Tài liệu Một số kiến thức cơ bản về Lượng giác ppt

Một số kiến thức cơ bản về Lượng giác

A. Biến đổi lượng giác
I. Hằng đẳng thức lượng giác
2 2
2
2
2
2
sin cos 1( )
sin
tan ( , )
cos 2
cos
cot ( , )
sin
tan .cot 1( , )
2
1
1 tan ( , )
cos 2
1
1 cot ( , )
sin
R
k k Z
k k Z
k k Z
k k Z
k k Z
  

 
  


  


  

  

  

   
   
  
  
    
   
II. Một số chú ý
1. Tính tuần hoàn của hàm số
lượng giác


 
 
 
sin 2 sin
cos 2 cos
tan tan

cot cot
( , )
k
k
k
k
R k Z
  
  
  
  

 
 
 
 
  

2. Giá trị lượng giác
1 sin ,cos 1( )
R
  
    






III. Bảng giá trị lượng giác đặc

biệt


0
6


4


3


2


sin

0
1
2

2
2
3
2

1
cos


1
3
2

2
2

1
2

0
tan

0
1
3

1
3


cot



3

1
1
3

0
IV. Dấu của các giá trị lượng giác
Góc
phần tư
I II III IV
sin

+ + - -
cos


+ - - +
tan

+ - + -
cot

+ - + -
V. Giá trị lượng giác của các cung
có liên quan đặc biệt
1. Cung đối nhau:

và -




 
 

 
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
 
 
 
 
  
 
  
  

2. Cung bù nhau:

và
 




 
 
 
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
  

  
  
  
 
  
  
  

3. Cung phụ nhau:

và
2




s i n c o s
2
c o s s i n
2
ta n c o t
2
c o t ta n
2

 

 

 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Cung hơn kém

:

và

+





 
 
 
sin sin
c o s co s
tan tan
c o t c o t
  
  
  
  
  
  
 
 

5. Cung hơn kém
2

:

và
2

+


sin c o s
2
c o s sin

2
ta n c o t
2
c o t tan
2

 

 

 

 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 

VI. Một số công thức lượng giác
1. Công thức cộng:


 
 
 
 
 
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
sin sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
tan tan
tan
1 tan tan
tan tan
tan
1 tan tan
     
     
     
     
 
 
 
 
 
 
  

  
  
  

 


 


2. Công thức nhân đôi, nhân ba
2 2
2
2
2
3
3
sin 2 2sin cos
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
2tan
tan2
1 tan
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
  
  






  
  

 
 
 


 
 

3. Công thức hạ bậc
2
2
3
3
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
3sin sin3
sin
4
3cos cos3
cos

4




 

 











4. Công thức biến đổi tích thành
tổng
   
   
   
1
cos cos cos cos
2
1
sin sin cos cos
2

1
sin cos sin sin
2
     
     
     
 
   
 
 
   
 
 
   
 
5. Công thức biến đổi tổng thành
tích
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
tan tan

cos cos
   
 
   
 
   
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 

 

 
6. Công thức hỗn hợp
sin cos 2 cos
4

2sin
4
sin cos 2 sin
4
2 cos
4

  



  


 
  
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 

B. Phương trình lượng giác
I. Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình sinx=a
TXĐ: R
+ |a|>1: Pt vô nghiệm
+ |a|

1 pt có dạng
sinx=sin


2
2
x k
x k
 
  
 



  

(k
Z


)
Đặc biệt
sin 0
sin 1 2
2
sin 1 2
2
x x k
x x k
x x k





  
   
     

2. Phương trình cosx=a
TXĐ: R
+ |a|>1: Pt vô nghiệm
+ |a|

1 pt có dạng
cosx=cos


2

2
x k
x k
 
 
 



  

(k
Z

)
Đặc biệt
cos 0
2
cos 1 2
cos 1 2
x x k
x x k
x x k



 
   
  
    

