Đại số Lie thu gọn và môđun nửa đơn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

ĐINH PHÚ HOÀNG

ĐẠI SỐ LIE THU GỌN
VÀ MÔĐUN NỬA ĐƠN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.01.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2020


Cơng trình được hồn thành tại
Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Phản biện 1:
...........................................................
Phản biện 2:
...........................................................

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn thạc sĩ Khoa
học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày ... tháng ...
năm 2019.

Có thể tìm hiểu luận văn tại :

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.


MỤC LỤC
Lời nói đầu

1

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

2

1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.

Đại số Lie và đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Đồng cấu và biểu diễn của đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Dạng Killing của đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Đại số Lie lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Đại số Lie giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Đại số Lie đơn và đại số Lie nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

CHƯƠNG 2. Môđun nửa đơn và đại số Lie thu gọn

12

2.1. Môđun nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1. Môđun trên đại số Lie và đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
2.1.2. Môđun đơn và môđun nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
2.2. Đại số Lie thu gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1. Định nghĩa và Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2. Đại số Lie con thu gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Kết luận

21

TÀI LIỆU THAM KHẢO

22


1

LỜI NÓI ĐẦU
Một trong các cấu trúc cơ bản của lý thuyết Lie và đại số hiện đại là
đại số Lie, được xét như là một không gian véctơ cùng với một ánh xạ song
tuyến tính phản xứng thỏa đồng nhất thức Jacobi. Các lớp đại số Lie tiêu
biểu như đại số Lie lũy linh, đại số Lie giải được, đại số Lie đơn, đại số Lie
nửa đơn,...với nhiều đặc trưng thú vị đã và đang được khảo sát trong mối
liên hệ mật thiết với cấu trúc nhóm Lie và lý thuyết biểu diễn.
Đại số Lie g được gọi là đại số Lie thu gọn (reductive Lie algebra) nếu với
mỗi idean a của g tồn tại idean b của g sao cho g = a ⊕ b. Lớp các đại số
Lie này thực sự mở rộng lớp các đại số Lie nửa đơn và được đồng nhất với
lớp các đại số Lie có tâm trùng với radical của chúng. Hơn nữa, có thể xét
các đại số Lie thu gọn như là các môđun nửa đơn cảm sinh từ biểu diễn liên

hợp của chúng.
Với mong muốn tìm hiểu thêm về đại số Lie thu gọn và mối liên hệ giữa đại
số Lie thu gọn với môđun nửa đơn, cùng với sự gợi ý của PGS. TS. Trần
Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài "Đại số Lie thu gọn và môđun nửa đơn"làm
đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình.


2

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm, tính chất
cơ bản về đại số Lie và biểu diễn liên hợp, đại số Lie đơn, đại số Lie
nửa đơn và dạng Killing của đại số Lie. Các nội dung trình bày trong
chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [4], [8].

1.1. Đại số Lie và đồng cấu
Định nghĩa 1.1.1. Cho g là một khơng gian vectơ trên trường K.
Khi đó, g được gọi là đại số Lie trên trường K nếu tồn tại phép tốn
[ , ] : g × g −→ g
(A, B) −→ [A, B]

sao cho
(1) [ , ] tuyến tính theo từng biến;
(2) [A, A] = 0, ∀A ∈ g;
(3) [ , ] thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi, tức là
[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0, ∀A, B, C ∈ g.

Số chiều của khơng gian vectơ g, kí hiệu dimK (g), được gọi là số chiều
của đại số Lie g và [ , ] gọi là tích Lie.
Đại số Lie g được gọi là giao hoán nếu [A, B] = 0, ∀A, B ∈ g.
Ví dụ 1.1.2.
Nhận xét 1.1.3.
Định nghĩa 1.1.4. Cho g là đại số Lie trên trường K và tập con
h ⊂ g. Khi đó, h được gọi là đại số Lie con của g nếu:
(1) h là không gian vectơ con của g;
(2) h bảo tồn tích Lie, tức là ∀A, B ∈ h, ta có [A, B] ∈ h.


3

Với a, b ⊂ g, kí hiệu
[a, b] = {[A, B]|A ∈ a, B ∈ b} ⊂ g

là không gian vectơ con sinh bởi tập hợp {[A, B]|A ∈ a, B ∈ b}. Khi đó,
điều kiện (2) có dạng [h, h] ⊂ h.
Ví dụ 1.1.5.
Ví dụ 1.1.6. Cho g là một đại số Lie trên trường K và a là một khơng
gian vectơ con của g. Khi đó:
Zg (a) = {X ∈ g | [X, Y ] = 0, ∀Y ∈ a}

là một đại số Lie con của g, gọi là tâm hóa của a trong g.
Định nghĩa 1.1.7. Cho đại số Lie g và a ⊂ g. Ta gọi a là iđêan của
g nếu:
(1) a là không gian vectơ con của g;
(2) [a, g] ⊂ a.
Nhận xét 1.1.8.
Ví dụ 1.1.9.

Mệnh đề 1.1.10. Cho a, b là các iđêan của g . Khi đó a ∩ b, a + b,
[a, b] là các iđêan của g.
Hệ quả 1.1.11. [g, g] là iđêan của g
Mệnh đề 1.1.12. Cho g là một đại số Lie , a là một iđêan của g.
Khi đó khơng gian véctơ thượng g/a = {X + a | X ∈ g} là một đại số
Lie với tích Lie [X + a, Y + a] = [X, Y ] + a.
Định nghĩa 1.1.13. Đại số Lie g/a trong mệnh đề 1.1.12 được gọi
là đại số Lie thương của đại số Lie g theo iđêan a.

1.2. Đồng cấu và biểu diễn của đại số Lie
Định nghĩa 1.2.1. Cho g và h là các đại số Lie trên trường K. Khi
đó, ánh xạ ϕ : g −→ h được gọi là đồng cấu đại số Lie nếu
a) ϕ là ánh xạ tuyến tính;
b) ϕ bảo tồn tích Lie, tức là
ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )], ∀X, Y ∈ g.


