Slide tóan 12 BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ _Thị Thương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐIỆN BIÊN
TRƯỜNG PHỔ THÔNG DÂN TỘC NỘI TRÚ TỈNH
Cuộc thi Thiết kế hồ sơ bài giảng điện tử E - Learning
Bài giảng:
Chương trình Toán, lớp 12
Giáo viên: Nguyễn Thị Thương

Điện thoại di động: 0912 85 86 57
Trường: Phổ thông Dân tộc nội trú tỉnh Điện Biên
Tổ dân phố 10 phường Tân Thanh Thành phố Điện Biên Phủ tỉnh Điện Biên
Tháng 1 năm 2015
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Hướng dẫn cách học
+ Trước khi vào bài học các em cần chuẩn bị đầy đủ sách
vở và dụng cụ học tập.
+ Chú ý nghe giảng và trả lời hết các câu hỏi trắc
nghiệm.
I. Định nghĩa
II. Cách tính giá trị
lớn nhất và nhỏ
nhất của hàm số
trên một đoạn
Nội dung chính
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
J.L. LAGRANGE
GV: Nguyễn Thị Thương – Trường PT DTNT tỉnh Điện Biên
I. ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
Kí hiệu:

max ( ).
D
M f x=
Kí hiệu:
min ( ).
D
m f x=
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên
tập D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x
0
∈ D sao
cho f(x
0
) = M.
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
trên tập D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x
0
∈ D
sao cho f(x
0
) = m.
GV: Nguyễn Thị Thương – Trường PT DTNT tỉnh Điện Biên
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I. Định nghĩa
Muốn chứng minh số M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (hoặc giá
trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập D cần chỉ rõ:
a) f(x) ≤ M (hoặc f(x) ≥ m) với mọi x∈D.
b) Tồn tại ít nhất một điểm x
0
∈D sao cho f(x

0
) = M (hoặc
f(x
0
) = m).
GV: Nguyễn Thị Thương – Trường PT DTNT tỉnh Điện Biên
Albert Einstein
I. Định nghĩa
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
trên khoảng (0;+∞).
1
5y x
x
= − +
Giải :
Ta có:
2
2 2
1 1
1
x
y
x x
−
′
= − =
2
1
0 1 0

1
x
y x
x
=

′
= ⇔ − = ⇔

= −

(Loại vì x∉(0;+∞))
Bảng biến thiên
GV: Nguyễn Thị Thương – Trường PT DTNT tỉnh Điện Biên
Kết luận:
(0;+ )
min 3 khi 1y x
∞
= − =
x
0
y
′
1
y
+∞
3−
+∞
+∞
0

+
−
Không tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số trên (0;+∞)
I. Định nghĩa
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bảng biến thiên
x
0
y
′
1
y
+∞
3−
+∞
+∞
0
+
−
Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của
hàm số có phải là giá trị cực đại
(cực tiểu) của hàm số đó trên
khoảng đang xét hay không?
Giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên (0;+∞)
Giá trị cực tiểu
của hàm số.
GV: Nguyễn Thị Thương – Trường PT DTNT tỉnh Điện Biên
Jonh Napier
I. Định nghĩa

BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 2:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 2
3 4y x x
= + −
Giải:
2
3 6 ,y x x
′
= +
2
2
0 3 6 0
0
x
y x x
x
= −

′
= ⇔ + = ⇔

=

BBT
Kết luận:
Không tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên toàn bộ TXĐ D = R.
x

0
y
′
2
−
y
+∞
4−
+∞
0
+
−
−∞
0
+
−∞
0
GV: Nguyễn Thị Thương – Trường PT DTNT tỉnh Điện Biên
I. Định nghĩa
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
G. Cardano
Ta có: TXĐ D = R
Ví dụ 2:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 2
3 4y x x
= + −
Giải:
2
3 6 ,y x x

′
= +
2
2
0 3 6 0
0
x
y x x
x
= −

′
= ⇔ + = ⇔

=

BBT
Kết luận:
Không tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên toàn bộ TXĐ D = R.
x
0
y
′
2
−
y
+∞
4−
+∞

0
+
−
−∞
0
+
−∞
0
Giá trị cực tiểu của
hàm số
Giá trị cực đại của
hàm số
GV: Nguyễn Thị Thương – Trường PT DTNT tỉnh Điện Biên
I. Định nghĩa
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
G. Cardano
Ta có: TXĐ D = R
* Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập I
+ Tìm tập xác định D. (Khẳng định I ⊂ D)
+ Tính ý. Tìm những giá trị x∈I để y’ = 0 hoặc y’ không xác định.
+ Lập bảng biến thiên.
+ Kết luận dựa vào bảng biến thiên.
* Lưu ý:
. Nếu không nói rõ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập
nào thì phải tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ tập xác định D của
hàm số đó.
. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không đồng nhất với giá trị cực
đại, cực tiểu của hàm số đó trên tập đang xét. Đặc biệt nếu tập đang xét chỉ có
một cực trị thì giá trị cực trị đó là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm
số trên tập đó.

BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bài toán thực tế:
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a.
x
a
Người ta cắt ở bốn góc 4 hình vuông
bằng nhau,
Tính cạnh của hình vuông bị cắt
sao cho thể tích khối hộp là lớn nhất.
rồi gập lại tấm nhôm như
hình vẽ để được một cái hộp không
nắp.
x
a
Để tính thể tích hình hộp khi
gập lên ta sử dụng công thức
nào?
.V B h
=
Cho biết đáy hình hộp là
hình gì? Kích thước mỗi
cạnh bằng bao nhiêu?
Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt
0 .
2
a
x
< <

Ta có
Thể tích của khối hộp là:
2a x
−
2a x
−
x
h x
=
Xác định chiều cao h của
khối hộp?
2
( ) .( 2 ) 0 .
2
a
V x x a x x
 
= − < <
 ÷
 
Ta phải tìm
0
0;
2
a
x
 
∈
 ÷
 

sao cho V(x
0
) có giá trị lớn nhất.
2
( 2 )B a x= −
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
2
( ) ( 2 ) .2.( 2 ).( 2) ( 2 )( 6 )V x a x x a x a x a x
′
= − + − − = − −
2
( ) .( 2 ) 0 .
2
a
V x x a x x
 
= − < <
 ÷
 
Ta có
2
( ) 0
6
a
x
V x
a
x

=


′
= ⇔

=


(Loại vì )
0;
2
a
x
 
∉
 ÷
 
Bảng biến thiên:
x
0
( )V x
′
6
a
( )V x
0
+
−
2
a
00

3
2
27
a
Kết luận: Tại
6
a
x
=
thì V(x) có giá trị lớn nhất bằng
3
0;
2
2
max ( ) .
27
a
a
V x
 
 ÷
 
=
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
II. CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
TRÊN MỘT ĐOẠN
Đặt vấn đề: Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số:
2
a) y x

=
trên đoạn [– 3;0]
3 2
b) 3 4y x x
= + −
trên đoạn [–3;2]
Giải:
a) Trên đoạn [– 3;0] ta có:
2 , 0 0y x y x
′ ′
= = ⇔ =
BBT:
Kết luận:
[ 3;0]
[ 3;0]
max 9, min 0y y
−
−
= =
Hàm số nghịch biến trên [–3;0]
x
3
−
y
′
y
0
0
9
−

b) Trên đoạn [–3;2] ta có:
BBT:
Kết luận:
[ 3;2]
[ 3;2]
max 16, min 4y y
−
−
= = −
Hàm số đồng biến trên [–3;–2],
[0;2], nghịch biến trên [–2;0].
2
3 6 ,y x x
′
= +
0 2 0y x x
′
= ⇔ = − ∨ =
x
0
y
′
2
−
y
16
4
−
2
0

+
−
3
−
0
+
4
−
0
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định lý:
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên
đoạn đó.
Ví dụ 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn
nhất của hàm số y = sin x trên:
7
a)D ;
6 6
π π
 
=
 
 
b)E ;2
6
π
π
 
=

 
 
Tính các giá trị hàm số
Từ đó có:
Giải:
a) Vẽ đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn
;2 .
6
π
π
 
 
 
