Ánh xạ trong không gian Banach.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG
KHOA TỐN
−−− −−−

NGUYỄN THỊ MINH KHA

ÁNH XẠ
TRONG KHƠNG GIAN BANACH
Chun ngành: Cử nhân Tốn Tin

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN NHÂN TÂM QUYỀN

Đà Nẵng, 3/2014


2

Mục lục
Lời Cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Không gian vectơ định chuẩn

4
5
6

1.1

Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Định nghĩa chuẩn và không gian vectơ định chuẩn. Các ví dụ

7

1.2.1

Định nghĩa chuẩn và khơng gian vectơ định chuẩn .

7

1.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Không gian vectơ định chuẩn với chuẩn xác định bởi tích
vơ hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

9

1.4

Tính đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5

Tập đóng - tập mở

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1

Định nghĩa tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.2

Định nghĩa tập đóng

1.5.3

Định nghĩa điểm dính . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Giới hạn

20

2.1

2.2
2.3

Tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Giới hạn tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2
2.1.3

Giới hạn của tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Giới hạn của ánh xạ hợp . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.4

Giới hạn của bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . 24

Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Giới hạn không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Tập compact
3.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . 16

37

Tính chất cơ bản của tập compact . . . . . . . . . . . . . . 37

Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


3

3.2

Ánh xạ liên tục trên tập compact . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3

Quan hệ với phủ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4

Định lý Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Chuỗi
48
4.1 Định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2

Chuỗi số nguyên dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3
4.4

Chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Chuỗi trong không gian vectơ định chuẩn . . . . . . . . . . 56

4.5

Hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều của chuỗi hàm . . . . . . . . 58

4.6

Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.7

Phép tính đạo hàm và tích phân của chuỗi . . . . . . . . . . 61

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


4

Lời cảm ơn!
Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Trần Nhân Tâm Quyền, là thầy
hướng dẫn,đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn tận tình
trong suốt quá trình em thực hiện đề tài của mình.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Chủ Nhiệm Khoa Tốn
cùng với các Thầy cơ khoa Tốn của Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng,
đã tạo điều kiện, quan tâm, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và
hoàn thành tốt luận văn.
Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, các bạn cùng lớp động
viên,... tất cả những người đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ em hoàn thành
tốt luận văn này.
Đà Nẵng, tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Nguyễn Thị Minh Kha

Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


5

Lời nói đầu
Lý thuyết giải tích hàm là chìa khóa để hiểu được các mơn học về giải
tích tốn học. Đối tượng chính của giải tích hàm cổ điển là các khơng gian
và các tốn tử ánh xạ tuyến tính liên tục. Nền tảng của giải tích hàm bao
gồm định lý Hahn-Banach, nguyên lý ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng.
Dựa vào nền tảng trên, các nhà tốn học nghiên cứu và tìm hiểu ánh
xạ trên nhiều khơng gian như: không gian metric, không gian định chuẩn,
không gian Banach. Vì vậy, để mở rộng vốn hiểu biết ít ỏi về không gian
Banach đặc biệt là ánh xạ nên em lựa chọn đề tài nghiên cứu "Ánh xạ
trong không gian Banach".
Với nội dung nghiên cứu này, luận văn được viết thành 4 chương.
Chương một: Trình bày định nghĩa về không gian vectơ định chuẩn,
phát biểu các định lý, và các tính chất. Ngồi ra, trình bày tập đóng,
tập mở, và tính đầy đủ trong khơng gian Banach.
Chương hai: Trình bày các tính chất cơ bản của giới hạn, ánh xạ liên
tục trong khơng gian Banach.
Chương ba: Trình bày các tính chất cơ bản của tập compact và ánh
xạ liên tục trên tập compact trong khơng gian Banach.
Chương bốn: Trình bày định nghĩa cơ bản về chuỗi số như: chuỗi số
dương, chuỗi đan dấu, chuỗi hàm trong không gian Banach, phát biểu
các định lý, và các tính chất.
Đà Nẵng, tháng 5 năm 2014

Sinh viên
Nguyễn Thị Minh Kha

Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


6

Chương 1
Không gian vectơ định chuẩn
1.1

Không gian vectơ

Một không gian vectơ trên trường R là một tập E cùng với hai ánh xạ
mà chúng lần lượt là phép cộng và phép nhân với một lượng vơ hướng,
+:V ×V →V
(v, w) → v + w
·:K ×V →V
(x, v) → xv
thỏa mãn các tiên đề sau:
a) u + v = v + u với mọi u, v ∈ V

b) u + (v + w) = (u + v) + w với mọi u, v, w ∈ V.
c) Tồn tại một phần tử 0 ∈ E sao cho
0+v =v+0=v

với mọi v ∈ E

.

d) Nếu v ∈ E thì tồn tại phần tử −v ∈ E sao cho
v + (−v) = (−v) + v = 0.
e) 1 · v = v với v ∈ E , ở đây 1 là phần tử đơn vị của trường R.
f ) (a · b)v = a · (bv) với mọi a, b ∈ R, v ∈ E.
g) (a + b)v = av + bv với mọi a, b ∈ R, v ∈ E.
h) a(v + w) = av + aw với mọi a ∈ R, v, w ∈ E.
Từ các tiên đề trên ta suy ra:
Phần tử 0 của E là duy nhất.
Phần tử −u là duy nhất với mọi u ∈ E .
Ngoài ra −u = (−1) · u với mọi u ∈ E.
Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


