Tổng nửa trực tiếp của các đại số lie

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


TRẦN TUẤN ANH

TỔNG NỬA TRỰC TIẾP CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ NẴNG – NĂM 2018


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


TRẦN TUẤN ANH

TỔNG NỬA TRỰC TIẾP CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 8460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

ĐÀ NẴNG – NĂM 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, các kết quả nêu trong luận văn là trung thực. Các nội dung tham
khảo từ các tài liệu đều được trích dẫn cụ thể, rõ ràng.

Trần Tuấn Anh


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng
dẫn PGS. TS Trần Đạo Dõng đã tận tình hướng dẫn tơi trong suốt q trình thực
hiện để tơi có thể hồn thành được luận văn này.
Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cơ giáo đã
tận tình dạy bảo tơi trong suốt thời gian học tập của khóa học.
Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị học viên trong lớp Đại số
và Lý thuyết số Khóa 33 đã nhiệt tình giúp đỡ tơi trong q trình học tập tại lớp.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
đã ln ủng hộ, quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập
vừa qua.

Trần Tuấn Anh


TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ
Tên đề tài: Tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie.
Ngành: Đại số và Lý thuyết số.
Họ và tên học viên: Trần Tuấn Anh.

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trần Đạo Dõng.
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học sư phạm - Đại học Đà Nẵng.
Tóm tắt: Mục đích của luận văn là tìm hiểu về tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie, được xét
như là một sự mở rộng của tổng trực tiếp các đại số Lie. Chúng tôi nghiên cứu một số tính chất
về tâm, đồng cấu, biểu diễn liên hợp và đạo hàm của tổng nửa trực tiếp. Dạng Killing của tổng
nửa trực tiếp với thành phần thứ hai là một iđêan của thành phần thứ nhất cũng được xem xét.
Phép dựng tổng nửa trực tiếp các đại số Lie được thể hiện trong phân tích Levi, qua đó một đại
số Lie là tổng nửa trực tiếp của hai thành phần, nửa đơn và giải được. Ngoài ra, chúng tôi cũng
thể hiện tổng nửa trực tiếp dưới dạng mở rộng của đại số Lie.
Từ khóa: đại số Lie, tổng trực tiếp, tổng nửa trực tiếp, dạng Killing, lũy linh, giải được, nửa
đơn, đạo hàm, biểu diễn liên hợp, mở rộng, định lí Levi.

Xác nhận của giáo viên hướng dẫn

Người thực hiện đề tài

PGS. TS. Trần Đạo Dõng

Trần Tuấn Anh


INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS
Name of thesis: Semidirect sum of Lie algebras.
Major: Algebra and Number theory.
Full name of Master student: Tran Tuan Anh.
Supervisor: Assoc. Prof. Tran Dao Dong.
Training institution: The University of Education - University of Da Nang.
Abstract: The aim of the thesis is to study for the concept of the semidirect sum of Lie algebras,
it can be view as a generalization of the direct sum of Lie algebras. We investigate some properties
of center, homomorphism, adjoint representation and derivative of the semidirect sum. The Killing

form of the semidirect sum where the second component is an ideal of the first one is considered as
well. The construction of the semidirect sum appears in the Levi decomposition which expresses
a Lie algebra as a sum of two components, semisimple and solvable. Moreover, we also express a
semidirect sum as an extension of Lie algebras.
Key words: Lie algebra, direct sum, semidirect sum, Killing form, nilpotent, solvable, semisimple,
derivation, adjoint representation, extension, Levi’s theorem.

Supervisor’s confirmation

Student

Assoc. Prof. Tran Dao Dong

Tran Tuan Anh


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

Ký hiệu

Ý nghĩa của ký hiệu

:
:
:
:
:
:
:
:

:
:
:
Im ϕ
:
Ker ϕ
:
Mat(n, K) :
rad(g)
:
sl(n, R)
:
so(n)
:
Tr A
:
Z(g)
:

Tích Lie của A và B
Biểu diễn liên hợp của g
Tập các tự đẳng cấu của nhóm G
a đẳng cấu với b
Số chiều của đại số Lie g
Đại số đạo hàm của g
Tập các tự đồng cấu của không gian vectơ V
Tổng nửa trực tiếp của g và h theo đồng cấu τ
Đại số Lie các tự đồng cấu của không gian vectơ V
Đại số Lie các ma trận vuông cấp n trên trường K
Tập các đồng cấu đại số Lie từ g vào h

Ảnh của ánh xạ ϕ
Hạt nhân của ánh xạ ϕ
Tập các ma trận vuông cấp n trên trường K
Căn của đại số Lie g
Đại số Lie của nhóm tuyến tính tổng quát GL(n, R)
Đại số Lie của nhóm trực giao đặc biệt SO(n)
Vết của ma trận A
Tâm của đại số Lie g

[A, B]
ad g
Aut G
a∼
=b
dim(g)
Der(g)
End V
g ⊕τ h
gl(V )
gl(n, K)
Hom(g, h)


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
MỞ ĐẦU

1

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

3

1.1. Đại số Lie và đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Biểu diễn liên hợp và đại số Lie lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Dạng Killing của đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Đại số Lie giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Đại số Lie nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
CHƯƠNG 2. TỔNG NỬA TRỰC TIẾP CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE17
2.1. Đạo hàm của đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Các tính chất của tổng nửa trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4. Dạng Killing và tổng nửa trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5. Một số hệ quả và tính chất liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6. Một số ứng dụng của tổng nửa trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
KẾT LUẬN
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC

44


1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài
Cho g là một đại số Lie trên trường K. Đạo hàm của đại số Lie g là một tốn

tử tuyến tính ∂ trên g sao cho thoả qui tắc Leibniz tương ứng với tích Lie, tức là
∂([A, B]) = [∂(A), B] + [A, ∂(B)]

với mọi phần tử A, B của g. Khi đó, tập hợp Der(g) các tốn tử đạo hàm là một
đại số Lie và được gọi là đại số đạo hàm của g.
Cho trước phần tử A của đại số Lie g, toán tử adA của g xác định bởi công
thức adA (B) = [A, B], với mọi B của g, là một đạo hàm của g và được gọi là đạo
hàm trong của g.
Xét g và h là hai đại số Lie trên cùng một trường K và τ là một đồng cấu
tuyến tính từ g vào Der(h). Tổng nửa trực tiếp (hay tích nửa trực tiếp) của các đại
số Lie g và h được định nghĩa là không gian vector tích g × h cùng với tích Lie
[(A, X), (B, Y )] = ([A, B], [X, Y ] + τ (A)Y − τ (B)X)

với mọi A, B của g và X, Y của h. Ký hiệu g ⊕τ h.
Trong trường hợp đặc biệt τ (A)Y = 0, với mọi A của g và X của h, tổng nửa
trực tiếp của g và h quy về tổng trực tiếp của hai đại số Lie g và h với tích Lie
[(A, X), (B, Y )] = ([A, B], [X, Y ])

với mọi A, B của g và X, Y của h.
Nghiên cứu cấu trúc và biểu diễn của các đại số Lie, trong đó có tổng nửa
trực tiếp của các đại số Lie, là một trong các bài toán cơ bản và mang tính thời sự
trong lý thuyết Lie và lý thuyết biểu diễn. Với mong muốn tìm hiểu thêm về các
tính chất của biểu diễn liên hợp, đạo hàm và tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie,
cùng với sự gợi ý của PGS. TS. Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài "Tổng nửa
trực tiếp của các đại số Lie" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie trong mối liên hệ với biểu
diễn liên hợp và đạo hàm của đại số Lie.

2

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận văn chủ yếu tập trung đi sâu vào tìm hiểu các khái niệm, định nghĩa và
các tính chất liên quan đến tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie trong mối liên hệ
với biểu diễn liên hợp và đạo hàm của đại số Lie.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu kinh điển
và các bài báo cập nhật, tổng hợp và trình bày báo cáo tổng quan.
Tham khảo, trao đổi với cán bộ hướng dẫn.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Tổng hợp tài liệu, trình bày một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về tổng nửa
trực tiếp của các đại số Lie.
Góp phần làm rõ mối liên hệ giữa tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie với
đạo hàm và biểu diễn liên hợp.
Bước đầu tìm hiểu ứng dụng của tổng nửa trực tiếp các đại số Lie để tìm hiểu
về định lí Levi, thể hiện tổng nửa trực tiếp dưới dạng mở rộng của đại số Lie.
6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung
của luận văn được chia thành 2 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở về đại số Lie, các iđêan và đồng cấu
đại số Lie. Phần lớn nội dung của chương là hệ thống các khái niệm, tính chất của
biểu diễn liên hợp của đại số Lie, đại số Lie lũy linh, đại số Lie giải được, đại số
Lie nửa đơn và các ví dụ liên quan.
Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, tơi trình bày
khái niệm và một số tính chất của đạo hàm trên đại số Lie, từ đó xây dựng khái
niệm tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie. Kết quả chính của chương là chứng
minh một số tính chất của tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie trong mối liên hệ
với đạo hàm và biểu diễn liên hợp của đại số Lie. Ngoài ra, tơi cũng trình bày sơ
lược ứng dụng tổng nửa trực tiếp để tìm hiểu về định lí Levi, thể hiện tổng nửa

trực tiếp dưới dạng mở rộng của đại số Lie.


3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm, tính chất cơ bản về
đại số Lie và biểu diễn liên hợp, các khái niệm liên quan như đại số Lie lũy linh,
đại số Lie giải được và đại số Lie nửa đơn. Các nội dung của chương được tham
khảo từ các tài liệu [1] và [3].

1.1. Đại số Lie và đồng cấu
Định nghĩa 1.1.1. Cho g là một không gian vectơ trên trường K. Khi đó, g
được gọi là đại số Lie trên K nếu tồn tại phép tốn
[ , ] : g × g −→ g
(A, B) 7−→ [A, B]

sao cho
(1) [ , ] tuyến tính theo từng biến;
(2) [A, A] = 0, ∀A ∈ g;
(3) [ , ] thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi, tức là
[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0, ∀A, B, C ∈ g.

Số chiều của khơng gian vectơ g, kí hiệu dimK (g), được gọi là số chiều của đại
số Lie g và [ , ] gọi là tích Lie.
Đại số Lie g được gọi là giao hoán nếu [A, B] = 0, ∀A, B ∈ g.
Ví dụ 1.1.2. Xét khơng gian vectơ 3 chiều thực

 " 0 a b#




−a 0 c

a, b, c ∈ R .
g=
−b −c 0

Xác định [A, B] = AB − BA, ∀A, B ∈ g. Khi đó g là đại số Lie 3 chiều thực, kí
hiệu g = so(3).


4

Nhận xét 1.1.3.
a) Đại số kết hợp g = End(V ) các tự đồng cấu của không gian vectơ V là một
đại số Lie, kí hiệu g = gl(V ) với tích Lie xác định bởi [f, g] = f ◦ g − g ◦ f, ∀f, g ∈ g.
b) Đại số kết hợp g = Mat(n, K) các ma trận vuông cấp n trên trường K là
một đại số Lie, kí hiệu g = gl(n, K), với tích Lie xác định bởi
[A, B] = AB − BA, ∀A, B ∈ g.

Định nghĩa 1.1.4. Cho g là đại số Lie trên trường K và tập con h ⊂ g. Khi
đó, h được gọi là đại số Lie con của g nếu:
(1) h là không gian vectơ con của g;
(2) h bảo tồn tích Lie, tức là ∀A, B ∈ h, ta có [A, B] ∈ h.
Với a, b ⊂ g, kí hiệu
[a, b] = h{[A, B]|A ∈ a, B ∈ b}i ⊂ g.

Khi đó, điều kiện (2) có dạng [h, h] ⊂ h.
Ví dụ 1.1.5. Xét các tập con của đại số Lie g = gl(n, R):
h = sl(n, R) = {A ∈ g| Tr A = 0}
k = so(n) = {A ∈ g|AT = −A}
với AT là ma trận chuyển vị của ma trận A. Khi đó, h và k là các đại số Lie con
của g.
Ví dụ 1.1.6. Cho g là một đại số Lie trên trường K và a là một không gian
vectơ con của g. Khi đó:
Zg (a) = {X ∈ g | [X, Y ] = 0, ∀Y ∈ a}

là một đại số Lie con của g, gọi là tâm hóa của a trong g.
Định nghĩa 1.1.7. Cho đại số Lie g và tập con a ⊂ g. Ta gọi a là iđêan của
g nếu:
(1) a là không gian vectơ con của g;
(2) [a, g] ⊂ a.
Ví dụ 1.1.8. Cho g là một đại số Lie trên trường K. Khi đó,
Z(g) = {X ∈ g | [X, Y ] = 0, ∀Y ∈ g}

là một iđêan của g, gọi là tâm của g.


5

Từ định nghĩa của iđêan ta có tính chất sau:
Mệnh đề 1.1.9. Cho a, b là các iđêan của g. Khi đó, a ∩ b, a + b, [a, b] là các
iđêan của g. Đặc biệt, [g, g] là iđêan của g.
Định nghĩa 1.1.10. Cho g là đại số Lie trên trường K và a là iđêan của g.
Khi đó, không gian vectơ thương g/a = {X + a | X ∈ g} là một đại số Lie,
được gọi là đại số Lie thương với tích Lie

[, ] : g/a × g/a −→ g/a
(X + a, Y + a) 7−→ [X, Y ] + a.

Định nghĩa 1.1.11. Cho g, h là các đại số Lie trên trường K. Khi đó, ánh
xạ ϕ : g → h là được gọi là đồng cấu đại số Lie nếu:
(1) ϕ là ánh xạ tuyến tính;
(2) ϕ bảo tồn tích Lie, tức là ϕ([A, B]) = [ϕ(A), ϕ(B)], ∀A, B ∈ g.
Đồng cấu ϕ là đơn (toàn, đẳng) cấu nếu ϕ là đơn (toàn, song) ánh.
Đại số Lie g được gọi là đẳng cấu với h, kí hiệu g ∼
= h, nếu tồn tại ϕ : g → h
là đẳng cấu đại số Lie. Ta gọi
Ker ϕ = {X ∈ g | ϕ(X) = 0} là nhân của ϕ;
Im ϕ = {ϕ(X) | X ∈ g} là ảnh của ϕ.

Khi đó, Ker ϕ là một iđêan của g và Im ϕ là đại số Lie con của h.
Ví dụ 1.1.12. Cho g là đại số Lie, h là đại số Lie con của g và a là iđêan
của g. Khi đó,
i : h −→ g
X 7−→ X

là một đơn cấu đại số Lie, gọi là phép nhúng chính tắc và
p : g −→ g/a
X 7−→ X + a

là một toàn cấu đại số Lie, gọi là phép chiếu chính tắc.

Ví dụ 1.1.13. Cho g là đại số Lie trên trường K. Khi đó,
ad : g −→ gl(g) = EndK (g)

6

X 7−→ adX : g −→ g
Y 7−→ adX (Y ) = [X, Y ]

là đồng cấu đại số Lie. Hơn nữa, Ker ad = Z(g).
Ta có kết quả sau đây về đồng cấu đại số Lie thương:
Định lý 1.1.14. Cho ϕ : g → h là đồng cấu đại số Lie và a là iđêan của g
chứa trong Ker ϕ. Gọi p : g → g/a là toàn cấu chính tắc. Khi đó, tồn tại duy nhất
đồng cấu ϕ : g/a → h sao cho ϕ = ϕ ◦ p.

1.2. Biểu diễn liên hợp và đại số Lie lũy linh
1.2.1. Biểu diễn liên hợp của đại số Lie
Định nghĩa 1.2.1. Cho V là một không gian vectơ và g là đại số Lie trên
cùng trường K. Khi đó, một biểu diễn của g trong V là một đồng cấu đại số Lie
π : g → gl(V ), trong đó gl(V ) là đại số Lie các tự đồng cấu tuyến tính của V .

Nhận xét 1.2.2. Theo định nghĩa tích Lie [ , ] trong gl(V ), ta có π là biểu
diễn của g nếu:
(1) π là K tuyến tính;
(2) π([X, Y ]) = π(X)π(Y ) − π(Y )π(X), ∀X, Y ∈ g.
Định nghĩa 1.2.3. Cho g là đại số Lie trên trường K. Khi đó, đồng cấu
ad : g −→ gl(g) = EndK (g)
X 7−→ adX : g −→ g
Y 7−→ adX (Y ) = [X, Y ]

là một biểu diễn và được gọi là biểu diễn liên hợp của g.
Tập hợp các biểu diễn liên hợp của một đại số Lie cũng là đại số Lie. Điều đó
thể hiện qua mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2.4. Ký hiệu ad g = {adX | X ∈ g}. Trên ad g ta định nghĩa

phép toán
[adX , adY ] = adX ◦ adY − adY ◦ adX , ∀X, Y ∈ g.

