HỌC VIỆN TÀI CHÍNH
KHOA NGÂN HÀNG VÀ BẢO HIỂM
Bài kiểm tra điều kiện
Mơn: Tốn cao cấp 1
Lớp: CQ59/10.21
Giảng viên: Đào Trọng Quyết
Nhóm thực hiện: Nhóm 2
Lê Thị Kỳ Duyên
Đào Thị Vân Anh
Trịnh Nguyễn Khánh Linh
Nguyễn Thị Vui
Hoàng Bảo Ngọc
Nguyễn Phương Linh
Hồng Thu Huyền
Trần Linh Hương
Ngơ Phúc Khang
Ngơ Thị Thảo
Đỗ Thị Thu Trang
1
4
Bài 1: Trong không gian cho hệ véc tơ:
A1 1,3,0, 1 ; A2 1, 2, 1, 2 ; A3 3,1,1,2
Lập và tính các tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ trên ứng với bộ hệ số sau:
a) 1 2, 2 1, 3 3
b) 1 1, 2 3, 3 2
Trả lời :
a.Theo định nghĩa,ứng với 1 2, 2 1, 3 3 ta có tổ hợp:
1 1 3 6
1
3
2
1
1 A1 2 A2 3 A3 2 1 3
0 1 1 2
1 2 2 10
b.Theo định nghĩa, ứng vớ 1 1, 2 3, 3 2 ta có tổ hợp:
1
3
1 A1 2 A2 3 A3 1
0
1
1
3 8
7
2
1
2
3
1
1 5
2
2 1
Bài 2: Hãy viết biểu diễn tuyến tính vecto X qua hệ vecto
A1 1,0,2 ; A2 2, 1,0 ; A3 1,1,3 ; X 3,1, 1
A1, A2 , A3
với:
.
Trả lời: Ta có : Theo định nghĩa ta cần tìm các số 1 , 2 , 3 sao cho :
3
1
2
1
1 1 0 2 1 3 1
1
2
0
3
1 2 2 3 3
2 3 1
2 3 1
1
3
1 0
4
2
3
1
3 3
2
Vậy ta có biểu thị tuyến tính :
X
4
1
A2 A3
3
3
Bài 3. Sử dụng định nghĩa, xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ
A1 1, 1,2 ; A2 3,0,1 ; A3 2, 1,4
Trả lời :
Theo định nghĩa , ta cần biện luận sự tồn tại của 1 , 2 . 3 để có đẳng thức vectơ:
1 A1 2 2 3 A3 03
1
3
2
1 1 2 0 3 1
2
1
4
1 3 2 2 3 0
1 3 0
2 a 4 0
3
1 2
1 2 3 0
0
0
0
Dễ thấy rằng hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có duy nhất nghiệm tầm thường (0, 0, 0)
Nghĩa là đẳng thức vecto trên chỉ xảy ra với
Như vậy , theo định nghĩa
A1, A2 , A3
1 2 3 0
là hệ độc lập tuyến tính.
Bài 4. Xét xem hệ véc tơ sau có là cơ sở của khơng gian tương ứng không?
A1 0, 1,1 ; A2 2,1, 1 ; A3 4, 1,1
3
không gian .
