Hàm beta một vòng trong mô hình chuẩn

HÀM BETA MỘT VỊNG TRONG MƠ HÌNH CHUẨN

NGUYỄN THỊ NHƯ QUỲNH - LÊ THỊ THÙY PHƯƠNG
Khoa Vật lý

Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tơi sử dụng phương trình CallanSymanzik để biểu diễn tập hợp các phép biến đổi trong nhóm tái chuẩn
hóa dưới dạng giải tích và tính các biểu thức giải tích cho các hàm β
một vịng cho các liên kết Yukawa trong mơ hình chuẩn.
1. GIỚI THIỆU
Mơ hình chuẩn được cơng nhận là đúng thơng qua những thí nghiệm kiểm chứng hiện đại
nhất ngày nay, tuy nhiên nó vẫn chưa hồn chỉnh để có thể mơ tả tự nhiên một cách trọn
vẹn. Điều đó có nghĩa là việc tìm hiểu và nghiên cứu sự mở rộng mơ hình chuẩn rất cần
thiết trong việc tìm hiểu bản chất của các hạt cơ bản nói riêng và hồn thiện các lí thuyết
về vật lí hạt nói chung. Một trong những điểm hạn chế của mơ hình chuẩn là khơng giải
thích một cách động lực hiện tượng phá vỡ đối xứng. Theo đó, việc so sánh thang năng
lượng của mơ hình này và mơ hình mở rộng trong đó xảy ra sự phá vỡ đối xứng động lực
thông qua hàm beta cho các hệ số liên kết rất quan trọng. Việc nghiên cứu các phương
trình nhóm tái chuẩn hố và hàm beta một vòng đã được các nhà vật lý hạt trên thế giới
nghiên cứu. Chẳng hạn, Cheng và Li đã đưa ra biểu thức giải tích của các hàm beta một
vòng và hai vòng cho các hệ số liên kết gauge trong mơ hình chuẩn. Tuy nhiên, vì mơ hình
này giải thích sự tồn tại khối lượng của các hạt thông qua hiện tượng phá vỡ đối xứng
tự phát nên các hàm beta một vòng cho các liên kết Yukawa trong mơ hình chuẩn chưa
được quan tâm. Theo đó, chúng tơi chọn đề tài này nhằm mục đích khảo sát thang năng
lượng xảy ra hiện tượng phá vỡ đối xứng động lực, từ đó có hướng để mở rộng mơ hình
chuẩn phù hợp. Đây là vấn đề mà một số đề tài nghiên cứu khoa học, luận văn cao học,
khoá luận tốt nghiệp gần đây quan tâm nghiên cứu. Bài báo này đề cập đến việc sử dụng
phương trình Callan-Symanzik và thành lập biểu thức hàm β một vòng cho các hệ số liên
kết Yukawa trong mơ hình chuẩn.

Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2014-2015
Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2014: tr. 62-66

HÀM BETA MỘT VỊNG TRONG MƠ HÌNH CHUẨN

63

2. PHƯƠNG TRÌNH CALLAN-SYMANZIK
Đạo hàm của hàm Green khơng tái chuẩn hóa theo khối lượng tương đương với sự thêm
1
vào toán tử đa hợp Ω0 = φ20 mang xung lượng bằng không
2
∂Γ(n) (pi )
(n)
= −ıΓφ2 (0; pi ),
∂µ20

(1)

và Γ(n) (pi ) chỉ phụ thuộc vào µ20 thơng qua hàm truyền trần
ı∆0 (p) =

p2

ı
,
− µ20 + ıε

(2)

trong đó,

∂
∂µ20



ı
2
p − µ20 + ıε


=

p2

ı
ı
(−ı) 2
.
2
− µ0 + ıε
p − µ20 + ıε

(3)

Dưới dạng của các hàm Green tái chuẩn hóa (1PI), ta có thể viết
(n)

n/2

ΓR (pi ; λ, µ) = Zφ Γ(n) (pi ; λ0 , µ0 ),

(n)
Γφ2 R (p, pi ; λ, µ)

=

n/2 (n)
Zφ−1
Γφ2 (p, pi ; λ0 , µ0 ).
2 Zφ

Sau khi thế (4) và (5) vào (1) và sử dụng mối liên hệ
 2

∂µ ∂
∂λ ∂
∂ (n)
(n)
Γ (pi ; λ, µ) =
+
Γ (pi ; λ, µ),
∂µ20 R
∂µ20 ∂µ2 ∂µ20 ∂λ R
phương trình Callan-Symanzik trong lý thuyết λφ4 có dạng