3. Phương trình tanx=a
TXĐ: R\{ ,
2
k k Z


 
}
Pt có nghiệm với mọi a
tanx=tan


x k
 
  
(k
Z

)
4. Phương trình cotx=a
TXĐ: R\{ ,
k k Z


}
Pt có nghiệm với mọi a
cotx=cot


x k
 
  
(k
Z

)
II. Phương trình lượng giác
thường gặp
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai,
bậc cao đối với một hàm số lượng
giác
Đặt t= hàm số lượng giác
(nếu là sinf(x), cosf(x) thì -1

t

1)
đưa về phương trình đại số rồi quy
về phương trình lượng giác cơ bản.
2. Phương trình bậc nhất đối với
sinx và cosx
*Dạng
asinx+bcosx=c
(a
2
+b
2


0, a,b,c
R

)
*Điều kiện có nghiệm
2 2 2
a b c
 

*Cách giải: Chia cả hai vế cho
2 2
a b

. Đưa vế trái về dạng
sin


 

; cos


 


C. Hệ thức lượng trong tam giác
1. Định lí hàm số cos
2 2 2
2 2 2
2 2 2

2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
  
  
  

2. Định lí hàm số sin
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
  










3. Công thức diện tích tam
giác
1 1 1

sin sin sin
2 2 2
1 1 1
2 2 2
4
( )( )( )
a b c
S ab C bc A ac B
S ah bh ch
abc
S
R
S p p a p b p c
  
  

   

4. Công thức đường trung tuyến
2 2 2
2
2 4
a
b c a
m

 
Tương tự cho cho đường trung
tuyến còn lại

Một số kiến thức cơ bản về Giải tích.

A. Đạo hàm và các bài toán liên quan
I. Bảng đạo hàm


 
 
1
2
' 0
'
1 1
'
1
'
2
n n
C
x nx
x x
x
x



 
 
 
 





 
 
1
2
' 0
' . '
1 1
' . '
1
' . '
2
n n
C
u nu u
u
u u
u u
u



 
 
 
 




 
2
2
sin ' cos
cos ' sin
1
(tan )'
cos
1
(cot )'
sin
x x
x x
x
x
x
x

 

 



 
2
2

sin ' 'cos
cos ' 'sin
'
(tan )'
cos
'
(cot )'
sin
u u u
u u u
u
u
u
u
u
u

 

 



 
 
 
'
' ln
1
ln '

1
log '
ln
x x
x x
a
e e
a a a
x
x
x
x a







 
 
 
' '
' 'ln
'
ln '
'
log '
ln
u u

u u
a
e u e
a a u a
u
u
u
u
u
u a





II. Quy tắc tính đạo hàm
Cho u=u(x); v=v(x) ta có
(u

v)’=u’

v’; (ku)’=ku’; (uv)’=u’v+uv’
2
' '
'
u u v uv
v v

 


 
 

III. Vi phân: ta có công thức vi phân
dy=y’dx
IV. Một số kiến thức liên quan đến khảo sát hàm
số
1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K:
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thỡ hàm
số đồng biến
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thỡ hàm
số nghịch biến
2. Cực trị của hàm số
Dựa vào 2 qui tắc để tỡm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
B1: Tỡm tập xỏc định.
B2: Tớnh f’(x). Tỡm
cỏc điểm tại đó f’(x) =
0 hoặc f’(x) không xác
định.
B3. Lập bảng biến
thiờn.
B4: Từ bảng biến thiờn
suy ra cỏc cực trị
Qui tắc II.
B1: Tỡm tập xỏc định.
B2: Tính f’(x). Giải
phương trỡnh f’(x) = 0
và kớ hiệu là x

i
là cỏc
nghiệm của nú.
B3: Tớnh f ”(x
i
)
B4: Dựa vào dấu của f ”
(x
i
) suy ra cực trị
( f ”(x
i
) > 0 thỡ hàm số
cú cực tiểu tại x
i
; ( f
”(x
i
) < 0 thỡ hàm số cú
cực đại tại x
i
)

3. Tiệm cận của đồ thị hàm số
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
 y = y
0
là tiệm cận ngang của nếu một trong
hai điệu kiên sau được thoả món:
0 0

lim ( ) ,hoÆc lim ( )
x x
f x y f x y
 
 

 x = x
0
là tiệm cận đứng của (C) nếu một
trong các điều kiện sau đựơc thoả món:
0 0 0 0
lim , lim , lim , lim
x x x x x x x x
   
