SU-DONG-BIEN-NGHICH-BIEN-CUA-HAM-SO-LY-THUYET-VA-BAI-TAP-TU-LUYEN-TOAN-12

Tính đơn điệu của hàm số

CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Tiết 1
1. MỞ ĐẦU
1-Xét hàm số y  x 2 có đồ thị hình vẽ

H1: Tính đạo hàm y ' và hồn thành bảng dưới đây:

H2: Nêu khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số?
2- Xét hàm số y 

1
x

H1: Ta có y ' và hoàn thành bảng dưới đây:

tuhoctoan.edu.vn


Tính đơn điệu của hàm số
H2: Nêu khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số?
H3: Từ hai bài tập trên, em hãy nhận xét về mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đồng biến,
nghịch biến của hàm số?
Kết luận
+ Nếu y '  0 trên khoảng  a; b  thì hàm số đồng biến trên khoảng  a; b  .
+ Nếu y '  0 trên khoảng  a; b  thì hàm số nghịch biến trên khoảng  a; b  .
2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Nhắc lại định nghĩa: Cho K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y  f  x  xác định
trên K .

y  f  x  đồng biến trên K
 x1 , x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2 
y  f  x  nghịch biến trên K

 x1 , x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2 
*Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến trên
K thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải.
Ví dụ: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên
và có đồ thị (hình vẽ)

H: Hãy chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hầm số?
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định lí: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên K .
 Nếu f   x   0, x  K thì y  f  x  đồng biến trên K .
 Nếu f   x   0, x  K thì y  f  x  nghịch biến trên K .
Chú ý:
- Nếu f '( x)  0, x  K thì f ( x ) khơng đổi trên K.
- Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm trên K . Nếu f   x   0 ( f   x   0 ) , x  K và f   x   0 chỉ
tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K .
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
Hướng dẫn giải:

tuhoctoan.edu.vn

a) y  2 x  1

b) y   x 2  2 x

Tính đơn điệu của hàm số
---------------------------------------------Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: y  x 3
Hướng dẫn giải:
------------------------------------------------II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1. Quy tắc
B1. Tìm tập xác định.
B2.Tính f   x  . Tìm các điểm tại đó f   x   0 hoặc f   x  không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4. Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 3: Khoảng đơn điệu của hàm số y   x 3  3x  4
HHướng dẫn giải:
---------------------------------------------Ví dụ 4: Khoảng đơn điệu của hàm số y  x 4  8 x 2  4 .
Hướng dẫn giải:
---------------------------------------------------x 2
Ví dụ 5: Khoảng đơn điệu của hàm số y 
.
x 1
Hướng dẫn giải:
-------------------------------------------------------C. LUYỆN TẬP
Câu 1: Cho hàm số y

f x xác định, liên tục trên

Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số đồng biến trên 1;
.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

và có đồ thị như hình vẽ bên.

B. Hàm số đồng biến trên
1;1 . D. Hàm số đồng biến trên

; 1 và 1;

; 1

1;

.

.

Câu 2: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên R \ 0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên
như sau

Chọn khẳng định đúng?
A.Hàm số nghịch biến trên (;0)  (1; )
C.Hàm số đồng biến trên khoảng (1; )

tuhoctoan.edu.vn

B. Hàm số nghịch biến trên (0;1)
D. Hàm số đồng biến trên (0;1)


Tính đơn điệu của hàm số
Câu 3 : Cho hàm số y 2x 3 6x 2 6x 2017 . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên .
C. Trên khoảng
hàm số đã cho đồng biến.
; 2 hàm số đã cho đồng biến.D. Trên khoảng 2;
Câu 4: Hàm số y
A.

2; 2 .B.

x4

4x 2

3; 0 ;

1 nghịch biến trên mỗi khoảng nào sau đây?

2;

.C.

2; 0 ;

D. ( 2;

2;

).

x
x

2
. Xét các mệnh đề sau.
1
;1
1;
1) Hàm số đã cho đồng biến trên
.2) Hàm số đã cho đồng biến trên
Câu 5: Cho hàm số y

\ 1 .

3) Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định.
4) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
Số mệnh đề đúng là :A. 3.

B. 2.

C. 1.

;

1 và

1;

.

