Toàn bộ công thức giải nhanh hàm số lớp 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (6.97 MB, 77 trang )
MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ........................................................................ 19
I. Tính đơn điệu của hàm số .......................................................................................................................... 19
A. Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số ................................................................................................. 19
B. Các dạng tốn về tính đơn điệu của hàm số ......................................................................................... 20
Dạng 1: Bài tốn khơng chứa tham số ................................................................................................. 20
Bài tập rèn luyện kĩ năng ................................................................................................................ 26
Dạng 2: Bài toán chứa tham số ........................................................................................................... 28
Bài tập rèn luyện kĩ năng ................................................................................................................ 38
II. Cực trị của hàm số .................................................................................................................................... 40
A. Lý thuyết về cực trị của hàm số ........................................................................................................... 40
B. Các dạng toán liên quan đến cực trị ..................................................................................................... 42
Bài đọc thêm: Phương pháp sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh các bài tập định tham số m
để hàm f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 .......................................................................................... 64
Bài tập rèn luyện kĩ năng ..................................................................................................................... 66
III. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .............................................................................................. 70
A. Lý thuyết về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ...................................................................... 70
B. Các dạng toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .............................................................. 73
Bài đọc thêm 1: Phương pháp giải nhanh các bài tập tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất trên
đoạn [a; b] ..................................................................................................................................... 82
Bài đọc thêm 2: Phương pháp giải nhanh các bài tập xác định m để hàm số đạt giá trị lớn nhất
– giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a; b] .................................................................................................... 18
Bài tập rèn luyện kĩ năng ..................................................................................................................... 85
C. Ứng dụng của GTLN, GTNN vào thực tiễn, giải quyết các vấn đề tối ưu ................................................. 88
Bài tập rèn luyện kĩ năng ..................................................................................................................... 94
IV. Đường tiệm cận ........................................................................................................................................ 98
A. Lý thuyết về đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ......................................................................... 98
B. Lý thuyết về đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ........................................................................ 101
C. Một số dạng toán thường gặp liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất
trên bậc nhất ......................................................................................................................................... 105
Bài tập rèn luyện kĩ năng ....................................................................................................................... 109
V. Các dạng đồ thị hàm số thường gặp ....................................................................................................... 113
Bài tập rèn luyện kĩ năng ....................................................................................................................... 121
VI. Sự tương giao của hai đồ thị hàm số ...................................................................................................... 127
Bài tập rèn luyện kĩ năng ....................................................................................................................... 136
VII. Một số dạng toán vận dụng cao về hàm số ........................................................................................... 137
A. Bài toán về hàm đạo hàm, hàm tổng, hàm hợp .................................................................................. 137
B. Bài toán về biến đổi đồ thị ................................................................................................................. 157
VIII. Bài toán VD-VDC Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm ..................................................................... 185
Các công thức giải nhanh về hàm số và ứng dụng của đạo hàm ................................................................. 196
Bài kiểm tra chủ đề 1 - số 1 ........................................................................................................................ 203
Bài kiểm tra chủ đề 1 - số 2 ........................................................................................................................ 207
Bài kiểm tra chủ đề 1 - số 3 ........................................................................................................................ 211
Hướng dẫn giải chi tiết chủ đề 1 ................................................................................................................. 215
CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT ...................................................... 257
I. Lũy thừa – Hàm số lũy thừa ..................................................................................................................... 257
A. Khái niệm lũy thừa ............................................................................................................................ 257
B. Hàm số lũy thừa ................................................................................................................................ 258
II. Logarit – Hàm số logarit ......................................................................................................................... 259
A. Logarit .............................................................................................................................................. 259
B. Hàm số logarit .................................................................................................................................. 259
III. Hàm số mũ ........................................................................................................................................... 260
Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit ................................... 261
IV. Ứng dụng của hàm số mũ, hàm số logarit trong thực tế ......................................................................... 270
Bài tập rèn luyện kĩ năng ....................................................................................................................... 280
V. Phương trình mũ và phương trình logarit ................................................................................................. 285
A. Đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa – mũ hóa ................................................................................... 286
B. Phương pháp đặt ẩn phụ (dạng 1) ..................................................................................................... 291
C. Phương pháp đặt ẩn phụ (dạng 2: đặt ẩn phụ khơng hồn tồn) ........................................................ 296
D. Phương pháp logarit hóa, mũ hóa ...................................................................................................... 297
E. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số ................................................................................ 299
VI. Các bài toán biến đổi logarit .................................................................................................................. 300
A. Tính một logarit theo một logarit đã cho ............................................................................................ 300
B. Tính một logarit theo hai logarit đã cho .............................................................................................. 300
Bài tập rèn luyện kĩ năng .................................................................................................................. 302
Dạng 1: Các dạng tốn tìm tập xác định, bài tốn đồ thị và tính chất của các hàm logarit .................. 302
Dạng 2: Các phép biến đổi mũ, logarit .............................................................................................. 305
Dạng 3: Giải phương trình và bất phương trình mũ, logarit ................................................................. 307
VII. Bài toán VD-VDC Lũy thừa, mũ, logarit .................................................................................................. 310
Các công thức giải nhanh về lũy thừa – mũ và logarit .................................................................................. 315
Bài kiểm tra chủ đề 2 - số 1 ........................................................................................................................ 317
Bài kiểm tra chủ đề 2 - số 2 ........................................................................................................................ 320
Hướng dẫn giải chi tiết chủ đề 2 ................................................................................................................. 323
CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ....................................................................... 341
I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản ....................................................................................................... 341
II. Hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm .......................................................................................... 342
III. Các dạng toán về nguyên hàm ............................................................................................................... 345
IV. Bổ sung một số vấn đề về nguyên hàm ................................................................................................. 350
Bài tập rèn luyện kĩ năng ....................................................................................................................... 356
V. Khái niệm và các tính chất cơ bản của tích phân .................................................................................... 358
VI. Hai phương pháp cơ bản để tìm tích phân .............................................................................................. 359
VII. Ứng dụng hình học của tích phân ......................................................................................................... 362
VIII. Một số dạng tích phân thường gặp ....................................................................................................... 367
Bài tập rèn luyện kĩ năng ....................................................................................................................... 384
IX. Ứng dụng của nguyên hàm, tích phân trong thực tế ................................................................................ 388
Bài tập rèn luyện kĩ năng ....................................................................................................................... 391
X. Một số dạng tích phân vận dụng cao ...................................................................................................... 393
XI. Bài tốn VD-VDC Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ........................................................................... 406
