SKKN Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề tổ hợp – xác suất ở t...

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ
TRƯỜNG THPT ĐƠNG SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC
SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
TỔ HỢP – XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG THPT

Người thực hiện: Lê Mai
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn học

THANH HỐ, NĂM 2019

SangKienKinhNghiem.net


MỤC LỤC
I. PHẦN MỞ ĐẦU................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu .....................................................................................1
4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................2
II. NỘI DUNG.......................................................................................................3
1. Cơ sở lý luận...................................................................................................3
2. Thực trạng . ....................................................................................................3
3. Một số giải pháp nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua
dạy học chủ đề tổ hợp - xác suất………………………………………………...3
3.1. Rèn luyện cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản ………………………...........3
3.2. Rèn cho học sinh biết " Quy lạ về quen ", biết thực hiện tương tự hóa, khái

quát hóa, bổ sung và hệ thống hóa các bài tập......................................................5
3.3. Rèn luyện năng lực định hướng đường lối, biết phân chia ra thành các
trường hợp nhỏ để giải toán……………………………………………………...9
3.4. Rèn kỹ năng phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán…………….. 11
3.4.1. Nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân.................................11
3.4.2. Áp dụng nhầm giữa chỉnh hợp và tổ hợp........................................11
3.4.3. Sai lầm khi phân chia bài toán thành các trường hợp nhỏ .............12
3.5. Rèn cho học sinh năng lực thực tiễn và năng lực thực hiện mối liên hệ với
các mơn khác…………………………………………………………………...14
3.6. Ln khuyến khích học sinh giải toán bằng nhiều cách khác nhau – sáng tạo
trong giải toán…………………………………………………………………..17
III. KẾT LUẬN CHƯƠNG.....................................................................................
1. Kết luận nghiên cứu ........................................................................................19
2. Kết luận chung..................................................................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................20
DANH MỤC ......................................................................................................21
PHỤ LỤC............................................................................................................22

SangKienKinhNghiem.net


I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong bối cảnh cuộc Cách mạng công nghiệp 4.0 lan rộng khắp thế giới
đã tác động không chỉ đến sự biến đổi kinh tế mà cịn biến đổi cả văn hóa, xã hội
một cách sâu sắc và toàn diện, tạo sự thay đổi lớn, đòi hỏi Giáo dục phải thay
đổi cho phù hợp với sự phát triển đó.
Đảng và Nhà nước ta luôn dự liệu trước những thách thức trong hoạt
động giáo dục cho tương lai, các Nghị quyết của Đảng, Quốc hội, Chính phủ,
các chỉ đạo của Thủ tướng Chính phủ, các chỉ thị của Ngành về Giáo dục qua

thời đã chỉ rõ quan điểm giáo dục:“ Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu
trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học.
Học đi đôi với hành” với mục tiêu:“ Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và
đào tạo, đáp ứng yêu cầu cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa”( Nghị quyết số 29 của
Hội nghị Trung ương 8, khóa XI).
Năng lực giải tốn được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, độc lập,
sáng tạo của học sinh, tận lực huy động tri thức và kinh nghiệm tiến trình giải
tốn để đi đến lời giải, tìm được hướng giải quyết bài toán đã cho và xây dựng
hướng giải các bài toán mới có từ bài tốn ban đầu.
Rèn lực năng lực giải tốn cho học sinh nói chung có ý nghĩa vơ cùng
quan trọng vì việc làm đó có tác dụng bước đầu rèn cho học sinh khả năng giải
quyết tốt các “ Bài toán”( Bao gồm cả bài toán cuộc sống ).
Các bài toán chủ đề Tổ hợp – Xác suất ln có mặt trong các kì thi cấp
quốc gia và đặc biệt việc áp dụng các bài toán chủ đề này vào thực tế rất nhiều
như: Thiết kế biển số xe, số điện thoại, mã số ổ khóa, mã vạch, sêri sản phẩm,
xác định được mức độ an toàn của sản phẩm, …Trong vui chơi giải trí, thơng kê
thì áp dụng để thiết kế các trò chơi như máy đánh bạc, máy đếm sổ số, tỉ
số,...Ngoài ra kiến thức của toán Tổ hợp – Xác suất rất cần thiết cho nhiều ngành
khoa học từ Kinh tế tới Sinh vật, Hóa học, Vật lý và Quản trị kinh doanh.
Song chủ đề này thường làm học sinh lúng túng, khó khăn, hay nhầm lẫm
giữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa, giữa khái niệm này với khái niệm
khác, công thức trìu tượng khó nhớ, gây ra tâm lý e ngại, tạo bức rào cản ngay
trong tư duy của các em.
Xuất phát từ những lý do trên, với mong muốn giúp học sinh có định
hướng, có năng lực tiếp cận thực tiễn và được tơi luyện qua các dạng tốn, tơi
chọn đề tài: “ Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 11 thông qua dạy
học chủ đề Tổ hợp – Xác suất ”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Phát triển năng lực giải toán tổ hợp xác suất cho học sinh THPT
- Xây dựng hệ thống bài tập theo từng dạng tốn trong chương trình phổ thơng.

3. Đối tượng nghiên cứu
HS lớp 11A1 và lớp 11A6 năm học 2018 -2019
1
SangKienKinhNghiem.net


4. Phương pháp nghiên cứu:
* Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các loại tài liệu về lí luận và phương
pháp giảng dạy mơn Tốn, các tài liệu về Tâm lí, Giáo dục học,...có liên quan
đến đề tài như năng lực, năng lực toán học,...
* Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn sư phạm, qua tài liệu, quan sát
thực trạng dạy học của giáo viên và học sinh.
* Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính
khả thi và hiệu quả của đề tài.

