ỨNG DỤNG CỦA HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP 10600780

-1-

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
----------

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

ỨNG DỤNG CỦA HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA
TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN
HÌNH HỌC SƠ CẤP.

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

MỤC LỤC

SVTH: Nguyễn Thị Thương


-2-

Mục lục………………………………………………………………………….1
Mở đầu…………………………………………………………………………..2
Lời cảm ơn……………………………………………………………………....4
Chương I: Kiến thức nền tảng…………………………………………………...5
1. Tỉ số kép và các tính chất của tỉ số kép…………………………………..5
2. Định lý Ceva và định lý Menelauyt……………………………………....5
3. Tứ giác tồn phần…………………………………………………………6
4. Hàng điểm điều hịa………………………………………………………7
5. Chùm điều hịa……………………………………………………………9

6. Đường tròn trực giao…………………………………………………….13
7. Tứ giác điều hòa…………………………………………………………13
8. Cực và đối cực…………………………………………………………...16
Chương II: Ứng dụng của hàng điểm điều hòa trong giải một số bài tốn hình
học sơ cấp………………………………………………………………………22
Chương III: Khám phá ứng dụng của cực và đối cực………………………….43
1. Bài toán về quan hệ vng góc giữa hai đường thẳng…………………..43
2. Bài tốn chứng minh tính thẳng hàng và đồng quy……………………..46
3. Bài toán chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định…………....49
4. Một số bài toán khác………………………………………………….…51
Kết luận………………………………………………………………………...54
Tài liệu tham khảo …………………………………………………………..…55

MỞ ĐẦU

SVTH: Nguyễn Thị Thương


-3-

I. Lý do và mục đích chọn đề tài:
Trong chương trình Hình học các năm học phổ thơng, một lượng lớn các bài
tập là về chứng minh các điểm thẳng hàng, chứng minh các đường thẳng đồng
quy, các bài toán về quan hệ vng góc, song song giữa hai đường thẳng, đường
phân giác của một góc…Đơi khi việc giải các bài tốn này rất khó khăn, chưa
xác định được hướng giải. Tuy nhiên sau khi được học về tỉ số kép, hàng điểm
điều hòa và một số kết quả liên quan của hàng điểm điều hịa thì việc giải một số
bài toán này trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn rất nhiều.
Một trong những mục tiêu giáo dục của nhà trường Trung học phổ thông là
không những truyền thụ cho học sinh kiến thức, rèn luyện nhân cách mà còn dạy

cho các em biết cách học. Nghĩa là dạy cho các em biết cách khai thác kiến thức
sao cho hiệu quả và có được một số phương pháp giải cho từng loại bài tốn.
Thích thú trước các ứng dụng hay, bổ ích của việc dùng hàng điểm điều hịa
trong một số bài toán chứng minh về các điểm thẳng hàng, chứng minh các
đường thẳng đồng quy, chứng minh các đường thẳng vng góc, song song, hai
góc bằng nhau…và với mong muốn có thể nghiên cứu sâu hơn về một mảng
kiến thức ứng dụng vào giải toán nhanh và gọn hơn để tích lũy kinh nghiệm cho
cơng tác giảng dạy của mình sau này, đồng thời cũng mong muốn được góp
thêm một chút tài liệu cho các bạn sinh viên hoặc học sinh quan tâm đến Hình
học phổ thơng, tơi chọn đề tài nghiên cứu: “ Ứng dụng của hàng điểm điều hịa
trong giải một số bài tốn hình học sơ cấp”.
II. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu là sự ứng dụng của hàng điểm điều hòa trong một số
bài toán về chứng minh các điểm thẳng hàng, chứng minh các đường thẳng đồng
quy, các đường thẳng vuông góc, đường phân giác của một góc…Từ đó đưa ra
một số bài toán để thấy được việc dùng hàng điểm điều hịa trong giải tốn hình
học.
Phạm vi nghiên cứu là chương trình tốn phổ thơng, tốn nâng cao phổ
thơng.
Phương pháp nghiên cứu là tìm đọc tài liệu về hàng điểm điều hịa và các
tính chất, các bài tốn về chứng minh tính thẳng hàng, đồng quy, vng góc,

SVTH: Nguyễn Thị Thương


-4-

song song…, phân tích tài liệu, hệ thống hóa, khái quát hóa tài liệu và kiểm
chứng.

LỜI CẢM ƠN

SVTH: Nguyễn Thị Thương


-5-

Việc thực hiện đề tài luận văn này đánh dấu một bước ngoặt to lớn trong đời
tôi: rời giảng đường Đại học Sư phạm để thực sự bước vào đời. Bước ngoặt đó
khiến cho tơi cảm nhận được niềm hân hoan chào đón một tương lai mới mẻ
phía trước, vừa khiến cho tôi lo lắng, hồi hộp cùng biết bao luyến tiếc.
Trước tiên, tôi muốn dành lời cảm ơn cho các thầy cơ đã trực tiếp giảng dạy
và dìu dắt tôi suốt 4 năm đại học. Tôi biết ơn các thầy cô đã truyền thụ cho tôi
kiến thức và giáo dục tôi đạo làm người. Cầu chúc cho các thầy cơ cùng gia đình
sức khỏe, hạnh phúc.
Tơi cũng xin cảm ơn thầy Tần Bình đã nhiệt tình hướng dẫn và sữa chữa
những sai sót của tơi trong q trình thực hiện đề tài luận văn này. Nhờ sự giúp
đỡ tận tình và những lời động viên khích lệ kịp thời của thầy mà tơi có thể hồn
thành tốt hơn luận văn tốt nghiệp của mình.
Sau nữa, tơi muốn cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô cùng các nhân viên
trong trường đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong q trình học tập tại
trường.
Tơi cũng xin cảm ơn gia đình tơi, các bạn bè tơi đã cho tơi mượn tài liệu,
giúp đỡ và động viên tôi suốt thời gian học tập và làm đề tài luận văn này.
Đà Nẵng, ngày 20 tháng 5 năm 2012

Nguyễn Thị Thương

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC NỀN TẢNG

SVTH: Nguyễn Thị Thương


-6-

1. Tỉ số kép và các tính chất của tỉ số kép
Định nghĩa: Cho một tập hợp có thứ tự gồm 4 điểm A, B, C, D phân biệt
cùng nằm trên một đường thẳng đã được định hướng. Ta gọi tỉ số

CA DA
là tỉ
:
CB DB

số kép của 4 điểm A, B, C, D. Kí hiệu (ABCD)

CA DA
= k  k  0,1
:
CB DB
Các tính chất của tỉ số kép:

Ta có  ABCD  


CDAB   BADC    DCBA   ABCD  k



 DCAB    ABDC   CDBA   BACD  



CADB   BDAC    DBCA   ACBD  1  k



 ACDB    DBAC    BDCA   CABD  




1
k

1
1 k
k
 ADCB    DABC    BCDA   CBAD  
k 1
k 1
 DACB    ADBC    CBDA   BCAD  
k

2. Định lý Ceva và định lý Menelauyt:
Cho 3 điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC.
2.1 Định lý Menelauyt:
3 điểm A’, B’, C’ thẳng hàng



C ' A A' B B 'C
.
.
1
C ' B A'C B ' A

2.2 Định lý Ceva:

SVTH: Nguyễn Thị Thương


-7-

3 đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy hoặc song song



C ' A A' B B 'C
.
.
 1
C ' B A'C B ' A

3. Tứ giác toàn phần
Định nghĩa: Tứ giác tồn phần là
một hình được tạo nên bởi 4 đường
thẳng, từng đơi một cắt nhau nhưng
khơng có 3 đường nào đồng quy.
Định lý: Trong một tứ giác toàn

phần, 3 trung điểm của 3 đường chéo
thẳng hàng.
+Chứng minh:

Hình 1
-Trên hình 1, ta có một tứ giác tồn phần với 4 cạnh là AC’, B’C’, CA, BC
với 6 đỉnh là A, B, C, A’, B’, C’ và 3 đường chéo là AA’, BB’, CC’. Ta cần

SVTH: Nguyễn Thị Thương


-8-

chứng minh 3 trung điểm A2 , B2 , C2 của các đường chéo AA’, BB’, CC’ nói trên
thẳng hàng.
-Vì BC
là các đường trung bình của tam giác ABC nên A2 , B2 , C2
1 1 , C1 A1 , AB
1 1
lần lượt thuộc BC
.
1 1 , C1 A1 , AB
1 1
'
A2 B1 AC

Do đó:
A2C1 A' B

B2C1 B' A


B2 A1 B'C
C2 A1 C ' B

C2 B1 C ' A
Nhân từng vế đẳng thức trên ta được:
'
A2 B1 B2C1 C2 A1 AC
B' A C ' B
.
.

.
.
A2C1 B2 A1 C2 B1 A' B B'C C ' A

Vì A’, B’, C’ thẳng hàng nên theo định lý Menelauyt, vế phải bằng 1. Do đó:

A2 B1 B2C1 C2 A1
.
.
1
A2C1 B2 A1 C2 B1
Hệ thức này chứng tỏ ba điểm A2 , B2 , C2 thẳng hàng.
4. Hàng điểm điều hòa:
Định nghĩa: Với 4 điểm thẳng hàng A, B, C, D. Nếu  ABCD   1 thì ta
bảo chúng là một hàng điểm điều hòa ( hoặc A, B chia điều hòa CD hoặc A, B
liên hợp điều hòa với nhau đối với CD).
Ta có :

 ABCD   1 

CA DA
:
 1
CB DB

Hay  ABCD  1 

CA
DA

CB
DB

SVTH: Nguyễn Thị Thương


-9-

Tính chất:
-  ABCD    BADC   CDAB    DCBA  1
- Nếu  ABCD   1 thì

1
 1 , do đó:
 ABCD 

 BACD   ABDC   1
- Hệ thức Decac:

 ABCD   1 

2
1
1


AB AC AD

+ Chứng minh:

AC
BC
BD
BC



AD
BD
AD
AC

Ta có :  ABCD  1 

BA  AD
BA  AC
1 
 1


 2  AB.


AC
AD
 AC AD 
2
1
1



AB AC AD
- Hệ thức Newton:


 ABCD   1  IA

2

 IC.ID với I là trung điểm AB

+ Chứng minh:
Ta có:  ABCD   1 



AC
BC

AI  IC
BI  IC



AD
BD
AI  ID
BI  ID

AI  IC
 AI  IC

(vì I là trung điểm của đoạn AB)
AI  ID
 AI  ID

 IA2  IC.ID
- Hệ thức Maclaurin:

.  CD.CI
 ABCD   1  CACB

với I là trung điểm AB.

+Chứng minh:
Áp dụng hệ thức Decac, ta có:

 ABCD  1 

2
1
1 CA  CB



CD CA CB CACB
.

SVTH: Nguyễn Thị Thương


-10-

 CACB
. 



CD. CA  CB
2

  CACB
.  CD.CI

5. Chùm điều hòa:
5.1 Chùm đường thẳng:
Xét trong một mặt phẳng, ta có:
a. Định nghĩa:
Một tập hợp các đường thẳng đồng quy tại một điểm gọi là một chùm đường

thẳng. Điểm đồng quy gọi là tâm của chùm.
-Mở rộng: Người ta cũng coi một tập hợp các đường thẳng song song là một
chùm đường thẳng có tâm ở vơ tận.
b. Định lý:
Một chùm bốn đường thẳng cắt một cát tuyến thay đổi theo một hàng điểm
có tỉ số kép khơng đổi.
+Chứng minh:
-Giả sử 4 đường thẳng a, b, c, d tâm O cắt 2 cát tuyến m, m’ bất kì khơng
qua tâm O theo các hàng điểm A, B, C, D và A’, B’, C’, D’. Ta cần chứng minh
(ABCD)=(A’B’C’D’).
Qua điểm B ta dựng đường thẳng MBN
song song với đường thẳng a cắt c và d tại
M và N.

CA OA DA OA
,


CB MB DB NB
Chia 2 vế đẳng thức trên ta có:
Ta có:

CA DA NB
CA DA
mà
:

:
  ABCD 
CB DB MB

CB DB
NB
MB
Tương tự, qua điểm B’ dựng đường thẳng B’M’N’ song song với a và cắt c
Nên  ABCD  

và d ở M’ và N’ thì ta cũng có  ABCD  

SVTH: Nguyễn Thị Thương

N 'B'
M 'B'


-11-

Vì BN P B ' N ' nên

N ' B ' NB

hay  ABCD    A ' B ' C ' D '
M ' B ' MB

c. Định nghĩa:
Tỉ số kép khơng đổi nói trên được gọi là tỉ số kép của chùm đường thẳng a,
b,c, d và được kí hiệu là (abcd).

5.2 Chùm điều hịa:
a. Định nghĩa:
Trong định nghĩa trên, nếu  abcd   1

thì ta bảo bốn đường thẳng a, b, c, d làm
thành một chùm điều hòa.
b. Định lý :
Cho  OA, OB, OC, OD  1 . Một đường thẳng d bất kì cắt các cạnh
OA,OB,OC,OD lần lượt tại E,F,G,H. Khi đó ta có  EFGH   1 .
+Chứng minh:
Vì  ABCD   1
mà  EFGH    ABCD  (theo định lý
trên )
 đpcm.

SVTH: Nguyễn Thị Thương


-12-

d. Định lý chùm điều hòa:
Cần và đủ để 4 đường thẳng đồng quy làm thành một chùm điều hòa là một
đường thẳng song song với một trong bốn đường đó bị 3 đường cịn lại chia
thành 2 đoạn thẳng bằng nhau.
+Chứng minh:

"  " Giả sử  abcd   1
Qua B, kẻ đường thẳng d’ song song với đường thẳng a, cắt c, d tại M, N.
Ta có:

CA
OA
DA
OA

 MB  NB



CB
MB
DB
NB
 B là trung điểm của đoạn thẳng MN.
"  " Giả sử B là trung điểm của đoạn MN, d’ đi qua B và song song với
đường thẳng a, d’ cắt đường thẳng c, d tại M, N.
Ta cần chứng minh  abcd   1
Ta có B là trung điểm của đoạn MN  MB  NB 
Lại có

CA OA DA OA
,


CB MB DB NB

CA DA OA OA NB
:

:

 1
CB DB MB NB MB
  ABCD   1   abcd   1 (đpcm)


SVTH: Nguyễn Thị Thương

NB
 1
MB


-13-

e. Hệ quả:
+ Nếu một chùm điều hịa có 2 đường liên hợp vng góc nhau thì chúng là
những phân giác của góc tạo bởi 2 đường cịn lại.
+ Đảo lại, 2 đường phân giác của một góc tạo bởi 2 đường thẳng chia điều
hịa 2 cạnh của góc đó.
Chứng minh:
+ Giả sử chùm điều hòa tâm O với  abcd   1 có c, d là hai tia liên hợp
vng góc nhau.
Vẽ đường thẳng  song song với d, cắt a, b, c lần lượt tại A, B, C.
Vì  abcd   1 nên C là trung điểm của AB (theo định lý chùm điều hịa).
Vì  Pd , c  d    c hay

OC  AB
 OAB là tam giác cân tại O nên
OC là phân giác trong của góc AOB
 d là phân giác ngồi của góc AOB.
+ Gọi OC, OD lần lượt là phân giác trong và ngồi của góc aOb.
Từ một điểm C trên tia OC vẽ một cát tuyến  song song với Od cắt lần
lượt Oa, Ob tại A, B.
Ta có   Oc tại C.

 Tam giác AOB cân tại O nên ta có CA  CB và C là trung điểm của
đoạn AB. Theo định lý chùm điều hịa ta có a, b, c, d là một chùm điều hòa.
 Cách dựng đường liên hợp điều hòa
thứ tư (d) của (c) đối với (a) và (b):
- Vẽ  P a  cắt (b) và (c) ở B và C.
- Trên  lấy D sao cho BD  BC (B là
trung điểm CD)
- (OD) là đường thẳng (d) cần dựng.

SVTH: Nguyễn Thị Thương


-14-

6. Đường tròn trực giao:
Định nghĩa:
Hai đường tròn gọi là trực giao với nhau tại một điểm chung A của chúng
nếu 2 tiếp tuyến ở A của 2 đường tròn đó vng góc nhau.

Các định lý:
a. Định lý 1:
Điều kiện cần và đủ để 2 đường tròn trực giao với nhau là bình phương
khoảng cách giữa 2 tâm bằng tổng bình phương các bán kính của chúng.
b. Định lý 2:
Điều kiện cần và đủ để 2 đường tròn trực giao với nhau là phương tích của
tâm của 1 trong 2 đường trịn đó đối với đường trịn thứ 2 bằng bình phương bán
kính của đường trịn thứ nhất.
c. Định lý 3:
Điều kiện cần và đủ để 2 đường tròn trực giao với nhau là có một đường

kính nào đó của 1 trong 2 đường tròn bị đường tròn kia chia điều hòa.
7. Tứ giác điều hòa:
Định nghĩa:
Tứ giác ABCD nội tiếp và thỏa

AB CB

được gọi là tứ giác điều hòa.
AD CD

Định lý về tứ giác điều hòa:
Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A ta kẻ 2 tiếp tuyến
AB, AC và kẻ một cát tuyến AMN bất kì. Khi đó, BMCN là 1 tứ giác điều hịa.
Chứng minh:
·
·
·
ABM , CNM
·
ACM
Ta có: BNM

SVTH: Nguyễn Thị Thương


-15-

Suy ra ABM : ANB

ACM : ANC

 AM BM
 AB  BN

 AM  CM
 AC CN
Lại có: AB=AC (tính chất tiếp tuyến)
BM CM


BN CN
Suy ra BMCN là tứ giác điều hịa.
Các tính chất của tứ giác điều hịa:
Tính chất 1:
Cho tứ giác điều hịa ABCD nội tiếp (O) có

AB DA

 k thì (O) trực giao
BC DC

với đường trịn Apolloius tỉ số k dựng trên AC.
Chứng minh:

FA EA

k
FC EC
Vì E nằm trong đoạn AC, F nằm ngoài đoạn AC
Lấy E, F trên AC sao cho

FA
EA

  FECA  1 (1)
FC
EC
AB EA

 k  BE là

BC EC
phân giác của ·
(2)
ABC


DA EA

 k  DE là
DC EC
phân giác của ·
(3)
ADC
Từ (1), (2) và (3)  B, D nằm
trên đường trịn đường kính EF với
E, F là chân đường phân giác trong
và ngoài của góc B.


SVTH: Nguyễn Thị Thương


-16-

Gọi I là trung điểm của EF.

 B, D   I 
Ta cần chứng minh (O) và (I) trực giao  ta chứng minh IB là tiếp tuyến
của (O).
Ta có  ACEF   1, I là trung điểm của EF  IE2  IA.IC
Mà tam giác IEB cân tại I  IE  IB

 IB2  IA.IC  IB là tiếp tuyến của (O). (đpcm)
Tính chất 2 :
Tứ giác ABCD nội tiếp (O) là tứ giác điều hòa khi và chỉ khi AC, tiếp tuyến
tại B, tiếp tuyến tại D của (O) đồng quy.(AC, BD khác đường kính)
Chứng minh :
 Đúng theo định lý về tứ giác điều hịa.
 Đúng theo tính chất 1.
Tính chất 3 :
Cho ABCD là tứ giác điều hịa thì AC.BD  2 AB.CD  2BC. AD
Chứng minh:
AB CB
 AB.CD  AD.CB

ABCD là tứ giác điều hòa nên
AD CD
Mặt khác, ABCD nội tiếp nên theo định lý Ptolemy thì
AC.BD  AB.CD  AD.BC

Do đó AC.BD  2 AB.CD  2BC. AD
Tính chất 4:
Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại B và D cắt nhau tại
M, I  AC  BD . Khi đó  MICA  1 .
Chứng minh:

SVTH: Nguyễn Thị Thương


-17-

Ta có:

·
MC SMCD CD.sin MDC


·
MA SMAD AD.sin MDA
Và

·
IC SICB BC.sin IBC


·
IA SIBA BA.sin IBA

CD BC
·  sin MDC

·

, sin ·
ABI  sin ·
ADM , sin IBC
AD AB
MC IC

Suy ra
, mà M nằm ngoài đoạn AC, I nằm trong đoạn AC
MA IA
Mà

MC
IC
    MICA  1 (đpcm).
MA
IA
Tính chất 5:
Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O). Gọi M là giao điểm của 2 tiếp
tuyến của (O) tại B và D, I  OM  BD . Khi đó IB là phân giác của góc AIC.


Chứng minh:
Ta có AC cắt BD tại K thì  MKAC   1 .
Ta có I  MKAC   1 và IM vng góc IK nên IM, IK lần lượt là phân giác
trong và ngồi của góc AIC.
8. Cực và đối cực:
8.1 Đường đối cực của một điểm đối với hai đường thẳng cắt nhau:
8.1.1: Định nghĩa 1:

Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau đối với hai đường thẳng đồng quy
Ox, Oy nếu đường thẳng MN cắt hai đường thẳng đó tại hai điểm A, B sao cho