Các cơng thức giải nhanh về ngun hàm – tích phân và ứng dụng ............................................................. 415
Bài kiểm tra chủ đề 3 - số 1 ........................................................................................................................ 421
Bài kiểm tra chủ đề 3 - số 2 ........................................................................................................................ 424
Hướng dẫn giải chi tiết chủ đề 3 ................................................................................................................. 429
CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC ....................................................................................................................... 443
I. Khái niệm số phức ................................................................................................................................... 443
II. Các phép toán với số phức ..................................................................................................................... 444
Bài đọc thêm 1: Giới thiệu một số tính năng tính tốn số phức bằng máy tính Casio .................................... 445
Bài tập rèn luyện kĩ năng ....................................................................................................................... 450
Bài đọc thêm 2: Các bài toán số phức vận dụng cao ................................................................................... 454
1. Bài tốn tìm số phức liên quan đến mơđun ........................................................................................ 454
2. Biểu diễn hình học của số phức, quỹ tích phức .................................................................................. 461
3. Một số dạng tốn nâng cao về số phức ............................................................................................. 464
III. Giải bài toán cực trị của số phức bằng phương pháp hình học giải tích ................................................... 478
IV. Bài tốn VD-VDC Số phức ..................................................................................................................... 491
Các công thức giải nhanh về số phức ......................................................................................................... 495
Bài kiểm tra chủ đề 4 ................................................................................................................................. 496
Hướng dẫn giải chi tiết chủ đề 4 ................................................................................................................. 499
CHỦ ĐỀ 5: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ KHỐI ĐA DIỆN QUEN THUỘC ............................... 506
I. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện ................................................................................................ 506
II. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều ........................................................................................................ 509
III. Thể tích khối đa diện .............................................................................................................................. 510
Bài tập rèn luyện kĩ năng ....................................................................................................................... 523
Các công thức giải nhanh về khối đa diện ................................................................................................... 529
Bài kiểm tra chủ đề 5 ................................................................................................................................. 532
Hướng dẫn giải chi tiết chủ đề 5 ................................................................................................................. 536
CHỦ ĐỀ 6: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN ....................................................................................... 550
I. Mặt cầu, khối cầu ................................................................................................................................... 550
Bổ sung một số vấn đề mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình đa diện ........................................................... 553
Bài tập rèn luyện kĩ năng ....................................................................................................................... 562
II. Mặt nón, hình nón, khối nón ................................................................................................................... 564
Một số dạng tốn và cơng thức giải bài tốn mặt nón thường gặp .......................................................... 569
III. Mặt trụ, hình trụ, khối trụ ...................................................................................................................... 571
Một số dạng tốn và cơng thức giải bài toán mặt trụ thường gặp ............................................................ 574
Bài tập rèn luyện kĩ năng ....................................................................................................................... 576
IV. Bài toán VD-VDC Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón .......................................................................................... 580
Các cơng thức giải nhanh về mặt cầu – mặt trụ – mặt nón .......................................................................... 584
Bài kiểm tra chủ đề 6 ................................................................................................................................. 589
Hướng dẫn giải chi tiết chủ đề 6 ................................................................................................................. 594
CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ..................................................................... 606
I. Hệ tọa độ trong khơng gian ...................................................................................................................... 606
II. Phương trình mặt phẳng .......................................................................................................................... 608
III. Phương trình đường thẳng ...................................................................................................................... 613
Bài đọc thêm 1: Bài tốn cực trị trong khơng gian ....................................................................................... 618
Bài tập rèn luyện kĩ năng ....................................................................................................................... 627
IV. Mặt cầu ................................................................................................................................................. 636
Bài tập rèn luyện kĩ năng ....................................................................................................................... 639
Bài đọc thêm 2: Ứng dụng phương pháp tọa độ hóa trong giải tốn hình học khơng gian ............................. 642
V. Bài tốn VD-VDC Phương pháp tọa độ trong không gian ......................................................................... 651
Các công thức giải nhanh về phương pháp tọa độ trong không gian ............................................................ 658
Bài kiểm tra chủ đề 7 ................................................................................................................................. 660
Hướng dẫn giải chi tiết chủ đề 7 ................................................................................................................. 665
TRA CỨU THUẬT NGỮ ...................................................................................................................... 683
Chinh phục Tốn 12 – Cơng Phá Tốn 3
Chủ đề 1
Vấn đề cần nắm:
I. Tính đơn điệu
của hàm số
II. Cực trị của hàm
số
III. GTLN, GTNN
của hàm số và ứng
dụng.
IV. Đường tiệm cận
V. Các dạng đồ thị
VI. Tương giao
Ngọc Huyền LB
HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
I. Tính đơn điệu của hàm số
A. Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số
1. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K (với K là một khoảng (đoạn), nửa
khoảng) được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
2. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm
Định lý
Cho hàm số y f x có đạo hàm trên K.
a. Nếu f x 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x đồng biến trên K.
b. Nếu f x 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x nghịch biến trên K.
Chú ý
Tóm lại, trên K:
f x 0 f x đồng biến.
Nếu
f x 0 f x nghịch biến.
thì
khơng đổi trên K.
Định lý mở rộng
1. Giả sử hàm số f x có đạo hàm trên khoảng K.
a. Nếu f x 0 với mọi x K và f x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K
thì hàm số đồng biến trên K.
b. Nếu f x 0 với mọi x K và f x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K
thì hàm số nghịch biến trên K.
c. Nếu f x 0 với mọi x K thì hàm số khơng đổi trên K.
2. Giả sử hàm số f x liên tục trên đoạn a; b và có đạo hàm trên khoảng
a; b . Nếu f x 0 (hoặc f x 0 ) với mọi x a; b thì hàm số đồng biến
(hoặc nghịch biến) trên đoạn a; b .
- Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải.
y
- Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang
phải (hình 1.1).
Ví dụ: Hàm số có đồ thị ở hình 1.1 nghịch biến trên khoảng ; a , không
đổi trên khoảng a , b và đồng biến trên khoảng b; .
Ta có thể nói rằng hàm số có đồ thị ở hình 1.1 nghịch biến trên ; a bởi
Hằng
x
O
Hình 1.1
f x 0 với mọi x ; a và dấu bằng chỉ xảy ra tại x a (tức là hữu
hạn nghiệm).
Lí giải:
Ở phần trên về cách xác định tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm phải có
điều kiện dấu bằng xảy ra tại hữu hạn nghiệm bởi: Nếu là vơ hạn nghiệm, hay là
xảy ra trên tồn khoảng đó
f x 0, x K
thì hàm số khơng cịn tính đơn
điệu nữa, mà là hàm khơng đổi trên khoảng đó. Ví dụ như hàm số có đồ thị hình
1.1 thì trên a; b hàm số là hàm hằng.
LOVEBOOK.VN| 19
Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm
The Best or Nothing
3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số f x
STUDY TIP
Với các hàm sơ cấp, để xét
dấu của đạo hàm trên
khoảng x i ; x i 1 vừa tìm
a. Tìm tập xác định.
b. Tính đạo hàm f x . Tìm các điểm xi i 1, 2, 3,...n làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc
được, ta chỉ cần xét dấu
của đạo hàm tại một điểm
trên khoảng đó.
hàm trên các khoảng xi ; xi 1 .
không xác định (điểm tới hạn của hàm số).
c. Sắp xếp các điểm tìm được theo thứ tự tăng dần x1 x2 ... xn và xét dấu của đạo
d. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Điểm tới hạn: Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a; b và một điểm
x0 a; b . Điểm x 0 được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó đạo hàm
f x không xác định hoặc bằng 0.
B. Các dạng tốn về tính đơn điệu của hàm số
Bài tốn khơng chứa tham số
Dạng 1
Ví dụ 1: Hàm số y x x2 nghịch biến trên khoảng
1
B. 0 ; .
2
1
A. ; 1 .
2
STUDY TIP
Ở đây ta chọn STEP
C. ; 0 .
D. 1; .
Đáp án A.
Phân tích: Ta đi tìm nghiệm của phương trình y 0 hoặc giá trị làm cho
ba
STEP
với
10
phương trình y 0 khơng xác định, từ đó tìm được các khoảng đồng biến,
a; b là khoảng cần xét là
nghịch biến của hàm số.
Lời giải
0.1 bởi khoảng khá nhỏ,
và ta cần xét tính đồng
biến nghịch biến trên 2
khoảng là
Cách 1: Điều kiện: x 0;1
2 x 1
1
Ta có: y x x2
; y 0 x 0;1 .
2
2 x x2
2x 1
1
1
Ta có: y 0
0 x 1 do đó hàm số nghịch biến trên ; 1 .
2
2
2
2 xx
1
1
0; và ;1 .
2
2
y
Hình 1.2 là đồ thị hàm số y x x2 , ta thấy bài làm đã xác định đúng.
Cách 2: Nhận thấy điều kiện là x 0;1 , do vậy loại luôn C và D.
Ở B và A, các đầu mút của các khoảng cách nhau 0,5 đơn vị, do vậy ta có thể
chọn được STEP khi sử dụng TABLE trong máy tính.
Giải thích:
O
1
Hình 1.2
x
Lệnh TABLE trong máy tính dùng để tính giá trị của hàm số tại một vài điểm.
Ta có thể sử dụng chức năng tính giá trị của hai hàm số f x và g x , hoặc chỉ
tại một hàm duy nhất f x qwR52 . Bởi vậy, khi sử dụng TABLE
trong việc xác định hàm số đồng biến hay nghịch biến trong một khoảng là khá
dễ dàng, bởi ta chỉ cần xét xem giá trị của hàm số tăng hay giảm khi x chạy trên
khoảng đó thơi.
Sử dụng máy tính
Sử dụng lệnh TABLE để
liệt kê các giá trị của
hàm số khi cho x chạy
trên khoảng cần xét với
bước nhảy nhất định.
LOVEBOOK.VN| 20
Thao tác:
1. Ấn w7, nhập hàm số cần tính giá trị. Ở chế độ mặc định w7được thiết
lập mặc định ở dạng nhập hai hàm số f x và g x , ấn qwR51để trở
về dạng chỉ nhập một hàm số f x .