Trả lời :
3
+) Hệ có 3 véc tơ bằng số chiều của
Xét đẳng thức: k1 A1 k2 A2 k3 A3 03
0
2
4 0
k1 1 k 2 1 k 3 1 0
1
1
1 0
2k 2 4k 3 0
k 1 k 2 k 3 0
k k k 0
1 2 3
3
Chọn
k 2 1 k 3 12 k1 3 2
Hệ đã cho là phụ thuộc tuyến tính
3
Hệ véc tơ ban đầu không phải là cơ sở của không gian
Bài 5. Hãy chỉ ra một cơ sở và tìm biểu diễn tuyến tính của các véc tơ còn lại qua cơ sở
của hệ véc tơ:
A 1, 3 ; A 5, 2 ; A 1,0 ; A 2,1
1
2
3
4
4
Trả lời :
Lập ma trận A với mỗi cột là hệ vecto của hệ đã cho :
1 5 1 2
A
3 2 0 1
Thực hiện khử toàn phần ma trận A ta được:
2
9
1 5 1 2 1 5 1 2 1 0
17
17
B
A
3 2 0 1 0 17 3 5 0 1 317 517
Ta thấy hai cột đầu của ma trận B là độc lập tuyến tính
Vậy
A1 , A2
cũng độc lập tuyến tính và là một cơ sở của S với:
2
3
A1
A2
17
17
9
5
A 4 A1
A
17
17 2
Bài 6. Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 5 loại sản phẩm. Cho các véc tơ:
A3
1
2
1
3
3
A1 2 ; A2 1 ; A3 2 ; A4 1 ; A5 0
1
1
2
2
1
Trong đó
Aj
là vecto định mức vật liệu để sản xuất sản phẩm thứ j.
A ,A ;A
a. Chứng minh rằng hệ B = 2 4 5 là 1 hệ độc lập tuyến tính.
b. Viết biểu diễn tuyến tính của các vecto còn lại qua hệ B và nêu ý nghĩa kinh tế
c. Tính số lượng các loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng được
10,45,30,72,20 đơn vị sản phẩm từ loại 1 đến loại 5.
1 A2 2 A4 3 A5 03
2
3
3 0
1 1 2 1 3 0 0
1
2
1 0
21 3 2 3 3 0
1 2 0
2 0
2
3
1
1 2 3 0
Trả lời : a) Theo định nghĩa , ta cần biện luận sự
tồn tại của 1 , 2 , 3 để có đẳng thức vectơ:
5
Dễ thấy rằng hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có duy nhất nghiệm tầm thường
(0, 0, 0)
Nghĩa là đẳng thức vecto trên chỉ xảy ra với
Như vậy, theo định nghĩa B=
A 2, A4; A5
1 2 3 0
là hệ độc lập tuyến tính
b)
+Biểu diễn
A1
ta có:
2 1 32 33 1
1 2 2
2 1
2
3
1
1 2
2 0
3 1
A1 2 A2 A5 A1 A5 2 A2
Ý nghĩa kinh tế : Nếu bớt đi 2 đơn vị sản phẩm 2 thì ta được 1 đơn vị sản phẩm 1 và
1 đơn vị sản phẩm 5.
+Biểu diễn
A3
ta có :
1
1 2
2 1 32 33 1
3
2
1 2 2
2
2 2
2
3
1
3
3 2
1
3
3
A3 A2 A4 A5
2
2
2
3
1
3
A3 A5 A2 A4
2
2
2
6
Ý nghĩa kinh tế: Nếu bớt đi 1/2 đơn vị sản phẩm 2 và 3/2 đơn vị sản phẩm 4 ta được 1
đơn vị sản phẩm 3 và 3/2 đơn vị sản phẩm 5.
c. Số lượng vật liệu vừa đủ để sản xuất lượng sản phẩm như yêu cầu là :
400
10 A1 45 A2 30 A3 70 A4 20 A5 195
275
Vật liệu =
n
A, B ,C , X
Bài 7: Trong không gian cho hệ vecto S=
.Chứng minh rằng nếu S độc
A X , B X ,C X
lập tuyến tính thì hệ
cũng độc lập tuyến tính, điều ngược lại có
đúng khơng ?