2
SangKienKinhNghiem.net


II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận:
- Dựa trên các kiến thức về khái niệm, định nghĩa, định lí và các
công thức được chứng minh hoặc được thừa nhận trong chương trình tốn trung
học phổ thơng.
- Dựa trên đặc điểm phát triển năng lực nói chung và năng lực tốn
nói riêng.
2. Thực trạng:
* Nguyên nhân khách quan:
Khóa học 2017 -2020, tôi được giao giảng dạy 2 lớp đại trà, chất lượng
đầu vào thấp, việc lĩnh hội kiến thức cơ bản đối với các em còn vất vả, các em

cộng trừ thậm chí cịn chưa thạo. Bên cạnh đó, gia đình chủ yếu là thuần nơng,
điều kiện cịn khó khăn, nhiều gia đình phải đi làm ăn xa, việc quan tâm đến học
tập của con em còn hạn chế nên ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt,
chưa xác định được động cơ học tập.
* Nguyên nhân chủ quan:
- Nội dung Tổ hợp – Xác suất nhiều khái niệm mới, cơng thức mới, có
tính trìu tượng cao, khó nhớ, khó phân biệt và đặc biệt là cách suy luận khơng
hồn tồn giống suy luận tốn học.
- Đây là nội dung mà học sinh cảm thấy khó, mới mẻ và rất hay mắc sai
lầm từ việc nắm ngữ nghĩa cú pháp đến việc áp dụng các công thức, quy tắc khi
giải bài tập
- Học sinh khó khăn trong việc nhận thức các suy luận hợp lý trong sự
phân biệt với các suy luận diễn dịch khi học xác suất( Học sinh phải tiếp thu
ngay sự hợp lý khi học xác suất)
- Khó khăn do ở học sinh cơ sở trực giác cho việc học các yếu tố của Lí
thuyết xác suất là chưa có
3. Một số giải pháp nhằm rèn luyện năng lực giải tốn cho học sinh thơng
qua dạy học chủ đề tổ hợp - xác suất
3.1. Rèn luyện cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản
* Đối với bài “ Hai quy tắc đếm ” cần yêu cầu học sinh phải phân biệt
được sự giống nhau và khác nhau của hai quy tắc này ? Khi nào áp dụng quy tắc
cộng, khi nào áp dụng quy tắc nhân ?
Để hồn thành cơng việc có nhiều phương án thực hiện, các phương án
này độc lập nhau, ta có thể thực hiện phương án này này, khơng thực hiện
phương án kia mà cơng việc vẫn hồn thành thì dùng quy tắc cộng. Công việc
được thực hiện bởi nhiều cơng đoạn, nếu bỏ qua một cơng đoạn nào đó thì cơng
việc khơng hồn thành thì ta dùng quy tắc nhân.
3
SangKienKinhNghiem.net

Sau đó, nên phân tích cho học sinh trong một vài ví dụ thực tế, cụ thể
áp dụng quy tắc đếm và một số bài tập trắc nghiệm nhanh nhằm giúp học sinh
nắm vững kiến thức.
Ví dụ 1: Trường THPT Đơng Sơn 2, khối 11 có 90 học sinh nam và 130 học
sinh nữ.
a) Nhà trường cần chọn một học sinh khối 11 đi dự đại hội Đoàn do
huyện Đoàn Đơng Sơn tổ chức. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
b) Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một học sinh nam và
một nữ đi thi giọng hát hay tồn huyện. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
Ở câu a nhiệm vụ công việc là gì? (Chọn một học sinh nam hoặc nữ) .
áp dụng quy tắc nào?
Ở câu b nhiệm vụ công việc là gì? (Chọn ra hai học sinh, một nam và một
nữ). Như vậy cơng việc muốn hồn thành ta cần thực hiện bao nhiêu bước liên
tiếp? Áp dụng quy tắc nào?
* Khi dạy khái niệm về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên có thể dạy
bằng con đường diễn dịch hoặc quy nạp nhưng cốt lõi là học sinh phải lấy được
ví dụ cho từng dạng khái niệm.
* Phân biệt được hoán vị của n phần tử với số hoán vị của n phần tử,
chỉnh hợp chập k của n phân tử với số chỉnh hợp k của n phân tử, tổ hợp với số
tổ hợp chập k của n phần tử . Nắm được các cơng thức tính số hốn vị của n
phần tử Pn  n! , cơng thức tính số các chỉnh hợp k của n phân tử
n!
với 1  k  n , cơng thức tính các tổ hợp chập k của n phần tử
Ank 
n  k !
n!
với 0  k  n , cách sử dụng máy tính để tính.
Cnk 
k !n  k !

Vậy dựa trên những yếu tố đặc trưng nào bài toán sử dụng hoán vị,
chỉnh hợp hay tổ hợp?
+) Để sử dụng hoán vị của n phần tử dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau:
- Tất cả các phần tử đều có mặt
- Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần
- Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử
+) Để sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau:
- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước
- Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn
+) Để sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau:
- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước
- Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
Sau đó giáo viên có thể đưa một vài ví dụ ở mức độ nhận biết – thơng hiểu, học
sinh có thể dựa vào dấu hiệu đặc trưng đưa ra cách làm.
Ví dụ 2: Cho tập hợp A  {3,4,5,6,7}
a) Từ A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt ?
b) Từ A có thể lập được bao nhiêu số gồm 2 chữ số khác nhau ?
Đối với học sinh yếu giáo viên có thể định hướng theo sự gợi ý :
4
SangKienKinhNghiem.net