   
       

4. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số
 Để tỡm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x)
trờn


;
a b
:
+B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
+ B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến
thiên

Trong đó tại x
0
thỡ f’(x
0
) bằng 0 hoặc không xác
định
 Để tỡm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x)
trờn [a; b]:
B1: Tỡm caực giaự trũ x
i



;
a b
 (i = 1, 2, ,
n) laứm cho ủaùo haứm baống 0 hoaởc
khoõng xaực ủũnh .
B2: Tớnh
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n

f a f x f x f x f b

B3: GTLN =
max{
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
GTNN =
Min{
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}

GTLN
-
+
y
y'
b
x
0a
x
GTNN
+
-
y

y'
b
x
0a
x




B. Nguyên hàm
I. Bảng nguyên hàm
1
2
1
2
1
dx x C
x
x dx C
dx
x C
x
dx
C
x x




 

 

 
  





1
2
1
2
1
du u C
u
u dx C
du
u C
u
du
C
u u




 
 


 
  





2
2
sin cos
cos sin
tan
cos
cot
sin
xdx x C
xdx x C
dx
x C
x
dx
x C
x
  
 
 
  






2
2
sin cos
cos sin
tan
cos
cot
sin
udu u C
udx u C
du
u C
u
du
u C
u
  
 
 
  





ln
ln
x x

x
x
e dx e C
a
a dx C
a
dx
x C
x
 
 
 




ln
ln
u u
u
u
e du e C
a
a du C
a
du
u C
u
 
 

 




II. Nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến
1. Phương pháp đổi biến dạng 1:
Ta cần tính
( )
b
a
f x dx

=I
Đặt x=
( )
t







'
dx d t t dt
 
  
Giải phương trình
( )

( )
t a t
t b t
 
 
  
  


I=
( ( )) '( )
f t t dt


 



2. Phương pháp đổi biến dạng 2:
Ta cần tính
( )
b
a
f x dx

=
 
( ( )) '
b
a

g x x dx
 

=I
Đặt t=
( )
x

'( )
dt x dx

 

1
2
( )
( )
x a t a
x b t b


  
  

I=
( )
( )
( )
b
a

g t dt




3. Phương pháp tích phân từng phần
B1. Chọn u, dv tính du, v
B2. Lắp công thức
b b
b
a
a a
udv uv vdu
udv uv vdu
 
 
 
 


III. ứng dụng nguyên hàm tích phân vào diện tích, thể tích
1. Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), trục Ox và
hai đường thẳng x = a, x = b (a < b ) là
( )
b
a
S f x dx



2. Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) và
hai đường thẳng x = a, x = b (a < b ) là
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
 



3. Thể tớch khối trũn xoay do hỡnh thang cong giới hạn bởi cỏc dường y = f(x), y =
0, x = a, x = b (a < b) quay quanh trục Ox tạo thành là
 
2
( )
b
a
V f x dx




4. Thể tớch khối trũn xoay do hỡnh thang cong giới hạn bởi các dường x = g(y), x =
0, y = c, y = d (c < d) quay quanh trục Oy tạo thành là
 
2
( )
d
c
V g y dy












C. Số phức
1. Số phức: Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và
i thỏa mãn i
2
= -1 được gọi là một số phức.
a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo
i được gọi là đơn vị ảo.
Tập các số phức được kí hiệu là 
Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R

.
Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo.
0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo.
2. Hai số phức bằng nhau

z a+bi (a,b )
z' a'+b' i (a',b' )
'
z z'

'
a a
b b



 
 

 




3. Cộng, trừ hai số phức

z a+bi (a,b )
z' a'+b' i (a',b' )
z + z' (a + a' ) + (b + b') i
z z' (a - a') + (b - b' )i
 
 

 



Số đối của số phức z = a + bi là số phức - z = - a - bi; z + (-z) = 0.
4. Nhân hai số phức
z a+bi (a,b )

z' a'+b' i (a',b' )
zz' ' ' ( ' ' )
aa bb ab a b i
 
 
   


5. Môđun của số phức, số phức liên hợp
z = a +bi (a, b


) thì môđun của z là
2 2
z = a +b

z = a +bi (a, b


) thì số phức liên hợp của z là
z
= a - bi.
Ta có:

2
2 2
zz' = z z' , zz a b z
z + z' = z + z', zz'=z z', z = z
  

z là số thực khi và chỉ khi z =
z

6. Chia cho số phức khác 0
Nếu z = a + bi (a, b


) khác không thì số phức nghịch đảo của z là
1
-1
z = z
2
z
.
Thương của z' cho z khác không là:

z' z'z
-1
z'z
z
zz
 
. Ta có:
'
' ' '
,
z
z z z
z z z z
 

 
 
 
.
7. Biểu diễn hình học của số phức
Số phức z = a + bi (a, b


) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng
toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức.
Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi
là trục ảo
Số phức z = a + bi (a, b


) cũng được biểu diễn bởi vectơ
( ; )
u a b


, do
đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b


) cũng có nghĩa
là
OM

biểu diễn số phức đó.
8. Định nghĩa căn bậc hai của số phức

Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z
2
=
w được gọi là một căn bậc hai của
số phức w.
a) Nếu w là số thực
+ w < 0 thì có hai căn bậc hai:
&
wi wi
  

+ w

0 thì có hai căn bậc hai: &
w w
 .
b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bước:
+ Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy là một căn bậc hai của w tức là:
2
z w

khi
đó ta có hệ:
2 2
(1)
2 (2)
x y a
xy b

 





Bình phương 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta được
2 2 2 2
x y a b
  

Do vậy ta được hệ:
2 2
2 2 2 2
(1)
(2')
x y a
x y a b

 


  



Giải hệ tìm được
2
x
và
2
y

suy ra x và y để tìm z.
Chú ý: Theo (2) ta có nếu b > 0 thì x, y cùng dấu. Nếu b < 0 thì x, y trái dấu.

9. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức
Cho PT:
2
0; (1) ( , , , 0)
ax bx c a b c a
    
 và có
2
4
b ac
  
+ Nếu
0
 
pt có hai nghiệm là
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
 
   
 
Trong đó

là một căn bậc hai của


.
+ Nếu

= 0 thì pt có nghiệm kép:
1 2
2
b
x x
a
   .

Một số kiến thức cơ bản về Hình Học
A. KHÔNG GIAN
1. Muốn chứng minh hai đường thẳng trong không gian song song với nhau
C1. Quy hai đường thẳng đồng phẳng và dùng các tính chất của hình phẳng
như: không có điểm chung, định lí Ta let, góc so le trong….
C2. Dùng tính chất bắc cầu
C3. Dùng tính chất 3 giao tuyến phân biệt của 3 mặt phẳng phân biệt lần lượt
cắt nhau
2. Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: chứng minh
đường thẳng đó song song với một đường thẳng trong mặt phẳng
3. Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song: chứng minh hai cặp đường
thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng lần lượt song song với nhau
4. Muốn chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh
đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng
5. Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc : chứng minh đường thẳng
nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia
6. Thể tích các khối

1
; ;
3
ˆ
. . ( ; )
`
KC KLT
KHCN day
V Bh V Bh
V a b c B S h Chie u cao

 
  

7. Diện tích thể tích các khối tròn xoay
S
cầu
=
2
4 R

V
cầu
=
3
3
4
R


V
trụ
= S
đáy
.h V
nún
=
3
1
S
đáy
.h S
xq nún
=
2
1
CV
đáy
.l
B. PHƯƠNG PHáP TọA Độ TRONG KHÔNG GIAN
I. Các kiến thức mở đầu
1. Tọa độ của vectơ trong khụng gian:
Vectơ
)z ; y ; x(u kz jy ixu 

2. Các phép toán của vectơ:
Cho hai vectơ
1 1 1
a (x ;y ;z )



,
2 2 2
b (x ;y ;z )


, k  R khi đó :
1.
1 2 1 2 1 2
a b (x x ; y y ;z z )
    
 

2.
1 1 1
k.a (kx ;ky ;kz )



3.
1 2 1 2 1 2
a b x x ;y y ;z z
    
 

