Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

C©u 1: Số gia hàm số của hàm số y = f(x) tại điểm x0 được
tính theo công thức:
a.

y = f( x)

b
b.

y = f(x) – f(x f(x0)

c.

y = f( x) – f(x)

d.

y = f( x+ x) – f(x f(x)


C©u 2: Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M0 (x0;f(x0))
của đồ thị hàm số y = f(x) là :
a. f ’(x)
b. f(x)
cc. f ’(x0)
d. f(x0)


C©u 3: Hệ số góc của cát tuyến AB với đồ thị hàm
số y = f(x), biết hoành độ của hai điểm A và B lần

lượt là x1, x2 , được cho bởi công thức:
x2  x1
a.
f ( x2 )  f ( x1 )
f ( x2 )  f ( x1 )
b.
x1  x2

f ( x1 )  f ( x2 )
c.
x2  x1
f ( x2 )  f ( x1 )
d
.
d
x2  x1



1. Nhắc lại định nghóa hàm số đồng biến, nghịch biến
Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b).
-Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu với mọi
x1,x2  (a;b) mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).
-Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu với
mọi x1,x2  (a;b) mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).

Dễ dàng nhận thấy rằng

f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)  y/ x > 0 trên khoảng (a;b).
f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)  y/ x < 0 trên khoảng (a;b).

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một
khoảng được gọi chung là đơn điệu trên khoảng đó.


Từ đó ta có:

y
f(x) đồng biến trên (a;b) thì f’(x) = lim
0
x

trên khoảng đó.

x  0

y
f(x) nghịch biến trên (a;b) thì f’(x) = lim
0
x

trên khoảng đó.

x  0


2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu
Định lí 1( Định lí Lagrăng )

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên

khoảng (a;b) thì tồn tại điểm c  (a;b) sao cho:
f(b) – f(a) = f’(c) (b – a)

hay

f (b)  f (a )
f '(c) 
b a

Ý nghóa hình học của định lí Lagrăng

Xét cung AB của đồ thị hàm số y = f(x) trong đó tọa độ của điểm
A là (a;f(a)), của điểm B là (b;f(b)).
y
Hệ số góc của cát tuyến AB là f(b)
B
C
f (b)  f ( a)
f(c)

b a

Đẳng thức

f (b)  f (a )
f '(c) 
b a

Có nghóa là

f(a)
O

A
a

c

b

x


y
f(b)

C

f(c)
f(a)
O

B

A
a

c

b

x

Hệ số góc của tiếp tuyến của cung AB tại điểm (c;f(c)) bằng
hệ số góc của cát tuyến AB. Vậy nếu giả thiết của định lí lagrăng
được thỏa mãn thì tồn tại một điểm C của cung AB sao cho tiếp
tuyến tại đó song song với cát tuyến AB.


Định lí 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến

trên khoảng đó.

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x  (a;b) thì hàm số y = f(x) nghịch
biến trên khoảng đó.

Chứng minh đ/lí 2

Lấy x1, x2 (x1 < x2 ) trên khoảng (a;b).

Áp dụng định lý Lagrăng cho hàm số y = f(x) trên đoạn
[x1;x2],
Tồn tại điểm c  (x1;x2) sao cho: f(x2) – f(x1) = f’(c) (x2 – x1)
b)Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (a;b) thì f’ (c) < 0, mặt khác x2 – x1> 0
nên f(x2) – f(x1) < 0, tức là f(x1) > f(x2).

Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng ( a;b).

Định lí mở rộng của định lí 2:
Định lí 3. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
Nếu f’(x)  0 (hoặc f’(x)  0) , và đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn
điểm trên khoảng (a;b) thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến)
trên khoảng đó.


Ví dụ 1. Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
y = x3 – 6x2 + 9x .

Giải
Hàm số đã cho xác định với mọi x  R.
Ta có y’ = 3x2 – 12x + 9 cũng xác định trên R.
y’ = 0  x = 1 hoặc x = 3 .
Bảng biến thiên
x
y’

y

1

-

+

0

+

3
_

0

+

4
0

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-  ;1) và (3; +  ),
nghịch biến trên khoảng (1;3).


Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

3
y = 3x   5
x
Giải

Hàm số xác định với mọi x 2 0, x R.
3
x 1
Ta có: y’ = 3  2 3 2
x
x
y’cũng xác định với mọi x  0, x R.
Dấu của y’ là dấu của x2 – 1. Bảng biến thiên
x

y’
y

0

-1

-
+

0

_

1
_

0

+
+

-1
11

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-  ;-1) và (1; + ),
nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và (0;1).