Lớp môđun xạ ảnh trên vành các ma trận chuẩn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN HOÀNG QUỲNH THI

LỚP MÔĐUN XẠ ẢNH TRÊN
VÀNH CÁC MA TRẬN CHUẨN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2019


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

NGUYỄN HOÀNG QUỲNH THI

LỚP MÔĐUN XẠ ẢNH TRÊN
VÀNH CÁC MA TRẬN CHUẨN

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã
số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. TRƯƠNG CƠNG QUỲNH

Đà Nẵng - 2019

MỤC LỤC
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1. MÔĐUN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1. ĐỊNH NGHĨA MÔĐUN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.1.2. MÔĐUN CON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3. SONG MÔĐUN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4. ĐỒNG CẤU MÔĐUN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. DÃY KHỚP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. MÔĐUN XẠ ẢNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. TÍCH TENXƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2. TÍCH TENXƠ VÀ ĐỒNG CẤU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.3. TÍCH TENXƠ CỦA CÁC DÃY KHỚP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. VÀNH ARTIN VÀ NƠTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6. CĂN JACOBSON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.1. IĐÊAN NGUYÊN THỦY VÀ NỬA NGUYÊN THỦY . . . .19
CHƯƠNG 2. VÀNH MA TRẬN CHUẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1. CẤU TRÚC VÀNH MA TRẬN CHUẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ VÀNH MA TRẬN CHUẨN . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. MỘT SỐ IĐÊAN TRÊN VÀNH MA TRẬN CHUẨN . . . . . . . . . . . . 26
2.4. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH MA TRẬN CHUẨN . . . . . . . .27
2.4.1. VÀNH MA TRẬN CHUẨN LÀ VÀNH ARTIN, NƠTE . . 27
2.4.2. CẤU TRÚC CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH MA TRẬN CHUẨN

28
2.4.3. MÔĐUN CON VÀ MÔĐUN THƯƠNG CỦA K -MÔĐUN
TRÊN VÀNH MA TRẬN CHUẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5. CĂN VÀ ĐẾ CỦA VÀNH MA TRẬN CHUẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
CHƯƠNG 3. MÔĐUN XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN DI TRUYỀN
TRÊN VÀNH MA TRẬN CHUẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1. MÔĐUN XẠ ẢNH TRÊN VÀNH MA TRẬN CHUẨN . . . . . . . . . . 38
3.2. MÔĐUN DI TRUYỀN TRÊN VÀNH MA TRẬN CHUẨN . . . . . . 45
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4


NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

∀
∃
A⊆B
A⊂B
A≤B
A ≤e B
AB
AAB
N
Z
Q

R
Zp = Z/pZ
⊕

Với mọi
Tồn tại
A là tập con của B
A là tập con thực sự của B
A là môđun con của B
A là môđun con cốt yếu (lớn) của B
A là môđun con đối cốt yếu (bé) của B
A là môđun con thực sự của B
A không là môđun con của B
Tập hợp các số tự nhiên
Tập hợp các số nguyên
Tập hợp các số hữu tỉ
Tập hợp các số thực
Vành các số ngun mơđulơ p
tổng trực tiếp
Q
Tích trực tiếp
Ker(ϕ)
Hạt nhân của đồng cấu ϕ
Im(ϕ)
Ảnh của đồng cấu ϕ
R×S
Tích trực tiếp của vành R và S
EndG
vành tự đồng cấu của một nhóm aben G
HomR (A, B) nhóm các đồng cấu từ R-mơđun A vào R-môđun B

MỞ ĐẦU

I. HỌC VIÊN CAO HỌC:
1. Họ và tên: Nguyễn Hoàng Quỳnh Thi
2. Sinh ngày: 20/04/1993
3. Học viên lớp cao học: Khóa 35
4. Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
5. Mã ngành: 60.46.01.04
II. THÔNG TIN VỀ NGƯỜI HƯỚNG DẪN:
1. Họ và tên: Trương Công Quỳnh
2. Học hàm, học vị: Phó giáo sư, Tiến sĩ
3. Chun ngành: Đại số, Hình học
4. Đơn vị công tác: Đại học sư phạm Đà Nẵng
III. THƠNG TIN VỀ ĐỀ TÀI:
Tên đề tài: Lớp mơđun xạ ảnh trên vành ma trận chuẩn
1. GIỚI THIỆU
1.1. Đặt vấn đề
Khái niệm ma trận và mơđun đóng vai trị rất quan trọng trong toán học
thuần túy và ứng dụng. Lý thuyết vành và môđun, lý thuyết về ma trận là
một trong những lý thuyết cơ bản, đóng vai trị chủ chốt trong lĩnh vực Đại
số. Trước đây !ta đã được tìm hiểu ma trận với các phần tử thuộc các tập hợp
1 4
số (vd: 2 3 ), cùng các tính chất tương ứng của nó. Ma trận với vành cũng
đã và đang được nghiên cứu và sử dụng rộng rãi trên thế giới, chẳng hạn như
nhà toán học Brown với ma trận trên vành giao hoán, McDonal với Đại số
tuyến tính trên vành giao hốn, hay Golan với nửa vành và ứng dụng,. . . Và
Krylov-Tuganbaev với vành ma trận chuẩn, với các phần tử của ma trận thuộc
các vành hoặc song mơđun khác nhau.

