TÌM HIỂU VỀ PHÂN LOẠI ĐẠI SỐ LIE ĐƠN

Bộ giáo dục và đào tạo Viện khoa học
và công nghệ việt nam


viện toán học


Họ và tên tác giả luận văn



tên đề tài luận văn





Luận văn thạc sĩ toán học







Hà Nội - Năm

Bộ giáo dục và đào tạo Viện HN LM
KHOA HC V CễNG NGH VN

viện toán học





H v tờn tỏc gi lun vn: Phm Vit Dng







TấN TI LUN VN:
TèM HIU V PHN LOI I S LIE N







Luận văn thạc sĩ toán học

H Ni - Nm 2014






Bộ giáo dục và đào tạo Viện HN LM
KHOA HC V CễNG NGH VN



viện toán học




H v tờn tỏc gi lun vn: Phm Vit Dng

TấN TI LUN VN:
TèM HIU V PHN LOI I S LIE N



Chuyờn ngnh: i s v Lý thuyt s
Mã số : 60 46 01 04





LUN VN THC S TON HC




NGI HNG DN KHOA HC: GS. TSKH PHNG H HI





H Ni Nm 2014
1
Mục lục
Lời mở đầu 2
Chương 1. Kiến thức cơ sở 4
1.1. Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Ideal và đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Đại số Lie lũy linh và định lý Engel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Đại số Lie giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Định lý Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2. Đại số Lie nửa đơn 18
2.1. Phân tích Jordan- Chevalley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Tiêu chuẩn Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Killing form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4. Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5. Biểu diễn của sl(2, F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6. Hợp thành các không gian nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Chương 3. Hệ nghiệm 36
3.1. Hệ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Nghiệm đơn và nhóm Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Hệ nghiệm bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4. Phân loại hệ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5. Xây dựng các hệ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Tài liệu tham khảo 57
Lời mở đầu
Mục đích của luận văn là tìm hiểu một số kiến thức cơ bản của đại số Lie nửa
đơn trên một trườ ng đóng có đặc số 0. Để làm việc này, tôi chủ yếu sử dụng tài
liệu "James E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory,
Springer- Verlag New York Heidelberg Berlin, Third printing, revised, 1980". Ngoài
ra, tôi cũng tham khảo một số tài liệu trên mạng, chẳng hạn như tài liệu [2] của
Andreas Cap. Trong luận văn này, tôi đã trình bày lại và làm rõ một số kết quả về
đại số Lie, đại số Lie đơn, đại số Lie nửa đơn, phân loại hệ nghiệm của các đại số
Lie đơn và thực hiện một số tính toán cơ bản. Bên cạnh đó, tôi cũng trình bày thêm
một số ví dụ: ví dụ 1.2.6, ví dụ 2.6.6,
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở về đại số Lie, các ideal và đồng cấu, đại
số Lie lũy linh, đại số Lie giải được, đinh lý Engel, định lý Lie. Trong đó, hai định

lý quan trọng là định lý Engel (định lý 1.3.7) và định lý Lie (hệ quả 1.5.2). Trong
ví dụ 1.2.6, tôi đã đưa ra một chứng minh sl(n, F) là một đại số L ie đơn.
Chương 2 trình bày các kiến thức cơ sở về đại số Lie nửa đơn, phân tích Jordan-
Chevalley, tiêu chuẩn Cartan, dạng Killing, module trên một đại số Lie, biểu diễn
của sl(2, F) và hợp thành các không gian nghiệm của một đại số Lie nửa đơn. Trong
chương này, ở ví dụ 2.6.6, tôi đã xác định hệ nghiệm của sl(3, F) với cơ sở chuẩn
tắc, và qua đó viết được phân tích Cartan của sl(3, F).
Chương 3 trình bày về hệ nghiệm của một không gian Euclide và các nhóm Weyl
tương ứng. Kết quả quan trọng trong phần này là định lý phân loại hệ nghiệm 3.4.9
dựa vào sơ đồ Dynkin liên thông của một hệ nghiệm bất khả quy. Từ kết quả này
và định lý 3.3.7, ta có thể phân loại được các hệ nghiệm của một đại số Lie đơn.
Sau đó, định lý 3.5.1 chỉ ra sự tồn tại một không gian Euclide có hệ nghiệm tương
ứng với các dạng đã phân loại trong định lý 3.4.9. Trong ví dụ 3.4.4, tôi đã tìm lại
hệ nghiệm Φ từ ma trận Cartan tương ứng. Với phương pháp tươ ng tự, ta có thể
tìm được hệ nghiệm nếu biết ma trậ n Cartan ứng với một cơ sở của nó.
Như là phần tiếp theo của luận văn, định lý trong phần 18.4 trang 101 trong
tài liệu [1] chỉ r a rằng với mỗi hệ nghiệm Φ cho trước, tồn tại duy nhất (sai khác
2
3
một đẳng cấu) một đại số Lie nửa đơn có hệ nghiệm chính là Φ. Vì các kiến thức sử
dụng để chứng minh định lý này vượt quá khuôn khổ của luận vă n nên tôi không
đưa vào luận văn này.
Luận văn này được hoàn t hành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH Phùng Hồ
Hải, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo, tạo điều kiện cho tôi bước đầu làm quen
với một số kiến thức cơ bản của đại số Lie. Nhân dịp này, tôi xin bày t ỏ lòng kính
trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy.
Tôi chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo cùng toàn thể cán bộ của Viện
Toán học đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng chân
thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian hoàn thành
luận văn.

Hà Nội, ngày 30 tháng 3 năm 2014
Tác giả luận văn
Phạm Việt Dũng
Chương 1
Kiến thức cơ sở
1.1 Đại số Lie
Cố định một trường F.
Định nghĩa 1.1.1. Một không gian vector L trên trường F cùng với một ánh xạ:
L × L −→ L, ký hiệu (x, y) −→ [x, y](gọi là tích Lie hoặc giao hoán tử của x và y),
được gọi là một đại số Lie trên F nếu các tiên đề sau được thỏa mãn:
(1) Ánh xạ [x, y] là song tuyến tính.
(2) [x, x] = 0, ∀x ∈ L (phản giao hoán)
(3) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0, ∀x, y, z ∈ L (đồng nhất thức Jacobi).
Nhận xét: Từ điều kiện (L2) ta suy ra điều kiện (L2’): [x, y] = −[y, x]. Và khi
charF = 2 thì (L2) và (L2’) tương đương.
Với K là không gian vector con của L. Khi đó, K được gọi là đại số Lie con
của L nếu K đóng với tích Lie, tức là: ∀x, y ∈ L : [x, y] ∈ K. Với mọi phần tử
x ∈ L, x = 0, ta luôn có K = Fx là đại số Lie con một chiều của L với tích Lie tầm
thường: [y, y
′
] = 0 , ∀y, y
′
∈ K. Từ đây về sau, nếu ta nói K là một đại số con của
đại số Lie L thì hiểu K là một đại số Lie con của đại số Lie L.
Ví dụ 1.1.2. Với (A, ·) là một đại số kết hợp trên F, ta định nghĩa một phép toán
mới [−, −] : A × A −→ A, (x, y) −→ [x, y] = x · y − y · x.
Khi đó (A, [−, −]) là một đại số Lie trên F.
Đặc biệt, khi A = End(V ), với V là một không gian vector hữu hạn chiều
trên F, và phép nhân "·" là phép hợp thành hai tự đồng cấu trên V , thì ta có
(End(V ), [−, −]) là một đại số Lie. Ta viết gl(V ) thay cho End(V ) khi hiểu A là

một đại số Lie. Nếu ta cố định một cơ sở của V , khi đó ta có thể đồng nhất gl(V )
4
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 5
với đại số các ma trận n × n trên F, ký hiệu gl(n, F) hay đơn giản là gl(n), với
dim gl(V ) = dim gl(n, F) = n
2
. Phép hợp thành hai tự đồng cấu trên V là phép
nhân hai ma trậ n tương ứng. Ta xác định tích Lie trên gl(n, F):
Xét cơ sở {e
ij
} của gl(n, F), với {e
ij
} là ma trận như sau: phần tử ở vị trí (i,j)
bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0. Phép nhân hai ma trận được xác định trên cơ
sở: e
ij
.e
kl
= δ
jk
.e
il
, ở đây, δ
jk
là ký hiệu Kronecker, bằng 0 nếu j = k và bằng 1
trong các trường hợp khác. Do tính song tuyến tính của tích Lie nên để xác định
tích Lie, ta chỉ cần xác định trên cơ sở {e
ij
} như sau:
[e

ij
, e
kl
] = e
ij
.e
kl
− e
kl
.e
ij
= δ
jk
.e
il
− δ
li
.e
kj
đây là một ma trận có các thành phần là 0,1,-1.
Ví dụ 1.1.3. Xét sl(n) = sl(n, F) = {x ∈ gl( n, F)|T r(x) = 0}, ở đó T r(x) là vết
của x.
Khi đó, sl(n) là không gian vector con của gl(n) vì: T r(ax + by) = aT r(x) +
bT r(y) = 0 , ∀a, b ∈ F; x, y ∈ sl(n). Hơn nữa, sl(n) là đại số con của gl(n) vì:
T r([x, y]) = T r(xy) − T r(yx) = 0, ∀x, y ∈ sl(n). sl(n) được gọi là đại số tuyến tính
đặc biệt.
Nhận xét: dim sl(n) = n
2
− 1. Một cơ sở của sl(n) là {e
ij

}
i=j
∪ {h
i
}
n−1
i=1
với
h
i
= e
ii
− e
i+1,i+1
.
Với n = 2, ta có sl(2) = {

a b
c −a

|a, b, c ∈ F} có cơ sở là:
x =

0 1
0 0

, y =

0 0
1 0


, h =

1 0
0 −1

.
Với các tích Lie: [h, x] = 2x, [h, y] = −2y, [x, y] = h.
Ví dụ 1.1.4. Đại số đối xứng: sp(2l) = sp(2l, F) = {x ∈ gl(2l, F)|sx = −x
t
s}
= {x =

m n
p q

|m, n, p, q ∈ gl(l, F) thỏa mãn: n
t
= n, p
t
= t, m
t
= −q}
Ở đó x
t
là chuyển vị của x, s =

0 I
l
−I

l
0

, I
l
là đơn vị của gl(l).
Ta có: sp(2l) là đại số Lie con của gl(2l)( vì đóng với tích Lie). Hơn nữa, sp( 2l) là
đại số Lie con của sl(2l), dim sp(2l) = 2l
2
+ l, với cơ sở:
e
ii
− e
i+1,i+1
, 1 ≤ i ≤ l
e
ij
− e
l+j,l+i
, 1 ≤ i = j ≤ l
e
i,l+i
, 1 ≤ i ≤ l
e
i,l+j
+ e
j,l+i
, 1 ≤ i < j ≤ l
e
l+i,i

, 1 ≤ i ≤ l
e
l+i,j
+ e
l+j,i
, 1 ≤ i < j ≤ l
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 6
Ví dụ 1.1.5. Đại số Lie của các vi phân: Cho A là một F-đại số và d ∈ End
F
(A).
Khi đó một ánh xạ tuyến tính d : A −→ A được gọi là một vi phân nếu nó thỏa
mãn công thức Leibniz: d(a.b) = d(a).b + a.d(b). Tậ p các vi phân của A được ký
hiệu là Der(A). Với d, d
′
∈ Der(A), ta có:
[d, d
′
](a.b) = (dd
′
− d
′
d)(a.b)
= d(d
′
(a).b − a.d
′
(b)) − d
′
(d(a).b − a.d(b))
= (dd

′
− d
′
d)(a).b + a.(dd
′
− d
′
d)(b)
= [d, d
′
](a).b − a.[d, d
′
](b).
Do đó [d, d
′
] ∈ Der(A). Vậy Der(A) là đại số Lie con của gl(A).
Ví dụ 1.1.6. Với L = R, dim L = 1. Từ tính tuyến tính và phản đối xứng ta có:
[a, b] = [a.1, b.1] = ab[1, 1] = 0, ∀a, b ∈ L. Một đại số Lie với tích Lie bằng 0 được
gọi là đại số Lie giao hoán hay đơn giản là abel.
Cố định trường F, vớ i charF = 2. Xét L = span{e
1
, e
2
, , e
n
} là không gian
vector n chiều trên trường F. Để xác định một tích Lie trên L, ta chỉ cần xác định
trên các cơ sở e
i
: [e

i
, e
j
] =

n
k=1
c
k
ij
e
k
. Các hệ số c
k
ij
được gọi là hằng số cấu trúc
của đại số Lie L.Các hằng số này thỏa mãn tính chất sau:
c
k
ii
= 0 = c
k
ij
+ c
k
ji
,

k
(c

k
ij
c
m
kl
+ c
k
jl
c
m
ki
+ c
k
li
c
m
kj
) = 0.
Ví dụ 1.1.7. Với dim L = 2, giả sử L = span{e
1
, e
2
}, ta xác định tích Lie không
tầm thường trên L. Từ tính phản giao hoán của tích Lie, ta có:
[e
1
, e
1
] = [e
2

, e
2
] = 0, [e
1
, e
2
] = −[e
2
, e
1
].
Đặt [e
1
, e
2
] = y = αe
1
+ βe
2
= 0.
Khi đó ta có: [e
1
, y] = [e
1
, αe
1
+ βe
2
] = α[e
1

, e
1
] + β[e
1
, e
2
] = βy, tương tự: [e
2
, y] =
−αy. Do đó, nếu chọn x sao cho L = span{x, y} ta luôn có [x, y] = λy, λ = 0 do
tích Lie không tầm thường. Thay x bởi x/λ ta được: L = span{x, y}, [x, y] = y.
Như vậy chỉ có hai đại số Lie 2 chiều( sai khác một đẳng cấu) là đại số Lie giao
hoán và đại số Lie xác định như ở t rên.
Ví dụ 1.1.8. Không gian R
3
với tích có hướng a × b xác định như sau:
(a
1
, a
2
, a
3
) × (b
1
, b
2
, b
3
) = det




i j k
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3



là một đại số Lie, với tích Lie: e
1
× e
2
= e
3
, e
2
× e
3
= e
1

, e
3
× e
1
= e
2
.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 7
1.2 Ideal và đồng cấu
Định nghĩa 1.2.1. Không gian vector con I của đại số Lie L được gọi là một ideal
của L nếu [x, y] ∈ L, ∀x ∈ L, y ∈ I.
Ví dụ 1.2.2. Hai ideal tầm thường của L là: 0 và L.
Ví dụ 1.2.3. Tâm của L: Z( L) = {z ∈ L|[x, z] = 0, ∀x ∈ L} là một ideal của L.Ta
có: L giao hoán khi và chỉ khi Z(L) = L.
Ví dụ 1.2.4. Với I, J là hai ideal của đại số Lie L, thì I + J = {x + y|x ∈ I, y ∈ J}
và [I, J] = {

x
i
y
j
|x
i
∈ I, y
j
∈ J} cũng là các ideal của L.
[L, L] được gọi là đại số dẫn xuất của L. Ta có: L là gia o hoá n khi và chỉ khi
[L, L] = 0. Đại số Lie L được gọi là đơn nếu [L, L] = 0 và L không còn ideal nào khác
ngoài 2 ideal tầm thường là 0 và L. Rõ ràng, nếu L là đơn thì: Z( L) = 0, [L, L] = L.
Ví dụ 1.2.5. L = sl(2, F), charF = 2 , là đại số Lie đơn. Thật vậy, xét cơ sở chuẩn

tắc của L là {x, y, z} được xác định trong ví dụ 1.1.3. Ta có: [x, y] = h, [h, x] =
2x, [h, y] = 2y. Với I = 0 là một ideal của L. Xét phần tử khác không của I có dạng:
ax + by + ch. Ta có:
[x, ax + by + ch] = a[x, x] + b[x, y] + c[x, h] = bh − 2cx ∈ I
⇒ [x, bh − 2cx] = −2bx ∈ I
Tương tự: −2ay ∈ I. Do a, b, c không đồng thời bằng 0 nên một trong ba phần tử
x, y, h thuộc I, suy ra I = L. Vậy L là đơn.
Ví dụ 1.2.6. Chứng minh L = sl(n, F) là đại số Lie đơn. Gọi {e
ij
}
i,j=
1,n
là cơ sở
chuẩn tắc của gl(n, F). Khi đó, theo ví dụ 1.1.2, {e
ij
}
i=j
∪ {e
ii
− e
jj
}
i=j
là một hệ
sinh của sl(n, F) ( nếu thay {e
ii
− e
jj
}
i=j

bởi {e
ii
− e
i+1,i+1
} ta được một cơ sở của
sl(n, F)). Ta có các tích Lie trên cơ sở chuẩn tắc của gl(n, F) được xác định bởi đẳng
thức:[e
ij
, e
kl
] = δ
jk
e
il
−δ
li
e
kj
. Với i = j ta có: [e
ij
, e
ji
] = e
ii
−e
jj
và [e
ii
−e
jj

, e
ij
] = 2e
ij
nên [L, L] = L. Để chứng minh L là đại số Lie đơn, ta sẽ chứng minh L không có
ideal nào khác ngoài 0 và L. Giả sử I là một ideal khác không của L. Khi đó với
mọi x = (x
kl
) ∈ L ta có: x =

kl
x
kl
e
kl
nên:
[e
ij
, x] =

kl
x
kl
[e
ij
, e
kl
]
=


kl
x
kl
(δ
jk
e
il
− δ
li
e
kj
)
=

kl
δ
jk
x
kl
e
il
−

kl
δ
li
x
kl
e
kj

=

l
x
jl
e
il
−

k
x
ki
e
kj
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 8
Kết quả ở đây là một ma trận có được bằng cách lấy một ma trận có dòng thứ
j là dòng thứ j của x còn các dòng khác bằng 0, rồi trừ đi một ma trận có cột thứ i
là cột thứ i của x, còn các cột khác bằng 0. Nếu I chỉ chứa các ma trận đường chéo
thì với x = (x
kl
) ∈ I tồn tại i = j sao cho x
ii
− x
jj
= 0 vì nếu không x
ii
= 0, ∀i do
T r(x) = 0. Nhưng khi đó, theo tính toán ở trên thì [e
ij
, x] =


l
x
jl
e
il
−

k
x
ki
e
kj
∈ I
là một ma trận có phần tử ở cột thứ i dòng thứ j là x
jj
− x
ii
= 0. Vậy I có chứa
phần tử không có dạng đường chéo x = (x
ij
) với x
ji=0
, ở đây i = j. Theo tính toán
ở trên, ta có:
[e
ij
, [e
ij
, x]] = [e

ij
,

l
x
jl
e
il
−

k
x
k,i
e
k,j
]
=

l
x
jl
[e
ij
, e
il
] −

k
x
ki

[e
ij
, e
kj
]
=

l
x
jl
(δ
ji
e
il
− δ
li
e
ij
) −

k
x
k,i
(δ
jk
e
ij
− δ
ji
e

kl
)
= −2x
ji
e
ij
Vì [e
ij
, [e
ij
, x]] ∈ I và do a
ji
= 0 nên e
ij
∈ I. Vậy [e
ij
, e
ji
] = e
ii
− e
jj
∈ I và
[e
ij
, e
ji
] = e
i
i − e

j
j ∈ I. Trong trường hợp n = 2 ta có điều phải chứng minh, còn
trong trường hợp n > 2 với k = i, j ta có [e
ij
, e
jk
] = e
ik
∈ I và với l = i, k thì
e
lk
= [e
li
, e
ik
] ∈ I. Chứng minh tương tự thì các ma trận đương chéo của L cũng
nằm trong I và do đó I = L.
Với I là một ideal thực sự khác 0 của L, không gian vector thương L/I là một
đại số Lie, gọi là đại số Lie thương, với tích Lie được xác định: [x + I, y + I] =
[x, y] + I. Tích này được định nghĩa tốt vì với x − x
′
= u ∈ I, y − y
′
= v ∈ I ta có:
[x, y] − [x
′
, y
′
] = [u, y
′

] + [x
′
, v] + [u, v] ∈ I.
Với K là một đại số con của đại số Lie L, chuẩn tắc hóa của K, ký hiệu
N
L
(K), được xác định như sau: N
L
(K) = {x ∈ L|[x, K] ⊂ K}. Khi đó, N
L
(K) là
một đại số con của L và hơn nữa, nó là đại số con lớn nhất của L mà chứa K như
một ideal. Thật vậy, N
L
(K) là một đại số con của L vì với x, y ∈ N
L
(K), tức là
∀k ∈ K : [x, k], [y, k] ∈ K, ta có theo đồng nhất thức Jacobi ∀k ∈ K : [[x, y], k] =
[x, [y, k]] + [[x, k], y] ∈ K. Ngoài ra, theo định nghĩa thì K là một ideal của N
L
(K),
và cũng theo định nghĩa của N
L
(K) là đại số con lớn nhất của L mà chứa K như
một ideal. Khi K = N
L
(K), ta gọi K là t ự chuẩn tắc.
Tâm của một tập hợp con X ⊂ L, ký hiệu C
L
(X), được xác định như sau:

C
L
(X) = {x ∈ L|[x, X] = 0}. Theo đồng nhất thức Jacobi, tương tự trên, ta có
C
L
(X) là một đại số con của L. K hi X = L, C
L
(L) = Z(L).
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 9
Định nghĩa 1.2.7. Với L, L
′
là hai đại số Lie trên trường F, một ánh xạ tuyến tính
φ : L −→ L
′
được gọi là đồng cấu đại số Lie nếu: φ( [x, y]) = [φ(x), φ(y)], ∀x, y ∈ L.
Đồng cấu φ được gọi là đơn cấu nếu Ker φ = 0, toàn cấu nếu Im φ = L
′
, đẳng cấu
nếu vừa là đơn cấu, vừa là toàn cấu.
Nhận xét: Với φ : L −→ L
′
là một đồng cấu thì Ker φ là một ideal của L còn Im φ
là một đại số con của L
′
. Thật vậy, với x ∈ Ker φ, y ∈ L, ta có [y, x] ∈ Ker φ vì
φ([y, x]) = [φ(y) , φ(x)] = 0. Và với φ(x), φ(y) ∈ Im φ thì [φ( x), φ(y)] = φ([x, y]) ∈
Im φ.
Mệnh đề 1.2.8. (1) Nếu φ : L −→ L
′
là một đồng cấu đại số Lie, khi đó L/Ker φ

∼
=
Im φ. Nếu I là một ideal của L nằm trong Ker φ, khi đó tồn tại duy nhất
một đồng cấu ψ : L/I −→ L
′
sao cho biểu đồ sau giao hoán:
L
L
′
L/I
✲
φ
❅
❅
❅
❅❘
π
✻
ψ
với π : L −→ L/I là phép chiếu chính tắc.
(2) Nếu I ⊂ J là những ideal của L thì J/I là một ideal của L/I và (L/I)/(J/I)
đẳng cấu tự nh i ên với L/J.
(3) Nếu I, J là những ideal của L thì tồn tại một đẳng cấu tự nhiên g i ữa (I + J)/J
và I/(I ∩ J).
Chứng minh . (1) Xét ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vector:
ψ : L/Ker φ −→ Im φ, x + Ker φ −→ φ(x).
Đây là đồng cấu đại số Lie vì:
ψ([x + Ker φ, y + Ker φ]) = ψ([x, y] + Ker φ)
= φ([x, y])
= [φ(x), φ(y)]

= [ψ(x + Ker φ), ψ(y + Ker φ)]
Đồng cấu ψ là đẳng cấu vì theo định nghĩa thấy ngay đây là toàn cấu, hơn
nữa đây cũng là đơn cấu vì:
Ker ψ = {x + Ker ψ|ψ(x + Ker ψ) = φ(x) = 0} = 0 + Ker φ.
Vậy L/Ker φ
∼
=
Im φ.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 10
Ở phần thứ hai, ta có luôn tồn tại ánh xạ tuyến tính ψ : L/I −→ L
′
giữa
các không gian vector sao cho biểu đồ trên giao hoán. Tương tự như trên, ta
chứng minh được ψ([x + I, y + I]) = [ψ(x), ψ(y)], ∀x, y ∈ L, từ đó suy ra ψ là
đồng cấu giữa các đại số Lie.
(2) Với mọi x+I ∈ J/I, y + I ∈ L/I ta có [y +I, x+ I] = [yx]+I ∈ J/I do [yx] ∈ J
nên J/I là một ideal của L/I. Xét phép chiếu chính tắc: π : L/I −→ L/J,
ta có Ker π = {x + I|x ∈ J} = J/I và Im π = L/J nên theo ý (a) ta có:
(L/I)/(J/I)
∼
=
(L/J).
(3) Xét toàn cấu ψ : I −→ (I + J)/J, x −→ x + J.
Khi đó ta có Ker ψ = {x ∈ I|x ∈ J} = I∩J, vậy ta được (I+J)/J
∼
=
I/(I∩J).
Ví dụ 1.2.9. Ảnh đồng cấu của một đại số Lie đơn cũng là đơn. Thật vậy: xét
đồng cấu đại số Lie φ : L −→ Im φ. Gọi I là một ideal của Im φ, ta có phép chiếu
chính tắc π : Im φ −→ Im φ/I. Khi đó ta có đồng cấu đại số Lie θ = π ◦ φ :

L −→ Im φ/I, x −→ φ(x) + I. Do Ker θ là một ideal của đại số Lie đơn L nên
hoặc Ker θ = 0 hoặc Ker θ = L. Mà L/Ker θ
∼
=
Im φ/I nên hoặc Im φ/I
∼
=
L thì
Im φ
∼
=
L và I = 0; hoặc Im φ/I
∼
=
0 thì I = Im φ. Vậy Im φ là đơn.
Định nghĩa 1.2.10. Cho L là một đại số Lie và V là một không gian vector. Một
biểu diễn của đại số Lie L vào V là một đồng cấu φ : L −→ gl(V ).
Ví dụ 1.2.11. Nếu dim L = 1 thì L = Fe. Khi đó φ : L −→ gl(V ) được xác định
bởi ảnh của e. Như vậy một biểu diễn trong trường hợp này được cho bởi một tự
đồng cấu của V .
Ví dụ 1.2.12. Cho L = span{e
1
, e
2
, , e
n
}. K hi đó, một đồng cấu φ : L −→ gl(V )
được xác định bởi các ảnh φ(e
i
). Điều kiện cần và đủ để L giao hoán là các tự đồng

cấu φ(e
i
) giao hoán.
Ví dụ 1.2.13. Biểu diễn tự nhiên: Đại số Lie gl(n) có một biểu diễn n chiều được
cho bởi ánh xạ đồng nhất id : gl(n) −→ gl(F
n
). Tương tự khi L là một đại số Lie
con của gl(n), ta cũng có biểu diễn n chiều tự nhiên.
Ví dụ 1.2.14. Cho L là một đại số Lie và x ∈ L. Định nghĩa một ánh xạ tuyến
tính: ad
x
: L −→ L cho bởi công thức: ad
x
(y) = [x, y]. Khi đó, ad
x
là một vi phân,
nghĩa là: ad
x
[y, z] = [ad
x
(y), z] + [y, ad
x
(z)]. Thật vậy, đây là cách viết khác của
đồng nhất thức Jacobi.
Các vi phân của L có dạng ad
x
được gọi là vi phân trong, còn lại được gọi là
vi phân ngoài. Ta xét ánh xạ: ad : L −→ Der(L), x → ad
x
. Ánh xạ ad là một

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 11
đồng cấu giữa các đại số Lie vì:
[ad
x
, ad
y
](z) = ad
x
◦ ad
y
(z) − ad
y
◦ ad
x
(z)
= ad
x
([y, z]) − ad
y
([x, z])
= [x, [y, z]] − [y, [x, z]]
= [x, [y, z]] + [[x, z], y]
= [[x, y], z]
= ad
[x,y]
(z).
Ánh xạ ad là một biểu diễn vì Der(L) ⊂ gl( L) nên cảm sinh ánh xạ ad: L −→ gl(L).
Ánh xạ ad được gọi là biểu diễn phụ hợp của L. Vì ad
x
= 0 khi [x, y] = 0, ∀y ∈ L

nên Ker ad = Z(L). Khi L là đại số Lie đơn thì Z(L) = 0 nên ad : L −→ gl(L) là
một đơn cấu. Có nghĩa là mọi đại số Lie đơn đều đẳng cấu vớ i một đại số Lie tuyến
tính.
Ví dụ 1.2.15. Đại số dẫn suất của L là [L, L] = span{[x, y]|x, y ∈ L}. Đây là một
ideal của L vì [

α
x,y
[x, y], z] =

α
x,y
[[x, y], z] =

α
xy
([x, [y, z]]+[[x, z], y]) ∈ [L, L].
Thương L/[L, L] là một đại số Lie giao hoán vì [x+[L, L], y+[L, L]] = [x, y]+[L, L] =
0 + [L, L]. L giao hoán khi và chỉ khi [L, L] = 0.
Bổ đề 1.2.16. Nếu x ∈ [L, L] và φ : L −→ gl(n) là một biểu diễn thì Tr φ( x) = 0.
Chứng minh . Do x ∈ [L, L] nên ta có thể biểu diễn x =

[a
i
, b
i
], với a
i
, b
i

∈
L. Từ Tr([φ(a
i
), φ(b
i
)]) = Tr(φ(a
i
).φ(b
i
) − φ(b
i
).φ(a
i
)) = 0, ta có: Tr(φ(x)) =
T r(φ(

[a
i
, b
i
])) =

T r([φ(a
i
), φ(b
i
)]) = 0.
Ví dụ 1.2.17. Với L = gl(n) thì [L, L] = sl(n). Nên nếu K là đại số con của gl(n)
thì [K, K] là đại số con của sl(n).
1.3 Đại số Lie lũy linh và định lý Engel

Xét dãy các ideal của đại số Lie L (chuỗi giảm các ideal): L
0
= L, L
1
= [L, L], , L
i
=
[L, L
i−1
],
Định nghĩa 1.3.1. L được gọi là lũy linh nếu tồn tại n sao cho: L
n
= 0.
Rõ ràng các đại số giao hoán là lũy linh.
Ví dụ 1.3.2. Đại số Lie π
n
, bao gồm các ma trận tam giác trên thật sự, là lũy
linh. Thật vậy, đặt A
m
= {x = (x
ij
) ∈ gl(n, F)|x
ij
= 0, ∀j − i < m}. Khi đó
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 12
∀x = ( x
ij
) ∈ A
m
, ∀y = (y

ij
) ∈ π
n
, ta có: [x, y] =

(x
ij
y
jl
e
il
) −

(x
ij
y
ki
e
kj
). Do
x
ij
= 0, ∀j − i < m và y
kl
= 0, ∀k − l < 1 nên [x, y] =

j−i≥m,l−j≥1
(x
ij
y

jl
e
il
) −

j−i≥m,i−k≥1
(x
ij
y
ki
e
kj
) ∈ A
m+1
. Vậy π
m
n
⊂ A
m
, đặc biệt khi m = n thì π
m
n
= 0 hay π
n
là lũy linh.
Mệnh đề 1.3.3. Cho L là một đ ại số Lie . Khi đó:
(1) Nếu L là lũy linh thì các đại số con và ảnh đồng cấu của L cũng lũy linh.
(2) Nếu L/Z(L) l à lũy linh thì L cũng là lũy linh.
(3) Nếu L là lũy linh và khác 0 thì Z(L) = 0.
Chứng minh . (1) Với K là đại số con của L thì K

n
⊆ L
n
, nên nếu L là lũy linh,
nghĩa là tồn tại n sao cho L
n
= 0, thì K
n
= 0. Do đó nếu L lũy linh thì K lũy
linh. Tương tự, từ φ([L, L]) = [φ(L), φ(L)], ta có: φ(L
n
) = φ(L)
n
, nên nếu L
lũy linh thì φ(L) lũy linh.
(2) Từ L/Z(L) là lũy linh, suy ra tồn tại n sao cho: L
n
⊆ Z(L). Vậy: L
n+1
=
[L, L
n
] ⊆ [L, Z(L)] = 0.
(3) Nếu n là lũy linh thì tồn tại n sao cho L
n
= 0, L
n−1
= 0, nên L
n−1
⊆ Z(L).

Một phần tử x ∈ L được gọi là ad-lũy linh nếu ad x là tự đồng cấu lũy linh,
tức là tồn tại n sao cho: (ad x)
n
= 0.
Bổ đề 1.3.4. Nếu x ∈ gl(V ) là một tự đồ ng cấu tuyến tính lũy linh của V thì x là
ad-lũy lin h.
Chứng minh . Với x ∈ gl(V ) là một tự đồng cấu lũy linh, tồn tại n sao cho: x
n
= 0.
Ta xác định hai tự đồng cấu tuyến tính của gl(V ) như sau:
L : gl(V ) −→ gl(V ), y → xy và R : gl(V ) −→ gl(V ), y → yx.
Do LR(y) = xyx = RL(y) nên L, R giao hoán. Từ x
n
= 0 và L
n
(y) = x
n
y, R
n
(y) =
yx
n
ta có L
n
= 0 = R
n
. Do đó L, R là lũy linh.
Vậy: (adx)
2n
= (L − R)

2
n =

2n
k=0

2n
k

L
2n−k
(−R)
k
= 0.
Do đó x là ad- lũy linh.
Chú ý id ∈ gl(V ) là ad-lũy linh nhưng không lũy linh như một tự đồng cấu.
Bổ đề 1.3.5. Nếu L là lũy linh thì mọi phần tử của L là ad-lũy linh.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 13
Chứng minh . Từ L là lũy linh, ta có: L
n
= 0 nên với mọi x
0
, x
1
, , x
n
∈ L:
[x
n
, [ [x

2
, [x
1
, x
0
]] ]] = (adx
n
)(adx
n−1
) (adx
1
)(x
0
) = 0.
Đặc biệt khi cho x
1
= x
2
= = x
n
= x ∈ L ta được (ad x)
n
(x
0
) = 0, ∀x
0
∈ L nên
(ad x)
n
= 0 hay x là ad-lũy linh.

Định lý 1.3.6. Cho L là một đại số Lie con của gl(V ), trong đó V là một không
gian vec tor hữu hạn chiều khác 0 trên F. Nếu L bao gồm các tự đồng cấu lũy linh
thì tồn tại vec tor khác không v ∈ V thỏa mãn: Lv = 0, ở đây Lv = {xv|x ∈ L}.
Chứng minh . Ta chứng minh quy nạp theo chiều của L.
Với dim L = 1 , L = Fx, trong đó x lũy linh, tức là tồn tại n sao cho: x
n
= 0.
Khi đó, với vector khác không v
0
∈ V thì x
n
(v) = 0. Đặt v
i
= x
i
(v) ∈ L, i =
1, n.
Tồn tại i nhỏ nhất sao cho v
i
= 0, v
i+1
= 0. Đặt v = v
i
= 0, ta được Lv = 0.
Trong trường hợp tổng quát: gọi K là một đại số con thực sự của L. Khi đó, K
tác động lên không gian vector L với biểu diễn phụ hợp, theo bổ đề 1.3.4 thì các
phần tử của K tác động lũy linh lên L. Nó cảm sinh một tác động của K lên không
gian vector L/K xác định như sau: với mỗi y ∈ K, ta có ánh xạ φ(y) : L/K −→
L/K, x + K → [y, x] + K. Ánh xạ này được định nghĩa tốt do K là đại số con
của L, và ánh xạ này là tuyến tính từ sự tuyến tính của tích Lie. Như vậy ánh xạ

φ : K −→ gl(L/K) là một tự đồng cấu giữa các đại số Lie. Các phần tử của K tác
động lũy linh lên L theo tác động phụ hợp nên các phần tử của K cũng tác động
lũy linh lên không gian vector L/K.
Áp dụng giả thiết quy nạp cho φ(K) ⊂ gl(L/K), tồn tại vector khác không
x + K ∈ L/K bị triệt tiêu bởi tác động của K. Khi đó x ∈ L, x ∈ K, [x, K] ⊆ K.
Do đó, K
′
= K + Fx là một đại số con của L chứa K như là một ideal. Vậy, mọi
đại số con của L là một ideal với đối chiều 1 trong một đại số con khác của L. Do
L là hữu hạn chiều nên L có một ideal I với đối chiều 1: L = I ⊕ Fx. Theo giả thiết
quy nạp, không gian vector V
′
= {v ∈ V |Iv = 0} là khác không. Không gian V
′
là
x-bất biến, do với y ∈ I, v ∈ V
′
ta có: yxv = xyv + [y, x]v = 0. Do x là lũy linh nên
ta có một vector khác không v ∈ V
′
bị triệt tiêu bởi x. Khi đó Lx = 0.
Định lý 1.3.7. (Định lý Engel) Cho L là một đại số Lie hữu hạn chiều. Nếu mọi
phần tử của L là ad-lũy linh thì L lũy linh.
Chứng minh . Với L là một đại số Lie hữu hạn chiều với các phần tử là ad-lũy linh.
Khi đó, đại số Lie adL ⊂ gl(L) thỏa mãn các giả thiết của định lý trên. Do đó tồn tại
phần tử x ∈ L thỏa mãn:[L, x] = 0 nên Z(L) = 0. Với Z = Z(L); x+ Z, y + Z ∈ L/Z
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 14
thì:
(ad(x + Z))
n

(y + Z) = [x + Z, [x + Z, [x + Z, y + Z] ]]
= [x, [x, , [x, y] ]] + Z
= (adx)
n
(y) + Z.
Do đó L/Z(L) bao gồm các phần tử ad-lũy linh và có chiều nhỏ hơn L. Theo quy
nạp, L/Z(L) là lũy linh. Vậy L là lũy linh, theo mệnh đề 1.3.3.
Với V là một không gian vector hữu hạn chiều, dim V = n. Một flag trong V
là một xích các không gian con: 0 = V
0
⊂ V
1
⊂ ⊂ V
n
= V , ở đó dim V
i
= i. Với
x ∈ End(V ), ta nói x ổn định với flag nếu xV
i
⊂ V
i
, ∀i.
Hệ quả 1.3.8. Với L là một đại số con của gl(V ), ở đó V l à một không gian vector
hữu hạn chiều khác không trên F. Nếu L gồm các tự đồng cấ u lũy linh thì tồn tại
một flag (V
i
) của V ổn đị nh dưới tác động của L, với xV
i
⊂ V
i−1

, ∀i, ∀x ∈ L. Nói
cách khác, tồn tại một cơ sở của V phụ thuộc vào L là một đại số co n của π
n
, với
n = dim V .
Chứng minh . Ta chứng minh quy nạp theo n = dim V . Giả sử mệnh đề đúng với
mọi đại số con L
′
của gl(V
′
) khi dim V
′
< dim V và L
′
gồm các tự đồng cấu lũy
linh. Theo định lý trên, tồn tại v
1
∈ V là một vector khác không thỏa mãn: Lv
1
= 0.
Xét V
1
= Fv
1
và W = V/V
1
. Với x ∈ L ⊂ gl(V ). Do V
1
⊂ Ker x nên ta có ánh
xạ

x : V/V
1
−→ V . Hợp thành với ánh xạ chiếu: ρ : V −→ V/V
1
ta được ánh xạ
φ(x) ∈ gl(V ). Như vậy, ánh xạ φ : L −→ gl(W ) là một đồng cấu giữa các đại số
Lie. Do x là một tự đồng cấu lũy linh nên φ(x) cũng là một tự đồng cấu lũy linh.
và dim W < dim V . Theo giả thiết quy nạp, tồn tại một flag của W ổn định dưới
tác động của L và thỏa mãn: φ(x)W
i
⊂ W
i−1
, ∀i, ∀x ∈ L. Khi đó:
{0} ⊂ V
1
⊂ ρ
−1
(W
1
) ⊂ ⊂ ρ
−1
(W
n−1
)
là một flag của V ổn định dưới tác động của L.
Bổ đề 1.3.9. Với L lũy linh và K là một ideal của L, nếu K = 0 thì K ∩ Z(L) = 0.
Chứng minh . L tác động lên K theo biểu diễn phụ hợp, nên theo định lý 1.3.6 thì
tồn tại x ∈ K sao cho [L, x] = 0 hay x ∈ K ∩ Z(L).
1.4 Đại số Lie giải được
Ta xét dãy các ideal của L như sau:

L
(0)
= L, L
(1)
= [L, L], L
(2)
= [L
(1)
, L
(1)
], , L
(i)
= [L
(i−1)
, L
(i−1)
],
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 15
Định nghĩa 1.4.1. Đại số Lie L được gọi là giải được nếu tồn tại n sao cho: L
(n)
= 0.
Ví dụ 1.4.2. Đại số Lie lũy linh (và do đó, đại số Lie giao hoán) là giải được.
Ví dụ 1.4.3. Đại số Lie τ(n, F) của các ma trận tam giác trên là giải được nhưng
không lũy linh. Thật vậy, đặt A
m
= {x = (x
ij
) ∈ gl(n, F)|x
ij
= 0, ∀j − i < m}.

Khi đó, với x = (x
ij
), y = (y
ij
) ∈ A
m
, ta có: [x, y] =

j−i≥m,l−j≥m
(x
ij
y
jl
e
il
) −

j−i≥m,i−k≥m
(x
ij
y
ki
e
kj
) ∈ A
2m
nên [A
m
, A
m

] ⊂ A
2m
. Mà [τ (n, F), τ (n, F)] = π
n
= A
1
nên τ(n, F) là giải được.
Mệnh đề 1.4.4. Với L là một đại s ố Lie, khi đ ó:
(1) Nếu L là giả i được thì các đại số con và ảnh đồng cấu của L cũng là các đại s ố
Lie giải được.
(2) Nếu I là ideal giải được của L sao cho L/I là giải được , thì L cũng giải được.
(3) Nếu I, J là những ideal gi ải đ ược của L thì I + J cũng là ideal giải được.
Chứng minh . (1) Với K là một đại số con của L, ta có: K
(i)
⊂ L
(i)
, nên nếu L
(n)
= 0
thì K
(n)
= 0, do đó nếu L giải được thì đại số Lie con của L cũng giải được.
Tương tự, nếu φ : L −→ M là một toàn ánh, do φ([L, L]) = [φ(L), φ(L)] nên
theo quy nạp ta có: φ(L
(i)
) = M
(i)
. Vậy nếu L
(n)
= 0 thì M

(n)
= 0, do vậy nếu
L giải được thì M = φ( L) cũng giải được.
(2) Giả sử (L/I)
(n)
= 0, π : L −→ L/I là phép chiếu chính tắc. Theo ý trên, áp
dụng cho π, ta được: π(L
(n)
) = 0 kéo theo: L
(n)
⊂ I = Kerπ. Nên với I
(m)
= 0
thì L
(m+n)
= (L
n
)
(m)
= 0.
(3) Với I, J là các ideal thì ta có I + J cũng là một ideal. Theo định lý đồng cấu
chuẩn tắc, ta có: (I + J)/J
∼
=
I/(I ∩ J). Giả sử I, J là các ideal giải được
của L. Khi đó ta có I/(I ∩ J) là ảnh đồng cấu của I nên I/(I ∩ J) cũng giả i
đươc, do đó (I + J)/J cũng là giải được, mà J g iả i được nên theo phần (2)
thì (I + J) cũng giải được.
Hệ quả 1.4.5. Đại số Lie L là giải được (lũy linh) khi và chỉ khi ad L là giải được
(lũy linh) .

