chương 5 Ước lượng thống kê

Chương 5: Ước lượng thống kê


Phần nội dung cần tìm hiểu
A.
B.
C.
D.

Lấy mẫu và phân phối mẫu
Ước lượng khoảng
Suy diễn Thống kê về Trung bình và Tỷ lệ của Hai Tổng Thể
Suy diễn Thống kê về Trung bình và Tỷ lệ của Hai Tổng Thể

2


“

A. Lấy mẫu và phân phối mẫu








Chọn một mẫu
Ước lượng điểm
Giới thiệu phân phối mẫu

Phân phối mẫu của 𝑥
Phân phối mẫu của 𝑃
Các tính chất của ước lượng điểm
Các phương pháp lấy mẫu khác
3


Chọn mẫu
 Lấy mẫu từ một tổng thể hữu hạn
 Lấy mẫu từ một tổng thể vô hạn

4


Lấy mẫu từ một tổng thể hữu hạn
 Tổng thể hữu hạn thƣờng đƣợc định nghĩa bằng
các danh sách nhƣ :
•

Bảng phân cơng các thành viên của tổ chức

•

Các số tài khoản thẻ tín dụng

•

Bảng kê số sản phẩm

 Một mẫu ngẫu nhiên đơn giản cỡ n từ một tổng thể hữu hạn

kích thƣớc N là một mẫu đƣợc chọn sao cho
mỗi mẫu cỡ n nhƣ vậy có cùng khả năng đƣợc lựa chọn.

5


Lấy mẫu từ một tổng thể hữu hạn
 Trả lại mỗi phần tử đã đƣợc lấy mẫu trƣớc khi lựa chọn
các phần tử sau đƣợc gọi là lấy mẫu có hồn lại.
 Lấy mẫu khơng hồn lại là thủ tục thƣờng đƣợc sử dụng.
 Trong các dự án lấy mẫu lớn, các số ngẫu nhiên do
máy tính tạo ra thƣờng đƣợc sử dụng để tự động hóa
q trình chọn mẫu

6


Lấy mẫu từ một tổng thể hữu hạn
Ví dụ : Đại học St. Andrew’s
Đại học St. Andrew’s đã nhận 900 đơn
xin vào học năm tới từ các sinh viên tƣơng lai. Các ứng viên đã đƣợc đánh số,
từ 1 đến 900, khi đơn của họ nộp vào.
Trƣởng ban tuyển sinh muốn chọn một mẫu ngẫu nhiên
đơn giản gồm 30 ứng viên.

7


Lấy mẫu từ một tổng thể hữu hạn
Ví dụ : Đại học St. Andrew’s

 Bƣớc 1: Gắn một số ngẫu nhiên cho mỗi ứng viên
trong 900 ứng viên nói trên.
Các số ngẫu nhiên đƣợc tạo bởi hàm ngẫu nhiên của Excel
heo phân phối xác suất đều giữa 0 and 1.
 Bƣớc 2: Chọn 30 ứng viên tƣơng ứng với 30 số
ngẫu nhiên nhỏ nhất.

8


Lấy mẫu từ một tổng thể vô hạn
 Đôi khi chúng ta muốn chọn một mẫu, nhƣng nhận
thấy không thể có đƣợc một danh sách gồm tất cả các
phần tử trong tổng thể.
 Kết quả, chúng ta không thể xây dựng một dàn chọn mẫu
cho tổng thể.

 Do đó, chúng ta không thể sử dụng thủ tục chọn số
ngẫu nhiên.
 Hầu hết tình huống này xảy ra trong các trƣờng hợp
tổng thể vô hạn.

