Tác động nhóm và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG


HOÀNG VĂN TUẤN

TÁC ĐỘNG NHÓM VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG


HOÀNG VĂN TUẤN

TÁC ĐỘNG NHÓM VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Đại Số Và Lý Thuyết Số
Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Đà Nẵng – Năm 2017

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được
ai công bố trong bất kì cơng trình nào khác.
Tác giả

Hồng Văn Tuấn


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất
đến tất cả các thầy cơ giáo đã tận tình dạy bảo em trong suốt thời gian
học tập của khóa học. Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh
chị trong lớp Đại số và lý thuyết số K31 đã nhiệt tình giúp đỡ tơi trong
q trình học tập tại lớp
Hồng Văn Tuấn


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Nhóm và p - nhóm hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Một số khái niệm và kết quả trong số học và đại số tuyến tính 10
CHƯƠNG 2. TÁC ĐỘNG NHÓM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1. Tác động nhóm trên một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Ví dụ về tác động nhóm trên một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Tác động nhóm trên một nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Ví dụ về tác động nhóm trên một nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA TÁC ĐỘNG NHÓM . . . . 25

3.1. Ứng dụng của tác động nhóm trong lý thuyết nhóm . . . . . . . . . 25
3.1.1. Ứng dụng tác động nhóm để xây dựng nhóm . . . . . . . . . 25
3.1.2. Ứng dụng tác động nhóm để chứng minh một số kết quả
của lý thuyết nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2. Một số ứng dụng của tác động nhóm trong số học và đại số
tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.1. Chứng minh Định lý nhỏ của Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.2. Ứng dụng của tác động nhóm trong đại số tuyến tính 43
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Tác động nhóm là một trong các nội dung cơ bản của lý thuyết
nhóm, có nhiều ứng dụng quan trọng khơng những trong lý thuyết nhóm
mà cịn cả trong một số lĩnh vực khác của tốn học. Trong các giáo trình
lý thuyết nhóm bậc đại học, nội dung tác động nhóm chưa đề cập nhiều,
vì vậy nhằm tìm hiểu tác động nhóm và những ứng dụng của nó, tơi
chọn đề tài luận văn thạc sĩ của mình là: Tác động nhóm và ứng
dụng.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cấu trúc nhóm và p – nhóm hữu hạn
- Nghiên cứu tác động của nhóm trên một tập hợp, trên một nhóm
- Khảo sát những ứng dụng của tác động nhóm
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nhóm, nhóm hữu hạn và p - nhóm hữu hạn

- Tác động nhóm trên một tập hợp và trên một nhóm
- Những ứng dụng của tác động nhóm
4. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập và hệ thống các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên quan
đến nội dung đề tài. Đặc biệt là các tài liệu về tác động nhóm
- Phân tích, khảo sát các tư liệu thu thập được
- Tự nghiên cứu và trao đổi với giáo viên hướng dẫn để thực hiện
đề tài
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn được chia thành 3 chương:


2

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Chương này nhắc lại những kiến thức cơ bản của cấu trúc nhóm,
p - nhóm và một số khái niệm, kết quả của đại số hiện đại để làm cơ sở
cho các chương sau.
1.1. Nhóm và p – nhóm hữu hạn
1.2. Một số khái niệm và kết quả trong số học và đại số tuyến tính
Chương 2: Tác động nhóm
Chương này trình bày những kiến thức cơ sở của tác động nhóm
trên một tập và trên một nhóm, cùng một số tính chất và kết quả liên
quan.
2.1. Tác động nhóm trên một tập hợp
2.2. Ví dụ về tác động nhóm trên một tập hợp
2.3. Tác động nhóm trên một nhóm
2.4. Ví dụ về tác động nhóm trên một nhóm
Chương 3: Ứng dụng của tác động nhóm
Chương này trình bày một số ứng dụng của tác động nhóm trong

lý thuyết nhóm, trong số học và trong đại số tuyến tính.
3.1. Ứng dụng của tác động nhóm trong lý thuyết nhóm
3.2. Một số ứng dụng của tác động nhóm trong số học và đại số
tuyến tính


