Quy tắc tính đạo hàm

HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

CHƯƠNG 5: ĐẠO HÀM
BÀI 2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được quy tắc và các công thức tính đạo hàm.
+ Trình bày được cách tìm đạo hàm thích hợp.
+ Trình bày được cách viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm.
 Kĩ năng
+ Tìm được đạo hàm các hàm số thường gặp, đạo hàm hàm số hợp.
+ Viết được phương trình tiếp tuyến và giải quyết các bài toán liên quan.
+ Vận dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình,; chứng minh đẳng thức, bất đẳng
thức, tính giới hạn.

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 1


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

 c   0, c

là hằng số;

 x   1;
1

 1 
 x    x2 ;
 

 x   2 1 x ;
 x   n.x
n

n 1

( với n là số tự nhiên).

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương.
Cho các hàm số u  u  x  ; v  v  x  có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:
1.

 u  v   u  v;

2.

 u  v   u  v;

3.

 u.v   uv  vu;

 u  uv  vu
4.   
 v  v  x   0.
v2

v

Chú ý:
a)  k.v   kv ( k: hằng số);
 1  v
b)    2  v  v  x   0  .
v v

Mở rộng:


 u1  u2  ...  un   u1  u2  ...  un ;



 u.v.w   u.v.w  u.v.w  u.v.w.

3. Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số y  f  u  x    f  u  với u  u  x  .
Khi đó: yx  yu .ux .
4. Bảng cơng thức đạo hàm của một số hàm số thường gặp
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Đạo hàm các hàm hợp u  u  x 

Trang 2

HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

 c   0, c

u
 1 
 u    u2
 

là hằng số

 x   1

 u   2uu

1
 1 
 x    x2
 

 u   .u.u


 x   2 1 x
 x   a.x


 1

 1

5. Đạo hàm các hàm số lượng giác
a) Giới hạn của
Định lý: lim
x 0

sin x
.
x

sin x
1.
x

Chú ý: Nếu hàm số u  u  x  thỏa mãn điều kiện: u  x   0 với mọi x  x0 và lim u  x   0 thì
x  x0

lim

x  x0

sin u  x 
ux

 1.

b) Đạo hàm của hàm số y  sin x
Định lý:
và  sin x   cos x

Hàm số y  sin x có đạo hàm tại mọi x 

Chú ý: Nếu y  sin u và u  u  x  thì  sin u   u.cos u .
c) Đạo hàm của hàm số y  cos x
Định lý:
và  cos x    sin x

Hàm số y  cos x có đạo hàm tại mọi x 

Chú ý: Nếu y  cos u và u  u  x  thì  cos u   u.sin u
d) Đạo hàm của hàm số y  tan x
Định lý:
Hàm số y  tan x có đạo hàm tại mọi x 


2

 k , k 

và  tan x  

Chú ý: Nếu y  tan u và u  u  x  có đạo hàm trên K , u  x  
Khi đó trên K ta có:  tan u  


2

1
.
cos2 x

 k  k 

 với mọi

x K .

u
.
cos2 u

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 3


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

e) Đạo hàm của hàm số y  cot x
Định lý:
Hàm số y  cot x có đạo hàm tại mọi x  k , k 

và  cot x   

1
.
sin 2 x

Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác

 sin x   cos x

 sin u   u.cos u

 cos x    sin x

 cos u   u.sin u

 tan x  

1
cos2 x

 cot x   

1
sin 2 x

 tan u  

u
cos2 u

 cot u   

u
sin 2 u

Chú ý: Nếu y  cot u và u  u  x  có đạo hàm trên K, u  x   k  k 



với mọi x  K . Khi đó trên K ta

u
có:  cot u    2 .
sin u

Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y  f  x  tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến
với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M  x0 ; y0  .
Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M  x0 ; y0  là: y  y  x0  x  x0   y0
Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hồnh độ tiếp điểm x 0
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Các quy tắc và cơng thức tính đạo hàm
Bài tốn 1. Tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số
Phương pháp giải
Áp dụng bảng cơng thức và quy tắc tính đạo
hàm


y  x 3  3x 2 

Công thức đạo hàm

x n   n. x n1 (với n là số tự nhiên).

 


Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số

Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Cho các hàm số u  u  x  ; v  v  x  có đạo
hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
Ta có:
a)  u1  u2  ...  un   u1  u2  ...  un .

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

2x 1
x

Hướng dẫn giải


  2x 1 
Ta có y   x 3    3 x 2   

 x 
 3x 2  6 x 

 3x 2  6 x 

2. x   2 x  1 .1
x2

.

1

.
x2

Trang 4


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

b)  u.v.w   u.v.w  u.v.w  u.v.w .
 u  uv  vu
c)   
v  v  x   0 .
v2
v

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm các hàm số
a) y   x 4 
b) y 

3 2
x  2020 x .
2

x 2
x 1

Hướng dẫn giải

 3 

a) y    x 4    x 2    2020 x   y  4 x 3  3x  2020 .
2 


b) y 
1
2 x








x  2 .  x  1 



 x  1

.  x  1 

 x  1



x 2



x  2  x  1
2



2

x 1 2x  4 x
2 x  x  1

1 x  4 x
2 x  x  1

2

2

.

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm các hàm số
a) y  x  2 x  13x  2 .
b) y  x 2  x x  5.
Hướng dẫn giải





a) Ta có y  x  2 x  1 3x  2   2 x 2  x  3x  2  . Khi đó


y   2 x 2  x  3x  2 





 2 x 2  x  .  3x  2   3x  2  . 2 x 2  x









  4 x  1 3x  2   3 2 x 2  x





 18x 2  2 x  2 .

