Ôn tập toán kinh tế 1

Giảng viên: Lê Thị Thanh Hải.
Đơn vị: Bộ mơn Tốn _ Khoa KHUD

PHẦN 1: GIẢI TÍCH
Bài 1: Hàm nhu cầu D  p  

8000
(sản phẩm) cho biết nhu cầu tiêu thụ hằng tháng của
p

một loại sản phẩm khi giá của sản phẩm là p (đvtt). Sau t tháng tính từ bây giờ, giá của
3/2
sản phẩm là p  t   0,04t  15 (đvtt).

a. Nhu cầu tiêu thụ của sản phẩm thay đổi với tốc độ bao nhiêu khi sản phẩm có giá
là 20 đvtt?
b. Nhu cầu tiêu thụ của sản phẩm thay đổi với tốc độ bao nhiêu sau 25 tháng?
2
Bài 2: Đầu ra hằng ngày của một nhà máy nào đó là P  x   1000 x  2 x  3 (sản phẩm),

trong đó x là số giờ lao động trong một ngày. Hiện tại, nhà máy đang sử dụng 100 giờ lao
động trong một ngày. Nhà máy dự tính giảm đầu ra 10 sản phẩm. Ước tính sự thay đổi
của lượng lao động sẽ như thế nào?
Bài 3: Một cửa hàng bán lẻ mặt hàng A mua từ nhà sản xuất với giá 50 đvtt cho mỗi sản
phẩm. Cửa hàng bán lại cho khách hàng với giá 80 đvtt một sản phẩm, tại giá bán này
khách hàng sẽ mua 40 sản phẩm trong một tháng. Cửa hàng dự định giảm giá để kích
thích sức mua và họ ước tính rằng cứ giá giảm 1 đvtt thì mỗi tháng cửa hàng sẽ bán được
nhiều hơn 2 sản phẩm. Tìm giá bán tối ưu?
Bài 4: Một gia đình cần 5 tỷ để làm vốn đầu tư sau 3 năm. Hỏi ngay từ bây giờ, gia đình
đó nên tiết kiệm bao nhiên để đủ số tiền trên, biết lãi suất hiện tại của ngân hàng là
17%/năm và lãi suất được tính ba tháng một lần.

Bài 5: Quan hệ giữa số vé bán được Qd (lượng cầu) và giá vé P của một hãng xe buýt là

Qd  10000  125P .
a) Xác định lượng cầu cận biên (biên tế) tại P = 30 và cho biết ý nghĩa kinh tế của nó.
b) Tìm hệ số co giãn của lượng cầu tại P = 30, P = 60 và cho biết ý nghĩa kinh tế của
nó.
Bài 6: Tính các giới hạn sau


 x2
b) lim 

x 
 x 

x
a) lim
x 0 x  sin x

x

Bài 7: Tìm khai triển Taylor bậc 4 của hàm y  ln x tại điểm x = 1. Từ đó tính gần đúng
giá trị ln(1.1).
2
3

1
3

Bài 8: Cho hàm sản xuất Q( L, K )  30 K L .

a) Tìm sản lượng cận biên theo K và L tại (64, 27). Cho biết ý nghĩa kinh tế của nó.
b) Nếu cố định K = 27 và dự định tăng L = 70 thì hãy ước tính sản lượng thay đổi
như thế nào?
Bài 9: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên 2 thị
trường tách biệt. Giả sử lượng cầu của sản phẩm trên 2 thị trường này phụ thuộc vào giá
bán của nó trên 2 thị trường như sau:

Qd 1  310  P1; Qd 2  350  P2
Biết tổng chi phí phụ thuộc vào mức sản lượng Q  Q1  Q2 như sau

C  C (Q)  200  30Q  Q2
Tìm sản lượng và giá bán của nó trên mỗi thị trường để lợi nhuận cực đại.
Bài 10: Trong một đợt tuyển sinh, một trường đại học tuyển được 5000 sinh viên. Các
sinh viên được đào tạo tại 2 cơ sở khác nhau
+ Cơ sở A: Nếu đào tạo x sinh viên thì chi phí đào tạo là C A  0.01x 2  70 x  9300
+ Cơ sở B: Nếu đào tạo y sinh viên thì chi phí đào tạo là CB  0.015 y 2  72 y  5200
Lãnh đạo nhà trường nên phân bổ sinh viên ở mỗi cơ sở là bao nhiêu để chi phí đào tạo là
thấp nhất.
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
a) Hàm f ( x, y)  x 2  2 y 2 trên hình trịn đóng D  ( x, y )  R 2 : x 2  y 2  1
b) Hàm f ( x, y )  x 2  2 xy  2 y 2 trên hình chữ nhật D  ( x, y)  R 2 : 0  x  3,0  y  2
Bài 12: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một mặt hàng. Lượng cầu Q D về loại mặt
hàng này phụ thuộc vào giá bán P, việc quảng cáo và khuyến mại. Tổng số tiền doanh
nghiệp chi cho quảng cáo và khuyến mại là A và
QD   200  P  A  562500


Biết doanh nghiệp dành cho quảng cáo và khuyến mại khơng q 2 triệu đơn vị tiền tệ và
chi phí sản xuất cho mỗi sản phẩm là 100 đơn vị tiền tệ.
Tìm hàm lợi nhuận và xác định giá bán mỗi sản phẩm, chi phí quảng cáo, khuyến mại để

lợi nhuận lớn nhất.
Bài 13. Một nhà sản xuất ước tính khi sản xuất x đơn vị sản phẩm thì tổng chi phí là
C ( x) 

x2
 3x  98
8

 USD và giá bán là

p( x) 

1
 75  x 
3

 USD/sp .

a) Tìm chi phí biên và doanh thu biên.
b) Ước tính chi phí sản xuất sản phẩm thứ 9 và doanh thu khi bán sản phẩm thứ 9.
c) Tính hệ số co giãn của x theo p. Nếu p tăng 3% từ mức p = 15 thì x giảm khoảng
bao nhiêu phần trăm.
d) Tìm lợi nhuận lớn nhất.
Bài 14. Hàm số u  x, y, z   e3 x4 y cos  5z  có thỏa mãn phương trình Laplace uxx''  uyy''  uzz''  0
khơng? Vì sao?
2

1

Bài 15. Cho hàm sản xuất Q( L, K )  120 K 3 L3 , trong đó

(Q: sản lượng (đvt: 1 tấn); K: vốn (đvt: 100 tỷ đồng; L: lượng lao động (đvt: 100 người))
Giả sử tại mức K = 8 và L = 27, lượng lao động tăng 20 người/năm và vốn giảm 1.5 tỷ
đồng/năm. Ước tính sự thay đổi của sản lượng Q.
Bài 16. Cho sơ đồ như sau

Biết BC = 3000 mét
Chi phí xây dựng mỗi mét đường cáp trên đất liền dọc bờ sông là 40 USD
Chi phí xây dựng mỗi mét đường cáp dưới nước là 50 USD.
Xác định vị trí điểm M sao cho chi phí xây dựng đường cáp từ nhà máy điện P qua điểm
M đến khu công nghiệp C la nhỏ nhất.


PHẦN 2: ĐẠI SỐ MA TRẬN
 4
15 
 1




Bài 17: Cho 3 vector u1  7 , u2  2 , u3  3
 
 
 
0
 1 
 9 

a) Tính khoảng cách giữa các vector trên từng đơi một.
b) Tính góc giữa các vector từng đơi một.

c) Cặp vector nào trực giao với nhau.
d) 3 vector trên độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
1 2
2 3
Bài 18: Tính định thức của ma trận A  
1 6

0 5

9
4 6 
, từ đó áp dụng tìm ma trận nghịch
0 1

0 8
0

đảo A-1
Bài 19: Cho ma trận đầu vào – đầu ra (ma trận hệ số kỹ thuật) của một nền kinh tế như
sau
0.05 0.25 0.34
A  0.33 0.10 0.12
0.19 0.38 0 

a) Giải thích ý nghĩa của phần tử a21  0.33 và phần tử a33  0
b) Giải thích ý nghĩa của tổng cột 2 và tổng dịng 3.
c) Giải thích ý nghĩa của 50 x dịng 1.
Bài 20: Khi xem hồ sơ quỹ học phí, văn phòng cựu sinh viên của một trường đại học
nhận thấy rằng 80% cựu sinh viên đóng góp vào quỹ hằng năm sẽ tiếp tục đóng góp vào
năm tới, và 30% những người khơng đóng góp trong năm sẽ đóng góp vào năm kế. Điều

này có thể được xem như một chuỗi Markov với hai trạng thái: trạng thái 1 tương ứng với
một cựu sinh viên đóng góp trong một năm bất kỳ, và trạng thái 2 tương ứng với các cựu
sinh viên khơng đóng góp trong năm đó. Ma trận xác suất như sau:
0.8 0.3
A

0.2 0.7

a) Giải thích ý nghĩa của phần tử a22  0.7


b) Tính xác xuất một cựu sinh viên đang đóng góp vào quỹ sẽ khơng đóng góp nữa
trong 3 năm tới.
Bài 21: Có 3 sinh viên A, B, C dự định mua 4 món: viết bi, viết chì , tập, bóp viết. Số
lượng muốn mua được cho trong bảng sau :
Viết bi

Viết chì

Tập

Bóp viết

A

6

5

3

1

B

3

6

2

2

C

3

4

3

1

3 người có thể mua 4 món này ở 2 shop :S1, S2, giá bán mỗi loại ở từng shop được cho
trong bảng sau :
Shop 1 (1000 VND)

Shop 2 (1000 VND)

Viết bi

1,5

1

Viết chì

2

2,5

Tập

5

4,5

Bóp viết

16

17

a) Lập ma trận M, N sao cho M.N thể hiện số tiền lần lượt 3 người phải trả khi mua
hàng ở mỗi shop.
b) Người nào nên mua hàng ở shop nào là rẻ nhất.
Bài 22: Công ty chế biến thực phẩm cần chế biến một loại thức ăn nhanh chứa đủ 3 loại
dưỡng chất là protein, carbohydrate và Fat. Chúng được lấy từ 3 loại thực phẩm: A, B, C.
Số lượng dưỡng chất có trong 100g mỗi loại thực phẩm và nhu cầu của mỗi loại dưỡng
chất được cho trong bảng sau:

Dưỡng chất

Hàm lượng dưỡng chất có trong 100 gram

Nhu cầu

A(g)

B(g)

C(g)

Protein

36

51

13

33

Carbonhydrate

52

34

74

45

Chất béo

0

7

1.1

3

Tìm số lượng của 3 loại thực phẩm A, B, C để có thể tạo ra được 1 đơn vị thức ăn nhanh,
đáp ứng đủ nhu cầu đặt ra.
Bài 23. Theo một thống kê về tuổi thọ của một quốc gia, một phụ nữ có số tuổi hiện


tại là A được kỳ vọng sống thêm E năm nữa. Giả sử rằng A và E liên hệ tuyến tính bởi
hàm số E  mA  n . Cho biết một phụ nữ 24 tuổi được kỳ vọng sống thêm 50 năm nữa,
một phụ nữ khác 60 tuổi được kỳ vọng sống thêm 20 năm nữa. Hỏi một phụ nữ 18 tuổi
tại thời điểm hiện tại thì được kỳ vọng sống đến bao nhiêu tuổi theo thống kê trên?
x  2 y  m
 2 x  my  2

Bài 24: Cho hệ phương trình 

a) Tìm m để hệ có nghiệm.
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
Bài 25. Xét thị trường có 3 loại sản phẩm với hàm cung và hàm cầu như sau:
+ Sản phẩm 1: QS  9P1  P2  14; QD  8P1  2P3  85

1

1

+ Sản phẩm 2: QS  10P2  P3  45; QD  P1  9P2  P3 128
2

2

+ Sàn phẩm 3: QS  P1 12P3  10; QD  P2 10P3  83
3

3

Xác định bộ giá cân bằng và lượng cân bằng thị trường của 3 loại sản phẩm trên bằng
phương pháp Crammer
Bài 26. Cho dạng toàn phương f  x1 , x2    x12  4 x1 x2  x22
a) Viết ma trận A biểu diễn dạng tồn phương trên.
b) Tìm ma trận trực giao C và ma trận chéo D sao cho A  C 1 DC . Từ đó tính A30
 3 1 1 
Bài 27: Cho ma trận A   1 5 1
 1 1 3 



a) Viết biểu thức của dạng toàn phương f  x1 , x2 , x3  có ma trận tương ứng là A và xét
dấu của dạng tồn phương đó.
b) Tìm ma trận trực giao C và ma trận chéo D sao cho A  C 1 DC . Từ đó tính A100
Bài 28. Cho dạng toàn phương f  x1, x2 , x3   6x12  x22  mx32  4x1x2  4x1x3  2 x2 x3 . Hãy biện
luận theo m hạng và dấu của dạng toàn phương trên.