4.
1 2 1 2 1 2
a.b x .x y .y z .z
  
 

,
1 2 1 2 1 2
a b x .x y .y z .z 0
    
 

5.
2 2 2
1 1 1
a x y z
  


6.
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
x .x y .y z .z
cos(a;b)
x y z . x y z
 

   
 
với
0; 0
a b
 
  

3. Tọa độ của một điểm :
* Tọa độ của vectơ
OM

là tọa độ của điểm M. Như vậy ta có :
OM (x;y;z) M (x ; y ; z)
  


* Cho tứ diện ABCD với : A(x
A
; y
A
; z
A
), B(x
B
; y
B
; z
B
), C(x
C
; y
C
; z
C
) ta cú
:
1.

B A B A B A
AB (x x ;y y ;z z )
   


2.
2 2 2
B A B A B A
AB AB (x x ) (y y ) (z z )
      


3.
M M
M(x ;y )
là trung điểm của AB thỡ
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x ;y ;z
2 2 2
  
  
4.
G G G
G(x ;y ;z )
là trọng tõm của  ABC
thỡ
A B C A B C A B C
G G G

x x x y y y z z z
x ;y ;z
3 3 3
     
  

5.
G G G
G(x ;y ;z )
là trọng tõm tứ diện ABCD
thỡ
; ;
4 4 4
A B C D A B C D A B C D
G G G
x x x x y y y y z z z z
x y z
        
  

4. Tích có hướng của hai vectơ:
Cho vectơ
1 1 1
a (x ; y ; z )


,
2 2 2
b (x ; y ; z )



khi đó tích có hướng của hai
vectơ
a

,
b

là một vectơ được kí hiệu là [
a

,
b

] và có toạ độ :
1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
y z z x x y
[a,b] ; ; (y z y z ;z x z x ;x y x y )
y z z x x y
 
 
    
 
 

Chỳ ý:1. Hai vectơ
a

và
b

cùng phương khi và chỉ khi
 


[a,b] 0

2. Ba vectơ
a

,
b

và
c

đồng phẳng khi và chỉ khi
[a,b].c 0
 



3.
 



a [a,b]
và
 


b [a,b]
(Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ
vuông góc với hai vectơ đó)
4.
   
 
[a,b] a . b .sin
với

là góc giữa hai vectơ
a vaø b
 

5. Diện tớch tam giỏc, thể tớch của hỡnh hộp, khối tứ diện:
1. Diện tớch tam giỏc ABC :
ABC
1
S AB,AC
2

 

 
 

2. Thể tớch của hỡnh hộp ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
:
/ / / /
/
ABCD.A B C D
V AB,AD .AA
 

 

 

3. Thể tớch của khối tứ diện ABCD :
ABCD
1
V AB,AC .AD
6
 

 
  

6. Phương trỡnh mặt cầu:
a. Phương trỡnh mặt cầu tõm I(a ; b ; c) bỏn kớnh R cú dạng
(S): (x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= R
2
.
b.Phương trỡnh (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a
2
+ b
2
+ c
2
– d
> 0) là phương
trỡnh mặt cầu tõm I(a ; b ; c), bỏn kớnh :
2 2 2
R a b c d
   
.

II.PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG
1. Ph trỡnh mặt phẳng (

) có vectơ pháp tuyến
n (A ; B ; C)


và đi qua
điểm M(x
0
, y
0
, z
0
)
cú dạng () :
0 0 0
A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
     

2. Phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng: ():Ax +By+Cz+D= 0(A
2
+B
2
+C
2

>0) với
C)
; B ; (An 


là vtpt
3.Các trường hợp đặc biệt:
Trong khụng gian (Oxyz) cho (

):Ax + By + Cz + D = 0
1) mp

đi qua gốc toạ độ O

D = 0
2) mp

song song hoặc chứa Ox

A = 0
3) mp

song song hoặc trựng với (Oxy)

A = B = 0.
4) Phương trỡnh của mặt phẳng theo đoạn chắn:
Mặt phẳng () cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm có toạ độ tại
các điểm (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0),(0 ; 0 ; c) có phương trỡnh dạng :
1
c
z
b
y
a

x


(a.b.c≠ 0)
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng: () : A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0, () : A
2
x + B
2
y + C
2
z
+ D
2
= 0
 () cắt ()  A
1
: B
1
: C
1
 A

2
: B
2
: C
2

 () // () 
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A

 ()  () 
2
1
2
1
2

1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A

*
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0
AA BB CC
 
    

5. Khoảng cách từ một điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng () : Ax + By + Cz
+ D = 0 là:

 
222

000
0
CBA
DCzByAx
Md


)(;

6. Gúc giữa hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng: () : A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
() : A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
Gọi  là gúc giữa hai mặt phẳng () và () thỡ ta cú:
cos =

( ) ( )
( ) ( )
| . |
| |.| |
n n
n n
 
 
 
 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
CBACBA
CCBBAA



.

III. PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Phương trỡnh tham số – Phương trỡnh chớnh tắc:
Đường thẳng  đi qua M
0
(x
0
; y
0
; z
0
), cú VTCP c) ; b; (au 

thỡ :
a) Phương trỡnh tham số  :








ctzz
btyy
atxx
0
0
0

b) Phương trỡnh chớnh tắc  :
c
zz
b
yy
a
xx
000





(a.b.c
≠ 0)


2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Đường thẳng 
1
đi qua M
1
(x
1
; y
1
; z
1
), vectơ chỉ phương
)c ; b; (

111
1
au 


Đường thẳng 
2
đi qua M
1
(x
2
; y
2
; z
2
), vectơ chỉ phương
)c ; b; (
222
2
au 

. Khi đó,
a) 
1
cắt 
2

1 2 1 2
1 1 1 2 2 2
, 0

: : : :
u u M M
a b c a b c

 


 




  

b) 
1
// 
2
 a
1
: b
1
: c
1
= a
2
: b
2
: c
2

 (x
2
– x
1
) : (y
2
– y
1
) : (z
2
– z
1
)
c) 
1
 
2
 a
1
: b
1
: c
1
= a
2
: b
2
: c
2
= (x

2
– x
1
) : (y
2
– y
1
) : (z
2
– z
1
)
d) 
1
chộo 
2

1 2 1 2
u ,u M M 0
 
 

 
 


3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng  đi qua M(x
0
; y

0
; z
0
) có vectơ chỉ phương c) ; b; (au 


Mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0 cú C) ; B ; (An 

. Khi đó :
a)

cắt ()  u và
n
khụng vuụng gúc  Aa + Bb + Cc  0
b)  // () 
u
và
n
vuông góc và không có điểm chung 





0DCzByAx
0CcBbAa
000

c)   () 
u


n
và có điểm chung 





0DCzByAx
0CcBbAa
000

4.Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng

đi qua M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) có vectơ
chỉ phương c) ; b; (au 

là:
0
,
( ; )
| |

M M u
d M
u


 
 
 










5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chộo nhau :
Cho hai đường thẳng 
1
và 
2
chộo nhau với 
1
đi qua M
1
(x
1
; y

1
; z
1
), vectơ
chỉ phương )c ; b; (
111
1
au 

và 
2
đi qua M
2
(x
2
; y
2
; z
2
), vectơ chỉ phương
)c ; b; (
222
2
au 


Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
1
và 
2

là
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 

1 2 1 2
1 2
1 2
u ,u . M M
d ;
u ,u

6. Góc giữa hai đường thẳng:
Đường thẳng 
1
có vectơ chỉ phương )c ; b; (
111
1
au 


Đường thẳng 
2

có vectơ chỉ phương
2
2 2 2
u (a ; b ; c )

 .
Gọi

là góc giữa hai đường thẳng 
1
và 
2
ta cú
1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 2
u .u
aa b b c c
cos
a b c . a b c
u . u
 
 
 
  
   

7. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng  có vectơ chỉ phương 

u (a ; b ; c) và mặt phẳng () cú
VTPT ) ; ; ( CBAn 

. Gọi

là góc giữa đường thẳng  và (

). Ta cú :
2 2 2 2 2 2
Aa Bb Cc
| n.u|
sin
A B C . a b c
| n |.| u|
 
 
 
  
   