GIÁO TRÌNH TOÁN CAO cấp GIẢI TÍCH HÀM một BIẾN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Nguyễn Đình Huy (Chủ biên)
Nguyễn Quốc Lân, Lê Xn Đại

TỐN CAO CẤP
GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA
TP HỒ CHÍ MINH 2015


51
89/176-05
GD-05

Mã số: 8I092M5


Lời nói đầu

Cuốn sách dành cho các bạn sinh viên trường Đại học Bách Khoa TpHCM.
Trong biên soạn không thể tránh khỏi sai sót và nhầm lẫn mong bạn đọc cho ý kiến. Mọi góp ý
gửi về địa chỉ:
Ngày 13 tháng 01 năm 2014
Nhóm tác giả


Mục lục

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Chương 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1. Khái niệm dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Giới hạn của dãy đơn điệu. Định lý Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4. Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Lời giải bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Chương 2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN . . . . . . . .

18

2.1. Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2. Giới hạn vô cùng bé của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3. Giới hạn vô cùng lớn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.4. Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Chương 3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.1. Khái niệm đạo hàm của hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.2. Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.3. Vi phân của hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.4. Tìm giới hạn dạng vơ định theo qui tắc L’ Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.5. Khai triển Taylor - Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.6. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.7. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Chương 4. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . .

54

4.1. Nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54


MỤC LỤC

1

4.2. Phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4.3. Tích phân của những hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

4.4. Tích phân của hàm vơ tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4.5. Tích phân của hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.6. Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

4.7. Phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

4.8. Tích phân suy rộng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

4.9. Tích phân suy rộng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

4.10. Ứng dụng của tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.11. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THÔNG THƯỜNG . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

5.1. Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

5.2. Bài tập phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

5.3. Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

5.4. Bài tập phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

5.5. Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

5.6. Bài tập hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

CÁC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM GIỮA KỲ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

6.1. Đề thi giữa kỳ giải tích 1- Ca 1 năm 2012-2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

CÁC ĐỀ THI TỰ LUẬN CUỐI KỲ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

7.1. Đề thi cuối kỳ giải tích 1- Ca 1 năm học 2013-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

7.2. Đề thi cuối kỳ giải tích 1- Ca 2 năm học 2013-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144


Chương1

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1.1

1.1. Khái niệm dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Giới hạn của dãy đơn điệu. Định lý Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4. Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Lời giải bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Khái niệm dãy số

Diện tích hình trịn được xấp xỉ bởi diện tích của những đa giác đều
Tính gần đúng diện tích của hình trịn có bán kính R

Hình 1.1: Diện tích hình trịn được xấp xỉ bởi diện tích của những đa giác đều

A = lim An = πR2 .
n→∞

3

1.1 Khái niệm dãy số

1.1.1

Định nghĩa dãy số

Định nghĩa 1.1. Ánh xạ f : N −→ R từ tập hợp số tự nhiên lên tập hợp số thực R được gọi là dãy
số.
Dãy số được kí hiệu là (xn ). xn được gọi là phần tử tổng quát thứ n của dãy số.
Ví dụ 1.1.1. Cho dãy (xn ) với xn =

1.1.2

1
1
1
thì x1 = 1, x2 = , . . . , xn = , . . .
n
2
n

Sự biểu diễn hình học của dãy số

Phương pháp thứ nhất.
Dãy số (xn ) được biểu diễn bằng đồ thị của nó từ những điểm (n, xn ).

Hình 1.2: Biểu diễn dãy số trên mặt phẳng
Phương pháp thứ hai.
Dãy số (xn ) được biểu diễn bởi những điểm của trục Ox

Hình 1.3: Biểu diễn dãy số trên trục số thực

1.1.3

Tính chất của dãy số

1. Tính tăng và tính giảm.
Định nghĩa 1.2. Dãy số (xn ) được gọi là dãy tăng (dãy giảm) nếu như với mọi n ∈ N ln có bất
đẳng thức xn < xn+1 (xn > xn+1 ).
Định lý 1.1: Bất đẳng thức Bernoulli.
Nếu số h > −1 và h = 0 thì ln có bất đẳng thức (1 + h)n > 1 + nh với mọi số tự nhiên n

Ví dụ 1.1.2. Dãy xn =

1
1+
n

n

, (n ∈ N) là dãy tăng.

2.


4

Chứng minh. Vì xn =

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1
1+
n

n

> 0 nên ta chỉ cần chứng minh

1 n+1
n+1
(1 + n+1
( n+2
)
xn+1
n+1 )
=
=
=
n
xn
(1 + n1 )n
( n+1
n )

=

1−

1
(n + 1)2

n+1

.

n+2
n+1
n+1
n

n+1
>
n

1−

n+1

.

n+1
=
n

1
n+1

.

xn+1
xn

> 1. Ta có

n2 + 2n
n2 + 2n + 1

n+1

.

n+1
=
n

n+1
n n+1
=
.
=1
n
n+1 n

Như vậy xn < xn+1
Ví dụ 1.1.3. Dãy số xn =

1+

1
n

n+1

, (n ∈ N) là dãy giảm.

Chứng minh. Vì xn = (1 + n1 )n+1 > 0 nên ta chỉ cần chứng minh
n+1
(1 + n1 )n+1
( n+1
xn
n )
=
=
=
1 n+2
n+2
xn+1
(1 + n+1
)
( n+2
n+1 )

=

1+

1
n(n + 2)

n+2

.

n+1
n
n+2
n+1

n
>
n+1

n+2

1+

.

1
n

n
=
n+1

.

xn
> 1. Ta có
xn+1

n2 + 2n + 1
n2 + 2n

n+2

.

n
=
n+1

n
n+1 n
=
.
= 1.
n+1
n n+1

Như vậy xn > xn+1
2. Tính bị chặn.
Định nghĩa 1.3. Dãy số (xn ) ⊂ R được gọi là bị chặn trên (dưới), nếu như tồn tại số ∃M ∈ R (m ∈ R),
sao cho với mọi ∀n ∈ N ln có xn M (xn m).
Số M (m) được gọi là cận trên (cận dưới) của dãy (xn ).
Định nghĩa 1.4. Dãy số (xn ) ⊂ R được gọi là bị chặn, nếu nó bị chặn trên và chặn dưới có nghĩa là

nếu như tồn tại số ∃M, m ∈ R sao cho với mọi ∀n ∈ N ln có m xn M.
Định nghĩa 1.5. Dãy số (xn ) ⊂ R được gọi là không bị chặn trên (dưới), nếu như với mọi số
∀M ∈ R (m ∈ R), tồn tại số hạng của dãy số xn0 sao cho xn0 > M (xn0 < m).
Ví dụ 1.1.4. Dãy số xn =

1+

1
n

n+1

(n ∈ N) bị chặn dưới bởi số m = 0, và bị chặn trên bởi số

M = (1 + 1)2 = 4.
Chứng minh.
Vì dãy này là dãy giảm nên với mọi ∀n ∈ N luôn có xn

x1 = 4.

Với mọi ∀n ∈ N ta có xn > 0
Ví dụ 1.1.5. Dãy số xn = (1 + n1 )n , (n ∈ N) bị chặn dưới bởi số m = 0 và bị chặn trên bởi số M = 4.
Chứng minh. Với mọi ∀n ∈ N ln có xn > 0, và xn =

1
1+
n

n

<

1
1+
n

n+1

4


5

1.2 Giới hạn của dãy số

Hình 1.4: Ý nghĩa hình học của giới hạn của dãy số

1.2
1.2.1

Giới hạn của dãy số
Những khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.6. Số a ∈ R được gọi là giới hạn của dãy (xn ) ⊂ R, nếu như với mọi ∀ε > 0 tồn tại
số N = N (ε) sao cho với mọi ∀n > N ln có bất đẳng thức |xn − a| < ε.
Chú ý. Nếu số a ∈ R là giới hạn của dãy (xn ) ⊂ R thì ta viết là lim xn = a.
n→∞

Định nghĩa 1.7. Dãy số (xn ) ⊂ R có giới hạn hữu hạn a ∈ R được gọi là dãy hội tụ đến a. Khi đó
ta viết là xn → a.

Định nghĩa 1.8. Dãy số (xn ) ⊂ R được gọi là phân kỳ nếu như mọi số ∀a ∈ R không là giới hạn
của dãy số này, có nghĩa là a khơng tồn tại hoặc bằng ∞.

1.2.2

Tính chất của giới hạn hữu hạn của dãy số

Định lý 1.2
Mọi dãy hội tụ (xn ) ⊂ R đều bị chặn.
Chú ý. Điều ngược lại không đúng. Ví dụ dãy an = (−1)n bị chặn nhưng phân kỳ.
Định lý 1.3
Nếu dãy số (xn ) ⊂ R có giới hạn hữu hạn a thì giới hạn đó là duy nhất.
Định lý 1.4
Nếu dãy số (xn ) ⊂ R và (yn ) ⊂ R có giới hạn hữu hạn tương ứng là a và b thì:
1. lim |xn | = |a|.
n→∞

2. lim (xn ± yn ) = a ± b
n→∞

3. lim (xn .yn ) = a.b.
n→∞

4. Nếu bổ sung thêm điều kiện b = 0 thì ta có lim

n→∞

1.2.3

Những giới hạn cơ bản

xn
a
= .
yn
b


6

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Những giới hạn cơ bản
1. lim q n = 0,
n→∞

lnp n
= 0, ∀p, ∀α > 0.
n→∞ nα
√
7. lim n np = 1, ∀p.

|q| < 1.

1
= 0,
n→∞ nα

2. lim

6. lim

α > 0.

1
= 0,
n→∞ lnα n

3. lim

n→∞

8. lim

α > 0.

n→∞

1
4. lim n = 0.
n→∞ e
np
= 0,
n→∞ en

5. lim

1+

1

n

10. lim

1+

a
n

n→∞

a > 0.
n

= e.
n

= ea ,

∀a.

lnp n << nα << an << n! << nn

Chú ý. Với p, α > 0, a > 1, khi n → ∞ thì

1.2.4

a = 1,

9. lim

n→∞

∀p.

√
n

Định lý kẹp

Định lý 1.5
Nếu
xn

yn zn , ∀n > n0
lim xn = lim zn = a

n→∞

n→∞

thì lim yn = a.
n→∞

Hình 1.5: Hình ảnh minh họa định lý kẹp
7n
.
n→∞ nn

Ví dụ 1.2.1. Tìm giới hạn lim

Giải. Ta có

0<
mà lim

n→∞

1.2.5

7
8

n

7n
<
nn

7
8

n

,

∀n > 8.

7n
= 0.
n→∞ nn

= 0 nên lim

Giới hạn vô cùng của dãy số

Định nghĩa 1.9. Số +∞(−∞; ∞) được gọi giới hạn của dãy số (xn ) ⊂ R, nếu như với mọi ∀M > 0 tồn
tại số N = N (M ) > 0 sao cho với mọi ∀n > N ln có bất đẳng thức xn > M (xn < −M ; |xn | > M ).
Chú ý.

1
1
= 0; = ∞
∞
0


7

1.2 Giới hạn của dãy số

Ví dụ 1.2.2. Dãy số xn = q n (n ∈ N) với q > 1 có giới hạn lim q n = +∞.
n→∞

Chứng minh. Vì 0 <

1
q

< 1 nên theo giới hạn cơ bản, ta có
lim

n→∞

1
q

n

= lim

n→∞

1
= 0.
qn

1
Lấy 1 số M > 0 bất kỳ và đặt ε = M
> 0, khi đó theo định nghĩa giới hạn thì đối với số ε > 0 này
1
tồn tại số N = N (ε) > 0 sao cho với mọi ∀n > N ln có bất đẳng thức | q1n − 0| = q1n < ε = M
, có
n
n
nghĩa là q > M (∀n > N ). Như vậy lim q = +∞
n→∞

Ví dụ 1.2.3. Dãy số xn = q n (n ∈ N) với q < −1 có giới hạn lim q n = ∞.
n→∞

Chứng minh. Vì 0 < | 1q | < 1 nên theo giới hạn cơ bản, ta có
1
1
1
= lim n = 0.
lim | |n = lim
n→∞ |q |
n→∞ |q|n
q

n→∞

1
Lấy 1 số M > 0 bất kỳ và đặt ε = M
> 0, khi đó theo định nghĩa giới hạn thì đối với số ε > 0 này
1
, có
tồn tại số N = N (ε) > 0 sao cho với mọi ∀n > N ln có bất đẳng thức || q1n | − 0| = |q|1n < ε = M
n
n
n
nghĩa là |xn | = |q | = |q| > M (∀n > N ). Như vậy lim q = ∞
n→∞

Chú ý. Số +∞ và −∞ trong trường hợp này không là giới hạn của dãy xn = q n (n ∈ N) với
q < −1. Vì với mọi số chẵn n thì xn = q n > 0, còn với mọi số lẻ n thì xn = q n < 0.

1.2.6

Dãy con

Định nghĩa 1.10. Cho dãy số (xn ) ⊂ R và n1 < n2 < . . . < nk < . . . một dãy số tự nhiên tăng bất
kỳ, khi đó dãy số xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . . được gọi là dãy con của dãy (xn ). Dãy con được kí hiệu là
(xnk ).
Định nghĩa 1.11. Số c ∈ R được gọi là giới hạn riêng của dãy (xn ), nếu như tồn tại dãy con
(xnk ) của dãy (xn ), hội tụ đến số c.
Ví dụ 1.2.4. Cho dãy (xn ) với xn = (−1)n . Với n = 2k thì dãy {1, 1, . . . , 1, . . .} được gọi là 1 dãy con
của dãy (xn ) và giới hạn riêng của nó x2k → 1, k → ∞. Với n = 2k + 1 thì dãy {−1, −1, . . . , −1, . . .}
cũng là 1 dãy con của dãy (xn ) và giới hạn riêng của nó x2k+1 → −1, k → ∞.

1.2.7

Mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số hội tụ

Nếu như dãy (xn ) hội tụ đến số a, thì với mọi dãy con (xnk ) của dãy (xn ), giới hạn của nó là a.
lim xn = a =⇒ lim xnk = a

n→∞

k→∞

Định lý 1.6
Nếu dãy (xn ) hội tụ thì tất cả giới hạn riêng của dãy (xn ) đều bằng nhau và bằng giới hạn của
dãy số (xn ).
Chú ý. Để chứng minh dãy (xn ) phân kỳ ta làm như sau:
Cách 1. Chỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn riêng khác nhau.
Cách 2. Chỉ ra 1 dãy con phân kỳ.


8

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Ví dụ 1.2.5. Nói chung đối với một số dãy số thì có thể tồn tại những giới hạn riêng khác nhau.
Đối với dãy (xn ) = (−1)n (n ∈ N), dãy con của nó (x2k ) = (−1)2k = 1 và (x2k−1 ) = (−1)2k−1 = −1
có giới hạn riêng lần lượt là 1 và -1. Chúng khơng bằng nhau.
Ví dụ 1.2.6. Khơng phải với dãy số nào cũng có giới hạn riêng.
Dãy số 1, 2, . . . , n, . . . không có giới hạn riêng.

1.3

Giới hạn của dãy đơn điệu. Định lý Weierstrass

Định lý 1.7
Nếu dãy số đơn điệu tăng (giảm) (xn ) ⊂ R bị chặn trên (dưới)
x1

x2

...

xn

...

y

(x1

x2

...

xn

...

z),

thì nó có giới hạn hữu hạn. Còn nếu như dãy số đơn điệu tăng (giảm) (xn ) ⊂ R không bị chặn
trên (dưới) thì giới hạn của nó là +∞(−∞).
Ví dụ 1.3.1. Chứng minh rằng dãy số (xn ) = (1 + n1 )n (n ∈ N) có giới hạn hữu hạn. Giới hạn này
được kí hiệu là e.
Chứng minh. Như ta đã biết dãy (xn ) trên là dãy tăng và bị chặn trên. Vì vậy theo định lý
Weierstrass tồn tại giới hạn hữu hạn
lim

n→∞

1
1+
n

n

= e.

Chú ý. Số e là số siêu việt (khơng phải là số đại số). Nó khơng là nghiệm của đa thức với hệ số
nguyên có bậc n 1.
Số e ≈ 2, 718281828459045, số này còn được gọi là số Neper hay số Ơle.

1.4

Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số

1.4.1

Dùng biến đổi đại số để tìm giới hạn của dãy số

Ví dụ 1.4.1. Tìm giới hạn I = lim

n→∞

n2
n3
− 2
n+1 n +1

.

Giải.
1
n2 (n2 + 1) − n3 (n + 1)
n2 − n3
n −1
=
lim
=
lim
n→∞

n→∞ (n + 1)(n2 + 1)
n→∞ (1 + 1 )(1 +
(n + 1)(n2 + 1)
n

I = lim

1
)
n2

= = −1.

(n + 1)4 − (n − 1)4
.
n→∞ (n2 + 1)2 − (n2 − 1)2

Ví dụ 1.4.2. Tìm giới hạn I = lim
Giải.

(n + 1 − n + 1)(n + 1 + n − 1)((n + 1)2 + (n − 1)2 )
2n(n2 + 1)
=
lim
= ∞.
n→∞
n→∞
(n2 + 1 − n2 + 1)(n2 + 1 + n2 − 1)
n2

I = lim


9

1.4 Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số

Ví dụ 1.4.3. Tìm giới hạn I = lim

n→∞

n(

√

1
.
− 1 − n)

n2

Giải.
√

n2 − 1 + n
= lim
n→∞ n(n2 − 1 − n2 )
n→∞

1−

I = lim

1
n2

+1

−1

= = −2.

√
n2 + 1 − n
Ví dụ 1.4.4. Tìm giới hạn I = lim √
√ .
n→∞
n+1− n
Giải.
√
√
(n2 + 1 − n2 )( n + 1 + n)
√
I = lim
= lim
n→∞ (n + 1 − n)( n2 + 1 + n)
n→∞

1
n

+

1
n2

1+

1
n

+

1
n2

= 0.

+1

√
n2 + 1 − n
Ví dụ 1.4.5. Tìm giới hạn I = lim √
√ .
n→∞
n3 + 1 − n n
Giải.
√
√
(n2 + 1 − n2 )( n3 + 1 + n n)

√
I = lim
= lim
n→∞ (n3 + 1 − n3 )( n2 + 1 + n)
n→∞

n+

1
n3

1+

+

1
n2

√

n
= ∞.

+1

√
4

√
n3 + n − n

√
Ví dụ 1.4.6. Tìm giới hạn I = lim
.
n→∞ n + 2 + n + 1
Giải.
4

I = lim

n→∞

1.4.2

1
n

1+

+

2
n

1
n3

+

1
n

−
1
n

+

= 0.

1
n2

Dùng định lý kẹp tìm giới hạn của dãy số

Ví dụ 1.4.7. Tìm giới hạn
1 + 2 2 + . . . + nn
.
n→∞
nn
lim

Giải.
Đặt
an =

1 + 2 2 + . . . + nn
.
nn

Khi đó ta có

1=
Vì

nn
nn

an

n1 + n2 + . . . + nn
nn+1 − n
nn − 1 n
n
<
.
=
=
.
nn
(n − 1)nn
nn n − 1
n−1

n
→ 1 nên an → 1 khi n → ∞.
n−1

1
Ví dụ 1.4.8. Tìm giới hạn I = lim √
n→∞
n!

Giải.
Bằng phương pháp qui nạp toán học ta có thể chứng minh được n! >
1
2
2
Do đó 0 < √ < . Mặt khác lim
= 0 nên I = 0.
n→∞ n
n
n!

n2
, ∀n ∈ N.
4


10

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Ví dụ 1.4.9. Tìm giới hạn I = lim

√
n

n→∞

n

Giải.

Theo cơng thức nhị thức Newton ta có
√
√
√
n(n − 1) √
( n n − 1)2 + . . . + ( n n − 1)n .
n = (1 + ( n n − 1))n = 1 + n( n n − 1) + +
2
Với mọi ∀n > 1 ta có n >

n(n−1) √
(nn
2

− 1)2 . Do đó với mọi ∀n > 1, 0 <

√
n

n−1<

2
.
n−1

√
2
= 0 nên lim n n − 1 = 0 hay I = 1.
n→∞
n→∞

n−1
√
Ví dụ 1.4.10. Tìm giới hạn I = lim n a, a > 1.
Mặt khác lim

n→∞

Giải.
Theo công thức nhị thức Newton ta có
√
√
√
n(n − 1) √
a = (1 + ( n a − 1))n = 1 + n( n a − 1) + +
( n a − 1)2 + . . . + ( n a − 1)n .
2
√
√
a
Với a > 1 ta có a > n( n a − 1). Do đó 0 < n a − 1 < .
n
√
a
Mặt khác lim
= 0 nên lim n a − 1 = 0 hay I = 1.
n→∞ n
n→∞
Ví dụ 1.4.11. Tìm giới hạn I = lim q n , |q| < 1.
n→∞

Nếu q = 0 thì I = 0.
Nếu q = 0 thì ta có

1
1
> 1, do đó
= 1 + h, h > 0. Theo bất đẳng thức Bernoulli (1.1) ở trang
|q|
|q|

3, ta có
1
1
= (1 + h)n > 1 + nh > nh ⇒ 0 < |q|n <
.
n
|q|
nh
1
= 0 nên I = 0.
n→∞ nh

Mặt khác lim

Ví dụ 1.4.12. Tìm giới hạn I = lim

n→∞

n
, a > 1.

an

Theo công thức nhị thức Newton ta có an = (1 + (a − 1))n = 1 + n(a − 1)
+
Với a > 1 ta có an >

n(n − 1)
(a − 1)2 + . . . + (a − 1)n .
2

n(n−1)
(a
2

− 1)2 . Do đó 0 <

2
= 0 nên I = 0.
n→∞ (n − 1)(a − 1)2
lim

(−1)n
, α>0
n→+∞ nα

Ví dụ 1.4.13. I = lim
Giải.
Với α > 0 ta có

−1

nα

−1
1
= lim α = 0 nên I = 0.
α
n→∞ n
n→∞ n

Mặt khác lim

(−1)n
nα

1
nα

n
2
<
. Mặt khác
an
(n − 1)(a − 1)2


11

1.4 Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số

1.4.3

Sử dụng giới hạn cơ bản
1 + 7n+2
3 − 7n

Ví dụ 1.4.14. Tìm giới hạn của dãy an =

1
2
7n + 7
n→∞ 3n − 1
7

Chia tử số và mẫu số cho 7n ta được lim an = lim
n→∞

2n+2 + 3n+3
n→∞
2n + 3 n

Ví dụ 1.4.15. Tìm giới hạn lim

Chia tử số và mẫu số cho 3n ta có
an =
Do đó lim an =
n→∞

4.2n
n
lim 3 n

n→∞ 2n
3

4.2n
3n
2n
3n

+ 33
+1

+ 33
2n
= 27 vì lim n = 0.
n→∞ 3
+1
5.2n − 3.5n+1
n→∞ 100.2n + 2.5n

Ví dụ 1.4.16. Tìm giới hạn lim

Chia tử số và mẫu số cho 5n ta có
an =
Do đó lim an =
n→∞

5.2n
5n − 3.5
lim 100.2
n

n→∞
5n + 2

=−

5.2n
5n − 3.5
100.2n
5n + 2
n
2

15
vì lim n = 0.
n→∞ 5
2

(−1)n .6n − 5n+1
n→∞ 5n − (−1)n .6n+1

Ví dụ 1.4.17. Tìm giới hạn lim

Chia tử số và mẫu số cho (−6)n ta có
1−
an =
1−
Do đó lim an = lim
n→∞

n→∞

5.5n
(−6)n

5n
(−6)n

−6

=−

5.5n
(−6)n

5n
(−6)n

−6

1
6

5n
= 0.
n→∞ (−6)n

vì lim

2n + 3−n
n→∞ 2−n − 3n

Ví dụ 1.4.18. Tìm giới hạn lim

Chia tử số và mẫu số cho 3n ta có
an =
Do đó lim an =
n→∞

2n
1
3n + 9n
lim 1
n→∞ n − 1
6

2n
1
3n + 9n
1
6n − 1

2n
1
1
= lim n = lim n = 0.
n→∞ 3n
n→∞ 9
n→∞ 6

= 0 vì lim

Ví dụ 1.4.19. Tìm giới hạn lim

n→∞

(−1)n + n1
1
− (−1)n
n2

Chia tử số và mẫu số cho (−1)n ta có
an =

Do đó lim an = lim
n→∞

1+

(−1)n

n
n→∞ (−1)
n2

n

−1

= −1 vì

(−1)n
(−1)n
= lim
= 0.
n→∞
n→∞ n2
n
lim

1+

(−1)n
n

(−1)n
n2

−1

1
= 0.
n→∞ 7n

= −49 vì lim


12

1.4.4

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu

Ví dụ 1.4.20. Chứng minh rằng dãy an =

1
1
1
+ 2
+ ... + n
hội tụ.
5+1 5 +1
5 +1

Giải.
Dãy an là dãy đơn điệu tăng. Thật vậy, vì
an+1 = an +

1
5n+1

+1

nên an+1 > an .
Dãy an bị chặn trên. Thật vậy
an =

1
1

1
1
1
1
+ 2
+ ... + n
< + 2 + ... + n =
5+1 5 +1
5 +1
5 5
5

1
5

1
5n+1
− 51

−
1

=

1
4

1−

1

5n

1
< .
4

1
3n

1
< .
2

Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
Ví dụ 1.4.21. Chứng minh rằng dãy an =

1
1
1
+ 2
+ ... + n
hội tụ.
3+1 3 +2
3 +n

Giải.
Dãy an là dãy đơn điệu tăng. Thật vậy, vì
an+1 = an +

3n+1

1
+n+1

nên an+1 > an .
Dãy an bị chặn trên. Thật vậy
an =

1
1
1
1
1
1
+ 2
+ ... + n
< + 2 + ... + n =
3+1 3 +2
3 +n
3 3
3

1
3

1
3n+1
− 13

−

1

=

1
2

1−

Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
Ví dụ 1.4.22. Chứng minh rằng dãy an =

2n
hội tụ và tìm giới hạn của nó.
n!

Giải. Dãy an là dãy đơn điệu giảm. Thật vậy, vì
an+1
=
an

2n+1
(n+1)!
2n
n!

=

2
< 1, ∀n > 1.

n+1

nên an+1 < an .
Dãy an bị chặn dưới bởi 0 vì an > 0. Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên
nó hội tụ.
2
Giả sử lim an = a. Ta có an+1 =
an . Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞ ta
n→∞
n+1
được
2
. lim an .
lim an+1 = lim
n→∞
n→∞ n + 1 n→∞
2n
Do đó a = 0.a ⇒ a = 0. Vậy lim
= 0.
n→∞ n!
√
√
Ví dụ 1.4.23. Cho dãy a1 = 2, an+1 = 2an . Chứng minh rằng dãy (an ) hội tụ và tìm giới hạn
của nó.


13

1.4 Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số
Giải.

Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì a1 < a2 < a3 < . . . .
Ta sẽ chứng minh dãy an bị chặn trên bởi 2.
√
√
√
Thật vậy, a1 = 2, a2 = 2a1 < 2.2 = 2.

Giả sử đã chứng minh được rằng an 2. Ta sẽ chứng minh an+1 2.
√
√
2.2 = 2. Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có an
Thật vậy, an+1 = 2an

2, ∀n ∈ N

Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
√
Giả sử lim an = a. Ta có an+1 = 2an ⇒ a2n+1 = 2an . Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi
n→∞
n → ∞ ta được
lim a2
n→∞ n+1
Do đó a2 = 2.a ⇒ a = 0

= 2. lim an .
n→∞

√
a = 2. Vì an > 2 nên a = 2. Vậy lim an = 2.
n→∞

Ví dụ 1.4.24. Cho dãy x1 =

√

a,

x2 =

a+

√

a, . . . , xn =

a+

a + ... +

√

a,

a > 0. Chứng

n dấu căn
minh rằng dãy (xn ) hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Giải. Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì x1 < x2 < x3 < . . . . Ta sẽ chứng minh dãy xn bị chặn trên
√
bởi a + 1.

√
√
√
√
√
√
Thật vậy, x1 = a < a + 1, x2 = a + a < a + a + 1 < a + 2 a + 1 = a + 1.
√
√
Giả sử đã chứng minh được rằng xn
a + 1. Ta sẽ chứng minh xn+1
a + 1.
√
√
√
√
Thật vậy, xn+1 = a + xn < a + a + 1 < a + 2 a + 1 = a + 1. Vậy theo nguyên lý qui
√
nạp ta có xn
a + 1, ∀n ∈ N
Như vậy, dãy xn đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
√
Giả sử lim xn = x. Ta có xn+1 = a + xn ⇒ x2n+1 = a + xn .
n→∞

Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞ ta được
lim x2n+1 = a + lim xn .

n→∞

x2

= a+x ⇒ x =
√
1 + 1 + 4a
lim xn =
.
n→∞
2

Do đó

1.4.5

1−

n→∞

√

1 + 4a
2

x =

1+

√

√

1 + 4a
1 + 1 + 4a
. Vì xn > 0 nên x =
. Vậy
2
2

Sử dụng giới hạn của số e

Sử dụng giới hạn của số e tính giới hạn dạng 1∞

lim

n→∞

1
1+
n

Nếu lim un = ∞ thì lim
n→∞

Ví dụ 1.4.25. Tìm giới hạn lim

n→∞

1+

n

n→∞

1
n+k

=e

1+

n

,

k∈N

1
un

un

=e


14

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Giải.
n

1
1+
n+k

lim

n→∞

1
1+
n+k

= lim

n→∞

n
n+1

Ví dụ 1.4.26. Tìm giới hạn lim

n→∞

n
(n+k). n+k

= e1 = e.

n

.

Giải.
n

1
1−
n+1

lim

n→∞

1
1−
n+1

= lim

n→∞

Ví dụ 1.4.27. Tìm giới hạn lim

n→∞

1+

1
2n

n
−(n+1). −(n+1)

= e−1 .

n

.

Giải.
lim

n→∞

1
1+
2n

n

= lim

n→∞

Ví dụ 1.4.28. Tìm giới hạn lim

n→∞

lim

n→∞

1.4.6

2n + 1
2n

2n

= lim

n→∞

n
2n. 2n

1
1+
2n

1

= e2 .
2n + 1
2n

1
1+ n
2

2n

.

2n

= e.

Chứng minh dãy số phân kỳ

Để chứng minh dãy (xn ) phân kỳ ta làm như sau:
Cách 1. Chỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn riêng khác nhau.
Cách 2. Chỉ ra 1 dãy con phân kỳ.
Ví dụ 1.4.29. Chứng minh rằng dãy an = (−1)n

2n + 3
phân kỳ.
3n + 1

Giải. Xét 2 dãy con với chỉ số chẵn và lẻ ta có
a2k = (−1)2k
a2k+1 = (−1)2k+1

2.2k + 3
2
→ ,
3.2k + 1
3

2

2.(2k + 1) + 3
→−
3.(2k + 1) + 1
3

khi k → ∞. Vậy tồn tại 2 dãy con có giới hạn khác nhau nên dãy đã cho phân kỳ.

1.4.7

Tóm tắt các khái niệm cơ bản của chương 1
Giới hạn của dãy số
1. Những giới hạn cơ bản
2. Định lý kẹp
3. Định lý Weierstrass
4. Giới hạn của số e
5. Dùng mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số chứng minh dãy số phân kỳ


15

1.5 Bài tập

1.5

Bài tập

Bài tập 1.5.1. Tìm giới hạn của các dãy số sau
sin(n3 )
√
n→+∞ ln(1 + 5 n3 + 1)

√
14. lim n( n 6 − 1)

3n+2

2n + 1 n−5
1. lim
n→∞
n+3
√
2. lim n( n 2 − 1)

13.

n→∞

lim

n→∞

cos(n2 )
√
n→∞ ln(1 + 4 n)

ln(n2 − n + 1)
n→∞ ln(n10 + n + 1)

3. lim

15. I = lim

2 n
4. lim 1 +
n→∞
n
√
5. lim n n4 + 5n

16. I = lim

lg 2 10n
n→∞ lg 2 n

ln(n2 + 2n cos n + 1)
n→∞
1 + ln(n + 1)
√
18. I = lim n n2 .3n + 4n

n→∞

17. I = lim

√
6. lim n n5 + 7n
n→∞

cos(n4 )
√
n→∞ ln(1 + 4 n3 + 2n)

n→∞

7. lim

19. I = lim

n

20. I = lim

n

21. I = lim

n

22. I = lim

n

n→∞

ln(n2

+ 3)
√
ln(2n3 + n)
√
sin n

9. lim √
n→∞
n
√
10. lim n 2n + 3n
8. lim

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

nπ
n
cos
n→∞ n + 1
2

11. lim

n→∞

n + (−1)n
5n + 1
n+5
2n2 − 5n + 3
n5 + 1

n4 + 3 n
n + 5n

(−1)n

n+
n→∞ n − (−1)n

12. lim

23. I =

6+

6+

√
6 + ...

Bài tập 1.5.2. Sử dụng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu:
1. Tìm giới hạn của dãy an được xác định như sau: 0 < a1 < 1, an+1 = an (2 − an ), ∀n 1.
√
√
2. Cho dãy a1 = k 5, an+1 = k 5an , k ∈ N. Chứng minh rằng dãy (an ) hội tụ và tìm giới hạn của
nó.
3. Chứng minh rằng dãy an =

n!
hội tụ và tìm giới hạn của nó.
nn

Lời giải bài tập chương 1
1.5.1

1. lim

n→∞

2n + 1
n+3

√
2. lim n( n 2 − 1) = ln 2
n→∞

cos(n2 )
√ =0
n→∞ ln(1 + 4 n)

3. lim
4. lim

n→∞

5. lim

n→∞

1+
√

n

2
n

n

= e2

n4 + 5n = 5

3n+2
n−5

=8


16
√
n

6. lim

n→∞

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

n5 + 7 n = 7

cos(n4 )

√
=0
n→∞ ln(1 + 4 n3 + 2n)

7. lim

ln(n2 + 3)
2
√ =
n→∞ ln(2n3 +
3
n)
√
sin n
9. lim √
=0
n→∞
n
√
10. lim n 2n + 3n = 3
8. lim

n→∞

11. lim

n→∞

n
nπ

cos
Không tồn tại
n+1
2

n + (−1)n
=1
n→∞ n − (−1)n

12. lim

sin(n3 )
√
=0
n→+∞ ln(1 + 5 n3 + 1)
√
14. lim n( n 6 − 1) = ln 6

13.

lim

n→∞

ln(n2 (1 − n1 + n12 ))
2 ln(n) + ln(1 − n1 + n12 )
=
lim
.
n→∞ ln(n10 (1 + 19 + 110 ))

n→∞ 10 ln(n) + ln(1 + 19 + 110 )
n
n
n
n
1
Chia tử số và mẫu số cho ln n ta được I =
5

15. I = lim

16. I = lim

n→∞

lg(n) + lg10
lg(n)

2

Chia tử số và mẫu số cho lg(n) ta được I = 1
n
n
ln(n2 (1 + 2 cos
+ n12 ))
2 ln(n) + ln(1 + 2 cos
+ n12 )
n
n
=

lim
.
n→∞
n→∞
1 + ln(n(1 + n1 ))
1 + ln(n) + ln(1 + n1 )

17. I = lim

Chia tử số và mẫu số cho ln n ta được I = 2

18. I

=

lim (n2 .3n + 4n )1/n

n ln(4) +
e

lim

n→∞

=

n→∞

2 n
ln( n 4.3

n

ln(n2 .3n + 4n )
lim
n
en→∞

2

n

ln(4n ( n 4.3
+ 1))
n
lim
n→∞
n
e

=

=

+ 1)
= eln 4 = 4.

n

19. I = lim (n+(−1)n )1/n
n→∞

ln(n(1 +
ln(n + (−1)n )
lim
n
n
= en→∞
= en→∞
lim

(−1)n
n ))

n

ln(n) + ln( (−1)
+ 1)
n
n
= en→∞
=
lim

e0 = 1.
20. I = lim

n→∞

5n + 1
n+5

1/n

ln(5 −
lim

24
n+5 )

= e0 = 1.

n

= en→∞

ln
1/n

2n2 − 5n + 3
21. I = lim
n→∞
n5 + 1
5n
2
ln(2n ) + ln(1 − 2n
2 +
e

lim

n→∞

lim

= en→∞
3
2n2 )

2n2 − 5n + 3
n5 + 1
n

− ln(n5 ) − ln(1 +

1
n5 )

= e0 = 1.

n
ln
1/n

ln(2n2 − 5n + 3) − ln(n5 + 1)
n
= en→∞
=
lim

n4 + 3 n

n + 5n
n

lim
n4 + 3n
22. I
=
lim
=
en→∞
n
n→∞
n+5
4
ln(3n ) + ln( 3nn + 1) − ln(5n ) + ln( 5nn + 1)
lim
3
3
n
en→∞
= eln 5 =
5
√
23. I = 6 + 6 + 6 + . . . = 3

=

e

lim

n→∞

ln(n4 + 3n ) − ln(n + 5n )
n

=


Lời giải bài tập chương 1
1.5.2

17

1. Đầu tiên ta sẽ chứng minh an bị chặn, cụ thể là 0 < an < 1. Thật vậy, ta có 0 < a1 < 1.
Giả sử đã chứng minh được rằng 0 < an < 1. Ta sẽ chứng minh 0 < an+1 < 1. Thật vậy, an+1 =
an (2 − an ) = 1 − (1 − an )2 . Do 0 < (1 − an )2 < 1 nên 0 < an+1 < 1. Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có
0 < an+1 < 1, ∀n ∈ N.
an+1
Bây giờ ta sẽ chứng minh dãy an đơn điệu tăng. Thậy vậy an+1 = an (2 − an ) ⇒
= 2 − an > 1. Từ
an
đó an+1 > an . Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ. Giả sử lim an = a.
n→∞

Ta có an+1 = an (2 − an ). Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞ ta được lim an+1 =
n→∞

lim an . lim (2 − an ). Do đó a = a.(2 − a) ⇒ a = 0

n→∞

n→∞

a = 1. Vì an > a0 > 0 và an đơn điệu tăng nên

a = 1. Vậy lim an = 1.
n→∞

2. Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì a1 < a2 < a3 < . . . . Ta sẽ chứng minh dãy an bị chặn trên bởi
√
√
√
1
1
1
Thật vậy, a1 = k 5, a2 = k 5a1 = 5 k + k2 < 5 k−1 = k−1 5. Giả sử đã chứng minh được rằng an
√
√
1
1
√
1
k−1
Ta sẽ chứng minh an+1
5. Thật vậy, an+1 = k 5an 5 k + k(k−1) = 5 k−1 = k−1 5.
√
k−1
5, ∀n ∈ N
Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có an

√
5.
√
k−1
5.
k−1

Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
√
Giả sử lim an = a. Ta có an+1 = k 5an ⇒ akn+1 = 5an . Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞
n→∞
ta được
lim akn+1 = 5. lim an .
n→∞
n→∞
√
√
√
√
k
k−1
k
5. Vì an > 5 nên a = k−1 5. Vậy lim an = k−1 5.
Do đó a = 5.a ⇒ a = 0 a =
n→∞

3. Dãy an là dãy đơn điệu giảm. Thật vậy, vì
an+1
=

an

(n+1)!
(n+1)n+1
n!
nn

=

nn
< 1,
(n + 1)n

nên an+1 < an .
Dãy an bị chặn dưới bởi 0 vì an > 0. Dãy an đã cho đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên nó hội tụ.
nn
Giả sử lim an = a. Ta có an+1 =
.an . Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞ ta được
n→∞
(n + 1)n
nn
. lim an .
n→∞ (n + 1)n n→∞

lim an+1 = lim

n→∞

Do đó a = e−1 .a ⇒ a = 0. Vậy lim

n→∞

n!
= 0.
nn


Chương2

GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC
CỦA HÀM MỘT BIẾN

2.1

2.1. Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2. Giới hạn vô cùng bé của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3. Giới hạn vô cùng lớn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.4. Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Giới hạn của hàm số

Lý thuyết tương đối của Albert Einstein
Nếu L0 là khoảng cách từ người đứng yên đến vật đang đứng yên, L là khoảng cách từ người
đứng yên đến vật đang chuyển động với vận tốc v(m/s) thì ta có cơng thức
L = L0 . 1 −

v2
,
c2

ở đây c là vận tốc ánh sáng. Câu hỏi: Nếu vật chuyển động với vận tốc gần bằng vận tốc ánh
sáng thì khoảng cách L sẽ như thế nào?
Theo yêu cầu bài toán chúng ta cần tìm
lim L0 . 1 −

v→c

v2
c2
1
−
=
L
.
=0

0
c2
c2

Kết luận: Nếu vật chuyển động với vận tốc càng gần với vận tốc ánh sáng, thì khoảng cách giữa
người đứng yên và vật chuyển động càng gần về 0.

2.1.1

Định nghĩa điểm giới hạn

Cho X ⊂ R là 1 tập hợp số nào đó, cịn a ∈ R là 1 số cố định nào đó.


19

2.1 Giới hạn của hàm số

Hình 2.1: Chuyển động của vật với vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng
Định nghĩa 2.1. Nếu số a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X ⊂ R, thì tồn tại dãy số (xn ) ⊂ X \ a
hội tụ về điểm a này xn → a.
Định nghĩa 2.2. Tập hợp (a − ε, a + ε), với ε > 0 là số tùy ý, được gọi là lân cận của a. Kí hiệu
O(a, ε).

2.1.2

Định nghĩa giới hạn của hàm số

Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X này.
Định nghĩa 2.3. Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → a, nếu như với mọi dãy

∀(xn ) ⊂ X \ a hội tụ về a : xn → a, dãy giá trị của hàm số tương ứng hội tụ về A : f (xn ) → A.
Ví dụ 2.1.1. Giới hạn của hàm số f (x) = x+1, khi x → 0 là 1 vì với ∀xn → 0 thì f (xn ) = xn +1 → 1.
ln n
n→∞ n

Ví dụ 2.1.2. Tìm giới hạn I = lim

ln n
1/n
= lim
= 0(theo L’ Hopital) ⇒ SAI vì KHÔNG TỒN TẠI (ln n) , (n) , n ∈ N.
n→∞ n
n→∞ 1
ln x
1/x
Cách giải đúng. lim
= lim
= 0(theo L’ Hopital). Do đó theo định nghĩa giới hạn của
x→∞ x
x→∞ 1
ln n
hàm số với xn = n → ∞, ta có f (xn ) =
→ 0. Vậy I = 0.
n
Chú ý. Nếu tồn tại 2 dãy (xn ), (yn ) cùng hội tụ về a nhưng f (xn ), f (yn ) tiến tới 2 giới hạn khác
nhau thì KHƠNG TỒN TẠI giới hạn lim f (x).
Giải. lim

x→a

Ví dụ 2.1.3. Tìm I = lim sin
x→0

Giải. Xét 2 dãy xn =

1
x

1
2πn+ π2

→ 0 và yn =

1
nπ

→ 0. Ta có lim f (xn ) = lim sin(2πn + π2 ) =

lim sin( π2 ) = 1 và lim f (yn ) = lim sin(πn) = 0. Vậy I.

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

20

2.1.3

GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

Giới hạn của hàm số từ một phía

Xa+ = {x ∈ X \ x > a}, Xa− = {x ∈ X \ x < a}. Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ R
còn a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp Xa+ (Xa− ).
Định nghĩa 2.4. Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → a từ bên phải (từ bên trái)
f (x) = A)
nếu như
lim f (x) = A ( lim
x→a,x∈Xa−

x→a,x∈Xa+

Chúng được kí hiệu là lim f (x), f (a + 0) và lim f (x), f (a − 0)
x→a+0

x→a−0

Ví dụ 2.1.4.




1,

f (x) = signx =
0,


−1,

x>0
x=0
x<0

Giải. Dễ dàng thấy rằng
f (0 + 0) = lim f (x) = 1
x→0+0

còn
f (0 − 0) = lim f (x) = −1.
x→0−0

Cho a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp Xa+ = {x ∈ X \ x > a} và tập hợp Xa− = {x ∈ X \ x < a}.
Khi đó a cũng là điểm giới hạn của tập hợp X. Khi đó ta có định lý sau:
Định lý 2.1
Đẳng thức lim f (x) = A tương đương với 2 đẳng thức sau
x→a

2.1.4




x→a+0



x→a−0

lim f (x) = A
lim f (x) = A

Tính chất của giới hạn của hàm số

Định lý 2.2
Nếu hàm số f (x) và g(x) với cùng 1 tập xác định X ⊂ R có giới hạn hữu hạn khi x → a :
lim f (x) = A và lim g(x) = B thì ta có đẳng thức
x→a

x→a

lim [f (x) ± g(x)] = A ± B

x→a

lim [f (x).g(x)] = A.B

x→a

Nếu có thêm điều kiện B = 0 thì lim

x→a

f (x)

A
=
g(x)
B


21

2.2 Giới hạn vô cùng bé của hàm số

Phân loại giới hạn của hàm số
Các dạng không phải vô định
a
a
∞
= ∞(a = 0);
= 0;
= ∞;
0
∞∞
a
a.∞ = ∞(a = 0); q = 0(|q| < 1).
7 dạng vô định trong giới hạn hàm số
∞ 0
, , ∞ − ∞ , 0.∞ ,1∞ , ∞0 , 00
∞ 0
Tính chất của giới hạn của hàm số
1. Nếu hàm số f (x) khi x → a có giới hạn hữu hạn lim f (x) = A thì giới hạn đó là duy
x→a

nhất.
g(x) f (x) h(x), ∀x ∈ O(a, ε)
thì lim f (x) = A.
x→a
lim g(x) = A = lim h(x).(A − hữu hạn)

2. Nếu

x→a

x→a

Ví dụ 2.1.5. Tính giới hạn I = lim x2 . sin
x→0

Giải. I = lim x2 . lim sin
x→0

x→0

Cách giải đúng: −x2

2.1.5

1
x

1
1
SAI vì lim sin KHƠNG tồn tại.

x→0
x
x
1
x2 sin
x2 và lim (−x2 ) = lim x2 = 0. Vậy I = 0.
x→0
x→0
x

Giới hạn của hàm hợp

Định lý 2.3
Cho lim f (x) = b, lim g(y) = c và tồn tại số δ0 > 0 sao cho với mọi ∀x ∈ X \ a thỏa mãn bất
x→a

y→b

đẳng thức |x − a| < δ0 ln có f (x) = b thì giới hạn của hàm hợp là lim g(f (x)) = c.
x→a

Ví dụ 2.1.6. lim sin(x2 + 2x + 3) = sin 3 vì lim x2 + 2x + 3 = 3 và lim sin y = sin 3
x→0

2.2

x→0

y→3

Giới hạn vô cùng bé của hàm số
α(x)
0
=
x→a β(x)
0

Tìm giới hạn I = lim

2.2.1

Định nghĩa

Cho hàm số α = α(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và số a là điểm giới hạn của tập hợp X.
Định nghĩa 2.5. Hàm số α = α(x) được gọi là hàm vô cùng bé (VCB) khi x → a, nếu như giới hạn
của nó bằng 0
lim α(x) = 0.

x→a