Khi đó, ad g là một đại số Lie. Hơn nữa, ad g là đại số Lie con của gl(g).
Chứng minh. Với mọi X, Y, Z ∈ g, ∀m, n ∈ K, ta có


7

• [ , ] tuyến tính theo từng biến vì ta có:
[m. adX +n. adY , adZ ] = (m. adX +n. adY ) ◦ adZ − adZ ◦(m. adX +n. adY )
= m(adX ◦ adZ − adZ ◦ adX ) + n(adY ◦ adZ − adZ ◦ adY )
= m[adX , adZ ] + n[adY , adZ ].
[adX , m. adY +n. adZ ] = m[adX , adY ] + n[adX , adZ ].
• [adX , adX ] = adX ◦ adX − adX ◦ adX = 0.
• [ , ] thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi vì ta có:
[adX , [adY , adZ ]] = [adX , adY ◦ adZ − adZ ◦ adY ]
= adX ◦ adY ◦ adZ − adY ◦ adZ ◦ adX .
[adY , [adZ , adX ]] = [adY , adZ ◦ adX − adX ◦ adZ ]
= adY ◦ adZ ◦ adX − adZ ◦ adX ◦ adY .
[adZ , [adX , adY ]] = [adZ , adX ◦ adY − adY ◦ adX ]
= adZ ◦ adX ◦ adY − adX ◦ adY ◦ adZ .

Suy ra [adX , [adY , adZ ]] + [adY , [adZ , adX ]] + [adZ , [adX , adY ]] = 0.
Vậy ad g là một đại số Lie.
Ví dụ 1.2.5. Ta sẽ tìm biểu diễn liên hợp của đại số Lie
#
("
)
0

a b


−a 0 c

a, b, c ∈ R .
g = so(3) =
−b −c 0

Ta có g là một đại số Lie 3 chiều. Chọn một cơ sở {E1 , E2 , E3 } của g như sau:
#
"
#
"
#)
(
"
0 1 0
E1 = −1 0 0
0 0 0

0 0 1
, E2 = 0 0 0
−1 0 0

0 0 0
, E3 = 0 0 1
0 −1 0

Khi đó

0 0 0
[E1 , E2 ] = E1 E2 − E2 E1 = − 0 0 1 = −E3 .
0 −1 0

"

#

0 0 1
[E1 , E3 ] = E1 E3 − E3 E1 = 0 0 0 = E2 .
−1 0 0

"

#

0 1 0
[E2 , E3 ] = E2 E3 − E3 E2 = − −1 0 0 = −E1 .
0 0 0

"

#

.


8

Suy ra, với mọi X ∈ g:

X = α1 E1 + α2 E2 + α3 E3 ; αi ∈ R, i = 1, 2, 3.

Ta có
adX (E1 ) = [X, E1 ] = [α1 E1 + α2 E2 + α3 E3 , E1 ]
= α1 [E1 , E1 ] + α2 [E2 , E1 ] + α3 [E3 , E1 ]
= −α3 E2 + α2 E3 .
adX (E2 ) = [X, E2 ] = [α1 E1 + α2 E2 + α3 E3 , E2 ]
= α3 E1 − α1 E3 .
adX (E3 ) = [X, E3 ] = [α1 E1 + α2 E2 + α3 E3 , E3 ]
= −α2 E1 + α1 E2 .

Suy ra adX có thể được đồng nhất với ma trận:
#
"

0
α3 −α2
0
α1 .
adX = −α3
α2 −α1
0

1.2.2. Đại số Lie lũy linh
Định nghĩa 1.2.6. Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường K.
Khi đó, ta định nghĩa
g0 = g, g1 = [g0 , g], g2 = [g1 , g], ..., gk = [gk−1 , g], ...
Dãy giảm g0 ⊇ g1 ⊇ g2 ⊇ ... ⊇ gk ⊇ ... được gọi là chuỗi tâm dưới của g.
Đại số Lie g được gọi là lũy linh nếu tồn tại k ∈ N sao cho gk = 0.
Kết quả dưới đây cho chúng ta các điều kiện cần và đủ của một đại số Lie

lũy linh.
Mệnh đề 1.2.7. Cho g là đại số Lie trên trường K. Khi đó, các điều kiện
sau là tương đương:
i) g là đại số Lie lũy linh.
ii) Tồn tại một số nguyên dương l thỏa mãn
[[...[[X0 , X1 ], X2 ]..., Xl−1 , Xl ] = 0, ∀X0 , X1 , ..., Xl ∈ g.

iii) Tồn tại một dãy giảm C 0 g, C 1 g, ..., C l g các iđêan của g thỏa mãn
C 0 g = g, C l g = 0, [C i g, g] ⊆ C i+1 g, i < l.


9

Ví dụ 1.2.8. Đại số Lie Heisenberg (3 chiều)

 "0 a b #