Trả lời:
Giả sử {A, B, C, X} độc lập tuyến tính. Ta chứng minh {A+X, B+X, C+X} cũng độc
lập tuyến tính
Xét:
k1( A X ) k 2( B X ) k 3(C X ) 0 n
(k 1 k 2 k 3 )X k 1A k 2B k 3C 0n
Do {A, B, C, X} độc lập tuyến tính nên đẳng thức xảy ra khi k1 k 2 k 3 k1 k 2 k 3 0
Từ đó => hệ {A+X, B+X, C+X} độc lập tuyến tính
Ngược lại, nếu {A+X, B+X, C+X} độc lập tuyến tính, ta sẽ chứng minh {A, B, C, X}
độc lập tuyến tính
Vì {A+X, B+X, C+X} độc lập tuyến tính nên đẳng thức
k1 ( A X ) k 2 (B X ) k 3 (C X ) 0n
chỉ xảy ra khi
k1 k 2 k3 0
Hay k1 A k 2 B k 3C (k 1 k 2 k 3 ) X 0 n chỉ xảy ra khi k1 k 2 k3 0
k1 k 2 k3 k1 k 2 k 3 0
Chứng tỏ hệ {A, B, C, X} là độc lập tuyến tính
Bài 8: Cho ma trận:
2 1 3
A
;B
1 0 2
2 1
1 1 1
3 1 ; C 2 3 0
2 3
1 2 4
7
Tìm ma trận X biết :
X 2 AT B 0 12
Trả lời :
Ta có:
X 2 A T B 0 12
4
X 2
6
2
0
4
2 1
6 3
3 1 0 0 5 1 0 0
X
2 3
4 1
(1)
Từ (1) => ma trận X là ma trận cấp (1x3)
Gọi
X a b c
ta được:
6 3
6 a 5b 4c 0
5 1 0
a b c 0 3
a b c 0
4 1
6 a 5b 4 c 0
b 2c
X c 2c c
6 a 2b 2c 0
a c
Kết luận : Hệ phương trình trên có vơ số nghiệm nên có vơ số ma trận X thỏa mãn
X 2 A T B 0 12
Bài 9 : Cho các ma trận:
2 1
1 3
A = 2 1
1
0
2
;
2 1 1
B
0 1 3
1 1
C 2 1
0 3
;
Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận sau bằng phương pháp ma trận nghịch
đảo:
AX=C.
Trả lời:
Có
AX C X A 1.C
8
1
2
2
A 1 2
3
3
7
4
3
3
Với
1
1
3
5
3
4 0
1
X A 1 .C 2
3
4
5
3
Bài 10. Bằng việc tính định thức hoặc hạng của ma trận, hãy xét sự độc lập tuyến
tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ sau:
{ A₁ 0,1, 2, 3 ; A₂ 3, 2, 3, 0 ; A₃ 5, 3, 4, 3 }
Trả lời:
0
1
X
2
3
3 5
0 3
5
0 0 11
2 3
1
2
3 1 0 1
3 4
0 1 2
0 1 2
0 3
0 0 0
0 6 12
Xét ma trận
Vậy hệ vectơ ban đầu độc lập tuyến tính
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
Bài 11. Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm hạng, một cơ sở và viết các
biểu thị tuyến tính của các hệ véc tơ ngồi cơ sở qua cơ sở đối với hệ véc tơ sau:
A1 1, 2, 1 ; A2 0,1, 2 ; A3 1, 4, 1 ; A4 1, 4,3 ; A5 1, 5, 1
Trả lời :
1 1 1
1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
2 1 4 4
2 6 3
5 0 1 2 6 3 0 1
X
1 2 1 3 1 0 2 0 2 2 0 0 4 10 4
1 0 0 7
0
2
0 1 0 1 1
0 0 1 5
1
2
Vậy : h(X) = 2
Cơ sở : A1; A2; A3
A ₄ 7 2 A₁ A₂ 5 2 A₃
Với : A5 A₂ A₃
9
Bài 12. Một doanh nghiệp sử dụng 4 loại vật liệu thô I, II, III, IV để sản xuất 3
loại sản phẩm X, Y, Z.Định mức tiêu hao vật liệu thô cho mỗi đơn vị sản phẩm
mỗi loại được cho ở bảng sau:
Loại vật liệu
thô
Định mức nguyên liệu cho 1 đơn vị sản phẩm
X
Y
Z
I
2
4
5
II
3
3
2
III
4
1
4
IV
5
4
3
a) Hãy mô tả dưới dạng ma trận bảng định mức tiêu hao nguyên liệu trên.
b) Viết dưới dạng biểu thức ma trận và tính giá trị của biểu thức để xác định số
lượng vật liệu thô các loại đủ để sản xuất 30, 50, 20 đơn vị các loại sản phẩm
X, Y, Z tương ứng.