2. START? Nhập x bắt đầu từ đâu.
3. END? Nhập x kết thúc ở đâu.
4. STEP? Bước nhảy giữa các giá trị, tính từ điểm đầu mút.
Chinh phục Tốn 12 – Cơng Phá Tốn 3
Ngọc Huyền LB
Áp dụng vào bài toán này ta được:
Ấn w7, và nhập f x X X 2 ấn =.
START? Nhập 0 =.
END? Nhập 1 =.
STEP? Nhập 0.1 =.
Sau khi nhập máy hiện như hình bên:
Nhận thấy từ khi x chạy từ 0 đến 0, 5
1
thì giá trị của hàm số tăng, tức hàm
2
1
1
số đồng biến trên 0; . Còn với x chạy từ đến 1 thì giá trị của hàm số giảm,
2
2
1
tức hàm số nghịch biến trên ;1 . Chọn A.
2
Xét bài toán tổng quát sau:
Xét sự biến thiên của hàm số y ax 4 bx 2 c , a 0 .
Lời giải
Ghi nhớ
TXĐ: D .
Từ bài toán tổng quát bên, ta
đưa ra các kết luận sau về sự
biến thiên của hàm số
* Trường hợp
- Với
thì hàm số đồng
biến trên
và
nghịch biến trên
và
- Với
biến trên
thì hàm số nghịch
và
Ta có y 4ax3 2bx ;
x 0
x 0
y 0 2 x 2 ax b 0
2
.
2
x b
2
ax
b
0
2a
b
+) TH1: 0
a
2
b
x
b
2a
* Với 0 và a 0 (hay a 0; b 0 ) thì 2ax 2 b 0
a
b
x
2a
Lúc này ta có bảng xét dấu:
x
b
b
0
2a
2a
f x
0
0
0
Từ bảng xét dấu ta có hàm số y ax4 bx2 c , a 0 nghịch biến trên
đồng biến trên
b
b
b
b
; và 0; ; hàm số đồng biến trên ; 0 và ; .
2a
2 a
2a
2 a
và
b
x
b
2a
* Trường hợp
* Với 0 và a 0 (hay a 0; b 0 ) thì 2ax 2 b 0
a
b
x
- Với
thì hàm số nghịch
2a
biến trên
và đồng biến
Lúc này ta có bảng xét dấu:
trên
- Với
biến trên
biến trên
thì hàm số đồng
x
và nghịch
f x
0
b
2a
0
0
0
b
2a
LOVEBOOK.VN| 21
Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm
The Best or Nothing
Từ bảng xét dấu ta có hàm số y ax4 bx2 c , a 0 nghịch biến trên
b
b
b
; 0 và ; ; hàm số đồng biến trên ; và
2a
2 a
2 a
b
0; .
2a
+) TH2:
b
b
0 thì phương trình 2ax 2 b 0 : +) vô nghiệm khi 0.
a
a
+) có duy nhất 1 nghiệm x 0 khi
b
0.
a
* Với a 0 thì ta có bảng xét dấu:
x
0
f x
0
Từ bảng xét dấu ta có hàm số y ax4 bx2 c , a 0 nghịch biến trên ;0 ;
hàm số đồng biến trên 0; .
* Với a 0 thì ta có bảng xét dấu:
x
f x
0
0
Từ bảng xét dấu ta có hàm số y ax4 bx2 c , a 0 nghịch biến trên 0; ;
hàm số đồng biến trên ;0 .
Ví dụ 2: Cho hàm số y
1 4
x 2 x 2 1. Chọn khẳng định đúng.
4
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng 2;0 và 2; .
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và 0; 2 .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2 và 2; .
STUDY TIP
Với hàm số bậc bốn trùng
phương có dạng
y ax4 bx2 c a 0
b
0 thì:
a
1. Với a 0 thì đồ thị hàm
số có dạng chữ W.
* Nếu
2. Với a 0 thì đồ thị hàm
số có dạng chữ M. (chỉ là
mẹo nhớ đồ thị).
b
* Nếu 0 thì:
a
1. Với a 0 đồ thị hàm số
có dạng Parabol quay bề
lõm lên trên.
2. Với a 0 thì đồ thị hàm
số có dạng Parabol quay bề
lõm xuống dưới.
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng 2;0 và 2; .
Đáp án A.
Phân tích
1 4
x
2x2
Hướng tư duy 1: Ta thấy hàm số y
4
- Hệ số a
1
4
0;
b
a
8
trên thì ta có hàm số y
0 nên áp dụng kết quả của bài tốn tổng qt phía
1 4
x
4
2x2
1 đồng biến trên 2; 0 và 2; ;
nghịch biến trên ; 2 và 0; 2 .
x 0
Hướng tư duy 2: Xét phương trình y ' 0 x3 4x 0
. Như đã giới
x 2
thiệu về cách nhớ dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có hệ số a
1
0
4
nên ở đây ta có thể xác định nhanh hàm số đồng biến trên 2;0 và 2; ,
hàm số nghịch biến trên ; 2 và 0; 2 .
LOVEBOOK.VN| 22
1 có:
Chinh phục Tốn 12 – Cơng Phá Tốn 3
Ngọc Huyền LB
Hướng tư duy 3: Sử dụng lệnh TABLE.
Sử dụng lệnh TABLE với START là -5 và END 5, STEP 1 ta có thể xác định được:
giá trị của hàm số tăng khi x chạy từ 2 đến 0 và từ 2 đến 5, giá trị của hàm số
giảm khi x chạy từ -5 đến -2 và từ 0 đến 2.
Do đó ta có thể xác định được hàm số đồng biến trên 2; 0 và 2; .
Hàm số nghịch biến trên ; 2 và 0; 2 .
STUDY TIP
Với hàm số dạng
ax b
y
;
cx d
ad bc 0;c 0 ;
thì y'
ad bc
cx d
2
,
đặt ad bc thì:
a. Với 0 thì hàm số
đồng biến trên từng
khoảng xác định.
b. Với 0 thì hàm số
nghịch biến trên từng
khoảng xác định.
x3
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
x3
A. Hàm số đồng biến trên .
Ví dụ 3: Cho hàm số y
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 3 và 3; .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 3 và 3; .
.
D. Hàm số nghịch biến trên
Đáp án B.
\3
Tập xác định D
Ta có y
3.1 3 .1
x 3
Lời giải
2
6
x 3
2
0 với mọi x D . Vậy hàm số đồng biến trên
từng khoảng xác định. Tức là hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 3 và
STUDY TIP
Các mệnh đề nói hàm số
đồng biến hay nghịch biến
trên một tập số không liên
tục, bị gián đoạn là mệnh đề
sai.
3; .
Lưu ý: Ta nói: “Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 3 và 3; ”.
Mà khơng thể nói “Hàm số đồng biến trên ; 3 3; ” hoặc “Hàm
số đồng biến trên tập xác định.”
Ví dụ 4: Cho hàm số y x2 3 x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;0 .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2; .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; 2 .
STUDY TIP
Với hàm số bậc ba có dạng
y ax3 bx2 cx d
a 0 . Nếu phương trình
y' 0 có hai nghiệm phân
biệt:
Nếu a 0 thì đồ thị hàm số
có dạng chữ N, tức hàm số
có hai khoảng đồng biến
một khoảng nghịch biến.
Cịn a 0 thì ngược lại.
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; 3 .
Đáp án C.
Lời giải
x 0
Ta có y 3x2 6 x 0
x 2
Vì đây là hàm số bậc ba, có hệ số a 1 0 nên hàm số đồng biến trên 0; 2 .
Nhận xét: Việc nhớ dạng đồ thị giúp ta làm nhanh các bài tốn đơn điệu mà
khơng cần vẽ bảng biến thiên.
Ví dụ 5: Trong các hàm số sau hàm nào đồng biến trên ?
x1
.
A. y x4 x2 1.
B. y
x3
C. y x2 1.
D. y x3 x.
Đáp án D.
LOVEBOOK.VN| 23
Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm
The Best or Nothing
Lời giải
Ta có thể loại ln phương án A, B, C do:
Hàm số bậc bốn trùng phương ln có khoảng đồng biến và nghịch biến trên
. Tương tự hàm bậc hai có đồ thị dạng parabol nên cũng ln có khoảng đồng
biến, khoảng nghịch biến trên
.
Cịn phương án B: Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất y
tại x 3 , do đó hàm số này không thể luôn đồng biến trên
x1
gián đoạn
x3
mà chỉ ln đơn
điệu trên từng khoảng xác định.
Qua bài tốn trên ta rút ra các kết quả sau:
Kết quả 1: Hàm số bậc bốn trùng phương ln có một điểm cực trị là x 0, do vậy
hàm số bậc bốn trùng phương ln có khoảng đồng biến, nghịch biến trên .
Kết quả 2: Hàm bậc hai ln có một điểm cực đại hoặc một điểm cực tiểu, hoặc
nhớ nôm na là đồ thị hàm bậc hai là một parabol, do vậy hàm bậc hai không thể
đơn điệu trên .
Kết quả 3: Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không thể đơn điệu trên
do
hàm số bị gián đoạn tại giá trị làm cho mẫu số khơng xác định, do đó ta chỉ có thể
nói hàm số này đơn điệu trên từng khoảng xác định chứ khơng nói đơn điệu trên
tập xác định hoặc đơn điệu trên .
Kết quả 4: Để hàm số bậc ba có dạng y ax3 bx2 cx d a 0 đơn điệu trên
thì phương trình y 0 3ax 2 2bx c 0 (có b2 3ac ) vơ nghiệm hoặc có
nghiệm duy nhất, tức là 0 b2 3ac 0 (trong công thức này a, b, c lần lượt
là các hệ số của hàm bậc ba ban đầu). Lúc này dấu của hệ số a quyết định tính đơn
điệu của hàm số.
a. Nếu a 0 thì hàm số nghịch biến trên
b. Nếu a 0 thì hàm số đồng biến trên
.
.
Ví dụ 6: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai về hàm số y
A. Hàm số đồng biến trên 1; .
2x 1
?
x1
B. Hàm số đồng biến trên .
C. Hàm số khơng có cực trị.
D. Hàm số đồng biến trên ; 1 .
Đáp án B.
Lời giải
Từ kết quả 3 ở Ví dụ 5 ta chọn ln B.
Ví dụ 7: Hỏi hàm số y x2 4x 3 đồng biến trên khoảng nào?
B. ; 3 .
A. 2; .
C. ;1 .
D. 3; .
Đáp án D.
Tập xác định: D ;1 3;
Ta có y
2x 4
2 x 4x 3
2
Lời giải
x2
x 4x 3
2
, x ; 1 3; .
y 0 x 2, kết hợp với điều kiện xác định thì hàm số đồng biến trên 3;
LOVEBOOK.VN| 24
Chinh phục Tốn 12 – Cơng Phá Tốn 3
Ngọc Huyền LB
Ví dụ 8: Cho hàm số y x3 3x 2. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 và nghịch biến trên khoảng
0; .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ; .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 và đồng biến trên khoảng
0; .
STUDY TIP
Với hàm số bậc ba có dạng
y ax3 bx2 cx d
Đáp án C.
a 0 . Nếu phương trình
Cách 1: Lời giải thơng thường
Lời giải
y 0 vơ nghiệm thì:
Ta có y 3x2 3 3 x2 1 0, x
* Với a 0 hàm số đồng
biến trên .
* Với a 0 hàm số nghịch
biến trên .
Suy ra hàm số y x3 3x 2 luôn đồng biến trên ; .
Cách 2:
Ta thấy phương trình y
.
0 vơ nghiệm và a
1 0 nên hàm số đã cho luôn
đồng biến trên ; .
Ví dụ 9: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng ; ?
x1
.
x3
x 1
C. y
.
x2
A. y
B. y x3 x.
D. y x3 3x.
Đáp án B.
Lời giải
– Hàm số dạng y
ax b
d
, x luôn đơn điệu (đồng biến, hoặc nghịch
cx d
c
d
d
biến) trên mỗi khoảng ; và ; .
c
c
Ta loại ngay hai đáp án A và C.
– Với phương án B:
Ta có y 3x2 1 0, x
nên hàm số đồng biến trên
.
LOVEBOOK.VN| 25
Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm
The Best or Nothing
Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 215
x
Câu 1: Cho hàm số y
. Trong các khẳng định
ln x
dưới đây, khẳng định nào đúng?
A. Hàm số luôn đồng biến trên 0; .
B. Hàm số luôn nghịch biến trên 0;e và đồng biến
trên e; .
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; 1
và khoảng 0;1 .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; .
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
; 1 và khoảng 0;1 .
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
C. Hàm số nghịch biến trên 0;1 và đồng biến trên
1; .
D. Hàm số nghịch biến trên 0;1 và 1;e ; đồng
biến trên e; .
Câu 8: Hàm số f x có đạo hàm f ' x x
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2 và
0; .
dưới đây là đúng?
A. Hàm số có tập xác định là
0; .
B. Hàm số đồng biến trên 1; .
Câu 9: Hàm số y 2 x 4 1 đồng biến trên khoảng nào?
D. Hàm số nghịch biến trên 1; 0 .
Câu 3: Hỏi hàm số y x 3x 4 nghịch biến trên
khoảng nào?
A. 2;0 .
C. 0; .
Câu 4: Cho hàm số y
2
B. ; 2 .
D.
đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên mỗi (từng) khoảng
;1 và 1; .
B. Hàm số nghịch biến trên mỗi (từng) khoảng
;1 và 1; .
C. Hàm số nghịch biến trên .
D. Hàm số nghịch biến với mọi x 1.
Câu 5: Hàm số y x 3 3x 2 9 x đồng biến trên
.
D. 1; 3 .
Câu 6: Cho hàm số y x 6 x 10. Chọn khẳng
3
1
A. ; .
2
1
C. ; .
2
B. 0; .
D. ; 0 .
Câu 10: Biết rằng hàm số y ax4 bx2 c a 0 đồng
.
x 2
. Khẳng định nào dưới
x 1
khoảng nào sau đây?
A. 2; 3 . B. 2; 1 . C.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;0 .
C. Hàm số đồng biến trên ; 0 .
3
2
định đúng trong các khẳng định sau
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; 0 .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; 4 .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; .
biến trên 0; , khẳng định nào sau đây đúng?
A. a 0; b 0.
C. ab 0.
B. ab 0.
D. a 0; b 0.
1
Câu 11: Hàm số y x4 2x2 3 nghịch biến trong
4
khoảng nào sau đây:
A. ; 0 . B. 2;0 .
C. 2; . D. 0; .
Câu 12: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác
định của nó?
x1
A. y x 3 x 1.
B. y
.
x 1
C. y x 3 2 x 3.
D. y x 4 2 x 2 3.
Câu 13: Hỏi hàm số y 2x x2 đồng biến trên
khoảng nào?
A. ; 2 .
C. 1; 2 .
B. 0;1 .
D. 1; .
Câu 14: Cho hàm số y sin x cos x 3 x. Tìm khẳng
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 4;0 .
định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số nghịch biến trên ; 0 .
Câu 7: Cho hàm số y x 4 2 x 2 1. Khẳng định nào
B. Hàm số nghịch biến trên 1; 2 .
sau đây là đúng?
C. Hàm số là hàm lẻ.
D. Hàm số đồng biến trên ; .
LOVEBOOK.VN| 26
1; 0 .
x 2.
Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; .
Câu 2: Cho hàm số y x ln x 1. Khẳng định nào
\1.
2
Chinh phục Tốn 12 – Cơng Phá Tốn 3
Ngọc Huyền LB
Câu 15: Hàm số y x 4 2 x 2 7 nghịch biến trên
khoảng nào?
A. 0;1 .
B. 0; .
C. 1; 0 .
D. ; 0 .
y
-2
1
-1
O
Câu 16: Hỏi hàm số y x 4x 3 nghịch biến trên
2
x
2
khoảng nào?
A. 2; .
B. 3; .
C. ;1 .
D. ; 2 .
A. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 1; 2 .
B. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 0; 2 .
Câu 17: Xét tính đơn điệu của hàm số y x 3x 2.
3
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 1;1 ,
đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1; .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1;1 ,
nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1; .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên ; .
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; 3 ,
đồng biến trên các khoảng ;0 và 3; .
3
Câu 18: Hàm số y ln( x 2)
đồng biến trên
x2
khoảng nào ?