9


Lấy mẫu từ một tổng thể vô hạn
 Tổng thể thƣờng đƣợc tạo ra bằng một quá trình xảy ra hiện thời ở đó khơng
có giới hạn trên đối với số lƣợng đơn vị có thể đƣợc tạo ra.
 Vài ví dụ về q trình xảy ra hiện thời, với các tổng thể
vơ hạn, là :

•

Các bộ phận đang đƣợc sản xuất trên một dây chuyền
sản xuất
• Các giao dịch đang xảy ra tại một ngân hàng
• Các cuộc gọi điện thoại đang đến ở một tổ hỗ trợ
kỹ thuật
• Các khách hàng đang đi vào một cửa hang các khách hàng
đang đi vào một cửa hàng

10


Lấy mẫu từ một tổng thể vô hạn
 Trong trƣờng hợp một tổng thể vô hạn, chúng ta phải
chọn một mẫu ngẫu nhiên để thực hiện các suy diễn
thống kê có căn cứ về tổng thể từ mẫu đƣợc lấy.
 Một mẫu ngẫu nhiên từ một tổng thể vô hạn là một mẫu
đƣợc chọn sao cho các điều kiện sau đây thỏa mãn.
•
•

Mỗi phần tử đƣợc chọn đến từ tổng thể quan tâm.
Mỗi phần tử đƣợc chọn một cách độc lập.

11


Ước lượng điểm
 Ước lượng điểm là một dạng của suy diễn thống kê.

 Trong ước lượng điểm chúng ta sử dụng dữ liệu từ mẫu
để tính tốn giá trị của một thống kê mẫu, rồi dùng nó
như một ước lượng của tham số tổng thể.
 Chúng ta xem 𝑥 như ước lượng điểm của trung bình
tổng thể 𝜇.
 s là ước lượng điểm của độ lệch chuẩn tổng thể 𝜎.
 𝑝 là ước lượng điểm của tỷ lệ tổng thể p.

12


Ước lượng điểm
Ví dụ : Đại học St. Andrew’s

 Nhắc lại là Đại học St. Andrew’s đã nhận 900 đơn
của các sinh viên tương lai. Mẫu đơn chứa nhiều thông
tin bao gồm điểm kiểm tra năng lực học tập (SAT)
và có hay khơng mong muốn ở ký túc xá.
 Tại một cuộc họp trong vài giờ, Trưởng ban tuyển
sinh muốn cơng bố điểm SAT trung bình và tỷ lệ ứng
viên muốn sống ở ký túc xá của trường, trong tổng thể
900 ứng viên.

13


Ước lượng điểm
Ví dụ : Đại học St. Andrew’s
 Tuy nhiên, dữ liệu cần thiết về các ứng viên chưa được đưa vào

trong cơ sở dữ liệu máy tính của trường.
Vì vậy, Trưởng ban quyết định ước lượng giá trị của các tham số tổng thể
quan tâm dựa vào thống kê mẫu.
Mẫu gồm 30 ứng viên được chọn bằng cách sử dụng
các số ngẫu nhiên do máy tính tạo ra.

14


Ước lượng điểm
 𝑥 là Ước Lượng Điểm của 𝜇
𝑥=

𝑥𝑖
30

=

32,910
30

=1097

 s là Ước Lượng Điểm của 𝜎
2

s=

(𝑥𝑖 ;𝑥)
29

=

163,996
29

= 75.2

 𝑝 là Ước Lượng Điểm của p
𝑝 = 20/30 = 0.68
Lưu ý: Các số ngẫu nhiên khác sẽ nhận dạng một mẫu
khác mà sẽ dẫn đến các ước lượng điểm khác.
15


Ước lượng điểm
Khi tất cả dữ liệu của 900 ứng viên được đưa vào cơ sở dữ liệu
của trường, giá trị các tham số tổng thể quan tâm được tính tốn.

 Trung bình tổng thể của điểm SAT
𝑥𝑖
𝜇=
= 1090
900
 Độ lệch chuẩn tổng thể của điểm SAT
𝜎=

(𝑥𝑖 ;𝜇)2
900

= 80

 Tỷ lệ tổng thể muốn ở ký túc xá
P=

648
900

= 72
16


Bảng tóm tắc các Ước Lượng Điểm có được từ
một mẫu ngẫu nhiên đơn giản
Tham số
Tổng thể

Giá trị
Tham số

Tham số
Ước lượng điểm

𝜇 = Điểm SAT trung bình
tổng thể

1090

𝜎 = Độ lệch chuẩn
tổng thể cho

điểm SAT

80

s = Độ lệch chuẩn mẫu
cho điểm SAT

75.2

p = Tỷ lệ tổng thể muốn ở
ký túc xá

72

𝑝 = Tỷ lệ mẫu muốn ở
ký túc xá

68

𝑥 = Điểm SAT
trung bình mẫu

17

Ước lượng
Điểm
1097


Phân Phối Mẫu của 𝑥

Quá trình suy diễn thống kê
Tổng thể
Một mẫu ngẫu nhiên
có trung
đơn giản cỡ n phần tử
bình
được chọn từ tổng thể.
𝜇=?

Giá trị của 𝑥 được
sử dụng để suy diễn
về giá trị của 𝜇.

Dữ liệu mẫu cung
cấp một giá trị cho
trung bình mẫu 𝑥 .

18


Phân Phối Mẫu của 𝑥
Phân phối mẫu của 𝑥 là phân phối xác suất
của tất cả các giá trị có thể có của trung bình mẫu 𝑥 .
 Giá trị kỳ vọng của 𝑥
E(𝑥 ) = 𝜇
Ở đó : 𝜇 = trung bình tổng thể

Khi giá trị kỳ vọng của tham số ước lượng điểm bằng
tham số tổng thể, chúng ta nói tham số ước lượng
điểm là khơng chệch.

19


Phân Phối Mẫu của 𝑥
 Độ lệch chuẩn của 𝑥

Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu sau đây để định nghĩa
độ lệch chuẩn của phân phối mẫu của 𝑥.
𝜎𝑥 = độ lệch chuẩn của 𝑥
σ = độ lệch chuẩn của tổng thể
n = cỡ mẫu
N = kích thước tổng thể

20


Phân Phối Mẫu của 𝑥
 Độ lệch chuẩn của
Tổng thể hữu hạn
𝜎𝑥 =

𝑁 ;𝑛 𝜎
( )
𝑁 ;1 𝑛

Tổng thể vô hạn

𝜎𝑥 =

𝜎

𝑛

• Một tổng thể hữu hạn được xử lý như vơ hạn
nếu n/N < 0.05.
•

(𝑁 − 𝑛)/(𝑁 − 1) là hệ số hiệu chỉnh tổng thể hữu hạn .

• 𝜎𝑥 được xem như sai số chuẩn
của trung bình mẫu.
21


Phân Phối Mẫu của 𝑥
Khi tổng thể có phân phối chuẩn, thì phân phối
mẫu của 𝑥 có phân phối chuẩn với mọi cỡ mẫu.
Trong đa số ứng dụng, phân phối mẫu của 𝑥 có thể
được xấp xỉ bằng một phân phối chuẩn
bất cứ khi nào cỡ mẫu từ 30 trở lên.
Trong các trường hợp mà tổng thể bị lệch nhiều
hay các giá trị bất thường xuất hiện, các mẫu cỡ 50
có lẽ cần thiết.
Phân phối mẫu của 𝑥 có thể được sử dụng để cung
cấp thông tin xác suất về trung bình mẫu 𝑥 gần như
thế nào với trung bình tổng thể 𝜇.
22


Định Lý Giới Hạn Trung Tâm
Khi tổng thể mà từ đó chúng ta chọn ra một mẫu

ngẫu nhiên khơng có phân phối chuẩn, định lý giới
hạn trung tâm là hữu ích trong việc nhận biết hình
dạng của phân phối mẫu của 𝑥 .

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
Khi chọn các mẫu ngẫu nhiên cỡ n từ một
tổng thể, phân phối mẫu của trung bình mẫu 𝑥 có
thể xấp xỉ một phân phối chuẩn khi cỡ mẫu đủ lớn
lớn.

23


Phân Phối Mẫu của 𝑥
Ví dụ : Đại học St. Andrew’s
Phân phối
mẫu của 𝑥
đối với các
điểm SAT

𝜎𝑥 =

E(𝑥 ) = 1090
24

𝜎
𝑛

=

𝑥

80
30

= 14.6


Phân Phối Mẫu của 𝑥
Ví dụ : Đại học St. Andrew’s
 Xác suất mà một mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm 30
ứng viên sẽ cho một ước lượng của điểm SAT trung
bình tổng thể ở trong vịng +/-10 so với trung bình
tổng thể thực sự 𝜇 là bao nhiêu ?
Nói cách khác, xác suất 𝑥 nằm giữa 1080 và 1100
là bao nhiêu?

25