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 5

HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

b) Ta có

  




y  x 2   x x  5
 2 x  x . x 
 2x  x 

 2x 

 x  .x

1
2 x

.x

3 x
.
2

Ví dụ 3: Chứng minh các cơng thức tổng quát sau
a b

c d

 ax  b 

; (a, b, c, d là hằng số)
a) 

2
 cx  d   cx  d 

a b 2
a c
b c
x 2
x

a1 b1
a1 c1
b1 c1
 ax  bx  c 
b) 
(a, b, c, a1 , b1 , c1 là hằng số)
 
2
2
2
a
x

b
x


c
 1
1
1 
a1 x  b1 x  c1
2





b c
a.a1 x 2  2 a.b1 x 

a1 b1
 ax  bx  c 
c) 
(a, b, c, a1 , b1 là hằng số)
 
2
 a1 x  b1 
 a1 x  b1 
2

Hướng dẫn giải
a) Ta có



 ax  b   ax  b   cx  d    ax  b  cx  d 


 cx  d 
2


 cx  d 




a  cx  d    ax  b  c

 cx  d 

2

ad  bc

 cx  d 

2

a b

c d
 ax  b 

Vậy 

2

 cx  d   cx  d 

b) Ta có

ax 2  bx  c  a1 x 2  b1 x  c1  ax 2  bx  c a1 x 2  b1 x  c1 
 ax 2  bx  c 
 2
 
2
 a1 x  b1 x  c1 
a1 x 2  b1 x  c1







SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

 







Trang 6

HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11



 2ax  b  .  a1 x 2  b1 x  c1    ax 2  bx  c  .  2a1 x  b1 

a x
1



2

 b1 x  c1



2

 a.b1  a1.b  x 2  2  a.c1  a1.c  x   b.c1  b1.c 

a x

2

1

 b1 x  c1 

2

a b 2
a c
b c
x

2
x


a1 b1
a1 c1
b1 c1
 ax 2  bx  c 
Vậy 
(điều phải chứng minh).
 
2
2
 a1 x  b1 x  c1 
a1 x 2  b1 x  c1





ax 2  bx  c  .  a1 x  b1   ax 2  bx  c .  a1 x  b1 
 ax 2  bx  c 
c) Ta có 

 
2
 ax1  b1 
 a1 x  b1 









 2ax  b  .  a1 x  b1    ax 2  bx  c  .a1

2
 a1 x  b1 


a.a1 x 2  2a.b1 x   b.b1  a1.c 

 a1 x  b1 

2

(điều phải chứng minh).

b c
a.a1 x 2  2 a.b1 x 


a1 b1
 ax  bx  c 
Vậy 
 
2
 a1 x  b1 
 a1 x  b1 
2

Bài tốn 2. Tìm đạo hàm của hàm số hợp
Phương pháp giải
Nếu hàm số u  g  x  có đạo hàm tại x là

Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số



y  x4  2x

u x và hàm số y  f  u  có đạo hàm tại u là yu

thì hàm hợp y  f  g  x   có đạo hàm tại x là



Cơng thức đạo hàm của một số hàm hợp

2 
Ta có y   x 4  2 x  




 u   n.u
n

 u  2


n 1

u
u



.u n 

*



;

u
 1 
 u    u2 .
 





2x2 1



2x2 1 

y  2 x  2 x . x  2 x 
2 2x2 1



thường gặp:

 2x2 1

Hướng dẫn giải



yx  yu .ux .

2



4



4













 y  2 x 4  2 x . 4 x 3  2 



 y  4 x x 3  2 . 2 x 3  1 



4x
2 2x2 1

2x
2x2 1

.

trong đó u  u  x  .
Ví dụ mẫu
SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 7


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
3

 2x 1 
a) y  
 ;
 x 1 

b) y  3x 2  2 x  1 .

Hướng dẫn giải
a) Ta có:

 2x 1 
y  3. 

 x 1 

2
2

9  2 x  1
3
 2 x  1 
 2x 1 
.

  3.  x  1  .
2
4
 x 1 

  x  1
 x  1

2

 3x
b) Ta có: y 

2

 2x 1 



2 3x 2  2 x  1



6x  2

2 3x 2  2 x  1



3x  1
3x 2  2 x  1

.

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
2

 1 x 
a) y  
 ;
1 x 

2

1 

b) y   x 
 .
x


Hướng dẫn giải

 1  x  1  x 
a) Ta có: y  2 

 1  x 
 1  x 



 1 x 
2
 2
 1  x 

 1 x



2







2

 x 

1 x

x 1 x



3

2 

1  
1 
1 



2.
x

.
x

b) Ta có: y   x 





x  
x
x



1  1
1 

 2.  x 



x  2 x 2 x x 

 2.

1 
1  1 
 x
 1  
2 x
x  x 

 1  1 
 1   1  
x
 x 

 1

1
.
x2

Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số y 

x2  1  2x 1

Hướng dẫn giải

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 8


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

x
x2 1

Ta có: y 
2

2

x2 1  2x 1

x  2 x2 1


2

x

2



1



x2 1  2x 1

Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hàm số f  x   ax  b , với a, b là hai số thực đã cho. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. f   x   a.

C. f   x   b.

B. f   x   a.

D. f   x   b.

Câu 2: Đạo hàm của hàm số f  x   x 2  5x  1 tại x  4 là
A. – 1.

B. – 5.

Câu 3: Hàm số y 

C. 2.

D. 3.

2x 1
có đạo hàm là
x 1

B. y  

A. y  2.

1

 x  1

.

2

C. y  

3

 x  1

2

D. y 

.

1

 x  1

2

.

Câu 4: Cho các hàm số u  u  x  , v  v  x  có đạo hàm trên khoảng J và v  x   0 với x  J . Khẳng
định nào sau đây sai?
A. u  x   v  x   u  x   v  x  .

 1  v  x 
B. 
.
  2
 v  x   v  x 

C. u  x  .v  x   u  x  .v  x   v  x  .u  x  .

 u  x   u  x  .v  x   v  x  .u  x 
D. 
.
 
v2  x 
 v  x  

Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số y 
A. y  2 x 3  2 x 2 

x 4 2x3 1


 8
2
3
x

1
1
x2

C. y  2 x 3  2 x 2  1
Câu 6: Cho hàm số y 

B. y  2 x 3  2 x 2 

1
.
x2

D. y  2 x 3  2 x 2 

1
.
x2

x2  x
. Đạo hàm của hàm số tại x  1 là
x 2

C. y 1  3.

B. y 1  5.

A. y 1  4.

Câu 7: Đạo hàm của hàm số y  1  x 3 

5

D. y 1  2.

là

A. y  5 1  x 3  .

B. y  15x 2 1  x 3  .

C. y  3 1  x 3  .

D. y  5x 2 1  x 3  .

4

4

4

4

Câu 8: Hàm số

 x  2
y
1 x

2

có đạo hàm là

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 9


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

A. y 

x2  2x

.

B. y 

C. y  2  x  2  .

D. y 

1  x 

2

x2  2x

1  x 

2

x2  2x

1  x 

2

Câu 9: Tìm đạo hàm của hàm số y  x 2  2 x  1 5x  3 .
A. y  40 x 2  3x 2  6 x.

B. y  40 x 3  3x 2  6 x.

C. y  40 x 3  3x 2  6 x.

D. y  40 x 3  3 x 2  x.

Câu 10: Đạo hàm của hàm số y 

1 6 3
x   2 x là
2
x

A. y  3 x 5 

3
1

.
2
x
x

B. y  6 x 5 

3
1

.
2
x
2 x

C. y  3 x 5 

3
1

.
2
x
x

D. y  6 x 5 

3
1

.
2
x
2 x

3

5

Câu 11: Tìm đạo hàm của hàm số y   4 x  2  .
x 

2

2

10 
5

B. y  3  4  3  4 x  2  .
x 
x 


10 
5


A. y  3  4  3  4 x  2  .
x 
x 


2

2

5

C. y   4 x  2  .
x 


10 
5

D. y  3  4  3  4 x  2  .
x 
x 


Câu 12: Đạo hàm của hàm số f  x   2  3x 2 là
A.

3 x
2  3x

2

.

B.

1
2 2  3x

Câu 13: Cho hàm số y  f  x  
1
A. y  0   .
2

2

.

x
4  x2

C.

2 2  3x

2

D.

.

3x
2  3x 2

.

. Giá trị y  0  bằng

1
B. y  0   .
3

Câu 14: Đạo hàm của hàm số y 

6 x 2

1
x2 1

D. y 0  2.

C. y 0  1.
có dạng

ax

x

2



1

3

.

Khi đó a nhận giá trị nào sau đây?
B. a  1.

A. a  4.

C. a  2.

D. a  3.

Câu 15: Tìm đạo hàm của hàm số y  x 2  x x  1 .
A. y  2 x  x  1 
C. y 

x
2 x 1

x
2 x 1

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

B. y  2 x  x  1 

D. y  2 x  x  1 

x
2 x 1
x
2 x 1

Trang 10


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

Câu 16: Tính đạo hàm của hàm số sau y   x  2   x  3 .
3

A. y  3  x 2  5x  6   2  x  3 x  2  .
3



2

B. y  2  x 2  5x  6   3  x  3 x  2 
2

3



3

D. y  3  x 2  5x  6   2  x  3 x  2 

C. y  3 x 2  5x  6  2  x  3 x  2  .

2

3

Câu 17: Đạo hàm của hàm số y    x 2  3x  7  là
7

A. y  7  2 x  3   x 2  3 x  7 
C. y   2 x  3   x 2  3x  7 

B. y  7   x 2  3 x  7 

6

6

D. y  7  2 x  3   x 2  3 x  7 

6

6

Câu 18: Cho f  x   1  3x  3 1  2 x . Giá trị của f   0 bằng
A.

5
.
6

5
B.  .
6

C. 0.

D. 1.

Câu 19: Đạo hàm của hàm số y  x 2 x là
A.

x x
.
2

B.

5 x
.
2

Câu 20: Đạo hàm của hàm số y 
A. a.b  2.

1

 x  3  x  1
2

2

.

B.

5x x
..
3

D.

5x x
.
2

ax 2  bx
x2  x 1
có dạng
. Khi đó a.b bằng
2
x 1
 x  1

B. a.b  1.

Câu 21: Đạo hàm của hàm số y 

A.

C.

C. a.b  3.

1

 x  1 x  3

1
.
2x  2

D. a.b  4.

bằng
C. 

2x  2

x

2

 2 x  3

2

.

D.

4

x

2

 2x  3



2

Câu 22: Cho hàm số f  x    2018  x  2017  2 x  2016  3x  ... 1  2018x  . Giá trị của f  1 bằng

a2

a

2

x

2



3

. B. y 

a  x2
2

a2

a

D. 2018.20191009

x

Câu 23: Tìm đạo hàm của hàm số y 
A. y  

C. 1009.20192018

B. 2018.10092019

A. 2019.20181009

2

x

2



3

.

C. y 

2a2

a

2

x

2



3

.

D. y 

a2

a

2

x

2



3

.

Câu 24: Đạo hàm của hàm số y   x  1 x 2  x  1 là
A.

4 x 2  5x  3
2 x2  x 1

.

B.

4 x 2  5x  3
2 x2  x 1

.

C.

4 x 2  5x  3
x2  x 1

.

D.

4 x 2  5x  3
2 x2  x 1

.

a
ax  b
1
 3  2 x 
Câu 25: Cho 
, x  . Giá trị của bằng
 
b
4
 4 x  1   4 x  1 4 x  1

A. – 16.

B. – 4.

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

C. – 1.

D. 4.

Trang 11


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

Câu 26: Cho f  x   x  x  1 x  2 x  3 ...  x  n  với n 
B. f  0  n

A. f   0  0.

A. 11.

B. 14.

. Tính f   0 .

C. f   0  n!

Câu 27: Cho hai hàm số f  x  và g  x  đều có đạo hàm trên

f 3  2  x   2 f 2  2  3x   x 2 g  x   36 x  0, x 

*

D. f   0  

n  n  1
2

và thỏa mãn

. Giá trị của A  3 f  2   4 f   2  bằng
C. 13.

D. 10.

Câu 28: Cho hai hàm số f  x  và g  x  xác định và liên tục trên

thoả mãn: f  x   x 2 , x 

và

g 1  3; g 1  5 . Tính đạo hàm của hàm số hợp f  g  x   tại x  1 .
A. 0.

B. 9.

C. 15.

D. 30.

Câu 29: Biết hàm số f  x   f  2 x  có đạo hàm bằng 5 tại x  1 và đạo hàm bằng 7 tại x  2 . Tính đạo
hàm của hàm số f  x   f  4 x  tại x  1 .
A. 8.

B. 12.

C. 16.

D. 19.

Dạng 2: Đạo hàm của hàm số lượng giác
Phương pháp giải
Áp dụng bảng cơng thức đạo hàm của hàm

Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số

số lượng giác

 sin x   cos x

 sin u   u.cos u

 cos x    sin x

 cos u   u.sin u

 tan x  

1
cos2 x

 cot x   

1
sin 2 x

 tan u  

u
cos2 u

 cot u   

u
sin 2 u

x
y  sin 2 x  cos  tan 2020 x
2

Hướng dẫn giải
Ta có:
x 

y   sin 2 x    cos    tan 2020 x 
2


1
x
2020
 2.cos 2 x  sin 
2
2 cos2 2020 x

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số
a) y  sin 2 x  cos5x .

b) y  sin x.cos 4 x .
c) y  cos6 x  2 sin 4 x.cos2 x  3sin 2 x.cos 4 x  sin 4 x .
Hướng dẫn giải
a) Ta có: y   sin 2 x    cos 5x   2 cos 2 x  5sin 5x.
b) Ta có: y   sin x  .cos 4 x  sin x.  cos 4 x 

 cos x.cos4x  4sin x.sin 4x

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 12


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

c) Ta có:







y  sin 4 x 1  2 cos2 x  cos4 x 3sin2 x  cos2 x







 sin 4 x 1  2 cos2 x  cos4 x 1  2sin 2 x





 sin4 x  cos4 x  2sin 4 x cos2 x  2sin2 x cos4 x



 cos2 x  sin 2 x



2



 2 sin 2 x cos2 x  2 sin 2 x cos2 x cos2 x  sin 2 x



 1.
Vậy y  1  0.
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số







a) y  sin  x    cos   2 x  tại x  .
3
3

6





 2

 2 x  tại x  .
b) y  cos  3 x    sin 
6
3

 3

Hướng dẫn giải





 
 
a) Ta có y  cos  x    2 sin   2 x   y    cos  0   2 sin     1.

3

6

3
 2


 2

 2x 
b) Ta có y  3sin  3 x    2 cos 
6

 3

5
1
 
 y    3sin
 2 cos0  .
6
2
3

Chú ý: Không thay giá trị của biến x trước khi tìm đạo hàm.
Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số



a) y  tan  2 x  1 ;



b) y  cot 3x 2  5 .

Hướng dẫn giải
a) Ta có: y   tan 2 x  1 

2
.
cos  2 x  1
2

6x

b) Ta có: y  cot 3x 2  5    2
.
sin 3x 2  5









Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số f  x   tan x  cot x tại điểm x 


4

.

Hướng dẫn giải
Ta có: f   x  

 tan x  cot x 
2 tan x  cot x

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 13


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

1
1
 2
2
 cos x sin x
2 tan x  cot x




sin2 x  cos2 x
2sin2 x cos2 x tan x  cot x

2 cos 2 x
sin 2 x tan x  cot x
2

 
Suy ra f    
4

.
2 cos


2



 
sin 2   tan  cot
4
4
2

0.

Ví dụ 5: Tìm đạo hàm của hàm số
y

1 1 1 1 1 1



 cos x với x  0;  .
2 2 2 2 2 2

Hướng dẫn giải
Ta có y 

1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
x


 cos x 


cos2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2

1 1 1 1
x
1 1
x
1 1
x

 cos 

cos2 
 cos

2 2 2 2
2
2 2
4
2 2
4



 cos2

x
x
 cos .
8
8

x 
1
x

Do đó y   cos    sin .
8
8
8


Ví dụ 6: Cho hàm số y 

sin x  x cos x

cos x  x sin x

Chứng minh rằng: y  sin x  x cos x   x 2 y2  0 .
2

Hướng dẫn giải
Ta có:

y 

 sin x  x cos x   cos x  x sin x    sin x  x cos x  cos x  x sin x 
2
 cos x  x sin x 

Ta có:
+)  sin x  x cos x   cos x  x  cos x  x.  cos x   x sin x ;
+)  cos x  x sin x    sin x  x  sin x  x.  sin x   x cos x

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 14


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

Do đó: y 

x sin x.  cos x  x sin x    sin x  x cos x  x cos x

 cos x  x sin x 

2



x2

 cos x  x sin x 

2

Ta có: VT  y  sin x  x cos x   x 2 y2
2



x2

 cos x  x sin x 

2

.  sin x  x cos x 

2

2

 sin x  x cos x 
 x .

  0  VP.
 cos x  x sin x 
2

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tìm đạo hàm của hàm số y  5sin x  3cos x .
A. y  5cos x  3sin x.

B. y  cos x  3sin x.

C. y  cos x  sin x.

D. y  5cos x  3sin x.

Câu 2: Tìm đạo hàm hàm số y  3 x  2 tan x .
A. y 
C. y 

5  2 tan 2 x
2 3x  2 tan x

B. y 

.

5  2 tan 2 x

D. y 

2 3x  2 tan x

5  2 tan 2 x
2 3x  2 tan x
5  2 tan 2 x
2 3x  2 tan x

 
Câu 3: Cho hàm số y  cos3x.sin 2 x . Giá trị của y   bằng
3

A.

1
.
2

1
B.  .
2

C. – 1.

D. 1.

Câu 4: Hàm số y  x 2 cos x có đạo hàm là
A. y  2 x cos x  x 2 sin x.

B. y  2 x cos x  x 2 sin x.

C. y  2 x sin x  x 2 cos x.

D. y  2 x sin x  x 2 cos x.

Câu 5: Đạo hàm của hàm số y  sin  cos x   cos sin x  là
A. cos x cos  cos x   sin x sin sin x  .

B.  sin x cos  cos x   cos x sin x  sin x 

C.  cos x cos  cos x   sin x sin  sin x  .

D. sin x cos  cos x   cos x sin x sin x 

Câu 6: Đạo hàm của hàm số y  sin 4 x  cos4 x là
A. sin4x.

B. 2  sin 4 x.

C. cos4 x  sin 4 x.

D.  sin 4 x.

Câu 7: Biết hàm số y  5sin 2 x  4 cos5x có đạo hàm là y  a sin 5x  b cos2 x . Giá trị của a  b bằng
A. – 30.

Câu 8: Cho hàm số y  f  x  
A. 2 .

C. – 1.

B. 10.

B.

2

cos  x 

D. – 9.

. Giá trị của f   3 bằng

8
..
3

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

C.

4 3
.
3

D. 0.

Trang 15


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

2 
Câu 9: Cho hàm số y  f  x   sin x  cos x . Giá trị f    bằng
 16 

A. 0.

B.

C.

2.


2

D.

.

2 2



.

Câu 10: Tìm đạo hàm của hàm số y  sin 2 x.cos x .


C. y  sin x  cos


D. y  sin x  cos



2



B. y  sin x 3cos2 x  1 .

A. y  sin x 3cos2 x  1 .



x 1 .

2



x 1 .

Câu 11: Cho hàm số f  x   a cos x  2sin x  3x  2020 . Tìm a để phương trình f   x   0 có nghiệm
D. a  5.

C. a  5.

B. a  5.

A. a  5.

 
Câu 12: Cho hàm số y  f  x  được xác định bởi biểu thức y  cos x và f    1 .
2

Hàm số y  f  x  là hàm số nào sau đây?
B. y  cos x .

A. y  1  sin x .

C. y  1  cos x .

D. y  sin x .

Câu 13: Hàm số y  2 sin x  2 cos x có đạo hàm là
A. y 
C. y 

1
sin x
cos x
sin x




1
cos x

B. y 

.

sin x

D. y 

cos x

1
sin x
cos x
sin x




1
cos x

.

sin x
cos x

Câu 14: Cho f  x   sin3 ax, a  0 . Tính f    .
A. f     3sin2  a  .cos  a  .

B. f     0.

C. f     3a sin2  a  .

D. f     3a.sin2  a  .cos  a  .

Câu 15: Tìm đạo hàm của hàm số y 
A. y 
C. y 

1

 sin x  cos x 

2

1

 sin x  cos x 

2

Câu 16: Cho hàm số y 
 
A. y    1.
6

sin x
.
sin x  cos x

.

B. y 

.

D. y 

1

 sin x  cos x 

2

1

 sin x  cos x 

2

.

.

cos 2 x
 
. Giá trị của y   bằng
1  sin x
6

 
B. y    1.
6

 
C. y    3.
6

 
D. y     3.
6

Câu 17: Đạo hàm của hàm số




 2

 2

f  x   cos2   x   cos2   x   cos2 
 x   cos2 
 x   2 sin 2 x là
3

3

 3


 3

A. 6.

B. 2sin 2 x.

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

C. 0.

D. 2cos2 x.
Trang 16


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

 
Câu 18: Cho hàm số f  x   sin  sin x  . Giá trị của f    bằng
6



A.  .
2

B.

 3
2

.

C. 0.

D.


2

.


 
A. y  sin  2 cos  tan 3x   .  sin  tan 3x   .4 tan 3 x. 1  tan 3 x  .3 .
B. y  sin  2 cos  tan 3x   .  sin  tan 3x   . tan 3x. 1  tan 3x 
C. y  sin  2 cos  tan 3x   .  sin  tan 3x   .4 tan 3x. 1  tan 3x 
D. y   sin  2 cos  tan 3x   .  sin  tan 3x   .4 tan 3x. 1  tan 3x  .3

Câu 19: Tính đạo hàm của hàm số y  sin 2 cos tan 4 3x .
4

4

4

4

4

4

4

3

3

3

3

3

4

3

3

3

Câu 20: Hàm số y  cot 2 x có đạo hàm là
A. y 

1  cot 2 2 x
cot 2 x

B. y 

.



 1  cot 2 2 x
cot 2 x

.

C. y 

1  tan2 2 x
cot 2 x

D. y 

.



 1  tan 2 2 x



cot 2 x

Câu 21: Hàm số y  tan x  cot x có đạo hàm là
A. y 

1
.

sin 2 2 x

B. y 

Câu 22: Hàm số y  tan 2

x
2 .
A. y 
x
cos2
2

 sin x  cos x 

1
.
cos2 2 x

x
D. y  tan 3 .
2

sin x  cos x
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
sin x  cos x

B. y 

2

D. y 

sin

cos x  sin x
.
cos x  sin x

2

4
.
sin 2 2 x

x
2 .
C. y 
x
2 cos3
2

x
2.
B. y 
x
cos2
2
2 sin

Câu 23: Cho hàm số y 

C. y 

C. y 

x
có đạo hàm là
2

tan

A. y 

4
.
cos2 2 x

D. y 

.

cos x  sin x
.
cos x  sin x

sin x

 sin x  cos x 

2

.

Câu 24: Tính đạo hàm y  cos 6 x .
A. y 

3sin 6 x
2 cos6 x

B. y 

.

3sin 6 x
cos6 x

.

C. y 

3sin 6 x
cos 6 x

.

D. y 

3sin 6 x
cos6 x

Câu 25: Đạo hàm của hàm số y  x 2 tan x  x là
A. y  2 x tan x 
C. y  2 x tan x 

1
2 x

.

x2
1

.
2
cos x 2 x

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

B.

2
.
3

D. y  2 x tan x 

x2
1


.
2
cos x
x

Trang 17


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11



Câu 26: Cho hàm f  x  thỏa mãn f  sin x  1  f  cos x   cos2  x   . Giá trị của f  1 là
4

A.

3
.
2

2
.
2

B.

C. 2.



D. 1.



Câu 27: Tìm đạo hàm của hàm số y  cos tan2 x .




x





A. y  2 tan x. tan2 x  1 .sin tan2 x .



B. y  2 tan x.sin tan 2






x

C. y  2 tan x. tan2 x  1 .sin tan 2 x







D. y  2 tan2 x  1 .sin tan2



1

Câu 28: Đạo hàm của hàm số y  2  tan  x   là
x


A. y 

1
1

2 2  tan  x  
x


1

1  tan 2  x  
x


B. y 
1

2 2  tan  x  
x


.

1

1  tan 2  x  
1 
x 

. 1  2 
C. y 
1  x 

2 2  tan  x  
x


1

1  tan 2  x  
1 
x 


. 1  2 
D. y 
x 
1 

2 2  tan  x  
x


Dạng 3: Chứng minh đẳng thức đạo hàm, tìm giới hạn, giải phương trình và bất phương trình chứa
đạo hàm.
Phương pháp giải
Sử dụng công thức và quy tắc tính đạo hàm

Ví dụ 1. Cho hàm số y  3x 3  25x  20 .

Áp dụng kiến thức phương trình, bất

Giải phương trình y  0 .

phương trình để giải quyết bài tốn.


Để tính A  lim

x  x0

g x
x  x0

biết g  x0   0 .

Ta viết g  x   f  x   f  x0  . Khi đó nếu

f  x  có đạo hàm tại x 0 thì
A  lim

x  x0



f  x   f  x0 
x  x0

Để tính B  lim

x  x0

G x

Ta có: y  9 x 2  25.
5
y  0  9 x 2  25  0  x   .
3

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x 

 f   x0 

F x

Hướng dẫn giải

, biết

và x  

5
3

5
3

Ví dụ 2. Tính A  lim
x 0

3

1 x 1
.
x

Hướng dẫn giải

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 18


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

F  x0   G  x0   0.

Đặt f  x   3 1  x  f   x  

1
3 1  x 
3

Ta viết: F  x   f  x   f  x0  và

2

và

f 0  1 .

G  x   g  x   g  x0  .
Nếu hai hàm số f  x  , g  x  có đạo hàm tại

Suy ra A  lim
x 0

x  x0 và g  x0   0 thì:

f  x   f 0
x 0

1
 f  0   .

3

f  x   f  x0 
f   x0 
x  x0
B  lim

x  x0 g  x   g  x 
g   x0 
0
x  x0

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hàm số f  x   x  1  x 2 . Chứng minh rằng 2 1  x 2 . y  y .
Hướng dẫn giải
Ta có

y   x  1  x 2




1
2 x  1  x2



1
1
x 

 
. x  1 x2 
. 1 


 2 x  1  x2
1  x2 
2 x  1  x2 

1  x2  x

.





1 x

2



1 x2  x
2 1 x

2



y
2 1 x

2

 2 1  x 2 . y  y.

Ví dụ 2: Cho hàm số f  x   x 2  2 x . Giải bất phương trình f   x   f  x  .
Hướng dẫn giải
Ta có f   x  

x 1
x  2x
2

. Khi đó f   x   f  x  

x 1
x  2x
2

 x 2  2 x 1

Điều kiện xác định: x   ;0   2;  .

3 5
x 
2
1  x  1  x 2  2 x  x 2  3x  1  0  


3 5
x 

2

Kết hợp với điều kiện trên suy ra x  0 hoặc x 
Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  

3 5
.
2

x3
 mx 2   m  2  x  7 . Tìm giá trị của tham số m để f   x   0 với mọi
3

x .
Hướng dẫn giải
SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 19


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

Ta có f   x   x 2  2mx  m  2

f   x   0, x 

 x 2  2mx  m  2  0, x 

a  1  0

 m 2  m  2  0  1  m  2
2
  m   m  2   0

Vậy 1  m  2 thỏa mãn u cầu bài tốn.
Ví dụ 4: Giải phương trình f   x   0 trong các trường hợp sau
a) f  x   sin3x  3sin x  7 ;
b) f  x   cos2 x  2sin x 1 .
Hướng dẫn giải
a) f  x   sin3x  3sin x  7  f   x   3cos3x  3cos x . Khi đó:

f   x   0  3cos3x  3cos x  0  cos3x  cos x
3x  x  k 2

3x   x  k 2
 x  k

 x  k

2
x

k
k 
2



b) f  x   cos2 x  2sin x  1  f   x   2sin2 x  2cos x .

f   x   0  2sin2 x  2cos x  0  cos x  2sin x  1  0
cos x  0

sin x  1

2



 x  2  k


  x   k 2

6

 x      k 2

6



 x  2  k


  x   k 2  k 


6

 x  5  k 2

6



SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 20


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

Ví dụ 5: Tính giới hạn sau: A  lim
x 0

1  2 x 2  3 1  3x 2
1  cos x

Hướng dẫn giải
1  2 x 2  3 1  3x 2
f x
x2
Ta có: A  lim
 lim
x 0
x 0
x

x
2 sin 2
2 sin 2
2
2
2
2
x
x
2

x
x

2 sin
sin 

1
2  lim
2 1.
Mà lim


2
x 0
x
2 x 0  x 
2
 2 
2

Đặt t  x 2 , sử dụng phương pháp liên hợp ta có
lim f  x   lim
x 0

t 0

1  2t  3 1  3t
 0.
t

Vậy A  0.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Cho hàm số y  3 1  x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 3 yy 2  1  0 .

B. yy 2  1  0

Câu 2: Cho hàm số f  x  
 2
A. 0;  .
 3

D. yy 2  1  0

C. 3 yy 2  1  0

x3
. Tập nghiệm của phương trình f   x   0 là
x 1

2

B. 0;   .
3


3

D. 0;   .
2


 3
C. 0;  .
 2

Câu 3: Cho hàm số y  x  x 2  1 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. y 1  x 2  y  0.

B. y 1  x 2  y  0.

C. y 1  x 2  y  0.

D. y 1  x 2  y  0.

Câu 4: Cho f  x    m  1 x 3  2  m  1 x 2  mx . Tập hợp các giá trị của m để f   x   0, x 
A. 1;4 .

Câu 5: Cho hàm số f  x   k 3 x  x  k 

A. k  1.

C. 1;4 .

B. 1;4  .

 . Giá trị của k để f  1 

B. k  3.

là

D. 1;4  .
3
là
2

C. k  3.

9
D. k  .
2

Câu 6: Cho hàm số y  x 3  3x 2  9 x  5 . Phương trình y  0 có tập nghiệm là
A. 1;2 .

B. 1;3 .

C. 0;4 .

D. 1;2

C. 1  x.

D.

Câu 7: Cho hàm số y  2 x  x 2 . Khi đó y. y bằng
A.

1
.
2

B. 2  2 x.

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

2x  x2
.
2

Trang 21


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

Câu 8: Cho hàm số f  x   2 x 3  3x 2  36 x  1 . Để f   x   0 thì x có giá trị thuộc tập hợp
A. 3;2.

B. 3; 2.

C. 6;4.

D. 4; 6.

Câu 9: Cho hàm số f  x   x 3  2 x 2  7x  3 . Để f   x   0 thì x có giá trị thuộc tập hợp
 7 
A.   ;1 .
 3 

Câu 10: Cho hàm số y 
A. 1;3 .
Câu 11: Cho hàm số y 
A. x  0.

 7
B.  1; 
 3

 7 
C.   ;1 
 3 

 7 
D.   ;1
 3 

2 x 2  x  7
. Tập nghiệm của phương trình y  0 là
x2  3

B. 1;3 .

D. 3; 1

C. 3;1 .

x 2  3x  3
. Tất cả các nghiệm của phương trình y  0 là
x 1

B. x  2.

Câu 12: Cho hàm số f  x  

C. x  2.

D. x  0; x  2.

x2 1
. Đạo hàm của hàm số f  x  nhận giá trị âm khi x thuộc tập hợp nào
x2  1

dưới đây?
A.  ;0 .

B. 0;  .

C.  ;1  1;  .

D.  1;1.

Câu 13: Cho hàm số f  x   x 3  x 2  x  5 . Với giá trị nào của x thì âm?
1
A. 1  x  .
3

B.

1
 x  1.
3

1
C.   x  1.
3

D. 

2
 x  2.
3

Câu 14: Cho hàm số f  x   2cos2  4 x  1  2  2020 . Giá trị nhỏ nhất của f   x  là bao nhiêu?
A. min f   x   8 .

B. min f   x   8

C. min f   x   4

D. min f   x   4

Câu 15: Cho hàm số y  3 sin x  cos x  2 x  2019 . Số nghiệm của phương trình y  0 trên đoạn

0;2020  là
A. 2019.

B. 2020.

C. 1011.

D. 1010.

Câu 16: Cho hàm số f  x   sin 2 x . Hỏi có bao nhiêu điểm phân biệt trên đường trịn lượng giác biểu
diễn các nghiệm của phương trình 3 f  x   2 f   x   5?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

1
Câu 17: Cho f  x   x 3  x 2  4 x . Tìm x sao cho f   x   0 .
2

A. x 

4

hoặc x  1 .
3

4
B. 1  x  .
3

C. x 

4
hoặc x  1 .
3

D. 1  x 

4
.
3

1
Câu 18: Cho hàm số f  x   x 3  2 2 x 2  8 x  1 . Để f   x   0 thì x có giá trị bằng
3

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 22


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

A. 2 2 .

B. 2 2 .

Câu 19: Cho hàm số f  x  
A. 0  m 

12
.
5

C. 2.

D. Không tồn tại.

mx 3 mx 2

  3  m  x  2 . Tìm m để f   x   0, x  .
3
2

B. 0  m 

12
5

C. 0  m 

12
5

D. 0  m 

12
5

Câu 20: Cho hàm số f  x    x3  3mx 2  12 x  3 với m là tham số thực, số giá trị nguyên của m để

f   x   0 với x 

là

A. 1.

B. 5.

Câu 21: Giá trị của lim

C. 4.

D. 3.

1  x 1  2 x 1  3x  ... 1  2018 x   1

x 0

x

A. 2018.2019.

B. 2019.

bằng

C. 2018.

D. 1009.2019.

Câu 22: Cho f  x   2 x3  3 a  2  x 2  6a2 x . Biết f   x   0 luôn đúng với mọi x và f   1  6 . Tìm a
A. a  1.

C. a  1.

B. a  2.

D. a  3.

Câu 23: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm y  f   x  liên tục trên



và hàm số y  g  x  với



g  x   f 4  x 3 . Biết rằng tập các giá trị của x để f   x   0 là  4;3 . Tập các giá trị của x để

g  x   0 là
C.  ;8 .

B. 8;  .

A. 1;2  .

D. 1;8 .

a x khi 0  x  x0
Câu 24: Cho hàm số f  x    2
. Biết rằng ta ln tìm được một số dương x 0 và một số
 x  12 khi x  x0

thực a để hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng 0; x0    x0 ;  . Tính giá trị S  x0  a .







A. S  2 3  2 2 .



B. S  2 1  4 2 .



C. S  2 3  4 2

Câu 25: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm tại điểm x0  2 . Tìm lim

B. f   2 .
n

Câu 26: Giá trị của lim
x 0

A.

D. S  2 3  2 2

2 f  x   xf  2 

x 2

A. 0.





C. 2 f   2   f  2  .

x 2



.

D. f  2  2 f   2

1  3x  1
bằng
x

n
.
3

B.

3
.
n

C.

1
.
n

D.

n

3.

Dạng 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Bài tốn 1. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
Phương pháp giải
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 C : y  f  x  tại điểm

M  x0 , y0  .

Bước 1: Tìm đạo hàm y  f   x  , từ đó suy ra

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247

Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 C : y  x3  2x 2 tại điểm

M 1;3 .

Hướng dẫn giải

Trang 23


HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

hệ số góc của tiếp tuyến là k  y  x0  .

Tập xác định: D 

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại

Ta có: y  3x 2  4 x  k  y 1  7 .

điểm M  x0 ; y0  có dạng

Phương trình tiếp tuyến tại M 1;3 là

y  y  x0  x  x0   y0 .

d : y  y0  x  x0   y0  y  7  x  1  3

Chú ý:

 y  7x  4 .

+) Nếu đề bài cho hồnh độ tiếp điểm x 0 thì
tìm y0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức
là: y0  f  x0  .
+) Nếu đề bài cho tung độ tiếp điểm y0 thì tìm
x 0 bằng cách giải phương trình f  x0   y0 .

+) Viết phương trình tiếp tuyến tại các giao
điểm của đồ thị  C : y  f  x  và đường thẳng
d : y  ax  b . Khi đó các hồnh độ tiếp điểm

là nghiệm của phương trình hồnh độ giao
điểm giữa d và (C).
Đặc biệt:
Trục hồnh Ox : y  0 và trục tung
Oy : x  0

Sử dụng máy tính cầm tay
Phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng

d : y  kx  m

+ Đầu tiên tìm hệ số góc tiếp tuyến k  y  x0  .
Bấm
bấm

và nhập f  x  ; x  x0 , sau đó
ta được k.

+ Tiếp theo: Bấm phím

để sửa lại thành

d
 f  X      X   f  X  , sau đó bấm phím
dx
X X0
với X  x0 và bấm phím

ta được m.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là:
y  7x  4 .

Ví dụ mẫu

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 24

HỆ THỐNG ƠN THI ĐẠI HỌC 247 - MƠN TỐN 11

Ví dụ 1: Cho điểm M thuộc đồ thị  C  : y 

2x 1
và có hồnh độ bằng – 1. Viết phương trình tiếp tuyến
x 1

của đồ thị (C) tại điểm M.
Hướng dẫn giải
Tập xác định D 

\ 1 .

Cách 1. Ta có: x0  1  y0  y  1 
Phương trình tiếp tuyến tại M là y  

3
3
1
và y 
.
 k  y  1 
2
2
4
 x  1

3

1
3x 1
 x  1   y    .
4
2
4 4

Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay

Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là: y  

3x 1
 .
4 4

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

2x 1
tại giao điểm với trục hoành
x 5

Hướng dẫn giải
Tập xác định D 

\ 5. .

Tọa độ giao điểm với trục hoành y  0 

2x 1
1

0 x  .
x 5
2

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x  

1
là
2

1
4
1
4
2
 1 
 1
y  y    x    y       x     x  .
2
11 
2
11
11
 2 
 2

Ví dụ 3: Gọi M  xM ; yM  là một điểm thuộc  C  : y  x 3  3x 2  2 , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại
điểm N  xN ; y N  (khác M). Tìm giá trị nhỏ nhất P  5 x M2  x N2 .
Hướng dẫn giải
Tập xác định D 

.

Ta có y  x 3  3x 2  2  y  3 x 2  6 x .
Gọi M  xM ; yM  là một điểm thuộc  C  : y  x 3  3x 2  2 , suy ra tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình



là y  3x M2  6 x M

 x  x   x
M

3
M

 3x M2  2 .

Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm N  xN ; yN  (khác M) nên x M , x N là nghiệm của phương trình:



x 3  3x 2  2  3x M2  6 x M

 x  x   x
M

3
M

 3x M2  2

SƯU TẦM BỞI HỆ THỐNG ÔN THI ĐẠI HỌC 247

Trang 25