Ứng dụng lý thuyết đồ thị giải lớp các bài toán logic trong chương trình toán sơ cấp

1

B

2

GIÁO D C VÀ ĐÀO T O
Đ I H C ĐÀ N NG

Cơng trình đư c hồn thành t i
Đ I H C ĐÀ N NG

TR N DUY PHƯƠNG
Ngư i hư ng d n khoa h c: PGS. TSKH. Tr n Qu c Chi n

NG D NG LÝ THUY T Đ TH
GI I L P CÁC BÀI TOÁN LOGIC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN SƠ C P

Ph n bi n 1: TSKH. Nguy n Gia Đ nh

Ph n bi n 2: TS. Cao Văn Ni
CHUN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ C P
MÃ S :

60. 46. 40
Lu n văn ñư c b o v t i H i ñ ng ch m lu n văn t t nghi p
th c sĩ khoa h c h p t i Đ i h c Đà N ng vào ngày 28 tháng 5 năm

TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

2011.

* Có th tìm lu n văn t i:

Đà N ng - 2011

- Trung tâm Thông tin - H c li u, Đ i h c Đà N ng
- Thư vi n trư ng Đ i h c Sư ph m, Đ i h c Đà N ng.


4

3
M

Đ U

d n, lý thú và ñ y b t ng . Đi u này thu hút s quan tâm ngày càng
nhi u c a các h c sinh khá và gi i tốn. Vì v y, lu n văn ñ này ch a
ñ ng nhi u ti m năng l n, có th khai thác đ b i dư ng cho h c sinh

1. Lý do ch n ñ tài
Lý thuy t ñ th là ngành h c ñư c phát tri n t lâu nhưng l i

khá và gi i.

có nhi u ng d ng hi n đ i. Nh ng ý tư ng cơ b n c a nó đã đư c

Các bài tốn dùng Lý thuy t ñ th ñ gi i ngày càng xu t

nhà tốn h c Th y sĩ vĩ đ i Leonhard Euler ñưa ra t th k 18. Lý

hi n nhi u trong các cu c thi ch n h c sinh gi i toán và các cu c thi

thuy t ñ th ñư c ng d ng nhi u trong các ngành khoa h c: Tin

toán qu c t . Đi u này phù h p v i xu hư ng đưa tốn h c v áp

h c, V t Lý, Hóa H c, Sinh H c, Logic H c,…

d ng vào trong th c t cu c s ng.

Trong toán sơ c p, m t s bài toán trong các kì thi Qu c gia,

Hi n t i trong chương trình sách giáo khoa có m t s n i

Qu c t , m t s bài tốn khó, vi c gi i theo cách truy n th ng khá là

dung ng d ng ñư c lý thuy t ñ th . Lý thuy t ñ th giúp chúng ta

ph c t p thi u ch t ch ñ i v i h c sinh ph thông.

gi i quy t các bài tốn đó d dàng, nhanh chóng, chính xác và hi u

Năm 2001, B Giáo D c và Đào T o có qui đ nh các chun
đ b i dư ng h c sinh gi i th ng nh t trong tồn qu c trong đó có

qu hơn so v i các phương pháp gi i truy n th ng.
2. M c tiêu và nhi m v

chuyên ñ Lý Thuy t Đ Th . Như v y, vi c h c chun đ Lý

Tìm hi u kh o c u các phương pháp trong lý thuy t ñ th .

Thuy t Đ Th ñ i v i h c sinh khá và gi i ñang là nhu c u th c t

So sánh ñánh giá các phương pháp.

trong d y h c tốn

ph thơng. Tuy nhiên, vi c d y h c chuyên ñ

Làm sáng t các bài t p ng d ng lý thuy t ñ th ñ gi i,

này còn t n t i m t s khó khăn vì m t s lý do khác nhau. M t trong

cho ngư i ñ c th y ñư c b c tranh toàn c nh c a vi c ng d ng lý

các lý do đó là s m i m , đ c đáo và khó c a ch ñ ki n th c này.

thuy t ñ th ñ gi i các bài toán logic trong chương trình tốn sơ

Hơn n a, s lư ng bài t p

ph thơng ng d ng chun đ này đ

gi i là không nhi u.
Lu n văn “ ng d ng lý thuy t ñ th gi i l p các bài tốn
logic trong chương trình tốn ph thơng” đưa ñ n s sáng t o trong

c p.
3. Đ i tư ng và ph m vi nghiên c u
Đ i tư ng nghiên c u: Nghiên c u các ñ i tư ng v ñ th –
cây – ñư ng đi – chu trình.

cách nhìn nh n bài tốn và l p lu n cách gi i dư i con m t c a lý

Ph m vi nghiên c u: Đ tài ch gi i h n nghiên c u ng

thuy t ñ th . Hơn n a, n i dung các bài tốn đư c gi i b ng phương

d ng lý thuy t ñ th ñ gi i các bài tốn logic trong chương trình

pháp đ th r t g n v i th c t , lý lu n đ gi i các bài tốn này h p

toán sơ c p.


5

6

L y lý thuy t ñ th làm cơ s nghiên c u bài toán liên quan
nh m thi t l p các d ng tốn và đưa ra phương pháp gi i nh

Chương 1 :
Đ I CƯƠNG V Đ

ng

TH

d ng c a lý thuy t ñ th .

1.1 Các khái ni m cơ b n v lý thuy t ñ th .

4. Phương pháp nghiên c u

Đ nh nghĩa 1.1.1
T p h p V ≠ ∅ các ñ i tư ng và b E các c p s p th t và

Tìm hi u m t s cơng c , thu t tốn đã có, trên cơ s đó so
sánh và ñánh giá c a t ng phương pháp.
D a vào m t s công c , thu t tốn đã có, ng d ng vào gi i
các bài tốn sơ c p và rút trích k t qu , nh n xét và đánh giá.

khơng s p th t các ph n t c a V ñư c g i là m t ñ th , ñ ng th i
đư c kí hi u b ng G = (V,E) (ho c b ng G(V,E) ho c b ng G(V)).
-Đ th vô hư ng G = (V, E) g m m t t p V các ñ nh và t p
E các c nh.

5. Ý nghĩa khoa h c và th c ti n c a ñ tài
Đ tài góp ph n nghiên c u, h tr cho đ c gi th y ñư c

M i c nh e ∈ E ñư c liên k t v i m t c p đ nh (v, w)
(khơng k th t ).

t m quan tr ng c a ng d ng lý thuy t ñ th vào gi i l p các bài
tốn logic trong chương trình tốn sơ c p.