A. (;1).
B. (1; ).
1
D. ; .
2
1
C. ;1 .
2
khoảng nào ? Tìm đáp án đúng.
A. 1;0 ; 1; .
B. ; 1 ; 0;1 .
Câu 20: Hàm số y
D. 1;1 .
2x 3
nghịch biến trên khoảng
x 1
nào trong các khoảng dưới đây?
3
3
A. ; 1 và 1; .
B. ; .
2
2
3
C. 1; .
2
2
Câu 23: Hàm số y
2
x 1
2
nào dưới đây?
A. 0; B. 1;1
1;1 .
nghịch biến trên khoảng
C. ; D. ;0
Câu 24: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng
; ?
x1
.
B. y x 3 x.
x3
x 1
C. y
D. y x 3 3 x.
.
x2
Câu 25: Cho hàm số y x 3 3x 2 . Mệnh đề nào dưới
A. y
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 .
Câu 26: Cho hàm số
f ' x x2 1, x
y f x
có đạo hàm
. Mệnh đề nào duới đây đúng?
1; .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ; .
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
D. ; 1 .
Câu 21: Cho hàm số y x 3 3x 2 1 . Mệnh đề nào sau
Câu 27: Cho hàm số y x 4 2 x 2 . Mệnh đề nào dưới
đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; .
Câu 22: Cho hàm số f x xác định trên
D. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng
đây đúng?
Câu 19: Hàm số y 2 x 2 x 4 nghịch biến trên những
C. 1;0 .
C. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 2;1 .
và có đồ
thị hàm số y f x là đường cong trong hình bên.
đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 .
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
LOVEBOOK.VN| 27
Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm
Dạng 2
The Best or Nothing
Bài toán chứa tham số
Bài tốn: Tìm điều kiện của tham số để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch
biến trên tập xác định, hoặc trên từng khoảng xác định.
Kiến thức cơ bản cần nắm
Cho hàm số y f x, m , với m là tham số, xác định trên một khoảng K.
a. Hàm số đồng biến trên K y 0 , x K và phương trình y 0 có hữu hạn
nghiệm.
b. Hàm số nghịch biến trên K y 0 , x K và phương trình y 0 có hữu
hạn nghiệm.
Chú ý:
Để xét dấu của y ta thường sử dụng phương pháp hàm số. Trong một số trường
hợp ta dùng định lý về dấu của tam thức bậc hai như sau:
Cho tam thức bậc hai g x ax2 bx c , a 0
a. Nếu 0 thì g x ln cùng dấu với hệ số a (với mọi x).
b. Nếu 0 thì g x ln cùng dấu với hệ số a (với mọi x
b
).
2a
c. Nếu 0 thì phương trình g x 0 ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 ,
khi đó g x cùng dấu với a với mọi x ; x1 x2 ; , g x trái dấu với hệ
số a với mọi x x1 ; x2 .
Các kiến thức cần sử dụng về tam thức bậc hai khi giải bài toán dạng này.
1. So sánh nghiệm x 1 ; x 2 của tam thức bậc hai dạng f x ax 2 bx c , a
0
với số 0.
Điều kiện để x1 x2 0
Điều kiện để 0 x1 x2
Điều kiện để x1 0 x2
0
là x1 x2 0
x x 0
2
1
0
là x1 x2 0
x x 0
2
1
là x1 x2 0
2. So sánh nghiệm x 1 ; x 2 của tam thức bậc hai dạng f x ax 2 bx c , a 0
với ; là hai số thực.
1. Muốn có x1 x2
ta phải có a. f 0.
2. Muốn có x2 x1
0
ta phải có a. f 0
x1 x2
2
3. Muốn có x1 x2
0
ta phải có a. f 0
x1 x2
2
4. Muốn có x1 x2
LOVEBOOK.VN| 28
a. f 0
ta phải có
a. f 0
Chinh phục Tốn 12 – Cơng Phá Tốn 3
Ngọc Huyền LB
5. Muốn có x1 x2
a. f 0
ta phải có
a. f 0
6. Muốn có x1 x2
a. f 0
ta phải có
a. f 0
7. Muốn có x1 x2
0
a. f 0
ta phải có a. f 0
x1 x2
2
Ví dụ minh họa
Tìm m để hàm số y f x ; m đơn điệu trên D. Trong đó D có thể là
; , ; , ; ,
, ...
Phương pháp chung
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số (lưu ý hàm số phải xác định trên D).
Bước 2: Điều kiện để y f x; m đơn điệu trên D. Chẳng hạn
- Hàm số y f x; m đồng biến trên D f x; m 0 với mọi x D. Dấu bằng
xảy ra tại hữu hạn điểm.
- Hàm số y f x; m nghịch biến trên D f x; m 0 với mọi x D. Dấu
bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
STUDY TIP
Trong một số bài tốn đơn
giản ta có thể thử bằng
lệnh MODE 7: TABLE của
máy tính cầm tay thay vì
làm các bước trong
phương pháp ở bên.
Cách 1: Cơ lập m.
Bước 3: Độc lập m ra khỏi biến số và đặt vế còn lại là g x ta được
m g x , x D
m g x , x D
Bước 4: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g x trên D.
Bước 5: Dựa vào bảng biến thiên kết luận
+ Khi m g x , x D m max g x
D
+ Khi m g x , x D m min g x
D
Cách 2: Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai đối với các hàm số bậc ba
có biểu thức đạo hàm là tam thức bậc hai (áp dụng bảng phía trên).
STUDY TIP
Khi xét hàm số bậc ba:
1. Nếu y 0 vơ nghiệm
hoặc có nghiệm kép: hàm
số đồng biến khi a 0 và
nghịch biến khi a 0.
2. Nếu y 0 có 2
nghiệm: hàm số có 2
khoảng đồng biến và 1
khoảng nghịch biến khi
a 0 và ngược lại.
* Với hàm số bậc ba dạng f x ax3 bx2 cx d, a 0 thì
a 0
2
f b 3ac 0
a 0
+ Hàm số nghịch biến trên
2
f b 3ac 0
+ Hàm số đồng biến trên
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số:
1
y x3 m 1 x2 m 1 x 1 đồng biến trên
3
A. m 1 hoặc m 2.
B. 2 m 1.
C. 2 m 1.
.
D. m 1 hoặc m 2.
LOVEBOOK.VN| 29
Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm
The Best or Nothing
Đáp án C.
Lời giải
Tập xác định: D
1
Xét hàm số y x3 m 1 x2 m 1 x 1 có y ' x2 2 m 1 x m 1
3
1
Do hệ số a 0 nên để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định thì phương
3
trình y 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép y 0, x .
0 m 1 m 1 0 1 m 1 0 2 m 1 .
2
Ví dụ 2: Cho hàm số y x3 mx2 4m 9 x 5 với m là tham số. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ; ?
A. 7.
B. 4.
C. 6.
D. 5.
Đáp án A.
Lời giải
TXĐ: D .
;
Đạo hàm y 3x2 2mx 4m 9 . Hàm số nghịch biến trên
y 0, x
khi
3x2 2mx 4m 9 0, x
m2 3 4m 9 0
m2 12m 27 0 9 m 3
Do m
nên m9; 8; 7; 6; 5; 4; 3
Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn u cầu bài tốn.
Ví dụ 3: Cho hàm số y x x2 x a . Tìm a để hàm số ln nghịch biến trên
.
1
C. a .
4
1
B. a .
4
1
A. a .
4
D. a.
Đáp án D.
Lời giải
STUDY TIP
Ở đây trước tiên, để hàm
số ln nghịch biến trên
thì hàm số phải xác
định trên
. Do vậy ta
phải tìm điều kiện để căn
thức ln xác định với
mọi số thực x.
Cách 1: Để hàm số xác định với mọi x
1
0 1 4a 0 a .
4
1
Với a thì
4
Tính đạo hàm: y 1
x2 x a 0 , x
2x 1
2 x2 x a
Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên
y 0, x
hữu hạn điểm.
STUDY TIP
Đến đây nhiều độc giả
chọn luôn B, hoặc C là sai,
nên kết hợp cả điều kiện
ban đầu, từ đó rút ra kết
luận.
LOVEBOOK.VN| 30
Ta có y 0 1
2x 1
2 x2 x a
0
2x 1
2 x2 x a
1
1
x
x
2
Lúc này: 2x 1 2 x2 x a
2
1 4 a
a 1
4
1
. Dấu bằng xảy ra tại
Chinh phục Tốn 12 – Cơng Phá Tốn 3
Ngọc Huyền LB
Kết hợp với điều kiện để hàm số xác định với mọi số thực x thì ta thấy khơng
có giá trị nào của a thỏa mãn.
1
1
0, a .
Cách 2: Với x 0 thì y 1
4
2 a
Vậy khơng có giá trị nào của a để y 0, x .
Kết quả
Sau bài toán trên ta thấy, với các bài toán hàm căn thức, hàm phân thức nếu đề
bài yêu cầu tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên
, hoặc trên
khoảng I nào đó, thì ta cần tìm điều kiện để hàm số ln xác định trên
hoặc
trên khoảng I đó.
x3
Ví dụ 4: Tất cả các giá trị của m để hàm số y
trên 0; là
A. m 1.
3x2
3mx
C. m ; 1 1; .
B. m 1.
1 nghịch biến
D. m 1.
Đáp án B.
Lời giải
STUDY TIP
Ở bài tốn trong ví dụ 4,
hàm số y h x có tham
số m có thể cơ lập được
nên ta hồn tồn có thể áp
dụng cách cơ lập m để tìm
điều kiện của m nhanh
hơn việc sử dụng định lý
về dấu của tam thức bậc
hai.
Để hàm số đã cho nghịch biến trên 0;
y h x 3x2 6x 3m 0, x 0;
m x2 2x g x , x 0; .
Xét hàm số g x x2 2x trên 0; ta có g x 2x 2 0 x 1.
Bảng biến thiên:
x
0
g x
1
0
g x
0
1
Do m g x , x 0; m min g x 1. Vậy m 1 thỏa mãn u cầu.
0;
Bài tốn trong ví dụ 4 là một bài tốn ta hồn tồn có thể cô lập được m và
giải quyết bằng BBT một cách nhanh gọn. Sau đây là một bài toán về tìm m để
hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước mà ta khơng cơ lập được m.
Ví dụ 5: Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
y 2x3 3 2m 1 x2 6m m 1 x 1 đồng biến trên khoảng 2; là
A. m ;1 .
B. m 1; .
C. m \1 .
D. m 1.
Đáp án A.
Lời giải
STUDY TIP
Ở đây ta kết luận được
m 1 2 bởi vì nếu m 1
hoặc cả m và m 1 đều
nằm trong khoảng 2;
thì lúc đó khoảng này có
nhiều hơn một khoảng
đơn điệu, điều này trái với
yêu cầu bài toán.
Hàm số y 2x 3 2m 1 x 6m m 1 x 1 đồng biến trên khoảng 2;
3
2
y 6x2 6 2m 1 x 6m2 6m 0, x 2; .
x m
Ta có y 9 và phương trình y 0 có hai nghiệm
x m 1
Ta có bảng xét dấu của y
x
y
m
0
m1
0
Nhìn vào bảng xét dấu ta thấy để y 0, x 2 thì m 1 2 m 1.
LOVEBOOK.VN| 31
Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm
The Best or Nothing
Ví dụ 6: Điều kiện của tham số m để hàm số f x 2x3 3x2 6mx 1 nghịch
biến trên 0; 2 là
A. m
B. m 6.
6.
C. m
1
.
4
D.
6
m
1
4
Đáp án A.
Chú ý
Đối với dạng toán này,
nếu dấu của đạo hàm phụ
thuộc vào dấu một tam
thức bậc hai thì ta phải
chia hai trường hợp:
* TH1:
Tùy vào
dấu của hệ số a mà kết
luận hàm số luôn đồng
biến hoặc nghịch biến.
* TH2:
Ta lập bảng
biến thiên và sử dụng
định lý Viet và bảng so
sánh nghiệm ở phần trên
để giải quyết bài toán.
Lời giải
Tập xác định: D .
Ta có f x 6x2 6x 6m 6 x2 x m .
Xét phương trình x x m 0 có 1 4m.
1
* Với m ta có 0 nên f x 0, x do đó hàm số luôn đồng biến trên
4
(không thỏa mãn).
1
* Với m ta có 0 nên phương trình f x 0 có hai nghiệm phân biệt
4
x1 ; x2 x1 x2 . Ta có bảng biến thiên của hàm số f x
2
x
f x
x2
x1
0
0
f x
Từ bảng biến thiên ta thấy điều kiện cần và đủ để hàm số nghịch biến trên 0; 2
là phương trình x2 x m 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn
m 0
1. f 0 0
x1 0 2 x2
m 6 (áp dụng bảng ở phần lý
m 6
1. f 2 0
thuyết về so sánh nghiệm của tam thức bậc hai).
Ví dụ 7: Tất cả các giá trị của m để hàm số f x x3 3mx2 3 2m 1 x đồng
biến trên 2; 3 là
3
A. m .
2
3
D. m ; m 1.
2
3
C. m .
2
3
B. m .
2
Đáp án C.
Lời giải
Tập xác định: D .
x 1
Ta có f x 3x2 6mx 6m 3; f x 0
x 2m 1
* Nếu m 1 thì f x 0, x . Vậy hàm số ln đồng biến trên
STUDY TIP
Với bài tốn này, ta chú ý
có 3 trường hợp. Nhiều
độc giả qn khơng xét
trường hợp m 1 nên dẫn
đến kết quả sai.
hàm số cũng đồng biến trên 2; 3 .
* Nếu m 1 thì ta có bảng biến thiên của hàm số f x là:
x
f x
f x
LOVEBOOK.VN| 32
1
0
2m 1
0
. Do vậy
Chinh phục Tốn 12 – Cơng Phá Tốn 3
Ngọc Huyền LB
m 1
3
Để hàm số đồng biến trên 2; 3 thì
1 m
2
2 m 1 2
* Nếu m 1 thì ta có bảng biến thiên của f x
x
f x
2m 1
0
1
0
f x
Dễ thấy hàm số hiển nhiên đồng biến trên 2; 3 .
Kết hợp cả ba trường hợp thì ta có m
3
thỏa mãn u cầu đề bài.
2
Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
y 2sin3 x 3sin2 x msin x đồng biến trên khoảng 0; .
2
3
3
3
A. m 0.
B. m .
C. m .
D. m .
2
2
2
Đáp án C.
STUDY TIP
phương
trình
Nếu
f t 0 vơ nghiệm hoặc
có nghiệm
f t 0, t
kép
thì
hàm
số f t luôn đồng biến
trên 0;1 .
Lời giải
Cách 1: Do hàm số t sin x đồng biến trên 0; nên đặt sin x t; t 0;1 .
2
Khi đó ta có hàm số y f t 2t 3 3t 2 mt; y 6t 2 6t m
Để hàm số đã cho đồng biến trên 0; thì hàm số y f t phải đồng biến
2
trên 0; 1 phương trình y ' 0 hoặc là vơ nghiệm, có nghiệm kép (1) ; hoặc
t t 0 1
là có hai nghiệm t1 t2 thỏa mãn 1 2
(2).
0 1 t1 t2
Trường hợp (1): phương trình y 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép
0 9 6m 0 m
3
.
2
3
m
2
0
m
6 0
t1 t2 0
t t 0
1
2
1 0
Trường hợp (2): Thỏa mãn
(loại)
0
3
m
2
t1 1 t2 1 0
m
1 1 0
t1 t2 1
6
2
1
1
2
Ở đây ta có thể loại ln trường hợp (2) bởi xét tổng hai nghiệm khơng thỏa
mãn.
Cách 2: Ở đây chỉ có hai trường hợp: một là vơ nghiệm, có nghiệm kép; hai là
0; 1 nằm ngoài khoảng hai nghiệm.
LOVEBOOK.VN| 33
Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm
The Best or Nothing
3
3
nên ta xét
trước. Do phương
2
2
án C có dấu do vậy, ta sẽ xét dấu bằng trước, nếu dấu bằng thỏa mãn thì ta
loại ln B và D
Nhận thấy 3 phương án B, C, D cùng có số
y
2
t
O
1
Hình 1.4
3
3
1
1
Với m thì y 6t 2 6t 6 t 0 t (phương trình y ' 0 có
2
2
2
2
nghiệm kép, thỏa mãn). Đến đây ta loại ln B và D.