∂
∂
(n)
(n)
µ

+β
− nγ ΓR (pi ; λ, µ) = −ıµ2 αΓφ2 R (0, pi ; λ, µ),
∂µ
∂λ

(4)
(5)

(6)

(7)

trong đó, α, β và γ là các hàm khơng thứ nguyên
∂λ/∂µ20
,
∂µ2 /∂µ20
∂ ln Zφ /∂µ20
γ = µ2
,
∂µ2 /∂µ20
∂Zφ2 /∂µ20
α =
.
∂µ2 /∂µ20
β = 2µ2

(8)
(9)
(10)

Trong các tính tốn cụ thể cho các hàm α, β và γ, việc sử dụng sự phụ thuộc cut-off (Λ)
của các hằng số Zλ , Zφ rất thuận lợi. Trong lý thuyết nhiễu loạn tái chuẩn hóa với các đại
lượng khơng tái chuẩn hóa λ0 và µ0 , các tham số tái chuẩn hóa µ và λ được định nghĩa
trong các phương trình
µ2 = µ20 + δµ2 ,
(11)


64

NGUYỄN THỊ NHƯ QUỲNH - LÊ THỊ THÙY PHƯƠNG

và
¯ 0,
λ = Zλ

(12)

Z¯ = Zλ−1 Zφ2 ,

(13)

với

là các hàm của λ0 µ0 và Λ. Xét trên phương diện thứ nguyên, λ và Zi s chỉ có thể phụ
thuộc vào các đại lượng khơng thứ ngun như λ0 và Λ/µ0 . Nếu µ0 được thay bằng
µ = µ(λ0 , µ0 , Λ), thì λ = λ(λ0 , Λ/µ) và Zi = Zi (λ0 , Λ/µ). Sử dụng quy tắc dây chuyền
(chain) của đạo hàm
∂
∂µ2 ∂

λ(λ
,
Λ/µ)|
=
λ(λ0 , Λ/µ)|Λ,λ ,
0
Λ,λ
∂µ20
∂µ20 ∂µ2
dẫn đến


∂  ¯
ln Z(λ0 , Λ/µ) ,
∂ ln Λ

(15)

1 ∂
[ln Zφ (λ0 , Λ/µ)] .
2 ∂ ln Λ

(16)

β = −λ
và
γ=−

(14)

Như vậy, khi số hạng ln Λ trong các biểu thức Zi s được thiết lập, hàm β và γ của phương
trình Callan-Symanzik sẽ được xác định. Giữa hàm α và γ có mối liên hệ với nhau. Chẳng
hạn khi n = 2
α = 2(γ − 1).
(n)

(17)

(n)

Vì các đại lượng tái chuẩn hóa ΓR và Γφ2 R đều không phụ thuộc cut-off vào mọi bậc của λ
nên các hàm α, β và γ đều không phụ thuộc cut-off. Điều này chứng tỏ γ không phụ thuộc
cut-off. Mọi hàm trừ hàm β trong phương trình (1.67) bây giờ đều độc lập với cut-off; theo
đó, hàm β cũng khơng phụ thuộc cut-off. Vì các hàm α, β và γ đều không thứ nguyên nên
sự không phụ thuộc vào cut-off chứng tỏ rằng chúng chỉ là các hàm của hằng sồ liên kết
không thứ nguyên, nghĩa là, α = α(λ), β = β(λ) và γ = γ(λ).
Phương trình Callan-Symanzik tổng quát cho các hàm Green chứa một số toán tử đa hợp
(composite) A, B, C... như sau

n
o
n
o
∂
∂
(n)
(n)
+β
− nγ + γAB... ΓAB...
= −ıµ2 α Γφ2 AB...

