất: Cho a , b bất kì và k,h

, khi đó

k( a + b )= k a +k b

(k+h) a = k a +h b
k(h a )= (kh) a
1. a = a ; (1) a = a
* Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có:
MA MB 2MI
* Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâmABC, với mọi M ta có:

MA MB MC 3MG
3) Điều kiện để hai vectơ cùng phương
 a , b ; a cùng phương b ≠ 0 0≠k : a =k b
( a , b ; b cùng phương a ≠ 0 0≠k
: b =k a )
4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng
 AB cùng phương AC 0≠k
: AB k AC
5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
Cho hai a , b khác 0 và không cùng phương. Khi đó x bao giờ cũng tìm được hai số m, n sao

cho: x = m a +n b .
A

Nếu G là trọng tâm
2
GI= 1 AI
AG= AI;

3

AG=2GI

G
B

3

C

I

CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
Xác định vectơ k a
Dựa vào định nghĩa vectơ k a và các tính chất

Cho a AB và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho :
OM 3a; ON4a
Giải
a
N

O

M

Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O giá của a thì d là giá của a )
Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a |, OM và a cùng hướng khi đó OM 3a .
-13-


Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4| a |, ON và a ngược hướng nên ON4a

Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=
đẳng thức sau:
a ) AM k AB;b ) MA k MB;
c ) MA k AB

Giải
AM

| AM

AM k AB| k | |
b) k= 1

1
5 AB. Tìm k trong các

B

| AM
1
1
AB | 
AB 5 , vì AM AB k= 5

c) k= 1

4
5
a) Chứng minh:vectơ đối của 5 a là (5) a
Tìm vectơ đối của các véctơ 2 a +3 b , a2 b
Giải
5 a =(1)(5 a )=((1)5) a =(5) a
(2 a +3 b )= (1)( 2 a +3 b )= (1) 2 a +(1)3 b =(2) a +(3) b =2 a3 b
Tương tự
Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ khơng cùng phương

Cho ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là
giao điểm của AD và EF. Đặt u AE ; v AF . Hãy phân tích các vectơ AI , AG , DE , DC theo

hai vectơ u, v .
Giải Ta có AI

AG

A

1 AD 1 (AE AF) 1 u 1 v)
2
2
2
2

2
2
2
3 AD 3 u 3 v

DE FA AF 0.u (1)v

C

DC FE AE AF u v

Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ
vectơ u AB, v AC .
Giải

Ta có AM AB BM AB

AM

theo hai

2
3

BC mà BC AC AB
AM AB

2

1
2
3 ( AC AB ) 3 u 3 v

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
+ A, B, C thẳng hàng AB cùng phương AC 0≠k : AB k AC +
Nếu AB kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.
1
1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK= 3 AC.

Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
-14-


Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

Giải

Ta có

2BI BA BM BA 1 B
2C
4BI 2BA BC (1)

Ta có

1
3 AC
1
2
1
BA 3(BC BA) 3 BA 3BC

BK BA AK BA

(2)
3BK 2BA BC
Từ (1)&(2) 3BK 4BI BK 4 BI B, I, K thẳng hàng.
3
Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:
BC MA 0 , AB NA 3 AC 0 . Chứng minh MN//AC
Giải



BCMAABNA3AC 0





 



hay AC  MN  3 AC  0  MN  2AC

MN / / AC . Theo giả thiết BC AM
Mà A,B,C khơng thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
M khơng thuộc AC MN//AC
Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:
Giả
i

2MN  ACBD

VP ACBD AMMNNCBMMNND

M
B

A

2MNAMBMNDNC

D
C

N

2MN
Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB 2 AC AD 3AC .
Giải
Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có AB AD AC
VT= AC 2 AC 3AC VP (đpcm)
Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì

3GG' AA' BB'CC'.
Giải

VP AA' BB'CC'
AGGG'G'A' BGGG'G'B'CGGG'G'C'
3GG' AG BGCGG'A'G'B'G'C'
3GG'(GAGBGC)G'A'G'B'G'C'
3GG '
Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ

AB0 AB
Cho điểm A và a . Có duy nhất M sao cho : AM a


-15-


Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

ABACBC; ADBDAB
Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết AG 2GD .
Giải
A

AG 2GD A,G,D thẳng hàng.
AG=2GD gà G nằm giữa A và D.
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.

G

2) Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: IA 2 IB 0 .
HD
A

C

I

B

D
B

I

I 2IB
A

IA2IB0 IA2IB

hay IA=2IB , IA IB . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB=

1

3 AB

Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: GA GB GC GD 0
Giải
Ta có GA GB 2GI , trong đó I là trung điểm AB
Tương tự GC GD 2GK , K là trung điểm CD

GAGBGCGD 2GI2GK

B
C

I
K

hay GI GK 0
A

G là trung điểm IK

D

BÀI TẬP

Bài 1: Cho ࿿ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.






a/ CMR : AM + BN + CP = 0








b/ CMR : OA + OB + OC = OM + ON + OP





Bài 2: ChoABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho BM = 2 MC


























a/ CMR : AB + 2 AC = 3 AM



b/ CMR : MA + MB + MC = 3 MG
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR : AD + BC = 2 EF




b/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0






c/ CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý)


d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho MA + MB + MC + MD nhỏ nhất
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.








a/ CMR : AF + BG + CH + DE = 0








b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH









c/ CMR : AB AC + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH)


-16-


Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

Bài 5: Cho haiABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.






CMR: AD + BE + CF =3GH



Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :












a/ OA + OB + OC + OD = 0




b/ EA + EB + 2 EC = 3 AB








c/ EB + 2 EA + 4 ED = EC


Bài 7: ChoABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN =

Gọi K là trung điểm của MN.



a/ CMR : AK =

1


1 
AB
+
4
6 AC



b/ CMR : KD =

1
2


1 
AB
+ AC
4
3



NC .

1







Bài 8: ChoABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 DB , CE = 3 EA . Gọi M là
trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :

1 
1 
a/ AM = 3 AB + 8 AC


1



3



b/ MI = 6 AB + 8 AC
Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a
a) Phân tích AD theo AB và AF
1
1

b) Tinh
2 AB 2BC theo a
Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm BC).
Phân tích AM theo AB và AC
Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung
điểm của MN. Phân tích AK theo AB và AC .

Bài 15: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho
5JB = 2JC.

Tính AI , AJ theo AB, AC

AJ
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG
theo AI và




Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 AB + 3 AC = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.








Bài 17: ChoABC, lấy M, N, P sao cho MB = 3 MC ; NA +3 NC = 0 và PA + PB = 0






a/ Tính PM , PN theo AB và AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là
điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các
trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC Bài
20: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :
-17-


Tóm tắt kiến thức Hình học lớp 10 – Thaygiaongheo.com

a/ MA MB .
d/

C

b/ MA MB MC O

 


e/

-18-

c/ |C

|C