Trả lời:
a) Ta có : Ma trận bảng định mức tiêu hao nguyên liệu trên là:
2
4
A 3
5
4
3
1
4
5
2
4
3
b)
30
B 50
20
là ma trận sản lượng
+) Gọi ma trận
+) Ta có số lượng vật liệu thơ các loại để để sản xuất 30,50,20 đơn vị các
loại sản phẩm X,Y,Z tương ứng là:
10
2
4
A B 3
5
4 5
360
3 2 30
310
1 4 50
220
4 3 20
410
Bài 13. Một hãng sử dụng 3 loại vật liệu thô R1, R2 và R3 để sản xuất 4 loại sản
phẩm trung gian S1, S2, S3 và S 4. Sau đó, từ 4 loại sản phẩm trung gian người
ta có thể sản xuất ra 2 loại thành phẩm F 1 và F 2. Hai bảng dưới đây cho biết
định mức vật liêu thô cho các sản phẩm trung gian và định mức sản phẩm trung
gian cho các loại thành phẩm:
Loại
Định mức vật liệu thô 1 đơn vị sản phẩm trung gian
vật liệu thô
S1
S2
S3
S4
R1
3
1
2
4
R2
1
3
1
2
R3
2
4
3
1
Loại
sản phẩm trung gian
Định mức sản phẩm trung gian cho 1 đơn vị thành
phẩm
F1
F2
S1
5
3
S2
S3
2
1
1
4
S4
4
2
Viết các ma trận định mức vật liệu thô cho mỗi đơn vị sản phẩm trung gian,
định mức sản phẩm trung gian cho mỗi đơn vị thành phẩm và ma trận định mức
vật liệu thô cho mỗi đơn vị thành phẩm.
a)
b)
Viết biểu thức ma trận và thực hiện các phép toán cần thiết để tính số
11
lượng các loại vật liệu thô vừa đủ để sản xuất 120 đơn vị thành phẩm F1 và
150 đơn vị thành phẩm F2 .
Trả lời
a)
3 1 2 4
A 1 3 1 2
2 4 3 1
là ma trận định mức tiêu hao vật liệu thô để sản xuất 4
+) Có ma trận
loại sản phẩm trung gian
B
+) Ma trận
5 3
2 1
1 4
4 2 là ma trận định mức tiêu hao sản phẩm trung gian để sản xuất 2
loại thành phẩm
35 26
AB 20 14
25 24
là ma trận định mức vật liệu thơ cho 2 loại thành phẩm
+) Có
b)
120
C
150 là ma trận thành phẩm
Gọi
+) Số đơn vị sản phẩm trung gian cần có là :
5
2
B C
1
4
3
1050
1 120 390
X
4 150 720
2
780
+) Để sản xuất được lượng sản phẩm trung gian như trên, ta cần số đơn vị vật liệu thô là :
1050
3 1 2 4
8100
390
A X 1 3 1 2
4500
720 6600
2 4 3 1
780
12
Bài 14. Cho ma trận
17 6
A
35 12 . Tính
A6
Trả lời
10039 3990
A 6 A.A.A.A.A.A
23275 9246
Bài 15 Tìm để hệ phương trình tuyến tính sau là hệ Cramer và với 1 tìm
nghiệm của hệ tương ứng theo phương pháp ma trận nghịch đảo.
x1 5 x2 4 x3 7
2 x1 9 x2 x3 4
x x x
3 1 11 2 7 3 17
Trả lời :
+) Hệ đã cho có số phương trình bằng số ẩn (cùng bằng 3)
+) Để hệ là hệ Cramer thì det(B) phải khác 0
1
2
+) Ta có: detB =
3
5
9
4
0
11 7
=> Hệ Cramer
(63 15 88) ( 108 70 11 ) 0
63 15 88 108 70 11 0
13 4 0
13
4
Vậy để hệ PTTT là hệ Cramer thì
13
4
+) Xét ma trận
13
1 5 4 1 0 0
B / E 2 9 1 0 1 0
3 11 7 0 0 1
52
41
79
17
17
1 0 0 17
11
19
9
0 1 0
17
17
17
0 0 1 5
1
4
17
17
17
41
52
79
17
17
17
1
11
19
9
B
17
17
17
5
4
1
17
17
17
Ta có: B.X=C
X B 1 .C
41
79
52
17
17 7 1
17
. 4 0
11
19
9
X
17
17
17
5
4
1 17 2
17
17
17
1
X 0
2
Vậy nghiệm của hệ là
Bài 16. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử tồn phần (tìm nghiệm
tổng quát và chỉ ra một nghiệm riêng của hệ)
x x x x 1
2
3
4
1
x1 x3 2 x4 2
2 x1 x2 3x3 x4 0
2
1
x1 x2 x3
Trả lời : Xét A
14
A
1
1
1
0
2
1
1
1
0
0
0
2
0 0
1 0
0 1
0 0
1 11
1 2 2
3 1 0
1 0 1
1 1 1 11
0 1 2 3 1
0 3 5 1 2
0 1 0
0 1
6 3 1
13 9
0
8 5
0
12 9 0
HPT có nghiệm duy nhất
3
0 0 0 2
1 0 0 3
4
0 1 01
0 0 13
4
1
0
0
0
0 1
1 2
0
0
1
2
2 2
3 1
8 5
4 1
x1 3
2
3
x2 4
x3 1
x4 3 4
X 0 ( 3 , 3 ,1, 3 )
2 4
4
Bài 17. Tìm một nghiệm khơng âm của hệ ràng buộc sau:
x1 3 x2 x3 3 x5 7
2 x1 2 x2 2 x4 12
4 x x 2 x 2 x x 12
3
4
5
1 2
Trả lời :
x1 3x2 x3 3x5 7
2x1 2x 2 2x 4 12
4x x 2x 2x x 12
3
4
5
1 2
Xét A
15
1 3 1
A 2 2 0
4 1 2
1 3
1
1 1
0
2 1 2
0 7
2 0
1 1
0
1 1 1
2
0 1 0 0
1 1 0 1
1 0 1 0
0
2
2
3 7
0 12
112
0 3 7
1 0 6
0 1 0
2 7
1
0 6
0 12 0
1 2
06
0 1
0
7
Từ ma trận cuối ta có hpt mới:
x2 x5 2
x1 x 2 x 4 6
x x 1
1 3
Đặt
x 3, x4, x5
là các ẩn cơ sở
x1 , x2 là các ẩn tự do
Cho x1 , x 2 ta có cơng thức nghiệm tổng quát:
X=
x 1
x
2
x 3 1
x 6
4
x 5 2
Cho α=β=0 => 1 nghiệm không âm của hệ ràng buộc
X= (0 0 1 6 2)T
Vậy 1 nghiệm không âm của hệ ràng buộc là:
16
X= (0 0 1 6 2)T
Bài 18. Tìm một nghiệm của hệ ràng buộc sau bằng phương pháp khử toàn phần
2 x1 x2 x3 2 x4 x5 1
x
1 2 x2 x3 3 x 4 2 x5 1
x x 2 x x x 0
3
4
5
1 2
x 0, j 1, 5
j
Trả lời :
Xét A
2 1 1 2 1 1
A 1 2 1 3 2 1
1 1 2 1 1 0
3 0 3 1 0 1 1 0 1
3 4 3 5 0 1 0 4 0
1 1 2 1 1 0 0 1 1
1 1 5
0 1 1
4
4
4 4
1
9
9
1
0
2
2 0
2 2
3
0 3
1 3 1
4
4
4 4
1
3
6
4
3
0 13
02
1 13
Từ dòng 2 ma trận cuối => Hệ ràng buộc vô nghiệm không âm
Bài 19. Chuyển hệ hỗn hợp sau về dạng chính tắc rồi tìm một nghiệm của hệ:
x1 2 x2 x3 x 4 9
x1 x2 2 x3 2 x4 10
x1 3x2 4 x3 x4 4
x 0, j 1, 4
j
Trả lời :
17
x1 2x 2 x 3 x 4 9
x1 x2 2 x3 2 x4 10
3 4 4
x3 x 4
x1 x 2
x 0, 1, 4
j
j
Sử dụng ẩn bù x5 , x6 ta thu được hệ:
x1 2 x2 x3 x 4 x 5 9
x x x x x
10
1 2 2 3 2 4 6
x 3x 4x x 4
1
2
3
4
x j 0, j 1,6
x1 2 x 2 x 3 x 4 x 5 9
x x x x x
1 2 2 3 2 4 6 10
x 3x 4x x 4
2
3
4
1
x j 0, j 1,6
Xét ma trận
1 2 1 1 1 0 9
A 1 1 2 2 0 1 10
1 3 4 1 0 0 4
1 2 1 1 1 0 9
0 3 3 1 1 1 1
0 1 3 0 1 0 13
1 0 1
0 1 1
0 0 2
5
3
1
3
1
3
1
3
1
3
4
3
29
3
1 1
3 3
1 38
3 3
2
3
Từ dòng 3 của ma trận cuối => Hệ ràng buộc vơ nghiệm khơng âm
(vì phần tử bên ma trận A < 0 mà phía ma trận B > 0
Bài 20. Một hãng sử dụng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Cho các véc tơ
3
2
1
A1 4 , A2 3 , A3 2 , A4
2
4
1
155
4
2 ,B 160 ,C
195
3
x1
4
x
3
,X 2
5
x
3
7
x4
18
Trong đó Ak ,k 1,4 là véc tơ định mức thể hiện số đơn vị vật liệu các loại đủ dùng để sản
xuất 1 đơn vị sản phẩm loại k , B là véc tơ thể hiện số lượng đơn vị vật liệu các loại mà
hãng sử dụng ,
cj
x
trong ma trận C là lãi của một đơn vị sản phẩm loại j và j cho trong
ma trận X là sản lượng sản phẩm loại j ( j 1,4) .
a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm mà
hãng có thể sản xuất khi sử dụng hết số vật liệu cho trong B.
b) Tìm một nghiệm cơ sở, với 2 , 3 ,x 4 xlà cxác ẩn cơ sở, của hệ lập được trong
ý a)bằng phương pháp khử tồn phần. Tính tổng số lãi ứng với kết quả vừa tìm
được.
Trả lời :
a) Hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm là:
3 x1 2 x2 x3 4 x4 155
x x x x
4 1 3 2 2 3 2 4 160
2 x 4 x x 3 x 195
2
3
4
1
x j 0,j 1, 4
(1)
b)
*Xét ma trận
3
A 4
2
1
2
0
2
1
3
2
4
1
0
0
0
1
1
0
1
4 155
2 160 2
0
3 195
1
3
5
5
5 52
13
1 11 27
13
5
4
46
4
13
5
13
2
0
2
1
0
2
0
0
0
1
1
0
3 75
1 80
2 115
1 20
0 15
0 30
19
5
x
13 1
27
x
13 1
4 13 x1
*Hệ (1)
x3
x2
x4 20
15
30
x 2 30
x1 0 x3 15
x 20
4
*Nghiệm của cơ sở: Cho
0
30
15
Vậy nghiệm cơ sở là X= 20
0
30
15
*Tổng số lãi tương ứng: X.C= 20
4
3
5
. 7 =305
Bài 21. Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô liệu để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian.
Sau đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian, hãng sản xuất ra 3 loại thành phẩm. Cho các ma
trận :
3
2
A
1
4
1 0
2 1 1
1 1
0 4 B 1 0 1
1 2 2
0 2
,
,
Trong đó
aij
cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu thô loại cần để sản xuất 1đơn vị
sản phẩm trung gian loại j ,
bij
cho trong ma trận B là số lượng đơn vị sản phẩm trung
gian loại j cần để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm loại k (i 1,4; j; k 1,3) .
a) Tính số đơn vị vật liệu thô các loại vừa đủ để sản xuất 320, 150, 430
đơn vị sản phẩm trung gian loại 1, 2, 3 tương ứng.
b) Viết hệ ràng buộc tuyến tính để xác định sản lượng mỗi loại thành
phẩm nếu hãng sử dụng hết số sản phẩm trung gian cho ở ý a). Sử dụng
20
phương pháp khử tồn phần, tìm nghiệm của hệ đó.
c) Tính AB và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả vừa tính.
Trả lời :
a) Đặt
320
X 250
430
- Số sản phẩm trung gian 3 loại 1,2,3 tương ứng
Số đơn vị vật liệu thô các loại vừa đủ để sản xuất được số sản phẩm trung gian
cho trong X là:
3
2
A.X
1
4
1 0
1110
320
1 1
1220
150
2040
0 4
430
0 2
2140
b) Gọi x1 , x2 , x3 lần lượt là số thành phần loại 1,2,3
+ Hệ ràng buộc tuyến tính xác định
x 3
2x1 x 2
x
x3
1
x 2 x 2 x
2
3
1
x j 0, j 1,3
xj
là:
320
150
430
+Xét ma trận
21
2
A 1
1
0
1
0
0 1 1 20
1 320
0 1 150 1 0
1 150
0 2
2 2 430
1 280
1 1 20
0 1 0 100
0 1 150 1 0 0 70
0 0 1 80
0 3 240
1
x1 70
x 2 100
x 80
3
70
X 100
80
0
Vậy
Nếu hãng sử dụng hết số sản phẩm trung gian cho trong X thì số thành phẩm loại
1,2,3 lần lượt là 70;100;80
3
2
A .B
1
4
c)
1
1
0
0
0
7
2 1 1
1
6
1 0 1
6
4
1 2 2
2
10
3
4
9
8
4
5
9
8
Ý nghĩa: Số lượng các vật liệu thô đủ để sản xuất số lượng các loại sản phẩm nêu
trên được tính bởi biểu thức ma trận A.B
Bài 22. Khảo sát thị trường của 3 loại hàng hóa có liên quan 1, 2,3 . Lượng cung và lượng
cầu của loại hàng hoá i là các hàm phụ thuộc vào giá thị trường pi (i 1,3) của cả 3 loại
hàng hoá và được cho bởi :
q1s 5 p1
qd1 10 2 p1 p 3
s
d
q 2 p 2
q2 26 p2 p3
s
d
q3 10 3 p3
q 12 p1 p 2 p3
Hệ phương trình cung
và hệ phương trình cầu 3
trong
s
d
, 1,3.
đó là tham số thực. Thị trường hàng hoá i được gọi là cân bằng nếu qi qi i
a) Viết hệ phương trình xác định mức giá
p1 , p2 , p3 làm cân bằng cả ba thị trường
22
của cả ba loại hàng hoá trên dưới dạng ma trận và tìmđiều kiện của để hệ
phương trình thu được là hệ Cramer.
b) Với 2 , sử dụng phương pháp ma trận nghịch đảo để xác định các mức giá cân
bằng thị trường của ba loại hàng hoá trên.
Trả lời :
q s q d i
1,3
j,
a) *Từ điều kiện cân bằng cung cầu i
, ta rút ra hệ phương trình
tuyến tính xác định mức giá cân bằng p1 ,p2 , p3 có dạng:
5 p1 10 2 p1 p3
p2 26 p2 p3
10 3 p 12 p p p
3
1
2
3
3 p1
p
1
2 p2
p3
p3
15
26
p 2 4 p 3 22
*Điều kiện để hệ phương trình là hệ Cramer
+)Hệ có số phương trình bằng số ẩn (cùng bằng 3)
+)
3 0 1
det A 0 2 1 0
1 1 4
3. 8 1 1. 2 0
24 3 2 0
3
22
3
22 thì hệ phương trình thu được là hệ Cramer
Vậy với
3 p
1
p
1
b) Với 2 ta có:
4p2
p2
p3
p3
p3
15
26
22
(1)
3 0 1
p1
15
A 0 4 1 , P p 2 , B 26
1 1 4
p
22
3
Đặt
23
1
A.P B P A 1.B
17
47
1
A 1
47
4
47
3
P 5
6
1
47
11
47
3
47
4
47
3
47
12
47
Vậy với λ=2, mức giá cân bằng thị trường của 3 loại hàng hoá trên được tính bằng
3
P 5
6
biểu thức ma trận
Bài 23. Cho ma trận
X x1 x2 x3 x 4
T
A ( aij ) 44
4
ij
aij khi
1 khi i j với i , j 1, 4 mọi và ma trận
với
.Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất AX 04 có
nghiệm duy nhất.
Trả lời :
4
1
A
1
1
1
4
1
1
1
1
4
1
1
1
1
4
det A 189 0 *
Theo đề bài ta có
4x1 x 2 x 3 x 4 0
x 4x2 x3 x4 0
1
x1 x2 4x3 x4 0
x1 x2 x3 4 x4 0
AX= 04
(1)
Hệ (1) có 4 ẩn và 4 phương trình (*’)
Từ (*) và (*’) => Hệ (1) là hệ Cramer, mà hệ Cramer ln có nghiệm duy nhất
24
=> Phương trình AX= 04 có nghiệm duy nhất
x, p
Bài 24. Ba hãng cùng tham gia sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm . Kí hiệu i i
lần lượt là sản lượng và giá mỗi đơn vị sản phẩm của hãng . Biết sản lượng của mỗi hãng
i (i 1,2,3) phụ thuộc vào giá bán sản phẩm của tất cả các hãng như sau :
x1 35 mp1 p2 p3 , x2 35 p1 2 p2 p3 , x3 20 p1 p2 2 p3
a) Giả sử sản lượng của ba hãng lần lượt là 90;60và 80, tìm điều kiện của tham số m
để doanh thu của hãng thứ nhất bằng tổng doanh thu của hai hãng còn lại.
b) Với m tìm được ở câu a), hãy biểu diễn dưới dạng ma trận hàm tổng doanh thu của
hãng 1 và hãng 2.
Trả lời :
a) Từ giả thiết ta có hệ ràng buộc:
35 mp1 p2 p3 90
35 p1 2 p2 p3 60
20 p1 p 2 2 p 3 80
90 p1 60 p2 80 p3
(1)
Xét hệ phương trình
p1 2p 2 p 3 25
p1 p 2 2 p 3 60
90 p1 6 p2 8 p3 0
p1 20
p 2 10
p 15
3
Thay vào (1) ta tìm được: m 3
Vậy với m 3 thì doanh thu của hàng thứ nhất = tổng doanh thu hai hàng còn lại.
i i 1,3
b) Gọi fi là doanh thu của
f 1 p p1x1 p1. 35 3 p1 p 2 p 3 35 p 1 3 p 12 p 1. p 2 p 1. p 3
f 2 p p2 x2 p 2 . 35 p1 2 p2 p3 35 p2 p1. p 2 2 p 22 p 2 . p 3
p1
f p 35 35 0 p2 p1
p3
p2
8
p3 1x 3 . 1
1
2
1
2
1
2
1
2
p1
1
. p2
2
0
p3 3 x1
3 x3
25