µ
,
(18)
∂µ
∂λ
R
R
trong đó
n
o
n
o
(n)
−n/2
(n)
−1 −1
GAB...
= ZA
ZB · · · Zφ
GAB... ,
n
oR
n
o 0
(n)
n/2
(n)
−1 −1
ΓAB...
= ZA ZB · · · Zφ

ΓAB... ,
R

γAB... = −

0

1 ∂
ln [ZA ZB ...] .
2 ∂ ln Λ

(19)
(20)
(21)


HÀM BETA MỘT VỊNG TRONG MƠ HÌNH CHUẨN

65

3. HÀM β MỘT VÒNG CHO CÁC HỆ SỐ LIÊN KẾT YUKAWA TRONG MƠ HÌNH
CHUẨN
Nhóm gauge được sử dụng trong mơ hình chuẩn là SU (3)c ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y tương ứng
với hệ số liên kết gauge g1 , g2 , g3 . Khi nghiên cứu sự thay đổi của hệ số liên kết gauge theo
g2
thang năng lượng, để thuận tiện hệ số liên kết α được sử dụng, trong đó αi = i , i = 1, 2, 3.
4π
Bằng việc sử dụng quy tắc thứ nguyên, hàm β một vòng cho các hệ số liên kết gauge được
tính tốn có dạng như sau
1

α1
1
α2
1
α3

41
t,
10 × 2π
19
= 29.6 −
t,
6 × 2π
1
7
=
−
t,
0.07 2π
= 59 −

(22)
(23)
(24)




E
trong đó t = log

. Các phương trình vi phân (22), (23) và (24) có thể được tính số
91.2
theo phương pháp Runge Kutta được cho bởi hình

Từ hình vẽ, chúng tôi thấy rằng, hệ số liên kết α1 , α2 giảm khi năng lượng tăng. Các hệ số
này bằng nhau khi t = 25.4 tương ứng năng lượng vào bậc 1023 GeV . Trong khi đó, hệ số
α3 tăng khi năng lượng tăng các giá trị α2 gặp nhau tại thang năng lượng 1023 GeV . Như
thế, khi chỉ xét đến sự tự tương tác của các trường gauge, thang năng lượng thống nhất
lớn hơn thang Plank 1019 GeV (thang năng lượng tại đó lý thuyết trường lượng tử có hiệu
lực).


66

NGUYỄN THỊ NHƯ QUỲNH - LÊ THỊ THÙY PHƯƠNG

4. KẾT LUẬN
Trong bài báo này, chúng tôi đã thu nhận được biểu thức giải tích và số cho các hàm β
một vịng cho các liên kết gauge trong mơ hình chuẩn. Từ các kết quả đã nghiên cứu ở
phần trước chứng tỏ rằng trong giới hạn mơ hình chuẩn, lý thuyết về thống nhất tương
tác không thể thực hiện được do thang năng lượng thống nhất lớn hơn thang Plank. Điều
này dẫn đến một hệ quả tất yếu, đó là sự cần thiết mở rộng mơ hình chuẩn và hồn chỉnh
thêm lý thuyết thống nhất tương tác.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Viễn Thọ (2002), Cơ Sở Lý Thuyết Trường Lượng Tử, NXB Giáo dục.
[2] S. Chatrchyan et al., [CMS Collaboration], Phys. Lett. B716, 30 (2012); G. Aad et al.,
[ATLAS Collaboration], Phys. Lett. B716, 1 (2012).
[3] Salam A. and Ward J. C., Nuovo Cim. 19, 165 (1961.
[4] Englert F. and Brout R., Phys. Rev. Lett. 13, 321 (1964).
[5] Guralnik G. S., Hagen C. R., and Kibble T. W. B., Phys. Rev. Lett. 13, 585 (1964).

[6] Aitchison I. J. R. and Hey A. J. G. (1990), gauge Theories in Particle Physics: A
Practical Introduction, Bristol.
[7] Gell-Mann, M.; Low, F.E. (1954). "Quantum Electrodynamics at Small Distances".
Physical Review 95 (5): 1300–1312.
[8] T. P. Cheng and L. F. Li (1984), Gauge theory of elementary particle physics, Oxford.
[9] S. Coleman (1985), Aspects of symmetry, Cambridge.
[10] Heisenberg W., Phys. Rev. Lett. 77, 1 (1932).

Title: ONE LOOP BETA FUNCTION IN STANDARD MODEL
Abstract: In this paper, we use the Callan-Symanzik equation to represent a set of transformations in the renormalization group by analytical form and calculate the analytical
expressions for the one loop β function that generate the Yukawa unification in the standard model.

NGUYỄN THỊ NHƯ QUỲNH
LÊ THỊ THÙY PHƯƠNG
SV lớp Vật lý tiên tiến 3, khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế