TOÁN HÌNH học

Tính chu vi của một mảnh đất hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng mỗi chiều của mảnh
đất đó thêm
4m thì diện tích của mảnh đất đó tăng thêm
chiều dài
5m

80m2

. Nếu giảm chiều rộng

2m

và tăng

thì diện tích mảnh đất đó không đổi.
Lời giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật đó lần lượt là:
(m).
ĐK:

x > 0; y > 2; x ≥ y

x

và

y

.

Diện tích mảnh đất đó là:

xy ( m2 )

.

Chiều dài của mảnh đất sau khi tăng

4

m là:

Chiều rộng của mảnh đất sau khi tăng 4m là:

x + 4 ( m)

.

y + 4 ( m)

.

Biết rằng nếu tăng mỗi chiều của mảnh đất đó thêm 4m thì diện tích của mảnh
đất đó tăng thêm

80m 2

nên ta có phương trình:
5

Chiều dài của mảnh đất sau khi tăng m là:

Chiều rộng của mảnh đất sau khi giảm đi
Nếu giảm chiều rộng

2m

2

và tăng chiều dài

đổi nên ta có phương trình:

( x + 4 ) ( y + 4 ) = xy + 80 ( 1)

x + 5 ( m)

m là:
5m

.

y − 2( m)

.

thì diện tích mảnh đất đó khơng

( x + 5) ( y − 2 ) = xy ( 2 )

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:


 xy + 4 x + 4 y + 16 = xy + 80
4 x + 4 y = 64
 x = 10
( x + 4 ) ( y + 4 ) = xy + 80
⇔
⇔
⇔
( tm )

 xy − 2 x + 5 y − 10 = xy
−2 x + 5 y = 10
y = 6

( x + 5 ) ( y − 2 ) = xy


Chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là:

( 10 + 6 ) .2 = 32(m)

Vậy chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là

.

32m

Tính các kích thước của một hình chữ nhật có diện tích bằng
nếu tăng mỗi kích thước của nó thêm
tăng thêm

48 cm 2

3 cm

40 cm 2

. Biết rằng

thì diện tích của hình chữ nhật đó

.
Lời giải
x ( cm )

a) Gọi các kích thước của hình chữ nhật lần lượt là
x, y > 0

y ( cm )

( với

).

Diện tích của hình chữ nhật là:
Khi tăng mỗi kích thước lên
là:

và

x + 3 ( cm )

,

y + 3 ( cm )

xy ( cm 2 )

3 cm

.

thì khi đó các kích thước của hình chữ nhật

.

Diện tích của hình chữ nhật sau khi tăng các kích thước là:

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

( x + 3 ) ( y + 3)

 xy = 40
 xy = 40
⇔

( x + 3) ( y + 3) = xy + 48
 x + y = 13

cm 2

.

.

Giải hệ phương trình trên ta tìm được hai nghiệm là 8 và 5.
Đối chiếu điều kiện thì các giá trị trên đều thỏa mãn.
Vậy các kích thước của hình chữ nhật là

8 cm

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là
chiều dài
và chiều rộng của thửa ruộng đó.
Lời giải

và

250 m

5 cm

.

và diện tích là

3750 m 2

. Tính

1) Gọi chiều dài thửa ruộng hình chữ nhật là

x ( m)

y ( m)

Chiều rộng thửa ruộng hình chữ nhật là
Vì thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là

. (Điều kiện:

250 m

0 < y < x < 125

)

nên ta có phương trình:

( x + y ) .2 = 250 ⇔ x + y = 125 ( 1)
Vì thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích là

3750m 2

nên ta có phương trình:

xy = 3750 ( 2 )

Từ

( 1)

và

( 2)

 x + y = 125

 xy = 3750

ta có phương trình:

 x = 125 − y
 x = 125 − y
⇔
⇔ 2

( 125 − y ) y = 3750
 y − 125 y + 3750 = 0

  x1 = 50

 x = 125 − y
  y1 = 75
⇔

  x = 75
⇔   y1 = 75
 2
  y = 50

  y2 = 50
 2

Vì

0 < y < x < 125

nên

x = 75 y = 50

,

.

Vậy chiều dài thửa ruộng hình chữ nhật là
Chiều rộng thửa ruộng hình chữ nhật là

75 ( m )

50 ( m )

.

.

Gọi chiều dài và chiều rộng của thửa ruộng hình chữ nhật lần lượt là
(m) ,

( x, y > 2 )

y+2
2m
Nếu chiều rộng tăng thêm , khi đó chiều rộng mới là
(m)
x−2
2m
Chiều dài giảm đi , khi đó chiều dài mới là
(m)

x, y


Do diện tích thửa ruộng đó tăng thêm

30 m 2

nên ta có phương trình

( x − 2 ) ( y + 2 ) = xy + 30
⇔ 2 x − 2 y = 34

Nếu chiều rộng giảm đi

2m

Chiều dài tăng thêm

(1)

, khi đó chiều rộng mới là

5m

y−2

, khi đó chiều dài mới là

Do diện tích thửa ruộng giảm đi

20m

(m).

x+5

(m)

2

nên ta có phương trình :

( x + 5) ( y − 2 ) = xy − 20
−2 x + 5 y = −10

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
3 y = 24
y = 8
⇔
⇔

 x − y = 17
 x = 25

(2)

2 x − 2 y = 34

−2 x + 5 y = −10

(TMĐK)

Vậy chiều dài, chiều rộng của thửa ruộng lần lượt là
200 m

25 m 8m

;

2

Nên diện tích của thửa ruộng hình chữ nhật là
.
Một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài mảnh vườn đó thêm
2m

đi

và giảm chiều rộng mảnh vườn đó đi

20 m

2m

2

. Nếu giảm chiều dài mảnh vườn đi

thì diện tích của mảnh vườn giảm

3m

và tăng chiều rộng mảnh vườn

2m

thêm
thì diện tích mảnh vườn khơng thay đồi. Tính diện tích mảnh vườn
hình chữ nhật ban đầu.
Lời giải
x y

1) Gọi chiều dài, chiều rộng mảnh vườn hình chữ ban đầu lần lượt là ,

( x > 3; y > 2; x ≥ y )

.

Khi đó diện tich hình chữ nhật ban đầu là

xy

(m )
2

.

( m)


Nếu tăng chiều dài mảnh vườn thêm
2m

thì diện tích của mảnh vườn giảm đi

( x + 2 ) ( y − 2 ) = xy− 20 ( 1)

20 ( m 2 )

, ta được phương trình

3m

và tăng chiều rộng mảnh vườn đó thêm

thì diện tích của mảnh vườn khơng thay đổi, ta được phương trình

( x − 3) ( y + 2 ) = xy ( 2 )
Từ

và giảm chiều rộng mảnh vườn đó đi

.

Nếu giảm chiều dài mảnh vưởn đi
2m

2m

( 1)

và

( 2)

.

ta có hệ phương trình

( x + 2 ) ( y − 2 ) = xy − 20

( x − 3) ( y + 2 ) = xy

 xy − 2 x + 2 y − 4 = xy − 20
⇔
 xy + 2 x − 3 y − 6 = xy
 −2 x + 2 y = −16
⇔
2 x − 3 y = 6
 − y = −10
⇔

2 x − 3 y = 6
 x = 18
⇔
( tm )
 y = 10

.

Vậy diện tích hình chữ nhật ban đầu là

18.10 = 180 m 2

.

Một mảnh vườn trồng rau quả hình chữ nhật có diện tích là
dài nhất nối hai điểm bất kì trên khu vườn có độ dài bằng
xây tường bao quanh khu vườn với chiều cao

1, 5

60 m 2

13

m. Người ta cần

m để đảm bảo an tồn cho các

loại cây hoa màu. Hỏi diện tích tường bao cần xây là bao nhiêu
Lời giải

. Đoạn thẳng

m2

?


Gọi

x

(m) và

y

(m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng mảnh vườn

( 0 < y < x < 13)
Vì diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là

60 m 2

nên ta có phương trình:

xy = 60

( 1)
Vì đoạn thẳng dài nhất nối hai điểm bất kì trên khu vườn có độ dài bằng
13

nên độ dài đường chéo của mảnh vườn hình chữ nhật là
trình:

( 2)

và

m. Ta có phương

 xy = 60
 xy = 60
⇔
 2

2
2
2
( x + y ) − 2 xy = 169
 x + y = 13

ta có hệ phương trình:

 xy = 60
 xy = 60

⇔
⇔
2
 x + y = 17


( x + y ) = 289
⇒x y

,

m

( 2)

x 2 + y 2 = 132

( 1)

Từ

13

là nghiệm của phương trình:

∆′ = ( −17 ) − 4.1.60 = 49 > 0 ⇒

t 2 − 17t + 60 = 0

(do

(Điều kiện:

x, y > 0

t>0

)

)

2

t1 =

 x = 12
x> y⇒
y = 5

Do
5

17 + 7
= 12
2

phương trình có hai nghiệm phân biệt:
t2 =

(thỏa mãn);

(thỏa mãn)

⇒

17 − 7
=5
2

(thỏa mãn)

chiều dài mảnh vườn là

12

m

⇒

diện tích tường bao cần xây là:

2. ( 12 + 5 ) .1,5 = 51 m 2

Vậy diện tích tường bao cần xây là:

(

)

2. ( 12 + 5 ) .1,5 = 51 m 2

(

)

m và chiều rộng là