-Đ th có hư ng G = (V, E) g m m t t p V các ñ nh và t p
E các c nh có hư ng g i là cung.
-M i cung e ∈ E ñư c liên k t v i m t c p ñ nh (v, w) có

Gi i quy t hàng lo t các bài tốn khó trong các kì thi Olympic
mà ch có dùng lý thuy t đ th m i có th gi i ñư c m t cách d
dàng.

6. C u trúc lu n văn
Ngồi ph n m đ u và k t lu n lu n văn g m 3 chương:
Chương 1 Đ i cương v ñ th
Chương 2 M t s bài tốn đ th cơ b n
Chương 3
logic.

ng d ng lý thuy t ñ th vào gi i bài tốn

th t .
-Các ph n t v ∈ V đư c g i là ñ nh c a ñ th .

V

là s

ñ nh c a ñ th .
-Các ph n t e ∈ E g i là c nh (hay cung) c a ñ th .

E

là

s c nh c a ñ th .
-N u c nh e liên k t đ nh v, w thì ta nói c nh e liên thu c
ñ nh v, w các ñ nh v, w liên thu c c nh e, các ñ nh v, w là các ñ nh biên
c a c nh e và ñ nh v k ñ nh w.
-N u ch có duy nh t m t c nh e liên k t v i c p ñ nh v, w, ta
vi t e = (v ,w). N u e là cung thì v g i là đ nh đ u và w g i là ñ nh
cu i c a cung e.
-N u có nhi u c nh liên k t v i cùng m t c p ñ nh thì ta nói
đó là các c nh song song.


8

7
-M t cung (c nh) có th b t đ u và k t thúc t i cùng m t
ñ nh g i là khun hay nút.

Gi s có đ th G(V, E).
- Bi u di n ñ nh: L y các ñi m trên m t ph ng hay trong

Đ nh nghĩa 1.1.2. Đ th G(V, E) khơng có khun và m i c p đ nh

khơng gian ng v i các ph n t thu c t p V và dùng ngay kí hi u các

đư c n i v i nhau b ng không quá m t c nh, ñư c g i là ñơn ñ th

ph n t này ñ ghi trên các ñi m tương ng.

hay đ th đơn và thơng thư ng đư c g i là ñ th .

- Bi u di n c nh: N u c nh e v i hai đ nh v, w thì nó đư c

Đ nh nghĩa 1.1.3. Đ th G(V, E) khơng có khun và có ít nh t m t

bi u di n b ng m t ño n th ng hay m t ño n cong n i gi a hai ñi m

c p ñ nh ñư c n i v i nhau b ng hai c nh tr lên ñư c g i là đa đ

v, w và khơng đi qua các đi m tương ng trong không gian khác.
- Bi u di n cung: N u cung e có đ nh đ u là v, ñ nh cu i là

th .
Đ nh nghĩa 1.1.4. Đ th vơ hư ng G(V, E) đư c g i là đ th - đ y

w, thì nó đư c bi u di n b ng m t ño n th ng hay m t ño n cong

ñ , n u m i c p ñ nh ñư c n i v i nhau b ng ñúng m t c nh (m t

ñư c ñ nh hư ng đi t v sang w và khơng đi qua các ñi m tương ng

cung v i chi u dài tùy ý).

trong khơng gian khác.

Đ nh nghĩa 1.1.5. Đa đ th vơ hư ng (có hư ng) G(V, E) đư c g i

1.2 B c c a ñ th

là ñ th k- ñ y ñ , n u m i c p ñ nh ñư c n i v i nhau b ng ñúng k

Đ nh nghĩa 1.2.1. Cho ñ th G(V, E), B c c a ñ nh v ∈ V là t ng s

c nh (k cung v i chi u dài tùy ý).

c nh liên thu c v i nó và ký hi u d(v). N u đ nh có khun thì m i

Đ nh nghĩa 1.1.6. Đ th (ña ñ th ) G(V, E) ñư c g i là đ th (đa đ

khun đư c tính là 2 khi tính b c, như v y:

th ) k m ng, n u t p ñ nh V ñư c phân thành k t p r i nhau V1, V2,

d(v) := S c nh liên thu c v + 2*S khuyên.

V3,…,Vk mà m i c nh c a nó đ u có hai đ u thu c hai t p thành

Đ nh nghĩa 1.2.2. Cho G = (V, E) là đ th có hư ng, v ∈ V.

ph n Vi, Vj (i≠j) khác nhau. Khi k = 2 ta có đ th hai m ng, kí hi u

-N a b c ra c a ñ nh v ∈ V là s cung ñi ra t ñ nh v (v là ñ nh
ñ u) và ký hi u là d0(v).

G(V1, V2:E).
Đ nh nghĩa 1.1.7. Đ th (ña ñ th ) G(V, E) ñư c g i là ñ th (ña ñ

-N a b c vào c a ñ nh v ∈ V là s cung ñi vào t ñ nh v (v là

th ) ph ng, n u nó có ít nh t m t d ng bi u di n hình h c tr i trên

đ nh cu i) và ký hi u là d1(v).

m t m t ph ng nào đó, mà các c nh c a ñ th ch c t nhau

Đ nh lý 1.2.1. Trong m t ñ th hay ña ñ th tuỳ ý, t ng s b c c a

ñ nh.

Đ nh nghĩa 1.1.8. Cho G(V, E) là đ th , ta có :
- Đ th G1(V1, E1) ñư c g i là m t ñ th con c a G n u V1

⊆ V và E1 = E ∩ (V1 x V1).
- Đ th G2(V, E2) v i E2 ⊆ E ñư c g i là ñ th riêng c a
G(V, E).
Bi u di n b ng hình h c c a ñ th .

t t c các ñ nh bao gi cũng g p đơi s c nh.
Đ nh lý 1.2.2. Trong m t ñ th hay ña ñ th tuỳ ý s đ nh b c l
ln ln là m t s ch n.
Đ nh lý 1.2.3. Trong m t ñ th v i n ( n ≥ 2) ñ nh có ít nh t 2 đ nh
cùng b c.


9

10

Đ nh lý 1.2.4. N u ñ th v i n (n > 2) đ nh có đúng hai đ nh cùng

Đ nh lý 1.3.2. N u đ th có ñúng hai ñ nh b c l thì hai ñ nh này

b c, thì hai đ nh này khơng th ñ ng th i có b c 0 ho c n – 1.

ph i liên thông.

Đ nh lý 1.2.5. S ñ nh b c n - 1 trong ñ th G v i n (n ≥ 4) ñ nh, mà

Phân ho ch :

4 đ nh tuỳ ý có ít nh t m t ñ nh k v i 3 ñ nh cịn l i, khơng nh hơn

Gi s có t p M ≠ Ø. Dãy các t p con c a M: V1 , V2 , …., Vm-1 , Vm

n - 3.

ñư c g i là m t phân ho ch c a t p M. N u nó th a mãn ñ ng th i

Đ nh lý 1.2.6. V i m i s t nhiên n (n > 2), ln t n t i đ th n
đ nh mà 3 ñ nh b t kỳ c a ñ th ñ u không cùng b c.

ñi u ki n sau:
1)
∀ i (1≤ i ≤ m) Vi ≠ Ø

1.3 Đư ng đi – Chu Trình – Tính liên thơng c a ñ th .

2)

1.3.1. Đ nh nghĩa. Dãy

µ

c nh n i ti p nhau b t ñ u t ñ nh v và k t thúc t i ñ nh w. S c nh
trên dãy

µ

∀ i, j (1≤ i, j ≤ m, i ≠

t ñ nh v ñ n ñ nh w là dãy các ñ nh và

g i là ñ dài c a dãy

µ

và đư c bi u di n

µ

m

UV

3)

i =1

= (v, e1,

i

j) Vi

∩ V =Ø
j

=V

v1, e2, v2, … , vn-1, en, w), trong đó vi = (i=1,…, n-1) là các ñ nh trên

Đ nh lý 1.3.3. Dãy các t p ñ nh c a các thành ph n thu c ñ th

dãy và ei = (1,…, n) là các c nh trên dãy liên thu c ñ nh k trư c và

G(V,E) l p thành m t phân ho ch c a t p đ nh V.

sau nó. Các ñ nh và c nh trên dãy có th l p l i.

Đ nh lý 1.3.4. Đ th G(V, E) liên thơng khi và ch khi nó có m t

Đ th vơ hư ng G(V, E) đư c g i là đ th liên thơng, n u m i
c p đ nh c a nó đ u liên thơng.

thành ph n liên thông duy nh t.
Đ nh lý 1.3.5. Gi s đ th G có n đ nh, m c nh, k là thành ph n liên

Đ th có hư ng G=(V, E) ñư c g i là ñ th liên thơng m nh,
n u m i c p đ nh c a nó đ u liên thơng.
Gi s a là ñ nh b t kỳ thu c ñ th G. Dùng Ca ñ ký hi u t p

con các ñ nh c a G, g m ñ nh a và t t c các đ nh liên thơng v i a
trong ñ th G .
Đ th con c a G, có t p đ nh là Ca, đư c g i là m t thành
ph n liên thông c a ñ th G.

H

qu

1.3.2. N u ñ

1
(n − 1)(n − 2)
2

H qu 1.3.1. Đ th mà b c m i đ nh c a nó khơng nh hơn m t n a
s đ nh, là đ th liên thơng.

th G có n đ nh và s

Đ nh lý 1.3.6. Gi s G(V, E) có
có b c khơng nh hơn
1.4 Cây.

c nh l n hơn

thì nó liên thơng.

Đ nh lý 1.3.1. Đ th v i n (n≥2) ñ nh, mà t ng b c c a hai ñ nh tùy ý
ñ u khơng nh hơn n, là đ th liên thơng.

1
m ≤ (n − k )(n − k + 1) .
2

thông. Khi đó có b t đ ng th c:

V = n (n ≥

n 
 2  thì G(V, E) là ñ
 

2) ñ nh, n u m i ñ nh

th liên thông.


11

12

Đ nh nghĩa 1.4.1. Gi s G = (V, E) là đ th vơ hư ng. Ta nói r ng

Cho ñ th có hư ng G = (V, E).

ñ th G là m t cây n u nó liên thơng và khơng có chu trình.

Chu trình có hư ng Euler c a ñ th G = (V, E) là m t chu

Đ nh lý 1.4.1. V i đ th vơ hư ng G(V, E) có s đ nh |V | = n ≥ 2,

trình có hư ng đi qua m i cung và m i ñ nh c a ñ th , m i cung

khi đó các tính ch t sau là tương đương:

khơng đi q m t l n.
Đư ng đi có hư ng Euler là đư ng đi có hư ng qua m i

1) G(V) là m t cây.
2) G(V) khơng có chu trình và có n – 1 c nh.

cung và m i ñ nh c a ñ th , m i cung không ñi quá m t l n.
Đ th ch a chu trình Euler đư c g i là Đ th Euler.

3) G(V) liên thông và có n – 1 c nh.
4) G(V) khơng có chu trình, nhưng n u thêm m t c nh n i 2 ñ nh b t

Đ nh lý 2.1.1.1 Trong m t ñ th G = (V, E), n u m i đ nh v i

kì khơng k nhau thì xu t hi n m t chu trình.

∈

5) G(V) liên thơng, nhưng n u b t đi m t c nh b t kỳ thì s m t tính

H qu 2.1.1.1 Trong ñ th G(V), n u các ñ nh đ u có b c ch n thì

liên thơng.

t n t i m t chu trình đơn.

6) M i c p ñ nh ñư c n i v i nhau b ng m t ñư ng ñi ñơn.

Đ nh lý 2.1.1.2

Đ nh lý 1.4.2. M t cây có ít nh t hai ñ nh treo.

Euler khi và ch khi các đ nh đ u có b c ch n.

Đ nh nghĩa 1.4.2. Cây T ñư c g i là cây bao trùm c a ñ th G(V)

B ñ 2.1.1.1. N u đa đ th vơ hư ng G = (V, E) là đ th Eulere, thì

n u T là m t ñ th riêng c a G.

G ph i ch a không quá m t thành ph n liên thơng có c nh và các

Đ nh lý 1.4.3. Đ th G(V) có cây bao trùm khi và ch khi G(V) liên

đ nh đ u b c ch n.

thơng.

B đ 2.1.1.2. N u đa đ th vơ hư ng G = (V, E) ch a khơng q

2.1.

BÀI TỐN Đ

Đ th vơ hư ng liên thơng G(V, E) có chu trình

m t thành ph n liên thơng có c nh và các đ nh đ u b c ch n, thì G có

Chương 2 :
M TS

V có deg (vi) ≥ 2 thì t n t i m t chu trình đơn.

TH CƠ B N

Bài tốn v đư ng đi.

2.1.1. Đư ng ñi Euler – Chu trình Euler.
Trong m c này ta ch xét đ th có đư ng đi đơn, chu trình

chu trình Eulere .
H qu 2.1.1.2 Đ th liên thơng G(V) có đư ng đi Euler khi và ch
khi nó có đúng 2 đ nh b c l .
Đ nh lý 2.1.1.3. Đ th vơ hư ng G(V,E) có |V| = n, |E| =m, m = 2n

đơn nhưng khơng nh t thi t là sơ c p.

+1. N u trong s các đư ng đi có đ dài ch n b ng s đư ng đi có đ

Đ nh nghĩa 2.1.1.1. Cho ñ th G = (V, E).

dài l .

Chu trình Euler c a đ th G = (V, E) là m t chu trình đi qua

Đ nh lý 2.1.1.4.(Đ nh lý Euler) N u G(V, E) là ñ th ph ng, liên
= n ñ nh,

m i c nh và m i ñ nh c a ñ th , m i c nh khơng đi q m t l n.

thơng, có

Đư ng đi Euler là đư ng đi qua m i c nh và m i ñ nh c a ñ th ,

là f thì n – m + f = 2.

m i c nh khơng đi q m t l n.

V

E

= m c nh thì bi u di n ph ng Gp có s di n


13
2.1.2. Đư ng đi Hamilton – Chu trình Hamilton
Đ nh nghĩa 2.1.2.1
Đư ng đi trong đ th vơ hư ng G = (V, E) ñư c g i là
ñư ng ñi Hamilton, n u nó ñi qua t t c các ñ nh G và qua m i ñ nh
ñúng m t l n. Nói cách khác, đư ng đi Hamilton là m t ñư ng ñi sơ
c p, mà nó đi qua t t c các đ nh c a đ th .

14

Đ nh nghĩa 2.2.2
- Tơ màu c nh c a m t ñ th là m t phép gán các màu cho các
c nh sao
cho hai c nh k nhau b t kỳ có màu khác nhau.
- S màu q nh nh t dùng đ tơ màu t t c các c nh c a ñ th
ñư c g i là s c l p. Ký hi u

χ (G ) = q

.

Chu trình trong đ th G = (V, E) đư c g i là chu trình

Nh n xét 2.2.1. S c l p c a ñ th G(V,E) chính là s c s c a đ th

Hamilton, n u nó đi qua t t c các ñ nh c a ñ th G và qua m i ñ nh

G(E,V) xác ñ nh như sau: Các ñ nh c a G(V, E) là các c nh c a G(E,

đúng m t l n. Nói cách khác, chu trình Hamilton là m t chu trình sơ

V); các c nh c a G(V, E) là các ñ nh c a G(E, V). Do v y m i bài

c p, mà nó đi qua t t c các đ nh c a đ th .

tốn v s c l p ñ u chuy n v bài toán v s c s và ngư c l i.

Đ th vô hư ng G = (V, E) ñư c g i là ñ th Hamilton, n u

Đ nh lý 2.2.1 N u m t ñ th ñ y ñ g m n ñ nh v i hai màu xanh và

nó có chu trình Hamilton.

đ mà trong b n đ nh tùy ý có ít nh t m t ñ nh ñư c n i b ng c nh

B đ 2.1.2.1. Đ th vơ hư ng n (n ≥ 3) đ nh liên thơng, thu n nh t

đ v i ba đ nh cịn l i thì nó có ít nh t n – 3 ñ nh, mà m i ñ nh này

b c 2 có chu trình Hamilton.

đư c n i b ng c nh đ v i t ng đ nh cịn l i.

B đ 2.1.2.2. Đ th vơ hư ng G = (V, E) có chu trình Hamilton khi

Đ nh lý 2.2.2. Trong m t đơn đ th ph ng có ít nh t m t đ nh có b c

và ch khi nó có m t đ th b ph n liên thông và thu n nh t b c 2.

nh hơn ho c b ng 5.

Đ nh lý 2.1.2.1. Đ th G(V) đơn, đ y đ , có hư ng luôn t n t i m t

Đ nh lý 2.2.3. M i ñ th ph ng v ñ nh, đơn, vơ hư ng đ u có s c s

đư ng ñi Hamilton.

bé hơn ho c b ng 5.

Đ nh lý 2.1.2.2. Trong đ th G(V) vơ hư ng và b c c a m i ñ nh

H qu 2.2.1. Các di n c a ñ th ph ng G(V) ln có th tơ b ng 5
màu sao cho 2 di n k nhau có màu s c khác nhau.

V

l n hơn

H qu 2.2.2. M i b n ñ ñ a lý có th tơ b ng 5 màu khác nhau.(Hai

2.2.

nư c k nhau đư c tơ b ng 2 màu khác nhau).

. Khi đó G(V) ln có chu trình Hamilton.
2
Tơ màu đ th

Đ nh lý 2.2.4. Đ th đ y ñ G(V, E) g m 9 ñ nh, các c nh đư c tơ

Đ nh nghĩa 2.2.1
- Tơ màu ñ nh c a m t ñ th là m t phép gán các màu cho các
ñ nh sao cho hai đ nh k nhau b t kỳ có màu khác nhau.

b ng màu xanh ho c ñ . Khi ñó có ñ th con ñ y ñ K3 xanh ho c
ñ th con ñ y ñ K4 ñ .

- S màu p nh nh t dùng đ tơ màu t t c các ñ nh c a ñ th

Đ nh 2.2.5.Đ th ñ y ñ G(V, E) g m 14 đ nh các c nh đư c tơ b ng

ñư c g i là s c s . Khi ñó ñ th G(V) ñư c g i là p- s c. Ký hi u

màu xanh ho c ñ . Khi đó G(V, E) có đ th con đ y ñ K3 xanh ho c

χ (G ) = p

.

ñ th con ñ y ñ K5 ñ .


16

15
Đ nh lý 2.2.6. Cho dãy s nguyên dương xác ñ nh như sau:
a1 = 2, a2 = 5,…, an+1 = (n + 1)an +1

Trư c h t tác gi trình bày phương pháp đư c s d ng ph
bi n trong su t c chương đó là “Phương pháp ñ th ”.

Khi ñó ñ th ñ y ñ an + 1 ñ nh v i n màu c nh (các c nh đư c tơ

Đ gi i bài tốn logic T b ng phương pháp ñ th ta ti n hành

b ng n màu) ln ln có tam giác cùng màu (các c nh đư c tơ cùng

th c l n lư c theo các bư c sau:

m t màu).

1. Xây d ng đ th G mơ t tồn b quan h đư c cho trong bài tốn

Đ nh lý 2.2.7. Cho các dãy nguyên dương xác ñ nh như sau:

T.
Đ nh. L y các ñi m trên m t ph ng ho c trong không gian

b2 = b3 = 6,…,bn+1 = (bn – 1)n + 2
Khi đó ta có:

tương ng v i các đ i tư ng đã cho trong bài tốn T. S d ng các kí

a) Đ th ñ y ñ bn+1 ñ nh v i n màu c nh ln ln có tam giác

hi u ho c tên các ñ i tư ng ñ ghi trên các ñ nh tương ng.

cùng màu (các c nh ñư c tô cùng m t màu).
b) Đ th ñ y đ có bn+1 -1 đ nh (n ≥ 2) v i n màu c nh (các
c nh ñư c tơ n màu), sao cho khơng có tam giác cùng màu nào, ln

C nh. Hai đ nh x, y tùy ý ñư c n i v i nhau b ng m t c nh
v i “tính ch t (t)” khi và ch khi các ñ i tư ng x, y có quan h (t) v i
nhau.
Khi đó đ th G mơ t tồn b các quan h đư c cho trong

ln có 5 hình c nh v i các c nh cùng màu và các ñư ng chéo ñư c

bài tốn T. Lúc này bài tốn T đã đư c phát bi u dư i d ng tính ch t

tơ b ng các màu khác.

c a ñ th .
Chương 3 :
NG D NG LÝ THUY T Đ

TH VÀO GI I BÀI TỐN

LOGIC
Trong chương này, tác gi đã h th ng, phân lo i m t s bài
toán sơ c p có th gi i đư c b ng cách v n d ng các ñ nh lý, các k t

2. Căn c ñ th G trên cơ s các k t qu c a lý thuy t ñ th , mà suy
ra đáp án c a bài tốn logic T b ng ngơn ng đ th .
3. Căn c vào ñ t tương ng khi xây d ng ñ nh và c nh c a ñ th ,
mà chuy n ñáp án ngư c l i t ngôn ng ñ th sang ngơn ng thơng
thư ng, t c là đáp án c a bài tốn T ban đ u.

qu v lý thuy t đ th đã đư c trình bày, ch ng minh trong chương 1
và chương 2. Tuy nhiên, v m t phương pháp ñưa ra g p ph i m t s

Chú ý: Đ quá trình gi i ñư c ñơn gi n ngư i ta thư ng th c
hi n g p bư c 2 và bư c 3.

v n đ khó khăn là h c sinh ph thơng đ i trà khơng đư c trang b

V n d ng phương pháp nêu trên chúng ta s trình bày cách

m t cách h th ng v lý thuy t ñ th . Do v y, tác gi ñã c g ng

gi i m t s bài toán sơ c p theo t ng lo i như sau:

phát bi u l i m t s k t qu dư i d ng đơn gi n, ph thơng hóa ñ

3.1.

h c sinh có th v n d ng các k t qu trên gi i ñư c m t s bài toán

Bài toán 3.1.1(Thi Olympic Toán 1982 M )

trong sách giáo khoa hi n hành và các bài toán tương t .

Bài tốn v đ nh - c nh c a ñ th .
S ng trong m t ký túc xá có 1982 ngư i. C b n ngư i trong

đó bao gi cũng ch n đư c ít nh t m t ngư i quen v i c ba ngư i


17

18

cịn l i. Có ít nh t bao nhiêu ngư i mà m i ngư i quen v i t t c

mà m i đ i bi u có th nói chuy n tr c ti p v i t t c nh ng ngư i

nh ng ngư i trong ký túc?

cịn l i.

Bài tốn 3.1.2 Có 20 đ i bóng thi đ u v i nhau, m i đ i ph i đ u

Bài tốn 3.1.9. Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n( n ≥ 2 ) luôn

m t tr n v i ñ i khác. Ch ng minh r ng vào b t c lúc nào cũng có

ln tìm đư c m t nhóm g m n ngư i, mà 3 ngư i b t kỳ trong

hai ñ i ñã ñ u m t s tr n như nhau.

nhóm đ u khơng có s ngư i quen b ng nhau.

Bài tốn 3.1.3. M t h i ngh g m có 2011 đ i bi u tham d . Các đ i

Bài tốn 3.1.10. Có 9 đ i bóng đá, th l thi ñ u như sau: C m i ñ i

bi u g p nhau và b t tay nhau (hai ñ i bi u b t tay nhau nhi u nh t 1

bóng ph i thi đ u v i m t đ i bóng khác 1 l n. Ch ng minh r ng

l n). Ch ng minh r ng s ñ i bi u b t tay m t s l l n là m t s

th i ñi m mà m i đ i bóng đã đ u đư c 7 tr n thì t n t i 4 ñ i bóng

ch n.

mà m i ñ i ñã ñ u v i 3 đ i cịn l i.

Bài tốn 3.1.4. M t h i th o qu c t có n ≥ 4 đ i bi u tham d . C

Bài toán 3.1.11. Trong m t h i ngh có 23 đ i bi u

b n đ i bi u có ít nh t m t ngư i nói chuy n ñư c tr c ti p v i ba

nhau. Bi t r ng m i ñ i bi u có th giao ti p đư c ít nh t 5 ñ i bi u

ngư i kia. Ch ng minh r ng có ít nh t n – 3 ñ i bi u mà m i ngư i

khác. Ch ng minh r ng t n t i 4 ñ i bi u có th giao ti p tr c ti p

có th nói chuy n tr c ti p v i t t c nh ng ngư i còn l i.

đư c v i nhau.

Bài tốn 3.1.5. Cho n ≥ 4 s t nhiên tùy ý. C 4 s đ u có ít nh t

Bài tốn 3.1.12. Có 16 nhà toán h c g p nhau

m t s nguyên t cùng nhau v i ba s còn l i. Ch ng minh r ng có ít

h phát hi n ra r ng c 4 ngư i trong h thì có ít nh t 2 ngư i nói

nh t n – 3 s mà m i s nguyên t cùng nhau v i t t c các s cịn

đư c cùng 1 th ti ng (m i nhà toán h c nói đư c khơng nhi u hơn 4

l i.

th ti ng). Ch ng minh r ng ít nh t có 3 nhà tốn h c nói đư c cùng

Bài toán 3.1.6. Ch ng minh r ng trong m t nhóm h c sinh tùy ý

m t th ti ng.

g m t 2 h c sinh tr lên luôn luôn có ít nh t 2 h c sinh, mà h có s

3.2 Bài tốn v đư ng đi - chu trình và tính liên thơng cu đ th .

b n quen b ng nhau trong nhóm h c sinh đó.

Bài toán 3.2.1. Nhà vua m i 2n (n ≥ 2) k mã ñ n d ti c. M i k

Bài toán 3.1.7. Ch ng minh r ng n u trong m t nhóm tùy ý g m ít

mã quen ít nh t n k mã ñ n d ti c. Ch ng minh r ng ln ln có

nh t 3 ngư i, mà có đúng 2 ngư i có s ngư i quen b ng nhau, thì h

th x p t t c các k mã ng i xung quanh m t bàn trịn, đ m i ngư i

khơng th khơng quen ai ho c đ ng th i quen t t c nh ng ngư i còn

ng i gi a hai ngư i mà anh (ch ) ta quen.

l i trong nhóm.

Bài tốn 3.2.2. Khi v ngh hè m i h c sinh l p 10A trao ñ i ñ a ch

Bài toán 3.1.8. M t cu c h i th o qu c t v i n(n ≥ 4) đ i bi u tham

v i ít nh t m t n a s b n trong l p. Ch ng minh r ng m i em h c

gia. C 4 đ i bi u đ n d có ít nh t m t ngư i nói chuy n tr c ti p

sinh l p 10A đ u có th báo tin (m t cách tr c ti p ho c gián ti p)

ñư c v i 3 ngư i cịn l i. Ch ng minh r ng có ít nh t n – 3 ñ i bi u,

cho t t c các b n trong l p.

23 nư c khác

H i ngh Qu c t và


19

20

Bài toán 3.2.3. M t t p M g m ít nh t 3 s nguyên không âm. M t

luôn có th x p t t c các đ i bi u ng i xung quanh m t bàn tròn, đ

s đ u có ư c chung v i ít nh t m t n a s thu c t p M. Khi đó có

m i ngư i ng i gi a hai ngư i, mà ñ i bi u này ñã b t tay.

th ghi t t c các s thu c M lên m t đư ng trịn, ñ m i s ñ u ñ ng

Bài toán 3.2.10. Trong m t đ t thi đ u bóng bàn có 2n (n ≥ 2) đ u

gi a hai s , mà nó có ư c chung.

th tham gia. M i ñ u th g p t ng ñ u th khác đúng m t l n.

Bài tốn 3.2.4. M t qu n đ o có 2n (n ≥ 1) hịn đ o. M i hịn đ o có

Trong thi ñ u bóng bàn ch có kh năng th ng ho c thua. Ch ng

ñư ng ng m n i tr c ti p v i ít nh t n hịn đ o khác. Ch ng minh

minh r ng sau ñ t thi ñ u có th x p t t c các ñ u th ñ ng thành

r ng t m t hịn đ o b t kỳ thu c qu n đ o đ u có th đi t i b t kỳ

m t hàng d c, ñ ngư i ñ ng sau th ng ngư i ñ ng trư c ngay trư c

hịn đ o nào thu c qu n ñ o này b ng ñư ng ng m.

anh (ch ) ta.

Bài toán 3.2.5. M t cu c h p có ít nh t 3 đ i bi u. Khi đ n h p m i

Bài tốn 3.2.11. Trên bàn c 3 x 3 ô vuông. Ch ng minh r ng con

ñ i bi u ñã b t tay ít nh t 2 đ i bi u ñ n d h p. Ch ng minh r ng ta

mã khơng th đi qua t t c các ơ, m i ơ đúng m t l n, r i tr v ơ

ln ln có th x p m t s ñ i bi u ng i xung quanh m t bàn trịn,

xu t phát.

đ m i ngư i ng i gi a hai ngư i mà anh (ch ) ta đã b t tay.

(Xét đ th có các đ nh tương ng là các ô vuông, hai ô là

Bài tốn 3.2.6. M t cu c h p có ít nh t 3 ñ i bi u. T ng s ngư i

c a ñư ng chéo (2, 3) ho c (3, 2) n i b ng m t c nh. Ta th y ñ th

quen trong cu c h p c a hai đ i bi u tuỳ ý khơng ít hơn s đ i bi u

G( X) trên khơng liên thơng suy ra khơng có chu trình Hamilton)

c a h i ngh . Ch ng minh r ng luôn ln có th x p t t c các đ i

3.3 Bài tốn v tơ màu đ th

bi u ng i xung quanh m t bàn trịn, đ m i ñ i bi u ng i gi a hai ñ i

Bài tốn 3.3.1. Cho n đi m trên m t ph ng sao cho khơng có ba đi m

bi u mà anh (ch ) ta quen?

nào th ng hàng. M t s c p ñi m ñư c n i b ng các đo n th ng tơ

Bài tốn 3.2.7. Trong m t cu c h p có đúng 2 ñ i bi u không quen

màu xanh ho c ñ , sao cho hai ñi m b t kỳ ñ u ñư c n i v i nhau

nhau và m i đ i bi u này có m t s l ngư i quen ñ n d . Ch ng

b ng m t ñư ng g p khúc duy nh t g m các ño n th ng ñã ñư c tơ

minh r ng ln ln có th x p m t s ñ i bi u ng i chen gi a hai

màu. Ch ng minh r ng có th tơ n t các đo n th ng cịn l i (có hai

đ i bi u nói trên, đ m i ngư i ng i gi a hai ngư i mà anh (ch ) ta

ñ u t i n ñi m ñã cho) b ng màu xanh ho c ñ , đ b t kỳ tam giác

quen.

nào (có các đ nh t i n đi m đã cho) cũng có s c nh tơ đ là l .

Bài tốn 3.2.8. Trong m t ph ng cho 2011 ñi m khác nhau. C n n i

Bài toán 3.3.2. Mư i b y nhà khoa h c ñ n d h i ngh Qu c t . M i

ít nh t bao nhiêu đo n th ng (có hai đ u c a các ñi m ñã cho) ñ

ngư i trong s h ch bi t m t trong ba ngo i ng : Anh, Nga, Pháp.

ch c ch n bao gi cũng ñư c m t tam giác.

Ch ng minh r ng có ít nh t 3 nhà khoa h c cùng bi t m t trong ba

Bài toán 3.2.9. Cu c h p có ít nh t 3 ngư i. M i ñ i bi u ñ n d h p

ngo i ng nói trên.

đ u b t tay ít nh t m t n a s ñ i bi u có m t. Ch ng minh r ng ln

Bài toán 3.3.3. M t cơ quan c n tuy n ba ngư i ñ thành l p m t

hai ñ u

nhóm có đ năng l c biên d ch các tài li u t sáu th ti ng: Anh,


21

22

Pháp, Nga, Đ c,Trung Qu c, và B Đào Nha sang Ti ng Vi t. Có

Ch ng minh r ng trong các s đã ch n ra có ít nh t n - 3 s , mà m i

b y ngư i đ n d tuy n, trong đó m i ngư i ñ u bi t hai và ch hai

s này có ư c chung v i t t c các s ñã ch n ra.

trong sáu th ti ng nói trên và b t c hai ngư i nào cũng bi t nhi u

Bài toán 3.3.9. M t cu c h p có chín đ i bi u, trong đó ba đ i bi u

nh t m t th ti ng chung trong sáu th ti ng đó. Bi t r ng th ti ng

b t kỳ ñ u có hai đ i bi u khơng cùng cơ quan. Ch ng minh r ng

nào cũng có ít nh t 2 ngư i bi t. Li u có th x y ra trư ng h p khơng

ln ln tìm ñư c b n ñ i bi u thu c b n cơ quan khác nhau.

tuy n ch n ñư c như u c u đã nêu hay khơng?

Bài tốn 3.3.10. Ch ng minh r ng trong 14 h c sinh tùy ý thì ln

Bài tốn 3.3.4.(Vơ đ ch nư c Anh năm1980) Trong m t căn phịng

tìm đư c 3 h c sinh đơi m t cùng h ho c 5 h c sinh đơi m t khơng

có 10 ngư i, bi t r ng gi a 3 ngư i b t kỳ thì có 2 ngư i quen nhau.

cùng h .

Ch ng minh r ng có th tìm ñư c 4 ngư i mà 2 ngư i b t kỳ trong s

Bài toán 3.3.11. M t qu c gia có năm thành ph , mà c ba thành ph

đó đ u quen nhau. K t qu trên có đúng khơng khi s ngư i trong

đ u có hai thành ph ñư c n i v i nhau b ng c u hàng khơng. Ch ng

phịng là 9 ngư i, 8 ngư i.

minh r ng khách du l ch có th đi tham quan b ng máy bay qua m i

Bài tốn 3.3.5.(Đ thi Olympic Tồn Qu c t l n th 6)

l n r i tr l i ñư c nơi xu t phát.

Mư i b y nhà Bác h c vi t thư cho nhau. M i ngư i đ u vi t thư cho

Bài tốn 3.3.12. Ch ng minh r ng trong khơng gian có 6 ñư ng

t t c ngư i khác. Các thư ch trao ñ i v 3 ñ tài. T ng c p nhà Bác

th ng, trong đó khơng có 3 đư ng th ng nào ñ ng quy t i m t ñi m

h c ch vi t thư trao ñ i v cùng m t ñ tài. Ch ng minh r ng có ít

khơng có đư ng th ng nào đ ng ph ng và khơng có 3 đư ng th ng

nh t 3 nhà Bác h c vi t thư cho nhau trao ñ i v cùng m t đ tài.

nào song song, thì nh t đ nh có 3 đư ng th ng đơi m t chéo nhau.

Bài tốn 3.3.6. M t qu c gia có 14 sân bay. Bi t r ng c 3 sân bay

Bài toán 3.3.13. Cho chín s t nhiên, trong đó 3 s tùy ý đ u có ít

b t kỳ trong s này thì có ít nh t hai sân bay có ñư ng n i tr c ti p.

nh t hai s nguyên t cùng nhau. Ch ng minh r ng ln tìm đư c

Ch ng minh r ng có 5 sân bay mà 2 sân bay b t kỳ trong s này có

b n s ngun t cùng nhau (đơi m t nguyên t cùng nhau)

ñư ng n i tr c ti p.

3.4 M t s bài toán logic trong chương trình ph thơng.

Bài tốn 3.3.7(Thi Olympic Tốn 1978, Bungary) M t nhóm g m 5

Trong m c này, tác gi mu n chuy n m t s k t qu v lý

thành viên, trong đó c ba ngư i thì có 2 ngư i quen nhau và 2 ngư i

thuy t ñ th trong chương 1 và 2 sang k t qu mà h c sinh ph

không quen nhau. Ch ng minh r ng có th x p h ng i xung quanh

thơng đ i trà có th v n d ng vào gi i m t s bài t p trong chương

m t bàn trịn, đ m i ngư i ñ u ng i gi a hai ngư i mà thành viên đó

trình ph thơng hi n hành ho c ra ñ bài t p cho h c sinh.

quen nhau.

3.4.1

Bài toán 3.3.8. L y n (n ≥ 4) s nguyên dương khác nhau tuỳ ý, sao
cho c 4 s b t kỳ có ít nh t m t s có ư c chung v i 3 s cịn l i.

ng d ng vào các bài toán logic liên quan ñ n b c c a ñ th .

S d ng Đ nh lý 1.2.1 v b c và c nh c a đ th , ta có th

phát bi u và ch ng minh các bài toán sau:


23

24

Bài tốn 3.4.1. Cho m t kh i đa di n l i A1A2…An. G i m1, m2,..., mn

Bài toán 3.4.11. Ch ng minh r ng ch có năm lo i kh i ña di n ñ u,

l n lư t là s c nh xu t phát t các ñ nh A1, A2,…An và c là s c nh

ñó là các lo i: {3;3}, {4;3}, {5;3}, {3;5}. (Kh i ña di n ñ u lo i

c a kh i ña di n. Khi ñó ta có m1 + m2 + …+ mn = 2c.

{p;q} là kh i ña di n có m i m t là m t đa giác đ u đúng p c nh và

Bài tốn 3.4.2. Ch ng minh r ng n u kh i ña di n có các m t là tam

m i đ nh là ñ nh chung c a ñúng q m t).

giác thì s m t ph i là s ch n.

