tóm tắt luận án một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯƠNG MINH TUYÊN
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN
CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG
KHÔNG GIAN BANACH
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 02
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN-NĂM 2013
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm-Đại
học Thái Nguyên, Thái Nguyên, Việt Nam.
Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Nguyễn Bường
GS. TS. Jong Kyu Kim
Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:
Luận án sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận án cấp Đại học họp
tại:


vào hồi giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu về luận án tại:
- Thư viện Quốc gia
- Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên
Mở đầu
Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh
xạ không giãn trong không gian Hilbert hay không gian Banach là
một trường hợp riêng của bài toán chấp nhận lồi: "Tìm một phần tử
thuộc giao khác rỗng của một họ hữu hạn hay vô hạn các tập con lồi

và đóng {C
i
}
i∈I
của không gian Hilbert H hay không gian Banach
E". Bài toán này có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực
khoa học khác nhau như: Xử lí ảnh, khôi phục tín hiệu, vật lý, y
học
Khi C
i
= F ix(T
i
), với F ix(T
i
) là tập điểm bất động của ánh xạ
không giãn T
i
, i = 1, 2, , N, thì đã có nhiều phương pháp được
đề xuất dựa trên các phương pháp lặp cổ điển nổi tiếng. Đó là các
phương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa và Halpern, phương
pháp xấp xỉ mềm. Các kết quả nghiên cứu theo những hướng này
được trình bày cụ thể hơn trong Chương 1 của luận án.
Ta biết rằng, nếu T là một ánh xạ không giãn trong không gian
Banach E, thì toán tử A = I − T là một toán tử j-đơn điệu, với I
là toán tử đồng nhất trên E. Như vậy, bài toán tìm điểm bất động
chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn T
i
trong không
gian Banach E có thể đưa về bài toán tìm không điểm chung của một
họ hữu hạn các toán tử j-đơn điệu A

i
= I − T
i
với i = 1, 2, , N.
Đối với bài toán xác định không điểm của toán tử j-đơn điệu, trong
phạm vi của luận án chúng tôi chỉ đề cập đến một số phương pháp
giải nổi tiếng cho lớp bài toán này như: phương pháp hiệu chỉnh
Tikhonov, phương pháp điểm gần kề, một số cải biên của phương
pháp điểm gần kề, bao gồm phương pháp điểm gần kề quán tính,
phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh, phương pháp điểm gần kề
quán tính hiệu chỉnh
Đối với bài toán tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn các phương
trình toán tử với các toán tử đơn điệu cực đại trong không gian
1
2
Hilbert, chúng tôi đặc biệt chú ý phương pháp hiệu chỉnh Browder-
Tikhonov của G.S. Nguyễn Bường (Buong N. (2006), "Regulariza-
tion for unconstrained vector optimization of convex functionals in
Banach spaces", Compt. Math. and Math. Phys., 46 (3), pp. 372-
378) khi ông đặt vấn đề giải bài toán tìm không điểm chung của một
họ hữu hạn các toán tử đơn trị đơn điệu, thế năng, h−liên tục từ
không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E
∗
. Ông đã quy bài
toán giải hệ phương trình với các toán tử đơn điệu cực đại về việc giải
một phương trình toán tử và thu được sự hội tụ mạnh của thuật toán
về một nghiệm của bài toán khi các tham số hiệu chỉnh được chọn
thích hợp. Tiếp đó, năm 2008 GS. Nguyễn Bường (Buong N. (2008),
"Regularization proximal point algorithm for unconstrained vector
convex optimization problems", Ukrainian Mathematical Journal,

60 (9), pp. 1483-1491) lần đầu tiên nghiên cứu kết hợp phương pháp
điểm gần kề quán tính với hiệu chỉnh và gọi là phương pháp điểm
gần kề quán tính hiệu chỉnh, cho việc giải bài toán tìm không điểm
chung của một họ hữu hạn các toán tử đơn điệu cực đại A
i
= ∂f
i
,
với ∂f
i
là dưới vi phân của các phiếm hàm lồi, chính thường, nửa
liên tục dưới yếu f
i
, i = 1, 2, , N trong không gian Hilbert H.
Mục đích chính của luận án này là nghiên cứu áp dụng phương
pháp hiệu chỉnh Tikhonov và một số cải biên của phương pháp điểm
gần kề bao gồm phương pháp điểm gần kề của Xu H. K. (Xu H K.
(2006), A regularization method for the proximal point algorithm,
J. Glob. Optim. 36 (1) (2006), pp. 115-125) và phương pháp điểm
gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm một điểm bất động
chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian
Banach, các biến thể của nó cùng với các bài toán liên quan dựa trên
tư tưởng thuật giải của tác giả Buong Ng. Chúng tôi cũng tiến hành
nghiên cứu tính ổn định của các phương pháp giải thu được theo
hướng nghiên cứu của Alber Y. (Alber Y. (2007), "On the stability
of iterative approximatins to fixed points of nonexpansive mappings",
J. Math. Anal. Appl., 328, pp. 958-971). Cụ thể, luận án tập trung
giải quyết các vấn đề sau:
1. Nghiên cứu phương pháp điểm gần kề theo hướng của Xu H. K
cho bài toán tìm một điểm bất động chung của một họ hữu hạn