4

Đồng cấu ϕ được gọi là đơn (toàn, đẳng) cấu nếu ϕ là đơn (toàn, song)
ánh.
Đại số Lie g được gọi là đẳng cấu với h , ký hiệu g ∼
= h, nếu tồn tại
ϕ : g −→ h là đẳng cấu đại số Lie. Khi đó, Kerϕ = {X ∈ g|ϕ(X) = 0}
được gọi là nhân của ϕ và Imϕ = {ϕ(X)|X ∈ g} là ảnh của ϕ.
Nhận xét 1.2.2.
Định nghĩa 1.2.3. Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều và
g là đại số Lie trên cùng trường K. Khi đó, một biểu diễn của g trong V là
một đồng cấu đại số Lie π : g → gl(V ), trong đó gl(V ) là đại số Lie các tự
đồng cấu tuyến tính của V .

Ví dụ 1.2.4.
Mệnh đề 1.2.5. Ký hiệu ad g = {adX | X ∈ g} là một tập con
của đại số Lie gl(g). Khi đó, ad g là một đại số Lie con của gl(g).
Ví dụ 1.2.6.
Định nghĩa 1.2.7. Cho V là không gian véc-tơ hữu hạn chiều và
g là đại số Lie trên trường K. Xét biểu diễn ̺ của g trong V và W là
không gian véc-tơ con của V . Khi đó, W được gọi là bất biến đối với ̺ nếu
̺(X)(W ) ⊂ W với mọi X ∈ g. Điều này được thể hiện trong công thức sau:
̺:

g −→ gl(V )
X −→ ̺(X) : V −→ V
W ⊂ V −→ ̺(X)(W ) ⊂ W.

Định nghĩa 1.2.8. Cho ̺ : g −→ gl(V ) là một biểu diễn của đại số
Lie g trong không gian véc-tơ hữu hạn chiều V. Xét W là không gian véc-tơ
con bất biến của V . Khi đó, ta có các biểu diễn của g như sau:
̺W :

g −→ gl(W )
X −→ ̺(X) : W −→ W
v −→ ̺(X)(v)

̺∗ :

g −→ gl(V /W )
X −→ ̺∗ (X) : V /W −→ V /W
v + W −→ ̺(X)(v) + W.

5

̺W và ̺∗ lần lượt được gọi là biểu diễn con và biểu diễn thương của ̺.

Định nghĩa 1.2.9. Biểu diễn ̺ của đại số Lie g trong không gian
vectơ V được gọi là đơn hay bất khả quy nếu V = {0} và chỉ có duy nhất
các khơng gian véc-tơ con bất biến là {0} và V .
Định nghĩa 1.2.10. Cho V1 , V2 là các không gian véc-tơ hữu hạn
chiều và g là đại số Lie trên cùng trường K. Xét các biểu diễn của g trong
V1 và V2
̺1 : g −→ gl(V1 ), ̺2 : g −→ gl(V2 ).
Khi đó, ta xác định được một biểu diễn của g lên tổng trực tiếp V = V1 ⊕ V2
của các không gian vectơ như sau:
̺:

g −→ gl(V )
X −→ ̺(X) : V −→ V
v = v1 + v2 −→ ̺(X)(v) = ̺1 (X)(v1 ) + ̺2 (X)(v2 )

với mọi X ∈ g và v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 . Biểu diễn ̺ = ̺1 ⊕ ̺2 được gọi là tổng
trực tiếp của các biểu diễn ̺1 và ̺2 .
Định nghĩa trên có thể mở rộng cho một họ các biểu diễn của đại số
Lie g như sau:
Định nghĩa 1.2.11. Cho V1 , ..., Vn là n không gian véc-tơ hữu hạn
chiều, V = V1 ⊕ ... ⊕ Vn . Gọi ̺i biểu diễn của đại số Lie g trong Vi với
i = 1, n. Khi đó ta có biểu diễn ̺ của g trong V xác định bởi
̺ : g −→ gl(V )
X −→ ̺(X) : V −→ V
v −→ ̺(X)(v) = ̺1 (X)v1 + ... + ̺n (X)vn , v = v1 + ... + vn .

Biểu diễn ̺ được gọi là tổng trực tiếp của các biểu diễn ̺1 , ..., ̺n và ký hiệu
là ̺ = ̺1 ⊕ ... ⊕ ̺n . Trong trường hợp ̺1 , ..., ̺n là các biểu diễn bất khả
quy, biểu diễn ̺ được gọi là nửa đơn hay khả quy hoàn toàn.

1.3. Dạng Killing của đại số Lie
Định nghĩa 1.3.1. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều trên trường K.
Khi đó, ánh xạ
B : g × g −→ K


6

(X, Y ) −→ B(X, Y ) = Tr(adX ◦ adY )

là một dạng song tuyến tính trên g và được gọi là dạng Killing của g.
Từ định nghĩa của dạng Killing ta thu được một số tính chất sau:
Mệnh đề 1.3.2. Với mọi X, Y, Z ∈ g, ∀α ∈ K ta có
B(X, Y ) = B(Y, X);
B(αX, Y ) = αB(X, Y );
B(X + Y, Z) = B(X, Z) + B(Y, Z).

Mệnh đề 1.3.3. Với mọi X, Y, Z ∈ g ta có
B([X, Y ], Z) = −B(Y, [X, Z]).

Mệnh đề 1.3.4. Cho g là một đại số Lie trên trường K và a là một
iđêan bất kỳ của đại số Lie g. Đặt a⊥ = {X ∈ g | B(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ a}.
Khi đó, a⊥ là một iđêan của g.
Một tính chất quan trọng của dạng Killing là không thay đổi giá trị
qua mọi đẳng cấu đại số Lie. Điều này thể hiện trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3.5. Mọi đẳng cấu đại số Lie ϕ : g → g đều bảo toàn

dạng Killing, tức là với mọi X, Y ∈ g, ta có
B(X, Y ) = B(ϕ(X), ϕ(Y )).

Phép chứng minh của các mệnh đề trên có thể tham khảo ở tài liệu [1].
Định nghĩa 1.3.6. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều và B là dạng
Killing tương ứng. Ký hiệu
rad B = {X ∈ g | B(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ g}.

Ta có rad B là một iđêan của g. Dạng Killing B được gọi là không suy
biến nếu rad B = {0}.
Ví dụ 1.3.7.

1.4. Đại số Lie lũy linh
Định nghĩa 1.4.1. Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường
K. Khi đó, ta định nghĩa
g0 = g, g1 = [g0 , g], g2 = [g1 , g], ..., gk = [gk−1 , g], ...
Dãy giảm g0 ⊇ g1 ⊇ g2 ⊇ ... ⊇ gk ⊇ ... được gọi là chuỗi tâm dưới của g.
Đại số Lie g được gọi là lũy linh nếu tồn tại k ∈ N sao cho gk = 0.


7

Kết quả dưới đây cho chúng ta các điều kiện cần và đủ của một đại số
Lie lũy linh.
Mệnh đề 1.4.2. Cho g là đại số Lie trên trường K. Khi đó, các
điều kiện sau là tương đương:
i) g là đại số Lie lũy linh.
ii) Tồn tại một số nguyên dương l thỏa mãn
[[...[[X0 , X1 ], X2 ]..., Xl−1 , Xl ] = 0, ∀X0 , X1 , ..., Xl ∈ g.

iii) Tồn tại một dãy giảm C 0 g, C 1 g, ..., C l g các iđêan của g thỏa
mãn
C 0 g = g, C l g = 0, [C i g, g] ⊆ C i+1 g, i < l.

Ví dụ 1.4.3.
Mệnh đề 1.4.4. Cho g là đại số Lie lũy linh. Khi đó, các đại số
Lie con và đại số Lie thương của g đều lũy linh.
Mệnh đề đảo của Mệnh đề 1.4.4 nói chung khơng đúng. Tuy nhiên, với
trường hợp tâm của đại số Lie g ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.4.5. Cho g là đại số Lie lũy linh. Khi đó,
i) Nếu g là đại số Lie khác khơng thì Z(g) cũng khác 0.
ii) Nếu g/Z(g) là đại số Lie lũy linh thì g cũng là đại số Lie lũy
linh.
Định nghĩa 1.4.6. Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều trên
trường K và End V là không gian vectơ các tự đồng cấu tuyến tính của V .
Khi đó, tự đồng cấu f ∈ End V được gọi là lũy linh nếu tồn tại n ∈ N sao
cho f n = f ◦ f ◦ ... ◦ f = 0.
Định lí Engel dưới đây cho ta mối liên hệ mật thiết giữa đại số Lie các
tự đồng cấu lũy linh của V với đại số Lie các ma trận có dạng tam giác trên
với đường chéo bằng khơng.
Phép chứng minh định lí có thể tham khảo ở tài liệu [1, Định lý 1.5.9].
Định lý 1.4.7. (Định lí Engel) Cho V là khơng gian vectơ hữu
hạn chiều trên trường K, g là đại số Lie gồm các tự đồng cấu lũy linh
của V . Khi đó,


8

i) g là lũy linh.
ii) Tồn tại phần tử v khác không của V sao cho với mọi X ∈ g,

X(v) = 0.
iii) Tồn tại một cơ sở của V sao cho ma trận của X ∈ g có dạng
tam giác trên ngặt.
Mệnh đề sau cho thấy vai trò của biểu diễn liên hợp trong việc xác định
tính lũy linh của đại số Lie.
Mệnh đề 1.4.8. Cho g là đại số Lie. Xét ad g = {adX | X ∈ g}.
Khi đó, g là đại số Lie lũy linh nếu và chỉ nếu đại số Lie ad g là lũy
linh.
Từ định lí Engel và mệnh đề trên ta thu được một điều kiện cần và đủ
cho các đại số Lie lũy linh.
Mệnh đề 1.4.9. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều. Khi đó, g là
lũy linh nếu và chỉ nếu adX là lũy linh với mọi X ∈ g.
Ví dụ 1.4.10.

1.5. Đại số Lie giải được
Định nghĩa 1.5.1. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều trên trường K.
Đặt g0 = g, g1 = [g, g], ..., gk+1 = [gk , gk ], ...
Ta có một dãy giảm g0 ⊃ g1 ⊃ ... ⊃ gk ⊃ ... được gọi là chuỗi hốn
tử của g.
Khi đó, g được gọi là giải được nếu ∃k ∈ N : gk = {0}.
Ví dụ 1.5.2.
Bằng phép chứng minh qui nạp ta có tính chất sau:
Mệnh đề 1.5.3. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều. Với mỗi k ∈ N
ta đều có gk ⊆ gk .
Từ Mệnh đề 1.5.3 ta suy ra rằng: Nếu g là đại số Lie lũy linh thì g giải
được.
Mệnh đề 1.5.4. Cho ϕ : g → h là một tồn cấu đại số Lie. Khi
đó,
ϕ(gk ) = hk , ∀k ∈ N.

