DẠNG 3 GIÁ TRỊ NGUYÊN

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

DẠNG 3.
TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC CĨ GIÁ TRỊ NGUN
I. PHƯƠNG PHÁP
+ Tìm điều kiện xác định nếu cần
+ Rút gọn biểu thức
+ Biến đổi biểu thức về dạng

P =m+

n
, n ∈ Z+
f (x)

- Nếu x là số nguyên thì f (x) là ước của n
- Nếu x ∈ Q , Chứng minh Min < f (x) < Max , rồi giải các trường hợp tương ứng
+ Đối chiếu điều kiện + Kết luận
II. VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hai biểu thức:

x +2
B=
x −3 ;

1
x
3 x
−

−
x + 2 1 − x x + x − 2 với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 9
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64
b) Rút gọn biểu thức B
c) Đặt M = A.B , hãy tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức M có giá trị nguyên.
A=

Lời giải
Với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 9 thì biểu thức A, B xác định.
a) Ta thấy x = 64 thoả mãn ĐKXĐ, ta thay x = 64 vào biểu thức A ta được

x +2
64 + 2 10
=
= =2
x −3
64 − 3 5
Vậy A = 2 khi x = 64
1
x
3 x
B=
−
−
x + 2 1− x x + x − 2
b)
1
x
3 x
=

+
−
x +2
x −1
x +2
x −1
A=

x −1 + x

=
=

(

(

x +2
x −1

x +2

Vậy

(

)(

B=

(

)(

)

)(

)

x + 2 −3 x

)

x −1

)

x −1 =

x +1
x +2

x +1
x + 2 với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 9

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

1

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

c)

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

x + 2 x +1
x +1
.
=
x −3 x + 2
x − 3 với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 9
x +1
x −3+ 4
4
M=
=
= 1+
x −3
x −3
x −3
Ta có
4
∈ Z ⇒ 4M x − 3 ⇒ x − 3 ∈ { ±1; ± 2; ± 4}
x
−
3

Để M có giá trị nguyên thì

M = A.B =

(

)

⇒ x ∈ { 1; 2; 4; 5; 7} ⇒ x ∈ { 1; 4; 16; 25; 49}

x ∈ { 4; 16; 25; 49}
Kết hợp ĐK x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 9 và x nguyên ta có

 2 x
x + 1 3 − 11 x 
A=
+
+
÷
B=
9−x 
x
+
3
x
−
3

Ví dụ 2. Cho biểu thức
và

1) Tính giá trị của B tại x = 81 .

x −3
x +1 , x ≥ 0 , x ≠ 9

2) Rút gọn A .
3) Tìm số nguyên x để P = A.B là số nguyên.
Lời giải
1) Thay x = 81 (thỏa mãn điều kiện) vào B ta được:

81 − 3 9 − 3 6 3
=
=
=
81 + 1 9 + 1 10 5 .

B=

Vậy

3
5 khi x = 81 .

B=

 2 x
x + 1 3 − 11 x 
A=
+
+

÷
9−x 
x
+
3
x
−
3

2)

(

) (
) (

)(
x − 3) (

 2 x x −3
A=
+

x +3


(

A=

A=

Vậy

3)

P = A.B =

)+
x + 3) (

x +1

x +3


÷
x +3 ÷


−3 + 11 x
x −3

)(

)

2x − 6 x + x + 4 x + 3 − 3 + 11 x

(

(

x −3

)(

3x + 9 x
x −3

A=

)(

x +3

x +3
=

) (

)

3 x

(

x −3

)(

x +3

)

x +3

)

=

3 x
x −3

.

3 x
x − 3 với x ≥ 0 , x ≠ 9 .

3
3 x
x −3 3 x
.
=
=
x − 3 x +1
x +1

Để P nguyên thì

(

)

x +1 − 3
x +1

= 3−

3
x +1 .

3
∈ ¢ ⇔ x + 1∈
3 = ±1; ± 3}
x +1
Ư( ) {
.

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

2

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

x +1

−3

−1

1

3

x

−4 (Không
thỏa mãn)

−2 ( Không

0

2

0 (Thỏa mãn)

4 (Thỏa mãn)

thỏa mãn)

x

Vậy

x ∈ { 0; 4}

thì P là số nguyên.

x
2 x − 24
7
B=
+
x − 9 Với x ≥ 0; x ≠ 9.
x + 8 và
x −3
Ví dụ 3. Cho hai biểu thức
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.
A=

2) Chứng minh

x +8
.
x +3

B=

3) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên.
Lời giải
7
7
7

=
= .
25 + 8 5 + 8 13

A=

1) Thay x = 25 vào biểu thức ta có:
2) Ta có:
B=

=

3) Ta có:

x
2 x − 24
+
=
x −9
x −3

(
( x − 3) ( x + 3) (
x + 5 x − 24

P = A.B =

x

(

x −3

)(
x − 3) (
x −3

=

(

x +3

)(

)

x +3

)=
x + 3)
x +8

)

+

2 x − 24 x + 3 x + 2 x − 24
=
x −9

x −3
x +3

(

)(

)

x +8
.
x +3

7
x +8
7
.
=
x +8 x +3
x +3

Để P có giá trị ngun thì

x + 3 là ước của 7 hay (Do

x + 3 ≥ 3)

x + 3 = 7 ⇔ x = 4 ⇔ x = 16 (Thỏa mãn)

Ví dụ 4. 1) Cho biểu thức

A=

x −1
x + 2 với x ≥ 0 . Tính giá trị của A khi x = 16 .