1.2. Tính cấp thiết của đề tài
Vậy vành ma trận chuẩn là gì? Tính chất của vành ma trận chuẩn như thế
nào? Và môđun xạ ảnh trên vành ma trận chuẩn được định nghĩa như thế nào?


Để góp phần trả lời các câu hỏi và làm phong phú hơn về vành ma trận, cung
cấp những kiến thức có liên quan đến việc nghiên cứu về vành ma trận chuẩn,
tôi chọn “ Lớp môđun xạ ảnh trên vành ma trận chuẩn” làm đề tài luận văn
của mình.
2. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU
2.1 Mục tiêu tổng quát:
Luận văn tập trung nghiên cứu về môđun xạ ảnh trên vành ma trận chuẩn,
và các khái niệm, tính chất liên quan đến lớp các môđun này.
2.2 Mục tiêu cụ thể:
- Nghiên cứu khái niệm vành ma trận chuẩn cấp 2
- Chỉ ra được một số iđêan, tính chất của vành ma trận chuẩn cấp 2
- Cung cấp một số khái niệm môđun xạ ảnh trên vành ma trận chuẩn cấp
2, từ đó phát triển khái niệm môđun di truyền trên vành ma trận chuẩn cấp 2
3. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
3.1 Đối tượng nghiên cứu: Ma trận chuẩn cấp 2, môđun xạ ảnh, môđun di
truyền trên vành ma trận chuẩn cấp 2
3.2 Phạm vi nghiên cứu
+ Phạm vi không gian: Trường Đại học sư phạm Đà Nẵng, thư viện.
+ Phạm vi thời gian: tháng 11/2018-10/2019
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp logic Toán
2. Phương pháp chứng minh khoa học
3. Phương pháp nghiên cứu tài liệu
5. TỔNG QUAN TÀI LIỆU NGHIÊN CỨU
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày

trong ba chương:
Chương 1 trình bày các khái niệm về môđun, dãy khớp, môđun xạ ảnh, các
khái niệm về tích tenxơ, vành Artin, Nơte và căn Jacobson.
Chương 2 trình bày về cấu trúc của vành ma trận chuẩn và cấu trúc của các
môđun trên vành ma trận chuẩn cấp 2.
Chương 3 trình bày nội dung chính của luận văn, bao gồm các khái niệm về
môđun xạ ảnh trên vành ma trận chuẩn cấp 2, môđun di truyền trên vành ma
7


trận chuẩn cấp 2.
Luận văn có thể giúp các bạn sinh viên xem như tài liệu tham khảo những
kiến thức liên quan đến ma trận chuẩn cấp 2, môđun xạ ảnh và môđun di
truyền trên vành ma trận chuẩn.

8


CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này sẽ nhắc lại những kiến thức cơ bản về vành và môđun, môđun
xạ ảnh, dãy khớp, tích tenxơ của các mơđun, vành Artin, Nơte, căn Jacobson
và vành nguyên thủy, nửa nguyên thủy.
Nội dung chương được tham khảo từ [1], [2].
1.1. MÔĐUN
1.1.1. ĐỊNH NGHĨA MÔĐUN
Định nghĩa 1.1.1. Cho R là vành. Một R-môđun phải M là:
(1) Nhóm cộng aben M.

(2) Ánh xạ

M ×R→M
(m × r) 7→ mr
được gọi là phép nhân môđun, thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) (mr1 )r2 = m(r1 r2 ).
(2) (m1 + m2 )r = m1 r + m2 r.
m(r1 + r2 ) = mr1 + mr2 .
(3) m1 = m.
trong đó m, m1 , m2 là các phần tử tùy ý của M, r1 , r2 ∈ R.
Lúc đó R được gọi là vành cơ sở. Nếu M là một R-mơđun phải ta thường kí
hiệu M = MR . Tương tự ta cũng định nghĩa khái niệm R-môđun trái.
Mệnh đề 1.1.2. Cho MR . Lúc đó ta có:
0M r = 0M , m0R = 0M , −(mr) = (−m)r = m(−r)
với mọi m ∈ M, r ∈ R.
1.1.2. MÔĐUN CON
Định nghĩa 1.1.3. Cho M là R-môđun phải. Tập con A của M được gọi
là mơđun con của M (kí hiệu A≤M hay AR ≤ MR ), nếu A là R-môđun phải
với phép tốn cộng và nhân mơđun hạn chế được trên A.
Định lý 1.1.4. Giả sử M là một R-môđun phải. Nếu A là tập con khác