3.4.3

Bài toán 3.4.3. Ch ng minh r ng n u m t kh i đa di n có m i ñ nh

Bài toán 3.4.12. [4, tr. 300] Tr n thi ñ u th thao gi a hai ñ i A và

là đ nh chung c a 3 c nh thì s ñ nh ph i là s ch n.

B g m 5 ván. Đ i nào th ng 3 ván trư c s k t thúc cu c thi và giành

Bài toán 3.4.4. Ch ng minh r ng m t ña di n l i mà m i ñ nh c a nó

chi n th ng. Cu c thi đ u có th di n ra theo bao nhiêu cách khác

ñ u là ñ nh chung c a m t s l m t thì t ng s các đ nh c a nó ph i

nhau?

là m t s ch n. Cho ví d .

Bài tốn 3.4.13. Có bao nhiêu cách s p x p các ch a, b, c, và d sao

Bài tốn 3.4.5. Cho m t đa di n g m 10 ñ nh, bi t m i ñ nh c a ña

cho ch b không ñi li n sau ch a.

di n n i ñư c 6 ñ nh trong các ñ nh còn l i. H i đa di n đó có bao

Bài tốn 3.4.14. Tìm t t c các t p con c a t p A= {3, 7, 9, 11, 24}

nhiêu c nh?

sao cho t ng giá tr c a các ph n t c a m i t p con nh hơn 28.

3.4.2

ng d ng vào các bài tốn logic liên quan đ n đ nh lý Euler.

Đ nh lý 3.4.1. (Cơng th c Euler) N u (H) là m t ña di n l i có d

3.4.4.

ng d ng vào các bài tốn logic liên quan đ n bi u đ cây.

ng d ng vào các bài tốn logic liên quan đ n tơ màu đ th .

Bài tốn 3.4.15. (IMO 1979) [9,tr.141-143]

đ nh, c c nh, m m t thì d - c + m = 2.

Cho hình lăng tr có ñáy trên và ñáy dư i là các ngũ giác

Bài tốn 3.4.6. Ch ng minh r ng khơng t n t i m t hình đa di n l i

A1A2A3A4A5 và B1B2B3B4B5. M i c nh c a hai ngũ giác này cũng

có 7 c nh.

như m i c nh trong 25 c nh AiBj (i, j = 1,...,5) ñ u đư c tơ màu đ

Bài tốn 3.4.7. Ch ng minh r ng không t n t i m t hình đa di n l i

ho c xanh. Bi t r ng b t kỳ tam giác nào t o thành t 3 đ nh c a lăng

khơng có m t tam giác nào và góc tam di n nào.

tr mà c 3 c nh đ u đư c tơ màu thì ph i có 2 c nh có màu khác

Bài tốn 3.4.8. Ch ng minh r ng khơng t n t i m t hình đa di n l i

nhau.

sao cho t t c các m t c a nó có s c nh l n hơn 5.

Ch ng minh r ng t t c 10 c nh c a hai ngũ giác ( đáy trên

Bài tốn 3.4.9. Cho kh i đa di n l i (H) có 20 ñ nh, m i ñ nh ñ u

và ñáy dư i) đ u có cùng m t màu.

n i đư c 3 đ nh trong các đ nh cịn l i. H i đa di n (H) có bao nhiêu

Bài toán 3.4.16. (IMO 1986) [9,tr.184-185]

m t?

Trong m t ph ng t a ñ , cho m t t p h u h n các đi m có

Bài tốn 3.4.10. Ch ng minh r ng trong m t ña di n l i, ln t n t i

t a đ ngun. H i r ng, có ph i ta ln ln có th tơ màu đ m t

ít nh t 1 ñ nh là ñ nh c a m t góc tam di n ho c ít nh t m t m t là

s ñi m c a t p h p này, và s cịn l i đư c tơ màu xanh, sao cho v i

tam giác.

b t kỳ ñư ng th ng L nào song song v i m t trong hai t a đ thì s


25

26

khác nhau (v giá tr tuy t ñ i) c a s ñi m màu xanh và s ñi m

K T LU N

màu đ trên L s khơng l n hơn 1? Hãy ch ng minh câu tr l i c a

Trong lu n văn này, tác gi ñã t p trung vào vi c nghiên c u

b n.

lý thuy t ñ th và v n d ng các k t qu c a nó đ gi i quy t các bài

Bài tốn 3.4.16 [1,tr.428]

tốn logic trong chương trình tốn sơ c p và ñã ñ t ñư c các k t qu

Các b c tư ng c a m t phòng tri n lãm ch n trên n n nhà
thành m t ña giác ph ng n c nh. Hãy ch ng minh r ng ñ chi u sáng

 n
tồn b các gian c a phịng tri n lãm ngư i ta ch c n   ng n ñèn (
 3
ký hi u [ x ] ñ ch ph n nguyên c a x).

sau:
1. Nh m m c ñính t ng quan v m t s v n ñ cơ b n nh t c a lý
thuy t ñ th : trình bày các khái ni m, ñ nh nghĩa cơ b n v lý thuy t
ñ th , các đ nh lý, các tính ch t đư c áp d ng thi t th c và hi u qu
ñ gi i m t s l p các bài toán sơ c p.
2. Làm n i b t ưu th c a lý thuy t ñ th trong vi c gi i m t s bài
toán sơ c p: Nêu ra đư c m t s bài tốn liên quan đ n đ nh, c nh, tơ
màu, chu trình, đư ng đi c a đ th . Các bài tốn đó đư c ch ng
minh m t cách c th và đư c v n d ng có hi u qu trong vi c gi i
các bài toán sơ c p liên quan.
3. H th ng và phân lo i m t s l p các bài toán logic trong chương
trình tốn sơ c p có th gi i b ng cách ng d ng hi u qu c a lý
thuy t ñ

th . Bên c nh nh ng bài toán dành cho h c sinh l p

chuyên, l p ch n, tác gi còn chuy n m t s k t qu v lý thuy t ñ
th thành các bài tốn đ gi ng d y cho h c sinh ph thơng đ i trà.
Tuy nhiên, v i kh năng nghiên c u khoa h c còn h n ch ,
n i dung c a ñ tài là r t m i ñ i v i gi , cho nên dù c g ng r t
nhi u nhưng v n cịn có nh ng h n ch , c th là: Chưa nêu ñư c
nhi u các ñ nh lý v lý thuy t ñ th ; vi c phân lo i các bài tốn chưa
đa d ng, phong phú; vi c chuy n các k t qu trong lý thuy t đ th
sang các bài tốn cho h c sinh ph thơng đ i trà.