x +3
5
4
−
+
x + 1 1 − x x − 1 với x ≥ 0 ; x ≠ 1 . Rút gọn B .
2) Cho biểu thức
3) Tìm các số hữu tỉ x để P = A.B có giá trị nguyên.
B=

Lời giải
1) Với x = 16 ( thỏa mãn điều kiện: x ≥ 0 ), ta có:
Khi đó giá trị của biểu thức A bằng:
TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

A=
3

x = 16 = 4 .
4 −1 3 1
= =
4+2 6 2.
PHONE: 0983.265.289

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

(

4

)(

x +1

)

x −1

) ( x − 1) + 5 ( x + 1) + 4 = x + 2 x − 3 + 5 x + 5 + 4
( x + 1) ( x − 1)
( x + 1) ( x − 1)
( x + 1) ( x + 6) x + 6
x+7 x +6
=
=
( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) = x − 1 .
=

(

x +3
5
+

+
x +1
x −1

x +3
5
4 =
−
+
x + 1 1 − x x −1

B=

2)

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

x +3

3) Điều kiện: x ≠ 1 ; x ≥ 0 .
Ta có: P = A.B

=

x ≥ 0 nên

Vì

x −1 x + 6
x +6

.
=
=
x + 2 x −1
x +2

x + 2 ≥ 2 suy ra

x +2+4
4
=1+
x +2
x +2

4
≤2
x +2
⇒ 1 < P ≤ 3.

0<

P ∈ { 2;3}
Mà P ∈ ¢ nên
.
Với P = 2
Với P = 3
Vậy với

⇒ 1+

4
=2
⇔ x + 2 = 4 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4 (t/m)
x +2

⇒1+

4
=3
⇔ x + 2 = 2 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 (t/m)
x +2

x ∈ { 0;4}

thì P = A.B có giá trị nguyên.

x +2
1
x
3+8 x
9
B=
−
−
x≠
2 x − 3 2 x + 3 4x − 9 với x ≥ 0 ,
4
Ví dụ 5. Cho biểu thức 2 x − 3 và
a) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 25 .
b) Rút gọn biểu thức B .

c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A − B đạt giá trị nguyên
lớn nhất.
Lời giải
a) Thay x = 25 (thỏa mãn điều kiện) vào A có:
Vậy A = 1 khi x = 25 .
b)

B=

B=

(

A=

25 + 2
5+2
=
=1
2 25 − 3 10 − 3

1
x
3+8 x
9

−
−
 x ≥ 0, x ≠ ÷
4

2 x − 3 2 x + 3 4x − 9 với 

)

(
( 2 x − 3) . ( 2

)

1. 2 x + 3 − x. 2 x − 3 − 3 − 8 x

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

x +3

)

4

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

B=

B=

c) Có

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

2 x + 3 − 2x + 3 x − 3 − 8 x

(2

(

)(

x −3 . 2 x +3

−2x − 3 x

)(

2 x −3 . 2 x +3

P =A−B=

=

) (

)

(

− x 2 x +3

)

− x
2 x −3 . 2 x +3 = 2 x −3

)(

)

x +2
− x
2 x +2
5

−
=
= 1+
 x ≥ 0, x ≠
2 x −3 2 x −3 2 x −3
2 x −3 

9
÷
4

P có giá trị ngun

⇔

5

2 x − 3 có giá trị nguyên

1+

5
⇔ 2 x − 3 có giá trị nguyên
⇔

(

5 M2 x − 3

⇔ 2 x − 3 ∈¦

)
( 5) = { 1; −1;5; −5}

Ta có bảng giá trị:
2 x −3

1

−1

5

−5

x
x

2

1

4

−1

4

1

16

Đối chiếu điều kiện

Thỏa
m
ãn

6 (chọn)

P

Thỏa
m
ãn
−4

Thỏa
m
ãn
2

Giá trị nguyên của x để biểu thức P = A − B đạt giá trị nguyên lớn nhất là x = 4 .
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1. Cho hai biểu thức:

A=

2 x
x + 1 3 − 11 x
x −3
−
−
;B=
x −9
x +3 3− x
x + 2 với 0 ≤ x ; x ≠ 9.

1) Tính giá trị B tại x = 25 .
2) Rút gọn A .
3) Tìm số nguyên x để P = A.B là số nguyên.
Lời giải
x
=
25
1) Thay
(TMĐK), vào biểu thức B , ta được:

25 − 3 5 − 3 2
B=
=
=
25 + 2 5 + 2 7
TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

5

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

Vậy với x = 25 thì

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

2
7

B=

2) Với 0 ≤ x ; x ≠ 9. Ta có:
2 x
x +1
A=
+
−
x +3

x −3

3 − 11 x

) ( x − 3)
2 x ( x − 3)
( x + 1) ( x + 3) −
=
+
( x + 3) ( x − 3) ( x + 3) ( x − 3) (
=
=

=

(

2x − 6 x
x +3

)(

x −3

(

x +3

+

) (

x +4 x +3
x +3

)(

x −3

2x − 6 x + x + 4 x + 3 − 3 + 11 x

3 x

(

(

x +3

(

)(

x +3
x +3

)

)(

x −3

)

x −3
=

)

3 − 11 x
x +3

(

x −3

3 − 11 x

−

) (

=

)(

x +3

)(

x −3

3x + 9 x
x +3

)(

x −3

)
)

)

3 x
x −3

A=

3 x
x −3

Vậy với 0 ≤ x ; x ≠ 9 thì
3 x
x −3
3 x
6
P = A.B =
.
=

= 3−
x −3 x + 2
x +2
x +2
3. Ta có:
Để P ngun thì
x +2
x

Vậy với

x + 2 là ước của 6 ⇔

(

)

x + 2 ∈ { ±1; ± 2; ± 3; ± 6}

−6

−3

−2

−1

1

2

3

VN

VN

VN

VN

VN

0

1

x ∈ { 0;1;16}

thì P nguyên.