khơng của M thì các điều kiện sau là tương đương:
(1) A≤M.
(2) A là nhóm con của nhóm cộng của môđun M và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta
có ar ∈ A.
(3) ∀a1 , a2 ∈ A ta có a1 + a2 ∈ A, và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A.
Lưu ý Vì vành được xét như là R-mơđun phải (trái), nên ta chú ý rằng
iđêan phải (trái) của vành R chính là mơđun con của RR (R R). Ví dụ (1) Mỗi
mơđun M có hai mơđun con tầm thường là {0} và M, trong đó {0} là mơđun

con chỉ có một phần tử là phần tử khơng của mơđun M.
(2) Cho MR và m0 ∈ M . Lúc đó ta có thể thấy
n

m0 R := m0 r|r ∈ R

o

là môđun con của M.
Bổ đề 1.1.5.
Cho X là tập con của MR . Khi đó:
 
A=


P

n


x r |x
j=1 j j j



 0 nếu X



∈ X, rj ∈ R, n ∈ N∗ 

nếu

X 6= ∅

=∅

là môđun con của M.
Định nghĩa 1.1.6. Môđun A được xác định như trên được gọi là môđun
con của M sinh ra bởi tập X.
Định nghĩa 1.1.7. (1) Môđun MR được gọi là đơn nếu M 6=0 và
∀A ≤ M [A = 0 hay A = M ],
nghĩa là M 6= 0 và M chỉ có hai môđun con là 0 và M.
(2) Vành R được gọi là đơn nếu R 6=0 và
∀A ≤R RR [A = 0 hay A = R],
nghĩa là R 6=0 và R chỉ có hai iđêan (hai phía) là 0 và R.
(3) Môđun con A 6=M được gọi là môđun con cực tiểu của môđun M nếu A 6=0
và
∀B≤ M [B < A ⇒ B=0].
(4) Tương tự, môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực đại của môđun
M nếu như A 6=M và
∀B ≤ M [A < B ⇒ B = M ].
10


1.1.3. SONG MÔĐUN
Định nghĩa 1.1.8. Cho R và S là các vành có đơn vị. Nhóm aben M
được gọi là song mơđun R-trái, S -phải (R-S -song mơđun), kí hiệu R MS nếu
M là R-môđun trái và S -môđun phải sao cho
r(xs) = (rx)s

∀r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M.
1.1.4. ĐỒNG CẤU MÔĐUN
Định nghĩa 1.1.9. Cho A và B là hai R-môđun phải. Đồng cấu α từ A
vào B là ánh xạ α : A → B thỏa mãn
∀a1 , a2 ∈ A, ∀r1 , r2 ∈ R, [α(a1 r1 + a2 r2 )] = α(a1 )r1 + α(a2 )r2 .
Lúc đó ta viết α : AR → BR
Định nghĩa 1.1.10. Đồng cấu α : AR → BR được gọi là đơn cấu nếu nó
là đơn ánh, tồn cấu nếu nó là tồn ánh, và được gọi là đẳng cấu nếu α là song
ánh, nghĩa là nó vừa toàn cấu vừa đơn cấu.
Mệnh đề 1.1.11. (1) Nếu f : LR → MR và g : MR → NR là các đồng
cấu mơđun, thì hợp thành gf của chúng cũng là đồng cấu R-mơđun.
(2) Nếu f,g đơn cấu (tồn cấu, đẳng cấu) thì gf cũng vậy.
(3) Ánh xạ ngược f −1 của một đẳng cấu cũng là một đẳng cấu.
Định lý 1.1.12. Mỗi đồng cấu của các môđun phải α: A → B đều có thể
phân tích được α = α0 ν, trong đó đồng cấu
ν : A → A/Ker(α)
là tồn cấu chính tắc, cịn α0 là đơn cấu xác định bởi
α0 : A/Ker(α) 3 a + Ker(α) 7→ α(a) ∈ B
Đơn cấu α0 là đẳng cấu khi và chỉ khi α là toàn cấu.
Hệ quả 1.1.13. Cho α : AR → BR là đồng cấu R-mơđun. Lúc đó:
A/Ker(α) ' Im(α)
Định lý 1.1.14. Nếu B ≤R AR và C ≤R AR thì
(B + C)/C ' B/(B ∩ C).
Định lý 1.1.15. Nếu C ≤ B ≤R AR thì
A/B ' (A/C)/(B/C)

11


1.2. DÃY KHỚP

Định nghĩa 1.2.1. Một dãy các R-môđun phải và R-đồng cấu môđun
ϕn−1

ϕ

n
... → Mn−1 −−−→ Mn −→
Mn+1 → ...

được gọi là khớp nếu tại mọi Mn (không kể hai đầu mút nếu có) thỏa mãn điều
kiện
Im(ϕn−1 ) = Ker(ϕn )
Dãy khớp các R-môđun phải: 0 → X → Y → Z → 0 được gọi là dãy khớp
ngắn.
Bổ đề 1.2.2. Cho f:M → N và f’:N → M là các đồng cấu sao cho ff’=1N .
Lúc đó f là toàn cấu, f’ là đơn cấu và M=Ker(f) ⊕ Im(f’).
Định nghĩa 1.2.3. (1) Nếu f : M → N và f 0 : N → M là các đồng cấu
sao cho f f 0 = 1N , thì chúng ta nói rằng f là tồn cấu chẻ ra, cịn f’ là đơn cấu
chẻ ra.
(2) Một dãy khớp ngắn
f

g

0 → M1 →
− M→
− M2 → 0
được gọi là chẻ ra nếu f là đơn cấu chẻ ra và g là tồn cấu chẻ ra.
1.3. MƠĐUN XẠ ẢNH
Cho UR là một mơđun. Nói chung các hàm tử HomR (U, −) và HomR (−, U )

là không khớp. Tuy khiên trong một vài trường hợp đặc biệt, các hàm tử
HomR (U, −) và HomR (−, U ) là khớp. Ta sẽ xét chúng như sau:
Định nghĩa 1.3.1. Cho UR là một môđun. Nếu MR là một mơđun, thì U
được gọi là xạ ảnh theo M (U là M -xạ ảnh) trong trường hợp với mọi toàn cấu
g:MR → NR và mỗi đồng cấu ν : UR → NR , tồn tại một R-đồng cấu ν : U → M
sao cho biểu đồ sau đây giao hoán; nghĩa là v ◦ v = g
M`

g
ν

/
ν

>N

/

0

U
Mệnh đề 1.3.2. Cho U và M là các R-môđun phải. Lúc đó các điều kiện
sau là tương đương.
(1) U là M-xạ ảnh.
(2) Mọi dãy khớp ngắn trong Mod-R với M nằm giữa
f

g

0→K→

− M→
− N →0
12


thì dãy sau cũng khớp
f∗

g∗

0 → HomR (U, K) −→ HomR (U, M ) −
→ HomR (U, N ) → 0.
(3) Với mỗi môđun con KR ≤ MR , mỗi R-đồng cấu h : U → M/K, tồn tại
h : U → M sao cho ηK ν = ν trong đó ηK là tồn cấu tự nhiên từ M vào M/K.
Mệnh đề 1.3.3. Cho M là một R-môđun phải và (Uα )α∈A là tập các Rmơđun. Lúc đó ⊕A Uα là M-xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi Uα là M-xạ ảnh.
Định nghĩa 1.3.4. Cho PR là một môđun. Lúc đó P được gọi là xạ ảnh
nếu P là M -xạ ảnh với mọi R-môđun phải M. Nghĩa là với mọi toàn cấu β:
B → C, với B,C là các R-môđun phải và mỗi đồng cấu ψ: P → C tồn tại một
đồng cấu λ: P → B sao cho ψ = βλ, nghĩa là biểu đồ sau đây giao hốn
B`

β
λ

/
ψ

?C

/

0

P
Mệnh đề 1.3.5. Cho P là R-mơđun phải. Lúc đó các điều kiện sau là
tương đương:
(1) P là xạ ảnh.
(2) Mỗi toàn cấu ϕ: B → P đều chẻ ra, nghĩa là Ker(ϕ) là hạng tử trực tiếp
của môđun B.
(3) Mọi tồn cấu β: B → C thì ánh xạ
HomR (1P , B) : HomR (P, B) → HomR (P, C)
là một toàn cấu.
Hệ quả 1.3.6. Nếu P là xạ ảnh và P ' C thì C là xạ ảnh.
L
Định lý 1.3.7. Cho P = i∈I Pi . Lúc đó P xạ ảnh nếu và chỉ nếu Pi xạ
ảnh với mọi i ∈ I.
Định lý 1.3.8. Một môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi P đẳng cấu với
hạng tử trực tiếp của mơđun tự do nào đó.
1.4. TÍCH TENXƠ
1.4.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
Định nghĩa 1.4.1. Cho R-mơđun phải MR , R-mơđun trái R N và nhóm
aben A. Ánh xạ β:M × N → A được gọi là song tuyến tính trong trường hợp
với mọi m, m1 , m2 ∈ M , n, n1 , n2 ∈ N và r ∈ R, β thỏa mãn
(1) β(m1 + m2 , n) = β(m1 , n) + β(m2 , n)
(2) β(m, n1 + n2 ) = β(m, n1 ) + β(m, n2 ).
13


(3) β(mr, n) = β(m, rn).
Định nghĩa 1.4.2. Cho MR và R N là các môđun. Cặp (T, τ ) bao gồm

một nhóm aben T và một ánh xạ song tuyến tính τ : M × N → T được gọi là
tích tenxơ của M và N nếu với mọi nhóm aben A và mọi ánh xạ song tuyến
tính β: M × N → A tồn tại duy nhất Z-đồng cấu (nghĩa là đồng cấu nhóm f :
T → A) sao cho biểu đồ sau giao hốn:
τ

M ×N

/

T

f
β



$

A
Nhận xét 1.4.3. (1) Nếu (T, τ ) là tích tenxơ của M và N thì rõ ràng
f ◦ τ cũng là ánh xạ song tuyến tính với mọi đồng cấu nhóm f : T → A.
Vậy (T, τ ) là tích tenxơ của M và N khi và chỉ khi với mỗi nhóm aben A
n
o
HomZ (T, A) 3 f → f ◦ τ ∈ β|β : M × N → A , với β là ánh xạ song tuyến
tính, là một song ánh.
(2) Nếu (T, τ ) là tích tenxơ của M và N thì τ (M × N ) sinh ra nhóm T.
Mệnh đề 1.4.4. Nếu (T, τ ) và (T’, τ ’) là hai tích tenxơ của M và N thì
lúc đó tồn tại một Z- đẳng cấu f: T → T’ sao cho biểu đồ sau giao hốn:

τ

M ×N

/

T

f
τ0

$

T0



nghĩa là τ 0 = f ◦ τ .
Mệnh đề 1.4.5. Với T và τ xác định ở trên, (T,τ ) là tích tenxơ của MR
và R N .
Qua các mệnh đề vừa nêu ta nhận thấy
Nhận xét 1.4.6. Khi cho MR , R N và (T,τ ) là tích tenxơ vừa mới thiết
lập, thì
(1) (T,τ ) xác định duy nhất sai khác một phép đẳng cấu, ta viết T = M ⊗R N
(2) Với mỗi (m, n) ∈ M × N , τ (m, n) = m ⊗ n (τ còn được gọi là ánh xạ tenxơ)
n

(3) Tập sinh của M ⊗R N là m ⊗ n|m ∈ M, n ∈ N

o

Mệnh đề 1.4.7. Với mỗi ánh xạ song tuyến tính β: M × N → A tồn
tại duy nhất một đồng cấu nhóm aben f: M⊗S N → A sao cho với mọi m ∈M,
n ∈N: f (m ⊗ n) = β(m, n).
Mệnh đề 1.4.8. Với mỗi phần tử của M ⊗ N có thể được biểu diễn

14


dưới dạng tổng hữu hạn i (mi ⊗ ni ), mi ∈ M, ni ∈ N . Ngoài ra, ∀m1 , m2 ∈
M, n1 , n2 ∈ N, r ∈ R ta có
P

a, (m1 + m2 ) ⊗ n1 = (m1 , n1 ) ⊗ (m2 , n1 )
b, m1 ⊗ (n1 , n2 ) = (m1 , n1 ) ⊗ (m1 , n2 )
c, (m1 r) ⊗ n = m1 ⊗ rn
Mệnh đề 1.4.9. Với mỗi R-môđun phải M, ta có R-đẳng cấu νr : M ⊗R R
→ M xác định bởi νr (m ⊗ r) = mr.
Mệnh đề 1.4.10. Với mỗi R-mơđun trái N, ta có R-đẳng cấu νl : R⊗R N
→ N xác định bởi νl (r ⊗ n) = rn.
Ví dụ:
Cho A là nhóm aben hữu hạn, gọi a ∈A là một phần tử tùy ý sao cho na=
0 với n là số nguyên dương nào đó. Khi đó với mọi r ∈ Q∗ ta có: r ⊗ a =
r
r
r
n( ) ⊗ a = ⊗ na = ⊗ 0 = 0. Vậy Q ⊗Z A = 0.
n
n
n

1.4.2. TÍCH TENXƠ VÀ ĐỒNG CẤU
Cho M và M’ là các R-môđun phải và cho N, N ’ là các R-môđun trái
Giả sử f: M → M’, g: N →N’ là các R-đồng cấu.
Xét ánh xạ: (f, g) : M ×N → M 0 ⊗R N 0 xác định bởi (f, g)(m, n) = f (m)⊗g(n).
Suy ra (f,g) là ánh xạ song tuyến tính. Khi đó tồn tại duy nhất một Z-đồng
cấu từ M ⊗R N vào M 0 ⊗R N 0 sao cho biểu đồ sau giao hốn.
τ

M ×N
(f,g)

'

/

M ⊗R N

w

M 0 ⊗R N 0

Định nghĩa 1.4.11. Ánh xạ (f,g) được gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu
f và g, kí hiệu f ⊗ g, xác định bởi
(f ⊗ g)(m ⊗ n) = f (m) ⊗ g(n), m ∈ M, n ∈ N.
Mệnh đề 1.4.12. Xét MR , MR0 , R N, R N 0 .
Với mọi f1 , f2 , f ∈ HomR (M, M 0 ) và với mọi g1 , g2 , g ∈ HomR (N, N 0 ), ta có:
1, (f1 + f2 ) ⊗ g = (f1 ⊗ g) + (f2 ⊗ g).
2, f ⊗ (g1 + g2 ) = (f1 ⊗ g1 ) + (f ⊗ g2 ).
3, f ⊗ 0 = 0 ⊗ g = 0.
4, idM ⊗ idN = id(M ⊗R N ) .