3
các ánh xạ không giãn trong không gian Banach và các biến thể
khác nhau của nó, đồng thời nghiên cứu tính ổn định của các
phương pháp lặp thu được theo hướng nghiên cứu của Alber Y.
2. Nghiên cứu mở rộng kết quả của Xu H. K. cho bài toán xác định
không điểm của toán tử m-j-đơn điệu từ không gian Hilbert lên
không gian Banach trơn đều.
3. Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp
điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm một điểm bất
động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong
không gian Banach và các biến thể của nó, đồng thời nghiên cứu
tính ổn định của các phương pháp hiệu chỉnh thu được.
Nội dung của luận án được trình bày trong ba chương.
Chương 1 có tính chất bổ trợ, giới thiệu sơ lược về một số vấn đề
liên quan đến cấu trúc hình học của các không gian Banach, bài toán
đặt không chỉnh với các toán tử loại đơn điệu, bài toán tìm điểm bất
động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, tổng quan
về các phương pháp giải đã biết cho các lớp bài toán này và cuối
cùng là một số bổ đề cần sử dụng cho việc chứng minh các kết quả
nghiên cứu đạt được ở các chương sau của luận án.
Chương 2 trình bày các định lí về sự hội tụ mạnh của phương
pháp điểm gần kề theo hướng nghiên cứu của các tác giả Buong N.
và Xu H. K. cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu
hạn các ánh xạ không giãn và cho bài toán xác định không điểm của
toán tử m-j-đơn điệu trong không gian Banach, ở đây tính ổn định
của các phương pháp lặp cũng được thiết lập và nghiên cứu. Một số
ứng dụng của các kết quả đạt được cho việc giải bài toán tìm điểm
bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong
không gian Hilbert, bài toán chấp nhận lồi trong không gian Banach
và một số ví dụ cùng với các tính toán cụ thể cũng được trình bày

ở cuối chương này nhằm minh họa thêm cho các kết quả nghiên cứu
đạt được.
Chương 3 trình bày các định lí về sự hội tụ mạnh của phương
pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính
hiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu
4
hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach cùng với tính ổn
định của các phương pháp. Mục cuối cùng trong chương này, chúng
tôi đề cập đến một số ứng dụng của các phương pháp lặp thu được
cho việc giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn
các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert, bài toán chấp nhận
lồi trong không gian Banach, cùng với các ví dụ số nhằm minh họa
thêm cho các kết quả nghiên cứu đạt được.
Chương 1
Một số vấn đề chuẩn bị
Chương 1 của luận án là chương có tính chất chuẩn bị, nhằm
trình bày những kiến thức cơ bản nhất phục vụ cho việc trình bày
các kết quả nghiên cứu đạt được trong các chương sau của luận án.
Cụ thể:
Mục 1.1 đề cập một số vấn đề cơ bản về cấu trúc hình học của
các không gian Banach như không gian Banach lồi đều, không gian
Banach trơn đều. Ngoài ra trong mục này chúng tôi còn trình bày
các khái niệm về toán tử đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và ánh
xạ không giãn cùng với một số tính chất cơ bản của chúng.
Mục 1.2 của chương này đề cập đến khái niệm bài toán đặt không
chỉnh, cùng với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho lớp bài toán
loại này.
Mục 1.3 và Mục 1.4 của chương này trình bày sơ lược về các phương
pháp điểm gần kề, phương pháp điểm gần kề quán tính và phương
pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho phương trình với toán tử

loại đơn điệu.
Mục 1.5 dành cho việc phát biểu bài toán tìm một điểm bất động
chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn và đặc biệt trong
mục này chúng tôi trình bày một cách tổng quan về các phương pháp
"cổ điển" xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn nói chung và
các phương pháp tìm một điểm bất động chung của một họ hữu hạn
các ánh xạ không giãn nói riêng.
Mục 1.6 cũng là mục cuối cùng trong chương này, trình bày một
số bổ đề quan trọng, thường xuyên sử dụng đến trong việc chứng
minh các kết quả nghiên cứu đạt được ở các chương sau của luận án.
Trong các chương sau của luận án chúng tôi sẽ đề cập đến một số
phương pháp ổn định giải bài toán tìm một điểm bất động chung của
một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach.
5
Chương 2
Phương pháp điểm gần kề
Chương này, chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu đạt được
về sự hội tụ mạnh của phương pháp điểm gần kề cho bài toán tìm
điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn và
bài toán xác định không điểm của toán tử m − j−đơn điệu trong
không gian Banach, cùng với đó là một số ứng dụng của các kết quả
thu được cho việc giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họ
hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert và bài toán
chấp nhận lồi trong không gian Banach.
2.1. Phương pháp điểm gần kề cho bài toán tìm điểm
bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ
không giãn
Trước hết, ta xét bài toán sau:
Xác định một phần tử x
∗

∈ S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅, (2.1)
trong đó F ix(T
i
) là tập điểm bất động của ánh xạ T
i
: E −→
E, i = 1, 2, , N.
Định lí 2.1 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
Cho T
i
: E −→ E, i = 1, 2, , N là một họ hữu hạn các ánh xạ
không giãn với S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. Nếu dãy {t
n
} ⊂ (0, 1) thỏa
mãn một trong các điều kiện
i) lim
n→∞
t
n

= 0,

∞
n=1
t
n
= ∞, lim
n→∞
t
n
t
n+1
= 1 hoặc
ii) lim
n→∞
t
n
= 0,

∞
n=1
t
n
= ∞,

∞
n=1
|t
n
− t

n+1
| < +∞,
thì dãy {x
n
} xác định bởi
N

i=1
A
i
(x
n+1
) + x
n+1
= t
n
u + (1 − t
n
)x
n
, u, x
0
∈ E, n ≥ 0 (2.2)
6
7
hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó A
i
= I − T

i
, i = 1, 2, , N và
Q
S
: E −→ S là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Định lí 2.2 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc. Cho T
i
: E −→ E, i = 1, 2, , N là một họ hữu hạn các
ánh xạ không giãn với S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. Nếu các dãy số
{r
n
} ⊂ (0, +∞) và {t
n
} ⊂ (0, 1) thỏa mãn các điều kiện
i) lim
n→∞
t
n
= 0;

∞
n=0
t

n
= +∞;
ii) lim
n→∞
r
n
= +∞,
thì dãy {x
n
} xác định bởi
r
n
N

i=1
A
i
(x
n+1
) + x
n+1
= t
n
u + (1 − t
n
)x
n
, u, x
0
∈ E, n ≥ 0 (2.3)

hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó A
i
= I − T
i
, i = 1, 2, , N và
Q
S
: E −→ S là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Tiếp theo trong mục này, chúng tôi đưa ra các phương pháp lặp
tương tự để giải bài toán tổng quát hơn dưới đây:
Xác định một phần tử x
∗
∈ S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
), (2.4)
trong đó T
i
: C
i
−→ C
i
, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn,
C
i
là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của E.