⇔
C2: Để P nguyên thì x + 2 là ước của 6
x ≥ 0 ⇒ x + 2 ≥ 2 ⇒ x + 2 ∈ { 2;3;6}

(

)

x + 2 ∈ { ±1; ± 2; ± 3; ± 6}

 1
1  3+ x
B=
−
÷.
x , (với x > 0;x ≠ 9 ).
 3− x 3+ x 
Câu 2. Cho biểu thức:

Rút gọn biểu thức và tìm tất cả các giá trị nguyên của x để
Lời giải

Ta có

(
)(

B>

1
2.

)
)

 1
1  3+ x 3+ x − 3− x 3+ x
B=
−

=
.
÷.
x
x
 3− x 3+ x 
3− x 3+ x

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

(

6

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

=

2 x

( 3 − x) ( 3 + x)

B>

3+ x
x

2

=

3− x

.

(

)

4− 3− x
1
2
1
2
1
⇔
> ⇔
− >0⇔
>0
2
3− x 2
3− x 2
2 3− x

(

1+ x

⇔

.

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

(

2 3− x

)

)

> 0;( *)

* ⇔ 3− x > 0 ⇔ x < 3 ⇔ 0 < x< 9
Vì 1 + x > 0 nên ( )

Vì

x ∈ ¢ ⇒ x ∈ { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

(

)

.

 15 − x
2  x +1
B
=
+

÷:
A=
 x − 25
÷ x−5
x
+
5


25 − x và
Câu 3. Cho hai biểu thức
với a,b .
1) Tìm giá trị của biểu thức A khi x = 9 .
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B đạt giá trị nguyên lớn nhât.

4

x +1

Lời giải
1) Với x = 9

A=

4

(

) = 4(

) = 4.( 3 + 1) = 1

x +1

9 +1

25 − x
25 − 9
16
Thay vào A ta có :
2) Rút gọn biểu thức B .
Với x ≥ 0 , x ≠ 25 , ta có:
 15 − x
2  x +1
B=
+
÷:
 x − 25
÷ x−5
x
+
5



.


15 − x
2  x +1

B=
+
:
 x+5

x
+
5
x−5
x−5


.

(

B=

B=

B=

)(

15 − x + 2

(

x+5

)(

(

)

x −5
x−5

)

15 − x + 2 x − 10

(

(

x+5

)(

x−5

x+5
x+5

)(

x−5

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

)

)

×

):
:

.

x +1
x−5

.

x +1
x−5

.

x−5
x +1

.
7

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

1

B=

x +1 .

3) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B đạt giá giá trị ngun lớn nhất.

P = A.B =

4

(

)×

x +1

25 − x

Ta có

1
x +1

=

4
25 − x .

4M25 − x)
Để P nhận giá trị nguyên khi x∈ Z thì (
( 25 − x) ∈ U( 4) = { −4; − 2; − 1; 1; 2; 4} .
hay
Khi đó, ta có bảng giá trị sau:

25 − x
x

−4

−2

−1

1

2

29

27

26

24

23

P = A.B

−1

−2

−4

4

2

Đánh giá

Thỏa mãn

Thỏa mãn

Thỏa mãn

Thỏa mãn

Thỏa mãn

Do P đạt giá trị nguyên lớn nhất nên ta có P = 4 . Khi đó giá trị cần tìm của x là x = 24
.

x

A=

2

B=

x−2 ;
a) Tính A khi x = 9 .
b) Thu gọn T = A – B .

x+2

Câu 4. Cho

+

4 x
x− 4 .

c) Tìm x để T nguyên.
Lời giải

9

A=

9 −2
a) Khi x = 9 : ta được
b) Điều kiện : x ≥ 0 , x ≠ 4
T =A −B=

=

=3
.

x
 2
4 x
−
+
=
÷
x − 2  x + 2 x − 4 ÷

x

x+ 2 x − 2 x + 4 − 4 x

(
(

) ( x + 2)
x − 2)
(
=
=
( x − 2) ( x + 2) (
x−2

2

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

=

(

(

) (
( x − 2) (

x + 2 − 2.

x− 4 x + 4
x−2

)

x + 2)

)(

x+2

)
x + 2)

x−2 −4 x

)

x−2

.
8

PHONE: 0983.265.289

Thỏ


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

T=
b)

x−2
x+2

x+2−4

=

x+2

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

4

= 1−

x+2.

T nguyên khi 4M( x + 2) ⇔ x + 2 = { ± 1; ± 2; ± 4}

⇒ x + 2 = 1 (loại) hoặc
(loại) hoặc

x + 2 = −1 (loại) hoặc

x + 2 = 2 hoặc

x + 2 = −2

x + 2 = −4 (loại) ⇒ x = 0 hoặc x = 4 (loại).

x + 2 = 4 hoặc

x+4
x
2
B=
−
x− 4
x+2;
x − 2 với x ≥ 0 ; x ≠ 4 .

A=

Câu 5. Cho
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36 .

b) Rút gọn biểu thức P = B : A .
c) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Lời giải

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36 .

Khi x = 36 ta có:

x+4
36 + 4 6 + 4 10 5
=
=
= =
x+2
36 + 2 6 + 2 8 4

A=

b) Rút gọn biểu thức P = B : A .
Với x ≥ 0 ; x ≠ 4 ta có:

B=

x
2
−
=
x− 4
x−2

⇒ P = B:A =

c) Với x ≥ 0 ta có:

A=

2
Đặt

(

x+2

=n

−

x

(

(

x−2

x−2
x+4

)(

)(

)

x+2

x+2

)

:

) (

x+4
=

x+2

(

x+2

x−2

(

−

)(

(

x−2

)

x+2
x+4

)(

=

) (

)

x+2

)

.

−

(

x−2

x+4

)(

)

x+2

x+2
−1
=
x+4
x−2

)
.

x+4
2
= 1+
.
x+2
x+2

, n∈ Z .

Từ cách đặt trên ta suy ra 2 = n x + 2n
Vì

2

−

⇒ x=

2 − 2n
( *)
n

2 − 2n
≥0
x ≥ 0 nên n
. Ta xét 2 trường hợp:

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

9

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

 2 − 2n ≥ 0
n ≤ 1
⇔
⇔ 0 < n≤ 1

n
>
0
n
>
0


TH1:
.
 2 − 2n ≤ 0
n ≥ 1
⇔

n < 0 (không thỏa mãn)
TH2: n < 0
Kết hợp 2 trường hợp ta có 0 < n ≤ 1 .

x = 0 ⇔ x = 0 (thỏa mãn điều

Vì n∈ Z nên n = 1 . Thay n = 1 vào (*) ta được
kiện).

Vậy với x = 0 thì biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Câu 6. Cho hai biểu thức:

A=

(

)(

x +1

x−3

)

x−2

B=
và

x
x−2

−

3 x+6
x − 4 với x ≥ 0;x ≠ 4;x ≠ 9.

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 .
2) Rút gọn biểu thức

M=

B
A.

3) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức 3M nhận giá trị nguyên.
Lời giải
1) Tính giá trị của A khi x = 16.

Với x = 16 ta thay vào biểu thức

(
A=

)(

16 + 1

16 − 3

Vậy với x = 16 thì
2) Rút gọn biểu thức

B=

Ta có

)(

x +1

x−3

x−2

)
ta được

) =5

2.

16 − 2

M=

(
A=

A=

5
2.

B

A .

x
x−2

−

3 x+6
x− 4

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

10

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

)
( x − 2) ( x + 2)
( x + 2 ) ( x − 3) =
B=
( x − 2) ( x + 2)
x

B=

(

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

x+ 2 −3 x−6

B
x−3
M= ⇒M=
:
A
x−2

M=
Do đó vậy

=

x+ 2 x −3 x − 6

(

x−2

)(

x+2

x− x − 6

=

) (

x−2

)(

x+2

)

x−3
x−2

(

)(

x +1

x−3

x−2

)=

x−3
x−2

×

(

x−2

)(

x +1

x−3

)

=

1
x +1

1
x +1 .

3) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức 3M nhận giá trị nguyên.

3.M =
Xét

3
x + 1 . Vói điều kiện x ≥ 0;x ≠ 4;x ≠ 9.

x ≥ 0 ⇒ x +1 ≥ 1 ⇒
Ta có:

3
x +1

≤3

Mặt khác 3.M > 0 . Do đó 0 < 3.M ≤ 3

⇔ 3M ∈ { 1; 2;3}
Để 3M nhận giá trị nguyên
⇒

 1 
∈ { 1; 2;3} ⇒ x ∈ 4; ;0
x +1
 4 
3

1 
x ≥ 0;x ≠ 4;x ≠ 9 ⇒ x ∈  ; 0 
4  .
Vì
1
x∈  ;
4
KL: Vậy

M=
Câu 7. Cho biểu thức


0
 thì 3M nhận giá trị nguyên.

3 x−3
x + x và

N=

1

−

1

x −1 x x −1 x > 0 , x ≠ 1.

a) Tính giá trị của biểu thức M khi x = 9 .
b) Rút gọn biểu thức N .
c) Tìm các giá trị của x để biểu thức P = M.N có giá trị nguyên.
Lời giải
a) Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức M ta có:

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

11

PHONE: 0983.265.289

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

M=

9+ 9

1

N=

=

1

−
x −1 x x −1

b)

=

3 9 −3

(

x + x +1−1

)(

1

2.
1

=

x −1

c) Ta có:

=

) (

x −1 x + x +1

P = M.N =

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

3 x−3
x+ x

.

(

−

(

)(

1

)

x −1 x + x + 1
x+ x

)(

)

x −1 x + x +1
x+ x

)(

=

) (

x −1 x + x +1

3

(

)(

)

x −1

)

x −1 x + x + 1 =

3
x+ x +1

2


1 3
x+ x +1 =  x + ÷ + > 0
2 4

Ta có 3 > 0 và
với mọi x thuộc điều kiện xác định.

⇒

3
x+ x +1

>0⇒P>0

( 1)

Lại có:
x > 0 ⇔ x+ x > 0 ⇔ x+ x +1 > 1

⇔
Từ

3
x+ x +1

( 1)

và

<3⇒ P<3

( 2)

P =1⇒
TH1:

( 2)

⇒ P ∈ { 1; 2}
ta có ⇔ 0 < P < 3 mà P ∈ ¢
3
x + x +1

=1

⇔ x+ x +1 = 3 ⇔ x+ x − 2 = 0 ⇔

(

x+2

)(

)

x −1 = 0

⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 (thỏ
a mã
n)
P=2⇒
TH2:

3
x+ x +1

=2

⇔ 2 x + 2 x + 2 = 3 ⇔ 2 x + 2 x − 1 = 0 ⇔ 2x + 2 x = 1

1
3
 x+ =
2
2
⇔

2


1
3

1 − 3
1
1 3
⇔ x+ x = ⇔ x+ x + = ⇔  x + 2 ÷ = 4
 x+ =



2
2
2
4 4
TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

12

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG



−1 + 3
 x=
( thỏa mãn)
2

⇔

−1 − 3
 x=
( không thỏa maõn)

2

⇔ x=

2− 3
2 .

 2 − 3 
x ∈ 1;

2

 .

Vậy

Câu 8. Cho biểu thức

S=

2 x
3 x − 14
+
x − 4 với x > 0, x ≠ 4 .
x−2 x

2 x
a) Rút gọn x − 2 x .
b) Rút gọn biểu thức S
c) Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức của S nhận giá trị nguyên.
Lời giải

a) Với x > 0, x ≠ 4 , ta có:
S=
b)
=

c) Có

2 x
=
x−2 x

2 x
3 x − 14
+
=
x−4
x−2 x

2 x + 4 + 3 x − 14

(

)(

x −2 .

x +2

Vậy

) (

x +2>0 ⇔

0
x

(

(

x −2

3 x − 14

)(

x −2 .

5 x − 10

)(

x −2 .

)

2
x −2

=

x +2

x +2

=

) (

5

(

.

).

x −2

)(

x −2 .

)

x +2

)

=

5
x +2

5
5
5
≤
S≤
x +2 2 ⇔
2

x +2≥2 ⇔

Lại có

=

2
+
x −2

2 x

5
>0
x +2
⇔ S>0

5
2 mà S có giá trị nguyên ⇒ S ∈ { 1; 2}

Với S = 1 ⇔

5
=1
x +2
⇔

Với S = 2 ⇔

5
=2
x +2
⇔

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

x + 2 = 5 ⇔ x = 9 (thỏa mãn)

x +2=

5
1
x=
2⇔
4 (thỏa mãn)
13

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

1 
x ∈  ;9 
 4  thì biểu thức của S nhận giá trị nguyên.
Vậy

Câu 9. Cho hai biểu thức:

x −1
x +3
5
4

B=
−
+
x + 1 và
x + 1 1 − x x − 1 (với x ≥ 0 , x ≠ 1 )

A=

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4
2) Rút gọn biểu thức B và tìm giá trị của x để B < 1
3) Tìm x ∈ ¡ để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên
Lời giải
1) Với x = 4 (thỏa mãn điều kiện) thay vào A ta được

A=

x −1
4 −1 1
=
=
x +1
4 +1 3

2) Với x ≥ 0 , x ≠ 1 ta có

B=

x +3
5
4 =

−
+
x +1 1 − x x −1

=

=

=

(

x +3

x +3
5
+
+
x +1
x −1

(
(

Vậy

)(

x −1

)(
x − 1) (

x +1

B=

)(

x −1

)

x +1

) ( x − 1) + 5 ( x + 1) + 4
( x − 1) ( x + 1)

x + 2 x −3+5 x +5+ 4

(

(

4

)

x +1

)=
x + 1)

x +6

=

x+7 x +6

(

)(

x −1

)

x +1

x +6
x −1

x +6
x − 1 Với x ≥ 0 , x ≠ 1

Với B < 1 ta có

x +6
<1⇔
x −1

x +6
−1 < 0 ⇔
x −1

x + 6 − x +1
<0⇔
x −1

7
< 0 ⇔ x −1 < 0 ⇔ x < 1
x −1

Kết hợp với điều kiện ta có để B < 1 thì 0 ≤ x < 1

3. Ta có

P=

x −1 x + 6
.
=
x +1 x −1

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

x +6
5
= 1+
x +1

x +1
14

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

Nhận xét 1 < P ≤ 6

Để P có giá trị là số nguyên thì

P ∈ { 2; 3; 4; 5; 6}

P = 2 => 1 +

5
=2⇒
x +1

5
= 1 ⇒ x + 1 = 5 ⇒ x = 16
x +1

P = 3 => 1 +

5
= 3⇒

x +1

5
5
3
9
= 2 ⇒ x +1 = ⇒ x = ⇒ x =
2
2
4
x +1

P = 4 => 1 +

5
= 4⇒
x +1

5
5
2
4
= 3 ⇒ x +1 = ⇒ x = ⇒ x =
3
3
9
x +1

P = 5 => 1 +

5
=5⇒
x +1

5
5
1
1
= 4 ⇒ x +1 = ⇒ x = ⇒ x =
4
4
16
x +1

P = 6 ⇒ 1+

5
=6⇒
x +1

5
= 5 ⇒ x +1 = 1⇒ x = 0
x +1

9 4 1


x ∈ 16; ; ;
; 0
4 9 16 


Vậy để P nhận giá trị nguyên thì

Câu 10. Cho hai biều thức:

x −1

A=

x + 1 và

x +3

B=

−

5

x +1 1− x

+

4
x −1 .

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 .
b) Với x > 1 , tìm x đề biêu thức P = A.B có giá trị là số nguyên.
Lời giải
Điều kiện xác định: x ≥ 0 , x ≠ 1 .

a) Khi x = 4 (Thỏa mãn điều kiện) ta thay vào
Vậy x = 4 thì
B=

b)
=

x +3

A=

x +1 1− x

+

4
=
x −1

x + 2 x −3+5 x + 5+ 4

(

)(

x −1

4 −1
4 +1

=

1
3.

1
3.

5

−

A=

)

x +1

(
=

x +3

(

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

) ( x − 1) + 5 ( x + 1) + 4
( x − 1) ( x + 1)

x+7 x +6

)(

x −1

)

x +1

=

15

x +6
x −1

ID1-10
PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

Vậy

x +6

B=

b) Ta có:

x −1 .
x −1

P = A.B =

x +1

x +6

×

x −1

Vì x > 1 ⇒ x > 1 ⇒ x + 1 > 2
5

Và

x +1

>0

Từ đó suy ra

Để

P∈¢ ⇔

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

x +6

=

⇒

x +1
5
x +1

<

= 1+

5
x +1 .

5
2.

.
5

0<

x +1

5

x +1

<

5
2.

9
∈ { 1; 2} ⇒ x ∈ 16 ; 
4 .
x +1

5

∈¢ ⇒


9
x ∈ 16 ; 
4  thì P ∈ ¢ .

Vậy

x −1
x + 1 với x ≥ 0
Câu 11. Cho hai biểu thức :
x +3
5
4
B=

−
+
x + 1 1 − x x − 1 với x ≥ 0, x ≠ 1
a) Tính giá trị của A khi x = 16 .
A=

B=

x +6
x −1

b) Chứng minh
c) Tìm số hữu tỉ x lớn nhất để P = A.B có giá trị nguyên
Lời giải
4 −1 3
A=
=
x = 16 ( tmđk )
4 +1 5
a) Thay
vào

x +3
5
4
−
+
x + 1 1 − x x − 1 Với x ≥ 0, x ≠ 1 ,

B=

b)
=

(

x +3

) ( x − 1) + 5 ( x + 1) + 4 = x + 3 x − x − 3 + 5 x + 5 + 4
( x + 1) ( x − 1)
( x + 1) ( x − 1)

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

16

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

=

(
( x + 1) ( x − 1) (
x+7 x +6

x −1 x + 6
.
=
x +1 x −1

P = A.B =
c)

Nhận xét:

0<

=

)(
x + 1) (

x +1

)=
x − 1)

x +6

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

x +6
x −1

x +6
5
= 1+
x +1
x +1

5
≤5
x +1
5
∈ { 1; 2; 3; 4; 5}
x +1

Để P ∈ Z ⇒
5
x +1

1

2

3

4

5

x +1

5

5
2

5

3

5
4

1

x

4

3
2

2
3

1
4

0

16

9
4

4
9

1
16

0

x

Vậy giá trị lớn nhất của x = 16

x +1
2 x
x
3x + 9
B=
+
−
x − 3 x và
x +3
x − 3 x − 9 với x > 0 ; x ≠ 9 .
Câu 12. Cho biểu thức:
1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 36 .
A=

2) Rút gọn biểu thức B .
3) Đặt P = B : A
a) Tìm x để

P<

−1

2

b) Tìm giá trị của x để P nhận giá trị nguyên lớn nhất.
Lời giải
1) Với

x = 36 ( TM ) ⇒ x = 6

Thay x = 36 vào biểu thức A ta được:

A=

x +1
6 +1
7
=
=
x − 3 x 36 − 3.6 18

Vậy với x = 36 thì

A=

7
18 .

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

17

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

2 x
x
+
−
x +3
x −3

2 x
x
3x + 9 =
B=
+
−
x +3
x −3 x −9
2)
B=

B=

B=

B=

2 x

(

(

2

)

x

+

) (
x ( x − 3) + x (
( x + 3) (

x +3

)(

x −3

x −3

(

x +3

x +3

)(

)

x −3

(

3x + 9
x +3

)(

x −3

)

3x + 9

−

) (

x +3

)(

x −3

)

)
x − 3)

x + 3 − ( 3x + 9 )

2x − 6 x + x + 3 x − 3x − 9

(

x +3

)(

−3 x − 9

(

x +3

)(

x −3

x −3

)

=

) (

−3

(

x +3

x +3

)(

)

)

x −3 =

(

−3
x −3

)

x x −3
−3

x +1
−3
−3 x
P = B:A =
:
=
.
=
x −3 x −3 x
x −3
x +1
x +1
3)
−1 ⇔ −3 x < −1 ⇔ −3 x + 1 < 0 ⇔
P<
x +1 2
x +1 2
2
a)

⇔

−5 x + 1
2

(

)

x +1

−6 x + x + 1
2

(

)

x +1

<0

<0

Ta có: x > 0 với mọi x TMĐK

⇒ x > 0 ⇒ x +1 > 0 ⇒ 2
⇔ −5 x < −1

Vậy với
b)

P=

x>

⇔ x>

(

)

x + 1 > 0 ⇒ −5 x + 1 < 0

1
1
⇔x>
5
25

1
−1
P<
25 và x ≠ 9 thì
2 .

−3 x
3
= −3 +
x +1
x +1
Ta có:
và

⇒

x > 0 với mọi x TMĐK ⇒ −3 x < 0

x + 1 > 0 với mọi x TMĐK

−3 x
<0
x +1
⇒P<0

Lại có

3
>0
x +1
với mọi x TMĐK

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

18

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

3
> −3
x +1
⇒ −3 < P < 0
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của P là −1
⇒ P = −3 +

⇒ −3 +

Vậy với

3
= −1 ⇔
x +1

3
3
1
1
= 2 ⇔ x + 1 = ⇔ x = ⇔ x = ( TM )
2
2
4
x +1

1
4 thì P nhận giá trị nguyên lớn nhất.

x=

Câu 13. Cho hai biểu thức
x +1
A=
B=
x − 2 và

x +2

x −8
+
x − 3 x − 5 x + 6 với x ≥ 0 , x ≠ 4 , x ≠ 9.

1) Tính giá trị của biểu thức A khi
2) Rút gọn B .

x=

1
4.

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để B có giá trị ngun.
Lời giải
x=

1) Tính giá trị của biểu thức A khi
Ta có:

x=

1
4.

1
4 (Thỏa mãn điều kiện).

1
x=
4 vào biểu thức A ta có:

Thay

1
+1 1 +1
4
= 2
3  −3 
1
1
−2
−2 = : ÷
2  2  = −1 .
4
2

A=

2) Rút gọn B .
Với x ≥ 0 , x ≠ 4 , . Ta có:

B=

x +2
x −8
+
x −3 x −5 x +6

B=

x +2

+
x −3

B=

B=

(
(

(

)(
x − 3) (

x +2

(

x −8
x −2

)(

x −3

)+
x − 2) (
x −2

x −4+ x −8
x −3

)(

x −2

=

) (

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

)
x −8

x −2

)(

x −3

) ID1-10

x + x − 12
x −3

)(

x −2

19

)
PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

B=

(
(

)(
x − 3) (

x −3

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

)
x − 2) =

x +4

x +4
x −2 .

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên.

Ta có:

x +4
⇔B=
x −2

B=

Để B có giá trị nguyên

x +4
6
⇔ 1+
x − 2 nguyên
x − 2 nguyên

⇔B=

6
x − 2 nguyên.

⇒

⇒

x −2+6
6
= 1+
x −2
x −2.

(

)

x − 2 ∈ { ±1 ; ± 2 ; ± 3 ; ± 6}

.

Ta có:
x −2=

x ∈ { 0,1,9,16, 25,64}
Vậy các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên là
.

Câu 14. Cho hai biểu thức:

A=

x+ x +1
x +1

B=
và

1

−

x+ 2

−

x +1

x − 1 x x − 1 x + x + 1 với x ≥ 0 , x ≠ 1 .

a).Tính giá trị của biếu thức A khi x = 2 .
b).Rút gọn biểu thức B .
c).Tìm x sao cho C = −A.B nhận giá trị là số nguyên.
Lời giải

a).Tính giá trị của biếu thức A khi x = 2 .

A=
Có

x+ x +1
x +1

=

(

)(

)=

x −1 x + x +1

x −1

x3 − 1
x −1

23 − 1
x= 2⇒ A =
= 2 2 −1
2 −1
Khi
.
TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

20

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI
b).Rút gọn biểu thức B .

1

B=

=

=

x+ 2

−

x +1

−

x −1 x x −1 x+ x +1

Ta có
=

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

x + x + 1 − ( x + 2) −

(

(

)(

(

x −1 x +

−x + x

)(

)(
x + 1)
x +1

)

x −1

)

x −1 x + x + 1
− x

x+ x +1

c).Tìm x sao cho C = −A.B nhận giá trị là số nguyên.
x3 − 1  − x 
x
1
C = −A.B = −
.
÷=
=
1
−
x − 1  x + x + 1 ÷
x +1
x +1

Có

x + 1 ≥ 1, x ≥ 0 , x ≠ 1 .

C nhận giá trị là số nguyên ⇔ x + 1 = 1 ⇔ x = 0 (nhận).

Câu 15. Cho hai biểu thức

A=

9 x
B=
x − 16 và

x −1 5 x − 8
−
x − 2 x − 2 x x > 0, x ≠ 4, x ≠ 16

a) Tính giá trị của A khi x = 1
b) Rút gọn biểu thức B
c) Tìm x để P = A.B có giá trị ngun.
Lời giải
a) Tính giá trị của A khi x = 1

A=

9 1
9
−3
=
=
1 − 16 −15 5

b) Rút gọn biểu thức B

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

21

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

x −1 5 x − 8 =
−
x −2 x −2 x

B=
=

=

x − x −5 x +8
x

(

(

x −2

x −4
x

(

)(

)

x −2

x −2

)

)

(

x

=

) − 5 x −8
x − 2)
x ( x − 2)
)
x ( x − 2) − 4 ( x − 2)
x ( x − 2)

x −1
5 x −8
−
=
x −2
x x −2

x −2 x −4 x +8

=

(

x −2

)

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

=

(
x(

x −1

x

x −4
x

c) Tìm x để P = A.B có giá trị nguyên.

9 x
x −4 =
P = A.B =
.
x − 16
x
P=
Để

(
( x − 4) (

)
x + 4)

x −4

9 x.

9
x − 4 nguyên thì 9M x − 4 ⇒

(

) (

x =

9
x −4

)

x − 4 ∈ U ( 9)

U ( 9 ) = { ±1; ± 3; ± 9 }
Ta có bảng giá trị:

x −4

−9

−3

−1

1

3

9

x

−5

1

3

5

7

13

1

9

25

49

169

x

Vậy

x ∈ { 1;9;25;49;149}

Câu 16. ) Cho hai biểu thức

A=

thì P = A.B có giá trị nguyên

x +2
B=
x − 3 và

x +5 7− x
+
x − 1 với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 9 .
x +1

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 .

2) Chứng minh

B=

x +2
x −1 .

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để

M=

A
B có giá trị nguyên.

