Đề thi thử THPTQG 2022 môn Toán kèm lời giải chi tiết

Câu 1. Cho hai số phức z1  2  3i , z2  4  5i . Tính z  z1  z2 .
A. z  2  2i .

B. z  2  2i .

C. z  2  2i .
Lời giải

D. z  2  2i .

z  z1  z2  2  3i  4  5i  2  2i .
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3)2  1 . Xác
định tọa độ tâm I của mặt cầu ( S ) .
A. I (1; 2; 3) .

B. I (1; 2;3) .

C. I (1; 2; 3) .
Lời giải

Tọa độ tâm mặt cầu là I (1; 2; 3) .

D. I (1; 2;3) .

Câu 3. Cho hàm số y  x 4  x 2  1 có đồ thị (C ) . Điểm nào sau đây thuộc đồ thị (C ) ?
A. M (2; 13) .

C. P (1;3) .
D. Q(1;0) .
Lời giải
Lần lượt thay tọa độ các điểm vào biểu thức y  x 4  x 2  1 , ta nhận điểm N (2;13) .

B. N (2;13) .

Câu 4. Thể tích V của khối cầu có bán kính R  4 bằng
A. V  64 .

B. V  36 .

C. V  48 .

D. V 

256
.
3

Lời giải
4
Áp dụng công thức V   R 3 .
3

Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  3x 2 .
A.

 f ( x)dx  3x

3

C .

B.

 f ( x)dx  2 x

3

C .

C.

 f ( x)dx  6 x  C .

D.

 f ( x)dx  x

3

C .

Lời giải

 f ( x)dx   (3x

2

)dx  x  C .
3

Câu 6. Cho hàm số y  f ( x) liên tục và có đạo hàm trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 4 .
B. 1 .

C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Hàm số liên tục trên  và có đạo hàm đổi dấu tại x  1 , x  2 , x  4 nên hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 7. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log 3 x  2 .
A. (0;8] .

B. (;9] .

C. (;8) .
Lời giải

D. (0;9] .

Điều kiện: x  2  0  x  2.
Vì 3  1 nên log 3 ( x  2)2  x  232  x11 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [11; ) .

Câu 8. Thể tích V của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là
1
1
1
A. V  Bh .
B. V  Bh .
C. V  Bh .
D. V  Bh .

2
3
6
Lời giải
Thể tích khối lăng trụ: V  Bh .
1

Câu 9. Tìm tập xác định  của hàm số y  x 3 .
A.    0;   .

B.    .

C.    0;   .

D.    \ 0 .


Lời giải
Vì số mũ

1
1
khơng ngun nên tập xác định của hàm số y  x 3 là    0;   .
3

Câu 10. Tìm nghiệm thực của phương trình 2 x  7 .
7
A. x  .
B. x  7 .
C. x  log 7 2 .

2
Lời giải
Ta có 2 x  7  x  log 2 7 .

D. x  log 2 7 .

Câu 11. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;3] và thỏa mãn f (1)  2 và f (3)  9 . Tính
3

I   f ( x)dx .
1

A. I  7 .

B. I  18 .

C. I  2 .
Lời giải

D. I  11 .

3

I   f ( x)dx  f ( x) |13  f (3)  f (1)  9  2  7.
1

Câu 12. Cho số phức z  6  7i . Tìm số phức liên hợp của số phức z .
A. z  6  7i .
B. z  6  7i .
C. z  i .

Lời giải
Ta có z  6  7i .

D. z  6  7i .

Câu 13. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : 2 x  y  z  5  0 . Điểm nào dưới đây thuộc mặt
phẳng ( P) ?
A. (2; 2; 5) .

C. (2;0; 0) .
D. (2;1; 0) .
Lời giải
Xét điểm (2;1; 0) có 2  (2)  1  0  5  0 nên điểm có tọa độ (2;1; 0) thuộc mặt phẳng ( P) .

Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2; 3) , B (2; 1;0) . Tìm tọa độ véc-tơ AB .




A. AB  (3; 3;3) .
B. AB  (1; 1;1) .
C. AB  (3; 3; 3) .
D. AB  (3;3; 3) .
Lời giải

Ta có AB  (2  (1); 1  2;0  (3))  (3; 3;3) .
B. (1;7;5) .

Câu 15. Cho số phức z có điểm biểu diễn trong mặt phẳng toạ độ là điểm M (2; 1) . Mô-đun của số
phức z bằng

A.

3.

B.

5.

C. 5 .
Lời giải

D. 3 .

Từ giả thiết suy ra z  2  i , | z | 22  ( 1) 2  5 .
Câu 16. Cho hàm số y  f ( x) có lim f ( x)  3 và lim f ( x)  3 . Chọn mệnh đề đúng.
x 

x 

A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x  3 và x  3 .
B. Đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y  3 và y  3 .
D. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
Lời giải
Theo định nghĩa về đường tiệm cận ngang, hàm số có hai tiệm cận ngang là y  3 , y  3 .
Câu 17. Cho a, b, c  0 và a  1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng địnhsai?
A. log a b  c  b  a c .
b
C. log a  log a b  log a c .
c

B. log a (bc)  log a b  log a c .
D. log a (b  c)  log a b  log a c .


Lời giải
Ta khơng có cơng thức log a (b  c)  log a b  log a c .
Câu 18. Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình vẽ bên?

A. y   x3  3 x .

B. y   x 4  3 x .

C. y  x 4  2 x 2 .
D. y  x 3  3 x .
Lời giải
Dựa vào hình dạng của đồ thị, ta có thể thấy đây là đồ thị của hàm số bậc 3 có hệ số a  0 .
Trong các đáp án đề bài cho, ta thấy chỉ có đáp án y   x3  3 x là phù hợp.

Câu 19. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm M (2; 1;3) và nhận véc-tơ u  (5;3; 4) làm
véc-tơ chỉ phương có phương trình chính tắc là
x  2 y 1 z  3
x  2 y 1




A.
. B.
5

3
4
5
3
x 5 y 3 z  4
x  2 y 1




C.
. D.
2
1
3
5
3

z 3
.
4
z 3
.
4
Lời giải

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M (2; 1;3) và nhận véc-tơ u  (5;3; 4) làm vécx  2 y 1 z  3




tơ chỉ phương là
5
3
4

Câu 20. Cơng thức tính số chỉnh hợp A kn là
A. A kn 

n!
.
(n  k )!k !

B. A kn 

n!
.
k!

C. A kn 

k!
.
(n  k )!

D. A kn 

n!
.
(n  k )!

Lời giải
n!
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là A kn 
.
(n  k )!
Câu 21. Thể tích khối hộp chữ nhật có 3 kích thước bằng a, b, c là
A. abc .

B. 2abc .

C.

1
abc .
6

D.

1
abc .
3

Lời giải
Thể tích khối hộp chữ nhật có 3 kích thước bằng a, b, c là abc .
Câu 22. Đạo hàm của hàm số y  3x là
A. y  x3x 1 .

B. y  3x .

C. y 

3x
.
ln 3

D. y  3x ln 3 .

Lời giải
Áp dụng cơng thức tính đạo hàm của hàm số mũ, ta có (3x )  3x ln 3 .
Câu 23. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  có đồ thị như hình bên. Hàm số y  f ( x) nghịch biến trên
khoảng nào dưới đây?


A. (0; ) .

B. (; 1) .

C. (1;1) .
D. (;0) .
Lời giải
Từ đồ thị của hàm số ta có hàm số y  f ( x) nghịch biến trên các khoảng (; 1) và (0;1).
Câu 24. Một hình trụ có chiều cao bằng 3 , bán kính đáy bằng 2 . Tính thể tích của khối trụ.
A. 18 .
B. 12 .
C. 40 .
D. 10 .
Lời giải
Thể tích khối trụ là V   r 2 h    22  3  12 .
2

1

Câu 25. Cho



f ( x )dx  2 và

0


0

B. 2 .
1

2

0

1

 f ( x)dx

bằng

0

1

A. 1 .
2



2

f ( x )dx  4 . Khi đó, tích phân

C. 6 .
Lời giải

D. 3 .

f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx  6.

Câu 26. Cho ba số theo thứ tự lập thành cấp số cộng là 5, 2,1 . Công sai của cấp số cộng bằng
A. 1 .