7

1.2

1.2.1

Định nghĩa chuẩn và khơng gian vectơ định
chuẩn. Các ví dụ
Định nghĩa chuẩn và không gian vectơ định chuẩn

Cho E là không gian vectơ. Một chuẩn trên E là một hàm v → |v| từ
E vào R thỏa mãn các tiên đề sau:

i) |v| 0 và |v| = 0 nếu và chỉ nếu v = 0.
ii) Nếu a ∈ R và v ∈ E thì |av| = |a||v|.
iii) Với mọi v, w ∈ E ta có |v + w|
giác).

|v| + |w| (Bất đẳng thức tam

Một không gian vectơ định chuẩn là một khơng gian vectơ cùng với
chuẩn trên nó. Một khơng gian vectơ có thể có nhiều chuẩn khác nhau.

1.2.2

Các ví dụ

Ví dụ 1.2.1. Cho S là một tập của khơng gian định chuẩn và ß(S, R) là
khơng gian vectơ của hàm bị chặn trên S. Nếu f là hàm bị chặn trên S ,
ta định nghĩa:
|f |1 = sup |f (x)|.
x∈S

Ta cần chứng minh |f |1 là một chuẩn. Thật vậy,

1. Nếu |f |1 = 0 thì |f (x)| = 0 với mọi x ∈ S . Do đó, f = 0. Mặt
khác, |f |1 ≥ 0. Do đó tiên đề i) thỏa mãn.
2. Nếu c ∈ R, f ∈ ß(S, R) thì
|cf |1 = sup |cf (x)| = |c| sup |f (x)| = |c||f |1 .
x∈S

x∈S

Tiên đề ii) thỏa mãn.

3. Cho f, g là hàm bị chặn trên S , M1 = |f |1 , và M2 = |g|1 .
Ta có
|f (x) + g(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| ≤ M1 + M2 .
Điều này đúng với mọi x ∈ S . Do đó,

|f + g|1 = sup |f (x) + g(x)| ≤ |f |1 + |g|1 .
x∈S

Tiên đề iii) thỏa mãn.
Vậy |f |1 là một chuẩn. Chuẩn này gọi là chuẩn sup.
Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


8

Ví dụ 1.2.2. Ta có một chuẩn trong Rn cho bởi

|A| =

a21 + a22 + ... + a2n .

Nó gọi là chuẩn Euclidean, bởi vì nó là trường hợp tổng quát của chuẩn
thông
thường trong một không gian sao cho chuẩn của một vectơ (a, b) là
√
a2 + b2 .

Chúng ta có thể xác định chuẩn khác trên Rn được kí hiệu bởi | |2 .
Cho
|A|2 = max |ai |
với
i = 1, ..., n,
i

|A|2 gọi là maximum giá trị tuyệt đối của mỗi phần tử của A. Chúng ta
cần chứng minh |A|2 là chuẩn.
Thật vậy,
1. |A|2 = 0 ⇔ A = 0 vì ai = 0, ∀i. Hơn nữa, nếu A = 0 ⇒ |A|2 > 0 vì
|ai | > 0, ∀i.
2. Với mọi a ∈ R, A = (a1 , ..., a1 ) ∈ Rn thì

|cA|2 = max |cai | = max |c||ai | = |c| max |ai | = |c||A|2 .
i

i

i

3. Với mọi A = (a1 , ..., an ), B = (b1 , ..., bn ) ∈ Rn thì

|A + B|2 = max |ai + bi |
i

Ta có

|ai + bi | ≤ |ai | + |bi | ≤ max |ai | + max |bi | ≤ |A|2 + |B|2
i

i

Suy ra |A + B|2 ≤ |A|2 + |B|2
Người ta gọi chuẩn trên là chuẩn max.
Dễ dàng để kiểm tra chuẩn Euclidean với chuẩn sup tương đương với
nhau.
Thật vậy, nếu A = (a1 , ..., an ) thì |aj | =

a2j ≤

a21 + ... + a2n .

Vì vậy

|A|2 = max |ai | ≤ |A|.
i

Mặt khác, cho

|ak | = max |ai |,
i

Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


9

a21 + ... + a2n ≤ n|ak |2 , và

thì

|A| =

a21 + ... + a2n ≤

√

n|A|2 .

Vậy hai chuẩn trên tương đương.

1.3

Không gian vectơ định chuẩn với chuẩn xác
định bởi tích vơ hướng

Một chuẩn trên khơng gian vectơ E thường được xác định bởi tích vơ
hướng:
·:E →R
(v, w) → v · w = < v, w >
thỏa mãn điều kiện sau:
1. v · w = w · v với mọi v, w ∈ E .
2. Với mọi u, v, w ∈ E, ta có: u · (v + w) = u · v + u · w.
3. Nếu x là một số thì (xv) · w = x · (vw) = v · (xw).
Nếu một tích vơ hướng xác định dương thì thỏa mãn một tính chất nữa:
4. Nếu v = 0 thì v · v = 0, và nếu v = 0 thì v · v > 0.
Ví dụ 1.3.1. Cho E = Rn là không gian n-chiều của số thực.

Nếu A = (a1 , a2 , ..., an ), B = (b1 , b2 , ..., bn ) là n-chiều của số thực, chúng
ta xác định:
A · B = a1 .b1 + ... + an .bn .
Chứng minh. A · B là một tích vơ hướng.
Thật vậy,
1. Nếu A = 0 thì ai = 0. Suy ra a2i > 0. Vậy A · A > 0.
2. Với mọi A = (a1 , a2 , ..., an ), B = (b1 , b2 , ..., bn ) ∈ E , thì

A · B = a1 · b1 + ... + an · bn .
B · A = b1 · a1 + ... + bn · an .
= a1 · b1 + ... + an · bn .
Suy ra A · B = B · A.

Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


10

3. Với mọi A = (a1 , a2 , ..., an ), B = (b1 , b2 , ..., bn ), C = (c1 , c2 , ..., cn ) ∈
E, ta có
B + C = (b1 + c1 , ..., bn + cn )
.

A · (B + C) = a1 · (b1 + c1 ) + ... + an · (bn + cn )
= a1 · b1 + ... + an · bn + a1 · c1 + ... + an · cn
= A · B + A · C.

4. Với mọi A = (a1 , a2 , ..., an ), B = (b1 , b2 , ..., bn ), c ∈ E ta có:

cA = (ca1 , ..., can )
.

(cA) · B = (ca1 ) · b1 + ... + (can ) · bn
= c(a1 · b1 ) + ... + an · bn )
= c(A · B)
Ta cũng chứng minh được c(A · B) = A · (cB). Vậy A · B là một tích
vơ hướng.
Ví dụ 1.3.2. Bây giờ chúng ta sẽ xét một ví dụ của một chuẩn xác định
trên một không gian hàm bởi một tích vơ hướng. Cho E là một khơng
gian của hàm liên tục trên [0, 1]. Nếu f, g ∈ E thì ta xác định:
1

(f (x) · g(x))dx.

< f, g >=
0

Bốn tính chất của tích vơ hướng xác định dương được kiểm tra ngay
lập tức dẫn đến hệ quả của các tính chất của tích phân. Do đó, ta sẽ đạt
được một chuẩn tương ứng gọi là chuẩn L2 .
1/2

1

|f |2 =< f, f >

1/2

2

=

(f (x)) dx
0

Lưu ý, nếu một hàm liên tục thì bị chặn trên [0, 1]. Ta có thể xác định
được một chuẩn sup trên khơng gian E của hàm liên tục trên [0, 1] và kí
hiệu chuẩn sup bằng | |0 . Nếu f ∈ E , M = |f |0 thì
1

1

2

M 2 dx

(f (x)) ≤
0

Khóa Luận Tốt nghiệp

M 2.

0

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha

11

Do đó, |f |2 ≤ |f |0
Tuy nhiên, hai | |2 và | |0 là khơng tương đương vì khơng có bất đẳng
thức ngược lại. Chẳng hạn, hàm mà đồ thị cho ở trên có giá trị sup gần
bằng 1 nhưng theo chuẩn L2 của nó là nhỏ.
Định lý 1.3.1. Cho E là khơng gian vectơ với tích vơ hướng xác định
dương, thì
| < v, w > |2 ≤ < v, v > · < w, w > .
Chứng minh. Đặt x=<w,w> và y=-<v,w> thì bằng tính chất 4:

0 ≤(xv + yw) · (xv + yw)
≤x2 v · v + 2xy(v · w) + y 2 w · w.
Thay thế các giá trị x, y ta được

0 ≤ (w · w)2 (v · v) − 2(w · w)(v · w)2 + (v · w)2 (w · w).
Nếu w = 0 thì bất đẵng thức của định lý hiển nhiên, cả hai bên đều
0.
Nếu w = 0 thì w · w = 0. Vì thế, chúng ta chia cả hai vế cho w · w.
Lúc đó,
0 ≤ (v · v)(w · w) − (v · w)2 .
Suy ra
| < v, w > |2 ≤ < v, v > · < w, w > .

√
Chúng ta định nghĩa |v| = v · v. Ta có thể viết lại bất đẳng thức của
định lý 1.3.1 như sau: |v · w| ≤ |v||w| (khi lấy căn bậc hai cả hai vế). Bất
đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Schwarz.
Định lý 1.3.2. Hàm v → |v| là một chuẩn trên E.
Chứng minh. 1.

√
|v| ≥ 0, |v| = 0 ⇔ v · v = 0 ⇔ v = 0.
Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


12

2.
Nếu a ∈ R, v ∈ E thì
√
√
√
|av| = av · av = a2 v · v = |a| v · v = |a||v|.
3.
Với mọi v, w ∈ E thì

|v + w|2 = (v + w) · (v + w) = v · v + 2v · w + w · w = |v|2 + 2|v||w| + |w|2
= (|v| + |w|)2 .
Suy ra, |v + w| ≤ |v| + |w|

1.4

Tính đầy đủ

Cho E là một không gian vectơ định chuẩn. Một dãy {xn } trong E là
hội tụ nếu tồn tại v ∈ E có tính chất sau: Cho > 0, tồn tại N, sao cho
với mọi n ≥ N , ta có |xn − v| < . Ta gọi v là giới hạn của dãy {xn }. Giới
hạn này nếu tồn tại là xác định duy nhất.

Chứng minh. Nếu tồn tại w cũng là giới hạn của dãy, ta nhận được N1 sao
cho n ≥ N1 thì |xn − v| < . Chọn N = max(N1 , N2 ). Nếu n ≥ N1 thì
|v − w| ≤ |v − xn | + |xn − w| < . Vì vậy, |v − w| = 0, v = w.
Giới hạn này được kí hiệu là

lim vn = v.

n→∞

Một dãy {xn } trong không gian vectơ định chuẩn được gọi là dãy
Cauchy, nếu cho > 0, khi đó tồn tại N, sao cho với mọi m, n ≥ N, ta có

|xm − xn | < .
Nếu một dãy hội tụ thì nó là dãy Cauchy.
Chứng minh. Nếu dãy {xn } hội tụ tới a, cho , khi đó tồn tại N sao cho
với mọi n ≥ N, ta có:

|xn − a| < /2

và

|xm − a| < /2.

Do đó, với mọi m, n ≥ N, ta có |xm − xn | ≤ |xm − a| + |xn − a| < . Vậy
nó là dãy Cauchy.
Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha

13

Định nghĩa 1.4.1. Một không gian vectơ định chuẩn mà mỗi dãy Cauchy
có một giới hạn gọi là khơng gian Banach.
Định lý 1.4.1. Dãy {vn } là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu tất cả hệ số dãy
{xn1 }, ..., {xnk } là dãy Cauchy trong R.
Chứng minh. Giả sử {vn } là dãy Cauchy trong Rk . Cho , khi đó tồn tại
N, sao cho với mọi m, n ≥ N thì |vm − vn | < . Nhưng khi đó với mỗi
i = 1, ..., k, ta có |vni − vmi | < và hệ số thứ i của dãy tăng dần.
Ngược lại, nếu hệ số dãy là Cauchy, với mọi i = 1, ..., k, ta tìm được Ni
sao cho với mọi m, n ≥ N thì |xmi − xni | < . Đặt N = max{N1 , ..., Nk }.
Từ định nghĩa chuẩn sup, suy ra {vn } là dãy Cauchy.
Định lý 1.4.2. Cho không gian Rk Banach. Dãy {vn } là dãy Cauchy nếu

lim xni = yi ,

n→∞

với i = 1, ..k thì

lim vn = (y1 , ..., yk ),

n→∞

và ngược lại.
Chứng minh. Cho , tồn tại N sao cho nếu n ≥ N thì

|xni − yi | < N

với mọi

i = 1, .., k.

Nếu w = (y1 , ..., yk ) thì |vn − w| < . Ngược lại, nếu {vn } là dãy Cauchy
trong Rk , hệ số dãy của nó hội tụ đến (y1 , ..., yk ) tương ứng thì vn hội tụ
w = (y1 , ..., yk ).
Định lý 1.4.3. Hai chuẩn bất kỳ trong Rk là tương đương.
Chứng minh. Ta chứng minh định lý bằng quy nạp trên k .
Nếu k = 0 và | | là một chuẩn trên R thì |x| = |x · 1| = |x| · |1|. Do đó,
chuẩn là hiển nhiên tương đương đối với giá trị bất biến thông thường.
Giả sử định lý đúng với n = k − 1, k ≥ 2. Nó đủ để chứng minh chuẩn
| |1 tương đương chuẩn sup| |.
Cho e1 , e2 , ..., en là vectơ đơn vị, ei = (0, ...1, ..., 0) với phần tử 0 trừ phần
tử thứ i = 1. Bất kì vectơ v ∈ Rk , ta có thể viết

v = x1 e1 + x2 e2 + ... + xk ek .
Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


14

Do đó

|v|1 = |x1 e1 + x2 e2 + ... + xk ek |1
≤ |x1 ||e1 |1 + |x2 ||e2 |1 + ... + |xk ||ek |1
≤ C1 |v|,
với

C1 = |e1 |1 + |e2 |1 + ... + |en |1 .
Vậy ta cần chứng minh tồn tại một số tự nhiên C > 0, sao cho với mọi
v ∈ Rk , ta có
|v| ≤ C|v|1
Giả sử số dương m, tồn tại v = 0 trong Rk sao cho

|v| ≤ m|v|1 .
Nếu xj là phần tử của vectơ v, là giá trị tuyệt đối maximum của tất cả
phần tử thì chúng ta chia cả hai bên của bất đẳng thức cho |xj |. Ta đặt
|vm | = x−1
j v thì
|vm | > m|vm |1 .
Hơn nữa, phần tử thứ i của vm = 1 và tất cả phần tử của vm có giá trị
tuyệt đối nhỏ hơn bằng 1. Do đó,

|vm | = 1

và

|vm | < 1/m.

(∗)

Với 1 ≤ j ≤ k, j cố định, ta sẽ có tập vơ hạn S của số n mà (*) thỏa
mãn. Ta cố định số nguyên j đến cuối chứng minh.
Cho F là không gian con của Rk bao gồm tất cả vectơ mà tọa độ thứ
j = 0, thì ta có thể chiếu F khi Rk và chuẩn trên Rk cảm sinh một chuẩn
trên F . Bằng quy nạp, chuẩn | |1 trên F là tương đương đối với chuẩn sup
trên F . Đặc biệt, tồn tại số C2 > 0 sao cho với mọi w ∈ F ta có

|w| ≤ C2 |w|1
Vói mỗi m ∈ S, ta có thể viết

vm = ej + w

và

w = vm − ej với mỗi phần tử vm ∈ F.

Cho , nhận N sao cho 2/N < . Nếu m, n ≥ N thì

|wn − wm |1 ≤ |vn − vm |1 <
Khóa Luận Tốt nghiệp

1
1
1
+ ≤
<
m n
N
SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


15

Do đó, wm là dãy Cauchy lấy theo chuẩn | |1 bằng quy nạp lấy theo chuẩn
sup trên F = Rk−1 . Khi Rk−1 là Banach, nó sẽ kéo theo wm hội tụ đến
phần tử w ∈ F lấy theo chuẩn sup. Bây giờ, m ∈ S, ta có

|ej + w|1 ≤ |ej + vm |1 + |vm − w|1 <

1
+ C1 |wm − w|
m

Cho m lớn, m ∈ S , bất đẳng thức vế phải nhỏ tùy ý.
Do đó, ej + w = 0. Điều này khơng thể, vì w ∈ F = Rk−1 , ej + w = 1.
Vậy chứng minh được định lý.

1.5
1.5.1

Tập đóng - tập mở
Định nghĩa tập mở

Cho S là một tập con của không gian vectơ định chuẩn. S là mở nếu
v ∈ S, tồn tại r > 0 sao cho hình cầu mở bán kính r, tâm tại v được chứa
trong S .
Ví dụ 1.5.1. Một hình cầu mở là tập mở.
Chứng minh. Thật vậy, cho B là hình cầu mở, bán kính r > 0, tâm v ∈ E.
Gọi w ∈ B , ta có |w − v| < r. Giả sử |w − v| = s. Chọn δ > 0, sao cho
s + δ < r (với δ = (r − s)/2). Khi đó, hình cầu mở bán kính δ tâm tại w
là chứa trong B . Vì vậy, nếu |z − w| < δ thì

|z − v| ≤ |z − w| + |w − v| ≤ δ + s < r.
Ví dụ 1.5.2. Cho E = Rk và v ∈ Rk . Xem xét hai chuẩn | |1 và | | tương
ứng chuẩn sup và chuẩn Euclide. Khi đó, bất kì hình cầu mở trong chuẩn
này chứa hình cầu mở trong chuẩn khác tâm tại điểm giống nhau.

Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


16

Ngồi ra, ta có thể định nghĩa tập mở như sau:
Tập S gọi là tập mở nếu và chỉ nếu x ∈ S , tồn tại U mở sao cho x ∈ U
và U ⊂ S .
Nếu x là một điểm của E , ta xác định được một lân cận mở của x
trong bất kỳ tập mở chứa x.
Cho U, V là tập mở trong E . Khi đó U ∩ V là mở.
Chứng minh. Cho v ∈ U ∩ V . Khi đó, tồn tại hình cầu mở B, bán kính r,
tâm tại v được chứa trong U và tồn tại hình cầu mở B , bán kính r , tâm
tại v được chứa trong V . Cho δ = min(r, r ). Khi đó, hình cầu mở bán
kính δ, tâm tại v được chứa trong U ∩ V . Suy ra U ∩ V là mở.
Bằng quy nạp, nếu U1 , ..., Un mở thì U1 ∩ ... ∩ U1 là mở. Tuy nhiên,
giao của vô hạn tập mở có thể khơng mở. Ví dụ như, cho

1
1
Un = (− , 1 + ) = [0, 1].
n
n
Suy ra, Un khơng mở vì giao của tất cả Un là đoạn [0, 1].
Chú ý: Tập rỗng cũng là tập mở.
Hợp hữu hạn các tập mở là tập mở.
Chứng minh. Cho I là một tập, và giả sử mỗi i ∈ I, ta có tập mở Ui . Gọi
U là hợp của tất cả Ui . Nó là tập tất cả x, sao cho x ∈ U với mọi i. Khi

đó, U mở, bởi vì x ∈ U ta biết x ∈ Ui với mọi i, vì vậy tồn tại quả cầu B
tâm x sao cho x ∈ B ⊂ Ui ⊂ U.
Ví dụ 1.5.3. Cho S là tập con tùy ý của E và với mỗi x ∈ S , B là hình
cầu mở bán kính 1. Hợp của tất cả hình cầu mở Bx với x ∈ S là mở.

1.5.2

Định nghĩa tập đóng

Tập đóng trong khơng gian định chuẩn E là phần bù của tập mở. Do
đó, tập S là đóng nếu và chỉ nếu cho y ∈ E, y = S , khi đó tồn tại hình
cầu mở tâm tại y mà khơng giao với S .

Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


17

1.5.3

Định nghĩa điểm dính

Cho S là khơng gian con của E , v ∈ E . Ta nói v là điểm dính của S
nếu với , tồn tại phần tử x ∈ S sao cho |x − v| < . Điều này nghĩa là
hình cầu mở, bán kính , tâm tại v phải chứa phần tử của S với mọi .
Đặc biệt, nếu v ∈ E thì v là điểm dính của S .
Mỗi điểm dính của S là một giới hạn của một dãy trong S .
Chứng minh. Thật vậy, nếu v là điểm dính, cho n, ta cần tìm xn ∈ S sao

cho |xn − v| < 1/n và dãy {xn } hội tụ đến v . Cho , tồn tại N sao cho
1/N < . Nếu n ≥ N thì |xn − v| < 1/n ≤ 1/N < . Do đó, v là giới hạn
của {xn }. Ngược lại, nếu v là giới hạn của dãy {xn }, {xn } ∈ S với mọi n
thì v là điểm dính của S .
Định lý 1.5.1. Cho S là tập con của không gian vectơ định chuẩn E , thì
S là tập đóng nếu và chỉ nếu S chứa tồn bộ điểm dính của nó.
Chứng minh. Giả sử S là đóng. Bằng định nghĩa, nếu v là điểm dính thì
bất kỳ hình cầu mở tâm tại v phải chứa các phần tử của S , do đó v khơng
thể chứa trong phần bù của S . Vậy v nằm trên S . Ngược lại, giả sử S chứa
toàn bộ điểm dính của nó. Cho y nằm trong phần bù của S , thì y khơng
là điểm dính của S , khi đó tồn tại hình cầu mở tâm tại y mà giao với tập
S là rỗng. Do đó, phần bù của S mở, vậy chứng minh định lý.
Hệ quả 1.5.1. Cho S là tập đóng nếu và chỉ nếu thỏa mãn điều kiện sau:
Mỗi dãy {xn } của mỗi phần tử của S mà hội tụ trong E có giới hạn trong
S.
Chứng minh. Nếu một dãy các phần tử của S hội tụ v ∈ E thì v là điểm
dính của S . Nếu S là đóng thì v ∈ S . Đảo lại, mỗi dãy trong S mà hội tụ
trong E có giới hạn trong S . Cho v là điểm dính của S , n, tồn tại xn ∈ S
sao cho |xn − v| < 1/n. Dãy {xn } hội tụ đến v , và bằng giả thiết v ∈ S,
do đó S là đóng.
Cho S, T là tập đóng trong E thì S ∪ T là đóng.
Chứng minh. Thật vậy, kí hiệu là cS = cE S là phần bù của S trong E ,
tập tất cả x nằm trong E sao cho x∈S
/ . Khi đó, c(S ∪ T ) = cS ∩ cT , mà
phần bù của S ∪ T là mở, do đó S ∪ T là đóng.
Theo quy nạp, giao hữu hạn tập đóng là đóng.
Ta có thể chứng minh giao hữu hạn các tập đóng là tập đóng, vì hợp của
Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha

18

vô hạn tập mở là tập mở. Nếu I là một tập, với mỗi i có một liên đới tập
đóng Si thì phần bù của
Si
i∈I

là hợp của tập

cSi
i∈I

là mở. Do đó giao của nó là đóng.
Định lý 1.5.2. Cho E, F là khơng gian vectơ định chuẩn, E × F có chuẩn
sup. Và U mở trong E , V mở trong F thì U × V là mở trong E × F . Nếu
F là đóng trong E và T đóng trong F thì S × T là đóng trong E × F .
Chứng minh. Cho u ∈ U và v ∈ V . Khi đó, tồn tại hình cầu mở B trong
E tâm tại u và chứa trong U , và tồn tại hình cầu mở B trong F tâm tại
v và chứa trong V . Cho r là minimum của bán kính B , B và Bx là hình
cầu mở của bán kính r trong E và F tương ứng, tâm tại u và v tương ứng.
Bằng định nghĩa chuẩn sup, Br × Br là hình cầu mở bán kính r tâm tại
u, v trong E × F , và được chứa trong U × V , do đó U × V là mở.
Cho x, y nằm trong phần bù của S × T , khi đó tồn tại một tập mở W
trong E chứa x mà giao với S là rỗng. Cho W là tập mở trong F chứa
y thì W × W là tập mở trong E × F mà giao với S × T là rỗng. Do đó,
S × T là đóng. Vậy định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.5.2. Nếu S1 , ..., Sn là tập đóng trong R thì

S1 × ... × Sn
là đóng trong Rn .
Chẳng hạn, nếu Si là khoảng [0, 1] thì

S1 × ... × Sn
là đóng trong n- lập phương Rn .(với n = 2 là hình vng đóng, n = 3 là
hình lập phương đóng).
Cho S là khơng gian con của không gian vectơ định chuẩn F , v ∈ S
và f : S → F là một ánh xạ từ S vào F .
Ta nói f liên tục tại v nếu cho , tồn tại δ sao cho với mọi x ∈ S và
|x − v| < δ thì
|f (x) − f (v)| < .
−1

Nếu f : S → F là một ánh xạ, và T là tập con của F thì ta gọi f là
tập tất cả x ∈ S sao cho f (x) ∈ T . Ta gọi f −1 là ánh xạ ngược của f .
Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