Lời giải

1) Thay

x = 16 ( TMDK )

vào biểu thức A ta được

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

A=

22

16 + 2
=6
16 − 3
PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

Vậy khi x = 16 thì giá trị của biểu thức A = 6

2) Với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 9 . Ta có
x +5 7− x
+
=
x −1
x +1

B=

=

3) Ta có

x + 4 x −5+7− x

M=

(

)(

x +1

)

x −1

(
=

x +5

(

)(

)

x −1 + 7 − x

)(

x +1

)

x −1

(
( x + 1) ( x − 1) (
x+3 x +2

=

)(
x +1) (

x +1

)
x − 1)
=

x +2

x +2
x −1

A
x +2 x +2
x −1
2
=
:
=
= 1+
B
x −3
x −1
x −3
x −3

Để M có giá trị nguyên thì

(

2M x − 3

)

hay

(

)

x − 3 ∈ U ( 2 ) = { ±1; ±2}

⇒ x ∈ { 1; 4;16;25}

x ∈ { 4;16;25}
So sánh với điều kiện x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 9 ta được
Vậy

x ∈ { 4;16; 25}

thì M có giá trị ngun.


x
1  x +1
A=
−
÷:
B=
x
−
1
x
−
x

 x + 2 và
Câu 17. Cho biểu thức:
x > 0, x ≠ 1, x ≠ 9 .

x
x − 3 với

a)Tính giá trị biểu thức B khi x = 36 .
b)Rút gọn biểu thức A.
c)Tìm giá trị x nguyên nhỏ nhất để biểu thức P = A.B nguyên.
Lời giải

a)Tính giá trị biểu thức B khi x = 36 .
Khi x = 36 (thỏa mãn điều kiên xác định x > 0, x ≠ 1, x ≠ 9 ), ta có:
36
6
B=
=
=2
36 − 3 6 − 3
Vậy B = 2 khi x = 36
b) Rút gọn biểu thức A.

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

23

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG


 x +2

x
1  x +1 
x
1
A=
−
=
−
÷:
÷.
x ( x − 1)  x + 1
 x −1 x − x  x + 2  x −1

 x +2
x
1
=
−
=
÷.
x ( x − 1)  x + 1
 x ( x − 1)
=

( x + 1)( x − 1) x + 2
.
=
x ( x − 1)
x +1

x −1
x +2
.
x ( x − 1) x + 1

x +2
x

c)Tìm giá trị x nguyên nhỏ nhất để biểu thức P = A.B nguyên.
P = A.B =
=

x +2
x
.
=
x
x −3

x +2
x −3

x −3+ 5
5
= 1+
x −3
x −3

5
⇔

x
−
3
P
=
A.B
Ta có:
nguyên
nguyên
⇔ x − 3 ∈ { −5; −1;1;5} ⇔ x ∈ { −2;2;4;8}
⇔ 1+

5
x − 3 nguyên ⇔ 5M( x − 3)

⇔ x ∈ { 4;16;64}
(do x ≥ 0∀x ≥ 0 )
Vậy x = 4 là giá trị nguyên nhỏ nhất để biểu thức P = A.B nguyên.
⇔ x ∈ { 2; 4;8}

Câu 18. Cho biểu thức:

x +7
B=
x − 1 và

A=

1
3

x +8
+
+
x + 2 1 − x x + x − 2 với x ≥ 0 , x ≠ 1

a) Tính giá trị của A biết x = 9 + 4 2
b) Rút gọn B
c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên
Lời giải
a) Ta có:

(

)

x = 9 + 4 2 = 8 + 2.2 2.1 + 1 = 2 2 + 1
⇒ x=

A=

(2

)

2 +1

2

= 2 2 +1

2

(thoả mãn điều kiện)

, thay vào biểu thức A , ta có:

(

)

2 2 + 1 + 7 2 2 + 8 2 2. 2 2 + 1
=
=
= 2 2 +1
2 2 +1−1
2 2
2 2

Vậy x = 9 + 4 2 , thì A = 2 2 + 1
b) Với x ≥ 0 , x ≠ 1 ta có:
B=

1
3
x +8
+
+
x + 2 1− x x + x − 2

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

24

PHONE: 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

1
3
−
+
x +2
x −1

=

=

(

=

=

x −1

x +8

(

x +2

3

−

(

)(

x −1 − 3 x − 6 + x + 8

(

) ( x − 1)
( x − 1)
=
( x + 2) ( x − 1) =
x +2

=

(

)

x −1

x +2

) ( x − 1) ( x + 2 ) (
x − 1 − 3( x + 2) + x + 8
( x + 2) ( x − 1)
x +2

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

)

) (

x −1

x − 2 x +1
x +2

x +8

+

)(

x +2

)(

)

x −1

)

x −1

2

c) Ta có:

P = A.B =

x −1
x +2

x + 7 x −1
.
=
x −1 x + 2

Ta có: x ∈ ¢ , để P ∈ ¢

⇒

x +7
5
= 1+
x +2
x +2
5
∈¢

⇒ 5M x + 2
x +2

⇒ x + 2 ∈ Ö ( 5 ) ⇒ x + 2 ∈ { ±1; ±5}

Mà

x + 2 ≥ 2 với x ≥ 0 , x ≠ 1

Do đó: x + 2 = 5 ⇒ x = 3 ⇒ x = 9 (thoả mãn)
Vậy x = 9 thì P = A.B có giá trị nguyên.

Câu 19. Cho hai biểu thức

A=

1 
x
 x
x −3
B=
−
:
÷
x − 2  x + 2 với x > 0 , x ≠ 4
x + 1 và
x−4

a) Tính giá trị của A khi x = 25.
b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên.
Lời giải
a) Ta có x = 25 (thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức A ta có:

A=

25 − 3 5 − 3 2 1
=
= =
25 + 1 5 + 1 6 3

Vậy khi x = 25 thì
b) Với x > 0 , x ≠ 4 , ta có:

A=

1
3

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN

25

PHONE: 0983.265.289