GIỚI HẠN - HÀM SỐ LIÊN TỤC - ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải
Bài số 1
Giới hạn và tính liên tục của hàm số

1.1. Hàm số một biến số
1. Định nghĩa hàm số
Cho 2 tập hợp D và E là các tập con của
R
. Tương ứng
f D E
→
:
cho tươ
ng
ứ
ng
m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử

x D
∈
v
ớ
i duy nh
ấ
t m
ộ

t ph
ầ
n t
ử

y E
∈

đượ
c g
ọ
i là hàm s
ố
m
ộ
t bi
ế
n s
ố

th
ự
c.
+ Tập D được gọi là miền xác của f.
+ Tập f(X) được gọi là miền giá trị của f.
+
x D
∈
được gọi là biến số độc lập ( hay đối số ).
+

f x x D
∈
( ), được gọi là biến số phụ thuộc ( hay hàm số ).

2. Đồ thị của hàm số:
(
)
{
}
f
G x f x x A
= ∈
, ( ) |

+ Cách nhận biết đồ thị theo phương pháp kiểm tra đường thẳng đứng
:

M
ộ
t
đườ
ng
cong trong m
ặ
t ph
ẳ
ng
xy
là
đồ

th
ị
c
ủ
a m
ộ
t hàm c
ủ
a
x
n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u
đườ
ng th
ẳ
ng
song song v
ớ
i Oy c
ắ
t
đươ
ng cong
đ
ó t

ạ
i nhi
ề
u nh
ấ
t m
ộ
t
đ
i
ể
m.

Đồ thị hàm số Không là đồ thị hàm số

1.2 Giới hạn hàm số
:
1.
Ví dụ 1:
Xét hàm s
ố

y f x x x
= = − +
2
( ) 2
. Ta l
ậ
p b
ả

ng các giá tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
t
ạ
i
nh
ữ
ng
đ
i
ể
m x g
ầ
n
x
=
0
2
.
Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải

Nh
ậ
n th
ấ
y khi x ti

ế
n g
ầ
n
đế
n
x
=
0
2
thì các giá tr
ị
các hàm s
ố

f x
( )
ti
ế
n g
ầ
n
đế
n 4.
Ta nói r
ằ
ng hàm s
ố
có gi
ớ

i h
ạ
n b
ằ
ng 4 khi
x x
→ =
0
2
.
2. Định nghĩa giới hạn hàm số
Định nghĩa 1
: Ta nói hàm s
ố

f x
( )
có gi
ớ
i h
ạ
n L (h
ữ
u h
ạ
n) khi
x x
→
0
và vi

ế
t
x x
f x L
→
=
0
lim ( )
n
ế
u v
ớ
i b
ấ
t k
ỳ
dãy
{
}
n
x
mà
n
x x
→
0
thì
n
n
f x L

→∞
=
lim ( ) .
Định nghĩa 2
: theo ngôn ng
ữ

δ ε
−
.
x x
f x L x x f x L
ε δ δ ε
→
= ⇔ ∀ > ∃ > − < ⇒ − <
0
0
lim ( ) 0, 0 : ( )
Chú ý

+ N
ế
u hàm
f x
( )
không tho
ả
mãn
đị
nh ngh

ĩ
a, ta nói r
ằ
ng
f x
( )
không có gi
ớ
i h
ạ
n khi
x x
→
0
, ho
ặ
c
x x
f x
→
0
lim ( )
không t
ồ
n t
ạ
i.
+ Khi tìm gi
ớ
i h

ạ
n, ta ch
ỉ
quan tâm
đế
n các giá tr
ị
“x d
ầ
n t
ớ
i
x
0
” ch
ứ
không ph
ả
i xét
khi
x x
=
0
. Do
đ
ó hàm s
ố

f x
( )

có th
ể
không xác
đị
nh t
ạ
i
x x
=
0
nh
ư
ng ph
ả
i xác
đị
nh t
ạ
i các
đ
i
ể
m thu
ộ
c lân c
ậ
n c
ủ
a
đ

i
ể
m
đ
ó.

Ví dụ 2
: Hàm s
ố

x
f x
x
−
=
−
2
1
( )
1
không xác
đị
nh t
ạ
i
x
=
1
. Ta l
ậ

p b
ả
ng tính các giá tr
ị

c
ủ
a
f x
( )
khi
x
→
1
. T
ừ

đ
ó xem
f x
( )
d
ầ
n
đế
n giá tr
ị
nào.

Nh
ậ
n th
ấ
y khi x ti
ế
n g
ầ
n
đế
n x
=
0
1
thì các giá tr
ị
các hàm s
ố

f x
( )
ti
ế
n g
ầ
n
đế
n
0,5. Ta nói r
ằ

ng hàm s
ố
có gi
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng 0,5 khi x x
→ =
0
1
.
Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải
Cách mô t
ả
này ch
ủ
y
ế
u cho ta dáng
đ
i
ệ
u c
ủ
a f(x) khi x g
ầ
n a, d
ự

đ
oán giá tr
ị
c
ủ
a
gi
ớ
i h
ạ
n, có l
ợ
i v
ề
tr
ự
c giác và phù h
ợ
p v
ớ
i m
ụ
c
đ
ích th
ự
c hành. Tuy nhiên không
ch
ặ

t ch
ẽ
.

Sử dụng định nghĩa
, ch
ỉ
ra r
ằ
ng
x
x
x
→
−
=
−
2
1
1 1
lim
1 2
.
Th
ậ
t v
ậ
y, cho tr
ướ
c

ε
>
0
, ch
ọ
n
δ ε
=
. Ta có:
x
δ
− <
1
thì
x x
x
x x
ε
− −
− = < − <
− +
2
1 1 1
1
1 2 1
( v
ớ
i x trong lân c
ậ
n c

ủ
a 1).
Ví d
ụ
3: Tìm gi
ớ
i h
ạ
n
x
x
→0
1
limcos

Gi
ả
i:
Đặ
t f x
x
=
1
( ) cos
.
+ V
ớ
i x
n
π

=
1
2
, n = 1, 2, 3…thì f x
=
( ) 1
.
+ V
ớ
i
x
n
π
π
=
+
1
2
2
, n = 1, 2, 3…thì f x
=
( ) 0
. V
ậ
y
x
x
→0
1
limcos

không t
ồ
n t
ạ
i.
3. Giới hạn ở vô cực
Đị
nh ngh
ĩ
a:
x
f x L
ε
→+∞
+ = ⇔ ∀ >
lim ( ) 0
, N
∃ >
0

đủ
l
ớ
n, sao cho
x N f x L
ε
∀ > ⇒ − <
( )
.
x

f x L
ε
→−∞
+ = ⇔ ∀ >
lim ( ) 0
, N
∃ >
0

đủ
l
ớ
n, sao cho
x N f x L
ε
∀ < − ⇒ − <
( )
.
Ví d
ụ
4: Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
x
x
→+∞
=
1

lim 0
.
+ T
ừ
x
x
ε
ε
− < ⇔ >
2
1 1
0 .
+ Ta có:
ε
∀ >
0
, ch
ọ
n N
ε
=
2
1
. Khi
đ
ó
x N f x
ε
∀ > ⇒ − <
( ) 0

.
4. Các tính chất của giới hạn
Đị
nh lí 1: Gi
ả
s
ử
c là h
ằ
ng s
ố
và
x a x a
f x L g x M
→ →
= =
lim ( ) , lim ( ) . Khi
đ
ó
1.
[
]
x a
f x g x L M
→
+ = +
lim ( ) ( )

2.
[

]
x a
f x g x L M
→
− = −
lim ( ) ( )


3.
x a
c f x cL
→
=
lim . ( ) 4.
x a
f x g x L M
→
=
lim ( ). ( ) .

5.
x a
f x L
g x M
→
=
( )
lim
( )
n

ế
u M
≠
0
.
Đị
nh lý 2: ( v
ề
gi
ớ
i h
ạ
n k
ẹ
p)
Gi
ả
s
ử
các hàm s
ố

f x g x h x
( ), ( ), ( )
tho
ả
mãn b
ấ
t
đẳ

ng th
ứ
c
f x g x h x
≤ ≤
( ) ( ) ( )

trong lân c
ậ
n c
ủ
a
đ
i
ể
m a. Khi
đ
ó n
ế
u
x a x a
f x h x L
→ →
= =
lim ( ) lim ( ) thì
x a
g x L
→
=
lim ( ) .

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải
Ví d
ụ
5: Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
x
x
x
→∞
=
sin
lim 0
.
Ta có:
x
x x
≤ ≤
sin 1
0 . Mà
x
x
→∞
=
1
lim 0
nên
x

x
x
→∞
=
sin
lim 0
, hay ta có
đ
pcm.
5. Một số phương pháp khử dạng vô định:

∞
∞
∞−∞
∞
0
, , , 1 .
0

+ Phân tích
đ
a th
ứ
c thành nhân t
ử
ho
ặ
c nhân bi
ể
u th

ứ
c liên h
ợ
p
để
kh
ử
d
ạ
ng vô
đị
nh.
+ S
ử
d
ụ
ng gi
ớ
i h
ạ
n k
ẹ
p
+ S
ử
d
ụ
ng m
ộ
t s

ố
gi
ớ
i h
ạ
n c
ơ
b
ả
n sau:

x
x
x
→
=
0
sin
lim 1
,
x
x
a
a
x
→
−
=
0
1

lim ln
,
x
x
x
→
+
=
0
ln( 1)
lim 1
,
x
a
x
a
e
x
→∞
 


+ =




 
lim 1 ,
(

)
x
x
a a
→+∞
= < <
lim 0, 0 1
, …
Ví d
ụ
6: Tìm
m
n
x
x
x
→
−
−
1
1
lim
1
.
Gi
ả
i: + D
ạ
ng
0

0
.
+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
m m m m
m
n
n n n n
x x x
x x x x x
x m
x n
x x x x x
− − − −
− − − −
→ → →
− + + + + + +
−
= = =

−
− + + + + + +
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1
1 1 1
1
lim lim lim
1
1 1 1
.
Ví d
ụ
7: Tìm
x
x x
x
→
− − −
−
3
2
1 2 3
lim
2

+ D
ạ
ng
0

0

+
(
)
(
)
(
)
(
)
x x x x
x x x x
x x
x x x x
→ → → →
− − − − − − − − −
− − −
= = −
− − − −
3 3
3
2 2 2 2
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
1 2 3
lim lim lim lim
2 2 2 2

+
(

)
dang
x
x
x
→
− −
=
−
0
3
0
2
1 1
lim
2

+
(
)
dang
x
x
x
→
− −
=
−
0
0

2
2 3 1
lim
2
.
+ Vậy
x
x x
x
→
− − −
= + =
−
3
2
1 2 3 1 4
lim 1
2 3 3
.
Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải
Ví dụ 8: Tìm
x
x x
x
→+∞
+
+
lim
1

Giải: Dạng
∞
∞
.
+
x
x x
x
→+∞
+
=
+
lim
1

+ KQ: 1.
Ví dụ 9: Tìm
(
)
x
x x x
→+∞
+ −
2
lim
+ D
ạ
ng
∞−∞

+
(
)
x
x x x
→+∞
+ − =
2
lim .
+ KQ:
∞
.
Ví d
ụ
10: Tìm
x x
x
x
x
+
→+∞
 
+









−
 
2
2
2
2
1
lim
1
,
+ D
ạ
ng
∞
1

+
(
)
( )
x
x x
x
x
x x
x x
x
x x
x

e e
x x
→+∞
+
 
−

−

+

+







 
−
→+∞ →+∞
 
 
 
 
 
+
 


 




= + = =


 







 
 
− −
 
 
 
 
 
2
2
2
2
2
2

2 2
1
1
2 2
2
2
lim
2
2
1
2 2
1 2
lim lim 1
1 1
.
Ví d
ụ
11: Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau
x
x x
x
→
−
−
0
1 cos .cos2

lim
1 cos
.
+ D
ạ
ng
0
0
.
+
(
)
x x
x x x
x x
x x
→ →
− + −
−
= =
− −
0 0
1 cos cos2 1 cos2
1 cos .cos2
lim lim
1 cos 1 cos


=

+ KQ: 5.
Ví d
ụ
12: Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau
( )
x
x
x
→
2
1
0
lim cos .
+ D
ạ
ng
∞
1

+ Ta có:
( )
x
x x
= − − = −
2
cos 1 1 cos 1 2sin

2


Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải
+
( )
x
x
x
→
=
2
1
0
lim cos
+ KQ:
e
−
1
2

6. Gi
ớ
i h
ạ
n m
ộ
t phía
a.
Đị

nh ngh
ĩ
a: Gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a f(x) khi
x a x a
→ <
,
(ho
ặ
c
x a x a
→ >
,
) n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
g
ọ
i là gi
ớ
i h

ạ
n trái ( ho
ặ
c gi
ớ
i h
ạ
n ph
ả
i ). Ký hi
ệ
u
x a x a
f x f a f x f a
− +
− +
→ →
= =
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
.
Ký hi
ệ
u khác:
x a x a
f x f a f x f a
→ − → +
= − = +
0 0
lim ( ) ( 0), lim ( ) ( 0)
.

b.
Đị
nh lý: T
ồ
n t
ạ
i
x a
f x L
→
=
lim ( ) khi và ch
ỉ
khi
x a
x a
x a x a
f x
f x
f x f x L
−
+
− +
→
→
→ →



∃





∃




= =




lim ( )
lim ( )
lim ( ) lim ( )

Ví d
ụ
13: Xét s
ự
t
ồ
n t
ạ
i c
ủ

a
x
x
x
→
0
lim .
Ta có:
x x
x
x
x x
+ +
→ →
= =
0 0
lim lim 1
,
x x
x
x
x x
− −
→ →
−
= =−
0 0
lim lim 1
. V
ậ

y
x
x
x
→
0
lim không t
ồ
n t
ạ
i.
Ví d
ụ
14: N
ế
u
x x
f x
x x


− >

=


− <


4, 4

( )
8 2 , 4

, Xác
đị
nh s
ự
t
ồ
n t
ạ
i c
ủ
a
(
)
4
lim
x
f x
→
.
GI
Ả
I:
Vì
(
)
4
f x x

= −
v
ớ
i
4
x
>
, chúng ta có:
(
)
4 4
lim lim 4 4 4 0
x x
f x x
+ +
→ →
= − = − =

Vì
(
)
8 2
f x x
= −
v
ớ
i
4
x
<

, chúng ta có :
(
)
(
)
4 4
lim lim 8 2 8 2.4 0
x x
f x x
− −
→ →
= − = − =

Gi
ớ
i h
ạ
n trái và gi
ớ
i h
ạ
n ph
ả
i b
ằ
ng nhau. Vì v
ậ
y, gi
ớ
i h

ạ
n t
ồ
n t
ạ
i và
(
)
4
lim 0
x
f x
→
=
.


Đồ
th
ị
c
ủ
a f
đượ
c ch
ỉ
ra trong Hình 3.
Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải

HÌNH 3

7. Vô cùng lớn, vô cùng bé
Đị
nh ngh
ĩ
a: Hàm s
ố
f(x)
đượ
c g
ọ
i là vô cùng bé, vi
ế
t t
ắ
t là VCB khi
x x
→
0
n
ế
u
x x
f x
→
=
0
lim ( ) 0
. Hàm s
ố

f(x)
đượ
c g
ọ
i là vô cùng l
ớ
n, vi
ế
t t
ắ
t là VCL khi
x x
→
0
n
ế
u
x x
f x
→
= +∞
0
lim ( ) .
Chú ý:
+
x
0
có th
ể
h

ữ
u h
ạ
n ho
ặ
c vô h
ạ
n.
+
x x x x
f x
f x
→ →
= ∞ ⇔ =
0 0
1
lim ( ) lim 0
( )
.
x
f x x
= +
1
( ) (1 )

+
Để
so sánh t
ố
c

độ
d
ầ
n
đế
n 0 c
ủ
a các VCB f(x), g(x) khi cùng
x x
→
0
thì xét
x x
f x
g x
→
0
( )
lim
( )
. Ta có các tr
ườ
ng h
ợ
p sau:

♦
N
ế
u

x x
f x
g x
→
=
0
( )
lim 0
( )
ta nói r
ằ
ng f(x) b
ậ
c cao h
ơ
n g(x), kí hi
ệ
u
f x o g x x x
= →
0
( ) ( ( )), .

♦
N
ế
u
x x
f x
C

g x
→
= ≠
0
( )
lim 0
( )
ta nói r
ằ
ng f(x) cùng b
ậ
c v
ớ
i g(x).

♦
N
ế
u
x x
f x
g x
→
=
0
( )
lim 1
( )
ta nói r
ằ

ng f(x) t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i g(x), kí hi
ệ
u
f x g x
( ) ( )
∼
.
M
ộ
t s
ố
VCB cùng b
ậ
c khi x
→
0
:
x
x x x x e x
+ −
sin , ln(1 ) , 1
∼ ∼ ∼
.
ln(1+x) ∼ x khi x→ 0 v×

x
x
x
→
+
=
0
ln(1 )
lim 1

Định lý:
N
ế
u f(x)
∼
f*(x), g(x)
∼
g*(x) khi
x x
→
0
. Khi
đ
ó :
x x x x
f x f x
g x g x
→ →
=
0 0

*
*
( ) ( )
lim lim
( ) ( )
.
Ví d
ụ
15
:
Tính
x
x
e
x
→
−
+
2
0
1
lim
ln(1 sin3 )
.
Ta có:
x
e
−
2
1

∼
2x khi x
→
0; ln(1+sin3x)
∼
sin3x
∼
3x khi x
→
0
Do
đ
ó :
x
x x
e x
x x
→ →
−
= =
+
2
0 0
1 2 2
lim lim
ln(1 sin3 ) 3 3
.
Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải
1.3. Tính liên tục của hàm số

1.
Đị
nh ngh
ĩ
a
Định nghĩa 1
: Hàm s
ố
f(x) liên t
ụ
c t
ạ
i
đ
i
ể
m
x
0
n
ế
u
x x
f x f x
→
=
0
0
lim ( ) ( )
.

Hàm s
ố
y = f(x) liên t
ụ
c trên mi
ề
n D n
ế
u nó liên t
ụ
c t
ạ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m thu
ộ
c mi
ề
n D.
Chú ý: T
ừ

đị
nh ngh
ĩ
a 1, ta th

ấ
y
để
y = f(x) liên t
ụ
c t
ạ
i
đ
i
ể
m
x
0
c
ầ
n
đế
n 3
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1.
x
0
thu
ộ

c t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a hàm s
ố
.
2. T
ồ
n t
ạ
i
x x
f x
→
0
lim ( )
.
3.
x x
f x f x
→
=
0
0
lim ( ) ( )

Nh

ậ
n xét:
+ Các
đ
a th
ứ
c, hàm phân th
ứ
c, hàm h
ữ
u t
ỉ
, hàm l
ượ
ng giác, hàm m
ũ
, hàm logarit là
các hàm s
ố
liên t
ụ
c trên mi
ề
n xác
đị
nh c
ủ
a nó.
+ Hàm s
ố

y = f(x) liên t
ụ
c trên (a, b) thì
đồ
th
ị
c
ủ
a nó là m
ộ
t
đườ
ng cong tr
ơ
n trên
kho
ả
ng này (t
ứ
c là không b
ị
gãy, không b
ị

đứ
t
đ
o
ạ
n).

Đị
nh ngh
ĩ
a 2: Hàm s
ố
f (x)
đượ
c g
ọ
i là
liên tục phải
t
ạ
i
x
0
n
ế
u
(
)
(
)
x x
f x f x
+
→
=
0
0

lim .
Hàm s
ố
f (x)
đượ
c g
ọ
i là
liên tục trái
t
ạ
i
x
0
n
ế
u
(
)
(
)
x x
f x f x
−
→
=
0
0
lim .

Hàm s
ố
y = f (x) liên t
ụ
c t
ạ
i
x
0
khi và ch
ỉ
khi nó v
ừ
a liên t
ụ
c trái, v
ừ
a liên t
ụ
c ph
ả
i t
ạ
i
x
0
.

Ví d

ụ
16: Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố


( )
x x
x
f x
x
x


− −

≠


=

−


=




2
2
2
2
1 2

+ Ta th
ấ
y hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m
x
≠
2
.
+ Xét t
ạ
i x = 2.
( )

(
)
(
)
( )
x x x x
x x
x x
f x x f
x x
→ → → →
− +
− −
= = = + = =
− −
2
2 2 2 2
2 1
2
lim lim lim lim 1 3, (2) 1
2 2

Nh
ư
ng
(
)
(
)
x

f x f
→
≠
2
lim 2
. Nên f không liên t
ụ
c t
ạ
i 2.
Ví d
ụ
17: Tìm a
để
hàm s
ố
sau liên t
ụ
c trên R
ax
x
x
f x
x
ae x x



>



=



+ − ≤



2
sin2
0
( )
1 0

+ Hàm s
ố
liên t
ụ
c v
ớ
i m
ọ
i x
≠
0
,
để
hàm s
ố

liên t
ụ
c trên R thì nó ph
ả
i liên t
ụ
c t
ạ
i
x
=
0
.
+ T
ạ
i x
=
0


( )
x x
x
f x
x
+ +
→ →
= =
0 0
sin2

lim lim 2
,
(
)
(
)
ax
x x
f x ae x a f
− −
→ →
= + − = − =
2
0 0
lim lim 1 1 (0)

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải

Để
hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i x = 0 thì f f f a a
+ −
= = ⇔ − = ⇔ =
(0 ) (0 ) (0) 1 2 3
.

Ví d
ụ
18: Hàm s
ố
f(x) không xác
đị
nh t
ạ
i x = 0, hãy xác
đị
nh f(0)
để
hàm s
ố
f(x) liên
t
ụ
c t
ạ
i x = 0 v
ớ
i :
(
)
x
f x x
= +
1
( ) 1 2

Gi
ả
i:
Để
hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i x = 0 thì
x
x x
f f x x e
→ →
= = + =
1
2
0 0
(0) lim ( ) lim(1 2 ) .
2.
Đ
i
ể
m gián
đ
o
ạ
n c

ủ
a hàm s
ố


Đị
nh ngh
ĩ
a: Hàm s
ố
f(x)
đượ
c g
ọ
i là gián
đ
o
ạ
n t
ạ
i x = a n
ế
u t
ạ
i x = a hàm s
ố

không liên t
ụ
c.

N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
f a f a
+ −
( ), ( )
và
f a f a
+ −
≠
( ) ( )
thì x = a
đượ
c g
ọ
i là
đ
i
ể
m gián
đ
o
ạ
n lo
ạ
i

1.
N
ế
u
f a f a
+ −
=
( ) ( )
thì x = a
đượ
c g
ọ
i là
đ
i
ể
m gián
đ
o
ạ
n kh
ử

đượ
c.

Đ
i
ể
m gián

đ
o
ạ
n khác (không ph
ả
i lo
ạ
i 1) g
ọ
i là gián
đ
o
ạ
n lo
ạ
i 2.

Ví d
ụ
19: Tìm và phân lo
ạ
i
đ
i
ể
m gián
đ
o
ạ
n c

ủ
a các hàm s
ố
sau:
a.
x
f x
x
=( ) b.
x
x
f x
e
−
=
−
1
1
( )
1

Giải
: a. Xét t
ạ
i x = 0

(
)
x
f x

+
→
=
0
lim


(
)
x
f x
−
→
=
0
lim

nên x = 0 là gián
đ
o
ạ
n lo
ạ
i 1.
b.
♦
T
ạ
i x = 1.

(
)
(
)
x x
f x f x
+ −
→ →
= =
1 1
lim lim

nên x = 1 là gián
đ
o
ạ
n lo
ạ
i 1.

♦
T
ạ
i x = 0.

(
)
(
)
x x

f x f x
+ −
→ →
= =
0 0
lim lim

nên x = 0 là gián
đ
o
ạ
n lo
ạ
i 2.
Ví d
ụ
20: Kh
ả
o sát s
ự
liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
và tính ch
ấ
t
đ

i
ể
m gián
đ
o
ạ
n
x
x
f x
x x
π



≤


=



− >



cos 1
2
( )
1 1

(
Đ
S: x = - 1 là
đ
i
ể
m gián
đ
o
ạ
n lo
ạ
i 1)


Bài tập về nhà:
Trang 87 ( Bài 1 – 19), trang 91 ( bài 18 – 62), 25 trang 251, Trang
278 ( Bài 33 - 43).


Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải
Bài số 2
Đạo hàm của hàm số một biến
2.1 Định nghĩa về đạo hàm
1. Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm s
ố

y f x

=
( )
,
đạ
o hàm
f x
'( )
c
ủ
a hàm s
ố

f x
( )
là m
ộ
t hàm m
ớ
i có giá tr
ị
t
ạ
i
đ
i
ể
m x
đượ
c xác
đị

nh b
ở
i gi
ớ
i h
ạ
n sau (khi gi
ớ
i h
ạ
n t
ồ
n t
ạ
i):
x
f x x f x
f x
x
∆ →
+∆ −
=
∆
0
( ) ( )
'( ) lim .
+ N
ế
u gi
ớ

i h
ạ
n t
ồ
n t
ạ
i v
ớ
i x = a, thì hàm s
ố
y = f(x)
đượ
c g
ọ
i là kh
ả
vi t
ạ
i a.
+ Hàm kh
ả
vi là hàm s
ố
kh
ả
vi t
ạ
i m
ọ
i

đ
i
ể
m trong t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a nó.

y = f(x)
P
∆x
x + x
0
∆x
0
x
y
Q
f(x + x) - f(x )
0 0
∆



●

Chú ý :

+ f’(x) là
độ
d
ố
c c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đườ
ng cong y = f(x) t
ạ
i P.
+ Có nhi
ề
u cách ký hi
ệ
u khác nhau c
ủ
a
đạ
o hàm hàm s
ố

y f x

=
( )
:
f x
'( )
, y’ ,
dy
dx
,
df x
dx
( )
,
d
f x
dx
( )
.
+ N
ế
u
y f x
=
( )
thì
dy
dx
còn
đượ
c g

ọ
i là su
ấ
t bi
ế
n
đổ
i c
ủ
a
y
theo
x
.
+ N
ế
u ta mu
ố
n vi
ế
t giá tr
ị
s
ố
c
ủ
a
đạ
o hàm t
ạ

i m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ụ
th
ể
x = 3, ta vi
ế
t :
x
dy
dx
=
 






 
3
ho
ặ
c
x

dy
dx
=
3
, ho
ặ
c f’(3) .
+
x x x
∆ = −
0
nên
x x x
f x f x
f x x f x
f x
x x x
∆ → →
−
+∆ −
= =
∆ −
0
0
0
0
( ) ( )
( ) ( )
'( ) lim lim
.

2. Quy tắc tìm đạo hàm tại một điểm theo định nghĩa:


●

Bc 1
. Tìm s
ố
gia f(x +
∆
x) - f(x) và ti
ế
n hành rút g
ọ
n

●

Bc 2
. Thi
ế
t l
ậ
p t
ỷ
s
ố
:
f x x f x

x
+∆ −
∆
0 0
( ) ( )


●

Bc 3.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a t
ỷ
s
ố
trên khi
∆
x
→
0. N
ế
u gi
ớ
i h
ạ

n
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i thì
đ
ó
chính là
đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
t
ạ
i
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm :
Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải
x
f x x f x
f x
x
∆ →

+∆ −
=
∆
0
( ) ( )
'( ) lim .
Ví dụ 1.
Tìm f’(x) n
ế
u f(x) =
x
1

B
ướ
c 1:
x x x x
f x x f x
x x x x x x x x x
− +∆ −∆
+∆ − = − = =
+∆ + ∆ +∆
1 1 ( )
( ) ( )
( ) ( )

B
ướ
c 2.
f x x f x

x x x x
+∆ −
−
=
∆ +∆
0 0
( ) ( )
1
( )

Bước 3. Kết luận
x
f x
x x x x
∆ →
−
= = −
+∆
2
0
1 1
'( ) lim
( )

Ví d
ụ
2 : V
ẽ

đồ

th
ị
hàm s
ố

y f x x x
= =
( )
và cho bi
ế
t nó không kh
ả
vi t
ạ
i
đ
i
ể
m nào
Gi
ả
i :
x x
y f x x x
x x


≥

= = =



− ≤


2
2
, 0
( )
, 0
nên
x x
f x
x x

>


=


− <


2 , 0
'( )
2 , 0

T
ạ

i x = 0, ta có
x x x
x x
f x f
x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆
+∆ −
= = ∆ =
∆ ∆
0 0 0
(0 ) (0)
lim lim lim 0
, hàm s
ố
kh
ả
vi t
ạ
i
x = 0.
V
ậ
y hàm s
ố
kh
ả
vi v
ớ

i m
ọ
i x.
Ví d
ụ
3: Hàm s
ố

x x x
f x
x x

− + >


=


− ≤


( -1)ln( 1) 1 1
( )
2 1 1

có kh
ả
vi t
ạ
i x = 1

không.
Gi
ả
i: +
x
f x f
x
+
→
−
=
−
1
( ) (1)
lim
1


+
x
f x f
x
−
→
−
=
−
1
( ) (1)
lim

1

V
ậ
y hàm s
ố
không kh
ả
vi t
ạ
i x = 1.
Ví d
ụ
4: Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u hàm f(x) có tính ch
ấ
t
f x x
≤
2
( )
v
ớ
i m
ọ

i x thì f(x) kh
ả

vi t
ạ
i x = 0.
Gi
ả
i:
T
ừ

f x x
≤
2
( )
,
x
∀
nên
f f
≤ ⇔ =
(0) 0 (0) 0
.
Ta có
f x f f x
x
x x
+∆ − ∆
≤ = ≤ ∆

∆ ∆
(0 ) (0) ( )
0
, mà
x
x
∆ →
∆ =
0
lim 0

Nên
x
f x f
f
x
∆ →
+∆ −
= =
∆
0
(0 ) (0)
'(0) lim 0
. V
ậ
y hs kh
ả
vi t
ạ
i x = 0.



 Chú ý: +
N
ế
u hàm s
ố
y f x
=
( )

liên t
ụ
c t
ạ
i
đ
i
ể
m x thì :
x
y
∆ →
∆ =
0
lim 0

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải
+

M
ộ
t hàm
kh vi ti mt đim thì liên tc ti đim đó
vì:
x x x x
y y dy
y x x
x x dx
∆ → ∆ → ∆ → ∆ →
 
∆ ∆
 
 
∆ = ⋅∆ = ∆ = ⋅ =
 
 
 
∆ ∆
 
0 0 0 0
lim lim lim lim 0 0
.
+

M
ộ
t hàm có th
ể

liên t
ụ
c t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m mà không kh
ả
vi t
ạ
i
đ
i
ể
m
đ
ó.
+ M
ộ
t hàm s
ố

không liên tc
t
ạ
i

x
0

thì s
ẽ

không khả vi tại điểm đó
.
2. MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ĐÃ HỌC
1.
d
c
dx
=
0
2.
d du
u u
dx dx
α α
α
−
=
1

3.
u u
d du
a a a
dx dx

= ln 4.
d du
u
dx u dx
=
1
ln .

5.
d du
u u
dx dx
=
sin cos .
6.
d du
u
dx u dx
=
2
1
tan .
cos

7.
d du
u u
dx dx
= −
cos sin .

8.
d du dv
u v
dx dx dx
+ = +( )
9.
d du dv
uv v u
dx dx dx
= +( ) 10.
d u u v v u
dx v v
−
=
2
' '

11.
dy dy du
dx du dx
=
.
(Quy t
ắ
c dây chuy
ề
n hay
đạ
o hàm hàm h
ợ

p).
Ví d
ụ
5. Tính y’ c
ủ
a hàm s
ố

a.
y x
= + +
1 1 . b.
(
)
y x
 
=
 
ln sin ln

Gi
ả
i:
a.
y
=
'

+ KQ:
x

x x
+ + +
2 2
2 1 . 1 1
.
b.
y
=
'

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải

+ KQ:
(
)
x
x
cot ln

2.2. Hàm ẩn và đạo hàm hàm ẩn
a. Hàm ẩn
H
ầ
u h
ế
t các hàm ta g
ặ
p có d
ạ
ng

y f x
=
( )
, trong
đ
ó y bi
ể
u di
ễ
n tr
ự
c
ti
ế
p (ho
ặ
c t
ườ
ng minh) theo x. Ngoài ra y th
ườ
ng
đị
nh ngh
ĩ
a là hàm c
ủ
a x b
ằ
ng
ph

ươ
ng trình F x y
=
( , ) 0
(1), không gi
ả
i
đượ
c
đố
i v
ớ
i y, nh
ư
ng trong
đ
ó x và y có
liên quan v
ớ
i nhau. Khi
đ
ó, ta nói ph
ươ
ng trình (1) xác
đị
nh y nh
ư
là m
ộ
t (ho

ặ
c
nhi
ề
u) hàm
ẩ
n c
ủ
a x.
Ví dụ 6.

+ P/trình xy
=
1
xác
đị
nh m
ộ
t hàm
ẩ
n c
ủ
a x mà ta có th
ể
vi
ế
t m
ộ
t cách t
ườ

ng
minh là y
x
=
1
.
+ P/trình 2x
2
- 2xy = 5 - y
2
xác
đị
nh hai hàm
ẩ
n:
y x x và y x x
= + − = − −
2 2
5 5 .

b. Đạo hàm của hàm ẩn :
Ví dụ 7
(i) Xét p/trình xy
=
1
. L
ấ
y
đạ
o hàm hai v

ế
theo
x
:

dy
x y
dx
+ =
0
ho
ặ
c
dy y
dx x
= −

+ T
ừ
ph
ươ
ng trình ta có y
x
=
1
nên:
dy y
y
dx x x x x x
= − = − = − ⋅ = −

2
1 1 1 1
.
+ N
ế
u
đạ
o hàm tr
ự
c ti
ế
p y
x
=
1
, c
ũ
ng có
dy
dx x
= −
2
1
.
(ii) T
ừ
ph
ươ
ng trình x
2

+ y
2
= 25
đạ
o hàm 2 v
ế
ta có :
dy dy x
xdx y
dx dx y
+ = ⇔ = −
2 2 0 .
2.3. Hàm ngược và đạo hàm hàm ngược
1. Đnh nghĩa :
Cho hàm s
ố
:


f X Y
x y f x
→
→ =
:
( )

N
ế
u t
ươ

ng
ứ
ng ng
ượ
c :
Y X
→
sao cho
y x y f x
→ =
| ( )
c
ũ
ng là m
ộ
t hàm s
ố

thì ta nói r
ằ
ng hàm s
ố

y f x
=
( )
có hàm s
ố
ng
ượ

c
f Y X
y x f y
−
−
→
→ =
1
1
:
( )

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải


Có hàm số ngược

f x
−
1
( )

Không có hàm số ngược

2. Công thc hàm s ngc :
Xét hàm s
ố
:
f X Y x y f x
→ → =

: , ( )

Xét ph
ươ
ng trình
ẩ
n x : f x y
=
( ) (*)

N
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i
y Y
∈
ph
ươ
ng trình (*) có duy nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m
x X
∈

thì hàm s
ố

y f x
=
( )
có hàm s
ố
ng
ượ
c:

f Y X
y x f y
−
−
→
→ =
1
1
:
( )

trong
đ
ó
x f y
−
=
1

( )
chính là công th
ứ
c nghi
ệ
m duy nh
ấ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*).

3 Điều kiện tồn tại hàm số ngược
a. Khái niệm :
Hàm s
ố

y f x
=
( )

đượ
c g
ọ
i là hàm m
ộ
t – m
ộ
t n

ế
u v
ớ
i
x x
≠
1 2
thì ta
có
f x f x
≠
1 2
( ) ( )
.

Không là hàm 1-1
b. Điều kiện :
N
ế
u
y f x
=
( )
là hàm m
ộ
t - m
ộ
t có TX
Đ
là

X
và MGT là
Y
. Khi
đ
ó
t
ồ
n t
ạ
i hàm ng
ượ
c
f
−
1
v
ớ
i TX
Đ
là
Y
và MGT là
X
, h
ơ
n n
ữ
a
y f x x f y

−
= ⇔ =
1
( ) ( )
.

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải
Chú ý :
: + N
ế
u
y f x
=
( )

có hàm
ng
ượ
c
f
−
1

thì
+
(
)
f f x x x X
−
= ∀ ∈

1
( ) ,
.
+
(
)
f f y y y Y
−
= ∀ ∈
1
( ) ,
c. Đồ thị :
N
ế
u
y f x
=
( )

có hàm s
ố
ng
ượ
c
y f x
−
=
1
( )

thì
đồ
th
ị
c
ủ
a hai hàm s
ố

đ
ó s
ẽ

đố
i x
ứ
ng nhau qua
đườ
ng
phân giác th
ứ
nh
ấ
t
y x
=
.
4. Hàm ngược của một số hàm sơ cấp
a) Hàm số
:

f
x y f x x
+ +
→
= =
:
( )
» »


có hàm s
ố
ng
ượ
c là
y x
=
2
.


b)

Hàm số ngược của hàm
y x
=
sin
:

N
ế
u xét hàm s
ố
:

[
]
[
]
x y x
π π
− → −
→ =
sin : / 2, / 2 1,1
sin

Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i hàm s
ố
ng
ượ
c :

[

]
[
]
y x y
π π
−
−
− → −
→ =
1
1
sin : 1,1 / 2, / 2
sin

Ký hi
ệ
u khác :
x x
−
=
1
sin arcsin
.


Chú ý :

a b b
−
= =

1
sin arcsin
chính là s
ố

đ
o góc mà
a b
=
sin .


Ví dụ 8:

π π
−
= ⇔ = =
1
1 1 1
sin sin arcsin
6 2 6 2 2
.
c) Hàm ngược của hàm cosine :
T
ươ
ng t
ự
, n
ế
u xét

[
]
[
]
x y x
π
→ −
→ =
cos : 0, 1,1
cos

Khi
đ
ó s
ẽ
t
ồ
n t
ạ
i hàm ng
ượ
c :
y x
−
=
1
cos .
d. Hàm ngược của hàm tang
Xét hàm s
ố

:

Hình 9.19
Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải

x y x
π π
 


− → −∞ ∞




 
→ =
tan : , ( , )
2 2
tan

khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i hàm s
ố
ng

ượ
c
π π
−
 


−∞ +∞ → −




 
1
tan : ( , ) ,
2 2

Chú ý :

a b
−
=
1
tan chính là s
ố

đ
o c
ủ
a góc mà

a b
=
tan .

Đồ
th
ị
c
ủ
a hàm y = tg
– 1
x là
đườ
ng
đậ
m nét
ở
hình 9.19.

e. Hàm ngược của hàm cotang :

Khi xét
(
)
x y x
π
→ −∞ ∞
→ =
cotan : 0, ( , )
cot

T
ươ
ng t
ự
: Hàm
(
)
y x x
−
= =
1
arccot cot ( )


5. Đạo hàm hàm ngược
a.
Đị
nh lý : Cho hàm
y f x
=
( )
là hàm liên t
ụ
c, m
ộ
t – m
ộ
t trên kho
ả

ng
a b
( , )
. Khi
đ
ó
t
ồ
n t
ạ
i hàm ng
ượ
c
x f y
−
=
1
( )
xác
đị
nh trong lân c
ậ
n c
ủ
a
y
0
v
ớ
i

y f x
=
0 0
( )
. Gi
ả
s
ử

y f x
=
( )
có
đạ
o hàm t
ạ
i
x
0
và f x
≠
0
( ) 0
, thì hàm ng
ượ
c
x f y
−
=
1

( )
s
ẽ
có
đạ
o hàm
t
ạ
i
y
0
và
(
)
f y
f x
−
 
=
 
 
'
1
0
0
1
( )
'
.
Ví dụ 9:

Hàm s
ố

y f x x
= =
( ) có hàm ng
ượ
c
x f y y
−
= =
1 2
( )
Ta có : f x x
x
= ∀ >
1
'( ) , 0
2
; f y y x x
f x
x
−
 
= = = = ∀ >
 
 
'
1
1 1

( ) 2 2 , 0
1
'( )
2
.
b.
Đạ
o hàm hàm l
ượ
ng giác ng
ượ
c
Cho u là hàm kh
ả
vi c
ủ
a x, ta có :

d du
u
dx dx
u
−
=
−
1
2
1
(sin )
1

d du
u
dx dx
u
−
= −
−
1
2
1
(cos )
1


d du
u
dx u dx
−
=
+
1
2
1
(tan )
1

d du
u
dx u dx

−
= −
+
1
2
1
(tan )
1

Ví d
ụ
10: Tính dy/dx c
ủ
a hàm s
ố

y x x x
−
= − +
1 2
tan ln 1 .
Gi
ả
i :
y x x x
−
= − +
1 2
1
tan ln(1 )

2
nên

dy
dx
=

x
−
=
1
tan .

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải
Ví d
ụ
11: Tính dy/dx c
ủ
a hàm s
ố

y x x x
−
= + −
1 2
sin 1 .
Gi
ả
i :
dy

x
dx
= = −
2
2 1 .

2.4 .VI PHÂN

a. Định nghĩa :
Cho hàm s
ố

y f x
=
( )
, tích s
ố

f x x
∆
'( ).
g
ọ
i là vi phân c
ủ
a f(x) t
ạ
i
đ
i

ể
m x, kí hi
ệ
u
dy f x x
= ∆
'( ).
.
Khi
y f x x
= =
( ) thì f x
=
'( ) 1
nên
dy dx x
= = ∆
, do
đ
ó :
dy df f x dx
= =
'( )
.
N
ế
u hàm s
ố
f(x) kh
ả

vi t
ạ
i x thì
(
)
y f x x f x f x x o x
∆ = +∆ − = ∆ + ∆
( ) ( ) '( ).


b. Công thức vi phân.
Quy t
ắ
c tính
đạ
o hàm d
ẫ
n
đế
n các công th
ứ
c vi phân
t
ươ
ng
ứ
ng.

d
c

dx
=
0
d(c) = 0

n n
d du
u nu
dx dx
−
=
1
d(x
n
) = nx
n-1
dx

d du
cu c
dx dx
=( ) d(cu) = cdu
d du dv
u v
dx dx dx
+ = +( ) d(u + v) = du + dv
d dv du
uv u v
dx dx dx
= +( ) d(uv) = vdu + udv

du dv
v u
d u
dx dx
dx v v
−
=
2
( ) d(
u vdu udv
v v
−
=
2
)
n n
d du
u nu
dx dx
−
=
1
d(u
n
) = nu
n-1
du

Ví d

ụ
12
.
Gi
ả
s
ử
y = x
4
+ 3x
2
+ 7 tìm dy
Gi
ả
i :+
Cách 1
: Tìm
đạ
o hàm
dy
x x
dx
= +
3
4 6

và nhân v
ớ
i dx, ta
đượ

c
dy x x dx
= +
3
(4 6 )

+
Cách 2
: Chúng ta c
ũ
ng có th
ể
dùng các công th
ứ
c vi phân
ở
trên
dy = d(x
4
+ 3x
2
+ 7) = dx
4
+3 d(x
2
) + d(7)
= 4x
3
dx + 3.2xdx+0
= (4x

3
+ 6x) dx
Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải

Ví d
ụ
13
.
Tính d (
x
x
+
2
2
1
)
Gi
ả
i: + Dùng công th
ứ
c vi phân c
ủ
a m
ộ
t th
ươ
ng:
d(
x x d x x d x
x

x
+ − +
=
+
+
2 2 2 2 2
2
2
1. ( ) ( 1 )
)
1
1


x dx
x x dx
x x x
x
d dx
x x
x
+ −
 
+
+




= =






+ +
 
+
3
2
2 3
2
2 2 3/2
2
2 1
2
1
1 ( 1)
1
.


Ví d
ụ
14
:
Gi
ả
thi
ế

t r
ằ
ng y là m
ộ
t hàm kh
ả
vi
đố
i v
ớ
i x và th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình:
x
2
y
3
- 2xy + 5 = 0.
Hãy s
ử
d
ụ
ng vi phân
để
tìm
dy
dx
.

Gi
ả
i:





+ K
ế
t qu
ả
:

dy y xy
dx x y x
−
=
−
3
2 2
2 2
3 2
v
ớ
i
đ
/k x y x
− ≠
2 2

3 2 0
.



Chú ý:

Để
ý r
ằ
ng ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đườ
ng cong ôm sát
đườ
ng cong
ở
g
ầ
n ti
ế
p
đ
i
ể

m.
Đ
i
ề
u này có ngh
ĩ
a r
ằ
ng khi dx
đủ
nh
ỏ
, thì
đườ
ng cong th
ự
c s
ự
g
ầ
n v
ớ
i ti
ế
p tuy
ế
n
c
ủ
a nó, và vì th

ế
vi phân dy d
ễ
dàng
đượ
c tính toán, nó cho x
ấ
p x
ỉ
t
ố
t
đố
i v
ớ
i s
ố
gia
y
∆
.

c. Ứng dụng của vi phân trong tính gần đúng


Xét hàm s
ố

y f x
=

( )
kh
ả
vi trong lân c
ậ
n c
ủ
a
x a b
∈
0
( , )
. Theo công th
ứ
c s
ố
gia
c
ủ
a hàm kh
ả
vi ta có
f x x f x f x x
+∆ ≈ + ∆
0 0 0
( ) ( ) '( ).


Ví dụ 15:
Tính x

ấ
p x
ỉ

ln11
.
Gi
ả
i: + Xét f x x x x
= = ∆ =
0
( ) ln , 10, 1

+ Áp d
ụ
ng
f x x f x f x x
+∆ ≈ + ∆
0 0 0
( ) ( ) '( ). ta có
= + ≈ + ≈
1
ln11 ln(10 1) ln10 .1 1,043
10.ln10
.
2.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao
1.
Đị
nh ngh
ĩ

a:
Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải
Cho hàm s
ố
f(x) xác
đị
nh trong kho
ả
ng (a, b). Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
y = f(x) có
đạ
o hàm
y’ = f’(x) và f’(x) có
đạ
o hàm thì ta g
ọ
i
đạ
o hàm c
ủ
a f’(x) là
đạ
o hàm c
ấ
p hai c

ủ
a hàm
f(x). Kí hi
ệ
u y” = f”(x) = [f’(x)]’.
T
ươ
ng t
ự
ta có
đạ
o hàm c
ấ
p n c
ủ
a hàm y = f(x):
n n
y x y x
−
′
 
=
 
 
( ) ( 1)
( ) ( )

Ví d
ụ
16: Cho hàm s

ố

x
y e
−
=
2
. Tính
y
′′′
.
Ta có:

y
=
'


(
)
(
)
x
y y
y y e x x
−
′′
= =
′′′
= = −

2
3
' '
" ' 4 (
3 2 ).

2. Các quy t
ắ
c l
ấ
y
đạ
o hàm c
ấ
p cao:
a. V
ớ
i f, g là các hàm s
ố
có
đạ
o hàm c
ấ
p n và
R
λ µ
∈
, , ta có:
n n n
f x g x f x g x

λ µ λ µ
+ = +
( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) ( ) ( )

b. Quy tắc Leibniz: V
ớ
i f, g là các hàm s
ố
có
đạ
o hàm c
ấ
p n, ta có:
n
n k n k k
n
k
fg C f g
−
=
=
∑
( ) ( ) ( )
0
( )

Ví d
ụ
17: Tìm công th

ứ
c tính
đạ
o hàm c
ấ
p n c
ủ
a:
a. y
x
=
−
1
1
, b.
k
y x
=
, v
ớ
i
k R
∈

Gi
ả
i:
a. y x
x
−

= = −
−
1
1
( 1)
1
, nên y y
= =
' , "
,
…,
Nên
n n
n
y n
x
+
= = −
−
( )
1
1
( 1) !.
( 1)
.
b. N
ế
u
k N
∉

thì y y
= =
' , "

,…,

n
y
=
( )


N
ế
u
k N
∈
thì
k n
n
k k k n x k n
y k k n
k n
−


− − + >




= =



<



( )
( 1) ( 1)
!

0

Ví d
ụ
18: Dùng
đạ
o hàm hàm
ẩ
n, tính y” c
ủ
a hàm y = f(x) cho b
ở
i
n n n
x y a
+ =
.
Gi

ả
i:
Đạ
o hàm 2 v
ế

n
n n
n
x
nx ny y y
y
−
− −
−
+ = ⇔ = −
1
1 1
1
. ' 0 '
(2).
+
Đạ
o hàm l
ầ
n n
ữ
a 2 v
ế
c

ủ
a (2), chú ý r
ằ
ng y và y’ là hàm c
ủ
a x, ta có:

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải
n n n n n n n
n n
n n n n n
n n
n x y n y y x n x y n y x
y
y y
n x y x y n a x
y y
− − − − − − − −
− −
− − −
− −
− − − − + −
= − = −
− + −
= − = −
2 1 2 1 2 1 1 2 2
2 2 2 2
2 1 2
2 2 2 1
( 1) ( 1) . '. ( 1) ( 1) .

''
( 1) ( ) ( 1)

3. Vi phân c
ấ
p cao:
Vi phân c
ấ
p 2 c
ủ
a hàm s
ố
f(x) t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m nào
đ
ó (n
ế
u có) là vi phân c
ủ
a vi phân
c
ấ
p m

ộ
t df. Kí hi
ệ
u
d f d df
=
2
( )
.
Quy n
ạ
p ta có: Vi phân c
ấ
p n, kí hi
ệ
u là
n
d f
là vi phân c
ấ
p m
ộ
t c
ủ
a vi phân c
ấ
p (n-
1):
n n
d f d d f

−
=
1
( )
.
Chú ý: Khi tìm vi phân c
ấ
p cao c
ủ
a hàm s
ố
, ta luôn coi dx nh
ư
là h
ằ
ng s
ố
.

n n n n
d y d dy d y dx y dx y dx
d y d d y y dx
−
= = = =
= =
2 2 2
1 ( )
( ) ( ' ) "( ) "

( )

Ví d
ụ
19: Cho hàm s
ố

y x
=
ln
. Tìm
d y
5

Ta có:
d y y dx dx dx
x x
= = =
5 (5) 5 5 5
5 5
4! 24
.

Bài tập về nhà:
Trang 90 ( Bài 6 - 13), trang 254 ( Bài 1 – 4), Trang 287 ( Bài 1 -
9). Trang 104 ( bài 1- 5), Trang 108 ( bài 1 - 8), Trang 112( bài 1 - 12).

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải
Bài giảng số 3

CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
3.1. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
a) Định nghĩa: Hàm số y=f(x) xác định trên đoạn [a,b], ta nói :
i. Hàm số đạt GTLN nếu :
f x M x

≤ ∀ ∈




∃ ∈


( ) , [a,b]

c [a,b]: f(c)=M

ii. Hàm số đạt GTNN nếu :
f x m x

≥ ∀ ∈




∃ ∈


( ) , [a,b]
c [a,b]: f(c)=m

b) Cách tìm : + Tìm các điểm tới hạn của f(x) trong đoạn [a,b ]: chẳng hạn là c
+ Khi đó:
{
}
m f x m
=
[a,b]
ax ( ) ax f(a), f(b), f(c)
hoặc
{
}
f x
=
[a,b]

min ( ) min f(a), f(b), f(c)
.


 Chú ý : 1) Nếu hàm số
y f x
=
( )
liên tc trên
D, và trên
đ
ó nó
có duy nht mt
cc tr

+ N
ế
u c
ự
c tr
ị

đ
ó
là cc tiu
thì
đ
ó c
ũ
ng là GTNN c

ủ
a hàm s
ố
trên mi
ề
n
đ
ó.
+ N
ế
u c
ự
c tr
ị

đ
ó
là cc đi
thì
đ
ó c
ũ
ng là GTLN c
ủ
a hàm s
ố
trên mi
ề
n
đ

ó.
2) N
ế
u hàm s
ố

y f x
=
( )

đồ
ng bi
ế
n trên
[
]
a b
,
thì
[ ]
[ ]
a b
a b
f x f b f x f b
= =
,
,
max ( ) ( ), min ( ) ( )
.
N

ế
u hàm s
ố

y f x
=
( )
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
[
]
a b
,
thì
[ ]
[ ]
a b
a b
f x f b f x f a
= =
,
,
max ( ) ( ), min ( ) ( )
.
3) Hàm s
ố

y f x
=
( )
liên t
ụ
c trên
[
]
a b
,
thì luôn t
ồ
n t
ạ
i GTLN và GTNN trên mi
ề
n
đ
ó.


 Ví dụ 1
: Tìm hai s
ố
d
ươ
ng mà t
ổ
ng c
ủ

a chúng b
ằ
ng 16 và tích c
ủ
a chúng
đạ
t giá
tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t.

Gii:
+ Gi
ả
s
ử
x và y là hai s
ố
d
ươ
ng mà t
ổ
ng c
ủ
a chúng b
ằ

ng 16
+ Vì v
ậ
y: x + y = 16
+ Tích c
ủ
a chúng : P = xy
+ Ta có : y = 16 – x , khi
đ
ó :
P = xy = x(16 - x) = 16x - x
2
, v
ớ
i 0<x<16
+ Tìm các
đ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n :
dP dP
x x
dx dx
= − = ⇔ =
16 2 ; 0 8
.

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải
+ L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên, suy ra GTLN c
ủ
a P: max P=64, t
ạ
i x = 8. V
ậ
y x = y =8.



 Ví dụ 2
: M
ộ
t m
ả
nh v
ườ
n hình ch
ữ
nh
ậ
t 450m
2

đượ
c rào l
ạ
i.
N
ế
u m
ộ
t c
ạ
nh c
ủ
a m
ả
nh v
ườ
n
đượ
c b
ả
o v
ệ
b
ở
i b
ứ
c t
ườ
ng c

ủ
a
m
ộ
t kho thóc, thì kích th
ướ
c chi
ề
u dài c
ủ
a t
ườ
ng rào ng
ắ
n nh
ấ
t
là bao nhiêu?

Gii:
+ G
ọ
i x là chi
ề
u r
ộ
ng c
ủ
a v
ườ

n, y là chi
ề
u dài c
ủ
a m
ả
nh
v
ườ
n, L là chi
ề
u dài t
ổ
ng c
ộ
ng c
ủ
a hàng rào, v
ớ
i x y L
>
, , 0
.
+ Chúng ta c
ầ
n tìm GTNN c
ủ
a :

L = v

ớ
i ràng bu
ộ
c

+ L có th
ể

đượ
c vi
ế
t nh
ư
là hàm c
ủ
a m
ộ
t bi
ế
n x :

+ Vì v
ậ
y m
ả
nh v
ườ
n có hàng rào ng
ắ
n nh
ấ
t là 15 và 30.


 Ví dụ 3:
Tìm kích th
ướ
c c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t có di
ệ
n tích l
ớ
n nh
ấ
t mà nó có th
ể

n
ộ
i
ti
ế
p trong n
ử
a
đườ
ng tròn bán kính là a.
Gii
:
+ Xét n
ử
a trên c
ủ
a
đườ
ng tròn : x
2
+ y
2
= a
2
.

+ Chúng ta ph
ả
i tìm GTLN c
ủ

a: A = v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n :
+
Đư
a A v
ề
hàm m
ộ
t bi
ế
n s
ố
x:

(9)

x
y
450ft
2
Barn

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải
+ Vì v
ậ
y kích th
ướ
c c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t n
ộ
i ti
ế
p l
ớ
n nh
ấ
t là
x a
=
2 2

và
a
y =
2
2
,
hình ch
ữ
nh
ậ
t này có chi
ề
u dài g
ấ
p
đ
ôi chi
ề
u r
ộ
ng và kích th
ướ
c
đ
ó làm cho A
đạ
t
GTLN và GTLN
đ
ó là :

A a
=
2
.



 Ví dụ 4
: M
ộ
t cái dây dài L
đượ
c c
ắ
t thành hai
đ
o
ạ
n. M
ộ
t
đ
o
ạ
n b
ị
n
ố
i thành d
ạ

ng hình
vuông và
đ
o
ạ
n kia thành hình tròn. Cái dây s
ẽ
b
ị
c
ắ
t nh
ư
th
ế
nào sao cho t
ổ
ng di
ệ
n
tích bao g
ồ
m b
ở
i 2
đ
o
ạ
n dây:
a) Là l

ớ
n nh
ấ
t b) Là nh
ỏ
nh
ấ
t
Gii:
+ Gi
ả
s
ử
x là c
ạ
nh c
ủ
a hình vuông và r là bán kính c
ủ
a hình tròn (
x
>
0
) , khi
đ
ó t
ổ
ng di
ệ
n tích c

ủ
a hai hình
đượ
c t
ạ
o thành là:
A =




Hình 4.18














+ V
ậ
y
L

A
π
π
   
 
 
= +
 
 
 
 
   
+
2
min
1
4 4
khi
L
x
π
=
+
4
;
L
A
π
=
2

max

4
khi x = 0.
Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải


 Ví dụ 5
: M
ộ
t ng
ườ
i bán hàng d
ự

đị
nh bán 500kg khoai tây bóc v
ỏ
v
ớ
i giá 1,5
USD/kg (giá g
ố
c là 70 cent /kg). Tuy nhiên n
ế
u c
ứ
h
ạ
giá m

ộ
t cent thì s
ẽ
bán thêm
đượ
c 25 kg. H
ỏ
i ng
ườ
i bán hàng nên bán v
ớ
i giá nào
để

đạ
t l
ợ
i nhu
ậ
n l
ớ
n nh
ấ
t?

Gii:
+ G
ọ
i x là s
ố

cent mà ng
ườ
i bán hàng
đ
ã h
ạ
giá,
+ L
ợ
i nhu
ậ
n c
ủ
a m
ỗ
i m
ộ
t kg khoai tây g
ọ
t v
ỏ
là (80 - x) cent
+ S
ố
l
ượ
ng bán
đượ
c là 500 + 25x.
+ Vì v

ậ
y toàn b
ộ
l
ợ
i nhu
ậ
n s
ẽ
là (b
ằ
ng cent)
P =
+






+ Giá bán thu
ậ
n l
ợ
i nh
ấ
t là 1,2
đ
ô la/kg.



 Ví dụ 6:
M
ộ
t nhà máy s
ả
n xu
ấ
t các h
ộ
p
đự
ng xà phòng hình tr
ụ
nh
ậ
n a
đơ
n
đặ
t
hàng
đố
i v
ớ
i các h
ộ
p có th
ể

tích
đượ
c ch
ỉ
rõ V
0
. V
ớ
i kích th
ướ
c nào thì di
ệ
n tích
toàn ph
ầ
n c
ủ
a m
ộ
t cái h
ộ
p nh
ư
v
ậ
y s
ẽ

đạ
t GTNN và s

ố
l
ượ
ng kim lo
ạ
i c
ầ
n
đế
n cho
nhà máy là bao nhiêu?

Gii:
+ Gi
ả
s
ử
r là bán kính c
ủ
a
đ
áy và h là chi
ề
u cao c
ủ
a h
ộ
p hình tr
ụ

+ Khi
đ
ó th
ể
tích là:
V r h
π
=
2
0
.
(1)
và di
ệ
n tích m
ặ
t toàn ph
ầ
n là:
A r r h
π π
= +
2
2 2 (2)
+
Đư
a A v
ề
hàm 1 bi
ế

n s
ố
r, ta có :
A
=





Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải






+ K
ế
t qu
ả
:
h r
=
2
.
3.2 . ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH


Nhận xét hình học :

Gi
ữ
a hai
đ
i
ể
m b
ấ
t k
ỳ
P
và Q trên
đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
kh
ả
vi, t
ồ
n t
ạ
i ít nh
ấ
t m
ộ
t

đ
i
ể
m mà t
ạ
i
đ
ó có
đườ
ng ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
dây cung n
ố
i hai
đ
i
ể
m P và Q, nói cách khác : T
ồ
n
t
ạ
i ít nh
ấ
t m

ộ
t
đ
i
ể
m c n
ằ
m gi
ữ
a a và b (a < c < b)
tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n:

f b f a
f c
b a
−
=
−
/
( ) ( )
( ) .
a) Đnh lý 1

(Đnh lý Rolle).
N
ế
u hàm s
ố
f(x
) liên tc trên đon
[a,b] và kh
ả
vi
trong kho
ả
ng m
ở
(a,b) và n
ế
u f(a) = f(b) = 0 thì khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i ít nh
ấ
t m
ộ
t s
ố
c n

ằ
m
gi
ữ
a a và b tho
ả
mãn f’(c) = 0.


Ý nghĩa hình hc:

Đị
nh lý này phát bi
ể
u r
ằ
ng n
ế
u m
ộ
t
đườ
ng cong tr
ơ
n c
ắ
t
tr
ụ
c Ox t

ạ
i 2
đ
i
ể
m, thì khi
đ
ó s
ẽ
có ít nh
ấ
t m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng cong này n
ằ
m gi
ữ
a 2
đ
i
ể
m trên mà t

ạ
i
đ
ó ti
ế
p tuy
ế
n có ph
ươ
ng n
ằ
m ngang.


Ví dụ 7.
Hàm s
ố
:
x x
f x
x x

≤ ≤


=


− ≤ ≤



0 1
( )
2 1 2

Hàm s
ố
này có giá tr
ị
b
ằ
ng 0 t
ạ
i x = 0 và x = 2, và
liên t
ụ
c trên kho
ả
ng
đ
óng 0
≤
x
≤
2. Hàm s
ố
kh
ả
vi trong
kho

ả
ng m
ở
0 < x < 2, tr
ừ

đ
i
ể
m x = 1 vì khi
đ
ó
đạ
o hàm
c
ủ
a nó không t
ồ
n t
ạ
i.
Đạ
o hàm f’(x) rõ ràng là không
b
ằ
ng 0 t
ạ
i b
ấ
t k

ỳ

đ
i
ể
m nào trên kho
ả
ng
đ
ó.
Đ
ây là m
ộ
t
th
ấ
t b
ạ
i trong k
ế
t lu
ậ
n c
ủ
a
Đị
nh lý Rolle vì th
ự
c t
ế

là
hàm s
ố
không kh
ả
vi t
ạ
i
đ
i
ể
m x = 1.


Ví dụ 8.
Hàm s
ố
:


Hàm s
ố
b
ằ
ng 0 t
ạ
i x = 0 và x = 1, và kh
ả
vi trong kho
ả

ng 0
< x < 1. Hàm s
ố
liên t
ụ
c trên 0
≤
x < 1, không liên t
ụ
c t
ạ
i x =
1.
Đạ
o hàm f’(x) không b
ằ
ng 0 t
ạ
i b
ấ
t k
ỳ

đ
i
ể
m nào trên

0

y

x

2

1


0

1

x

x x
f
x

≤ <


=


=


0 1
0 1