Trên
ta có:
7
D ;
6 6
π π
 
=
 
 
1
,
6 2
y
π
 
=

 ÷
 
1,
2
y
π
 
=
 ÷
 
O
|
1 −
-1 −
x
y
6
π
2
π
π
7
6
π
3
2
π
2
π
1

2
1
2
−
7 1
6 2
y
π
 
= −
 ÷
 
D
D
1
max 1, min .
2
y y= = −
b) Tương tự xét trên
ta có:
E ;2
6
π
π
 
=
 
 
1
,

6 2
y
π
 
=
 ÷
 
1,
2
y
π
 
=
 ÷
 
3
1,
2
y
π
 
= −
 ÷
 
( )
2 0y
π
=
Từ đó có:
E

E
max 1, min 1.y y= = −
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Nhận xét 1: Nếu hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn [a;b] thì hàm
số đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn đó.
Đặt vấn đề: Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x
2
trên đoạn [–3;0 ]
x
3
−
y
′
y
0
0
9
−
Kết luận:
[ 3;0]
max 9 khi 3y x
−
= = −
Hàm số nghịch biến trên [– 3;0]

[ 3;0]
min 0 khi 0y x
−
= =

BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Nhận xét 2: Nếu chỉ có 1 số hữu hạn các điểm x
i
mà tại đó f’(x) = 0 hoặc
không xác định thì giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn [a;b]
là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a, b và
tại các điểm x
i
nói trên.
Đặt vấn đề: Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số
3 2
3 4y x x
= + −
trên đoạn [–3;2]
x
0
y
′
2
−
y
16
4
−
2
0
+
−
3

−
0
+
4
−
0
2
3 6 ,y x x
′
= +
0 2 0y x x
′
= ⇔ = − ∨ =
Kết luận:
[ 1;2]
[ 1;2]
max 16 khi 2, min 4 khi 3 0y x y x x
−
−
= = = − = − ∨ =
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
II. Cách tính giá
trị lớn nhất và
nhỏ nhất của
hàm số trên một
đoạn
2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục
trên một đoạn
+ Tìm tập xác định D. [a;b] ⊂ D và trên [a;b] hàm số liên tục.
+ Tính ý. Tìm những giá trị của x

i
∈[a ; b] để y’ = 0 hoặc y’
không xác định.
+ Tính f(a), f(b), f(x
i
).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên và
kết luận:
* Quy tắc:
Hàm số liên tục trên 1 khoảng có thể không có giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.
[ ; ]
[ ; ]
max ( ), min ( )
a b
a b
M f x m f x= =
* Lưu ý:
GV: Nguyễn Thị Thương – Trường PT DTNT tỉnh Điện Biên
I. Newton
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 4:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
2 8y x x= − + +
Giải :
2
1
,
2 8

x
y
x x
−
′
=
− + +
0 1 0 1 [ 2;4]y x x
′
= ⇔ − = ⇔ = ∈ −
Kết luận:
Ta có: TXĐ
D [ 2;4]= −
Tính:
y(–2) = 0
y(4) = 0
y(1) = 3
[ 2;4]
max 3 khi 1y x
−
= =
[ 2;4]
min 0 khi 2, 4y x x
−
= = − =
GV: Nguyễn Thị Thương – Trường PT DTNT tỉnh Điện Biên
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
II. Cách tính giá
trị lớn nhất và
nhỏ nhất của

hàm số trên một
đoạn
Câu hỏi 1: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên
đoạn [0;3]
Đúng - Click bất cứ đâu để tiếp
tục
Đúng - Click bất cứ đâu để tiếp
tục
Không đúng - Click bất cứ đâu
để tiếp tục
Không đúng - Click bất cứ đâu
để tiếp tục
Bạn đã trả lời đúng câu hỏi
Bạn đã trả lời đúng câu hỏi
Câu trả lời của bạn là:
Câu trả lời của bạn là:
Câu trả lời đúng là:
Câu trả lời đúng là:
Bạn không trả lời đúng câu hỏi
Bạn không trả lời đúng câu hỏi
Bạn phải trả lời câu hỏi này
trước khi có thể tiếp tục
Bạn phải trả lời câu hỏi này
trước khi có thể tiếp tục
Chấp nhận
Chấp nhận
Làm lại
Làm lại
4 2
3 2y x x= − +

[0;3]
[0;3]
max 56, min 2y y= =
[0;3]
[0;3]
max 56, min 1/ 4y y= = −
[0;3]
[0;3]
max 2, min 1/ 4y y= = −
[0;3]
[0;3]
max 2, min 1/ 4y y= =
Đáp án:
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Cố gắng lại
Cố gắng lại
A)
B)
C)
D)
Câu hỏi 2: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên
đoạn [2;4]
Đúng - Click bất cứ đâu để tiếp
tục
Đúng - Click bất cứ đâu để tiếp
tục
Không đúng - Click bất cứ đâu
để tiếp tục
Không đúng - Click bất cứ đâu
để tiếp tục

Bạn đã hoàn thành câu hỏi
Bạn đã hoàn thành câu hỏi
Câu trả lời của bạn là:
Câu trả lời của bạn là:
Câu trả lời đúng là:
Câu trả lời đúng là:
Bạn chưa hoàn thành câu hỏi
Bạn chưa hoàn thành câu hỏi
Bạn phải trả lời câu hỏi này
trước khi có thể tiếp tục
Bạn phải trả lời câu hỏi này
trước khi có thể tiếp tục
Chấp nhận
Chấp nhận
Làm lại
Làm lại
2
1
x
y
x
−
=
−
Đáp án:
[2;4]
[2;4]
min 0, max 2 3y y= =
[2;4]
[2;4]

min 2 3, max 0y y= − =
[2;4]
[2;4]
min 0, max 3 2y y= =
[2;4]
[2;4]
min 3 2, max 0y y= − =
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Cố gắng lại
Cố gắng lại
A)
B)
C)
D)
Câu hỏi 3: Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
Đúng - Click bất cứ đâu để tiếp
tục
Đúng - Click bất cứ đâu để tiếp
tục
Không đúng - Click bất cứ đâu
để tiếp tục
Không đúng - Click bất cứ đâu
để tiếp tục
Bạn đã trả lời đúng
Bạn đã trả lời đúng
Câu trả lời của bạn là:
Câu trả lời của bạn là:
Câu trả lời đúng là:
Câu trả lời đúng là:
Bạn chưa trả lời đúng

Bạn chưa trả lời đúng
Bạn phải trả lời câu hỏi này
trước khi có thể tiếp tục
Bạn phải trả lời câu hỏi này
trước khi có thể tiếp tục
Chấp nhận
Chấp nhận
Làm lại
Làm lại
4
( 0)y x x
x
= + >
Đáp án:
(0; )
min 4y
+∞
=
(0; )
min 2y
+∞
=
(0; )
min 2y
+∞
= −
(0; )
min 4y
+∞
= −

BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Cố gắng lại
Cố gắng lại
A)
B)
C)
D)
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Leonard Euler
Leonard Euler “Bởi vì tòa nhà của vũ trụ là hoàn hảo
và được tạo ra bởi người tạo ra sự khôn ngoan, không
có gì phát sinh trong vũ trụ mà trong đó người ta
không thể tìm thấy ý nghĩa của một số tối đa hoặc tối
thiểu”.
Trong các bài toán ở trường phổ thông, các bài toán
cực trị thuộc vào một trong những dạng toán gần với
những ứng dụng thực tế nhất. Những yêu cầu về đường
đi ngắn nhất, đường đi nhanh nhất, góc nhìn lớn nhất, tổng thời gian chờ đợi ít
nhất, tổng chi phí ít nhất, tổng lợi nhuận cao nhất là những yêu cầu rất tự nhiên
xuất phát từ những bài toán của sản xuất, đời sống và khoa học. Chính vì thế
những bài toán cực trị cần có một chỗ đứng xứng đáng trong chương trình toán
ở phổ thông.
Bài toán 1: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà
thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu vỏ
hộp (sắt tây) là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình
trụ là nhỏ nhất. Khi đó hãy cho biết bán kính đáy lon r và
diện tích toàn phần S
tp
của lon bằng bao nhiêu, biết thể tích
của lon là V = 128π cm

3
.
Hướng dẫn giải
Bài toán 2: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một
hòn đảo C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1km. Khoảng cách từ B đến
A là 4km (như hình vẽ). Mỗi km dây điện đặt dưới nước mất 5000 USD, còn
đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc
dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.
Hướng dẫn giải
A
B
C
S
1
4