19

Định lý 1.5.3. Cho U là mở trong không gian vectơ định chuẩn E , V là
mở trong không gian vectơ định chuẩn F và

f :U →F
là ánh xạ liên tục thì f −1 (V ) là mở trong E . Nếu S là đóng trong E , T là
đóng trong F và g : S → F là ánh xạ liên tục thì g −1 (T ) là đóng trong E.
Chứng minh. Cho u ∈ f −1 (V ), δ1 > 0, hình cầu bán kính δ1 trong E tâm

tại u bị chứa trong U . Gọi B là hình cầu mở của bán kính , tâm lại
f (u) và bị chứa trong V . Khi đó, tồn tại δ2 sao cho với mọi x ∈ U và
|x − u| < δ2 thì |f (x) − f (u)| < , do đó f (x) ∈ B ⊂ U . Gọi δ = (δ1 , δ2 ).
Khi đó, hình cầu bán kính δ tâm tại u bị chứa trong U và ảnh của f bị
chứa trong V . Do đó, hình cầu nằm trong f −1 (V ). Vậy f −1 (V ) mở.
Ta có T ⊂ F . Suy ra F \ T mở trong F . Theo trên, ta có g −1 (F \ T )
mở trong E . Suy ra g −1 (F ) \ g −1 (T ) mở trong E . Do đó S \ g −1 (T ) mở
trong E . Vậy g −1 (T ) đóng trong E .

Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


20

Chương 2
Giới hạn
2.1

Tính chất cơ bản

Trong khơng gian vectơ định chuẩn F . Cho S là tập con, f : S → F
là một ánh xạ từ S vào F , với chuẩn được kí hiệu là | |, và v là điểm dính
của S . Ta nói giới hạn của f (x) khi x xấp xỉ v tồn tại, nếu khi đó tồn tại
một phần tử w ∈ F có tính chất sau: Cho > 0, tồn tại δ sao cho với mọi
x ∈ S thỏa mãn
|x − v| < δ,
ta có

|f (x) − w| < .
Ta viết

lim f (x) = w.

x→v
x∈S

Tính chất 2.1.1. Cho S là tập con của không gian vectơ định chuẩn F ,
v là điểm dính của S . Cho S là tập con của S , v là điểm dính của S , và
f là ánh xạ đi từ S vào F . Nếu

lim f (x)

x→v
x∈S

tồn tại thì

lim f (x)

x→v
x∈S

cũng tồn tại, và các giới hạn là bằng nhau. Đặc biệt, nếu giới hạn tồn tại,
nó là duy nhất.
Chứng minh. Cho w là giới hạn thứ nhất. Với , tồn tại δ sao cho bất kì
x ∈ S và |x − v| < δ, ta có

|f (x) − w| < .

Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


21

Khi x ∈ S thì w cũng là một giới hạn. Nếu w cũng là giới hạn, khi đó
tồn tại δ1 sao cho với mọi x ∈ S và |x − v| < δ1 thì

|f (x) − w | < .
Nếu |w − w | < min(δ, δ1 ) và x ∈ S thì

|w − w | ≤ |w − f (x)| + |f (x) − w | < 2 .
Do đó |w − w | = 0, w − w = 0 và w = w . Vậy tính chất này được chỉ
ra.
Chúng ta định nghĩa một phần tử v của S là điểm cô lập (trong S )
nếu tồn tại hình cầu mở tâm tại v sao cho v là phần tử duy nhất của S
trong hình cầu mở này. Nếu v là điểm cơ lập thì
lim f (x)
x→v

tồn tại và

lim f (x) = f (v).

x→v

2.1.1

Giới hạn tổng

Cho S là tập con của không gian vectơ định chuẩn, v là điểm dính của
S , và f, g là ánh xạ của S vào không gian vectơ định chuẩn. Giả sử

lim f (x) = w

x→v

và

lim g(x) = w ,

x→v

thì

lim (f + g)(x)

x→v

tồn tại và bằng

lim (f + g)(x) = w + w .

x→v

Chứng minh. Cho , tồn tại δ sao cho nếu x ∈ S và |x − v| < δ, ta có:

|f (x) − w| < ,

|g(x) − w | < ,
thì

|f (x) + g(x) − w − w | ≤ |f (x) − w| + |g(x) − w | < 2 .
Điều này đã chứng minh rằng lim (f + g)(x) = w + w .
x→v

Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


22

2.1.2

Giới hạn của tích

Cho E, F, G là khơng gian vectơ định chuẩn. Một tích của E × F → G
nghĩa là một ánh xạ
E×F →G
(u, v) → uv
thỏa mãn điều kiện sau:
1. Nếu u, u ∈ E, v ∈ F thì (u+u’)v=uv+u’v. Nếu v, v ∈ F thì

u(v + v ) = uv + uv .

(2.1)

(cu)v = c(uv) = u(cv).

(2.2)

2. Nếu c ∈ R thì

3. Với mọi u ∈ E, v ∈ F ta có

|uv| ≤ |u||v|.

(2.3)

(Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức Schwarz)
Cho tích E × F → G, tập S , và f : S → E , g : S → F là ánh xạ từ S
vào không gian vectơ định chuẩn E và F tương ứng. Khi đó, ánh xạ tích
được xác định như sau: (f g)(x) = f (x)g(x).
Bây giờ ta đưa ra một công thức quy tắc cho giới hạn của tích. Cho
S là tập con của khơng gian vectơ định chuẩn, v là điểm dính của S, và
E × F → G là một tích, như trên. Cho

f :S→E

và

g:S→F

là ánh xạ của S vào E và F tương ứng. Nếu

lim f (x) = w

x→v

và

lim g(x) = z,

x→v

thì

lim f (x)g(x)

x→v

tồn tại và bằng wz.

Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


23

Chứng minh. Cho , tồn tại δ sao cho nếu x ∈ S và |x − v| < δ ta có:

|f (x) − w| <
|g(x) − z| <

2(|z| + 1)
2(|z| + 1)

,

,

|f (x)| < |w| + 1
Thật vậy, với mỗi bất đẳng thức cố định x đủ đóng tại v . Ta có
|f (x)g(x) − wz| = |f (x)g(x) − f (x)z + f (x)z − wz|
≤ |f (x)(g(x) − z)| + |(f (x) − w)z|
≤ |f (x)||g(x) − z| + |f (x) − w||z|
<

2

+

2

= .

Vậy lim f (x)g(x) tồn tại, và bằng wz.
x→v

Ta có hệ quả giới hạn của hàm.
Hệ quả 2.1.1. Nếu c là số thì

lim cf (x) = c lim f (x),

x→v

x→v

và nếu f1 , f2 là ánh xạ từ S vào không gian vectơ định chuẩn thì

lim (f1 (x) − f2 (x)) = lim f1 (x) − lim f2 (x).

x→v

x→v

x→v

Nếu có một giới hạn bằng 0 thì giới hạn tích vẫn đúng.
Cho tích E × F → G, f : S → E và g : S → F là ánh xạ. Ta giả sử
f là bị chặn, lim g(x) = 0 thì lim f (x)g(x) tồn tại và
x→v

x→v

lim f (x)g(x) = 0.

x→v

Chứng minh. Cho K > 0 sao cho |f (x)| ≤ K với mọi x ∈ S . Với > 0,
tồn tại δ > 0 sao cho với mọi |x − v| < δ , ta có |g(x)| < /K. Khi đó,

|f (x)g(x)| < |f (x)||g(x)| < K /K = .

Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha

24

2.1.3

Giới hạn của ánh xạ hợp

Cho S, T là tập con của không gian vectơ định chuẩn F , f : S → T ,
g : T → F là ánh xạ, và v là điểm dính của S . Giả sử

lim f (x)

x→v

tồn tại và bằng w với w là điểm dính của T và

lim g(y)

y→w

tồn tại và bằng z thì

lim g(f (x))

x→v

tồn tại và bằng z .
Chứng minh. Cho , tồn tại δ sao cho nếu y ∈ T và |y − w| < δ ta có:

|g(y) − z| < .
Với δ > 0 đã cho như trên, tồn tại δ1 > 0 sao cho với mọi x ∈ S mà
0 < |x − v| < δ1 ta có:
|f (x) − w| < δ.
Suy ra, với mọi x ∈ S mà 0 < |x − v| < δ1 ta có:

|g(f (x)) − z| < .

2.1.4

Giới hạn của bất đẳng thức

Cho S là tập con của không gian vectơ định chuẩn, f : S → R,
g : S → R là hàm xác định trên S và v là điểm dính của S . Giả sử giới
hạn
lim f (x)
và
lim g(x)
x→v

x→v

tồn tại, thỏa mãn f (x) ≤ g(x) với mọi x đủ đóng tại v trong S thì

lim f (x) ≤ lim g(x).

x→v

x→v

Chứng minh. Cho ϕ(x) = g(x) − f (x). Khi đó, ϕ(x) ≥ 0 với mọi x đủ
đóng tại v và tuyến tính, nó đủ để chứng minh rằng lim ϕ(x) ≥ 0. Cho
x→v

y = lim ϕ(x).
x→v

Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha


25

Với

đã cho, ta tìm thấy x ∈ S sao cho |ϕ(x) − y| < . Mà

ϕ(x) − y ≤ |ϕ(x) − y|.
Do đó,

ϕ(x) − y <

y > ϕ(x) − ≥ −

và

với mọi .

Suy ra điều phải chứng minh.

Cho S là tập con của không gian vectơ định chuẩn và f, g là các hàm
xác định trên S . Giả sử rằng

w = lim f (x) = lim g(x).
x→v

x→v

Cho h : S → R là hàm khác sao cho

f (x) ≤ h(x) ≤ g(x)
với mọi x đủ đóng v thì

lim h(x)

x→v

tồn tại và

lim h(x) = f

x→v

hoặc

lim h(x) = g

x→v

Chứng minh. Cho , tồn tại δ sao cho với mọi |x − v| < δ ta có:

|g(x) − w| <
và

|f (x) − w| < ,
do đó

0 ≤ g(x) − f (x) ≤ |f (x) − w| + |g(x) − w| < 2 .
Nhưng

|w − h(x)| ≤ |w − g(x)| + |g(x) − h(x)|
< + g(x) − f (x)
< +2 =3
Suy ra điều phải chứng minh.

Khóa Luận Tốt nghiệp

SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha