Kiến thức hình học (lớp 9 12) châu minh kim

C
A
B
A
B
C
M
N
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
HÌNH CƠ BẢN
1) Các đường trong tam giác:
a) Đường trung tuyến AM:
M là trung điểm BC
b) Đường phân giác AK:

·
·
BAK KAC=
Giao điểm của 3 đường
phân giác là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác
O
A
B
C
: c) Đường cao AH

AH BC
⊥
Giao điểm của 3 đường cao
gọi là trực tâm

d) Đường trung trực a :

,a BC⊥
M là trung điểm BC
Giao điểm của 3 đường trung
trực là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác
a
b
0
A
B
C
2) Ba đường trung tuyến cắt nhau tại G :
GA=
2
3
AM
G là trọng tâm
3) Định lý :

/ /
MA MB
N
MN BC
=

⇒



là trung điểm AC

A
B
C
M
N
4) Đường trung bình MN của
ABC∆
:
MN lần lượt đi qua trung điểm hai cạnh AB,
AC của
ABC
∆
. Có:
/ /
2
MN BC
BC
MN



=


5) Hệ thức lượng trong
∆
vuông
a)

2 2 2
BC AB AC
= +
b)
. .AH BC AB AC
=
c)
2
.AH HB HC
=
d)
2
.AB BC BH
=
e)
2
.AC BC CH
=


f)
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
g)
sin
AB
C
BC

=
;
cos
AC
C
BC
=
;
tan
AB
C
AC
=

6)
ABC
∆
có AM là trung tuyến
·
0
90
2
BC
AM BAC
= ⇔ =

·
0
90MA MB MC BAC
= = ⇔ =

7)
ABC∆
đều cạnh a:
Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau
Đường cao AH =
3
2
a
Diện tích
2
3
4
a
S =
8) Định lý Talet:

/ /
AM AN
MN BC
AB AC
= ⇔
9) Hình chữ nhật: Diện tích S

.S AB BC
=

10) Hình vuông:

2

S AB
=
11)
∆
vuông
1
A
B
C
H
A
B
C
M
A
B
C
M
N
G
A
B
C
M
A
D
B
C
A
D

B
C
A
B
C
M
A
B
C
K
A
B
C
H
A
M
a
B
C
R
O
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim

1
.
2
S AB AC
=

12) Tam giác thường


1
.
2
S BC AH
=

13) Hình thang

( )
2
AB CD AH
S
+
=
14) Hình bình hành


.S DC AH
=

15) Hình thoi
.S AD BH
=
,
1
.
2

S AC BD
=
16) Hình tròn:

2
S R
π
=
17 ) Tam giác, tứ giác
a) Tổng hai cạnh của 1
∆
lớn hơn cạnh thứ ba
b) Hiệu hai cạnh của 1
∆
nhỏ hơn cạnh thứ ba
c) Góc ngoài của 1
∆

·
µ µ
ACx A B
= +

·
·
0
180ACB ACx
+ =

d) Tổng 3 góc trong 1

∆
bằng 180
0
e) Tổng 4 góc trong 1 tứ giác bằng
0
360
Các phương pháp chứng minh
18) CM 2
∆
bằng nhau
a) Tam giác thường (3 cách)
(c-g-c), (g-c-g), (c-c-c)
b)
∆
vuông (5 cách)
(c-g-c), (g-c-g), (c-c-c)
Cạnh huyền, 1 cạnh góc vuông
Cạnh huyền, 1 góc nhọn
19) CM
∆
cân
a) 2 cạnh bằng
b) 2 góc bằng
c) 1 đường có 2 trong 3 tính chất:
cao, phân giác, trung tuyến

3) CM
∆
đều

a) 3 cạnh bằng
b) 3 góc bằng
c)
∆
cân, có 1 góc bằng
0
60

20) CM hình thang:

CM tứ giác có 2cạnh //
21) CM hình thang cân( 2 góc ở 1 đáy bằng nhau)
D
C
A
B
CM tứ giác là hình thang có:
a) Hai góc kề 1 đáy bằng nhau
b) Hai góc đối bù nhau (tổng bằng 180
0
)
c) Hai đường chéo bằng nhau
22) CM tứ giác là hbh

A
D
C
B
a) 2 cặp cạnh đối song song
b) 2 cặp cạnh đối bằng nhau

c) 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau
d) 2 cặp góc đối bằng nhau
e) 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường
23) CM tứ giác là hình thoi:
A
B
D
C
CM tứ giác
2
A
B
C
H
A
B
C
D
H
x
A
B
C
A
B
D
H
D
A

B
C
B
C
A
A
B
C
A
D
B
C
H
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
a) là hbh có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau
b) là hbh có 2 đường chéo vuông góc
c) là hbh có 1 đường chéo là phân giác của góc
có đỉnh thuộc đường chéo ấy
d) có 4 cạnh bằng nhau
e) có mỗi đường chéo của tứ giác là phân giác
của góc có đỉnh thuộc đường chéo ấy
24) CM tứ giác là hcn: CM tứ giác
a) là hbh có 1 góc vuông
b) là hbh có 2 đường chéo bằng nhau
c) có 3 góc vuông
d) là hình thang cân có 1 góc vuông
25) CM tứ giác là hình vuông: CM tứ giác
a) là hình thoi có 1 góc vuông
b) là hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau
c) là hcn có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau

d) là hcn có 2 đường chéo vuông góc

26) CM 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường
tròn: CM đường thẳng đó vuông góc với bán kính
tại đầu mút của bán kính
OB là bán kính đường tròn
a
⊥
OB tại B
Vậy a là tiếp tuyến của
đường tròn (O)
27) CM 2 đoạn thẳng bằng nhau :
a) CM 2
∆
bằng nhau
b) Cùng bằng cạnh thứ ba
c)
EFAB CD GH AB GH= = = ⇒ =
d) Tổng (hay hiệu) của hai cặp đoạn thẳng bằng
nhau từng đôi một thì bằng nhau
e)
∆
có 2 góc =
⇒
∆
cân
⇒
2 cạnh bằng nhau
f)
∆

cân
⇒
đường phân giác hay đường cao ở
đỉnh chia đôi cạnh đáy
g) Áp dụng đl I)3
h) Tính chất đoạn chắn
i) CM tứ giác là hbh
⇒
2 cạnh đối bằng nhau
j)
ABC
∆
vuông tại A có AM là trung tuyến



AM MB MC
= =
k) Khoảng cách từ tâm đến 2 dây cung bằng nhau
thì 2 dây cung bằng nhau
l) Giao điểm 2 tiếp tuyến trong 1 đường tròn cách
đêu 2 tiếp điểm
AB = AC
m)
»
»
AB CD AB CD= ⇒ =
28) CM 2 góc bằng nhau:
a) CM 2
∆

bằng nhau
b)
∆
có 2 cạnh bằng
⇒
∆
cân
⇒
2 góc bằng
c)
∆
cân thì đường cao hay trung tuyến cũng là
phân giác
d) 2 cặp góc bằng
⇒
2∆
đồng dạng
⇒
cặp góc
thứ ba bằng
e) 2 góc đối đỉnh
f) 2 đường thẳng song song bị chắn bởi đường
thẳng thứ ba
⇒
2 góc so le trong bằng nhau, 2 góc
đồng vị bằng
g) 2 góc (cùng nhọn hoặc cùng tù) có cạnh đôi
một song song
h) 2 góc (cùng nhọn hoặc cùng tù) có cạnh đôi
một vuông góc

i) cùng bằng góc thứ ba
j) cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba
k) cùng cộng với góc thứ ba bằng
0
60
l)
$ $ $
1 2 3 4 1 4= = = ⇒ =
$ $ $
m) 2 góc là tổng (hay hiệu) của 2 góc bằng nhau
từng đôi một
n) CM tứ giác là hbh
⇒
2 góc đối bằng nhau
o) Hai tiếp tuyến cắt nhau