Chứng minh . Do ad L là ảnh đồng cấu ad của L nên theo phần (1) của mệnh đề
1.4.4, nếu L giải được thì ad L cũng giải được.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 16
Ở chiều ngược lại, ta có: ad L
∼
=
L/Ker ad = L/Z(L), mà Z(L) là giao hoán, do
đó là giải được nên theo phần (2 ) của mệnh đề 1.4.4, L cũng giải được.
Tương tự, theo mệnh đề 1.3.3 thì L lũy linh khi và chỉ khi ad L là lũy linh.
Với L là một đại số Lie tùy ý, gọi S là một ideal g iả i được cực đại của L, tức là
S không chứa thực sự trong một ideal giải được cực đại khác. Khi đó, với I là một
ideal giải được bất kỳ của L, theo phần (3) của mệnh đề 1.4.4 thì S + I là một ideal
giải được, theo tính cực đại thì S + I = S hay I ⊂ S.
Như vậy, tồn tại duy nhất một ideal giải được cực đại của L, gọi là radical của
L, ký hiệu: rad L. Khi R ad L = 0 ta gọi L là đại số Lie nửa đơn.
Ví dụ 1.4.6. Đại số Lie đơn là nửa đơn vì đại số Lie đơn có đúng hai ideal là 0 và
chính nó, hơn nữa đại số Lie đơn là không giải được.
Với đại số Lie L bất kỳ thì L/Rad(L) là nửa đơn.
Một đại số Lie nửa đơn có tâm tầm thường, nên biểu diễn phụ hợp của đại số
Lie nửa đơn là trung thành.
1.5 Định lý Lie
Xét F là trường đóng đại số có đặc số 0.
Định lý 1.5.1. Xét L là đạ i số con giải được của gl(V ), với V là không gian vector
khác không, hữu hạn chiều. Khi đó V chứa một vector riêng chung cho tất cả các tự
đồng cấu trong L.
Chứng minh . Ta chứng minh quy nạp theo n = dim V .
Trường hợ p n = 1, L = Fx. Do F là trường đóng đại số và V có chiều hữu hạn
nên x có một vector riêng v ∈ V . Khi đó, v chính là vector riêng chung cho các đồng
cấu trong L.
Giả sử mệnh đề đúng với mọi L mà dim L < n. Ta chứng minh định lý trên theo

4 bước: (1)Tìm một ideal K của L có đối chiều 1; (2) bằng quy nạp, chỉ ra rằng có
một vector riêng chung cho K; (3) kiểm tra L ổn định một không gian bao gồm các
vector riêng như thế; (4)tìm trong không gian trên một vector riêng của z ∈ L mà:
L = K + Fz.
(1): Do L là giải được, [L, L]  L nên mọi không gian con của L chứa [L, L] đều là
ideal của L. Do đó L có một ideal với đối chiều 1 : L = K ⊕ Fz.
(2): Theo giả thiết quy nạp, tồn tại một vector riêng v ∈ V chung cho các phần tử
của K. Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính: λ : K −→ F thỏa mãn: mọi phần tử
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 17
y ∈ K, ta có: y.v = λ(y)v. Đặt W = {w ∈ V |y.w = λ(y)w, ∀y ∈ K}. Do v ∈ W nên
W = 0. W là một không gian vector con của L.
(3): Ta chỉ ra rằng L ổn định W . Với x ∈ L, w ∈ W ta chứng minh: x.w ∈ W hay
y.(x.w) = λ(y)x.w, ∀y ∈ K. Từ [x, y] ∈ K, ta có:
y.(x.w) = x.(y.w) − [x, y].w = λ(y)x.w − λ([x, y])w
nên ta chỉ cần chứng minh λ([x, y]) = 0, ∀y ∈ K.
Đặt W
0
= 0, W
k
= span{w, x.w, , x
k−1
.w}, và gọi n > 0 là số nguyên nhỏ nhất
thỏa mãn: W
n
= W
n+1
. Khi đó x.W
n
= W
n

và dim W
k
= k, k ≤ n. Ta chứng minh
∀y ∈ K : y.x
k
.w = λ(y).x
k
.w(mod W
k
) bằng quy nạp theo k. Với k = 0, ta có ngay
theo định nghĩa W , giả sử mệnh đề đúng với k − 1, ta chứng minh mệnh đề đúng
với k: y.x
k
.w = x.y.x
k−1
.w − [x, y].x
k−1
.w. Do K là một ideal, nên ta có: [x, y] ∈
K, theo giả thiết quy nạp :[x, y].x
k−1
.w = λ([x, y]) .x
k−1
.w(mod W
k−1
)vy.x
k−1
.w =
λ(y).x
k−1
.w(mod W

k−1
) nên [x, y].x
k−1
.w ∈ W
k
nên ta có mệnh đề thỏa mãn.
Như vậy mỗi phần tử y ∈ K tác động lên W
n
= span{w, x.w, , x
(n−1)
.w}
như một ma trận tam giác trên với các phần tử trên đường chéo là λ(y). Do đó:
T r(y) = nλ(y), mà [x, y] ∈ K, T r([x, y]) = 0 nên n.λ([x, y]) = 0. Vậy λ([x, y]) = 0(
vì char F = 0).
(4): Từ L ổn định W và F là trường đóng đại số nên tồn tại vector riêng v
0
∈ W
của z, với z ∈ L thỏa mãn: L = K ⊕ Fz. Vậy v
0
là vector riêng chung của các phần
tử của L.
Hệ quả 1.5.2. (Định lý Lie) Với L là một đại số Lie con giải được của gl( V ),
dim V = n < ∞. Khi đó tồn tại một flag của V ổn định dưới tác động của L(nói
một cá c h khác , ma trận của các tự đồng cấu của L với cơ sở của V tương ứng là
tam giác trên).
Hệ quả 1.5.3. Với L là đại số Lie hữu hạn chiều giải được. Khi đó tồn tại một
xích các ideal c ủa L thỏa mãn: 0 = L
0
⊂ L
1

⊂ L
2
⊂ ⊂ L
n
= L, ở đó dim L
i
= i.
Hệ quả 1.5.4. Nếu L là một đại s ố Lie hữu hạn chiều giải được thì [L, L] là lũy
linh.
Chứng minh . Xét biểu diễn phụ hợp ad: L −→ gl(L). Theo định lý Lie, tồn tại
một cơ sở của L sao cho ad(L) ⊆ τ(n, F), vớin = dim L. Vậy nên ad([L, L]) =
[ad(L), ad(L)] ⊆ π(n, F) suy ra ad x là lũy linh với mọi x ∈ [L, L]. Theo định lý
Engel, ta có [L, L] là lũy linh.
Chương 2
Đại số Lie nửa đơn
2.1 Phân tích Jordan-Chevalley
Trong phần này, ta xét V là một không gian vector hữu han chiều trên trường F,
với F là một trường đóng đại số có đặc số tùy ý.
Định nghĩa 2.1.1. Phần tử x ∈ End (V ) được gọi là nửa đơn nếu các nghiệm của
đa thức t ối tiểu của x trên trường F là phân biệt.
Mệnh đề 2.1.2. C ho V là một không gian vector hữu hạn chiều trên F và x ∈
End (V ). Khi đó:
(1) Tồn tại duy nhất x
s
, x
n
∈ End (V ) thỏa mãn các điều kiện: x = x
s
+ x
n

, x
s
là
nửa đơn, x
n
là lũy linh, x
s
, x
n
giao hoán.
(2) Tồn tại các đa thức một biến p(T ), q(T ) với hệ số tự do bằng 0, sao cho x
s
=
p(x), x
n
= q( x). Đặc bi ệt, x
s
và x
n
giao hoán với mọi đồng cấu giao hoán với
x.
(3) Nếu A ⊂ B ⊂ V là các khô ng gian con, và x(B) ⊂ A, thì x
s
(B) ⊂ A và
x
n
(B) ⊂ A.
Phân tích x = x
s
+ x

n
như trên được gọi là phân tích Jordan-Cheva lley của x;
x
s
và x
n
được gọi là phần nửa đơn và phần lũy linh của x.
Chứng minh . Gọi a
1
, a
2
, , a
k
( phân biệt) là các giá trị riêng của x với bội m
1
, m
2
, , m
k
.
Đa thức đặc trưng của x là: Π(T − a
i
)
m
i
. Nếu V
i
= Ker (x − a
i
.1)

m
i
, thì V ⊕
k
i=1
V
i
và x(V
i
) ⊂ V
i
. Trên V
i
, x có đa thức đặc trưng là (T −a
i
)
m
i
. Theo định lý Trung hoa
về thặng dư trên vành F(T ) , tồn tại đa thức p( T ) thỏa mãn hệ phương trình đồng
dư: p(T ) ≡ a
i
(mod (T − a
i
)
m
i
), p(T ) ≡ 0(mod T ). Đặt q(T ) = T − p(T ). Từ phương
trình đồng dư cuối: p(T ) ≡ 0(mod T ), ta có phần hằng số của p(T ) và q(T ) bằng 0.
18

CHƯƠNG 2. ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN 19
Đặt x
s
= p(x), x
n
= q(x). Như vậy, x
s
và x
n
là các đa thức của x nên chúng
giao hoán với nhau, và hơn nữa, chúng giao hoán với tất cả các tự đồng cấu giao
hoán với x. Và cũng do là các đa thức của x nên x
s
, x
n
giữ ổn định các không gian
vector con V
i
. Các phương trình đồng dư p(T) ≡ a
i
(mod (T − a
i
)
m
i
) chỉ ra rằng hạn
chế của x
s
− a
i

.1 trên V
i
bằng 0 với mọi i. Do đó x tác động đường chéo trên V
i
với
giá trị riêng a
i
. Từ định nghĩa: x
n
= x − x
s
ta được x
n
là lũy linh. Vì p(T ), q(T )
có hệ số tự do bằng 0 và x(B) ⊂ A nên phần (3) của mệnh đề được thỏa mãn.
Như vậy, ta chỉ cần chứng minh tính duy nhất trong phần (1) của mệnh đề. Giả
sử x = s + n là một phân tích khác thỏa mãn các điều kiện của mệnh đề. Khi đó,
ta được x
s
− s = x
n
− n, ở đây vế trái là nửa đơn còn vế phải là lũy linh. Do đó,
x
s
− s = x
n
− n = 0. Vậy tính duy nhất được chứng minh.
Bổ đề 2.1.3. Với x ∈ End V ( V có hữu hạn chiều) có phân tích Jordan là
x = x
s

+ x
n
, khi đó ad x = ad x
s
+ ad x
n
là phân tích Jordan của ad x trong
End (End V ).
Chứng minh . Theo bổ đề 1.3.4, do x
n
là lũy linh nên ad x
n
là lũy linh. Tương tự, ta
cũng có thể chứng minh với x
s
là nửa đơn thì ad x
s
cũng là nửa đơn. Thật vậy, giả sử
trong cơ sở {v
i
}
n
i=1
ma trận của ad x
s
có dạng đường chéo: ad x
s
= diag(a
1
, , a

n
).
Gọi {e
ij
} là cơ sở chuẩn tắc của gl(V ) theo cơ sở {v
i
}
n
i=1
, tức là: e
ij
(v
k
) = δ
jk
v
i
. Khi
đó ta có: ad x
s
(e
ij
) = (a
i
− a
j
)e
ij
nên x
s

có dạng đường chéo hay ad x
s
là nửa đơn.
Tiếp theo, ad x
s
và ad x
n
là giao hoán vì [ad x
s
, ad x
n
] = ad [x
s
, x
n
] = 0. Vậy
theo phần (1) của mệnh đề 2.1.2, ta có ad x = ad x
s
+ ad x
n
là phân tích Jor dan
của ad x.
Nhận xét: Xét dạng chuẩn tắc Jordan của một tự đồng cấu tuyến tính x trên
trường đóng đại số F: x = diag(J
1
, J
2
, , J
k
), ở đó J

i
là các ô Jordan:
J
i
=






c
i
0 . . . 0 0
1 c
i
. . . 0 0
. . . . . . .
0 0 . . . 1 c
i






.
Đặt s = diag(c
1
, , c

1
, c
2
, , c
2
, , c
k
, , c
k
) và n = x − s. Khi đó s là ma trận
đường chéo, có các phần tử trên đường chéo chính trùng với các phần tử tương ứng
trên đường chéo chính của x. Còn n là ma trận tam giác dưới thực sự, có đường
chéo bên dưới đường chéo chính có các phần tử là 1 và 0, các phần tử còn lại là 0.
Như vậy, ta được s là nửa đơn còn n là lũy linh. Hơn nữa, do s có dạng đường chéo
nên s và n giao hoán. Theo tính duy nhất ở phần (1) của mệnh đề, ta được x
s
= s,
x
n
= n.
CHƯƠNG 2. ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN 20
2.2 Tiêu chuẩn Cartan
Mệnh đề 2.2.1. Cho A ⊂ B là hai không gian co n của gl(V), V hữu hạn c hiều.
Đặt M = {x ∈ gl(V )| [x, B] ⊂ A}. Giả sử x ∈ M sao cho Tr( xy) = 0, ∀y ∈ M. Khi
đó x lũy linh.
Chứng minh . Xét hợp thành Jordan của x: x = s + n, ở đó s = x
s
, n = x
n
.

Gọi v
1
, v
2
, , v
m
là một cơ sở của V làm cho s có dạng ma trận đường chéo: s =
diag(a
1
, a
2
, , a
m
) và {e
ij
} là cơ sở tương ứng của gl(V ). Đặt E = span
Q
{a
1
, a
2
, , a
m
}.
Để chứng minh x lũy linh, ta chứng minh E = 0.
Với f ∈ E
∗
, ta xét y = diag(f(a
1
), f(a

m
)).
Khi đó ta có: ad s(e
ij
) = (a
i
− a
j
)e
ij
, ad y(e
ij
) = (f (a
i
) − f(a
j
))e
ij
.
Theo khai triển Lagrange, tồn tại đa thức r(T ) ∈ F (T ) sao cho r(a
i
− a
j
) =
f(a
i
− a
j
) = f (a
i

) − f(a
j
), khi đó ad y = r (a d s).
Theo mệnh đề 2.1.3, ta có ad s là phần nửa đơn của ad x nên theo mệnh đề 2.1.2
thì ad s có thể xem như một đa thức của ad x khuyết hệ số tự do. Do đó ad y có thể
biểu diễn thành một đa thức của ad x khuyết hệ số tự do. Mà ad x(B) ⊂ A nên ad
y(B) ⊂ A hay y ∈ M. Suy ra T r(xy) = 0 nên

a
i
f(a
i
) = 0, do đó

f(a
i
)
2
= 0.
Vậy f(a
i
) = 0 hay f = 0 nên E
∗
= 0 hay E = 0.
Định lý 2.2.2. ( Tiêu chuẩn Cartan) Cho L là một đại số con của gl(V ) , ở đó V
hữu hạn chiều. Khi đó L giải được khi và chỉ khi T r(xy) = 0, ∀x ∈ [LL], y ∈ L.
Chứng minh . Chiều suy ra là hiển nhiên, t a chứng minh chiều ngược lại. Để chứng
minh L giải được, ta sẽ chứng minh [LL] lũy linh. Theo định lý Engel, ta chỉ cần
chứng minh mọi phần tử x của [LL] là lũy linh.
Áp dụng mệnh đề 2.2.1 với A = [LL], B = L, M = x ∈ gl(V )|[x, L] ⊂ [LL], ta

chỉ cần chứng minh với [xy] là phần tử sinh của [LL], z ∈ M thì T r([xy]z) = 0.
Điều này đúng do T r([xy]z) = T r(x[yz]) = Tr([yz]x) = 0 (vì [yz] ∈ [LL]).
Trong ví dụ 1.4.3: τ (n, F) là đại số Lie giải được vì: ∀x = (x
ij
), y = (y
ij
), z =
(z
ij
) ∈ τ(n, F) : T r([x, y]z) = T r(xyz − yxz) =

i,j
(

k
(x
ik
y
kj
− y
ik
x
kj
)z
ji
) = 0,
do nếu j > i thì z
ji
= 0, nếu j < i thì x
ik

y
kj
= y
ik
x
kj
= 0, ∀k, nếu j = i thì

k
(x
ik
y
kj
− y
ik
x
kj
) = x
jj
y
jj
− y
jj
x
jj
= 0. Ngược lại, sl(2 , F) ( tương tự, sl(n, F))
không giải được vì T r([xy]h) = 2 = 0.
Hệ quả 2.2.3. Đại số Lie L là giải được khi và chỉ khi T r(ad x.ad y) = 0, ∀x ∈
[LL], y ∈ L.
Chứng minh . Áp dụng định lý 2.2.2 cho biểu diễn phụ hợp của L được ad L là giải

được. Từ Ker ad = Z(L) là giải được nên theo mệnh đề 1.4.4, L cũng giải được.
CHƯƠNG 2. ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN 21
2.3 Killing form
Định nghĩa 2.3.1. Cho L là một đại số Lie bất kỳ. Một dạng Killing trên L là một
ánh xạ κ : L × L −→ F, (x, y) −→ κ(x, y) = T r(ad x.ad y).
Nhận xét: κ là một dạng song tuyến tính đối xứng trên L. Do với A, B, C ∈ gl(n),
ta có: Tr([AB]C) = T r(ABC) − T r(BAC) = T r(ABC) − T r(ACB) = Tr(A[BC]),
nên κ([xy], z) = κ(x, [yz]) . Vậy κ có tính kết hợp.
Ví dụ 2.3.2. Ta tính dạng K illing của sl(2, F) với cơ sở chuẩn tắc:
x =

0 1
0 0

, h =

1 0
0 −1

, y =

0 0
1 0

.
Ta có: ad h = diag(2; 0; −2), ad x =



0 −2 0

0 0 1
0 0 0



, ad y =



0 0 0
−1 0 0
0 2 0



.
Do đó κ có ma trận:



0 0 4
0 8 0
4 0 0



.
Bổ đề 2.3.3. Cho I l à mộ t ideal của L. Nếu κ : L × L −→ F là dạng Killing của
L và κ
I

: I × I −→ F là dạng Killing fo rm của I thì: κ
I
= κ|
I×I
.
Chứng minh . Ta sử dụng một kết quả của đại số tuyến tính: nếu W là một không
gian vector con của không gian vector hữu hạn chiều V và φ là một tự đồng cấu của
V mà φ(V ) ⊂ W, thì T r φ = Tr (φ|
W
).
Với x, y ∈ I thì φ = (ad x)(ad y) là một tự đồng cấu của L thỏa mãn φ(L) ⊂ I
nên ta có:
κ|
I×I
(x, y) = T r(φ) = Tr(φ|
I
) = T r((ad|
I
x)(ad|
I
y)) = κ
I
(x, y).
Định nghĩa 2.3.4. Một dạng song tuyến tính đối xứng B(x, y) được gọi là không
suy biến nếu Ra dical của nó bằng 0.
Ở đây Radical của B, ký hiệu Rad B, xác định như sau:
Rad B = {x ∈ L|B(x, y) = 0}, ∀y ∈ L.
Nhận xét: Rad B là một ideal của L. Cố định một cơ sở {x
1
, x

2
, , x
n
} của L thì
κ không suy biến khi và chỉ khi ma t rận tương ứng của κ( là ma trận có phần tử ở
dòng thứ i, cột thứ j bằng κ(x
i
, x
j
)) có định thức khác 0.
Trong sl(2, F ) với cơ sở chuẩn tắc, như tính toán ở ví dụ 2.3.2, ma trận xác định
κ là:



0 0 4
0 8 0
4 0 0



có định thức là -128 nên κ là không suy biến nếu char F = 2.
CHƯƠNG 2. ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN 22
Định lý 2.3.5. (Tiêu chuẩn cho tính nửa đơn) Cho L là một đại s ố Lie.
Khi đó, L là nửa đơn khi và chỉ khi dạng Ki lling tương ứng không suy biến.
Chứng minh . Nếu L là nửa đơn thì Rad L = 0. Đặt S = Rad κ.
Ta có: T r(ad x ad y) = 0 ∀x ∈ S, y ∈ L. Theo tiêu chuẩn Cartan( định lý 2.2.2)
thì ad
L
S giải được nên theo hệ quả 1.4.5, S giải được. Mà S là một ideal của L nên

S ⊂ Rad L = 0. Vậy κ không suy biến.
Ngược lại, nếu κ không suy biến thì S = 0. Với I là một ideal giao hoán của L,
∀x ∈ I, y ∈ L ta luôn có: (ad x ad y): L −→ I, I −→ 0 nên (ad x ad y)
2
: L −→ 0.
Vậy (ad x ad y) là lũy linh nên 0 = Tr(ad x a d y) = κ(x, y). Do đó I ⊆ S = 0.
Vậy Rad L=0 hay L là nửa đơn.
Bổ đề 2.3.6. Giả sử L = L
1
⊕ L
2
⊕ ⊕ L
t
, ở đó cá c i deal L
i
là các đại số Lie đơn .
Thế thì mọi ideal đơn của L sẽ trùng với một trong các L
i
và L = [L, L]. Đại số Lie
L là nửa đơn.
Chứng minh . Nếu I là một ideal của L, thì I = [I, I] ⊂ [I, L] ⊂ I.
Do đó I = [I, L] = [I, L
1
] ⊕ [I, L
2
] ⊕ ⊕ [I, L
t
]. Mà I đơn nên chỉ có một hạng
tử trong tổng trực tiếp trên khác 0. Hay ∃i : I = [I, L
i

] ⊂ L
i
. Mà L
i
là đơn nên
I = L
i
.
Ta có: [L
i
, L
j
] =

0 , i = j
L
i
, i = j
, nên:
[L, L] = [L
1
, L
1
] ⊕ [L
2
, L
2
] ⊕ ⊕ [L
t
, L

t
] = L
1
⊕ L
2
⊕ ⊕ L
t
= L.
Gọi J là một ideal của L. Đặt J
i
= J ∩L
i
⊂ L
i
. Do [L
i
, J
i
] = [L
i
, J] ⊂ [L, J] ⊂ J
nên [L
i
, J
i
] ⊂ L
i
∩ J = J
i
. Vậy J

i
là ideal L
i
mà L
i
là đơn nên J
i
= 0 hoặc J
i
= L
i
.
Hiển nhiên J ⊇ J
1
⊕ J
2
⊕ ⊕ J
t
. Với x ∈ J, ta viết x = x
1
+ x
2
+ + x
t
, ở đó
x
i
∈ L
i
. Nếu x

i
= 0 thì J
i
⊃ [x, L
i
] = [x
i
, L
i
] = 0 do Z(L
i
) = 0 (L
i
đơn). Vậy
J
i
= L
i
nên x
i
∈ J
i
. Do đó x ∈ J
1
⊕ J
2
⊕ ⊕ J
t
. Vậy J = J
1

⊕ J
2
⊕ ⊕ J
t
và
[J, J] = J. Với J = Rad L, ta có: [Rad L, Rad L] = Rad L. Vì Rad L là giải được
nên Rad L = 0.
Định lý 2.3.7. Với L là m ột đại số Lie nửa đơn, tồn tại các ideal đơn L
1
, L
2
, , L
t
của L sao cho: L = L
1
⊕ L
2
⊕ ⊕ L
t
.
Chứng minh . Với I là một ideal của L, ta xét ideal:
I
⊥
:= {x ∈ L|κ(x, y) = 0, ∀y ∈ I}. Do κ(I ∩ I
⊥
, I ∩ I
⊥
) = 0 nên theo hệ quả của
tiêu chuẩn Cartan ta có I ∩ I
⊥

là giải được, và do đó nó bằng 0. Mà κ là không suy
biến nên: dim I + dim I
⊥
= dimL hay I ⊕ I
⊥
= L.
Ta quy nạp theo chiều của L. Nếu L là đơn thì ta có ngay. Nếu L không đơn,
ta xét ideal nhỏ nhất L
1
= 0 của L. Khi đó L = L
1
⊕ L
⊥
1
. Giả sử I là một ideal
CHƯƠNG 2. ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN 23
của L
1
. Với x = a + b ∈ L = L
1
⊕ L
⊥
1
, với a ∈ L
1
, b ∈ L
⊥
1
, và với y ∈ I, ta có:
[x, y] = [a + b, y] = [a, y] + [b, y] = [a, y] ∈ I. Vậy I cũng là một ideal của L. Do đó

L
1
cũng là đơn, theo cách chọn. Tương tự, L
⊥
1
cũng đơn. Áp dụng giả thiết quy nạp
ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.3.8. Nếu L là nửa đơn thì L = [L, L] và mọi ideal và ảnh đồng cấu của
L cũng là nửa đ ơn. Hơn nữa mỗi ideal là tổng các ideal đ ơn của L.
Chứng minh . Với L là nửa đơn, từ bổ đề 2.3.6 ta có L = [L, L]. Với J là một ideal
của L thì theo chứng minh bổ đề 2.3.6 thì J là tổng của các ideal đơn nên cũng theo
2.3.6 thì J là nửa đơn. Theo ví dụ 1.2.8 thì ảnh đồng cấu của một đại số Lie đơn
là một đại số Lie đơn. Nên nếu L là nửa đơn thì theo Định lý 2.3.7 thì L phân tích
được thành tổng trực tiếp của các ideal đơn nên ảnh đồng cấu của L cũng là tổng
trực tiếp của các ideal đơn. Theo bổ đề 2.3.6 thì ảnh đồng cấu của L cũng là nửa
đơn.
2.4 Module
Cho L là một đại số Lie. Để thuận tiện, thay vì sử dụng ngôn ngữ các biểu diễn, ta
sử dụng một ngôn ngữ tương đương, là ngôn ngữ các module.
Định nghĩa 2.4.1. Cho L là một đại số Lie. Không gian vector V cùng với một
phép toán L × V −→ V , ký hiệu: (x, v) −→ x.v hay xv được gọi là L-module nếu
các điều kiện sau được thỏa mãn ∀x, y ∈ L; v, w ∈ V ; a, b ∈ F
(1) (ax + by) .v = a(x.v) + b(y.v),
(2) x.(av + bw) = a(x.v) + b(x.w),
(3) [xy].v = x.y.v − y.x.v.
Nhận xét : Nếu φ : L −→ gl(V ) là một biểu diễn của L thì V là một L-module với
phép toán: x.v = φ(x)v. Ngược lại, nếu V là một L-module thì φ(x)v = x.v xác định
một biểu diễn. Nếu W ⊂ V là một L- module thì ta gọi W là một L-module con
của V . Để kiểm tr a W ⊂ V có phải là một L-module con của V hay không, ta chỉ
cần kiểm tra Lw ⊂ W, ∀w ∈ W hay không. Khi W là một L-module con của V thì

không gian vector thương V /W cùng vớ i tác động của L: x.(v + W) = x.v + W là
một L-module, gọi là L-module thương. Thật vậy, ta chỉ cần kiểm tra phép toán
L × V/W −→ V/W, x.(v + W ) −→ x.v + W được định nghĩa tốt. Điều này đúng do
nếu v − v
′
∈ W t hì x.(v − v
′
) ∈ W, vì W là một L-module.