Định lí 2.3 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
Cho C
i
là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của E và
cho T
i
: C
i
−→ C
i
, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn với
S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. Cho {x
n
} là dãy được xác định bởi
N

i=1
B
i
(x
n+1
) + x
n+1
= t

n
u + (1 − t
n
)x
n
, u, x
0
∈ E, n ≥ 0,
(2.5)
trong đó B
i
= I − T
i
Q
C
i
, i = 1, 2, , N và Q
C
i
: E −→ C
i
là các
ánh xạ co rút không giãn từ E lên C
i
, i = 1, 2, , N. Nếu dãy số
{t
n
} ⊂ (0, 1) thỏa mãn một trong các điều kiện
8
i) lim

n→∞
t
n
= 0,

∞
n=1
t
n
= ∞, lim
n→∞
t
n
t
n+1
= 1 hoặc
ii) lim
n→∞
t
n
= 0,

∞
n=1
t
n
= ∞,

∞
n=1

|t
n
− t
n+1
| < +∞,
thì dãy {x
n
} hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó Q
S
: E −→ S là ánh
xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Định lí 2.4 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
Cho C
i
là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của E và
cho T
i
: C
i
−→ C
i
, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn với
S = ∩
N
i=1
F ix(T
i

) = ∅. Cho {x
n
} là dãy được xác định bởi
r
n
N

i=1
B
i
(x
n+1
)+x
n+1
= t
n
u+( 1−t
n
)x
n
, u, x
0
∈ E, n ≥ 0, (2.6)
trong đó B
i
= I − T
i
Q
C
i

, i = 1, 2, , N và Q
C
i
: E −→ C
i
là các
ánh xạ co rút không giãn từ E lên C
i
, i = 1, 2, , N . Nếu các dãy
số {r
n
} ⊂ (0, +∞) và {t
n
} ⊂ (0, 1) thỏa mãn các điều kiện
i) lim
n→∞
t
n
= 0;

∞
n=0
t
n
= +∞;
ii) lim
n→∞
r
n
= +∞,

thì dãy {x
n
} hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó Q
S
: E −→ S là ánh
xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Cuối cùng trong mục này chúng tôi đề xuất một số phương pháp
giải bài toán sau:
Xác định một phần tử x
∗
∈ S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
), (2.7)
trong đó T
i
: C
i
−→ E, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn và
C
i
là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn theo tia của E.
Định lí 2.5 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
Cho C
i

là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn theo tia của
E và cho T
i
: C
i
−→ E, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn
với S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. Cho {x
n
} là dãy được xác định bởi
N

i=1
f
i
(x
n+1
) + x
n+1
= t
n
u + (1 − t
n
)x
n
, u, x

0
∈ E, n ≥ 0, (2.8)
9
trong đó f
i
= I − Q
C
i
T
i
Q
C
i
, i = 1, 2, , N và Q
C
i
: E −→ C
i
là
các ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên C
i
, i = 1, 2, , N .
Nếu dãy số {t
n
} ⊂ (0, 1) thỏa mãn một trong các điều kiện
i) lim
n→∞
t
n
= 0,


∞
n=1
t
n
= ∞, lim
n→∞
t
n
t
n+1
= 1 hoặc
ii) lim
n→∞
t
n
= 0,

∞
n=1
t
n
= ∞,

∞
n=1
|t
n
− t
n+1

| < +∞,
thì dãy {x
n
} hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó Q
S
: E −→ S là ánh
xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Định lí 2.6 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
Cho C
i
là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn theo tia của
E và cho T
i
: C
i
−→ E, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn
với S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. Cho {x
n
} là dãy được xác định bởi
r
n
N


i=1
f
i
(x
n+1
)+x
n+1
= t
n
u +(1−t
n
)x
n
, u, x
0
∈ E, n ≥ 0, (2.9)
trong đó B
i
= I − Q
C
i
T
i
Q
C
i
, i = 1, 2, , N và Q
C
i

: E −→ C
i
là
các ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên C
i
, i = 1, 2, , N .
Nếu các dãy số {r
n
} ⊂ (0, +∞) và {t
n
} ⊂ (0, 1) thỏa mãn các
điều kiện
i) lim
n→∞
t
n
= 0;

∞
n=0
t
n
= +∞;
ii) lim
n→∞
r
n
= +∞,
thì dãy {x
n

} hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó Q
S
: E −→ S là ánh
xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
2.2. Tính ổn định của phương pháp
Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày tính ổn định của các phương
pháp lặp (2.5) và (2.6) cho bài toán (2.4) khi tất cả các miền xác
định C
i
và các ánh xạ không giãn T
i
được cho bởi nhiễu. Cụ thể hơn,
các giả thiết nhiễu được đặt ra như sau:
10
(P1) Thay cho mỗi tập C
i
, tồn tại các tập con lồi, đóng và co rút
không giãn theo tia C
n
i
⊂ E, n = 1, 2, 3, thỏa mãn
H(C
n
i
, C
i
) ≤ δ
n