3

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này nhắc lại những kiến thức cơ bản của cấu trúc nhóm,
p - nhóm và một số khái niệm, kết quả của đại số hiện đại để làm cơ sở
cho các chương sau. Các chi tiết liên quan có thể xem trong các tài liệu
[5], [7], [9], [11], [12], [13].
1.1. Nhóm và p - nhóm hữu hạn
Định nghĩa 1.1.1.[9] Cho một tập khơng rỗng G và một phép tốn
hai ngơi trên G được ký hiệu bởi •, cặp (G, •) được gọi là một nhóm nếu
(i) Với mọi x, y, z ∈ G, (x • y) • z = x • (y • z)
(ii) Tồn tại một phần tử ký hiệu e ∈ G, gọi là phần tử đơn vị, sao
cho: x • e = e • x = x, với mọi x ∈ G.
(iii) Với mỗi x ∈ G có một phần tử nghịch đảo trong G, nghĩa là có
một phần tử x−1 ∈ G sao cho: x • x−1 = x−1 • x = e.
Nếu với mọi x, y ∈ G, x • y = y • x thì (G, •) được gọi là một nhóm
abel (hay nhóm giao hốn).
Nếu khơng sợ nhầm lẫn với phép tốn, ta cịn nói G là một nhóm
thay cho nhóm (G, •).
Nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn nếu G là một tập hữu hạn. Lúc
đó số phần tử của tập hợp G được gọi là cấp của nhóm G và ký hiệu là
|G|. Nếu nhóm G khơng phải là nhóm hữu hạn thì ta nói G là nhóm (có

cấp) vơ hạn.
Định nghĩa 1.1.2.[7] Một nhóm có cấp là một lũy thừa của một
số nguyên tố p được gọi là một p - nhóm.
Định nghĩa 1.1.3.[9] Giả sử G là một nhóm. Một tập con khơng
rỗng S ⊂ G được gọi là một nhóm con của G nếu S khép kín đối với


4

luật hợp thành trong G và khép kín đối với phép lấy nghịch đảo trong
G, tức là:
• ∀x, y ∈ S, xy ∈ S
• ∀x ∈ S, x−1 ∈ S.
Mệnh đề 1.1.4.[9] Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của một
nhóm X. Các điều kiện sau đây là tương đương:
(i) A là một nhóm con của X.
(ii) Với ∀x, y ∈ A, xy −1 ∈ A.
Định nghĩa 1.1.5.[7]
(i) Nhóm H được gọi là p - nhóm con của G nếu H vừa là một
nhóm con của G vừa là một p - nhóm.
(ii) Nhóm H được gọi là p - nhóm con Sylow của G nếu H là một
p - nhóm con của G và |H| = pn là lũy thừa cao nhất của p chia hết |G|.
Mệnh đề 1.1.6.[9] Giao của một họ bất kỳ các nhóm con của một
nhóm G cũng là nhóm con của G.
Định nghĩa 1.1.7.[7] Cho G là một nhóm và X là một tập con
khác rỗng của G. Nhóm con của G sinh bởi tập X là giao tất cả các
nhóm con của G chứa X, ký hiệu hXi
hXi = {x1 ε1 x2 ε2 ...xn εn /xi ∈ X, εi = ±1, n ∈ N}.
Nhận xét 1.1.8.[9] hXi là nhóm con nhỏ nhất của G có chứa X.
Nếu hXi = G thì ta nói G là nhóm được sinh bởi X và X là tập sinh

của G.
Định nghĩa 1.1.9.[9] Một nhóm X gọi là cyclic nếu và chỉ nếu X
được sinh ra bởi một phần tử a ∈ X, kí hiệu hai. Phần tử a được gọi là
một phần tử sinh của X.
Nhóm cyclic cấp n được ký hiệu là C(n) hoặc Cn .