C. 2 .
Lời giải
Công sai là của cấp số cộng là d  1  (2)  2  ( 5)  3 .
B. 2 .

D. 3 .

Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos x là
A.  cos x  C .

B. sin x  C .

C. cos x  C .
Lời giải

D.  sin x  C .

 f ( x)dx   cosxdx  sin x  C .
Câu 28. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số bằng
A. yCÐ  1 .
B. yCÐ  0 .

C. yCÐ  2 .
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị cực đại của hàm số là yCÐ  5 .

D. yCÐ  5 .

Câu 29. Hàm số y  x 3  3x  1 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2; 0] tại
A. x  1 .

B. x  0 .

C. x  2 .

D. x  1 .


Lời giải

Hàm số y  x 3  3x  1 liên tục trên đoạn [2; 0] .
 x  1 (n)
y  3 x 2  3 , y  0  
 x  1 (l ).
Ta có y (1)  3 , y (2)  1 , y (0)  1 .
Vậy min y  1 tại x  2 .
x[ 2;0]

Câu 30. Hàm số nào sau đây đồng biến trên  ?
A. y  x 4  2 x 2  3 .

B. y  x 3  x 2  2 x  1 .

C. y   x3  x  2 .

D. y 

x 1
.
x3

Lời giải
2

1 5

Xét hàm số y  x 3  x 2  2 x  1 . Ta có y  3 x 2  2 x  2  3  x     0, x   .
3 3

3

2
Nên hàm số y  x  x  2 x  1 đồng biến trên  .

Câu 31. Cho log 2 5  a . Giá trị của log8 25 theo a bằng
A.

2
a.
3

B.

3
a.
2

C. 3a .

D. 2a .

Lời giải
2
2
Ta có log8 25  log 23 52  log 2 5  a .
3
3

Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Tính góc giữa hai đường thẳng BD và AA.
A. 45 .
B. 60 .

C. 90 .
D. 30 .

Lời giải
Vì AA  ( ABC D) nên AA  BD.
Vậy góc giữa hai đường thẳng BD và AA bằng 90.
Câu 33. Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [1; 2] và
5
B. I  .
2

A. I  10 .

2

2

1

1

  f ( x)  xdx  1 . Tính I   f ( x)dx

C. I  4 .

D. I 

7
.
2

Lời giải
3

Ta có I 

 7 f ( x)  x dx  7 F ( x) |

3
5

5



2

x
2

|

3
5

2.

Câu 34. Trong không gian Oxyz cho điểm A(4; 3; 7) và B(2;1;3) . Viết phương trình mặt phẳng trung
trực của đoạn AB .
A. x  2 y  2 z  15  0 .

B. x  2 y  2 z  15  0 . C. x  2 y  2 z  15  0 .
Lời giải

D. x  2 y  2 z  15  0 .



Ta có AB (2; 4; 4) trung điểm AB là M (3; 1;5) .
Mặt phẳng trung trực của AB là 2( x  3)  4( y  1)  4( z  5)  0  x  2 y  2 z  15  0.

Câu 35. Cho số phức z  a  bi (a, b  ) thỏa mãn z  (1  i) z  7  2i . Giá trị của 2a  b bằng
B. 4 .

A. 7 .

C. 1 .
Lời giải

D. 6 .

Ta có
2a  b  7
a  2
z  (1  i ) z  7  2i  a  bi  (1  i )(a  bi )  7  2i  

a  2
b  3.
Vậy 2a  b  2  2  3  1 .
Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , tam giác SAB đều và nằm

trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ( ABC ) .
A. 2a 3 .

B.

a 3
.
2

C. a 3 .

D. a 6 .

Lời giải

Gọi

H

là trung điểm của

 SH  AB

AB , khi đó ( SAB )  ( ABC )  AB
( SAB )  ( ABC )


nên

SH  ( ABC ) . Vậy

d ( S , ( ABC ))  SH  a 3 .

Câu 37. Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất hai lần. Tính xác suất sao cho kết quả trong hai lần gieo
khác nhau.
1
2
1
5
A. .
B. .
C. .
D. .
6
3
3
6
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là |  | 6  6  36 .
Gọi A là biến cố `` kết quả 2 lần gieo giống nhau''. Khi đó | A | 6 .
6 1
 .
Xác suất của A là P ( A) 
36 6
Ta có A là biến cố `` kết quả hai lần gieo khác nhau''.
5
Vậy P ( A)  1  P ( A)  .
6
Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A(1;1;1) , B(1;1; 0) , C (1;3; 2) . Đường trung
tuyến AM của tam giác ABC có một véc-tơ chỉ phương là




A. a  (2; 2; 2) .
B. b  (1; 2;1) .
C. c  (1;1;0) .
 Lời giải
Tọa độ trung điểm của BC là M (0; 2;1) , AM  (1;1;0) .


D. d  (1;1; 0) .




Câu 39. Bất phương trình e x  5.e
A. 31 .

x2
2

 6e2



2  log(ex)  0 có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên?

B. 34 .

C. 32 .

Lời giải

D. 35 .

2  log(ex )  0
100
Điều kiện: 
0 x
.
e
ex  0
x 2
 2  log(ex)  0(1)


Ta có  e x  5.e 2  6e 2  2  log(ex )  0  
.
x 2
 e x  5.e 2  6e 2  0(2)




+ (1)  log(ex)  2  ex  102  x 

100
(tm) .
e

 2x

2
x
 x  2 ln  3e 
 2x 
 e  3e

+ (2)   e   5e.e 2  6e 2  0   x
. Kết hợp với điều kiện, ta có các giá trị
x

2
ln
2
e



 

 e 2  2e
nguyên thoả mãn trong trường hợp này là x  1; 2;3  5;6;....36 .

Vậy có 35 số nguyên x thoả mãn đề bài.
Câu 40. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên  và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Đặt
g ( x )  f  f ( x)  . Tìm số nghiệm của phương trình g ( x)  0 .

A. 7 .

B. 6 .

Ký hiệu a , b , c như hình vẽ.

C. 5 .
Lời giải

D. 8 .


 f   f ( x)   0
Ta có g ( x)  f ( x). f   f ( x)  , từ đó suy ra g ( x)  0  
 f ( x)  0
*Từ đồ thị của hàm y  f ( x) ta suy ra phương trình f ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt x1  0 và
x2  a  (2;3) , ( a là hoành độ của điểm cực tiểu của hàm số y  f ( x) ).
 f ( x)  0
*Xét phương trình f   f ( x)   0  
.
 f ( x)  a
Phương trình f ( x)  0 có tập nghiệm {x3 ; x4 ; x5 }  {b,1; c} , ( b  1  c là hoành độ giao điểm của hàm số
y  f ( x) và trục hồnh).
Phương trình f ( x)  0 có tập nghiệm {x6 ; x7 ; x8 } , ở đó x6 ; x7 ; x8 là hoành độ giao điểm của đường thẳng
y  a với đồ thị hàm số y  f ( x) .
Dễ thấy các nghiệm xi , i  1,8 đôi một phân biệt.
Từ đó suy ra phương trình g ( x)  0 có 8 nghiệm phân biệt.
Câu 41. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm là f ( x)  4 x 3  4 x,x   và f (0)  1 . Khi đó
1

I

 f ( x)dx bằng

1


A.

4
.
15

B.

Ta có: f ( x)  



26
.
15

C.

4
.
15

D. 0 .

Lời giải
4 x  4 x dx  x  2 x  C (*) .



3

4

2

Thay x  0 vào (*) ta có: f (0)  C  1 . Vậy f ( x)  x 4  2 x 2  1 .
1

Khi đó: I 



1

1

f ( x )dx 

 x

4



 2 x 2  1 dx 

1

4
.
15

Câu 42. Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC , AD đơi một vng góc nhau, AB  8a, AC  AD  4a .
Gọi M là điểm nằm trên cạnh AB sao cho MB  MC  MD . Tính thể tích V của tứ diện MBCD .
40 3
A. V  40a3 .
B. V  16a 3 .
C. V  8a 3 .
D. V 
a .
3
Lời giải
Gọi J là hình chiếu của A lên BC .
Gọi I là trung điểm BC .
Từ I kẻ đường thẳng song song với AJ cắt AB tại M .
Suy ra MI là đường trung trực của BC nên MC  MB . \hfill (1)
Vì ABC  ABD nên ta được MC  MD . \hfill (2)
Từ (1) và (2) ta được MB  MC  MD .

Ta thấy AMIC nội tiếp đường tròn nên ta có
BM 1 BC 2 5
BM  BA  BI  BC 
 
 .
BA 2 AB 2 8
V
BM

Ta có B.MCD 
.
VB. ACD
BA

5 8a  4a  4a 40a3

Vậy VMBCD  
.
8
6
3
Câu 43. Trên tập hợp các số phức, phương trình z 2  az  b  0 , với a, b   có nghiệm z0  2  3i . Biết
rằng phương trình z 2  bz  a  0 cũng có hai nghiệm phức z1 và z2 . Tính S  z1  z2 .
A. S  4 .

B. S  13 .

C. S  25 .
Lời giải
2
Phương trình z  az  b  0 có nghiệm z0  2  3i khi và chỉ khi
2a  b  5  0
 a  4
(2  3i ) 2  a (2  3i )  b  0  

12  3a  0
b  13.
2
Khi đó, phương trình z  bz  a  0 trở thành z 2  13z  4  0 (2).

D. S  185 .


Phương trình (2) có hai nghiệm thực trái dấu z1,2 
Khi đó S 

13  185
.
2

13  185 13  185 13  185 13  185



 185 .
2
2
2
2

Câu 44. Cho số phức z thay đổi thỏa mãn | z  z |  | z  z || z 2 | . Giá trị lớn nhất của biểu thức

P | z  5  2i | bằng bao nhiêu?
C. 5  2 3 .
Lời giải
Giả sử z  x  yi (trong đó x, y   ) có điểm biểu diễn là M ( x; y) .
A.

2 3 5 .

B.

2 5 3 .

D.

5 3 2 .

Ta có
z  z  z  z  z 2  2 x  2 yi  x 2  y 2  2 x  2 y  x 2  y 2
 x2  y2  2x  2 y  0
 2
2
x  y  2x  2 y  0
 2
2
 x  y  2x  2 y  0
 x2  y2  2x  2 y  0


 C1 
 C2 
 C3 
 C4 

Trong đó,  C1  là đường trịn tâm I1 1;1 và bán kính R  2 .

 C2  là đường tròn tâm I 2  1; 1 và bán kính R  2 .
 C3  là đường trịn tâm I 3 1; 1 và bán kính R  2 .

 C4  là đường tròn tâm I 4  1;1 và bán kính R  2 .
Mà P | z  5  2i | MA với A(5; 2) và M chạy trên 4 đường tròn như hình vẽ bên dưới.


Dựa vào hình minh họa, rõ ràng Pmax  I 2 A  r  36  9  2  3 5  2 .

 3 107 
Câu 45. Cho đồ thị (C ) của hàm số y  x 4  ax3  d có một điểm cực tiểu A   ; 
 . Gọi ( P) là
 2 16 
 1 9
parabol có tọa độ đỉnh I   ;  và đi qua điểm B  1;0  . Diện tích phần đồ thị giới hạn bởi hai đồ thị
 4 8
(C ) , ( P) bằng
72
.
5

A.

B. 

72
.
5

C.

62
.

15

D.

154
.
15

Lời giải
Do hàm số y  x  ax  d có y  4 x  3ax
3a
y  0  4 x 4  3ax 2  0  x  
4
4

3

4

2

3
3a
 3 107 
Mà đồ thị hàm số (C ) có một điểm cực tiểu là A   ; 
 nên  2   4  a  2 . Thay tọa độ
 2 16 
 3 107 
4
3

điểm A   ; 
 vào hàm số ta có d  5 . Vậy hàm số của đồ thị (C ) là: y  x  2 x  5
 2 16 
Gọi hàm số của y  mx 2  nx  p ta có:
1
 n
  2m   4

 m  2
2
  1 

 1 
m    n    p  0  n  1 .
 4 
  4 
p 1

2
m.( 1)  n(1)  p  0


Vậy hàm số của (P) là: y  2 x 2  x  1 .
x 1
Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x 4  2 x 3  2 x 2  x  6  0  
 x  2
4
Vậy diện tích phần đồ thị giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  x  2 x3  5 và y  2 x 2  x  1 là:
1

1



x 4  2 x 3  5  2 x 2  x  1dx 

2

 ( 2 x

2

 x  1  x 4  2 x 3  5)dx

2

1

  ( x 4  2 x3  2 x 2  x  6)dx 
2

72
.
5

Chọn đáp án#A.
x y 3 z 2


và mặt phẳng

2
1
3
( P) : x  y  2 z  6  0 . Đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( P) , cắt và vng góc với d có phương trình

Câu 46. Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d :

x  2 y  4 z 1
x2 y2 z5


. B.


.
1
7
3
1
7
3
x  2 y  4 z 1
x2 y 2 z5
C.


. D.


.

1
7
3
1
7
3
Lời giải
 x  2t

Phương trình tham số của d :  y  3  t
 z  2  3t.

Gọi M (2t ;3  t ; 2  3t ) là giao điểm của d và ( P) .
M thuộc ( P) nên 2t  (3  t )  2(2  3t )  6  0  t  1 , suy ra M (2; 2;5) .
A.




d có véc-tơ chỉ phương của ud  (2;1; 3) , ( P) có véc-tơ pháp tuyến n( P )  (1; 1; 2) .

Gọi  là đường thẳng nằm trong ( P) , cắt và vng góc với d . Suy ra  đi qua M (2; 2;5) và có véc
 
tơ chỉ phương u   n( P ) , ud   (1;7;3) .
x2 y 2 z 5
Vậy  có phương trình là
.


1

7
3
Câu 47. Cho hình nón trịn xoay đỉnh S có chiều cao bằng bán kính đáy. Mặt phẳng ( P) đi qua đỉnh S
cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB  2a . Tính khoảng cách từ tâm đường trịn đáy đến ( P) , biết
thể tích khối nón là V  a 3 3 .
A.

a 6
.
5

B. a 5 .

C.

a 30
.
5

Lời giải

1
Ta có: V   R 2 h  3a 3 3  R 3  R  a 3  cm  .
3
 Rha 3.
Gọi I là trung điểm AB . Kẻ OH  SI . Khi đó:
 SI  AB
 AB   SIO 

OI  AB

 OH  AB (vì OH   SIO  )

OH  AB
Mặt khác: 
 OH   SAB 
OH  SI
 d  O;( P)   OH .
Xét AOI vuông tại I ta có: OI  OA2  IA2 

a 3 

2

 a 2  a 2  cm 

Xét SIO vng tại O có đường cao OH , ta có:
SO.OI
a 3.a 2
a 2 6 a 30
OH 



 cm 
2
2
5
a 5
SO 2  OI 2
a 3  a 2



 



D.

a 5
.
6


Câu 48. Gọi S là tập các số nguyên y sao cho với mỗi y  S có đúng 10 số nguyên x thoả mãn
2 y  x  log 3 ( x  y 2 ) . Tính tổng các phần tử thuộc S .

A. 1 .

C. 1 .
Lời giải

B. 7 .

D. 4 .

Điều kiện: x   y 2 .
Xét hàm số f ( x)  2 y  x  log 3 ( x  y 2 ) (coi y là tham số), ta thấy f ( x) nghịch biến trên khoảng

  y ;   và

2





lim f ( x)  , lim f ( x)   nên tồn tại x0   y 2 ;  sao cho f  x0   0 . Từ đó ta được
x 

x  y 2

f ( x)  0   y 2  x  x0 .

2 y  y 10  log 3 10  0
 f ( y 2  10)  0

Theo bài ra có đúng 10 số nguyên x  
 y 2  y 11
2
 log 3 11  0
 f (  y  11)  0
 2
  y  2,86
 y 2  y  10  log 2 (log 3 10)  0

 y  4;3 .
   y  3,86
 2
 y  y  11  log 2 (log 3 11)  0
 4, 01  y  3,01


2

Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x  y  z  0 và hai điểm A(1; 2;0) , B(2;3;1) . Mặt
cầu ( S ) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với ( P) tại điểm C . Biết rằng C luôn nằm trên một đường tròn
cố định khi mặt cầu ( S ) thay đổi. Tính bán kính r của đường trịn đó.
B. r  6 .

