Đề-thi-học-sinh-giỏi-toán-7-cấp-trường-2021-2022 (1)

PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA
TRƯỜNG THCS NGHĨA THUẬN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MƠN: TỐN – LỚP 7
Năm học: 2021 – 2022
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4 điểm):
a. Tìm ba số x,y,z thỏa mãn: và 2x2 + 2y2 - 3z2 = -100
b. Tính:
Câu 2 (5 điểm):
a. Tính giá trị biểu thức:
C = x3 + xy3 - x3y + y3 , tại x,y thỏa mãn: (x - 1)4 + (y + 1)4 = 0
b. Tìm a, biết: |a + 1| + |a + 2| + |a + 3| = 4a
Câu 3 (3 điểm): Tìm x biết:

=
Câu 4 (5 điểm):
Cho tam giác ABC (AB < AC, = 60°). Hai phân giác AD và CE của ∆ABC cắt
nhau ở I, từ trung điểm M của BC kẻ đường vng góc với đường phân giác AD tại
H, cắt AB ở P, cắt AC ở K.
a) Tính
b) Tính độ dài cạnh AK biết PK = 6cm, AH = 4 cm.
c) Chứng minh ∆IDE cân.
Câu 5 (3 điểm):
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M nằm bên trong tam giác sao cho
MA = 2cm, MB = 3cm và = 1350. Tính MC.


ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

MƠN TỐN 7- ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG.
NĂM HỌC: 2021 - 2022

Câu

Nội dung
Từ

ta suy ra:

=4
1

Điểm
0.75
0.5

Suy ra: (Vì x, y, z cùng dấu)
a)

KL: Có hai bộ (x; y; z) thỏa mãn là: (6; 8 ;10) và (-6; -8; -10)

0.25
0.25

0.25
0.5

b)

= 16

1
0.5


a) Do (x - 1)4 0, (y + 1)4 0 => (x - 1)4 + (y + 1)4 0 với mọi x, y.

1.0

Kết hợp (x - 1)4 + (y + 1)4 = 0
Suy ra (x - 1)4 = 0 và (y + 1)4 = 0

0.5

=> x = 1; y = -1.

0.5
0.5

Thay vào ta tính được giá trị của C = 0
2

b) |a + 1| + |a + 2| + |a + 3| = 4a (1)
Vì VT 0 => 4a 0 hay a 0, do đó:

1.0

|a + 1| = a + 1; |a + 2| = a + 2; |a + 3| = a + 3

1.0

(1) => a + 1 + a + 2 + a + 3 = 4a => a = 6
Vậy a = 6

0.25
0.25

3

=  =
=
TH1: =  x =

0.5
0.5

TH2: =  x =

Vậy x = ; x = .

0.7
5
0.7


5
0.5
4

0.5

a/ Ta có = 600 suy ra + = 1200
AD là phân giác của suy ra =
CE là phân giác của suy ra =
Suy ra + = . 1200 = 600
Vậy = 1200
b) Xét ∆AHP và ∆AHK có
(AH là tia phân giác của )

0.2
5
0.5
0.5
0.2
5

AH chung
= 900
Suy ra ∆AHP = ∆AHK (g.c.g)
Suy ra PH = KH (hai cạnh tương ứng). Vậy HK = 3cm

0.5


Vì ∆AHK vng tại H theo định lý Pitago ta có:
AK2 = AH2 + HK2 = 42 + 32 = 25

0.5

Suy ra AK = 5 cm
c)
Vì = 1200

0.5

Do đó = 600
Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AE
Xét ∆EAI và ∆FAI có
AE = AF
(AD là phân giác)

0.2
5

AI chung
Vậy ∆EAI = ∆FAI (c.g.c)
Suy ra IE = IF (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét ∆DIC và ∆FIC có

0.5

(giả thuyết); Cạnh IC chung; = 600
Suy ra ∆DIC = ∆FIC (g.c.g)
Suy ra ID = IF (Hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra IE = ID. Do đó ∆IDE cân tại I
0.5
0.2
5

0.5

- Dựng tam giác ADM vuông cân tại A (D, B khác phía đối với AM)

5 - Chứng minh ∆ABM = ∆ACD (c.g.c) vì:

1.0

AD=AM ( ∆AMD vng cân tại A)
BÂM = CÂD (cùng phụ với CÂM)

AB=AC (giả thiết)
- Suy ra: CD=BM=3cm
2

2

0.5
2

- Tính được MD =AD +AM = 8
- Chỉ ra tam giác DMC vng tại M (góc AMC – góc AMD = 900)
- Suy ra: MC2 = CD2-MD2 =9-8=1
=>MC = 1cm

0.5
0.5