·
·
·
·
AMO BMO
AOM BOM

=


=


29) CM 2 đường thẳng song song:

a) 2 góc so le trong bằng nhau
⇒
2 đt //
b) 2 góc đồng vị bằng nhau
⇒
2 đt //
c) 2 góc trong (hoặc ngoài) cùng phía bù nhau
⇒
2 đt //
d) 2 đt cùng // với đt thứ ba
⇒
2 đt //
e) 2 đt cùng
⊥
với đt thứ ba
⇒
2 đt //
f) CM tứ giác là một trong các hình: hbh, hcn,
h.thoi, h.vuông
⇒
2 cạnh đối //
g) Đường trung bình trong một
∆
thì // với cạnh
thứ ba
h) Áp dụng đl Ta let đảo mục I) 7)
30) CM 2 đường thẳng vuông góc với nhau
a) 2 đt giao nhau tạo thành 2 góc kề =
⇒
2 đt

⊥
b) 2 đt tạo thành góc 90
0
, mục I) 6)
c)
∆
có 2 góc phụ nhau
⇒
góc còn lại bằng
0
90
⇒
2đt
⊥
d)
/ /a b
a c
a c

⇒ ⊥

⊥

e) a // c, b // d, c
⊥
d
a b⇒ ⊥
f)
∆
cân đ.phân giác hay trung tuyến cũng là đcao

g) 2 tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc
h) Định lý Pitago đảo
3
A
B
C
M
O
M
A
B
B
C
O
A
B
a
O
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
i) Đường cao thứ 3 trong 1
∆
j) Đường kính qua trung điểm 1 dây không qua
tâm
⇒
đường kính
⊥
dây cung
k) Tiếp tuyến
⊥
bán kính đi qua tiếp điểm

l ) 2 cạnh của góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
31 ) CM 3 điểm thẳng hàng
a)
·
0
180ABC = ⇒
A, B, C thẳng hàng
b)
AB m
AC m

⇒


P
P
A, B, C thẳng hàng
c)
AB n
BC n
⊥


⊥

⇒
A, B, C thẳng hàng
d)
·
·

xAB xAC= ⇒
A, B, C thẳng hàng
e) Định lý về các đường đồng quy trong 1
∆
f) Đường tròn (O) có AB là đường kính
⇒
A, O,
B thẳng hàng
g) Đường tròn (O) và (O
’
) tiếp xúc nhau tại A
⇒

O, A, O
’
thẳng hàng
32) CM 4 điểm nằm trên 1 đường tròn
a) CM 4 điểm cách đều 1 điểm nào đó
b) CM 4 điểm là 4 đỉnh của hình thang cân, hcn,
h.vuông
c) CM là đỉnh của tứ giác có tổng 2 góc đối bằng
180
0
d) 2 điểm M, N cùng nhìn đoạn AB dưới 1 góc
vuông
e) 2 điểm M, N cùng nhìn đoạn AB dưới 1 góc
α

HÌNH 10
33) Quy tắc hình bình hành

AB AD AC
+ =
uuur uuur uuur


34) Quy tắc ba điểm:
AB BC AC
+ =
uuur uuur uuur

35) Quy tắc trừ:
AB AC CB
− =
uuur uuur uuur

36) I là trung điểm AB
⇔
0IA IB
+ =
uur uur r
37) G là trọng tâm
ABC∆

⇔
0GA GB GC
+ + =
uuur uuur uuur r
38) Hai vectơ bằng nhau:
, , ,

( ; ), ( ; )u x y u x y
ur
r


,
,
,
x x
u u
y y

=

= ⇔

=


ur
r
39) Toạ độ của vt: Cho A(x
A
;y
A
) và B(x
B
;y
B
)

AB
uuur
=(x
B
-x
A
; y
B
-y
A
)
40) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:
A(x
A
;y
A
), B(x
B
;y
B
)
x
I
=
2
A B
x x+
, y
I

=
2
A B
y y+

41) Toạ độ trọng tâm G(x
G
;y
G
) của
ABC∆
x
G
=
3
A B C
x x x+ +
, y
G
=
3
A B C
y y y+ +
42) Tích vô hướng của hai véctơ

. . cos( , )ab ab a b
=
r r r r
43) Tam giác ABC

( )
2 2 2
1
.
2
AB AC AB AC BC
= + −
uuur uuur
44) Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