A. r  12 .

C. r  6 .
Lời giải

D. r  2 3 .

Gọi I là tâm của mặt cầu S .
x  1 t


Ta có AB  (1;1;1; )  AB :  y  2  t
 z  t.


Gọi D là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng ( P) , suy ra D(0;1; 1) . Ta có DA  (1;1;1) ,

 
DB  (2; 2; 2) . Suy ra DA  DB  6 (1).

Gọi H là trung điểm của AB . Ta có
 

   
DA  DB  DH  HB  DH  HA





 DH  HA
2



2



 DI 2  IH 2  HA2  DI 2  IH 2  HA2
 DI  IA  DI  IC
2

 DC 2

2

2

(2).

Từ (1) và (2) , suy ra DC  6

2




x3  3x 2  m
(với m là tham số thực) có ba điểm cực trị khơng thẳng
x
hàng. Tính R0 là bán kính nhỏ nhất của các đường trịn đi qua ba điểm cực trị đó.
Câu 50. Cho đồ thị hàm số y 

A. R0 

77
.
24

B. R0 

11
.
8

C. R0 

11
.
24

D. R0 

7
.
8

Lời giải
Ta có y  2 x  3 

m 2 x  3x  m

.
x2
x2
3

2


x03  3 x02  m
(1)
 y0 
x0
Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ của một điểm cực trị. Khi đó ( x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ 
2 x 3  3 x 2  m  0. (2)
0
 0
Từ (2) suy ra m  2 x03  3 x02 . Thay vào (1) ta được y0  3x02  6 x0 hay x02 

1
y0  2 x0 .\hfill (3)

3

3 2 m
x0 
theo (2)
2
2
${\begin{align}\Rightarrow
&
x_0y_0&=\frac{3}{2}x_0^2+\frac{m}{2}-3x_0^2+m=\frac{3}{2}x_0^2+\frac{3}{2}m\Rightarrow
&
y_0&=\frac{3}{2}x_0+\frac{3}{2}\frac{m}{x_0}\Rightarrow
&
y_0^2&=\frac{9}{4}x_0^2+\frac{9}{4}\frac{m^2}{x_0^2}-\frac{9}{2}m\Rightarrow
&
y_0^2&=\frac{9}{4}x_0^2+\frac{9}{4}\frac{m}{x_0^2}(2x_0^3-3x_0^2)-\frac{9}{2}m\Rightarrow &
y_0^2&=\frac{9}{4}x_0^2+\frac{9}{4}m(2x_0-3)-\frac{9}{2}m\Rightarrow
&
x_0^2+y_0^2&=\frac{13}{4}x_0^2+\frac{9m}{2}x_0-\frac{45}{4}m.\quad (4)\end{align}}$
9m  13
13
45
Thay (3) vào vế phải của (4) ta được x02  y02 
x0  y0  m.
2
12
4

Từ (1) suy ra x0 y0  x03  3 x02  m , mà x03 

2

2

81m 2  54m  169 169
169 5929
 9m  13   13  45
Ta có 


m


 10 

 0.
  
4
16
576
576 576
 4   24 
9m  13
13
45
Vậy các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường tròn x 2  y 2 
x y m  0.
2
12
4

5929
77
Ta có R 2 
R
.
576
24
77
1
Vậy min R 
khi m   .
24
3
1
77
Với m   , phương trình y  0 có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn nên R0  min R 
.
3
24

BẢNG ĐÁP ÁN
1. C
11. A
21. A
31. A
41. C

2. C
12. D
22. D

32. C
42. D

3. B
13. D
23. B
33. B
43. D

4. D
14. A
24. B
34. A
44. A

5. D
15. B
25. C
35. C
45. A

6. D
16. C
26. D
36. C
46. D

7. D
17. D
27. B

37. D
47. C

8. A
18. A
28. D
38. C
48. C

9. C
19. A
29. C
39. D
49. B

10. D
20. D
30. B
40. D
50. A