, i = 1, 2, , N,
trong đó {δ
n
} là một dãy số thực không âm.
(P2) Đối với mỗi tập C
n
i
, tồn tại ánh xạ không giãn T
n
i
: C
n
i
−→ C
n
i
,
i = 1, 2, , N thỏa mãn các điều kiện: tồn tại các hàm tăng
không âm g(t) và ξ(t) xác định với mọi t > 0 sao cho g(0) ≥
0, ξ(0) = 0 và nếu x ∈ C
i
, y ∈ C
m
i
thỏa mãn x − y ≤ δ, thì
T
i
x − T
m
i

y ≤ g(max{x, y})ξ(δ). (2.10)
Chúng tôi thiết lập tính ổn định của phương pháp lặp (2.5) ở dạng
sau
N

i=1
B
n
i
(z
n+1
) + z
n+1
= t
n
u + (1 − t
n
)z
n
, u, z
0
∈ E, n ≥ 0, (2.11)
trong đó B
n
i
= I − T
n
i
Q
C

n
i
, i = 1, 2, , N và Q
C
n
i
: E −→ C
n
i
là
một co rút không giãn theo tia từ E lên C
n
i
, i = 1, 2, , N.
Định lí 2.7 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc. Cho C
i
là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của
E và cho T
i
: C
i
−→ C
i
, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không
giãn với S = ∩
N
i=1
F ix(T

i
) = ∅. Nếu các điều kiện (P1) và (P2)
được thỏa mãn và các dãy số {δ
n
} và {t
n
} thỏa mãn điều kiện
ξ(a

h
E
(δ
n
))
t
n
−→ 0 với mỗi a > 0 và nếu một trong các điều kiện
sau được thỏa mãn
i) lim
n→∞
t
n
= 0,

∞
n=1
t
n
= ∞, lim
n→∞

t
n
t
n+1
= 1 hoặc
ii) lim
n→∞
t
n
= 0,

∞
n=1
t
n
= ∞,

∞
n=1
|t
n
− t
n+1
| < +∞,
thì dãy {z
n
} xác định bởi (2.11) hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó
Q

S
: E −→ S là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
11
Tiếp theo, chúng tôi cũng thiết lập tính ổn định của phương pháp
lặp (2.6) ở dạng sau
r
n
N

i=1
B
n
i
(z
n+1
)+z
n+1
= t
n
u+(1−t
n
)z
n
, u, z
0
∈ E, n ≥ 0, (2.12)
trong đó B
n
i
= I − T

n
i
Q
C
n
i
, i = 1, 2, , N và Q
C
n
i
: E −→ C
n
i
là
một co rút không giãn theo tia từ E lên C
n
i
, i = 1, 2, , N.
Định lí 2.8 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
Cho C
i
là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của E và
cho T
i
: C
i
−→ C
i
, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn với

S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. Nếu các điều kiện (P1) và (P2) được thỏa
mãn và các dãy số {r
n
}, {δ
n
} và {t
n
} thỏa mãn các điều kiện
i) lim
n→∞
t
n
= 0;

∞
n=0
t
n
= +∞;
ii) lim
n→∞
r
n
= +∞;
iii)


∞
n=0
r
n
ξ(a

h
E
(δ
n
)) < +∞ với mỗi a > 0,
thì dãy {z
n
} xác định bởi (2.12) hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó
Q
S
: E −→ S là ánh co rút không giãn theo tia từ E lên S.
2.3. Phương pháp điểm gần kề và bài toán xác định
không điểm của toán tử m-j-đơn điệu
Cho E là một không gian Banach trơn đều và A : D(A) ⊆ E −→
2
E
là một toán tử m − j−đơn điệu với S = A
−1
(0) = ∅. Chúng tôi
nghiên cứu sự hội tụ mạnh của dãy lặp ẩn {x
n

} được xác định bởi:
u, x
0
∈ E,
r
n
A(x
n+1
) + x
n+1
 t
n
u + (1 − t
n
)x
n
, n ≥ 0, (2.13)
trong đó {t
n
} ⊂ (0, 1) và {r
n
} ⊂ (0, +∞).
Trước hết ta có định lí sau:
Định lí 2.9 Cho E là một không gian Banach trơn đều với tính
liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào
12
E
∗
. Cho A : D(A) ⊆ E −→ 2
E

là một toán tử m−j−đơn điệu với
S = A
−1
(0) = ∅. Nếu các dãy số {r
n
} ⊂ (0, +∞) và {t
n
} ⊂ (0, 1)
thỏa mãn
i) lim
n→∞
t
n
= 0;

∞
n=0
t
n
= +∞;
ii) lim
n→∞
r
n
= +∞,
thì dãy {x
n
} xác định bởi (2.13) hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó

Q
S
là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Với các giả thiết khác đặt lên các dãy số {r
n
} và {t
n
}, ta cũng
nhận được sự hội tụ mạnh của dãy {x
n
}. Điều này được khẳng định
trong định lí dưới đây:
Định lí 2.10 Cho E là một không gian Banach trơn đều với tính
liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào
E
∗
. Cho A : D(A) ⊆ E −→ 2
E
là một toán tử m−j−đơn điệu với
S = A
−1
(0) = ∅. Nếu các dãy số {r
n
} ⊂ (0, +∞) và {t
n
} ⊂ (0, 1)
thỏa mãn
i) lim
n→∞
t

n
= 0;

∞
n=0
t
n
= +∞,

∞
n=0
|t
n+1
− t
n
| < +∞;
ii) inf
n
r
n
= r > 0,

∞
n=0


1 −
r
n
r

n+1


< +∞,
thì dãy {x
n
} xác định bởi (2.13) hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó
Q
S
là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của phương pháp lặp
(2.13) ở dạng
r
n
A
n
(z
n+1
) + z
n+1
 t
n
u + (1 − t
n
)z
n
, u, z
0

∈ E, n ≥ 0, (2.14)
trong đó A
n
: D(A
n
) ⊆ E −→ 2
E
là các toán tử m − j−đơn điệu
với D(A
n
) = D( A) sao cho
H(A
n
(x), A(x)) ≤ g(x)h
n
, (2.15)
ở đây g là một hàm thực bị chặn (ảnh của một tập bị chặn qua g là
một tập bị chặn) với mọi t ≥ 0 với g(0) = 0 và {h
n
} là một dãy số
dương.
Ta có các kết quả sau:
13
Định lí 2.11 Cho E là một không gian Banach trơn đều với tính
liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào
E
∗
. Cho A : D(A) ⊆ E −→ 2
E
và A

n
: D(A
n
) ⊆ E −→ 2
E
là các
toán tử m − j−đơn điệu với S = A
−1
(0) = ∅ và D(A) = D(A
n
)
với mọi n. Nếu điều kiện (2.15) được thỏa mãn và các dãy số
{r
n
} ⊂ (0, +∞), {t
n
} ⊂ (0, 1) được chọn sao cho
i) lim
n→∞
t
n
= 0;

∞
n=0
t
n
= +∞;
ii) lim
n→∞

r
n
= +∞;
iii)

∞
n=1
r
n
h
n
< +∞,
thì dãy {z
n
} xác định bởi (2.14) hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó
Q
S
là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Định lí 2.12 Cho E là một không gian Banach trơn đều với tính
liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào
E
∗
. Cho A : D(A) ⊆ E −→ 2
E
và A
n
: D(A
n

) ⊆ E −→ 2
E
là các
toán tử m − j−đơn điệu với S = A
−1
(0) = ∅ và D(A) = D(A
n
)
với mọi n. Nếu điều kiện (2.15) được thỏa mãn và các dãy số
{r
n
} ⊂ (0, +∞), {t
n
} ⊂ (0, 1) được chọn sao cho
i) lim
n→∞
t
n
= 0;

∞
n=0
t
n
= +∞,

∞
n=0
|t
n+1

− t
n
| < +∞;
ii) inf
n
r
n
= r > 0,

∞
n=0


1 −
r
n
r
n+1


< +∞;
iii)

∞
n=1
r
n
h
n
< +∞,

thì dãy {z
n
} xác định bởi (2.14) hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó
Q
S
là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
2.4. Ứng dụng
2.4.1. Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các
ánh xạ giả co chặt
Trước hết, trong mục này chúng tôi đề cập đến ứng dụng của các
phương pháp lặp được trình bày trong Mục 2.1 ở trên cho việc giải
14
bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ
giả co chặt trong không gian Hilbert. Xét bài toán sau:
Xác định một phần tử x
∗
∈ S = ∩
N
i=1
F ix(f
i
) = ∅, (2.16)
trong đó f
i
: C
i
−→ C
i

là các ánh xạ k
i
−giả co chặt từ tập con lồi,
đóng C
i
của không gian Hilbert H vào C
i
với mọi i = 1, 2, , N.
Với mỗi i, đặt T
i
= (1 − t)I + tf
i
và F
i
= I − T
i
P
C
i
, trong đó
0 < t ≤ min
i=1,2, ,N
{1 − k
i
} và P
C
i
là phép chiếu mêtric từ H lên
C
i

. Khi đó, T
i
là các ánh xạ không giãn từ C
i
vào chính nó và bài
toán (2.16) tương đương với bài toán sau:
Xác định một phần tử x
∗
∈ S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. (2.17)
Từ các Định lí 2.1 và Định lí 2.2, ta có các kết quả sau:
Định lí 2.13 Nếu dãy số {t
n
} ⊂ (0, 1) thỏa mãn các điều kiện
i) lim
n→∞
t
n
= 0,

∞
n=1
t
n
= ∞, lim
n→∞

t
n
t
n+1
= 1 hoặc
ii) lim
n→∞
t
n
= 0,

∞
n=1
t
n
= ∞,

∞
n=1
|t
n
− t
n+1
| < +∞,
thì dãy {x
n
} xác định bởi
N

i=1

F
i
(x
n+1
) + x
n+1
= t
n
u + (1 − t
n
)x
n
, u, x
0
∈ H, n ≥ 0 (2.18)
hội tụ mạnh về P
S
u, trong đó P
S
là phép chiếu mêtric từ H lên
S.
Định lí 2.14 Nếu các dãy số {r
n
} ⊂ (0, +∞) và {t
n
} ⊂ (0, 1)
thỏa mãn các điều kiện
i) lim
n→∞
t

n
= 0;

∞
n=0
t
n
= +∞;
ii) lim
n→∞
r
n
= +∞,
thì dãy {x
n
} xác định bởi phương trình
r
n
N

i=1
F
i
(x
n+1
) + x
n+1
= t
n
u + (1 − t

n
)x
n
, u, x
0
∈ H, n ≥ 0 (2.19)
hội tụ mạnh về P
S
u, trong đó P
S
là phép chiếu mêtric từ H lên
S.
15
2.4.2. Bài toán chấp nhận lồi
Xét bài toán chấp nhận lồi sau:
Xác định một phần tử x
∗
∈ S = ∩
N
i=1
S
i
= ∅, (2.20)
trong đó S
i
, i = 1, 2, , N là các tập lồi, đóng và co rút không giãn
của không gian Banach lồi đều và trơn đều E và S là một tập con
co rút không giãn theo tia của E.
Gọi Q
S

i
là ánh xạ co rút không giãn từ E lên S
i
, i = 1, 2, , N.
Rõ ràng ta có F ix(Q
S
i
) = S
i
, i = 1, 2, , N. Do đó, bài toán (2.20)
tương đương với bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu
hạn các ánh xạ không giãn T
i
= Q
S
i
, i = 1, 2, , N. Từ các Định lí
2.1 và Định lí 2.2, ta có các kết quả sau:
Định lí 2.15 Nếu dãy số {t
n
} ⊂ (0, 1) thỏa mãn các điều kiện
i) lim
n→∞
t
n
= 0,

∞
n=1
t

n
= ∞, lim
n→∞
t
n
t
n+1
= 1 hoặc
ii) lim
n→∞
t
n
= 0,

∞
n=1
t
n
= ∞,

∞
n=1
|t
n
− t
n+1
| < +∞,
thì dãy {x
n
} xác định bởi

N

i=1
A
i
(x
n+1
) + x
n+1
= t
n
u + (1 − t
n
)x
n
, u, x
0
∈ E, n ≥ 0 (2.21)
hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó A
i
= I − Q
S
i
, i = 1, 2, , N và
Q
S
: E −→ S là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Định lí 2.16 Nếu các dãy số {r

n
} ⊂ (0, +∞) và {t
n
} ⊂ (0, 1)
thỏa mãn các điều kiện
i) lim
n→∞
t
n
= 0;

∞
n=0
t
n
= +∞;
ii) lim
n→∞
r
n
= +∞,
thì dãy {x
n
} xác định bởi
r
n
N

i=1
A

i
(x
n+1
) + x
n+1
= t
n
u + (1 − t
n
)x
n
, u, x
0
∈ E, n ≥ 0 (2.22)
hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó A
i
= I − Q
S
i
, i = 1, 2, , N và
Q
S
: E −→ S là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Chương 3
Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và
phương pháp điểm gần kề quán tính
hiệu chỉnh
Chương này, chúng tôi trình các kết quả nghiên cứu đạt được về

sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương
pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán xác định một
điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn,
cùng với một số ứng dụng của các phương pháp hiệu chỉnh cho việc
giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh
xạ giả co chặt trong không gian Hilbert và bài toán chấp nhận lồi
trong không gian Banach.
3.1. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp
điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm
điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh
xạ không giãn
Trước hết, trong mục này ta xét bài toán sau:
Xác định một phần tử x
∗
∈ S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅, (3.1)
trong đó F ix(T
i
) là tập điểm bất động của ánh xạ T
i
: C −→ C, i =
1, 2, , N và C là một tập con lồi, đóng và co rút không giãn theo
tia của không gian Banach E.
Chúng tôi xây dựng các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và
phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh dạng
N


i=1
A
i
(x
n
) + α
n
(x
n
− y) = 0, (3.2)
16
17
c
n
(
N

i=1
A
i
(u
n+1
) + α
n
(u
n+1
− y))
+ u
n+1

= Q
C
(u
n
+ γ
n
(u
n
− u
n−1
)),
(3.3)
tương ứng, trong đó y, u
0
, u
1
∈ C, A
i
= I − T
i
, i = 1, 2, , N và
Q
C
: E −→ C là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên C
để giải bài toán (3.1).
Trước hết, ta có định lí sau:
Định lí 3.1 Cho E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
j từ E vào E
∗

. Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, co rút
không giãn theo tia của E và cho T
i
: C −→ C, i = 1, 2, , N là
các ánh xạ không giãn với S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. Khi đó,
i) với mỗi α
n
> 0 phương trình (3.2) có duy nhất nghiệm x
n
;
ii) nếu dãy số dương {α
n
} thỏa mãn điều kiện lim
n→∞
α
n
= 0,
thì {x
n
} hội tụ mạnh về Q
S
y, trong đó Q
S
: E −→ S là một
ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.

Hơn nữa, ta có đánh giá sau
x
n+1
− x
n
 ≤
|α
n+1
− α
n
|
α
n
R
0
∀n ≥ 0, (3.4)
ở đây R
0
= 2y − Q
S
y.
Định lí 3.2 Cho E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
j từ E vào E
∗
. Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, co rút
không giãn theo tia của E và cho T
i
: C −→ C, i = 1, 2, , N là
các ánh xạ không giãn với S = ∩

N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. Nếu các dãy số
{c
n
}, {α
n
} và {γ
n
} thỏa mãn
i) 0 < c
0
< c
n
, α
n
> 0, α
n
→ 0,
|α
n+1
− α
n
|
α
2
n
→ 0,


∞
n=0
α
n
= +∞;
ii) γ
n
≥ 0, γ
n
α
−1
n
u
n
− u
n−1
 −→ 0,
18
thì dãy {u
n
} xác định bởi (3.3) hội tụ mạnh về Q
S
y, trong đó
Q
S
: E −→ S là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên
S.
Hệ quả 3.1 Cho E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

j từ E vào E
∗
. Cho T
i
: E −→ E, i = 1, 2, , N là các ánh xạ
không giãn với S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅ và cho {u
n
} là dãy xác định
bởi
c
n
(
N

i=1
A
i
(u
n+1
) + α
n
u
n+1
) + u
n+1

= u
n
+ γ
n
(u
n
− u
n−1
), u
0
, u
1
∈ E.
Khi đó, nếu các dãy số {c
n
}, {α
n
} và {γ
n
} thỏa mãn các điều
kiện
i) 0 < c
0
< c
n
, α
n
> 0, α
n
→ 0,

|α
n+1
− α
n
|
α
2
n
→ 0,

∞
n=0
α
n
= +∞;
ii) γ
n
≥ 0, γ
n
α
−1
n
u
n
− u
n−1
 → 0,
thì dãy {u
n
} hội tụ mạnh về Q

S
θ, trong đó Q
S
: E −→ S là một
co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Hệ quả 3.2 Cho E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
j từ E vào E
∗
. Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, co rút
không giãn theo tia của E, T
i
: C −→ E, i = 1, 2, , N là các
ánh xạ không giãn với S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅ và cho {u
n
} là dãy
được xác định bởi
c
n
(
N

i=1
B
i

(u
n+1
) + α
n
(u
n+1
− y))
+ u
n+1
= Q
C
(u
n
+ γ
n
(u
n
− u
n−1
)),
(3.5)
với y, u
0
, u
1
∈ C. Khi đó, nếu các dãy số {c
n
}, {α
n
} và {γ

n
}
thỏa mãn các điều kiện
i) 0 < c
0
< c
n
, α
n
> 0, α
n
→ 0,
|α
n+1
− α
n
|
α
2
n
→ 0,

∞
n=0
α
n
= +∞;
19
ii) γ
n

≥ 0, γ
n
α
−1
n
u
n
− u
n−1
 → 0,
thì dãy {u
n
} hội tụ mạnh về Q
S
y, trong đó B
i
= I − Q
C
T
i
, i =
1, 2, , N, Q
C
là một co rút không giãn theo tia từ E lên C, Q
S
là một co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Tiếp theo, chúng tôi đưa ra các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh tương tự để giải
bài toán (2.4).
Định lí 3.3 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn

đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
Cho C
i
là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của E và
cho T
i
: C
i
−→ C
i
, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn với
S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. Nếu dãy số dương {α
n
} hội tụ về không,
thì dãy {x
n
} xác định bởi
N

i=1
B
i
(x
n
) + α

n
x
n
= 0 (3.6)
hội tụ mạnh về Q
S
θ, trong đó B
i
= I − T
i
Q
C
i
, i = 1, 2, , N, Q
C
i
là một co rút không giãn theo tia từ E lên C
i
, Q
S
là một co rút
không giãn theo tia từ E lên S.
Định lí 3.4 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc. Cho C
i
là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của
E, T
i
: C

i
−→ C
i
, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn với
S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅ và cho {u
n
} là dãy được xác định bởi
c
n
(
N

i=1
B
i
(u
n+1
) + α
n
u
n+1
) + u
n+1
= u
n

+ γ
n
(u
n
− u
n−1
), (3.7)
với u
0
, u
1
∈ E. Khi đó, nếu các dãy số {c
n
}, {α
n
} và {γ
n
} thỏa
mãn các điều kiện
i) 0 < c
0
< c
n
, α
n
> 0, α
n
→ 0,
|α
n+1

− α
n
|
α
2
n
→ 0,

∞
n=0
α
n
= +∞;
ii) γ
n
≥ 0, γ
n
α
−1
n
u
n
− u
n−1
 −→ 0,
20
thì dãy {u
n
} hội tụ mạnh về Q
S

θ, trong đó B
i
= I − T
i
Q
C
i
, i =
1, 2, , N, Q
C
i
là một co rút không giãn từ E lên C
i
, Q
S
là một
co rút không giãn theo tia từ E lên S.
3.2. Tính ổn định của các phương pháp hiệu chỉnh
Trong mục này chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của các phương
pháp hiệu chỉnh (3.2) và (3.3) khi các toán tử T
i
và miền xác định
C thỏa mãn các điều kiện nhiễu dưới đây:
(A1) Đối với miền xác định C, tồn tại một dãy các tập con lồi, đóng
và co rút không giãn theo tia C
n
⊂ E, n = 1, 2, 3, sao cho
H(C
n
, C) ≤ δ

n
, trong đó {δ
n
} là một dãy số dương thỏa mãn
tính chất
δ
n+1
≤ δ
n
, ∀n ≥ 1. (3.8)
(A2) Trên mỗi tập C
n
, tồn tại các ánh xạ không giãn T
n
i
: C
n
−→
C
n
, i = 1, 2, , N thỏa mãn các điều kiện: tồn tại các hàm dương
g(t) và ξ(t) tăng với mọi t > 0 sao cho g(0) ≥ 0, ξ(0) = 0 và
nếu x ∈ C
k
, y ∈ C, x − y ≤ δ, thì
T
k
i
x − T
i

y ≤ g(max{x, y})ξ(δ). (3.9)
Chúng tôi thiết lập tính ổn định của phương pháp hiệu chỉnh
Tikhonov (3.2) và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh
(3.3) ở dạng
N

i=1
A
n
i
(z
n
) + α
n
(z
n
− Q
C
n
y) = 0, (3.10)
c
n
(
N

i=1
A
n
i
(u

n+1
) + α
n
(u
n+1
− Q
C
n
y)) + u
n+1
= Q
C
n
(u
n
+ γ
n
(u
n
− u
n−1
)),
(3.11)
tương ứng, trong đó u
0
, u
1
, y là các phần tử thuộc E, A
n
i

= I −
T
n
i
, i = 1, 2, , N, và Q
C
n
: E −→ C
n
là các ánh xạ co rút không
giãn theo tia từ E lên C
n
.
21
Định lí 3.5 Cho E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
j từ E vào E
∗
. Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, co rút
không giãn theo tia của E và cho T
i
: C −→ C, i = 1, 2, , N là
các ánh xạ không giãn với S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. Khi đó,
i) với mỗi α
n

> 0 phương trình (3.10) có duy nhất nghiệm z
n
;
ii) nếu các điều kiện (A1) và (A2) được thỏa mãn và các dãy số
dương {α
n
}, {δ
n
} thỏa mãn
α
n
−→ 0,
δ
n
+ ξ(δ
n
)
α
n
−→ 0, khi n −→ ∞, (3.12)
thì dãy {z
n
} xác định bởi (3.10) hội tụ mạnh về Q
S
(Q
C
y),
trong đó Q
S
: E −→ S là một co rút không giãn theo tia từ

E lên S.
Hơn nữa, nếu thêm điều kiện {α
n
} là một dãy giảm, thì ta có
đánh giá sau
z
n+1
− z
n
 ≤ 4δ
n
+ K
δ
n
+ ξ(2δ
n
)
α
n
+
α
n
− α
n+1
α
n
R
+ K
3


LK
4

h
E
(δ
n
), ∀n ≥ 0,
(3.13)
trong đó R, K, K
3
, K
4
là các hằng số.
Tiếp theo tính ổn định và sự hội tụ của phương pháp điểm gần kề
quán tính hiệu chỉnh (3.11) được cho bởi định lí sau:
Định lí 3.6 Cho E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
j từ E vào E
∗
. Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, co rút
không giãn theo tia của E và cho T
i
: C −→ C, i = 1, 2, , N
là các ánh xạ không giãn với S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. Nếu các điều

kiện (A1) và (A2) được thỏa mãn và các dãy số {α
n
}, {δ
n
}, {c
n
}
và {γ
n
} thỏa mãn
i) α
n
 0,
α
n
− α
n+1
α
2
n
−→ 0, khi n −→ ∞,

∞
n=1
α
n
= +∞,
22
ii)
δ

n
+ ξ(2δ
n
)
α
2
n
−→ 0,

h
E
(δ
n
)
α
n
−→ 0, khi n −→ ∞,
iii) 0 < c
0
< c
n
, γ
n
≥ 0, γ
n
α
−1
n
u
n

− u
n−1
 −→ 0, khi n −→ ∞,
thì dãy {u
n
} xác định bởi (3.11) hội tụ mạnh về Q
S
(Q
C
y), trong
đó Q
S
: E −→ S là một co rút không giãn theo tia từ E lên S.
3.3. Ứng dụng
3.3.1. Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các
ánh xạ giả co chặt
Tương tự như Mục 2.4.1 của Chương 2, trong mục này chúng tôi
cũng đề cập đến một ứng dụng của các phương pháp hiệu chỉnh
Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh được
trình bày trong Mục 3.1 cho việc giải bài toán (2.16).
Từ các Định lí 3.3 và Định lí 3.4 ta có các kết quả sau:
Định lí 3.7 Nếu dãy số dương {α
n
} thỏa mãn lim
n→∞
α
n
= 0, thì
dãy {x
n

} xác định bởi
N

i=1
F
i
(x
n
) + α
n
x
n
= 0, n ≥ 0, (3.14)
hội tụ mạnh về P
S
θ, trong đó P
S
là phép chiếu mêtric từ H lên
S.
Định lí 3.8 Cho {u
n
} là dãy được xác định bởi u
0
, u
1
∈ H và
c
n

N


i=1
F
i
(u
n+1
) + α
n
u
n+1

+ u
n+1
= u
n
+ γ
n
(u
n
− u
n−1
), n ≥ 1
(3.15)
Nếu các dãy số {c
n
}, {α
n
} và {γ
n
} thỏa mãn các điều kiện

i) 0 < c
0
< c
n
, α
n
> 0, α
n
→ 0,
|α
n+1
− α
n
|
α
2
n
→ 0,

∞
n=0
α
n
= +∞;
ii) γ
n
≥ 0, γ
n
α
−1

n
u
n
− u
n−1
 → 0,
thì dãy {u
n
} hội tụ mạnh về nghiệm chuẩn tắc P
S
θ của bài toán
(2.16), trong đó P
S
là phép chiếu mêtric từ H lên S.
23
3.3.2. Bài toán chấp nhận lồi
Tương tự như Mục 2.3.2 của Chương 2, trong mục này chúng tôi
cũng đề cập đến một ứng dụng của các phương pháp hiệu chỉnh (3.2)
và (3.3) để tìm một nghiệm của bài toán (2.20). Ta có các định lí
sau:
Định lí 3.9 Nếu dãy số dương {α
n
} thỏa mãn lim
n→∞
α
n
= 0, thì
dãy {x
n
} xác định bởi

N

i=1
B
i
(x
n
) + α
n
x
n
= 0, n ≥ 0, (3.16)
hội tụ mạnh về nghiệm chuẩn tắc Q
S
θ của bài toán (2.20), trong
đó B
i
= I − Q
S
i
, i = 1, 2, , N, Q
S
là một ánh xạ co rút không
giãn theo tia từ E lên S.
Định lí 3.10 Cho {u
n
} là dãy được xác định bởi u
0
, u
1

∈ E và
c
n

N

i=1
B
i
(u
n+1
) + α
n
u
n+1

+ u
n+1
= u
n
+ γ
n
(u
n
− u
n−1
), n ≥ 1.
(3.17)
Nếu các dãy số {c
n

}, {α
n
} và {γ
n
} thỏa mãn các điều kiện
i) 0 < c
0
< c
n
, α
n
> 0, α
n
→ 0,
|α
n+1
− α
n
|
α
2
n
→ 0,

∞
n=0
α
n
= +∞;
ii) γ

n
≥ 0, γ
n
α
−1
n
u
n
− u
n−1
 → 0,
thì dãy {u
n
} hội tụ mạnh về nghiệm chuẩn tắc Q
S
θ của bài toán
(2.20), trong đó B
i
= I − Q
S
i
, i = 1, 2, , N, Q
S
là một co rút
không giãn theo tia từ E lên S.