1 2 1 2
( ; ) ( ; )a a a và b b b= =
r r

1 1 2 2
.a b a b a b
= +
r r
45) Độ dài của vectơ

2 2
1 2
a a a= +
r

46) Góc giữa hai vectơ
Cos(
,a b
r r
) =

.
.
a b
a b
r r
r r
=
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
a b a b
a a b b
+
+ +
47) Khoảng cách giữa hai điểm
AB =
2 2
( ) ( )
B A B A
x x y y− + −
48) Định lý Cô sin
a
2
= b
2
+ c
2
-2bc cosA
b

2
= a
2
+ c
2
-2ac cosB
c
2
= a
2
+ b
2
-2ab cosC
49) Độ dài đường
trung tuyến

m
a
2
=
2 2 2
2( )
4
b c a+ −

m
b
2
=
2 2 2

2( )
4
a c b+ −
,

4
A
B
D
C
m
A
B
C
M
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
m
c
2
=
2 2 2
2( )
4
a b c+ −
50) Định lý sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C

= = =
51) Diện tích tam giác

c
a
b
A
B
C
a) S =
1
2
ab sinC =
1
2
bc sinA =
1
2
ac sinB,
b) S =
4
abc
R
,
c) S = pr,
d) S =
( )( )( )p p a p b p c− − −
Trong đó p =
2
a b c+ +

,
r là bán kính đường tròn nội tiếp
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
52) Phương trình tham số của đường thẳng
∆

0 1
0 2
x x tu
y y tu
= +


= +



∆
qua M
0
(x
0;
y
0
) và nhận
1 2
( ; )u u u=
r
làm vtcp
(

u
r
song song hoặc trùng
∆
)
53)Phương trình tổng quát của đường thẳng
∆
a(x –x
0
) +b(y –y
0
) = 0

∆
qua M
0
(x
0;
y
0
) và nhận
( ; )n a b
r
làm vtpt
(
n
r
vuông góc với
∆
)

54) Vtcp
u
r

⊥
n
r
nên
u
r
=(c;d)
⇔
n
r
=( -d;c)
55) Góc giữa hai đường thẳng

1
∆
: a
1
x +b
1
y +c = 0

2
∆
: a
2
x +b

2
y +c = 0 cos
ϕ
=
1 2
cos( ; )n n
r r
=
1 2
1 2
.
.
n n
n n
ur uur
ur uur
=
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a a b b
a b a b
+
+ +
Trong đó
1 1 1
( ; )n a b=
ur
,
2 2 2

( ; )n a b=
uur

Chú ý: a)
1 2
∆ ⊥ ∆
⇔
1 2
n n⊥
ur uur
⇔
1 2 1 2
0a a b b+ =
b)
1 1 1
: k x m∆ +
và
2 2 2
: k x m∆ +

1 2
∆ ⊥ ∆
⇔
1 2
. 1k k = −
56) Khoảng cách từ điểm M
0
đến đường thẳng
∆
d ( M

0
;
∆
) =
0 0
2 2
ax by c
a b
+ +
+
57)Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kínhR
(x –a)
2
+ (y –b)
2
= R
2

58) Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính
R =
2 2
a b c+ −
, điều kiện
2 2
0a b c+ − >

2 2
2 2 0x y ax by c
+ − − + =

59) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C)
tâm I(a;b). Gọi
∆
là tiếp tuyến với (C) tại M
0

∈
(C)
(x
0
–a)(x –x
0
) + (y
0
–b)(y –y
0
) = 0
60) Phương trình đường elip
M(x;y)
∈
( E)
⇔
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
Trong đó b
2

= a
2
–c
2



5
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
>
Quan hệ song song
61/
Chứng minh hai đường thẳng //
.
C1 : Dùng các quan hệ song song đã biết trong mặt phẳng.
C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng // với một đường thẳng thứ ba .

C3 : Dùng đònh lý giao tuyến:
C4 : Dùng đònh lý giao tuyến:
C5 : Dùng đònh lý giao tuyến:
C6 : Dùng đònh lý giao tuyến:
6
c
b
a
a, b phân biệt & a // c, a // c
⇒
a // b
(P) // (Q),
( ) ( ) , ( ) ( )R P a R Q b∩ = ∩ = ⇒

a // b
b
a
Q
P
(P) // a, (Q) // a,
( ) ( )P Q a∩ = ⇒
a // b
∆
Q
P
b
a
a // b, (P) qua a, (Q) qua b,
( ) ( )P Q∩ = ∆

⇒
∆
// a,
∆
// b hoặc
∆
trùng với a hoặc b
b
a
∆
P
Q
b
a

∆
P
Q
b
P
a
Q
a // (P), (Q) qua a,
( ) ( )P Q b∩ =

⇒
a // b
b
a
R
Q
P
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
62/
Chứng minh đường thẳng // với mặt phẳng.

C1 : CM đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và // với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

C2 : Dùng hệ quả:
.
C3 : Dùng hệ quả:
63/
Chứng minh hai mặt phẳng song song.
C1 : Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau // với mặt phẳng kia.
C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng vuông góc với một đường thẳng .

C3 : Dùng hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt và cùng // với một mặt phẳng thứ ba thì // với nhau .
>
Quan hệ vng góc
64/
Chứng minh hai đường thẳng vng góc.
C1 : Dùng các quan hệ vng góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 :
a b
⊥ ⇔
góc
( ; ) 90
o
a b =
.
C3: Dùng hệ quả:
7
( )
( )
a P
a b
b P
⊥

⇒ ⊥

⊂

a
b
P

( )a P⊄
,
( )b P⊂
, a // b ,
⇒
a
//
( )P
b
a
P
a
Q
P
(P) // (Q),
( )a Q⊂
⇒
a
//
( )P
H
b
a
P
( )a P⊄
,
( ) ,P b a b⊥ ⊥

⇒
a

//
( )P
P
b
a
Q
, ( )a b Q⊂
, a cắt b, a // (P) và b // (P)
⇒
( )P
//
( )Q
P
a
Q
( )P
,
( )Q
phân biệt,
( ) , ( )P a Q a⊥ ⊥
⇒
( )P
//
( )Q
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
C4: Dùng hệ quả:
C5 : Dùng hệ quả:
C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh còn lại của
tam giác

65/ Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
mặt phẳng
C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng kia cũng
vuông góc với mặt phẳng
C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong mẵt phẳng này
vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia
C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng
này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó
8
b
//
c
,
a b a c⊥ ⇒ ⊥
a
c
b
a
P
b
( )
( )
a song song P
a b
b P

⇒ ⊥

⊥


∆
A
C
B
A B
BC
A C
∆ ⊥

⇒ ∆ ⊥

∆ ⊥

c
a
b
P
b
,
c
cắt nhau ,
, ( )b c P⊂
,
,a b a c⊥ ⊥
⇒
( )a P⊥
P
b
a

a
//
b
,
( ) ( )b P a P⊥ ⇒ ⊥
Q
P
b
a
( ) ( )
( )
( ),
P Q b
a P
a Q a b
∩ =

⇒ ⊥

⊂ ⊥

P
(
β
)
(
α
)
∆
( ) ( )

( )
( ) ( ),( ) ( )
P
P P
α β
α β
∩ = ∆

⇒ ∆ ⊥

⊥ ⊥

Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
66/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
.
C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.

C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này
vuông góc với mặt phẳng kia.

 CÁCH XÁC ĐINH GÓC
67/ Góc của hai đường thẳng
68/ Góc của hai mặt phẳng
69
/ Góc của đường thẳng và mặt phẳng
>
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng
9
ϕ
y

x
β
α
∆
O
•
( ) ( )
α β
∩ = ∆
,
( ),Ox Ox
α
⊂ ⊥ ∆
,
( ),Oy Oy
β
⊂ ⊥ ∆

Khi đó:
góc
(( );( ))
α β
=
góc
·
( ; ) : 0 90
o
Ox Oy xOy
ϕ ϕ
= = ≤ ≤

•

( ) ( ) 90
o
α β ϕ
⊥ ⇔ =
β
α
a
( )
( ) ( )
( )
a
a
β
α β
α
⊂

⇒ ⊥

⊥

• Chọn điểm O tuỳ ý.
• Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .
• Góc (a,b) = góc (a’,b’) =
·
A OB
• Thường chọn điểm O
∈

a hoặc O
b
b'
a'
B
A
O
b
a
α
=
• Chọn điểm O thuộc giao tuyến của
α
và
β
.
• Dựng qua O :
( )OA
OA
α
⊂


⊥ ∆

và
( )OB
OB
β
⊂



⊥ ∆

• Góc
( , )
α β
= Góc
( , )OA OB
=
·
A OB
ϕ
=
Chú ý: *
0 90
o
ϕ
≤ ≤

* Nếu
90
o
ϕ
>
thi chọn góc
·
( ; ) 180
o
α β ϕ

= −

β
α
B
O
A
ϕ
∆
B
O
A
ϕ
a
α

• Chọn điểm A thuộc đường thẳng a.
• Dựng qua
( )A B
α
⊥
tại B.
• Dựng giao điểm O của a và
α
nếu chưa có.
( OB là hình chiếu của a trên mặt phẳng (
α
))
• Khi đó: Góc
( ;( ))a

α
= Góc
( , )OA OB
=
·
A OB
ϕ
=
.
Kin thc hỡnh GV: Chõu Minh Kim
KHOANG CACH
HèNH V MT S HèNH CHểP T BIT
70/ Hỡnh choựp tam giaực ủeu

>
Hỡnh chúp tam giỏc u:


ỏy l tam giỏc u


Cỏc mt bờn l nhng tam giỏc cõn

>
c bit: Hỡnh t din u cú:


ỏy l tam giỏc u

Cỏc mt bờn l nhng tam giỏc u

>
Cỏch v:


V ỏy ABC

V trung tuyn AI


Dng trng tõm H

V SH

(ABC)


Ta cú:


SH l chiu cao ca hỡnh chúp


Gúc gia cnh bờn v mt ỏy l:
ã
SA H

=
.

10
Dựng MH



: d(M,

) = MH

M
H
Dựng: MH

(

), H thuộc (

) ta có: d(M,(

)) = MH

M
H
Chọn điểm M trên

1
, dựng MH

2
( H thuộc

2
) ta có d(

1
,

2
) = MH
//

1

2

2

1
M
H
Chọn điểm M thuộc

, dựng MH



( H thuộc (

)), ta có d(

,(

)) = MH

// (

)


H
M
Ta có: d((

),(

)) = d(

,(

)) = MH
(M thuộc

, MH

(

), H thuộc

)
(

) // (

),

chứa trong (

)
H
M





Dựng mặt phẳng (

) chứa b & (

) // a


Dựng MH

(

), M thuộc a, H thuộc (

)

Dựng a' trong mặt phẳng (

), a' // a
đ0ờng thẳng a' cắt đ0ờng thẳng b tại B

Dựng

qua B và // MH,

cắt a tại A
Khi đó:
d(a,b) = d(a,(

))
= d(M,(

)) = MH =
AB

a và b chéo nhau

B
A
H
M
a'
b
a

Khong cỏch t mt im
n mt ng thng
Khong cỏch t mt im
n mt mt phng
Khong cỏch gia hai
ng thng song song
Khong cỏch gia mt
phng v ng thng //
song song
Khong cỏch gia hai
mt phng song song
Khong cỏch gia hai
ng thng chộo nhau
h


I
C
A
H
S
B
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim

∗
Góc mặt bên và mặt đáy là:
·
SIH
β
=

71/ Hình chóp tứ giác đều


>
Hình chóp tứ giác đều:

∗
Đáy là hình vuông

∗
Các mặt bên là những tam giác cân

>
Cách vẽ:

∗
Vẽ đáy ABCD

∗
Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD

∗
Vẽ SH
⊥
(ABCD)

•
Ta có:

∗

SH là chiều cao của hình chóp


∗
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:
·
SA H
α
=
.

∗
Góc mặt bên và mặt đáy là:
·
SIH
β
=
72/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
.
73) Chú ý:
a/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a
2
,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a
3
,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
2 2 2
a b c
+ +

,
b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =
3
2
a
c/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
d/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
11
β
α
I
H
D
A
B
C
S
β
α
A
C
B
S
ϕ
β
α
D
A
B

C
S
∗
SA
⊥
(ABC)
∗
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là:
·
SB A
α
=

∗
Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là:
·
SCA
β
=
∗
SA
⊥
(ABCD)
∗
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là:
·
SB A
α
=

∗
Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là:
·
SCA
β
=
∗
Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là:
·
SDA
ϕ
=
B
h
c
a
b
a
B
h
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
74) Thể tích khối lăng trụ


.V B h
=
Với: B là diện tích mặt đáy
h là chiều cao
75) Thể tích khối hộp chữ nhật

V abc
=

Với a, b, c là ba kích thước
76) Thể tích khối lập phương

3
V a
=

Với a là độ dài cạnh
77) Thể tích khối chóp


1
3
V Bh
=
B là diện tích mặt đáy
h là chiều cao
78) Tỉ số thể tích tứ diện
Cho khối tứ diện SABC và
'A
,
'B
,
'C
là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có

' ' '
' ' '
SCDE
SC D E
V
SC SD SE
V SC SD SE
=
79) Thể tích khối chóp cụt CDEC’D’E’:


( )
1
' '
3
V h B B BB
= + +
B, B’ là diện tích hai đáy
h là chiều cao
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
80). Tọa độ điểm :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:
1.
( ; ; )
M M M M M M
M x y z OM x i y j z k
⇔ = + +
uuuur r r r
2. Cho A(x
A

;y
A
;z
A
) và B(x
B
;y
B
;z
B
)
ta có:
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
uuur
;
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
12
B'
B
E
D
C
S

E'
D'
C'
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
3. M là trung điểm AB thì M






+++
2
;
2
;
2
BABABA
zzyyxx
81). Tọa độ của véctơ:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz .
1.
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
⇔
1 2 3
a a i a j a k
= + +

r r r r
2. Cho
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
và
1 2 3
( ; ; )b b b b
=
r
ta có
a)
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b
± = ± ± ±
r r
b)
1 2 3
. ( ; ; )k a ka ka ka
=
r
c)
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r
d)
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3
. . .
s( , )
.
a b a b a b
co a b
a a a b b b
+ +
=
+ + + +
r r
(với
0 , 0a b≠ ≠
r r r r
)
e)
a
r
và
b
r
vuông góc
1 1 2 2 3 3
. . . 0a b a b a b⇔ + + =
f)
a
r
và
b
r

cùng phương
1 1
2 2
3 3
:
a kb
k R a kb a kb
a kb
=


⇔ ∃ ∈ = ⇔ =


=

r r

g)
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=


= ⇔ =



=

r r
82) . Phương trình mặt cầu :
1. Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) , bán kính r :
(S): (x – a )
2
+( y – b)
2
+ ( z – c )
2
= r
2

2. Mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với
2 2 2
0A B C D+ + − >
Có tâm I (-A; -B; - C ) , bán kính r =
2 2 2
A B C D+ + −

83). Phương trình mặt phẳng:
1.Định nghĩa :

Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 , trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0 ,
được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
 Nếu (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0 thì có véctơ pháp tuyến là
( ; ; )n A B C=
r
.
 Phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) nhận
( ; ; )n A B C=
r
,
( )
0n ≠
r r
làm
vectơ pháp tuyến có dạng : A(x-x
0
) + B(y-y
0

) + C(z-z
0
) = 0.
Nếu (
α
) có cặp vectơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), b ( ; ; )a a a a b b b= =
r r
không cùng phương và có giá song
13
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
song hoặc nằm trên (
α
) thì vectơ pháp tuyến của (
α
) được xác định
,n a b
 
=
 
r r r
.
2.Các trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng :
Trong không gian Oxyz cho mp(
)
α
: Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó:
a) D = 0 khi và chỉ khi (
)

α
đi qua gốc tọa độ.
b) A=0 , B
0
≠
, C
0
≠
, D
0
≠
khi và chỉ khi
( )
α
song song với trục Ox.
c) A=0 , B = 0 , C
0≠
, D
0≠
khi và chỉ khi
( )
α
song song mp (Oxy ).
d) A, B, C, D
0
≠
. Đặt
, ,
D D D
a b c

A B C
= − = − = −
Khi đó

( ): 1
x y z
a b c
α
+ + =
(ptmp theo đoạn chắn)
84). Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho (
1
α
):
1 1 1 1
0A x B y C z D+ + + =
và (
2
α
):
2 2 2 2
0A x B y C z D+ + + =
1) (
α
) // (
α
’) ⇔
1 1 1 2 2 2
1 2

( ; ; ) ( ; ; )A B C k A B C
D kD
=


≠

2) (
α
) ≡ (
α
’) ⇔
1 1 1 2 2 2
1 2
( ; ; ) ( ; ; )A B C k A B C
D kD
=


=


3) (
α
)cắt (
α
’) ⇔
1 1 1 2 2 2
( ; ; ) ( ; ; )A B C k A B C≠
4) Đặc biệt : (

α
)
⊥
(
α
’)
1 2 1 2 1 2 1 2
. 0 . . . 0n n A A B B C C⇔ = ⇔ + + =
ur uur
85) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Khoảng cách từ điểm M
o
(x
o
;y
o
;z
o
) đến mặt phẳng (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0

2 2 2
( ,( ))
o o o
o
Ax By Cz D
d M
A B C
α

+ + +
=
+ +
86) Phương trình đường thẳng:
Phương trình tham số của đường thẳng
∆
đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và có vectơ chỉ phương
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
:
0 1
0 2
0 3
(t )
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= + ∈



= +

¡

Nếu a
1
, a
2
, a
3
đều khác không .Phương trình đường thẳng
∆
viết dưới dạng chính tắc như
sau:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
87) Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:
14
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
' '
1
1

' '
2 2
' '
0 3
3
'
: ': '
'
o
o
o o
o
x x a t
x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t
z z a t

= +
= +



= + = +
 
 
= +
= +



d có vtcp
( )
1 2 3
; ;u a a a
r
đi qua M
o
; d’có vtcp
( )
' ' '
1 2 3
; ;u a a a
r
đi qua M
o
’
(I)
' '
1 1
' '
2 2
' '
0 3 3
'
'
'
o o
o o
o

x a t x a t
y a t y a t
z a t z a t

+ = +

+ = +


+ = +

a) Quan hệ giữa
a
r
và
'
a
ur
Hpt (1) Vị trí giữa d và d’
Có nghiệm
'd d≡
Vô nghiệm
d
//d’
Có nghiệm d cắt d’
Vô nghiệm d và d’ chéo nhau
2)Vị trí tương đốicủa đường thẳng và mặt phẳng:
Trong không gian Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D = 0 và
1
2

0 3
: ,
o
o
x x a t
d y y a t t
z z a t
= +


= + ∈


= +

¡
Phương trình : A(x
o
+a
1
t)+B(y
o
+a
2
t)+C(z
0
+a
3
t)+D = 0 (1)
a) Phương trình (1) vô nghiệm thì d // (α)

b) Phương trình (1) có một nghiệm thì d cắt (α)
c) Phương trình (1) có vô số nghiệm thì d
⊂
(α)
Đặc biệt : (
d
)
⊥
(
α
)
,a n⇔
r r
cùng phương
d) Khoảng cách từ M đến đường thẳng d
Phương pháp :
 Lập phương trình mp(
α
) đi qua M vàvuông góc với d
 Tìm tọa độ giao điểm H của mp(
α
) và d
 d(M, d) =MH
e) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:
d đi qua M(x
0
;y
0
;z
0

); có vtcp
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
; d’ qua M’(x’
0
;y’
0
;z’
0
) ; vtcp
1 2 3
' ( ' ; ' ; ' )a a a a
=
uur
Phương pháp :
 Lập phương trình mp(
α
) chứa d và song song với d’
 d(d,d’)= d(M’,(
α
))
15
Kiến thức hình GV: Châu Minh Kim
16