Tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


TRẦN TUẤN ANH

TỔNG NỬA TRỰC TIẾP CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 8460104

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ NẴNG – NĂM 2018


Công trình được hoàn thành tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG


Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trần Đạo Dõng.

Phản biện 1: PGS. TS. Nguyễn Chánh Tú.

Phản biện 2: GS. TS. Lê Văn Tuyết.

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
Toán học họp tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng vào ngày 01
tháng 9 năm 2018.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.
- Thư viện Trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng.


1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài
Cho g là một đại số Lie trên trường K. Đạo hàm của đại số Lie g là
một toán tử tuyến tính ∂ trên g sao cho thoả qui tắc Leibniz tương ứng với
tích Lie, tức là

∂([A, B]) = [∂(A), B] + [A, ∂(B)]
với mọi phần tử A, B của g. Khi đó, tập hợp Der(g) các toán tử đạo hàm
là một đại số Lie và được gọi là đại số đạo hàm của g.
Cho trước phần tử A của đại số Lie g, toán tử adA của g xác định bởi
công thức adA (B) = [A, B], với mọi B của g, là một đạo hàm của g và
được gọi là đạo hàm trong của g.
Xét g và h là hai đại số Lie trên cùng một trường K và τ là một đồng
cấu tuyến tính từ g vào Der(h). Tổng nửa trực tiếp (hay tích nửa trực tiếp)
của các đại số Lie g và h được định nghĩa là không gian vector tích g × h
cùng với tích Lie

[(A, X), (B, Y )] = ([A, B], [X, Y ] + τ (A)Y − τ (B)X)
với mọi A, B của g và X, Y của h. Ký hiệu g ⊕τ h.
Trong trường hợp đặc biệt τ (A)Y = 0, với mọi A của g và X của h,
tổng nửa trực tiếp của g và h quy về tổng trực tiếp của hai đại số Lie g và
h với tích Lie

[(A, X), (B, Y )] = ([A, B], [X, Y ])
với mọi A, B của g và X, Y của h.
Nghiên cứu cấu trúc và biểu diễn của các đại số Lie, trong đó có tổng
nửa trực tiếp của các đại số Lie, là một trong các bài toán cơ bản và mang


2

tính thời sự trong lý thuyết Lie và lý thuyết biểu diễn. Với mong muốn tìm
hiểu thêm về các tính chất của biểu diễn liên hợp, đạo hàm và tổng nửa trực
tiếp của các đại số Lie, cùng với sự gợi ý của PGS. TS. Trần Đạo Dõng, tôi
đã chọn đề tài "Tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie" làm đề tài
nghiên cứu cho luận văn của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie trong mối liên hệ với
biểu diễn liên hợp và đạo hàm của đại số Lie.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận văn chủ yếu tập trung đi sâu vào tìm hiểu các khái niệm, định
nghĩa và các tính chất liên quan đến tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie
trong mối liên hệ với biểu diễn liên hợp và đạo hàm của đại số Lie.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu kinh
điển và các bài báo cập nhật, tổng hợp và trình bày báo cáo tổng quan.
Tham khảo, trao đổi với cán bộ hướng dẫn.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Tổng hợp tài liệu, trình bày một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về tổng
nửa trực tiếp của các đại số Lie.
Góp phần làm rõ mối liên hệ giữa tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie
với đạo hàm và biểu diễn liên hợp.
Bước đầu tìm hiểu ứng dụng của tổng nửa trực tiếp các đại số Lie để

tìm hiểu về định lí Levi, thể hiện tổng nửa trực tiếp dưới dạng mở rộng của
đại số Lie.


3

6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội
dung của luận văn được chia thành 2 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở về đại số Lie, các iđêan và đồng
cấu đại số Lie. Phần lớn nội dung của chương là hệ thống các khái niệm,
tính chất của biểu diễn liên hợp của đại số Lie, đại số Lie lũy linh, đại số
Lie giải được, đại số Lie nửa đơn và các ví dụ liên quan.
Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, tôi trình
bày khái niệm và một số tính chất của đạo hàm trên đại số Lie, từ đó xây
dựng khái niệm tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie. Kết quả chính của
chương là chứng minh một số tính chất của tổng nửa trực tiếp của các đại
số Lie trong mối liên hệ với đạo hàm và biểu diễn liên hợp của đại số Lie.
Ngoài ra, tôi cũng trình bày sơ lược ứng dụng tổng nửa trực tiếp để tìm
hiểu về định lí Levi, thể hiện tổng nửa trực tiếp dưới dạng mở rộng của đại
số Lie.


4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm, tính chất

cơ bản về đại số Lie và biểu diễn liên hợp, các khái niệm liên quan như
đại số Lie lũy linh, đại số Lie giải được và đại số Lie nửa đơn. Các nội
dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1] và [3].

1.1. Đại số Lie và đồng cấu
Định nghĩa 1.1.1. Cho g là một không gian vectơ trên trường K.
Khi đó g được gọi là đại số Lie trên K nếu tồn tại phép toán

[, ] : g × g −→ g
(A, B) −→ [A, B]
sao cho
(1) [, ] tuyến tính theo từng biến;
(2) [A, A] = 0, ∀A ∈ g;
(3) [, ] thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi, tức là

[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0, ∀A, B, C ∈ g.
Ví dụ 1.1.2.
Nhận xét 1.1.3.
a) Đại số kết hợp g = End(V ) các tự đồng cấu của không gian vectơ

V là một đại số Lie, kí hiệu g = gl(V ).
b) Đại số kết hợp g = Mat(n, K) các ma trận vuông cấp n trên trường
K là một đại số Lie, kí hiệu g = gl(n, K).


5

Định nghĩa 1.1.4. Cho g là đại số Lie trên trường K và tập con
h ⊂ g. Khi đó h được gọi là đại số Lie con của g nếu:
(1) h là không gian vectơ con của g;

(2) h bảo toàn tích Lie, tức là ∀A, B ∈ h, ta có [A, B] ∈ h.
Với a, b ⊂ g, kí hiệu

[a, b] = {[A, B]|A ∈ a, B ∈ b} ⊂ g.
Khi đó, điều kiện (2) có dạng [h, h] ⊂ h.
Ví dụ 1.1.5.
Ví dụ 1.1.6.
Định nghĩa 1.1.7. Cho đại số Lie g và tập con a ⊂ g. Ta gọi a là
iđêan của g nếu:
(1) a là không gian vectơ con của g;
(2) [a, g] ⊂ a.
Ví dụ 1.1.8.
Từ định nghĩa của iđêan ta có tính chất sau:
Mệnh đề 1.1.9. Cho a, b là các iđêan của đại số Lie g. Khi đó,
a ∩ b, a + b, [a, b] là các iđêan của g. Đặc biệt, [g, g] là iđêan của g.
Định nghĩa 1.1.10. Cho g là đại số Lie trên trường K và a là iđêan
của g.
Khi đó không gian vectơ thương g/a = {X + a | X ∈ g} là một đại
số Lie, được gọi là đại số Lie thương với tích Lie

[, ] : g/a × g/a −→ g/a
(X + a, Y + a) −→ [X, Y ] + a.


6

Định nghĩa 1.1.11. Cho g, h là các đại số Lie trên trường K. Khi
đó, ánh xạ ϕ : g → h là được gọi là đồng cấu đại số Lie nếu:
(1) ϕ là ánh xạ tuyến tính;
(2) ϕ bảo toàn tích Lie, tức là ϕ([A, B]) = [ϕ(A), ϕ(B)], ∀A, B ∈ g.

Đồng cấu ϕ là đơn (toàn, đẳng) cấu nếu ϕ là đơn (toàn, song) ánh.
Đại số Lie g được gọi là đẳng cấu với h, kí hiệu g ∼
= h, nếu tồn tại

ϕ : g → h là đẳng cấu đại số Lie. Ta gọi
Ker ϕ = {X ∈ g | ϕ(X) = 0} là nhân của ϕ;
Im ϕ = {ϕ(X) | X ∈ g} là ảnh của ϕ.
Khi đó, Ker ϕ là một iđêan của g và Im là đại số Lie con của h.
Ví dụ 1.1.12. Cho g là đại số Lie, h là đại số Lie con của g và a là
iđêan của g. Khi đó,

i : h −→ g
X −→ X
là một đơn cấu đại số Lie, gọi là phép nhúng chính tắc và

p : g −→ g/a
X −→ X + a
là một toàn cấu đại số Lie, gọi là phép chiếu chính tắc.
Ví dụ 1.1.13. Cho g là đại số Lie trên trường K. Khi đó:

ad : g −→ gl(g) = EndK(g)
X −→ adX : g −→ g
Y −→ adX (Y ) = [X, Y ]
là đồng cấu đại số Lie. Hơn nữa, Ker ad = Z(g).


7

Định lý 1.1.14. Cho ϕ : g → h là đồng cấu đại số Lie và a là
iđêan của g chứa trong Ker ϕ. Gọi p : g → g/a là toàn cấu chính tắc.

Khi đó, tồn tại duy nhất đồng cấu ϕ : g/a → h sao cho ϕ = ϕ ◦ p.

1.2. Biểu diễn liên hợp và đại số Lie lũy linh
1.2.1. Biểu diễn liên hợp của đại số Lie

Định nghĩa 1.2.1. Cho V là một không gian vectơ và g là đại số
Lie trên cùng trường K. Khi đó một biểu diễn của g trong V là một đồng
cấu đại số Lie π : g → gl(V ), trong đó gl(V ) là đại số Lie các tự đồng cấu
tuyến tính của V .
Nhận xét 1.2.2. Theo định nghĩa tích Lie [, ] trong gl(V ), ta có π
là biểu diễn của g nếu:
(1) π là K tuyến tính;
(2) π([X, Y ]) = π(X)π(Y ) − π(Y )π(X), ∀X, Y ∈ g.
Định nghĩa 1.2.3. Cho g là đại số Lie trên trường K. Khi đó,
đồng cấu

ad : g −→ gl(g) = EndK(g)
X −→ adX : g −→ g
Y −→ adX (Y ) = [X, Y ]
là một biểu diễn và được gọi là biểu diễn liên hợp của g.
Tập hợp các biểu diễn liên hợp của một đại số Lie cũng là đại số Lie.
Điều đó thể hiện qua mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2.4. Ký hiệu ad g = {adX | X ∈ g}. Trên ad g ta
định nghĩa phép toán

[adX , adY ] = adX ◦ adY − adY ◦ adX , ∀X, Y ∈ g.
Khi đó ad g là một đại số Lie. Hơn nữa, ad g là một đại số Lie con
của gl(g).

8

Ví dụ 1.2.5. Biểu diễn liên hợp của đại số Lie

0 a b
−a 0 c
−b −c 0

g = so(3) =

a, b, c ∈ R

có thể được đồng nhất với ma trận:

0
α3 −α2
α1 .
adX = −α3 0
α2 −α1 0
1.2.2. Đại số Lie lũy linh

Định nghĩa 1.2.6. Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường
K. Khi đó, ta định nghĩa
g0 = g, g1 = [g0 , g], g2 = [g1 , g], ..., gk = [gk−1 , g], ...
Dãy giảm g0 ⊇ g1 ⊇ g2 ⊇ ... ⊇ gk ⊇ ... được gọi là chuỗi tâm dưới
của g.
Đại số Lie g được gọi là lũy linh nếu tồn tại k ∈ N sao cho gk = 0.
Kết quả dưới đây cho chúng ta các điều kiện cần và đủ của một đại số
Lie lũy linh.
Mệnh đề 1.2.7. Cho g là đại số Lie trên trường K. Khi đó, các

điều kiện sau là tương đương:
i) g là đại số Lie lũy linh.
ii) Tồn tại một số nguyên dương l thỏa mãn

[[...[[X0, X1], X2]..., Xl−1, Xl ] = 0, ∀X0, X1, ..., Xl ∈ g.
iii) Tồn tại một dãy giảm C 0 g, C 1 g, ..., C l g các iđêan của g thỏa mãn

C 0g = g, C l g = 0, [C ig, g] ⊆ C i+1g, i < l.
Ví dụ 1.2.8. Đại số Lie Heisenberg (3 chiều)
g=
là đại số Lie lũy linh.

0 a b
0 0 c
0 0 0

a, b, c ∈ R


9

Mệnh đề 1.2.9. Cho g là đại số Lie lũy linh. Khi đó, các đại số
Lie con và đại số Lie thương của g đều lũy linh.
Mệnh đề đảo của Mệnh đề 1.2.9 nói chung không đúng. Tuy nhiên, với
trường hợp tâm của đại số Lie g ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.2.10. Cho g là đại số Lie lũy linh. Khi đó,
i) Nếu g là đại số Lie khác 0 thì Z(g) cũng khác 0.
ii) Nếu g/Z(g) là đại số Lie lũy linh thì g cũng là đại số Lie lũy linh.
Định nghĩa 1.2.11. Một tự đồng cấu f ∈ End V được gọi là lũy
linh nếu tồn tại n ∈ N sao cho f n = 0.

Định lí Engel dưới đây cho ta mối liên hệ mật thiết giữa đại số Lie các
tự đồng cấu lũy linh của V với đại số Lie các ma trận có dạng tam giác
trên với đường chéo bằng không.
Phép chứng minh định lí có thể tham khảo ở tài liệu [1, Định lý 1.5.9].
Định lý 1.2.12. (Định lí Engel). Cho V là không gian vectơ
hữu hạn chiều trên trường K, g là đại số Lie gồm các tự đồng cấu lũy
linh của V . Khi đó,
i) g là lũy linh.
ii) Tồn tại phần tử v khác không của V sao cho với mọi X ∈ g thì

X(v) = 0.
iii) Tồn tại một cơ sở của V sao cho ma trận của X ∈ g có dạng
tam giác trên ngặt.
Mệnh đề sau cho thấy vai trò của biểu diễn liên hợp trong việc xác định
tính lũy linh của đại số Lie.
Mệnh đề 1.2.13. Cho g là đại số Lie. Xét ad g = {adX | X ∈ g}.
Khi đó, g là đại số Lie lũy linh nếu và chỉ nếu đại số Lie ad g là lũy linh.


10

Từ định lí Engel và mệnh đề trên ta thu được một điều kiện cần và đủ
cho các đại số Lie lũy linh.
Mệnh đề 1.2.14. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều. Khi đó, g là
lũy linh nếu và chỉ nếu adX lũy linh với mọi X ∈ g.
Ví dụ 1.2.15.
g = sl(2, R) =

a b
c −a

a, b, c ∈ R

không phải là đại số Lie lũy linh.

1.3. Dạng Killing của đại số Lie
Định nghĩa 1.3.1. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều trên trường K.
Khi đó, ánh xạ

B : g × g −→ K
(X, Y ) −→ B(X, Y ) = Tr(adX ◦ adY )
là một dạng song tuyến tính trên g và được gọi là dạng Killing của g.
Từ định nghĩa của dạng Killing ta thu được một số tính chất sau:
Mệnh đề 1.3.2. Với mọi X, Y, Z ∈ g, ∀α ∈ K ta có

B(X, Y ) = B(Y, X);
B(αX, Y ) = αB(X, Y );
B(X + Y, Z) = B(X, Z) + B(Y, Z).
Mệnh đề 1.3.3. Với mọi X, Y, Z ∈ g ta có

B([X, Y ], Z) = −B(Y, [X, Z]).
Mệnh đề 1.3.4. Cho g là một đại số Lie trên trường K và a là
một iđêan bất kỳ của đại số Lie g.
Đặt a⊥ = {X ∈ g | B(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ a}.
Khi đó, a⊥ là một iđêan của g.
Phép chứng minh của các mệnh đề trên có thể tham khảo ở tài liệu [1].


11

Định nghĩa 1.3.5. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều và B là dạng
Killing tương ứng. Ký hiệu

rad B = {X ∈ g | B(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ g}.
Ta có rad B là một iđêan của g. Dạng Killing B được gọi là không suy
biến nếu rad B = {0}.
Một tính chất quan trọng của dạng Killing là không thay đổi giá trị
qua mọi đẳng cấu đại số Lie. Điều này thể hiện trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3.6. Mọi đẳng cấu đại số Lie ϕ : g → g đều bảo toàn
dạng Killing, tức là với mọi X, Y ∈ g, ta có

B(X, Y ) = B(ϕ(X), ϕ(Y )).
1.4. Đại số Lie giải được
Định nghĩa 1.4.1. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều trên trường K.
Đặt g0 = g, g1 = [g, g], ..., gk+1 = [gk , gk ], ...
Ta có một dãy giảm g0 ⊃ g1 ⊃ ... ⊃ gk ⊃ ... được gọi là chuỗi hoán
tử của g.
Khi đó, g được gọi là giải được nếu ∃k ∈ N : gk = {0}.
Ví dụ 1.4.2.
Bằng phép chứng minh qui nạp ta có tính chất sau:
Mệnh đề 1.4.3. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều. Với mỗi k ∈ N
ta đều có gk ⊆ gk .
Từ Mệnh đề 1.4.3 ta suy ra rằng: Nếu g là đại số Lie lũy linh thì g
giải được.
Mệnh đề 1.4.4. Cho ϕ : g → h là một toàn cấu đại số Lie.
Khi đó,

ϕ(gk ) = hk , ∀k ∈ N.

12

Hệ quả 1.4.5. Nếu g là đại số Lie giải được và ϕ : g → h là một
đồng cấu đại số Lie thì ϕ(g) cũng là đại số Lie giải được.
Mệnh đề 1.4.6. Cho g là đại số lie giải được. Khi đó, các đại số
Lie con, đại số Lie thương của g là giải được.
Mệnh đề 1.4.7. Cho g là đại số Lie. Nếu a là một iđêan giải được
của g sao cho g/a giải được thì g cũng giải được.
Mệnh đề 1.4.8. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều. Khi đó, tồn
tại duy nhất một iđêan giải được R trong g chứa tất cả các iđêan giải
được khác, được gọi là căn của g, kí hiệu R = rad g.
Định lý 1.4.9. (Tiêu chuẩn Cartan thứ nhất). Cho g là đại
số Lie hữu hạn chiều trên trường K (K ⊂ C). Khi đó, g là đại số Lie
giải được khi và chỉ khi với mọi X ∈ g, ∀Y ∈ [g, g] ta có B(X, Y ) = 0
hay B(g, [g, g]) = 0.
Ví dụ 1.4.10. Xét đại số Lie g =

0 a b
0 0 c
0 0 0

a, b, c ∈ R .

Khi đó, g là đại số Lie giải được.

1.5. Đại số Lie nửa đơn
Định nghĩa 1.5.1. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều trên trường K.
a) g được gọi là đơn nếu g không giao hoán và không tồn tại một iđêan
khác không thực sự trong g.
b) g được gọi là nửa đơn nếu g không có iđêan giải được khác không

nào, tức là rad(g) = {0}.
Nhận xét 1.5.2.
1) Nếu g là đại số Lie đơn thì g = [g, g]. Do đó g không giải được.
2) Nếu g là đại số Lie đơn thì g là đại số Lie nửa đơn.
3) Nếu g là đại số Lie nửa đơn thì Z(g) = 0.


13

Kết quả dưới đây cho thấy từ một đại số Lie hữu hạn chiều ta luôn thu
được đại số Lie nửa đơn dưới dạng đại số Lie thương.
Mệnh đề 1.5.3. Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều. Khi đó,
g/ rad(g) là nửa đơn.
Đối với các đại số Lie số chiều thấp, ta có mối liên hệ giữa đại số Lie
đơn và đại số Lie giải được thể hiện trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.5.4. Mỗi đại số Lie 3 chiều hoặc là đơn hoặc là
giải được.
Ví dụ 1.5.5.
Định lí dưới đây cho chúng ta một tiêu chuẩn để kiểm tra tính nửa đơn.
Phép chứng minh định lí có thể tham khảo ở tài liệu [1, Định lí 1.6.15].
Định lý 1.5.6. (Tiêu chuẩn Cartan thứ hai). Đại số Lie g là
nửa đơn khi và chỉ khi dạng Killing của g là không suy biến.
Ví dụ 1.5.7.
Định lí dưới đây cho chúng ta mối liên hệ giữa các đại số Lie đơn và
đại số Lie nửa đơn. Phép chứng minh định lí có thể tham khảo ở tài liệu [1,
Định lí 1.6.17].
Định lý 1.5.8. Đại số Lie hữu hạn chiều g là nửa đơn khi và
chỉ khi
g = g1 ⊕ g2 ⊕ ... ⊕ gn
trong đó g1 , g2 , ..., gn là các đại số Lie đơn.

Hệ quả 1.5.9. Nếu g là nửa đơn thì g = [g, g].


14

CHƯƠNG 2

TỔNG NỬA TRỰC TIẾP CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE

Trong chương này, chúng tôi trình bày về đạo hàm của đại số Lie,
khái niệm và các tính chất của tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie
trong mối liên hệ với đạo hàm và biểu diễn liên hợp của đại số Lie.
Đồng thời tìm hiểu một số ứng dụng của tổng nửa trực tiếp. Các kiến
thức trình bày trong chương được tham khảo từ các tài liệu [2], [4], [5]
và [6].

2.1. Đạo hàm của đại số Lie
Định nghĩa 2.1.1. Cho g là đại số Lie trên trường K. Ánh xạ

∂ : g −→ g
X −→ ∂(X)
được gọi là toán tử đạo hàm trên g nếu:
i) ∂ là ánh xạ tuyến tính;
ii) ∂ thỏa mãn quy tắc Leibniz, tức là

∂[X, Y ] = [∂(X), Y ] + [X, ∂(Y )], ∀X, Y ∈ g.
Mệnh đề 2.1.2. Cho ∂ và ∂ là các toán tử đạo hàm trên đại số
Lie g. Khi đó,
i) α∂ + β∂ là một toán tử đạo hàm với mọi α, β ∈ K;
ii) ∂ ◦ ∂ − ∂ ◦ ∂ là một toán tử đạo hàm.

15

Mệnh đề 2.1.3. Ký hiệu Der g = {∂ | ∂ là toán tử đạo hàm trên g}.
Trên Der g ta định nghĩa các phép toán sau:

(∂ + ∂ )(X) = ∂(X) + ∂ (X), ∀X ∈ g.
(α∂)(X) = α∂(X), ∀X ∈ g, ∀α ∈ K.
[∂, ∂ ] = ∂ ◦ ∂ − ∂ ◦ ∂, ∀∂, ∂ ∈ Der g.
Khi đó Der g là một đại số Lie trên trường K.
Định nghĩa 2.1.4. Đại số Lie Der g gồm các toán tử đạo hàm như
trong Mệnh đề 2.1.3 được gọi là đại số đạo hàm của g.
Nhận xét 2.1.5. Cho g là đại số Lie trên trường K và X ∈ g. Ánh xạ

adX : g −→ g
Y −→ adX (Y ) = [X, Y ]
là một toán tử đạo hàm trên g.
Định nghĩa 2.1.6. Cho trước phần tử A ∈ g, toán tử đạo hàm adA
của g xác định bởi công thức adA (B) = [A, B], với mọi B của g, như
trong nhận xét trên được gọi là đạo hàm trong của g.
Từ định nghĩa của toán tử ad ta suy một số tính chất sau đây:
Mệnh đề 2.1.7. Cho g là đại số Lie trên trường K và ad là biểu
diễn liên hợp của g. Khi đó, với mọi A, B, C ∈ g ta có:
(i) adA [B, C] = [adA (B), C] + [B, adA (C)];
(ii) ad[A,B] = [adA , adB ];
(iii) [g, g] ⊂ Z(g) ⇔ adA ◦ adB = ad[A,B] .
Mệnh đề 2.1.8. Cho g là một đại số Lie. Khi đó, ánh xạ

ad : g → Der g

X → adX
là một đồng cấu đại số Lie.


16

Mệnh đề 2.1.9. Nếu ∂ ∈ Der g thì [∂, adX ] = ad∂(X) , ∀X ∈ g.
Chứng minh. Với mọi X, Y ∈ g ta có:

[∂, adX ](Y ) = (∂ ◦ adX − adX ◦∂)(Y ) = ∂(adX (Y )) − adX (∂(Y ))
= ∂([X, Y ]) − [X, ∂(Y )]
= [∂(X), Y ] + [X, ∂(Y )] − [X, ∂(Y )]
= [∂(X), Y ] = ad∂(X)(Y ).
Vậy [∂, adX ] = ad∂(X) , ∀X ∈ g.
Mệnh đề 2.1.10. Xét ad g = {adX | ∀X ∈ g}. Khi đó,
i) Với mọi X, Y ∈ g ta có adX + adY = adX+Y .
ii) ad g là một iđêan của Der g.
Trong trường hợp g là đại số Lie nửa đơn thì ta có các kết quả sau:
Mệnh đề 2.1.11. Nếu g là đại số Lie nửa đơn thì ad g = Der g.
Hệ quả 2.1.12. Nếu g là đại số Lie nửa đơn thì Der g ∼
= g.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh ad : g → Der g là một đẳng cấu.
Thật vậy, vì g là đại số Lie nửa đơn nên theo Mệnh đề 2.1.11, ta có:

Der g = ad g.
Suy ra ad : g → Der g là toàn ánh.
Hơn nữa, vì g là đại số Lie nửa đơn nên ta có Z(g) = {0}.
Khi đó Ker(ad) = Z(g) = {0}.
Suy ra ad là đơn ánh.
Vậy ad : g → Der g là một đẳng cấu đại số Lie, tức là Der g ∼

= g.
Ví dụ 2.1.13.


17

2.2. Tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie
Mệnh đề 2.2.1. Cho g và h là các đại số Lie trên trường K.
Giả sử τ : g → Der h là đồng cấu đại số Lie. Đặt f = g × h là tích
trực tiếp của các không gian vectơ g và h. Khi đó, f là một đại số Lie
trên trường K với tích Lie được xác định như sau:

[(A, X), (B, Y )]τ = ([A, B], [X, Y ] + τ (A)Y − τ (B)X)
với mọi A, B ∈ g và X, Y ∈ h.
Từ đây ta có định nghĩa tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie như sau:
Định nghĩa 2.2.2. Cho g và h là các đại số Lie trên trường K. Tổng
nửa trực tiếp (hay tích nửa trực tiếp) của g và h, kí hiệu g ⊕τ h, là đại số
Lie trên không gian vectơ g × h xác định trong Mệnh đề 2.2.1 với tích Lie

[(A, X), (B, Y )]τ = ([A, B], [X, Y ] + τ (A)Y − τ (B)X)
với mọi A, B ∈ g, X, Y ∈ h và τ ∈ Hom(g, Der h).
Nhận xét 2.2.3.
1) Trong trường hợp τ = 0 thì tổng nửa trực tiếp của hai đại số Lie g
và h quy về tổng trực tiếp của hai đại số Lie g và h với tích Lie:

[(A, X), (B, Y )] = ([A, B], [X, Y ])
với mọi A, B ∈ g, X, Y ∈ h.
2) Nếu τ = ad thì hoán tử của tổng nửa trực tiếp g ⊕ad a có dạng

[(A, X), (B, Y )]ad = ([A, B], [X, Y ] + [A, Y ] − [B, X])

với mọi A, B ∈ g, X, Y ∈ a.
Ví dụ 2.2.4.
Ví dụ 2.2.5.


18

2.3. Các tính chất của tổng nửa trực tiếp
Nhận xét 2.3.1.
Mệnh đề 2.3.2. Cho tổng nửa trực tiếp g ⊕τ h của hai đại số Lie
g và h. Khi đó,
(i) [g × 0, g × h]τ ⊂ g ⊕τ 0 nếu và chỉ nếu τ (g)h = 0;
(ii) [0 × h, g × h]τ ⊂ 0 ⊕τ h.
Định lý 2.3.3. Cho tổng nửa trực tiếp g ⊕τ h của các đại số Lie
g và h. Khi đó,
(i) Z(g ⊕τ h) ⊂ Z(g) × Ker τ (g);
(ii) Nếu (A, B) ∈ Z(g ⊕τ h) thì τ (A) = − adB , ∀A ∈ g, ∀B ∈ h.
Nhận xét 2.3.4.
Định lý 2.3.5. Cho g1 và g2 là các đại số Lie trên trường K và

∂i ∈ Der gi, với i = 1, 2. Khi đó,
∂1 × ∂2 ∈ Der(g1 ⊕τ g2)
nếu và chỉ nếu

(τ ◦ ∂1)(A) = [∂2, τ (A)], ∀A ∈ g1.
Định lý 2.3.6. Cho g1 ⊕σ g2 , h1 ⊕τ h2 là hai tổng nửa trực tiếp
của đại số Lie và fi ∈ Hom(gi , hi ); i = 1, 2. Với mọi A ∈ g1 ta có:

f1 × f2 ∈ Hom(g1 ⊕σ g2, h1 ⊕τ h2)
nếu và chỉ nếu f2 ◦ σ(A) = τ (f1 (A)) ◦ f2 .

2.4. Dạng Killing và tổng nửa trực tiếp
Định nghĩa 2.4.1. Cho g ⊕τ h là tổng nửa trực tiếp của đại số Lie
g và h. Dạng song tuyến tính trên g ⊕τ h xác định bởi

B((A, B), (X, Y )) = Tr(ad(A,B) ◦ ad(X,Y )), ∀(A, B), (X, Y ) ∈ g × h
được gọi là dạng Killing của g ⊕τ h.


19

Các kết quả dưới đây cho ta một số tính chất quan trọng về dạng Killing
của tổng nửa trực tiếp các đại số Lie.
Định lý 2.4.2. Cho g ⊕ad a là một tổng nửa trực tiếp của đại số
Lie g và a, với a là một iđêan của đại số Lie g và ad là một biểu diễn
liên hợp của g. Khi đó,

B((A, B), (X, Y )) = B(A, X)+B(A+B, X+Y ), ∀A, X ∈ g, ∀B, Y ∈ a.
Hệ quả 2.4.3. Nếu a là một iđêan giao hoán của đại số Lie g trên
một trường có đặc số khác 2 thì

B((A, B), (X, Y )) = 2B(A, X), ∀A, X ∈ g, ∀B, Y ∈ a.
2.5. Một số hệ quả và tính chất liên quan
Nhận xét 2.5.1. Với hai đại số Lie g, h và τ ∈ Hom(g, Der h), một
đại số Lie f có thể được xây dựng từ tích Đề-các g × h. Đại số Lie mới này
có thể là một tổng trực tiếp của hai đại số Lie hoặc là tổng nửa trực tiếp
của hai đại số Lie. Có hai khả năng là:
1. Nếu Ker τ = g thì f = g ⊕ h và

[(A, X), (B, Y )] = ([A, B], [X, Y ]), ∀A, B ∈ g, ∀X, Y ∈ h.

2. Nếu Ker τ = g thì f = g ⊕τ h và ∀A, B ∈ g, ∀X, Y ∈ h, ta có:

[(A, X), (B, Y )] = ([A, B], [X, Y ] + τ (A)Y − τ (B)X).
Định lí Levi cho ta chiều ngược lại. Theo định lí Levi, mọi đại số Lie
f đều có dạng là tổng nửa trực tiếp của hai đại số Lie thành phần g và h,
trong đó g thay cho một đại số Lie nửa đơn, gọi là nhân tử Levi, và h là
iđêan giải được cực đại, gọi là căn. Từ đó đại số Lie con g có thể tác động
lên iđêan h và dẫn đến hai trường hợp:
1. Nếu [g, h] = 0 thì f = g ⊕ h.
2. Nếu [g, h] = 0 thì tồn tại một biểu diễn τ của đại số Lie con h.
Khi đó adA (X) = τ (A)X với mọi A ∈ g, X ∈ h và f = g ⊕τ h.


20

Hệ quả 2.5.2. Nếu g = Ker τ thì từ Định lí 2.3.3 ta có

Z(g ⊕τ h) = Z(g) ∩ Ker τ × Z(h) ∩ Ker τ (g).
Nói cách khác, với mọi A ∈ g và với mọi B ∈ h, ta có:
A ∈ Z(g) và τ (A)h = 0;
(A, B) ∈ Z(g ⊕τ h) nếu và chỉ nếu
B ∈ Z(g) và τ (g)B = 0.
Nhận xét 2.5.3.
Hệ quả 2.5.4. Với mọi X ∈ g ta có

adX ×τ (X) ∈ Der(g ⊕τ h), ∀X ∈ g.
Nhận xét 2.5.5.
Bổ đề 2.5.6. Cho tổng nửa trực tiếp g ⊕τ h của các đại số Lie g
và h. Khi đó,

[τ (A), adB ] = adτ (A)B , ∀A ∈ g, ∀B ∈ h.
Nhận xét 2.5.7. Theo Định lí Engel, đại số Lie hữu hạn chiều g là
lũy linh nếu và chỉ nếu ad g là đại số Lie lũy linh.
Từ đó suy ra rằng nếu g là đại số Lie lũy linh và h là đại số Lie con
của g thì tổng nửa trực tiếp g ⊕ad h cũng là đại số Lie lũy linh. Vì mọi đại
số Lie lũy linh đều giải được nên g ⊕ad h cũng giải được.

2.6. Một số ứng dụng của tổng nửa trực tiếp
2.6.1. Phân tích Levi của đại số Lie

Định nghĩa 2.6.1. Đại số Lie g được gọi là đại số Lie thu gọn nếu
với mỗi iđêan a của g tồn tại iđêan b của g sao cho g = a ⊕ b.
Nhận xét 2.6.2. Mỗi đại số Lie nửa đơn là một đại số Lie thu gọn.
Điều ngược lại nói chung là không đúng.
Định lý 2.6.3. Mỗi đại số Lie thu gọn g đều có dạng phân tích
g = [g, g] ⊕ Z(g).


21

Định lý 2.6.4. (Định lý phân tích Levi). Cho g là một đại số
Lie hữu hạn chiều với căn r = rad g. Khi đó, tồn tại một đại số Lie
con h của g đẳng cấu với đại số Lie nửa đơn g/r sao cho đại số Lie g
là tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie h và r.
2.6.2. Mở rộng của đại số Lie

Định nghĩa 2.6.5. Cho a và b là hai đại số Lie. Đại số Lie g gọi là
một mở rộng của a bởi b nếu
p

i

0 −→ b −→ g −→ a −→ 0
là dãy khớp các đại số Lie.
Về mặt ký hiệu, ta sẽ đồng nhất b với ảnh của nó trong g và xét b như
là một iđêan của g. Đại số Lie a được đồng nhất với g/b.
Định nghĩa 2.6.6. Hai mở rộng
i

p

i

p

0 −→ b −→ g −→ a −→ 0
và

0 −→ b −→ g −→ a −→ 0
được gọi là tương đương với nhau nếu tồn tại một đồng cấu f : g → g sao
cho biểu đồ sau giao hoán

0
0

/

/

b

i
/

g


b

i /
g

p /
a
/

0

f
p
/

a

/

0.

Mệnh đề 2.6.7. Quan hệ "tương đương của hai mở rộng"là một
quan hệ tương đương trên tập hợp các mở rộng của a bởi b.

Bổ đề 2.6.8. Cho f : g → h và g : h → g là các đồng cấu đại số
Lie sao cho f ◦ g = Idh . Khi đó, f là toàn cấu đại số Lie, g là đơn cấu
đại số Lie. Hơn nữa,
g = Ker f ⊕ Im g.


22
p

i

Mệnh đề 2.6.9. Cho 0 −→ b −→ g −→ a → 0 là một mở rộng
của a bởi b. Khi đó, tồn tại một đại số Lie con c của g bù với b nếu và
chỉ nếu có một đồng cấu s : a → g sao cho p ◦ s = Ida .
i

p

Định nghĩa 2.6.10. Cho 0 → b −→ g −→ a → 0 là một mở rộng
của a bởi b. Ta nói mở rộng đã cho là:

• mở rộng tầm thường nếu tồn tại iđêan i của g sao cho g = b ⊕ i,
• mở rộng không cốt yếu nếu tồn tại đại số Lie con c của g sao cho
g = b ⊕ c,

• mở rộng tâm nếu b ⊂ Z(g).
p

i

Định nghĩa 2.6.11. Dãy khớp ngắn 0 −→ b −→ g −→ a → 0
được gọi là chẻ ra nếu tồn tại một đồng cấu s : a → g sao cho p ◦ s = Ida .
Từ định nghĩa mở rộng không cốt yếu, kết hợp với Mệnh đề 2.6.9 ta có
kết quả sau
i

p

Mệnh đề 2.6.12. Dãy khớp ngắn 0 −→ b −→ g −→ a → 0 chẻ
ra nếu và chỉ nếu mở rộng g của a bởi b là mở rộng không cốt yếu.
i

p

Bổ đề 2.6.13. Mở rộng 0 −→ b −→ g −→ a → 0 là tầm thường
nếu và chỉ nếu g đẳng cấu với b × a.
Bổ đề 2.6.14. Mở rộng tâm không cốt yếu là mở rộng tầm thường.
Mệnh đề 2.6.15. Cho τ : a → Der(b) là một đồng cấu đại số Lie.
Khi đó, tổng nửa trực tiếp g = a ⊕τ b của a và b xác định bởi tích Lie:

[(A, B), (A , B )]τ = ([A, A ], [B, B ] + τ (A)(B ) − τ (A )(B))
với mọi A, A ∈ a, B, B ∈ b, là mở rộng không cốt yếu của a bởi b.
Ngược lại, mỗi mở rộng không cốt yếu của a bởi b là một tổng nửa
trực tiếp của a và b với tích Lie xác định như trên.


23

KẾT LUẬN

Qua một thời gian tìm hiểu, tiếp cận và nghiên cứu về tổng nửa trực
tiếp của các đại số Lie, dưới sự hướng dẫn khoa học, nhiệt tình của giáo
viên hướng dẫn, luận văn đã hoàn thành và đạt được mục đích nghiên cứu
của đề tài với những kết quả cụ thể như sau:

• Đã trình bày tổng quan được một số kết quả về tổng nửa trực tiếp
của các đại số Lie.

• Nghiên cứu tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie trong mối liên hệ
với biểu diễn liên hợp và đạo hàm của đại số Lie.

• Áp dụng một số kết quả về dạng Killing của đại số Lie, đại số Lie
giải được, đại số Lie nửa đơn vào tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie.

• Bước đầu tìm hiểu ứng dụng tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie
để tìm hiểu về định lý Levi, thể hiện tổng nửa trực tiếp dưới dạng mở rộng
của đại số Lie.
Với những kết quả đã đạt được, trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp
tục tìm hiểu thêm các ứng dụng của tổng nửa trực tiếp như: khảo sát biểu
diễn cảm sinh lên tổng nửa trực tiếp của các đại số Lie, xác định đại số Lie
của tích nửa trực tiếp các nhóm Lie,...
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì thời gian hạn chế và năng lực của
bản thân có hạn nên trong quá trình thực hiện luận văn không sao tránh
khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được những góp ý quý báu để luận
văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!