9

Hệ quả 1.5.5. Nếu g là đại số Lie giải được và ϕ : g → h là một
đồng cấu đại số Lie thì ϕ(g) cũng là đại số Lie giải được.
Các mệnh đề sau cho ta một số tính chất của đại số Lie giải được.
Mệnh đề 1.5.6. Cho g là đại số lie giải được. Khi đó, các đại số
Lie con, đại số Lie thương của g là giải được.
Mệnh đề 1.5.7. Cho g là đại số Lie. Nếu a là một iđêan giải được
của g sao cho g/a giải được thì g cũng giải được.
Định lí dưới đây cho chúng ta một tiêu chuẩn để kiểm tra tính giải
được. Phép chứng minh định lí có thể tham khảo ở tài liệu [3, Theorem
1.43].
Định lý 1.5.8. (Tiêu chuẩn Cartan thứ nhất) Cho g là đại
số Lie hữu hạn chiều trên trường K (K ⊂ C). Khi đó, g là đại số Lie
giải được khi và chỉ khi với mọi X ∈ g, Y ∈ [g, g] ta có B(X, Y ) = 0 hay
B(g, [g, g]) = 0.
Ví dụ 1.5.9.
Mệnh đề 1.5.10. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều. Khi đó tồn
tại duy nhất một iđêan giải được r trong g chứa tất cả các iđêan giải
được khác. Ký hiệu r = rad(g) và gọi là căn của g.
Nhận xét 1.5.11.
Định lý 1.5.12. Giả sử K là trường đóng đại số với đặc số 0. Cho
g là đại số Lie con giải được của gl(V ), với V là một không gian véc-tơ
hữu hạn chiều. Khi đó, nếu V = {0}, ta có V chứa một véc-tơ riêng cho
mọi tự đồng cấu X của g.

1.6. Đại số Lie đơn và đại số Lie nửa đơn
Định nghĩa 1.6.1. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều trên trường K.
a) g được gọi là đơn nếu g là khơng giao hốn và khơng tồn tại một

iđêan khác không thực sự trong g.
b) g được gọi là nửa đơn nếu g khơng có iđêan giải được khác khơng
nào, tức là rad(g) = {0}.
Nhận xét 1.6.2.


10

Kết quả dưới đây cho thấy từ một đại số Lie hữu hạn chiều ta luôn thu
được đại số Lie nửa đơn dưới dạng đại số Lie thương.
Mệnh đề 1.6.3. Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều. Khi đó,
g/ rad(g) là nửa đơn.
Đối với các đại số Lie số chiều thấp, ta có mối liên hệ giữa đại số Lie
đơn và đại số Lie giải được thể hiện trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.6.4. Mỗi đại số Lie 3-chiều hoặc là đơn hoặc là giải
được.
Ví dụ 1.6.5.
Định lí dưới đây cho chúng ta một tiêu chuẩn để kiểm tra tính nửa đơn.
Phép chứng minh định lí có thể tham khảo ở tài liệu [1, Định lí 1.6.15].
Định lý 1.6.6. (Tiêu chuẩn Cartan thứ hai). Đại số Lie g là
nửa đơn khi và chỉ khi dạng Killing của g là khơng suy biến.
Ví dụ 1.6.7.
Định lí dưới đây cho chúng ta mối liên hệ giữa các đại số Lie đơn và
đại số Lie nửa đơn. Về phép chứng minh định lí có thể tham khảo ở tài liệu
[1, Định lí 1.6.17].
Định lý 1.6.8. Đại số Lie hữu hạn chiều g là nửa đơn khi và chỉ
khi
g = g1 ⊕ g2 ⊕ ... ⊕ gn ,
trong đó g1 , g2 , ..., gn là các đại số Lie đơn.
Hệ quả 1.6.9. Cho g là đại số Lie nửa đơn trên trường K. Khi

đó, ta có [g, g] = g. Giả sử a là một iđêan của g và đặt a⊥ = {X ∈ g |
B(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ a}. Ta suy ra a⊥ là một iđêan của g và g=a ⊕ a⊥ .
Định lý dưới đây là một tính chất quan trọng của đại số Lie nửa đơn.
Định lý 1.6.10. ([5], Theorem 1.6.9) Cho g là một đại số Lie hữu
hạn chiều và r là căn của g. Khi đó, tồn tại một đại số Lie con nửa đơn
h sao cho g = h ⊕ r.
Cho g là một đại số Lie và xét biểu diễn ̺ : g −→ gl(V ) của g trong
không gian vectơ V .
Ta có định nghĩa sau.


11

Định nghĩa 1.6.11. a) Cho g là một đại số Lie. Phần tử X của đại
số Lie g được gọi là nửa đơn (t.ư. lũy linh) nếu ̺(X) là tự đồng cấu nửa
đơn (t.ư. lũy linh) đối với mỗi biểu diễn (V, ̺) của g.
b) Phân tích X = Xs + Xn được gọi là khai triển Jordan của X ∈ g nếu
ta có ̺(X) = ̺(Xs ) + ̺(Xn ) là khai triển Jordan của tự đồng cấu ̺(X) đối
với mỗi biểu diễn (V, ̺) của g.
Nhận xét 1.6.12.
Định lý 1.6.13. Cho g là một đại số Lie nửa đơn. Khi đó, mọi
phần tử của đại số Lie g đều có duy nhất một khai triển Jordan; hơn
nữa, X = Xs +Xn là khai triển Jordan của X nếu ̺(X) = ̺(Xs )+̺(Xn )
là một khai triển Jordan của ̺(X) đối với một biểu diễn đơn ánh (V, ̺).
Từ định lý trên suy ra mỗi phần tử X của một đại số Lie nửa đơn g là
nửa đơn (t.ư. lũy linh) nếu và chỉ nếu tự đồng cấu adX là nửa đơn (t.ư. lũy
linh). Hơn nữa, ta có kết quả sau cho các đại số Lie con giao hoán.
Mệnh đề 1.6.14. Một đại số Lie con h của đại số Lie g là giao
hoán nếu adX là nửa đơn với mọi X ∈ h. Đặc biệt, đại số Lie g là giao
hoán nếu mọi phần tử của g là nửa đơn.

12

CHƯƠNG 2

MÔĐUN NỬA ĐƠN VÀ ĐẠI SỐ LIE THU GỌN

Trong chương này, chúng tơi trình bày về mơđun nửa đơn trên đại
số Lie, đại số Lie thu gọn và thể hiện một số đặc trưng của đại số Lie
thu gọn theo ngơn ngữ mơđun nửa đơn. Các nội dung trình bày trong
chương được tham khảo từ các tài liệu [4], [5], [6], [9].

