Tài liệu Bài tập phương pháp tính ứng dụng chuyên ngành kĩ thuật pdf

Chương 2
Bài 1
a. Tìm khoảng phân li nghiệm
Đặt f(x) = x – sinx – 0,25
Có
f’(x) = 1 – cosx mà -1 <= cosx <= 1 hay 0 <= 1 – cosx <= 2
Hàm cosx tuần hoàn với chu kì 2π nên ta lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-π,
+π]
x
-π
0
π
f’(x) 2 + 0 + 2
f(x)
-π-0,25
-0,25
-0,25
π-0,25
Ta có f(π/4) = -0,1718 < 0
f(π/2) = 0,32 > 0
=> f(π/4).f(π/2) < 0
Vậy khoảng phân li nghiệm của phương trình là [π/4, π/2]
b. Chọn phương pháp lặp
Từ phương trình đầu => x = sinx + 0,25
Chọn ϕ(x) = sinx + 0,25 và ϕ’(x) = cosx
Trong đoạn [π/4, π/2] có
1
2
2
)('0 <=≤≤ qx
ϕ

nên phương pháp lặp hội tụ
Do ϕ’(x) > 0 nên ta chọn x
0
= π/4
x
0
= π/4
x
n
= ϕ(x
n-1
) = sin(x
n-1
) + 0,25
Công thức tính sai số |x – x
n
| ≤ q/(1-q).|x
n
– x
n-1
|
x
n
|x – x
n
|
1
0.95682518 0.12149875
2
1.06736662 0.078164602

3
1.12593311 0.041412762
4
1.15266954 0.018905511
5
1.16385116 0.007906599
6
1.16833423 0.003170009
7
1.17009942 0.001248178
Qui tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân bằng cách viết
x – 1.17 = (x – x
7
+ x
7
-1.17)
|x – 1.17| ≤ |x – x
7
| + |x
7
– 1.17| = 0,001248178 + 0,009942 = 0,001348
|x – 1.17| ≤ 0,001348 ≤ 0.2.10
-2
< 0.5.10
-2
 Cả 2 chữ số lẻ thập phân trong kết quả này là đáng tin
Vậy có x = 1,17 ± 0,002
Bài 2:
a. Tìm khoảng phân li nghiệm
Đặt f(x) = 1,8x

2
- sin10x (*)
Ta có:
f’(x) = 3,6x – 10cos10x
f’’(x) = 3,6 + 100sin10x
Thay (*) bằng phương trình 1,8x
2
= sin10x
Sử dụng phương pháp đồ thị ta thấy:
f(π/20) = 18π
2
/400 – 1 ≈ - 0,96 < 0
f(π/10) = 18π
2
/100 ≈ 0,18 > 0
Vậy [π/20; π/10] là khoảng phân li nghiệm của phương trình
b. Tìm nghiệm
Vì f’’(x) > 0, ∀x ∈ [π/20; π/10] nên để phương pháp hội tụ ta chọn x
0
= π/10 vì f(π/10) >
0 cùng dấu với f’’(x
0
)
π/10
π/5
π/20
x
1
0,44
18x

2
sin10x
y
Ta có công thức lặp
10
10cos106,3
10sin8,1
)('
)(
0
11
1
2
1
1
1
1
1
π
=
−
−
−=−=
−−
−−
−
−
−
−
xvoi

xx
xx
x
xf
xf
xx
nn
nn
n
n
n
nn
Sai sốđược tính theo công thức
m
xf
x
n
n
)(
≤−
α
trong đó
1020
05.0)('
ππ
≤≤>=≥ xmxf
Với sai số tuyệt đối không quá 10
-5
ta có kết quả tính như sau
i x

i
Sai số
0 0,314
1
0.298198201 0.002252
2
0.298095328 2.07E-07
Ta có |x – x
2
| ≤ 2,07.10
-7
< 10
-5
nên quá trình tính dừng lại
Vậy nghiệm dương của phương trình tìm được là: x = 0,29809 ± 10
-5
Bài 3.b
a. Tìm khoảng phân li nghiệm
Đặt f(x) = x
2
- cosπx
Ta có f’(x) = 2x + πsinπx
Lập bảng biến thiên
x
-∞
0
+∞
f’(x) + 0 +
f(x)
+∞

-1
+∞
Vậy đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm => phương trình có 2 nghiệm thực
Ta có
f(-0,5) = 1 + 0 = 1 > 0
f(0) = -1 < 0
Vậy khoảng [-0,5; 0] chứa nghiệm của phương trình
Ta có
f(0,5) = 1 + 0 = 1 > 0
f(0) = -1 < 0
Vậy khoảng [0 ; 0,5] chứa nghiệm thứ hai của phương trình
b. Tìm nghiêm
• Tìm nghiệm trong khoảng [-0,5 ; 0]
f’’(x) = 2 + π
2
cosπx > 0 ∀∈[-0,5 ; 0]
Để phương pháp hội tụ ta chọn x
0
= 0,5 vì f(0,5) > 0 cùng dấu với f’’(x
0
)
|f’(x)| >= m = 0,1>0
i x
i
Sai số
0 -0,5
1
-0.439806 0.047609
2
-0.438605 2.79E-05

3
-0.438604 9.7E-12
Ta có |x – x
3
| ≤ 9,7.10
-12
< 10
-5
nên quá trình tính dừng lại
Vậy nghiệm thứ nhất của phương trình tìm được là: x = -0,438604 ± 10
-5
Bài 3.c
a. Tìm khoảng phân li nghiệm
Từ phương trình trên => logx = (x-2)/4
Sử dụng phương pháp đồ thị ta thấy
f(4) ≈ 0,2 > 0
f(5) ≈ -0,1 < 0
Vậy [4, 5] là khoảng phân li nghiệm của phương trình
b. Tìm nghiệm
2
1
10ln
2
)(' −=
x
xf
10ln
2
)(''
2

x
xf −=
Ta thấy f’’(x) < 0 ∀x ∈[4; 5]. Để phương pháp hội tụ ta chọn x = 5 vì f(5) < 0 cùng dấu
với f’’
Ta có công thức lặp
5
2
1
10ln
2
1
2
lg2
)('
)(
0
1
1
1
1
=
−
+−
−=−=
−
−
−
−
xvoi
x

x
x
x
xf
xf
xx
n
n
n
nn
Sai sốđược tính theo công thức
m
xf
x
n
n
)(
≤−
α
trong đó
5402.0)(' ≤≤>=≥ xmxf
1
2 3
4
5
1
0,5
(x-2)/4
logx
i x

i
Sai số
0 5
1
4.687203 0.00887
2
4.681566 3.14E-06
3
4.681564 3.96E-13
Ta có |x – x
3
| ≤ 3,96.10
-13
< 10
-5
nên quá trình tính dừng lại
Vậy nghiệm của phương trình tìm được là: x = 4.681564± 10
-5
Chương 3
Bài 3
Đưa hệ về dạng x = Bx + g ta có :
x
1
= 0,795 - 0,02x
1
+ 0,05x
2
+ 0,1x
3
x

2
= 0,849 +0,11x
1
- 0,03x
2
+0,05x
3
x
3
= 1,398 +0,11x
1
+0,12x
2
- 0,04x
3
Với










−
−
−
=

04,012,011,0
05,003,011,0
1,005,002,0
B











=
398,1
849,0
795,0
G
Kiểm tra điều kiện hội tụ :
17,01,005,002,0
3
1
1
=++=
∑
=
j
j

b
19,005,003,011,0
3
1
2
=++=
∑
=j
j
b
27,004,012,011,0
3
1
3
=++=
∑
=j
j
b
Do đó ||B||
0
= max {0,17 ; 0,19 ; 0,27} = 0,27 < 1
Vậy ta có phương pháp lặp đơn
x
(m)
= Bx
(m-1)
+ g
hội tụ với mọi x
(0)

chọn trước
Chọn x
(0)
= { 0,795 ; 0,849 ; 1,398} ta có kết quả tính như sau :
m 0 1 2 3
x
1
(m)
0,795
0.96135 0.977958 0.981555
x
2
(m)
0,849
0.98088 1.001893 1.004528
x
3
(m)
1,398
1.53141 1.560198 1.563395
Tính sai số :
||x
(3)
– x
(2)
||
0
= max {|x
i
(3)