?Ở tập hợp A có bao nhiêu số tất cả? Mỗi số xuất hiện bao nhiêu lần. Có phân
biệt thứ tự giữa các số không?
Ở câu a học sinh phải xác định được mỗi số tự nhiên có 5 chữ số phân
biệt là một hoán vị của 5 số ở tập hợp A nên số các số cần tìm bằng số hoán vị
của 5, ở câu b chỉ cần lấy ra 2 trong 5 số ở tập hợp A và xếp thứ tự ta được số tự
nhiên có 2 chữ số khác nhau như vậy số các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau
bằng số hốn vị chập 2 của 5
Ví dụ 3: Lớp 11A6 có 45 học sinh cần chọn ra ban cán sự lớp gồm 5 người. Hỏi

có tất cả bao nhiêu cách chọn?
3.2. Rèn cho học sinh biết “ Quy lạ về quen ”, biết thực hiện tương tự hóa,
khái quát hóa, bổ sung và hệ thống hóa các bài tập.
Khơng chỉ giúp học sinh đưa những bài toán mới về những bài toán quen
thuộc, làm những bài tập tương tự mà còn phải giúp học sinh hệ thống hóa các
bài tập, đưa về các bài toán gốc.
* Bài toán về hoán vị thẳng, hoán vị vịng và hốn vị lặp
Ví dụ 1:
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn học sinh A, B, C, D ngồi vào một bàn
học gồm bốn chỗ?
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn học sinh A, B, C, D ngồi vào một bàn
trịn gồm bốn chỗ?
Để mơ tả cách xếp chỗ ngồi ta có thể dùng hình ảnh trực quan như sau:
Ở câu a, ta có thể liệt kê các cách có thể xảy ra:
A
B
C
D
A
C
B
D
,…Như vậy, mỗi cách xếp là một hốn vị, số cách xếp chính bằng số hốn vị
của 4 phần tử. Vậy có P4  4!  24 cách xếp.
Ở câu b, xếp bốn học sinh vào một bàn trịn có gì khác so với xếp vào bàn
thẳng? Cho học sinh quan sát cách xếp bốn học sinh vào bàn như hình dưới đây:

A

D

C

B

A

D

B
C

C

A

D

B

B

A

A

C
D

Các cách xếp trên có khác khơng?( Bốn cách xếp trên được coi là một cách sắp

xếp). Như vậy, nếu chuyển đổi liên tiếp cả 4 phần tử thì kết quả nhận được là
như nhau, số hốn vị vịng của 4 phần tử giảm 4 lần so với hoán vị thẳng. Vậy

5
SangKienKinhNghiem.net


số sắp xếp 4 học sinh vào một bàn tròn bằng số hốn vị vịng của 4 phần tử :
P4
 3!  6
4
Từ bài toán cụ thể sắp xếp 4 học sinh vào 4 vị trí, cần tổng qt hóa
thành bài tốn thành tìm số hốn vị thẳng và số hốn vị vịng của n phần tử( Cần
biết lược bỏ các yếu tố thực tế còn lại các yếu tố toán học)
- Số hoán vị thẳng của n phần tử là Pn  n!
- Số hốn vị vịng của n phần tử là Pn  n  1! ( Vì nếu chuyển đổi liên
tiếp cả n phần tử thì kết quả nhận được là như nhau, số hốn vị vịng của n phần
tử giảm n lần so với hoán vị thẳng )
Khi đã nắm vững bản chất của bài toán này thì ta có thể “đẻ ra” hệ thống
các bài tập tương tự, đồng thời khi gặp các bài dạng này ta có thể bóc tách các
nội dung cịn lại bản chất tốn học.
Ví dụ 2:
a) Khi mời n người khách ngồi vào xung quanh một bàn trịn. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi? Có bao nhiêu cách xếp 10 người vào một bàn
trịn?
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp n người khách vào một bàn hình chữ U? Có
bao nhiêu cách xếp 10 người vào một bàn hình chữ U?
Học sinh cần xác định : - Bài tốn sử dụng hốn vị gì? (Hốn vị thẳng hay hốn
vị vịng)
- Có bao nhiêu phần tử? Kết quả?

Bài tốn hốn vị thẳng thỏa mãn tính chất cho trước:
Ví dụ 1: Có n quả cầu trắng và n quả cầu đen, đánh theo các số 1, 2, 3,…,n. Có
bao nhiêu cách sắp xếp các quả cầu này thành một dãy sao cho hai quả cầu cùng
màu không nằm cạnh nhau
- Các quả cầu được đánh số nên các quả cầu phân biệt với nhau bởi màu
sắc và số được đánh trên quả cầu.
- Nếu các quả cầu đánh số được xếp thành một dãy mà khơng thỏa mãn
điều kiện gì thì mỗi kết quả xếp là một hốn vị (thẳng) của 2n phần tử nhưng bài
toán yêu cầu hai quả cầu cùng màu không được đứng cạnh nhau nên sẽ phải sắp
xếp thế nào? Có thể định hướng cho học sinh dưới dạng trực quan từ đó các em
tự phân chia các khả năng có thể như:
Khả năng 1:
Đen
Trắng
Đen
….
Trắng
Khả năng 2:
Trắng
Đen
Trắng
Đen
Như vậy, có 2 khả năng:
* Các quả cầu đen chiếm ở vị trí lẻ, cịn các quả cầu trắng chiếm các vị trí chẵn.
* Các quả cầu trắng chiếm ở vị trí lẻ, cịn các quả cầu đen chiếm các vị trí chẵn.