D. 4.

Tiết 2-3
Ví dụ 6: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y 

x2  2x
1 x

Hướng dẫn giải:
---------------------------------------------------------------Ví dụ 7: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số: y

2x

x2

Hướng dẫn giải:
-------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 8: Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để hàm số y

x3

3x 2

mx

m đồng biến trên tập xác định.

Hướng dẫn giải.

----------------------------------------------------------------------

2m 3
với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất
x m
cả các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S .
A. 5 .
B. 4 .
C. Vơ số.
D. 3 .
Hướng dẫn giải:

Ví dụ 9: (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hàm số y

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
Câu 1:

tuhoctoan.edu.vn

mx


Tính đơn điệu của hàm số
Câu 1: Cho hàm số y

f x có đồ thị như hình vẽ bên.

y

Nhận xét nào sau đây là sai ?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1

3

B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;

2
1

; 0 và

C. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng khoảng

O

-1

1;

1

x

-1

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

; 3 và 1;

Câu 2: Cho hàm số y  f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; 0) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 0) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 2) .

x3
x 2 x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
3
A. Hàm số đã cho đồng biến trên .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên
;1 .

Câu 3. Cho hàm số y

C. Hàm số đã cho đồng biến trên 1;

và nghịch biến trên

;1 .

D. Hàm số đã cho đồng biến trên

;1 và nghịch biến 1;
.
Câu 4. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên toàn trục số?
x 3 3x 2 3x 2 .
A. y x 3 3 x 2 .

B. y
x3

C. y

1.

3x

D. y

Câu 5. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Hàm số y
A.

1
.
2

;

B. 0;
2x 4

Câu 6. Cho hàm số y

.

x3 .

2x 4

1 đồng biến trên khoảng nào?

1
;
2

C.

B. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
C. Trên các khoảng

; 1 và 0;1 , y '

1;0 và 1;

C. y

x

2x

2

2.

C.

\ 1 .

;1 và 1;

.

.

0 nên hàm số đã cho nghịch biến.
0 nên hàm số đã cho đồng biến.
?
B. y
D. y

Câu 8. Các khoảng nghịch biến của hàm số y
A.

x3
x

4

2x 1
là:
x 1
B.
;1

D.

;

x2

2x

2

2.

3x

1;

1.

.

.

2x 1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x 1
A. Hàm số đã cho đồng biến trên .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định.
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Câu 10. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó?

Câu 9. Cho hàm số y

tuhoctoan.edu.vn

;0 .

; 1 và 0;1 .
; 1 và 1;

, y'

Câu 7. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên
A. y x 3 3 x 2 4 .
4

D.

4 x 2 . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng

D. Trên các khoảng

.


Tính đơn điệu của hàm số
A. y

x
x

2

.
2

B. y

x 2
.
x 2

x 2
.
x 2

C. y

x 2
.
x 2

D. y

1 x 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 11. Cho hàm số y

A. Hàm số đã cho đồng biến trên 0;1
B. Hàm số đã cho đồng biến trên toàn tập xác định
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên 0;1
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên toàn tập xác định.
Câu 12. Hàm số y

2x

A. 0;2 .
Câu 13. Cho hàm số y

x 2 nghịch biến trên khoảng nào đã cho dưới đây?

B. 0;1 .

C. 1;2 .

f x xác định liên tục trên

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
B. Hàm số đã cho có giá trị cực đại bằng

D.

1;1 .

2 và có bảng biến thiên như hình dưới đây.

\

3; 2

2; 1 .

3.

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

; 3 và

1;

.

D. Hàm số đã cho có điểm cực tiểu là 2.
Câu 14. Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x xác định, liên tục
trên

y

và f ' x có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau

đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên 1;
B. Hàm số đồng biến trên
C. Hàm số nghịch biến trên
D. Hàm số đồng biến trên

.

; 1 và 3;

O 1

.

3

-1

x

; 1.
; 1

3;

.
-4

Câu 15. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hàm số y
giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng
A. 4.

C. 7.

mx 2
;

4m

9 x

5 với m là tham số. Có bao nhiêu

?

D. 5.
x 1
Câu 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y
nghịch biến trên khoảng
;2 .
x m
A. m 2 .
B. m 1 .
C. m 2 .
D. m 1 .
mx 2m 3
Câu 17. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hàm số y
với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất
x m
cả các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S .
A. 5 .
B. 4 .
C. Vô số.
D. 3 .

tuhoctoan.edu.vn

B. 6.

x3