– x
i
(2)
|}, i = 1,2,3
= max {0.003597; 0.002636; 0.003197} = 0.003597
Áp dụng công thức
p
mm
p
p
p
m
xx
B
B
x ||||
||||1
||||
||||
)1()()( −
−
−
≤−
α
Ta có
00133.0003597,0
27,01
27,0
||||
)3(

≤
−
≤−
α
x
Vậy sai số tuyệt đối nhỏ hơn 1,4.10
-3
Bài 4
Đưa hệ về dạng x = Bx + g ta có:
x
1
= 1.25 – 0.1x
2
– 0.16x
3
x
2
= 1.30 – 0.07x
1
– 0.05x
3
x
3
= 1.49 – 0.12x
1
- 0.17x
2
Với











−−
−−
−−
=
017.012.0
05,0007.0
16.01.00
B











=
49,1
3.1

25.1
G
Kiểm tra điều kiện hội tụ :
26,016,01,00
3
1
1
=++=
∑
=
j
j
b
12,005,0007,0
3
1
2
=++=
∑
=j
j
b
29,0017,012,0
3
1
3
=++=
∑
=j
j

b
Do đó ||B||
0
= max {0,26 ; 0,12 ; 0,29} = 0,29 < 1
Vậy ta có phương pháp lặp đơn
x
(m)
= Bx
(m-1)
+ g
hội tụ với mọi x
(0)
chọn trước
Chọn x
(0)
= { 1.25 ; 1.3 ; 1,49} ta có kết quả tính như sau :
m 0 1 2 3 4 5 6 7
x
1
(m)
1.25
0.8816 0.95716 0.941247 0.944791 0.94405 0.94421 0.944178
x
2
(m)
1.3
1.138 1.182338 1.173461 1.175406 1.174987 1.175076 1.175057
x
3
(m)

1.49
1.119 1.190748 1.174143 1.177562 1.176806 1.176966 1.176932
Sai số
0.371 0.07556 0.01660 0.0035444 0.000755 0.000162 3.47E-05
Tính sai số :
||x
(7)
– x
(6)
||
0
= max {|x
i
(7)
– x
i
(6)
|}, i = 1,2,3
= max {3,46.10
-5
; 1,94.10
-5
; 3,47.10
-5
} = 3,47.10
-5
< 0,5.10
-4
CHƯƠNG 4
Bài 1

Cho hàm số y = 2
x
với các giá trị trong bảng:
x 3,50 3,55 3,60 3,65 3,70
2
x
33,115 34,813 36,598 38,475 40,477
Các nút x
i
cách đều với h = 0,1
Lập bảng sai phân
i x 2
x
∆y ∆
2
y ∆
3
y ∆
4
y
0 3.5 33.115
1.698
1 3.55 34.813 0.087
1.785 0.005
2 3.6 36.598 0.092 0.028
1.877 0.033
3 3.65 38.475 0.125
2.002
4 3.7 40.477
i x 2

x
∇y ∇
2
y ∇
3
y ∇
4
y
Đa thức Niuton tiến xuất phát từ x
0
= 3,5 với h = 0,05
028,0.
!4
)3)(2)(1(
005,0.
!3
)2)(1(
087.0.
!2
)1(
698.1.115,33)(
05,05,3
−−−
+
−−
+
−
++=
+=
ttttttttt

txp
tx
Bài 2
Các nút x
i
cách đều với h = 0,1
Lập bảng sai phân
x y
1 0.8427
0.0375
1.1 0.8802 -0.0074
0.0301 0.001
1.2 0.9103 -0.0064 -1.11022E-16
0.0237 0.001 -1E-04
1.3 0.934 -0.0054 -1E-04 0.0002
0.0183 0.0009 1E-04 -0.0003
1.4 0.9523 -0.0045 1.11022E-16 -0.0001 3.33067E-16
0.0138 0.0009 -2.22045E-16 -0.0003 0.0016
1.5 0.9661 -0.0036 -1.11022E-16 -0.0004 0.0016 -0.0062
0.0102 0.0009 -0.0004 0.0013
-
0.0046
1.6 0.9763 -0.0027 -0.0004 0.0009 -0.003
0.0075 0.0005 0.0005 -0.0017
1.7 0.9838 -0.0022 0.0001 -0.0008
0.0053 0.0006 -0.0003
1.8 0.9891 -0.0016 -0.0002
0.0037 0.0004
1.9 0.9928 -0.0012
0.0025

2 0.9953

Vì 1,4 < 1,43 < 1,5 nên ta dùng đa thức Niuton tiến xuất phát từ x
0
= 1 với h = 0,1
Đa thức Niuton tiến xuất phát từ x
0
= 1 với h = 0,1
Ứng với x = 1,4 ta có 1,43 = 1 + 0,1t => t = 4,3
Thay t = 4,3 vào hệ ta được :
Φ(1,43) ≈ p(1 + 0,1 x 4,3) = 0.956874399
Bài 4
x
i
0.78 1.56 2.34 3.12 3.81
y
i
2.5 1.2 1.12 2.25 4.28
Giải
Lập bảng số
x
i
y
i
x
i
2
x
i
3

x
i
4
x
i
y
i
x
i
2
y
i
n=5
0.78 2.5 0.6084 0.474552 0.370151 1.95 1.521
1.56 1.2 2.4336 3.796416 5.922409 1.872 2.92032
2.34 1.12 5.4756 12.8129 29.9822 2.6208 6.132672
3.12 2.25 9.7344 30.37133 94.75854 7.02 21.9024
3.81 4.28 14.5161 55.30634 210.7172 16.3068 62.12891
Σ 11.61 11.35 32.7681 102.7615 341.7505 29.7696 94.6053
Ta có hệ phương trình:
5a + 11.61b + 32.7681c = 11.35
11.61a + 32.7681b + 102.7615c = 29.7696
32.7681a + 102.7615b + 341.7505c = 94.6053
Giải hệ này ta được:
a = 5.022148; b = -4.01426; c = 1.002341
0062,0
!10
)9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1(
0016,0
!9

)8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1(
10.33067,3
!8
)7)(6)(5)(4)(3)(2)(1(
0003.0
!7
)6)(5)(4)(3)(2)(1(
0002.0.
!6
)5)(4)(3)(2)(1(
10.
!5
)4)(3)(2)(1(
10.11022,1.
!4
)3)(2)(1(
001,0.
!3
)2)(1(
0074.0.
!2
)1(
0375.0.8427,0)(
16
4
16
1,01
−−−−−−−−−
−
−−−−−−−−

−−−−−−−
+
−−−−−−
−
−−−−−
+
−−−−
−
−−−
+
−−
+
−
−+=
−
−
−
+=
tttttttttt
ttttttttt
ttttttttttttttt
ttttttttttt
ttttttttt
txp
tx
Vậy có quan hệ:
y = 5.022148 - 4.01426x + 1.002341x
2
CHƯƠNG 5
Bài 1

x
i
50 55 60 65
y
i
1.699 1.7404 1.7782 1.8129
Cách 1 :
Dùng đa thức nội suy
021872,000036,010.2)(
977.0021873,000018,010.66667,6)(
)6065)(5565)(5065(
)60)(55)(50(
8129,1
)6560)(5560)(5060(
)65)(55)(50(
7782,1
)6555)(6055)(5055(
)65)(60)(50(
7404,1
)6550)(6050)(5550(
)65)(60)(55(
699,1)(
26'
3
237
3
3
+−=
++−=
−−−

−−−
+
−−−
−−−
+
−−−
−−−
+
−−−
−−−
=
−
−
xxxp
xxxxp
xxxxxx
xxxxxx
xp
Thay x = 50 vào công thức trên ta được y’(50) = 0,008673
Kết quả tính trực tiếp y’(50) = 0.008686
Cách 2 :
Áp dụng công thức Taylo :
h
xfhxf
xf
)()(
)('
−+
≈
Với h = 5 ta có

00828,0
5
699,17404,1
)50(' =
−
≈f
Bài 2
Chia [0,1] thành 10 đoạn bằng nhau ta tính ra bảng sau :
x f(x) = 1/(1+x)
0 1
0.1 0.909091
0.2 0.833333
0.3 0.769231
0.4 0.714286
0.5 0.666667
0.6 0.625
0.7 0.588235
0.8 0.555556
0.9 0.526316
1 0.5
a. Tính theo công thức hình thang
0.693771=






+++
+

=
−
T
n
n
T
I
yy
yy
hI
11
0

2
Tính sai số
Với
3
)1(
2
)(''
x
xf
+
=
=> M = max|f’’(x)| = 2
|I – I
T
| ≤ 0.001667 ≤ 0.002
Vậy
I ≈ 0.693771 ±0.002

b. Tính theo công thức simson
I
S
= 0.69315
Tính sai số
00002,000001333,0)(
180
||
24|)(|max
)1(
24
)(
4
4
5
4
≤=−≤−
==
+
=
ab
h
MII
xfM
x
xf
S
Vậy
I ≈ 0.69315 ±0,00002
Thông thường trong ước lượng sai số ta phải tính max|f

k
(x)|. Công việc này đòi hỏi tính
toán phức tạp, vì vậy thường tiến hành tính toán 2 lần để kiểm tra độ chính xác được gọi
là tính kép. Trước tiên tính tích phân theo công thức chọn trước với bước chia h nào đó,
sau đó tính lại công thức đó với bước chia h/2 (tăng n gấp đôi). Ký hiệu I
n
và I
2n
là các kết
quả tương ứng. Nếu |I
n
– I
2n
| < ε, (ε là sai số cho phép) thì lấy I ≈ I
2n
.
Nếu |I
n
– I
2n
| ≥ ε thì quá trình lặp với h/4. Bước h đầu tiên thường chọn cỡ
m
ε
, trong đó
m = 2 với công thức hình thang và m = 4 với công thức simsơn (vì trong công thức sai số
đó có chứa tương ứng h
2
và h
4
). Phương pháp trên được sử dụng rộng rãi để chọn bước tự

động trên máy tính điện tử. Để ước lượng sai số người ta còn dùng các công thức gần
đúng sau (nguyên lý Runghe)
||
3
1
2nn
II −=∆
với công thức hình thang
||
15
1
2nn
II −=∆
với công thức simsơn
Ví dụ: Tính gần đúng tích phân
∫
+
π
0
cos xx
dx
với độ chính xác ε = 3.10
-3
bằng công thức
simson
Giải
Vì ε = 3.10
-3
nên có thể chọn
3

4
10.3
−
≈h
. Để đơn giản ta tính kép theo bước h đầu tiên
là
8
1
π
=h
và sau đó lấy
16
2
π
=h
sau đó tính toán độ chính xác
Lập bảng giá trị
xx
y
cos
1
+
=
với bước
16
2
π
=h
x
i

cos x
i
x
i
+ cos x
i
y
i
Hệ số






16
1
π
i
m
Hệ số






8
2
π

i
m
0 0 1 1 1.00000 1 1
1 0.19635 0.98079 1.17714 0.84950 4
2 0.39270 0.92388 1.31658 0.75950 2 4
3 0.58905 0.83147 1.42052 0.70400 4
4 0.78540 0.70711 1.49251 0.67000 2 2
5 0.98175 0.55557 1.53732 0.65050 4
6 1.17810 0.38268 1.56078 0.64070 2 4
7 1.37445 0.19509 1.56954 0.63710 4
8 1.57080 0 1.5708 0.63660 2 2
9 1.76715 -0.19509 1.57206 0.63610 4
10 1.96350 -0.38269 1.58081 0.63260 2 4
11 2.15985 -0.55557 1.60428 0.62330 4
12 2.35620 -0.70711 1.64909 0.60640 2 2
13 2.55255 -0.83147 1.72108 0.58100 4
14 2.74890 -0.92388 1.82502 0.54790 2 4
15 2.94525 -0.98079 1.96446 0.50900 4
16 3.14160 -1 2.1416 0.46690 1 1
Σ 31.2163 15.6157
Từ bảng trên ta thấy với n = 8,
130090,0
3
,3927.0
8
1
≈≈=
h
h
π

I
8
= 0,130090 * 15,6157 = 2.0314
với n = 16,
06545,0
3
,19635,0
16
1
≈≈=
h
h
π
I
16
= 0,6545 * 31,2163 = 2,04311
3
168
10.3000777,001166,0.
15
1
01166.0||
−
<==⇒=−⇒
ε
II

Vậy ta có thể lấy I ≈ I
16
= 2.04311

Các bạn có thể áp dụng bài trên để giải bài 3 chương 5