5

Mệnh đề 1.1.10.[7] Mọi nhóm con của một nhóm cyclic là nhóm
cyclic.
Định nghĩa 1.1.11.[7] Giả sử G là một nhóm với phần tử đơn vị
e, a ∈ G. Nếu am 6= e, ∀m ∈ N∗ thì a gọi là có cấp vô hạn. Nếu m là
số nguyên dương nhỏ nhất sao cho am = e thì m được gọi là cấp của a.
Cấp của phần tử a được ký hiệu là ord(a).



Từ định nghĩa trên ta có ord(a) =
hai
, ord(a) = e ⇔ a = e.
Định nghĩa 1.1.12.[7] Cho G là một nhóm và H là một nhóm
con của G. Khi đó với mỗi a ∈ G, các tập hợp aH = {ah, h ∈ H} và
Ha = {ha, h ∈ H} lần lượt được gọi là lớp kề trái và lớp kề phải của H
trong G bởi phần tử a.
Mệnh đề 1.1.13.[7] Hai lớp kề trái của H hoặc trùng nhau hoặc
khơng có phần tử nào chung, các lớp kề phải cũng vậy. Như thế, nhóm
G được phân hoạch thành hợp rời của các lớp kề trái (tương ứng, các lớp
kề phải).
Định nghĩa 1.1.14.[9] Cho G là một nhóm và H ≤ G. Ta gọi tập

gồm tất cả các lớp kề trái của H trong G là tập thương của G trên H
và kí hiệu G/H.
G/H = {xH/x ∈ G}.
Lực lượng của tập G/H các lớp kề trái của H trong G được gọi là
chỉ số của nhóm con H trong nhóm G, và được ký hiệu là [G : H].
Định nghĩa 1.1.15.[9] Cho G là một nhóm với phép tốn nhân,
một nhóm con A của G được gọi là một nhóm con chuẩn tắc của G, kí
hiệu A / G nếu:
∀g ∈ G, ∀x ∈ A, g −1 xg ∈ A.
Mệnh đề 1.1.16.[9] Giả sử A là một nhóm con của nhóm một
nhóm G. Các điều kiện sau đây là tương đương:


6

(i) A là một nhóm con chuẩn tắc.
(ii) xA = Ax với mọi x ∈ G.
Khi A là nhóm con chuẩn tắc của G, thì các lớp kề trái, lớp kề phải
của A được gọi là các lớp kề của A trong G.
Mệnh đề 1.1.17.[7] Cho G là một nhóm. Ký hiệu
Z(G) = {a ∈ G : ax = xa, ∀x ∈ G}.
Khi đó Z(G) là một nhóm con chuẩn tắc của G, gọi là nhóm con tâm
của nhóm G.
Mệnh đề 1.1.18.[7] Nếu H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm
G thì G/H cùng với phép nhân (xH).(yH) = (xy)H, với ∀x, y ∈ G lập
thành một nhóm.
Định nghĩa 1.1.19.[7] Nhóm G/H được gọi là nhóm thương của
nhóm G theo nhóm con chuẩn tắc H.
Mệnh đề 1.1.20.[13] Cho G là một nhóm và H là một nhóm con
của Z(G). Khi đó, nếu G/H là nhóm cyclic thì G là nhóm abel.

Định lý 1.1.21.[7] (Lagrange) Giả sử G là một nhóm hữu hạn và
H là một nhóm con bất kỳ của nó. Khi đó |G| là một bội của |H|.
Chứng minh
Theo Mệnh đề 1.1.13, hai lớp kề trái của H trong G hoặc trùng nhau
hoặc khơng có phần tử nào chung. Do đó, G được phân tích thành hợp
rời của các lớp kề trái của H. Hơn nữa, ta sẽ chứng minh rằng số phần
tử của mỗi lớp kề trái là không đổi, cụ thể là số phần tử của xH = |H|,
với mọi x ∈ G. Thật vậy, phép tương ứng:
f : H −→ xH
h 7−→ xh
là một song ánh. Kết quả là
|G| = (số lớp kề trái của H).|H|, hay |G| là bội của |H|.


7

Định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.1.22.[7] Cấp của một phần tử tùy ý của nhóm hữu hạn
G là ước cấp của G.
Hệ quả 1.1.23.[7] Mọi nhóm có cấp là một số nguyên tố đều là
nhóm cyclic và được sinh ra bởi một phần tử bất kì, khác phần tử trung
lập của nhóm.
Nhận xét 1.1.24.[7] Cho G là một nhóm hữu hạn và H là một
nhóm con của nhóm G. Khi đó:
|G| = |H|.[G : H].
Giả sử K và H là các nhóm (với luật hợp thành viết theo lối nhân).
Trên tập hợp tích G = H × K = {(h, k)/h ∈ H, k ∈ K} ta định nghĩa
một luật hợp thành như sau:
(h1 , k1 )(h2 , k2 ) = (h1 h2 , k1 k2 ); (h1 , k1 ), (h2 , k2 ) ∈ H × K
Dễ dàng kiểm tra lại rằng G cùng phép tốn đó lập nên một nhóm,

có phần tử đơn vị là e = (eH , eK ) và phần tử nghịch đảo của (h, k) là
(h, k)−1 = (h−1 , k −1 ).
Định nghĩa 1.1.25.[7] Nhóm G = H × K xây dựng như trên được
gọi là tích trực tiếp của hai nhóm H và K.
Mệnh đề 1.1.26.[13] Nếu K là một nhóm con chuẩn tắc của G và
L là một nhóm con của G/K thì G có một nhóm con H chứa K sao cho
L = H/K. Nếu L là một nhóm con chuẩn tắc của G/K thì H là nhóm
con chuẩn tắc của G. Ngoài ra, nếu H1 /K = H/K, với H1 và H đều là
các nhóm con chứa K của G thì H1 = H.
Mệnh đề 1.1.27.[7] Cho A là một nhóm con của G. Khi đó:
CG (A) = {c ∈ G/ca = ac, ∀a ∈ A} là một nhóm con của G.
NG (A) = {n ∈ G/nA = An} là một nhóm con của G.


8

Định nghĩa 1.1.28.[7] Ta gọi CG (A) và NG (A) lần lượt là nhóm
con tâm hóa và nhóm con chuẩn hóa của A trong G.
Định nghĩa 1.1.29.[15] Hai nhóm con S và T của nhóm G được
gọi là liên hợp nếu có một phần tử g ∈ G sao cho g −1 Sg = T , trong đó
g −1 Sg = {g −1 sg/s ∈ S}.
Định nghĩa 1.1.30.[7] Cho X là một tập, ký hiệu S(X) là tập gồm
tất cả các song ánh từ X đến X. Tập S(X) với phép hợp thành các ánh
xạ là một nhóm, gọi là nhóm đối xứng trên tập X hay nhóm các phép
thế của X.
Đặc biệt, khi tập X = {1, 2, 3, ..., n} thì nhóm đối xứng của X được
ký hiệu bởi Sn . Mỗi s ∈ Sn còn được biểu diễn như sau:




1
2 ... n
s = s(1) s(2) ... s(n) .

Mệnh đề 1.1.31.[7] Sn là nhóm hữu hạn, và Sn = n!.
Định nghĩa 1.1.32.[9] Giả sử G và G0 là các nhóm (với phép tốn
nhân). Một ánh xạ ϕ : G → G0 được gọi là một đồng cấu nhóm nếu:
ϕ(x.y) = ϕ(x)ϕ(y); ∀x, y ∈ G.
Mệnh đề 1.1.33.[9] Giả sử ϕ : G → G0 là một đồng cấu nhóm.
Khi đó:
(i) ϕ chuyển đơn vị của G thành đơn vị của G0 , tức là: ϕ(1G ) = 1G0 .
(ii) ϕ chuyển nghịch đảo của phần tử x ∈ G thành nghịch đảo của
phần tử ϕ(x) ∈ G0 , tức là: ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1
Định nghĩa 1.1.34.[9] Cho ϕ : G → G0 là một đồng cấu nhóm. Ta
ký hiệu:
Kerϕ = {x ∈ G/ϕ(x) = 1G0 } = ϕ−1 (1G0 ).