3
Hình 1.4 là đồ thị hàm số y f t khi m .
2
3
Tiếp theo ta chỉ cần xét đến A. Ta sẽ thử m 1 ; .
2
3 3 3 3
3 3
1
, nhận xét 0
6
6
6
(không thỏa mãn). Vậy loại A, chọn C.
Hình 1.5 là đồ thị hàm số y f t khi m 1 . Vậy suy luận của ta là đúng.
Với m 1 thì y 6t 2 6t 1 0 t
y
t
O
1
Do y 6t 2 6t m là một tam thức bậc hai có hệ số a 0 nên
1. Nếu 0 thì y cùng dấu với hệ số a (mà a 0 ) nên hàm số luôn đồng biến.
2. Nếu 0 thì phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt t1 ; t 2 . Khi đó, trong
khoảng hai nghiệm thì y khác dấu với a và ngồi khoảng hai nghiệm thì y cùng
dấu với a. Nên để y 0, t 0;1 thì 0;1 phải nằm ngồi khoảng hai nghiệm.
Nhận xét:
Hình 1.5
Ở đầu lời giải cách 1, tơi có chỉ rõ rằng “Do hàm số y sin x đồng biến trên 0;
2
nên đặt sin x t; t 0; 1 ” bởi khi đặt hàm hợp, ta cần lưu ý điều kiện của hàm
hợp. Ở bài toán trên nếu thay sinx bằng cos x ; lúc này, nếu đặt cos x t và tiếp
3
tục giải như trên thì kết quả đạt được m là hoàn toàn sai.
2
3
Thật vậy: Với m 2 ; , hàm số y 2 cos 3 x 3cos 2 x 2 cos x nghịch biến
2
trên 0; .
2
Tiếp theo để hiểu rõ hơn vấn đề này, ta xét ví dụ sau:
Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y x4 2 m x2 4 2m nghịch
biến trên 1; 0 .
A. m 4.
C. m 2.
B. m 4.
D. m 2.
Lời giải sai
Nếu làm theo như bài toán trên, ta đặt t x 2 , do x 1; 0 nên t 0;1 .
Khi đó để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì y f t t 2 2 m t 4 2m phải
nghịch biến trên 0; 1 .
Ta có y f t 2t 2 m
Hàm số f t nghịch biến trên 0; 1 f t 0 , t 0;1
m 2t 2 , t 0;1 m 4 , chọn A.
LOVEBOOK.VN| 34
Chinh phục Tốn 12 – Cơng Phá Tốn 3
Ngọc Huyền LB
Nhận xét: Đây là kết quả sai. Thật vậy nếu thử m 2; m 1;... vẫn thỏa mãn yêu
cầu đề bài.
Lời giải đúng
Đáp án C.
Cách 1: Ta đặt t x 2 , do x 1; 0 nên t 0;1 .
Khi đó để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì y f t t 2 2 m t 4 2m phải
đồng biến trên 0; 1 .
Ta có y f t 2t 2 m
Hàm số f t đồng biến trên 0; 1 f t 0 , t 0;1
m 2t 2 , t 0;1 m 2
Cách 2: Xét hàm số y x4 2 m x2 4 2m có
y 4x3 2. 2 m .x 2x 2x2 2 m
Để hàm số đã cho nghịch biến trên 1; 0 thì y 0, x 1; 0 .
Ta có 2x 0, x 1; 0 , nên để thỏa mãn điều kiện thì
2x
2
2 m 0, x 1; 0 2 m 0 m 2 .
Như vậy, ta rút ra nhận xét sau:
Xét hàm số f x g u x trên I (với I là khoảng (đoạn), nửa khoảng).
Đặt u x t; t K (với K là một khoảng (đoạn), nửa khoảng được tính chặt chẽ
theo điều kiện của x).
1. Nếu u x là hàm số đồng biến trên I thì hàm số thu được sau khi đặt ẩn phụ
hay chính là hàm g t cùng tính đơn điệu trên K với hàm số ban đầu.
2. Nếu u x là hàm số nghịch biến trên I thì thường hàm số thu được sau khi đặt
ẩn phụ hay chính là hàm g t ngược tính đơn điệu trên K với hàm số ban đầu.
Thường trong trường hợp này ta không đặt ẩn mà giải quyết bài tốn bằng cách
đạo hàm trực tiếp.
Ví dụ 9: Điều kiện cần và đủ của m để hàm số y
mx 5
đồng biến trên từng
x1
khoảng xác định là
C. m 5.
B. m 5.
A. m 5.
D. m 5
Đáp án D.
Tập xác định: D \1.
Ta có y '
m5
x 1
2
Lời giải
. Để hàm số đã cho luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
thì m 5 0 m 5 .
Hàm số dạng y
ad bc
ax b
luôn đơn
; ad bc 0; c 0 có đạo hàm y '
2
cx d
cx d
điệu trên từng khoảng xác định. (chứ không phải trên tập xác định)
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi ad bc 0, nghịch biến trên
từng khoảng xác định khi ad bc 0 .
LOVEBOOK.VN| 35
Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm
The Best or Nothing
mx 2 2m
1 ( m là tham số). Tìm m để hàm số 1
xm
đồng biến trên từng khoảng xác định.
Ví dụ 10: Cho hàm số y
B. 3 m 1.
A. 3 m 1.
m1
C.
.
m 3
m 1 3
D.
.
m 1 3
Đáp án D.
Phân tích: Một bài tốn về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nhưng có tham
số ở mẫu. Nếu bài tốn hỏi “Tìm m để hàm số 1 nghịch biến (hoặc đồng biến)
trên một khoảng a , b nhất định” thì bài tốn lại phải thêm điều kiện, tuy
nhiên, ở đây ta có thể giải đơn giản như sau:
Lời giải
Điều kiện: x m .
Ta có y '
m2 2 m 2
x m
2
. Để hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định
m 1 3
thì m2 2 m 2 0
.
m 1 3
x 2 2m
đồng biến trên 1; 2 .
xm
2
2
B. m 1.
C. 2 m .
D. m 1.
3
3
Ví dụ 11: Tìm m để hàm số y
2
A. m .
3
Đáp án B.
STUDY TIP
Hàm số đơn điệu trên
khoảng nào thì phải xác
định trên khoảng đó trước.
Do vậy ở đây cần có điều
kiện cho m 1; 2 .
Tập xác định: D
\m.
Lời giải
Để hàm số đã cho đồng biến trên 1; 2 thì y ' 0 với mọi x 1; 2
2
3m 2 0
m
3
m 2 2m 0
m 1
m1
m 1
m
1;
2
m 2
m 2
Chú ý:
Phải có điều kiện m nằm ngồi khoảng 1; 2 bởi nếu m nằm trong khoảng
1; 2
1; 2
thì hàm số bị gián đoạn trên 1; 2 . Tức là không thể đồng biến trên
được. Đây là phần mà tôi muốn nhấn mạnh với q độc giả. Bởi nếu
khơng có điều kiện đó, sẽ chọn thành A là sai.
Ví dụ 12: Cho hàm số y
mx 2m 3
, m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của
xm
m sao cho hàm số nghịch biến trên khoảng 2; .
A. m ; 3 1; 2 .
B. m ; 3 1; .
C. m ; 3 .
D. m 1; .
Đáp án A.
LOVEBOOK.VN| 36
Chinh phục Tốn 12 – Cơng Phá Tốn 3
Ngọc Huyền LB
Lời giải
Từ STUDY TIP trên ta có được hàm số đơn điệu trên khoảng nào thì phải xác
định trong khoảng đó trước, do vậy trong ví dụ này, ta phải có điều kiện để
m 2; .
Tập xác định: D
Ta có y '
\m
m2 2 m 3
x m
2
. Hàm số y
mx 2m 3
nghịch biến trên 2; khi
xm
và chỉ khi:
m 1
2
y ' 0
1 m 2
m 2m 3 0
m 3
m 3
m 2
m 2; m 2
Phân tích sai lầm: Ở đây nhiều độc giả không xét điều kiện để hàm số luôn
xác định trên 2; nên chọn B là sai.
Tìm m để hàm số bậc ba f x; m ax 3 bx 2 c x d đơn điệu trên khoảng
có độ dài bằng l.
Ví dụ 13: Giá trị của m để hàm số y x3 3x2 mx m nghịch biến trên đoạn
STUDY TIP
Trong bài toán này do hệ số
bậc cao nhất của tam thức
có độ dài bằng 2 là
A. m 2.
3x2 6x m là a 3 0
nên áp dụng quy tắc “trong
trái ngồi cùng” thì trong
khoảng hai nghiệm giá trị
của tam thức sẽ mang dấu
“–” nên để hàm số ban đầu
nghịch biến trên đoạn có độ
dài bằng 2 thì x1 x 2 2.
Đáp án D.
B. m 4.
C. m 1.
D. m 0.
Lời giải
Để hàm số đã cho nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 2
y 3x2 6x m 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho x1 x2 2
m 3
0
9 3m 0
m 0.
2
2
4m
x1 x2 4
x1 x2 4 x1x2 4
4 3 4
Ví dụ 14: Tìm tham số m để hàm số y
1 3
x 2 x 2 mx 10 nghịch biến trên
3
đoạn có độ dài bằng 1.
15
.
4
STUDY TIP
Hàm số bậc ba đơn điệu
(nghịch biến khi a 0 hoặc
đồng biến khi a 0 ) trên
một khoảng có độ dài bằng
l khi phương trình y 0 có
Đáp án C.
hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2
y x2 4x m 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho x1 x2 1
thỏa mãn:
x
1
x2 4x1x2 l2 .
2
A. m 2.
B. m 4.
C. m
D. m
15
.
4
Lời giải
Để hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1
0
x1 x2
2
m 4
15
4 m 0
2
15 m .
4
1 x1 x2 4 x1 x2 1 m
4
LOVEBOOK.VN| 37
Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm
The Best or Nothing
Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 217
Câu 1: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho
hàm số y
e m2
x
e m
x
2
A. m
1; 2 .
1
đồng biến trên khoảng ln ; 0 .
4
1 1
B. m ; .
2 2
1 1
D. m ; 1; 2 .
2 2
C. m 1; 2 .
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm
x3
số y
đồng biến trên từng khoảng xác định của
xm
nó.
A. m 3. B. m 3. C. m 3.
D. m 3.
Câu 3: Cho hàm số y
m 1
x 1 2
. Tìm tất cả các
x 1 m
giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng
17; 37 .
m2
.
B. m 6
4 m 1
A. 4 m 1.
m2
.
C.
D. 1 m 2.
m 4
Câu 4: Xác định các giá trị của tham số m để hàm số
y x3 3mx2 m nghịch biến trên khoảng 0; 1 .
1
1
A. m . B. m .
C. m 0.
D. m 0.
2
2
Câu 5: Để hàm số y x 3 3m2 x đồng biến trên
thì:
C. m 0.
D. m 0.
1 3
Câu 6: Cho hàm số y x mx2 3m 2 x 1.
3
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch
biến trên khoảng ; .
A. m 0.
B. m 0.
m2
.
A.
m 1
B. m 2.
C. 2 m 1.
D. 1 m 0.
Câu 7: Cho hàm số y
m 1 x 2
. Tìm tất cả các giá
xm
trị của tham số m để hàm số đồng biến trên từng
khoảng xác định.
A. 2 m 1.
C. 2 m 1.
LOVEBOOK.VN| 38
m1
.
B.
m 2
m1
.
D.
m 2
Câu 8: Cho hàm số y x3 3x2 mx 4 1 . Tìm tất cả
các giá trị của tham số m để hàm số 1 đồng biến trên
khoảng ; 0 .
A. m 1.
B. m 3.
C. m 3.
D. m 3.
Câu 9: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số
y sin x cos x 2017 2 mx đồng biến trên
.
A. m 2017.
B. m 0.
1
1
C. m
D. m
.
.
2017
2017
Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
2 sin x 1
đồng biến trên khoảng 0; .
y
sin x m
2
A. m 1.
B. m 1.
C. m 0.
D. m 1.
Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
sin x m
hàm số y
nghịch biến trên ; .
sin x m
2
A. m 0 hoặc m 1.
B. m 0.
C. 0 m 1.
D. m 1.
Câu 12: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
1
y x3 m 1 x2 m 3 x 10 đồng biến trong
3
khoảng 0; 3 .
12
12
7
D. m .
. B. m . C. m .
12
7
7
Câu 13: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
A. m
y mx3 mx2 m m 1 x 2 đồng biến trên
.
4
và m 0.
3
4
A. m .
3
B. m
4
C. m 0 hoặc m .
3
4
D. m .
3
Câu 14: Giá trị của m để hàm số
y m 1 x3 3 m 1 x2 3 2m 3 x m nghịch biến
trên
là
A. m 1.
B. m 1.
C. m 1.
D. m 1.
Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
1
2
y x3 m 1 x2 2m 3 x
3
3
đồng
biến
trên
1; .
A. m 2.
B. m 2.
C. m 1.
D. m 1.
Chinh phục Tốn 12 – Cơng Phá Tốn 3
Ngọc Huyền LB
1
2
Câu 23: Hàm số: y x3 m 1 x2 2m 5 x
3
3
nghịch biến trên
thì điều kiện của m là
Câu 16: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số
2
1
mx
y x3
2x 2017 đồng biến trên
3
2
.
A. 2 2 m 2 2.
B. m 2 2.
C. 2 2 m .
D. 2 2 m 2 2.
Câu 17: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m để hàm số y x3 m 1 x2 3x 1 đồng biến trên
khoảng từ ; .
A.
4;2 .
B. ; 4 2; .
C. ; 4 2; .
D. 4;2 .
trên đoạn có độ dài bằng 2.
11
.
3
D. m
3
m
D. 2 m 2.
Câu 24: Tìm các giá trị của m sao cho hàm số y
nghịch biến trên khoảng 2; .
A. 2 m 1.
B. m 2.
C. m 2.
D. m 2.
14
.
3
3mx2 3 m 1 x 2
nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 4 là
m để hàm số y mx m 1 x 2 1 nghịch biến
trên D 2; .
A. 1 m 2.
B. 1 m 2.
C. m 2 hoặc m 1.
D. m 2 hoặc m 1.
mx 3
. Tất cả các giá trị của
xm4
m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của
A. m 1; 2.
Câu 27: Cho hàm số y
1 21 1 5
B. m
;
.
2
2
nó là
1 5 1 21
C. m
;
.
2
2
B. m
2; 2 .
C. m 2; 1 .
D. m 2; 1 .
mx 4
xm
m 3
x mx2 3x 1 (m là tham
3
số thực). Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hàm số trên
Câu 21: Cho hàm số y
.
A. m 1.
B. m 0.
C. m 2. D. m 3.
Câu 22: Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để
hàm số y m sin x 7 x 5m 3 đồng biến trên .
luôn đồng biến trên
A. 7 m 7.
B. m 1.
C. m 7.
D. m 7.
B. m 1.
C. 1 m 3.
D. 1 m 3.
y mx3 mx2 m m 1 x 2 đồng biến trên
luôn nghịch biến trên khoảng ; 1 là
A. m2; 1.
A. m 3.
Câu 28: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
1 21 1 21
D. m ;
; .
2 2
Câu 20: Tất cả các giá trị của m để hàm số y
x1
xm
B. m 1.
D. 2 m 1.
mx 2
Câu 26: Tìm m để hàm số y
nghịch biến
xm3
trên các khoảng xác định của nó.
Câu 19: Tất cả các giá trị của m để
C : y x
C. m 2.
A. m 0.
C. m 1.
7
B. m .
3
5
C. m .
3
B. 2 m 2.
Câu 25: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
Câu 18: Tìm m để hàm số y x3 x2 2 m x 1 tăng
A. m
A. m 2.
4
A. m .
3
B. m
.
4
và m 0.
3
4
4
.
D. m .
3
3
Câu 29: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để
C. m 0 hoặc m
3 x 3
nghịch biến trên 1; 1 .
3 x m
1
1
A. m .
B. m 3.
3
3
1
C. m .
D. m 3.
3
Câu 30: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho
hàm số y
hàm số y f x
m 2 sin x
1 cos2 x
nghịch biến trên khoảng
0; .
6
A. m 1.
B. m 0 .
C. m
9
. D. 3 m 5.
2
LOVEBOOK.VN| 39