2.1. Môđun nửa đơn
2.1.1. Môđun trên đại số Lie và đồng cấu
Cho g là một đại số Lie và V là một không gian từ vectơ hữu hạn chiều
trên cùng một trường K. Theo mục 1.2 ở chương 1, có thể xét đến các đồng
cấu đại số Lie từ g vào đại số Lie gl(V ) các tự đồng cấu tuyến tính của
khơng gian vectơ V, được gọi là biểu diễn của đại số Lie g trong V. Khi đó,
với mỗi biểu diễn của đại số Lie g trong khơng gian vectơ V, có thể xét V
như là một môđun trên đại số Lie g theo định nghĩa dưới đây.
Định nghĩa 2.1.1. Cho g là một đại số Lie và V là một không gian
từ vectơ hữu hạn chiều trên trường K. Không gian véc tơ V cùng với phép
tốn g × V −→ V, (X, v) −→ X.v được gọi là một môđun trên đại số Lie
g (hay g-môđun) nếu các điều kiện sau thỏa mãn với mọi X, Y ∈ g; v, w ∈
V ; a, b ∈ K :
(i) (aX + bY ).v = a(X.v) + b(Y.v);
(ii) X(av + bw) = a(X.v) + b(X.w);
(iii) [X, Y ].v = X.(Y.v) − Y.(X.v).
Phép toán trong định nghĩa được gọi là phép nhân ngoài (hay tác động)

của đại số Lie g trên không gian vectơ V. Để đơn giản, với mỗi X ∈ g; v ∈ V,
ta thường ký hiệu Xv thay cho X.v .
Nhận xét 2.1.2. Mỗi g-môđun V xác định biểu diễn ̺ : g −→ gl(V )
theo công thức ρ(X)(v) = XV (v) = X.v, với mọi X ∈ g, v ∈ V. Đảo lại, cho


13

̺ : g −→ gl(V ) là một biểu diễn của đại số Lie g trong không gian vectơ
V. Khi đó, có thể xét V là một g-mơđun với phép tốn nhân ngồi cho bởi
X.v = ̺(X)(v), với mọi X ∈ g, v ∈ V. Nói cách khác, lớp các g-mơđun V
có tương ứng 1-1 với lớp các biểu diễn ̺ : g −→ gl(V ) của đại số Lie g trong
V. Ta thường ký hiệu (V, ̺) cho các g-môđun V xác định bởi biểu diễn ̺
của g.

Định nghĩa 2.1.3. Cho W ⊂ V là một không gian vectơ con của
g-mơđun V . Khi đó, W được gọi là g-mơđun con của V nếu W bảo tồn
phép tốn nhân ngoài, tức là X.u ∈ W, ∀X ∈ g, u ∈ W . Trong trường hợp
W là g-môđun con của g-môđun V , không gian véctơ thương V /W cùng với
phép toán X.(v + W ) = X.v + W là một g-môđun, gọi là g-môđun thương
của V theo g-môđun con W.
Nhận xét 2.1.4.
Nhận xét 2.1.5. Cho g là một đại số Lie và ad : g −→ gl(g) là biểu
diễn liên hợp của g. Khi đó, có thể xét g là một g-môđun qua tác động liên
hợp
X.Y = adX (Y ) = [X, Y ], ∀X, Y ∈ g.
Hơn nữa, tập con I ⊂ g là g-môđun con của môđun g nếu và chỉ nếu I là
iđêan của đại số Lie g. Ngoài ra, do biểu diễn liên hợp ad là đơn cấu, ta
cũng có thể xét g là adg-môđun qua việc đồng nhất g với đại số Lie adg.
Định nghĩa 2.1.6. 1) Cho g là một đại số Lie, V và W là các gmôđun. Một đồng cấu g-mơđun được định nghĩa là một ánh xạ tuyến tính

f : V −→ W sao cho f (X.v) = X.f (v), ∀X ∈ g, v ∈ V. Trường hợp đồng
cấu g-mơđun f là một song ánh, ta nói f là đẳng cấu g-môđun.
2) Hai g-môđun V và W gọi là đẳng cấu, ký hiệu V ∼
= W , nếu tồn tại một
đẳng cấu g-môđun f : V −→ W.
Nhận xét 2.1.7. Cho f : V −→ W là một đồng cấu g-mơđun. Khi
đó, hạt nhân Kerf là một g-mơđun con của g-môđun V và ảnh Imf là một
g-môđun con của g-môđun W.
2.1.2. Môđun đơn và môđun nửa đơn
Định nghĩa 2.1.8.


14

1) g-môđun V được gọi là đơn (hay bất khả quy) nếu V chỉ có đúng
hai g-mơđun con là {0} và V .
2) Cho các g-môđun V1 , V2 , .., Vn . Khi đó, khơng gian vectơ tổng trực
tiếp V = V1 ⊕ V2 ⊕ ... ⊕ Vn cùng với phép toán
X.(v1 , v2 , ..., vn ) = (X.v1 , X.v2 , ..., X.vn ),

với mọi X ∈ g, vi ∈ Vi , i = 1, 2, ..., n lập thành một g-môđun, được gọi là
g-môđun tổng trực tiếp của các g-môđun V1 , V2 , .., Vn .
3) g-môđun V được gọi là nửa đơn (hay khả quy hồn tồn) nếu gmơđun V là tổng trực tiếp của các g-môđun con đơn.
Bổ đề 2.1.9. ([4], Lemma 8.4) Cho V là một g-mơđun hữu hạn
chiều. Khi đó, V là g-môđun nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi g-môđun con
W của V đều có phần bù trong V , tức là tồn tại g-môđun con W ′ của
V sao cho V = W ⊕ W ′ .
Bổ đề 2.1.10. ([9], lemma 3.3) Cho V và W là các g-môđun đơn,
ψ : V → W là một đồng cấu g-môđun. Khi đó, hoặc ψ là đẳng cấu hoặc
ψ = 0.

Định nghĩa 2.1.11. Cho V là một g-môđun xác định bởi đồng cấu
đại số Lie ̺ : g → gl(V ). Khi đó, g-mơđun V được gọi là trung thành nếu
đồng cấu ̺ là một đơn cấu.
Bổ đề 2.1.12. ([4], Lemma 8.5) Cho g là một đại số Lie đơn
và V là một g-mơđun. Khi đó, hoặc V là g-mơđun trung thành hoặc
X.v = 0, ∀X ∈ g, v ∈ V .
Nhận xét 2.1.13. Xét g là một đại số Lie nửa đơn và β là một dạng
song tuyến tính, đối xứng, khơng suy biến trên g. Khi đó, nếu {X1 , . . . , Xn }
là cơ sở của g thì tồn tại duy nhất một cơ sở {Y1 , . . . , Yn } của g sao cho
β(Xi , Yj ) = δij . Cơ sở {Y1 , . . . , Yn } được gọi là cơ sở đối ngẫu của cơ sở
{X1 , . . . , Xn } trong g tương ứng với dạng song tuyến tính β .
Định nghĩa 2.1.14. Cho g là một đại số Lie nửa đơn n-chiều, V là
một g-môđun trung thành và ̺ : g −→ gl(V ) là đơn cấu tương ứng. Xét
dạng song tuyến tính đối xứng
βV (X, Y ) := T r(̺(X)̺(Y )),


15

với ̺(X)̺(Y ) ký hiệu hợp thành của các tự đồng cấu ̺(X) và ̺(Y ). Do g
là nửa đơn nên β là không suy biến. Cố định một cơ sở {X1 , . . . , Xn } của g
và xét cơ sở đối ngẫu {Y1 , . . . , Yn } tương ứng với βV (tồn tại theo nhận xét
trên). Khi đó,
n

CV :=

̺(Xi )̺(Yi )
i=1

là một tự đồng cấu tuyến tính của V gọi là phần tử Casimir của g-môđun
V.
Bổ đề 2.1.15. Cho g là một đại số Lie nửa đơn n-chiều, V là một
g-môđun trung thành ứng với đơn cấu ̺ : g −→ gl(V ). Khi đó, phần tử
Casimir CV của V giao hốn với mọi tự đồng cấu ̺(X), X ∈ g.
Bổ đề 2.1.16. (Bổ đề Schur) Cho V là một g-môđun đơn ứng với
biểu diễn ̺ : g −→ gl(V ). Khi đó, các tự đồng cấu của V giao hoán với
mọi đồng cấu ̺(X), X ∈ g chỉ là các toán tử vô hướng.
Hệ quả 2.1.17. Cho g là một đại số Lie và V là một g-môđun
đơn hữu hạn chiều. Khi đó, ta có T rCV = dimg. Hơn nữa, CV = λId là
một tốn tử vơ hướng của V , với λ = dimg/dimV.
Ký hiệu sl(V ) là đại số Lie gồm các tự đồng cấu tuyến tính của V có
vết bằng khơng. Ta có kết quả sau.
Bổ đề 2.1.18. Cho g là một đại số Lie nửa đơn và V là một
g-môđun hữu hạn chiều ứng với biểu diễn ̺ : g −→ gl(V ). Khi đó
̺(g) ⊂ sl(V ). Đặc biệt, g tác động tầm thường lên mọi g-môđun một
chiều.
Bây giờ chúng ta sẽ chứng tỏ các môđun trên một đại số Lie nửa đơn
luôn là môđun nửa đơn.
Định lý 2.1.19 (Định lý Weyl). Cho g là một đại số Lie nửa đơn
và V là một g-môđun hữu hạn chiều. Khi đó, V là g-mơđun nửa đơn.
Hệ quả 2.1.20. Cho g là đại số Lie nửa đơn và a là đại số Lie
giao hoán. Xét (V, ̺) là một biểu diễn hữu hạn chiều của đại số Lie tổng
trực tiếp g ⊕ a. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:
(i) (V, ̺) là g-môđun nửa đơn.
(ii) Với mỗi A ∈ a, AV = ̺(A) là tự đồng cấu nửa đơn.


16

2.2. Đại số Lie thu gọn
2.2.1. Định nghĩa và Tính chất
Định nghĩa 2.2.1. Đại số Lie g được gọi là đại số Lie thu gọn
(reductive Lie algebra) nếu với mỗi iđêan a của g tồn tại iđêan b của g sao
cho g = a ⊕ b. Nói cách khác, đại số Lie g là đại số Lie thu gọn nếu g xét
như g-môđun qua biểu diễn liên hợp là nửa đơn.
Nhận xét 2.2.2.
Kết quả dưới đây cho thấy đại số Lie thu gọn có thể được xác định từ
đại số Lie nửa đơn và đại số Lie giao hoán.
Định lý 2.2.3. Tổng trực tiếp của một đại số Lie nửa đơn và một
đại số Lie giao hoán là đại số Lie thu gọn.
Định lý 2.2.4. Mỗi đại số Lie thu gọn g có dạng g = [g, g] ⊕ Z(g),
trong đó [g, g] là iđêan nửa đơn và Z(g) là tâm của đại số Lie g.
Như vậy, từ phép chứng minh định lý trên suy ra đại số Lie thu gọn g
là tổng trực tiếp của các iđêan đơn nếu và chỉ nếu Z(g) = {0}. Nói cách
khác, ta có hệ quả:
Hệ quả 2.2.5. Mỗi đại số Lie thu gọn g là nửa đơn nếu và chỉ
nếu tâm Z(g) của g bằng không.
Bây giờ, chúng ta sẽ xét một lớp các đại số Lie thu gọn và đại số Lie
nửa đơn, đó là lớp các đại số Lie thực gồm các ma trận có hệ số trên trường
số thực R và trường số phức C, được gọi là các đại số Lie ma trận cổ điển.
Định lý dưới đây cho chúng ta một điều kiện đủ để các đại số Lie thực
nêu trên là đại số Lie thu gọn.
Định lý 2.2.6. Cho g là đại số Lie thực gồm các ma trận có hệ số
trên R hoặc C sao cho g ổn định qua phép toán lấy chuyển vị của ma
trận liên hợp, tức là X ∗ = t (xij )n ∈ g, với mọi X = (xij )n ∈ g. Khi đó g
là một đại số Lie thu gọn.
Nhận xét 2.2.7.
Định nghĩa 2.2.8. Cho ̺ là một biểu diễn của g trong V . Dãy
(V0 , V1 , .., Vn ) các g-môđun con của V sao cho V = V0 ⊃ V1 ⊃ ... ⊃

Vn = {0} được gọi là một dãy hợp thành của g-môđun V . Dãy hợp thành


17

(V0 , V1 , .., Vn ) sao cho các g-môđun Vi /Vi+1 (0 ≤ i < n) là đơn được gọi là
dãy Jordan-Holder.

Nhận xét 2.2.9. Nếu (V0 , V1 , .., Vn ) và (V0′ , V1′ , .., Vp′ ) là 2 dãy JordanHolder của V thì p = n và tồn tại một hoán vị σ của {0, 1, ..., n − 1} sao
′ /V ′
cho hai g-môđun Vi /Vi+1 và Vσ(i)
σ(i)+1 là đẳng cấu (với mọi 0 ≤ i < n).
Bổ đề 2.2.10. Cho a là ideal của g, V là không gian vectơ hữu
hạn chiều và ̺ là biểu diễn đơn của g trong V sao cho mỗi phần tử của
̺(a) là lũy linh. Khi đó ̺(a) = 0.
Bổ đề 2.2.11. Cho a là một ideal của g, V là không gian vectơ
hữu hạn chiều, ̺ là biểu diễn đơn của g trong V và (V0 , V1 , ..., Vn ) là
dãy Jordan-Holder của g-mơđun V . Khi đó, các điều kiện sau là tương
đương:
(i) Với mọi X ∈ a, ̺(X) là lũy linh.
(ii) Với mọi X ∈ a, ta có:
̺(X)(V0 ) ⊂ V1 , ̺(X)(V1 ) ⊂ V2 , ..., ̺(X)(Vn−1 ) ⊂ Vn .

Mệnh đề 2.2.12. Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều, ̺ là
biểu diễn đơn của g trong V , βV là dạng song tuyến tính kết hợp với ̺.
Khi đó:
(i) Trong số các ideal a của g sao cho ̺(X) là lũy linh với mọi X ∈ a,
tồn tại một ideal chứa tất cả các iđêan còn lại, ký hiệu là n.
(ii) Nếu (V0 , V1 , ..., Vn ) là dãy Jordan-Holder của g-modun V và ̺i là
các biểu diễn của g trong Vi /Vi+1 cảm sinh từ ̺, ta có

n = Ker̺0 ∩ Ker̺1 ∩ ... ∩ Ker̺n−1 .
(iii) Iđêan n là trực giao với g theo dạng song tuyến tính βV .
Định nghĩa 2.2.13. Iđêan n trong mệnh đề trên được gọi là iđêan
có tính lũy linh lớn nhất của g-mơđun V (hay biểu diễn ̺).
Mệnh đề 2.2.14. Cho n là iđêan có tính lũy linh lớn nhất của biểu
diễn liên hợp của g. Khi đó, n là ideal lũy linh lớn nhất của g. Hơn nữa,
n trực giao với g ứng với dạng Killing của g.


18

Từ định lý 2.2.3 và định lý 2.2.4 ở trên ta suy ra một đại số Lie g là
thu gọn nếu và chỉ nếu g là tổng trực tiếp của một đại số Lie nửa đơn và
một đại số Lie giao hốn.
Bây giờ chúng ta tìm hiểu thêm một số đặc trưng khác của đại số Lie
thu gọn liên quan đến các môđun nửa đơn, căn và căn lũy linh của đại số
Lie. Trước hết, xét mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 2.2.15. Đại số Lie g là đại số Lie thu gọn khi và chỉ khi
tồn tại một g-môđun nửa đơn và trung thành.
Mệnh đề 2.2.16. ([5], Proposition 1.7.1) Cho g là một đại số Lie
và r là căn của g. Ký hiệu a1 là giao các hạt nhân của các biểu diễn
đơn hữu hạn chiều của đại số Lie g và a2 là giao của các iđêan có tính
lũy linh lớn nhất của các g-môđun hữu hạn chiều. Khi đó:
(i) a1 = a2 = [g, g] ∩ r = [g, r].
(ii) Iđêan a1 là lũy linh.
(iii) Đặc biệt, nếu đại số Lie g giải được, ta có [g, g] là lũy linh.
Định nghĩa 2.2.17. Iđêan s = a1 trong mệnh đề trên được gọi là
căn lũy linh của đại số Lie g. Trong trường hợp g là đại số Lie giải được,
ta có s = [g, g].
Định lý 2.2.18. Cho g là một đại số Lie, r và s lần lượt là căn và

căn lũy linh của g. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
(1) g là adg-môđun nửa đơn.
(2) g là tổng trực tiếp của một đại số Lie nửa đơn và đại số Lie
giao hoán.
(3) Tồn tại một g-môđun V hữu hạn chiều sao cho dạng song tuyến
tính đối xứng tương ứng βV là khơng suy biến.
(4) Tồn tại một g-môđun trung thành nửa đơn hữu hạn chiều.
(5) s = 0.
(6) r là tâm của g.


19

2.2.2. Đại số Lie con thu gọn
Định nghĩa 2.2.19. Cho h là một đại số Lie con của g. Ta nói h là
thu gọn trong g nếu biểu diễn X −→ adX của h là nửa đơn. Khi đó, biểu
diễn con X −→ adX của h là nửa đơn và vì vậy h là đại số Lie thu gọn.
Mệnh đề 2.2.20. Giả sử g là nửa đơn. Cho B là dạng Killing của
g và m là đại số Lie con của g thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) B |m × m không suy biến.
(b) Nếu X ∈ m, thành phần nửa đơn và lũy linh của X tương ứng
với g đều thuộc vào m.
Khi đó m là thu gọn trong g.
Mệnh đề 2.2.21. Giả sử g là nửa đơn. Cho a là đại số Lie con
của g sao cho a là thu gọn trong g, m là tâm hóa của a trong g và B là
dạng Killing của g. Khi đó ta có:
(i) Thu hẹp của B lên m là không suy biến.
(ii) Nếu X ∈ m, các thành phẩn nửa đơn và lũy linh của X tương
ứng với g đều thuộc vào m.
(iii) Đại số Lie m là thu gọn trong g

(iv) g = m ⊕ [a, g] và [a, g] là không gian con trực giao của m.
Mệnh đề 2.2.22. Cho g là đại số Lie trên trường B và (V1 , ̺1 ),
(V2 , ̺2 ) là các g-môđun nửa đơn hữu hạn chiều của g. Khi đó (V, ̺1 ⊗ ̺2 )
là g-mơđun nửa đơn.
Mệnh đề 2.2.23. Giả sử h là đại số Lie con của g đồng thời thu
gọn trong g, ̺ là biểu diễn của g trong V .
(i) Cho W là tổng của các môđun con đơn hữu hạn chiều trong h.
Khi đó W là mơđun con đơn trong g của V .
(ii) Nếu ̺ nửa đơn và hữu hạn chiều, ta có ̺|h là nửa đơn.
Mệnh đề 2.2.24. Cho a là đại số Lie giao hoán, b là đại số Lie
nửa đơn, g = a ⊕ b, A ∈ a, B ∈ b và X = A + B ∈ g.
(a) Các điều kiện sau là tương đương:
(i) B là nửa đơn trong b;


20

(ii) Tồn tại một g-môđun trung thành nửa đơn hữu hạn chiều
(V, ̺) sao cho XV = ̺(X) là nửa đơn.
(iii) Với mỗi g-môđun nửa đơn hữu hạn chiều (V ′ , ̺′ ), ta có XV ′ =
̺′ (X) là nửa đơn.
(b) Các điều kiện sau là tương đương :
(i) A = 0 và B là lũy linh trong b;
(ii) Tồn tại một g-môđun trung thành nửa đơn, hữu hạn chiều
(V, ̺) sao cho XV = ̺(X) là lũy linh;
(iii) Với mỗi g-môđun nửa đơn hữu hạn chiều (V ′ , ̺′ ), ta có XV ′ =
̺′ (X) là lũy linh.
Định nghĩa 2.2.25. Trong đại số Lie thu gọn g, một phần tử X
được gọi là nửa đơn (tương ứng lũy linh) nếu X thỏa mãn các điều kiện
tương đương trong (a) (tương ứng trong (b)) của mệnh đề 2.2.24. Trường

hợp X ∈ g có dạng phân tích X = S + N, với S là nửa đơn, N là lũy linh
sao cho [S, N ] = 0, ta gọi S và N lần lượt là thành phần nửa đơn và thành
phần lũy linh của X .
Mệnh đề 2.2.26. Cho g là đại số Lie thu gọn, h là đại số Lie con
của g đồng thời là thu gọn trong g, X ∈ h và Y (hoặc Z ) là thành phần
nửa đơn (hoặc lũy linh) của X trong h. Khi đó Y (hoặc Z ) là thành
phần nửa đơn (hoặc lũy linh) của X trong g.


21

KẾT LUẬN

Trong luận văn này, chúng tôi đã tập trung tìm hiểu về mơđun nửa
đơn, lớp các đại số Lie thu gọn và đại số Lie con thu gọn thể hiện qua việc
tổng quan, làm rõ một số kết quả về môđun nửa đơn, đại số Lie thu gọn
cùng các đặc trưng của chúng trong mối liên hệ với các môđun nưa đơn trên
đại số Lie cảm sinh từ biểu diễn liên hợp.
Các kết quả chính của luận văn như sau:
1) Trình bày khái niệm mơđun trên đại số Lie và thể hiện tường minh
định lý Weyl cùng một số định lý khác theo ngơn ngữ mơđun.
2) Trình bày khái niệm và các kết quả liên quan đến đại số Lie thu gọn,
đồng thời khảo sát lớp các đại số Lie con thu gọn.
3) Làm rõ mối liên hệ giữa lớp các đại số Lie thu gọn và môđun nửa
đơn trên đại số Lie thông qua các đặc trưng của đại số Lie thu gọn.
Các kết quả đạt được trong luận văn là rất khiêm tốn nhưng đã góp
phần giúp bản thân hiểu thêm về đại số Lie thu gọn và môđun nửa đơn.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều trong quá trình làm luận văn, tuy nhiên
do thời gian và năng lực cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi
những thiếu sót. Do đó, chúng tơi rất mong được q thầy cơ và bạn đọc

góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!


22

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Trần Đạo Dõng (2017), Đại số Lie và nhóm Lie, Bài giảng sau đại
học, Đại học Huế.
[2] Trương Công Quỳnh, Lê Văn Thuyết (2013), Giáo trình Lý thuyết
Vành và Mơđun, Nhà xuất bản Đại học Huế.
Tiếng Anh
[3] E. P Van den Ban (2010), Lie Groups, Lecture Notesian, University of
Utrecht, Holland.
[4] G. Bellamy (2016), Lie Groups, Lie Algebras and their Representations, Lecture Notes, University of Glasgow, UK.
[5] J. Dixmier (1996), Enveloping Algebras, Graduate Studies in Mathematics, Volume 11, AMS.
[6] J. E. Humphreys (1980), Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer- Verlag New York Heidelberg Berlin.
[7] A. Kirillov (2008), An introduction to Lie Groups and Lie Algebras,
Lecture Notes in Math., Cambridge University Press, New York.
[8] A. W. Knapp (2002), Lie Groups beyond an introduction, Progress in
Math, New York.
[9] J.S. Milne (2013), Lie Algebras, Algebraic Groups and Lie Groups,
Lecture Notes, University of Michigan, USA.
[10] A. Shrestha (2011), Representations of Semisimple Lie Algebras, Research Project, Preprint, 1-15.