9

Imϕ = {ϕ(x) ∈ G0 , x ∈ G} = ϕ(G).
Kerϕ và Imϕ lần lượt gọi là hạt nhân và ảnh của đồng cấu ϕ.
Định nghĩa 1.1.35.[9] Một đồng cấu nhóm đồng thời là một đơn
ánh (tương ứng tồn ánh, song ánh) được gọi là một đơn cấu (tương ứng
toàn cấu, đẳng cấu) nhóm.
Mệnh đề 1.1.36.[9] Nếu ϕ : G → G0 là một đồng cấu nhóm thì
kerϕ và Imϕ lần lượt là các nhóm con tương ứng của G và G0 .
Mệnh đề 1.1.37.[9] Đồng cấu nhóm ϕ : G → G0 là một toàn
cấu nếu và chỉ nếu Imϕ = G0 . Nó là một đơn cấu nếu và chỉ nếu
Kerϕ = {e}, trong đó e là đơn vị của G.

Mệnh đề 1.1.38.[7] Giả sử G là một nhóm. Gọi Aut(G) là tập hợp
tất cả các đẳng cấu nhóm từ G vào chính nó. Khi đó, Aut(G) là một
nhóm đối với phép hợp thành các ánh xạ.
Định nghĩa 1.1.39.[7] Nhóm Aut(G) được xác định như trên gọi
là nhóm các tự đẳng cấu của nhóm G.
Mệnh đề 1.1.40.[1] Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm cyclic cấp 4
là nhóm cyclic cấp 2.
Nếu C4 = hai thì Aut(C4 ) có hai phần tử xác định bởi bảng sau:
Aut(C4 )
i d = α1
α2

α(a)
a
a3

ord(α)
1
2

1.2. Một số khái niệm và kết quả trong số học và đại số tuyến
tính
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử a, b là các số nguyên. Ta nói rằng a đồng
dư b modulo m nếu (a − b)|m, với m ∈ N∗ .
Khi a đồng dư b modulo m ta viết


10

a ≡ b (mod m).

Nếu a không đồng dư b modulo m, ta viết
a 6≡ b (mod m).
Định nghĩa 1.2.2.[12] Một ma trận vuông được gọi là không suy
biến nếu có định thức khác 0.
Định nghĩa 1.2.3.[12] Một ma trận vuông A gọi là ma trận chéo
nếu aij = 0, ∀i 6= j.
Mệnh đề 1.2.4.[12] Ký hiệu GL(n, R) là tập gồm tất cả các ma
trận vuông cấp n không suy biến, với các phần tử là những số thực R.
Tập GL(n, R) cùng với phép hợp thành là phép nhân hai ma trận lập
thành một nhóm.
 
Định nghĩa 1.2.5.[11] Cho ma trận A = aij m×n , ta gọi ma trận
chuyển vị của A là ma trận có được từ A bằng cách đổi hàng thành cột
hoặc cột thành hàng (theo đúng thứ tự), và ký hiệu là t A.
Định Nghĩa 1.2.6. Một ma trận vuông A gọi là ma trận đối xứng
nếu nó bằng chuyển vị của chính nó, tức là t A = A. Nói cách khác, ma
 
trận A = aij m×n là đối xứng nếu và chỉ nếu aij = aji , ∀i, j = 1, 2, ..., n.
Định nghĩa 1.2.7.[12] Một ma trận vuông không suy biến A gọi
là ma trận trực giao nếu chuyển vị của nó chính là nghịch đảo của nó,
nghĩa là ma trận A trực giao nếu t A.A = A.t A = E, với E là ma trận
đơn vị.
Mệnh đề 1.2.8.[12] Ký hiệu O(n, R) là tập gồm tất cả các ma trận
trực giao cấp n trên trường số thực R. Tập O(n, R) là một nhóm với
phép hợp thành là phép nhân hai ma trận, và được gọi là nhóm các ma
trận trực giao.
Cho α ∈ R, α 6= 0, ký hiệu Pij , Qij (α) và Ri (α) lần lượt là ma trận
vng cấp n có được từ ma trận đơn vị E cấp n, bằng cách đổi chổ hàng