Mệnh đề 1.4.13. Cho các R-đồng cấu f : M → M 0 , f 0 : M 0 → M 00 ,
g : N → N 0 và g 0 : N 0 → N 00 . Ta có: (f 0 ⊗ g 0 )(f ⊗ g) = (f 0 f ) ⊗ (g 0 g).
15


1.4.3. TÍCH TENXƠ CỦA CÁC DÃY KHỚP
Mệnh đề 1.4.14. Cho R M và dãy khớp các R-môđun phải
f

g

A→
− B→
− C→0
Lúc đó dãy các nhóm aben sau cũng khớp
f ⊗1

g⊗1

A ⊗R M −−→ B ⊗R M −−→ C ⊗R M → 0.
Mệnh đề 1.4.15. Cho MR và dãy khớp các R-môđun trái
A→B→C→0
Lúc đó dãy các nhóm aben sau cũng khớp.
M ⊗R A → M ⊗R B → M ⊗R C → 0.
Mệnh đề 1.4.16. Cho FR là môđun trái tự do và dãy khớp các R-mơđun
trái
0→A→B→C→0
Lúc đó dãy các nhóm aben sau cũng khớp.
1⊗f

1⊗g

0 → F ⊗R A −−→ F ⊗R B −−→ F ⊗R C → 0.
Mệnh đề 1.4.17. Cho các môđun S UR và S N , nếu f :R M → R M là một
đồng cấu thì tồn tại các Z-đẳng cấu φ và φ’ sao cho biểu đồ sau giao hoán
/ Hom

HomR (M, HomS (U, N ))
φ



/

HomS ((U ⊗R M ), N )

R (M

0

, HomS (U, N ))


φ0

HomS ((U ⊗R M 0 ), N )

1.5. VÀNH ARTIN VÀ NƠTE
Định nghĩa 1.5.1. Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa
mãn điều kiện dãy tăng (ACC) trong trường hợp với mọi dãy

L1 ≤ L2 ≤ L3 ≤ ... ≤ Ln ≤ ...
trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+1 = Ln (i=1,2, ...).
Tập L các mơđun con nào đó của M được gọi là thỏa mãn điều kiện dãy giảm
(DCC) trong trường hợp với mọi dãy
L1 ≥ L2 ≥ L3 ≥ ... ≥ Ln ≥ ...
trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+1 = Ln (i=1,2,3,...). Cho hai dãy hữu hạn
các mơđun con nào đó của một mơđun A.
0 = B0 ≤ B1 ≤ B2 ≤ ... ≤ Bk−1 ≤ Bk = A
16


(ký hiệu là B), và
0 = C0 ≤ C1 ≤ C2 ≤ ... ≤ Cl−1 ≤ Cl = A
(ký hiệu là C). Lúc đó ta định nghĩa độ dài của dãy B là k.
Dãy B được gọi là đẳng cấu với dãy C, ký hiệu B ' C, nếu tồn tại song
ánh ∂ giữa các tập các chỉ số I đối với B và tập các chỉ số J đối với C, mà
Bi /Bi−1 ' C∂(i) /C∂(i)−1 , i = 1, 2, ..., k.
*) Dãy B được gọi là dãy hợp thành đối với A nếu với mọi i=1,2,3,...,k, Bi−1
cực đại trong Bi . Điều này tương đương với Bi /Bi−1 đơn.
*) Mơđun A được gọi là có độ dài hữu hạn nếu A=0 hay A có dãy hợp thành.
*) Môđun MR được gọi là Nơte nếu mỗi tập khác rỗng các mơđun nào đó của
M đều có phần tử cực đại.
*) Môđun MR được gọi là Artin nếu mỗi tập khác rỗng các mơđun con nào đó
của M đều có phần tử cực tiểu.
*) Vành R được gọi là Nơte phải (Artin phải) nếu môđun RR là Nơte (Artin).
Định lý 1.5.2. (Định lý Jordan-Holder-Schreier) Bất kì hai dãy
hợp thành của một mơđun có độ dài hữu hạn đã cho đều đẳng cấu với nhau.
Định lý 1.5.3. Cho MR và A ≤ M .
(I) các điều kiện sau là tương đương:
(1) M là Artin.

(2) A và M/A là Artin.
(3) M thỏa mãn DCC đối với tập các môđun con.
(4) Mỗi môđun thương của môđun M hữu hạn đối sinh.
(5) Trong tập Ai , i ∈ I6=0 các môđun con của môđun M tồn tại tập con hữu
hạn Ai , i ∈ I0 (nghĩa là I0 ⊆ I hữu hạn) sao cho
\

\

Ai =

i∈I

Ai .

i∈I0

(II) Các điều kiện sau là tương đương:
(1) M là Artin và Nơte.
(2) M là mơđun có độ dài hữu hạn.
Hệ quả 1.5.4. Cho M là R-môđun phải
n
P
(1) Nếu M =
Mi , Mi ≤ M, Mi Nơte (Artin) thì M Nơte (Artin).
i=1

(2) Nếu R là vành Artin (Nơte) phải thì mọi mơđun hữu hạn sinh MR là Artin
(Nơte).
(3) Vành thương của vành Nơte (Artin) phải cũng là vành Nơte (Artin) phải.

17


1.6. CĂN JACOBSON
Mệnh đề 1.6.1. Cho M=MR . Khi đó:
P
T
P
(1) AM A = B≤M B = ϕ∈HomR (M,N ) Ker(ϕ), trong đó B là mơđun con cực
đại của M, cịn NR là môđun nửa đơn tùy ý.
T
P
P
(2) Ae M = B≤M B = ϕ∈HomR (N,M ) Im(ϕ), trong đó B là mơđun con đơn
của M, cịn NR là mơđun nửa đơn tùy ý.
Định nghĩa 1.6.2. (1) Môđun con của M thỏa mãn Mệnh đề 1.6.1(1)
được gọi là căn (Radical) của M, ký hiệu là Rad(M).
(2) Môđun con của M thỏa mãn Mệnh đề 1.6.1(2) được gọi là đế (Socle) của
M, ký hiệu Soc(M).
Định lý 1.6.3. (1) ϕ ∈ HomR (M, N ) ⇒ ϕ(Rad(M )) ≤ Rad(N ) và
ϕ(Soc(M )) ≤ Soc(N ).
(2) Rad(M/Rad(M))=0. Hơn nữa, với mọi C ≤M sao cho Soc(C)=C thì C ≤
Soc(M ), nghĩa là Soc(M) là môđun con lớn nhất trong số các môđun con của
M sao cho đế của nó trùng với nó.
Hệ quả 1.6.4. (1) Nếu C ≤ M thì Rad(C) ≤ Rad(M ) và Soc(C) ≤
Soc(M ).
L
L
L
(2) Nếu M = i∈I Mi thì Rad(M ) = i∈I (Mi ) và Soc(M ) = i∈I Soc(Mi ).

(3) Nếu M = i∈I Mi thì M/Rad(M ) ' i∈I (Mi /Rad(Mi )).
Định lý 1.6.5. Cho R là một vành. Khi đó Rad(RR )=Rad(R R) là một
L

L

iđêan hai phía của vành R và ký hiệu là J(R).
Mệnh đề 1.6.6. Cho R là một vành. Khi đó:
n

J(R) = a ∈ R|1 − ar khả nghịch phải ∀r ∈ R
n

o

o

= a ∈ R|1 − ar khả nghịch trái ∀r ∈ R
n
o
= a ∈ R|1 − ar là khả nghịch ∀r ∈ R .

Hệ quả 1.6.7. J(R) là iđêan hai phía của vành R, lớn nhất (theo quan
hệ bao hàm) trong số các iđêan I thỏa mãn 1 − a là khả nghịch hai phía, với
mọi a ∈ I .
Định nghĩa 1.6.8. Iđêan phải (trái) J của vành R được gọi là lũy linh
nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho J n =0. Iđêan J được gọi là linh nếu mọi
phần tử của J là lũy linh.
Định nghĩa 1.6.9. Căn Jacobson của vành R chứa tất cả các iđêan phải
(trái) linh của vành R.

18


1.6.1. IĐÊAN NGUYÊN THỦY VÀ NỬA NGUYÊN THỦY
Định nghĩa 1.6.10. (1) Một iđêan P trong vành R được gọi là iđêan
nguyên thủy phải (trái) nếu P = annR (A) với A là một R-mơđun đơn phải
(trái) nào đó.
(2) Một vành R được gọi là nguyên thủy phải (trái) nếu 0 là một iđêan nguyên
thủy phải (trái) của R, tức là R có một mơđun đơn phải (trái) trung thành.
Định nghĩa 1.6.11. Vành R được gọi là nửa nguyên thủy (nửa đơn Jacobson) nếu J(R)=0. Iđêan I được gọi là iđêan nửa nguyên thủy (hay J -iđêan)
trong vành R nếu J(R/I)=0
Định lý 1.6.12. Cho vành R, các điều kiện sau là tương đương:
(1) R là vành Artin phải và nửa nguyên thủy.
(2) R là vành Artin trái và nửa nguyên thủy.
(3) R là vành nửa đơn.

19


CHƯƠNG 2

VÀNH MA TRẬN CHUẨN

Trong chương này tơi trình bày định nghĩa các vành ma trận chuẩn cấp 2,
các tính chất chính của chúng, một số ví dụ, một số iđêan trên vành ma trận
chuẩn cấp 2 và mối quan hệ giữa các vành ma trận chuẩn cấp 2, vành tự đồng
cấu của các môđun, cũng như mô tả căn Jacobson, căn nguyên tố của vành ma
trận chuẩn cáp 2. Đồng thời chương này cũng trình bày tính chất của vành ma
trận chuẩn cấp 2 khi là Artin hoặc Nơte, xem xét cấu trúc của các môđun và
môđun con (căn và đế) trên vành ma trận chuẩn cấp 2.

Nội dung chương này được tham khảo từ tài liệu [14].
2.1. CẤU TRÚC VÀNH MA TRẬN CHUẨN
Định nghĩa 2.1.1. Cho R, S là các vành, M là một R-S -song môđun và
N là một S-R-song môđun. Ta định nghĩa K
là tập tất cả các ma trận có dạng
!
r m
n s
với r ∈ R, s ∈ S, m ∈ M, n ∈ N.
Với phép cộng ma trận, K là nhóm aben. Để K là một vành, ta có thể kiểm
chứng tích mn ∈ R, nm ∈ S. Thật vậy, giả sử rằng có hai phép đồng cấu song
môđun ϕ : M ⊗S N → R và ψ : N ⊗R M → S.
Để kí hiệu đơn giản, ta có thể viết
ϕ(m ⊗ n) = mn và ψ(n ⊗ m) = nm,

∀m ∈ M, n ∈ N.

Ta có thể
ma trận trong K tương tự như
! nhân các !
! vành ma trận thông thường
r m
r1 m1
rr1 + rn1 rm1 + ms1
n s
n1 s1 = nr1 + sr1 nm1 + ss1 ;
r, r1 ∈ R, s, s1 ∈ S, m, m1 ∈ M, n, n1 ∈ N .
Từ đây ta định nghĩa rm1 , ms1 , nr1 , sr1 tương ứng là tích các mơđun. Giả sử,
∀m, m0 ∈ M, n, n0 ∈ N ta có
(mn)m0 = m(nm0 ); (nm)n0 = n(mn0 )(*)

Khi đó K là một vành với phép cộng và nhân. Khi kiểm tra các tiên đề về vành,
ta thường đề cập đến tính chất chính của tích tenxơ và các điều kiện sao cho
ϕ và ψ là các đồng cấu song môđun. Ngược lại, nếu K là một vành, khi đó (*)


thỏa mãn.! Vành K được gọi là vành ma trận chuẩn (cấp 2), được kí hiệu là
R M
N S .
Nếu M=0! hoặc N=0
! thì K là vành ma trận chuẩn tam giác trên hoặc dưới
R M
R 0
0 S ; N S .
Để định nghĩa một vành ma trận chuẩn tam giác trên hoặc ma trận tam giác
dưới, ta cần sử dụng đồng cấu ϕ và ψ. Ảnh I, J của phép đồng cấu ϕ và ψ
là các iđêan của vành R và S. Chúng được gọi là iđêan vết của vành K. Ta có
thể nói K là một vành với iđêan vết bằng không hay vành tầm thường, trong
trường hợp ϕ = 0 = ψ, ví dụ I = O = J. Hiển nhiên vành ma trận tam giác là
vành iđêan vết bằng không.
Ta định nghĩa MN (tương tự NM ) là tập tất cả tổng hữu hạn các phần tử của
mn (tương tự, nm). Khi đó, I=MN, J=NM,
IM=MJ, NI=JN. Sau đây ta tìm
!
R M
hiểu các tính chất của vành N S
phụ thuộc vào tính chất của vành R,
S ; song môđun M, N và các phép đồng cấu ϕ và ψ như thế nào?
Đôi khi, sẽ tiện hơn nếu ta đồng nhất ma trận!đã cho với các phần tử tương
r 0
ứng. Ví dụ ta có thể đồng nhất ma trận 0 0 = r, với mọi r ∈ R. Tương tự

!
X Y
đối với tập các ma trận. Ví dụ, ma trận 0 0 = (X, Y ) hay đơn giản hơn
là X nếu Y=0. Ta dùng quy tắc này tương tự với ma trận với hàng trên bằng
0.
Định nghĩa 2.1.2. Cho T là một vành. Trong T, ta bảo toàn phép cộng
và định nghĩa phép nhân o với xo y = yx, x, y ∈ T .
Từ đó ta thu được vành T o được gọi là vành
ngược của T. Ta có thể kiểm
!
R M
chứng rằng vành ngược của vành N S đẳng cấu với vành ma trận chuẩn
!
Ro M
o
o
N S o với N được xem như là một R − S -song môđun và M được xem
như là một S o − Ro -song môđun. Ta cũng thấy rằng
R M
N S

!

∼
=

S N
M R

!

.

Cho V là một T -môđun phải thì t ◦ v = vt, t ∈ T , v ∈ V , xác định một cấu
trúc của một T o -môđun trái trên V, và ngược lại. Tức là:
To × V → V
(t, v) 7→ t ◦ v = vt
21