 MNAB   1
SVTH: Nguyễn Thị Thương


-18-

8.1.2: Bài tốn 1:
Cho một điểm M khơng thuộc hai đường thẳng Ox, Oy. Hãy tìm tập hợp các
điểm N liên hợp với M đối với hai đường thẳng đã cho.
Giải:
+ Qua M ta kẻ một đường thẳng lần lượt cắt Ox, Oy tại A và B. Ta lấy trên
đường thẳng đó một điểm N sao cho  MNAB   1. Nếu kẻ đường thẳng Oz đi
qua O và N thì ta có chùm  OM , Oz,Ox, Oy  là một chùm điều hịa và do đó nói
chung mọi điểm của đường thẳng Oz đều liên hợp với điểm M đối với hai đường
thẳng đồng quy Ox, Oy. Riêng đối với hai điểm P và Q thuộc Oz mà MP POx,

MQ POy ta phải loại ra vì lúc đó các đường thẳng MP và MQ đều khơng cắt cả
hai đường thẳng Ox và Oy.
+ Ngược lại, nếu N1 là một điểm
khơng thuộc đường thẳng Oz nói
trên thì khơng liên hợp với M vì khi
đó nếu đường thẳng MN1 cắt Ox,
Oy, Oz lần lượt tại A’, B’, N’ thì ta
có:

 MN ' A' B '  1 cịn
 MN A' B '   MN ' A' B ' nên

 MN A' B '  1. Do đó N không
1

1

1

liên hợp với M đối với hai đường thẳng Ox, Oy.
Vậy tập hợp các điểm N liên hợp với điểm M đối với hai đường thẳng Ox,
Oy là đường thẳng Oz loại trừ hai điểm P, Q nói trên .
SVTH: Nguyễn Thị Thương


-19-

8.1.3 Định nghĩa 2:
Đường thẳng Oz trong bài toán 1 nói trên gọi là đường đối cực của điểm M
đối với hai đường thẳng Ox, Oy. Còn điểm M gọi là cực của đường thẳng Oz đối
với hai đường thẳng đó.
8.4 Nhận xét:
Muốn dựng đường đối cực của một điểm M đối với hai đường thẳng Ox, Oy
cho trước, dựa vào tính chất của hình tứ giác tồn phần ta tìm hai điểm P và Q
phân biệt đều cùng liên hợp với M đối với Ox, Oy nói trên. Ta có PQ là đường
đối cực của điểm M đối với Ox, Oy và PQ luôn đi qua điểm O.
8.2. Đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn.
8.2.1 Định nghĩa 3:
Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau đối với đường tròn (O), nếu đường
tròn đường kính MN trực giao với đường trịn (O).

8.2.2 Hệ quả:

Nếu đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại 2 điểm A và B thì cần và đủ để
M và N liên hợp với nhau đối với đường tròn (O) là  MNAB   1
Nhận xét:
Hai điểm M, N có thể liên hợp với nhau đối với đường trịn (O) mà đường
thẳng MN khơng cắt đường trịn này.
8.2.3 Bài tốn 2:
Cho đường trịn (O) và một điểm M khơng trùng với tâm O của đường trịn
đó. Hãy tìm tập hợp những điểm N liên hợp của M đối với đường tròn (O) đã
cho.
Giải:
SVTH: Nguyễn Thị Thương


-20-

Nếu N là điểm liên hợp của M đối với đường trịn (O) thì theo định nghĩa,
đường trịn đường kính MN trực giao với đường trịn (O). Khi đó đường kính AB
đi qua M của đường trịn (O) bị đường trịn đường kính MN chia điều hịa. Gọi H
là giao điểm thứ hai của đường trịn đường kính MN với đường thẳng AB. Ta có

 ABMH   1
Trong hàng điểm điều hịa A, B,
M , H, điểm H hồn tồn được xác
định vì ba điểm A, B, M đã được xác
định. Mặt khác do MN là đường kính
nên MH  HN . Nói cách khác,
điểm N nằm trên đường thẳng m
vng góc với đường thẳng MO tại
H.
Ngược lại nếu N’ là một điểm

bất kì của đường thẳng m thì đường trịn đường kính MN’ đi qua H và do

 ABMH   1 nên đường trịn đường kính MN’ trực giao với đường tròn
(O).Vậy điểm N’ liên hợp với điểm M đối với đường tròn (O).
Vậy tập hợp những điểm N liên hợp với điểm M đối với một đường trịn (O)
cho trước là một đường thẳng m vng góc với đường thẳng MO tại H với

 MHAB   1, trong đó A, B là giao điểm của đường thẳng MO với đường tròn
tâm O.
8.2.4 Định nghĩa 4:
Đường thẳng m trong bài tốn 2 nói trên gọi là đường đối cực của điểm M
đối với đường tròn (O). Còn điểm M gọi là cực của đường thẳng m đối với
đường trịn (O) nói trên .
Như vậy mỗi điểm M khơng trùng với điểm O của đường trịn tâm O có một
đường đối cực xác định và ngược lại ta cũng thấy rằng mỗi đường thẳng không
đi qua O có một điểm cực xác định đối với một đường trịn tâm O cho trước.
8.2.5 Nhận xét: Vì  ABMH   1 nên đường đối cực m của điểm M đối với
đường trịn (O) sẽ cắt, khơng cắt hay tiếp xúc với đường trịn (O) tùy theo M ở
ngồi, ở trong hay ở trên đường tròn tâm O.
SVTH: Nguyễn Thị Thương


-21-

Do đó, muốn dựng đường đối cực của một điểm M ta thường làm như sau:
+ Nếu điểm M nằm ngồi đường trịn (O) thì từ M ta vẽ 2 đường tiếp tuyến
MI, MK với đường tròn với I và K là 2 tiếp điểm. Khi đó, đường thẳng IK là
đường đối cực của điểm M cho trước.

+ Nếu điểm M nằm trong đường trịn thì ta vẽ đường thẳng vng góc

với MO tại M. Đường thẳng này cắt đường
trịn tại hai điểm R và S. Các tiếp tuyến của
đường tròn tại R và S cắt nhau tại H. Đường
thẳng m vng góc với đường thẳng MO tại H
là đường đối cực của điểm M cho trước.

+ Nếu điểm M nằm trên đường trịn thì tiếp tuyến tại M của đường trịn
chính là đường đối cực của điểm M cho trước.

SVTH: Nguyễn Thị Thương


-22-

8.3. Các tính chất của cực và đường đối cực đối với một đường tròn
8.3.1 Định lý 1:
Đối với một đường tròn cho trước, nếu đường đối cực của điểm A đi qua
điểm B thì đường đối cực của điểm B đi qua điểm A.
Chứng minh:
Nếu điểm B nằm trên đường đối cực a của điểm A thì A và B là hai điểm liên
hợp đối với đường tròn cho trước. Mặt khác tập hợp các điểm liên hợp của điểm
B là đường đối cực b của điểm B đó. Vậy điểm A phải nằm trên đường đối cực b
của điểm B.
Định lý trên có thể tóm tắt như sau: B  a  A  b
8.3.2 Định nghĩa 5:
Hai đường thẳng a, b được gọi là liên hợp với nhau đối với một đường tròn
cho trước nếu đường này đi qua cực của đường kia.
8.3.3 Định lý 2:
Đối với một đường tròn cho trước, các đường đối cực của các điểm thẳng
hàng thì đồng quy và các cực của các đường thẳng đồng quy thì thẳng hàng.

Chứng minh:
Theo định lý 1, giả sử các điểm A1, A2,…, An nằm trên đường thẳng b nghĩa là
các điểm Ai  b với i = 1, 2, …, n thì điểm B thuộc các đường thẳng ai (i = 1, 2,
…, n) trong đó điểm B là cực của đường thẳng b và ai là các đường đối cực của
các điểm Ai . Vậy các đường đối cực của các điểm Ai đều đồng quy tại điểm B.
Tương tự ta chứng minh được các cực của các đường thẳng đồng quy thì
thẳng hàng.
Giả sử a1, a2 , a3 ,..., an đồng quy tại điểm B, và các điểm A1, A2 , A3 ,..., An lần
lượt là cực của các đường thẳng a1, a2 , a3 ,..., an .
Gọi B là đường đối cực của điểm B.









Vì B  ai i  1, n  Ai  b i  1, n (theo định lý 1)
Vậy cực của các đường thẳng đồng quy thì thẳng hàng.
8.3.4 Hệ quả:
OS vng góc với đường đối cực của S, với O là tâm đường tròn xét cực và
đối cực.
SVTH: Nguyễn Thị Thương


-23-

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA

TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC SƠ CẤP.
Bài tốn 1:
Cho 4 điểm A, B, C, D lập thành hàng điểm điều hòa. Chứng minh:
a,

1
1
1
1



0
AC AD BC BD

b, AB.CD  2BC.DA
c, AB 2  CD 2  4 EF 2 với E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Giải:

2
1
1


(1)
AB AC AD
2
1
1
(2)

 ABCD   1   
BA BC BD
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta có:
a,  ABCD   1 

1
1
1
1
1 
 1



 2


AC AD BC BD
 AB BA 
 AB  BA 
 2
0
 AB.BA 
b,  ABCD   1 

AC
BC

 AC.BD   AD.BC
AD

BD
2

 AB.BC  AB.CD  BC  BC.CD   AD.BC



 AB.CD  BC AB  BC  CD  AD



 ABCD
.  2BC.AD  2BC.DA





2

c, AB2  CD2  4EF 2  EA2  FC 2  EF 2  EF  FA  FA.FB  EF 2

 EF.FA  EF.FA  FA2  FA.FB  0













 FA. EF.FA  FA. EF.FB  0  FA. EA  EB  0 (đpcm)
Bài toán 2:
Cho 4 đường thẳng a, b, c, d đồng quy tại O. Một đường thẳng (l) cắt a, b, c,
d tại A, B, C, D. Khi đó:
SVTH: Nguyễn Thị Thương


-24-










uuur uuur
uuur uuur
sin OA, OC sin OB, OC
 abcd    ABCD   uuur uuur : uuur uuur
sin OA, OD sin OB, OD
Giải:

Ta có:
uuur uuur
sin OA, OC sin
uuur uuur :
sin OA, OD sin









SOAC SOBD
.
SOAD SOBC










uuur uuur
SOAC
SOBC

OB, OC
.
: OB.OC
uuur uuur  OAOC
S
SOBD
OAD
OB, OD
OAOD
.
OB.OD
AC BD AC BC

.

:
  ABCD 
AD BC AD BD

Bài tốn 3:
Cho một chùm điều hịa  abcd   1. Chứng minh nếu từ một điểm nào đó
ta dựng các đường thẳng a’, b’, c’, d’ theo thứ tự vng góc với a, b, c, d thì

 a 'b ' c ' d '  1.
Từ đó suy ra nếu 2 chùm điều hịa, mỗi chùm có 3 đường thẳng tương ứng
vng góc nhau thì 2 đường thẳng cịn lại của mỗi chùm cũng vng góc nhau.
Giải:

-Do a  a ', b  b ', c  c ', d  d ' nên

 a, c    a ', c ' ,  a, d    a ', d ' , b, c   b ', c ' , b, d   b ', d '
Theo bài toán 2 ta có:

 a, c  : b, c    a ', c ' : b ', c '  a 'b ' c ' d '


 a, d  b, d   a ', d ' b ', d '
Mà  abcd   1 nên suy ra  a ' b ' c ' d '  1
 abcd  

SVTH: Nguyễn Thị Thương


-25-

Bài toán 4:
Cho 2 đường thẳng a và a’ cắt nhau tại A và giả sử trên a ta có 4 điểm A, B,
C, D sao cho  ABCD   1 và trên a’ ta có 4 điểm A, B’, C’,D’ sao cho

 AB 'C ' D '  1 . Chứng minh rằng 3 đường thẳng BB’, CC’, DD’ hoặc đồng
quy hoặc song song nhau.
Giải:
 Trường hợp 1: Nếu BB ' CC '  O
Giả sử tia OD cắt a’ tại D’’

Vì  ABCD   1 nên  AB ' C ' D ''  1
Mặt khác theo giả thiết  AB ' C ' D '  1  D '  D '' nghĩa là DD’ đi qua O.
 Trường hợp 2: Nếu BB ' PCC '
Từ A và D ta vẽ các đường thẳng song song với CC’ và BB’.
Đường thẳng song song đi qua D cắt AB’ tại D’’ và ta chứng minh D’’ trùng

với D’.Vậy các đường thẳng BB’, CC’, DD’ song song với nhau.
Bài toán 5:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). M, N là trung điểm của AB, CD. Đường tròn
ngoại tiếp tam giác ANB giao với CD tại Q, đường tròn ngoại tiếp tam giác
DMC giao với AB tại P. Chứng minh rằng AC, BD, PQ đồng quy.
Giải:
Gọi J  AB  CD
Ta có:

PJ / ABCD  JC.JD  JA.JB
PJ /CDM   JC.JD  JP.JM
SVTH: Nguyễn Thị Thương