11

i với hàng j, cộng thêm vào hàng i bội α của hàng j và nhân các phần
tử của hàng i với số α.
Nhận xét 1.2.9. Nếu A là ma trận vng cấp n, ta có
a) Qij (α)A (tương ứng AQij (α)) là ma trận có được từ A bằng cách
cộng thêm vào hàng i bội α của hàng j (tương ứng cộng thêm vào cột j
bội α của cột i)
b) Pij A (tương ứng với APij ) là ma trận có được từ A bằng cách đổi
chổ hàng i với hàng j (tương ứng đổi chổ cột i với cột j)
c) Các ma trận Pij , Qij (α), Ri (α) là các ma trận khả nghịch, và
chúng lập thành một hệ sinh của nhóm GL(n, R)
d) t Pij = Pji , t Qij (α) = Qji (α), t Ri (α) = Ri (α)
Định nghĩa 1.2.10.[12] Giả sử V là một không gian vectơ trên
trường K. Ánh xạ ϕ : V × V → K được gọi là một dạng song tuyến tính
trên khơng gian vectơ V nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn với
mọi vectơ x, x0 , y, y 0 thuộc V và mọi phần tử λ thuộc K ta có
(i) ϕ(x + x0 , y) = ϕ(x, y) + ϕ(x0 , y)
(ii) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y)
(iii) ϕ(x, y + y 0 ) = ϕ(x, y) + ϕ(x, y 0 )
(iv) ϕ(x, λy) = λϕ(x, y).
Nếu dạng song tuyến tính ϕ thỏa thêm điều kiện ϕ(x, y) = ϕ(y, x),
với ∀x, y ∈ V thì ta nói ϕ là dạng song tuyến tính đối xứng trên V .
Định nghĩa 1.2.11.[12] Giả sử ϕ là dạng song tuyến tính đối xứng
trên trường K - khơng gian vectơ V , khi đó ánh xạ ω : V → K xác
định bởi: ω(x) = ϕ(x, x), ∀x ∈ V được gọi là một dạng tồn phương trên
khơng gian vectơ V sinh bởi dạng song tuyến tính đối xứng ϕ.
Định nghĩa 1.2.12.[12] Giả sử e = (ei )i=1,n là một cơ sở của
K - không gian vectơ n chiều V , ϕ là một dạng song tuyến tính đối xứng
trên V và ω là một dạng toàn phương trên V sinh bởi ϕ.

12

Ký hiệu aij = ϕ(ei , ej ) ∈ K, 1 ≤ i, j ≤ n. Khi đó dạng tồn phương
ω được xác định bởi:
n
X
x ∈ V, ω(x) =
aij xi xj
(1.1)
i,j=1

Trong đó (x1 , x2 , ..., xn ) là tọa độ của vectơ x đối với cơ sở e.
Ta gọi hệ thức (1.1) là biểu thức tọa độ của dạng toàn phương ω(x)


đối với cơ sở e, và gọi ma trận vuông A = aij n là ma trận của dạng
toàn phương ω(x) đối với cơ sở e.
Nhận xét 1.2.13.[12] Vì ϕ là dạng song tuyến tính đối xứng nên
aij = ϕ(ei , ej ) = ϕ(ej , ei ) = aji , ∀i, j = 1, n, và do đó
(i) Ma trận của một dạng tồn phương là ma trận đối xứng.
(ii) Biểu thức tọa độ của một dạng tồn phương cịn được viết
ω(x) =

n
P
i=1

aii xi 2 +

n
P

2aij xi xj .

1≤i,j≤n

Mệnh đề 1.2.14.[3] Giả sử A và B là hai ma trận của một dạng
toàn phương ω(x) trên K - không gian vectơ n chiều V lần lượt đối với
cơ sở e và cơ sở e0 của V . Gọi P là ma trận chuyển cơ sở từ e sang e0 ,
khi đó B = t P AP
Định nghĩa 1.2.15.[10] Cho ω là một dạng toàn phương trên
K - Không gian vectơ n chiều V . Nếu đối với một cơ sở nào đó của V
mà biểu thức tọa độ ω có dạng
ω(x) =

n
P

aii xi 2 = a11 x1 2 + a22 x2 2 + ... + ann xn 2

i=1

ta gọi hệ thức trên là dạng chính tắc của dạng toàn phương ω(x).
Nhận xét 1.2.16.[10] Ma trận của một dạng tồn phương có biểu
thức tọa độ có dạng chính tắc là một ma trận chéo.
Mệnh đề 1.2.17.[3] Cho ω(x) là một dạng tồn phương của một
khơng gian vectơ n chiều V . Khi đó trên V tồn tại một cơ sở, để đối với

13

cơ sở này biểu thức tọa độ của ω có dạng chính tắc (và khi đó ma trận
của ω đối với cơ sở này là ma trận chéo).
Định nghĩa 1.2.18.[10] Cho ω là một dạng tồn phương trên một
khơng gian vectơ n chiều V . Việc tìm trong V một cơ sở để đối với cơ
sở này biểu thức tọa độ của ω có dạng chính tắc, được gọi là đưa dạng
tồn phương về dạng chính tắc.
Hệ quả 1.2.19.[10] Mọi dạng tồn phương trên một khơng gian
vectơ hữu hạn chiều đều đưa được về dạng chính tắc.


14

CHƯƠNG 2

TÁC ĐỘNG NHĨM
Chương này trình bày những kiến thức cơ sở của tác động nhóm
trên một tập và trên một nhóm, cùng một số tính chất và kết quả liên
quan. Nội dung chính của chương này được tham khảo từ các tài liệu
[8], [20], [21].
2.1. Tác động nhóm trên một tập hợp
Định nghĩa 2.1.1.[20] Cho G là một nhóm và một tập hợp X 6= ∅.
Ta gọi một tác động nhóm G trên tập X là một ánh xạ
∗ : G × X −→ X
(g, x) 7−→ g ∗ x
thỏa mãn hai điều kiện:
(i) e ∗ x = x, ∀x ∈ X với e là phần tử đơn vị
(ii) ∀g1 , g2 ∈ G, ∀x ∈ X : (g1 g2 ) ∗ x = g1 ∗ (g2 ∗ x).
Tập X cùng với một tác động của nhóm G trên X được gọi là một

G – tập.
Ví dụ
a) Cho G = R∗ , là một nhóm nhân các số thực khác 0 và X là tập tất
cả các véctơ trong không gian ba chiều, X = {(a, b, c)/a, b, c ∈ R}. Khi
đó G tác động trên X qua phép nhân vô hướng g.(a, b, c) = (ga, gb, gc),
với mỗi số thực g khác 0.
Thật vậy, ta có:
(i) 1.(a, b, c) = (1a, 1b, 1c) = (a, b, c), với mọi (a, b, c) ∈ X.
(ii) ∀ g1 , g2 ∈ G, ∀ (a, b, c) ∈ X
(g1 g2 ) . (a, b, c) = (g1 g2 a, g1 g2 b, g1 g2 c) = g1 . (g2 a, g2 b, g2 c)


= g1 . g2 (a, b, c)


15

b) Mọi nhóm con G của nhóm đối xứng Sn tác động trên tập
X = {1, 2, 3, ..., n}.
Thật vậy, xét ánh xạ *: G × X → X với (σ, x) 7→ σ ∗ x = σ (x). Ta
có
(i) e ∈ G, ∀x ∈ X, e ∗ x = e(x) = x
(ii) ∀σ1 , σ2 ∈ G, ∀x ∈ X
Ta có: (σ1 σ2 )∗x = (σ1 σ2 )(x) = σ1 (σ2 (x)) = σ1 (σ2 ∗x) = σ1 ∗(σ2 ∗x).
Bổ đề 2.1.2.[8] Cho X là một G – tập, khi đó ánh xạ Tg : X → X
với x 7→ Tg (x) = g ∗ x là một song ánh, nói cách khác Tg là một phép
thế của tập X.
Chứng minh
Với g ∈ G ta có:



Tg −1 Tg (x) = Tg −1 Tg (x) = Tg −1 (g ∗ x) = g −1 ∗ (g ∗ x) = x
⇒ Tg −1 Tg = idx
h
i




−1
−1
Tg Tg (x) = Tg Tg (x) = Tg g −1 ∗ x = g ∗ g −1 ∗ x = x

⇒ Tg Tg −1 = idx
Do đó Tg là một song ánh.
Mệnh đề 2.1.3.[8] Cho X là một G – Tập, khi đó ánh xạ
T : G → S(X) với T (g) = Tg là một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm
S(X) các phép thế của tập X.
Chứng minh
∀g1 , g2 ∈ G, ∀x ∈ X ta có:
T (g1 g2 ) (x) = Tg1 g2 (x) = (g1 g2 ) ∗ x = g1 ∗ (g2 ∗ x) = g1 ∗[Tg2 (x)]
= Tg1 [Tg2 (x)] = [Tg1 ◦ Tg2 ](x) = [T (g1 )T (g2 )](x)
⇒ T (g1 g2 ) = T (g1 )T (g2 )
Mệnh đề đã được chứng minh.
Theo mệnh đề trên, mỗi tác động của nhóm G trên tập hợp X xác
định một đồng cấu từ G vào nhóm các phép thế S(X) của tập X. Mệnh


16

đề sau đây cho ta điều ngược lại.
Mệnh đề 2.1.4.[20] Cho G là một nhóm, X là một tập. Mỗi đồng
cấu nhóm ϕ : G → S(X) xác định một tác động của G trên tập X.

Xét ánh xạ ∗ : G × X → X với (g, x) 7→ g ∗ x = ϕ(g)(x)
Khi đó ∀g1 , g2 ∈ G, ∀x ∈ X ta có
(i) Với eG ∈ G, ∀x ∈ X ta có eG ∗ x = ϕ (eG ) (x) = idX (x) = x
(ii) (g1 g2 ) ∗ x = ϕ (g1 g2 ) (x) = [ϕ (g1 ) ◦ ϕ (g2 ) ] (x) (vì ϕ là đồng cấu)
= ϕ (g1 ) [ϕ (g2 ) (x)] = ϕ (g1 ) (g2 ∗ x) = g1 ∗ (g2 ∗ x)
Vây ánh xạ ∗ : G × X → X với (g, x) 7→ g ∗ x = ϕ(g)(x) xác định
một tác động của G trên X.
Như vậy với mỗi tác động của nhóm G trên tập X xác định một
đồng cấu T : G → S(X). Ngược lại với mỗi đồng cấu từ nhóm G đến
nhóm S(X) ta xác định một tác động của nhóm G trên tập X.
Định Nghĩa 2.1.5.[20] Một tác động của nhóm G trên tập X được
gọi là trung thành nếu đồng cấu T : G → S(X), với T (g) = Tg là một
đơn cấu.
Mệnh đề 2.1.6.[8] Cho một tác động của nhóm G trên tập X, và
x ∈ X. Khi đó: Gx = {g ∈ G/g ∗ x = x} là một nhóm con của G.
Chứng minh
Ta có: e ∈ G, ∀x ∈ X, e ∗ x = x nên e ∈ Gx ⇒ Gx 6= ∅
Mặt khác, ∀g1 , g2 ∈ G, ∀x ∈ X ta có:
h
i




−1
−1
−1
g1 g2
∗ x = g1 ∗ g2 ∗ x = g1 g2 ∗ (g2 ∗ x)




−1
= g1 ∗ g2 g2 ∗ x
= g1 ∗ x = x.
Suy ra g1 g2 −1 ∈ Gx . Vậy Gx là nhóm con của G.
Định nghĩa 2.1.7.[8] Cho một tác động của nhóm G trên tập X.