6
SangKienKinhNghiem.net

Trong mỗi trường hợp: có n! cách xếp quả cầu trắng ( hoặc đen) nghĩa là
2
có n! cách sắp xếp. Do đó, số cách sắp xếp các quả cầu sao cho hai quả cầu
cùng màu không nằm cạnh nhau là 2 n! .
Đề xuất bài tốn tương tự: Một nhóm học sinh gồm n nam và n nữ đứng
thành hàng ngang. Có bao nhiêu tình huống mà nam, nữ đứng xen kẽ nhau? Có
thể cho bài tốn với các số liệu n cụ thể.
Ví dụ 2: Tìm số hốn vị của n phần tử trong đó có hai phần tử a và b
không đứng cạnh nhau.
+) Học sinh cần nhận thấy số các hoán vị của n phần tử chứa a, b gồm
những hoán vị mà a, b đứng cạnh nhau và những hốn vị mà a, b khơng đứng
cạnh nhau.
+) Xem 2 phần tử a và b đứng cạnh nhau là một phần tử. Lúc này số các
phần tử sẽ là n – 1. Tuy nhiên b đứng bên trái a (tức là ba)và b đứng bên phải a
(tức là ab) là khác nhau. Như vậy, sẽ có hai khả năng xảy ra.
Giải: Số hoán vị của n phần tử là: Pn  n!
Số hoán vị của n phần tử trong đó b đứng cạnh bên trái a (b đứng cạnh
bên phải a )là (n – 1)!. Do đó, số hoán vị của n phần tử mà a, b đứng cạnh nhau
là 2(n – 1)!. Vậy số hoán vị của n phần tử trong đó có hai phần tử a và b không
đứng cạnh nhau là: n! 2 n  1!  n  2 n  1!
Từ đó, u cầu học sinh nắm cơng thức tính số hốn vị của n phần tử
trong đó có hai phần tử a và b không đứng cạnh nhau(
n! 2 n  1!  n  2 n  1! ) và cơng thức tính số hốn vị của n phần tử trong
2

đó có hai phần tử a và b đứng cạnh nhau ( 2 n  1!).
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau
trong đó chữ số 1 và 2 khơng đứng cạnh nhau. (ĐS: 5! 2.4!  72 số)
Bài 2: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu số gồm 6 chữ số phân biệt sao cho:

a) Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau
b) Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau và các chữ số lẻ đứng cạnh nhau
Khi giải các bài tốn dạng tìm số các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho
trước, tâm lí chung là các em tỏ ra khá lúng tung trong cách phân chia trường
hợp và cách diễn đạt đặc biệt là xuất hiện chữ số 0, có thể gợi ý cho các em theo
từng bước nhỏ để các em không cảm thấy rối, bỡ ngỡ ở những bài tốn đó:
- Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau xảy ra những khả năng nào?
- Khi các chữ số chẵn đứng cạnh nhau thì xem như chiếm một vị trí trong
tổng hai vị trí( Mỗi số lẻ chiếm một vị trí, các số chẵn đứng cạnh nhau chiếm
một vị trí)
- Cần chú ý chữ số đứng đầu bên trái phải khác 0
* Đối với học sinh tiếp thu chậm, ta có thể định hướng :
Đặt a  024, b  042, c  402, d  204, e  420, f  240 .
Từ a,1,3,5lập được 3.3!=18 số. Từ b,1,3,5lập được 3.3!=18số

7
SangKienKinhNghiem.net


Từ c,1,3,5lập được 4!=24 số. Từ d,1,3,5lập được 4!=24 số. Tương tự từ
e,1,3,5, f,1,3,5mỗi tập hợp cũng lập được 24 số. Vậy có 2.18+4.24=132 số
có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh nhau.
* Đối với học sinh tiếp thu nhanh, ta có thể định hướng theo cách khác:
Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt chính là sự sắp xếp 6 chữ số khác nhau
vào 6 vị trí. Do có 3 chữ số chẵn, các chữ số này đứng cạnh nhau nên 3 chữ số
này sẽ chiếm 1 vị trí
Số các số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh nhau là
4!(Kể cả các số có chữ số 0 đứng bên trái)
Số các số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh nhau và số
0 đứng đầu bên trái là 2!.3!

Vậy có 4!-2!.3! =132 số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh
nhau.
b) Cũng như câu a tùy theo đối tượng học sinh mà ta có thể định hướng cách
làm:
Theo bài cho có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ, số cách xếp 3 chữ số chẵn
là 3!, số cách xếp 3 chữ số lẻ là 3!
Nên số cách xếp số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh
nhau và các chữ số lẻ đứng cạnh nhau là 2!.3!.3!( Kể cả chữ số 0 đứng đầu bên
trái). Số các số có chữ số 0 đứng đầu bên trái là: 2!.3!
Vậy số các số thỏa mãn ycbt là 2!.3!.3! - 2!.3! = 60 số
Bài tốn hốn vị vịng thỏa mãn tính chất cho trước:
Ví dụ: Một bàn trịn gồm 6 người ngồi được đánh số thứ tự. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp 6 người sao cho A và B luôn ngồi cạnh nhau?
Xếp vị trí A có 6 cách, xếp vị trí B có 2 cách ( Bên trái hoặc bên phải A),
Xếp vị trí cho 4 người cịn lại có 4! cách. Vậy có 6.2.4! cách xếp
Đề nghị bài tốn tổng quát:
1. Mời n vị khách vào ngồi một bàn tròn được đánh số thứ tự. Hỏi có bao
nhiêu cách xếp để cho hai vị khách A và B luôn ngồi cạnh nhau?
Học sinh dễ dàng dự đốn được cơng thức tổng quát số cách xếp là: n.2.(n-2)!
( Yêu cầu chứng minh công thức tổng quát).
2. Mời n vị khách vào ngồi một bàn trịn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để
cho hai vị khách A và B luôn ngồi cạnh nhau?
Yêu cầu học sinh phân biệt đề bài 1 và đề bài 2, sự giống và khác nhau? Từ đó
đưa ra cách làm?
+) Xem mỗi vị khách là một phần tử trong hốn vị vịng. Khi đó, xem 2 vị
khách A và B ngồi cạnh nhau là một phần tử. Lúc này số các phần tử sẽ là n – 1.
Tuy nhiên B ngồi bên trái A (tức là BA)và B ngồi bên phải A (tức là AB) là
khác nhau. Do đó, số cách xếp là 2.(n-2)!
Bài tốn tổng qt về hoán vị lặp:
8

SangKienKinhNghiem.net


Ta đã biết bài tốn có bao nhiêu phần tử xếp vào bấy nhiêu vị trí thì nghĩ
tới việc tìm số hoán vị của các phần tử. Vậy trong các phần tử đó có những phần
tử lặp lại thì sao?
Bài tốn gốc: Có n vật sắp xếp vào n vị trí và trong n vật này có:
+) n1 vật giống nhau
+) n2 vật khác giống nhau
…
+) nk vật khác lại giống nhau
n!
Số cách sắp xếp n vật vào n chỗ là
n1 !n2 !...nk !
Cần tách nhỏ bài tốn: Nếu có n vật sắp xếp vào n vị trí và trong n vật này
n!
có n1 vật giống nhau thì số cách sắp xếp là
.Vì sao?
n1 !
Học sinh cần phát hiện ra vấn đề nếu các chữ số khác nhau khi tráo đổi vị
trí của hai chữ số ta được một số mới, còn nếu hai chữ số giống nhau khi tráo
đổi vị trí cho nhau thì khơng được số mới ( vẫn là số đó)
Ví dụ 3: Từ các chữ số 0, 1, 3, 5, 7, 9 có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số trong
đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi số khác có mặt đúng 1 lần?
Xác định đây là bài toán hoán vị 8 vật( Coi 3 chữ số 1 là khác nhau)
trong đó có 3 vật giống nhau ( 3 chữ số 1 ) .
8!
Do đó, số các số thỏa mãn là , kể cả các số có chữ số 0 tận cùng bên
3!
7!

trái. Các số này có thể xem là số hốn vị 7 vật có 3 vật lặp lại là
.
3!
8! 7!
Vậy số các số phải tìm là   5880 số
3! 3!
Có thể hướng các em suy nghĩ theo cách áp dụng quy tắc nhân?
- Số cách chọn vị trí để viết chữ số 1?
- Số cách chọn chữ số tận cùng bên trái?
- Số cách viết vào các vị trí cịn lại?
Ví dụ 4: Từ các chữ số 1, 2, 3, 5, 7, 9 có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số trong
đó chữ số 1 và chữ số 3 có mặt đúng 2 lần, mỗi số khác có mặt đúng 1 lần?
Khi đã nắm được bản chất của bài tốn, học sinh có thể đọc ngay kết quả
8!
là
 180080 số. Vậy nếu làm theo cách khác được khơng?
2!2!
- Có C82 cách chọn vị trí để viết chữ số 1
- Có C62 cách chọn vị trí để viết chữ số 3
- Có 4! Cách viết 4 số vào 4 vị trí cịn lại
Theo quy tắc nhân có C82 . C62 .4!=180080 số
3.3. Rèn luyện năng lực định hướng đường lối, biết phân chia ra thành các
trường hợp nhỏ để giải toán.
9
SangKienKinhNghiem.net


Rèn luyện cho học sinh năng lực định hướng đường lối giải, biết phân
chia bài toán thành các trường hợp nhỏ để giải toán là nhiệm vụ rất quan trọng
trong dạy học giải bài tập toán. Đối với dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất thì

đây là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng giúp học sinh đơn giản bài tốn và biết
hướng làm cho các dạng tương tự.
Ví dụ 1: Một hộp có 9 bi đỏ, 4 bi xanh cùng kích cỡ. Chọn ngẫu nhiên một lúc
ra 5 bi . Tính xác suất để trong 5 bi chọn ra có ít nhất 3 bi đỏ.
Đây là dạng tốn mà học sinh trung bình – yếu cảm thấy hứng thú nếu ta
hướng cho các em cách phân chia lấy đủ các trường hợp, hiểu rõ các cụm từ “có
ít nhất – có nhiều nhất- có đúng, khơng nhiều hơn, khơng ít hơn…”
5
)
- Tổng có bao nhiêu bi? Lấy ra bao nhiêu bi? n    ? (C13
- Lấy ra ít nhất 3 bi đỏ trong 5 bi sẽ xảy ra những trường hợp nào? Ứng
với mỗi trường hợp có bao nhiêu cách chọn?( Có 3 bi đỏ, 2 bi xanh: C93C42 cách,
Có 4 bi đỏ, 1 bi xanh: C94C41 cách, Có 5 bi đỏ: C95 cách)
C93C42  C94C41  C95 126
Vậy xác xuất cần tìm là

5
143
C13
Ví dụ 2: (Bài tốn tìm số các số tự nhiên thỏa mãn tính chất cho trước được lập
từ tập hợp A, liên quan đến chia hết, tính chẵn - lẻ,...)
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau, chọn
một số tự nhiên thuộc tập hợp A. Tính xác suất để chọn một số thuộc tập A và số
đó chia hết cho 3
Ở phần này ta phải nhắc lại cho học sinh tính chất và dấu hiệu chia hết ở
những dạng đơn giản như:
Dấu hiệu chia hết cho 2 phải có tận cùng là :0,2,4,6,8
Dấu hiệu chia hết cho 5 phải có tận cùng là:0, 5
Dấu hiệu chia hết cho 3 hoặc 9 phải tổng các chữ số chia hết cho 3 hoặc chia
hết cho 9

Dấu hiệu chia hết cho 4 là có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4
Dấu hiệu chia hết cho 8 là có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8
Dấu hiệu chia hết cho 10 là có tận cùng bằng 0
Tính chẵn – lẻ của tổng, tích các số tự nhiên
Vận dụng tính chất của chia hết để giải quyết bài toán,đặc biệt là bài toán chia
hết cho 7, 11, 111, 1111,…
Chẳng hạn như ở ví dụ trên học sinh phải biết phân tích bài tốn dựa trên
các câu hỏi gợi ý:
- Số tự nhiên cần tìm có bao nhiêu chữ số? ( Có 9 chữ số khác nhau). Các chữ số
đó thỏa mãn điều kiện gì? ( Tổng các chữ số chia hết cho 3)
- Lập số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau từ những chữ số nào? Từ đó để phân
chia các trường hợp( Chữ số đứng đầu bên trái phải khác 0, số tự nhiên cần tìm
chứa 0 hoặc khơng chứa 0)
Gọi phần tử của A có dạng là a1a2 ...a9 , a1  0 nên có 9 cách chọn. Chọn

8 chữ số còn lại từ 9 chữ số và xếp vào 8 vị trí nên có A98 cách chọn.
10
SangKienKinhNghiem.net


Vậy n  A   9. A98
Giả sử gọi B  0,1,2....,9có tổng 10 phần tử là 45 chia hết cho 3. Nếu muốn
tạo thành một số có 9 chữ số khác nhau chia hết cho 3 thì cần loại đi phần tử là
bội của 3. Do đó, ta sẽ có các tập B \ 0, B \ 3, B \ 6, B \ 9
Trường hợp 1: Chọn B \ 0để tạo số, mỗi số sẽ là một hoán vị của 9 chữ số nên
có 9! cách
Trường hợp 2: Chọn một trong ba tập B \ 3, B \ 6, B \ 9.
Khi đó: a1  0 có 8 cách, cịn 8 chữ số xếp vào 8 vị trí cịn lại nên có 8! Cách
Số cách chọ phần tử thuộc A và chia hết cho 3 là 9! 3.8.8! .Vậy xác suất cần tìm
9! 3.8.8! 7

là

11
9.A98
3.4. Rèn kỹ năng phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán.
Khi học chủ đề tổ hợp – xác suất học sinh dễ mắc sai lầm trong giải toán xuất
phát từ một số nguyên nhân phổ biến như:
3.4.1. Nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân
Mặc dù khi học lý thuyết về “ Hai quy tắc đếm ” giáo viên đã khắc sâu và
lưu ý cách thực hiện nhưng khi vận dụng học sinh vẫn mắc sai lầm.
Ví dụ: Trong lớp 11A7 có 24 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Cần chọn hai
học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự đại hội Đoàn trường. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn?
Sai lầm thường gặp là học sinh áp dụng quy tắc cộng, cho rằng có 24 +20 =44
(cách), ở đây thực chất phải áp dụng quy tắc nhân là có 24.20 = 480 (cách)
Khi học sinh áp dụng sai quy tắc, lời giải sai, ta lại phải nhắc lại u cầu
bài tốn là gì? Có mấy bước( hoặc công đoạn)?, bỏ đi một bước công việc có
thực hiện được khơng?
3.4.2. Áp dụng nhầm giữa chỉnh hợp và tổ hợp
Đây là hai khái niệm học sinh thường khó phân biệt nên dễ dẫn đến sai lầm
trong khi vận dụng giải bài tập tốn
Ví dụ: Cần chọn từ 10 học sinh nam và 7 học sinh nữ ra 3 nam và 3 nữ để ghép
thành 3 cặp nhảy nam – nữ. Hỏi có bao nhiêu cách ghép?
Sai lầm 1: Thơng thường học sinh nghĩ ghép cặp nên có sự thay đổi vị trí
và chọn cả nam và nữ liên tiếp nên áp dụng quy tắc nhân, có cách giải như sau:
Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 nam trong 10 nam là một chỉnh hợp chập 3 của 10,
3
nên số cách chọn 3 học sinh nam là A10
 720 cách.
Tương tự, số cách chọn 3 nữ có thứ tự là A73  210 cách

3
Số cách ghép 3 cặp nhảy là A10
. A73  720.210  151200 cách
Học sinh đã mắc sai lầm khi sắp thứ tự cả 3 nam và 3 nữ, vì vậy mà số
cách ghép 3 cặp nhảy lớn hơn thực tế vì có những cách ghép được tính nhiều lần

11
SangKienKinhNghiem.net


3
Sai lầm 2: Học sinh cho rằng số cách chọn 3 nam là C10
, số cách chọn 3

nữ là C73 và chọn cả nam – nữ liên tiếp nên áp dụng quy tắc nhân được số cách
3
ghép 3 cặp nhảy là C10
. C73
Ở cách giải này học sinh sai lầm khi khơng thay đổi thứ tự cho các
cặp, vì vậy mà số cách ghép 3 cặp nhảy nhỏ hơn thực tế.
3
Lời giải đúng: Số cách chọn 3 nam là C10
, số cách chọn 3 nữ là C73 , số cách
ghép 3 cặp nhảy cho 3nam và 3 nữ là 3!( vì cứ mỗi lần ghép 3 cặp nhảy nam –
nữ từ 3 nam , 3 nữ là một hoán vị của 3 nữ hoặc 3 nam)
3
Vậy số cách cách ghép 3 cặp nhảy nam – nữ là 3! C10
. C73 =25200 cách
3.4.3. Sai lầm khi phân chia bài toán thành các trường hợp nhỏ (xét thiếu
hoặc thừa trường hợp ) đặc biệt trong khi giải các bài toán bằng phương pháp

gián tiếp( làm bài toán ngược)
Đối với những bài toán có nhiều phương án lựa chọn khi làm trực tiếp,
gặp nhiều khó khăn trong việc xét đủ các trường hợp, rất dễ thiếu xót hoặc khó
xác định số các phương án xảy ra thì ta nên định hướng cho học sinh làm bằng
phương pháp gián tiếp. Sau đây, ta phân tích ví dụ sau:
Ví dụ 1: Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi,12 em khá và 10 em
trung bình. Giáo viên cần chọn ra một nhóm có 13 học sinh để tham gia ngoại
khóa sao cho phải có đủ 3 đối tượng: giỏi, khá và trung bình. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn 1 nhóm học sinh trên để tham gia buổi ngoại khóa.
Nhận thấy nếu làm trực tiếp,chia từng trường hợp cụ thể để làm thì bài
giải dài, mất thời gian và mang tính thủ cơng. Do đó, ta hướng cho học sinh tìm
các trường hợp khơng thỏa mãn bài tốn( Bài tốn ngược)
13
Bước 1: Chọn 13 em trong 30 em có C30
cách
Bước 2: Chọn 13 em khơng thỏa mãn bài tốn ( Tức là khơng có đủ cả ba
đối tượng hay khơng q 2 trong 3 đối tượng)
13
Trường hợp 1: Chọn 13 em giỏi và khá trong 20 em có C20
cách
13
Trường hợp 2: Chọn 13 em giỏi và trung bình trong 18 em có C18
cách
13
Trường hợp 3: Chọn 13 em trung bình và khá trong 22 em có C22
cách
13
13
13
13

Vậy có C30
-( C20
+ C18
+ C22
) cách
Tuy nhiên nếu chỉ thay đổi từ chọn 13 em sang chọn 9 em có đủ cả 3 đối
tượng tưởng chừng như khơng có gì khác và bài làm tương tự được kết quả là
9
9
9
9
-( C20
+ C18
+ C22
) cách là xong nhưng thật SAI LẦM. Vậy sai lầm do đâu?
C30
Đâu là kết quả đúng?
Sai lầm ở chỗ HS loại trừ không hết các điều kiện không thỏa mãn. Ở ví
dụ đầu số học sinh được chọn nhiều hơn số học sinh mỗi loại giỏi, khá và trung
bình cịn sau khi đổi u cầu bài tốn thì số học sinh được chọn ít hơn một trong
số các học sinh của loại giỏi hoặc khá hoặc trung bình. Cho nên trong 9 em được
chọn cịn sót trường hợp tồn học sinh khá hoặc tồn học sinh trung bình.

12
SangKienKinhNghiem.net


9
9
9

9
9
9
Vậy kết quả phải là C30
-( C20
+ C18
+ C22
+ C12
+ C10
) cách
Để giúp HS hạn chế sai lầm khi giải bằng phương pháp gián tiếp, theo tôi ta nên
giúp HS chuyển đổi bài toán ngược. Muốn vậy phải nắm vững từ các khái niệm
phủ định của mệnh đề, các cặp từ phủ định như: “ Có đủ - Khơng đủ; Có nhiều
nhất(Có tối đa, Có ít hơn hoặc bằng) – Có nhiều hơn ;Có ít nhất – Khơng có;
Bằng – Khác; Không nhiều hơn – Lớn hơn ”. Khi HS tư duy được bài tốn
ngược thì đồng thời HS cũng phát triển tư duy so sánh sẽ quyết định làm bài
tốn theo hướng nào nhanh hơn.
Ngồi ra sai lầm cịn do học sinh suy luận sai khi phân chia trường hợp
dẫn đến thừa hoặc thiếu các trường hợp
Ví dụ 2: Cho hai người Việt Nam, bốn người Pháp và năm người Nhật xếp
thành một hàng. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để mỗi người đứng cạnh có ít nhất
một người cùng quốc tịch.
Do cứ mỗi người thì đứng cạnh phải ít nhất một người cùng quốc tịch nên :
+) Hai người Việt Nam ln đứng cạnh nhau( kí hiệu là A)
+) Bốn người Pháp tách thành hai nhóm( mỗi nhóm hai người đứng cạnh
nhau, kí hiệu là B, C)
+) Năm người Nhật tách thành hai nhóm( một nhóm hai người và một
nhóm ba người đứng cạnh nhau, kí hiệu lần lượt là D, E).
Mỗi cách xếp A, B, C, D, E thành một dãy là một hoán vị của 5 vị trí suy ra có
5! Cách xếp A, B, C, D, E thành một dãy.

Sai lầm 1: Đưa hai người Việt Nam vào nhóm A có 2! cách;
Đưa hai người Pháp vào nhóm B có 2! cách;
Đưa hai người Pháp vào nhóm C có 2! cách;
Đưa hai người Nhật vào nhóm D có 2! cách;
Đưa ba người Nhật vào nhóm E có 3! Cách
Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn là 5!.2!.2!.2!.3! = 4320 cách
Sai lầm 2: Đưa hai người Việt Nam vào nhóm A có 2! cách;
Đưa hai người Pháp vào nhóm B có A42 cách;
Đưa hai người Pháp vào nhóm C có 2! cách;
Đưa hai người Nhật vào nhóm D có A52 cách;
Đưa ba người Nhật vào nhóm E có 3! cách;
Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn là 5!.2!. A42 .2!. A52 .3! = 691200 cách.
Hai cách làm kết quả khác xa nhau đều do yếu về năng lực suy luận hợp
lý mà lời giải bài toán mắc phải sai lầm khi phân chia trường hợp: Số cách xếp
tăng hơn hoặc giảm hơn so với thực tế .
Để tránh “Bẫy” bài toán, ta nhận xét thấy: Nếu có B và C hoặc D và E đổi
chỗ cho nhau khi đứng cạnh nhau sẽ tạo ra cách xếp lại. Vậy khơng để lặp lại ta
tìm cách xếp A, B, C, D, E thành một dãy mà B luôn đứng trước C; D luôn đứng
trước E khi đứng cạnh nhau.
Trước hết ta xếp B, C, D, E thành một dãy theo quy tắc trên: Có 9 cách
sắp xếp BCDE(1); BDCE(2); BECD(3); BDEC(4); DBCE(5); DBEC(6);
DEBC(7); EBCD(8); EBDC(9)

13
SangKienKinhNghiem.net


Với cách xếp (1) có 5 vị trí đưa A vào, trong trường hợp BCDAE còn
thêm một cách nữa BCEAD, như vậy ứng với cách xếp (1) cho ta 6 cách xếp A,
B, C, D, E.Tương tự cho cách (4) và (7). Với mỗi cách cịn lại ta có 5 cách đưa

A vào tạo thành một dãy. Vậy tổng số cách xếp A, B, C, D, E thành một dãy là
3.6 + 6.5 = 48.
Khi đó, ứng với mỗi cách ta có: 2! Cách đưa hai người Việt Nam vào nhóm A
A42 cách đưa hai người Pháp vào nhóm B
2! cách đưa hai người Pháp vào nhóm C
A52 cách đưa hai người Nhật vào nhóm D
3! cách đưa ba người Nhật vào nhóm E
2
2
Vậy có 48.2!. A4 .2!. A5 .3! = 276480 cách
3.5. Rèn cho học sinh năng lực thực tiễn và năng lực thực hiện mối liên hệ
với các mơn khác.
Tốn học bắt nguồn từ thực tiễn và trở
X©y dùng nªn
về phục vụ thực tiễn, chính thực tiễn là cơ sở
nảy sinh, phát triển và hoàn thiện các lý thuyết
Tốn học.
C¸c lÝ thut To¸n
Thùc tiƠn
häc
Chủ đề Tổ hợp – Xác suất là “ mảnh đất ” phù
hợp để rèn cho học sinh năng lực thực tiễn
Phôc vô
cũng như năng lực thực hiện mối liên hệ với
các môn khác cho học sinh.
Có thể đưa những bài tốn liên quan trực tiếp tới các em, các bài tốn có
tính thời sự, bài toán liên quan đến kinh doanh,… tạo sự mới mẽ và gây hứng
thú học tập cho các em.
* Bài tập liên quan đến thực tế
Ví dụ 1: Ở một vùng dân cư, cứ 100 người thì có 40 người uống rượu. Biết

rằng tỷ lệ viêm dạ dày trong số những người uống rượu là 70%, còn trong tỷ số
người khơng uống rượu là 25%.Khám ngẫu nhiên một người thì thấy người ấy
bị viêm dạ dày. Tìm xác suất đế người đó uống rượu. Nếu người đó khơng bị
viêm dạ dày thì xác suất người đó uống rượu bằng bao nhiêu?
Cần hình thành cho học sinh : Cách đọc đề  Cách xác định đề ( Cho
yếu tố nào và cần tìm yếu tố nào)  Cách làm bài. Đối với bài tốn xác suất
thì đầu tiên hướng dẫn học sinh cách đặt tên biến cố từ yêu cầu bài tốn. Sau đó
thiết lập các mối quan hệ.
* Gọi A là biến cố: “ Người được khám bệnh bị viêm dạ dày”
B là biến cố: “ Người được khám bệnh uống rượu”
Ta có:
40
P B  
 0,4  P B  1  0,4  0,6
100
70
25
P  A   P B .
P B .
 0,43
100
100





14
SangKienKinhNghiem.net

Xác suất để người bị viêm dạ dày là người uống rượu là:
70
0,4.
P A  B 
100  0,651
P B / A  

0,43
P  A
Nếu người đó khơng bị viêm dạ dày thì xác suất người đó uống rượu là:
30
P B .
0,4.0,3
100
P B/ A 

 0,211
70
30 0,6.0,75  0,4.0,3
P B .
 P B .
100
100
Qua đây giáo dục cho các em tác hại của việc uống nhiều rượu bia.







Ví dụ 2: Một chiếc tàu khoan thăm dị dầu khí trên thềm lục địa có xác suất
khoan trúng túi dầu khí 0,4. Tính xác suất để 5 lần khoan độc lập, chiếc tàu
khoan trúng túi dầu:
a . Đúng một lần duy nhất;
b. Ít nhất một lần.
Gọi Ai là biến cố: “ Tàu khoan trúng dầu lần thứ i ” ( i  1;5 )
Do các lần khoan độc lập nên
P  A1   P  A2   P  A3   P  A4   P  A5   0,4

         

P A1  P A2  P A3  P A4  P A5  0,6
a) Gọi B là biến cố: “ Trong 5 lần khoan có đúng một lần trúng túi dầu”
- Nêu không gian mẫu của biến cố B ?Xác suất xảy ra trong từng trường hợp?
Ta có: B  A1 A2 A3 A4 A5 , A1 A2 A3 A4 A5 ,..., A1 A2 A3 A4 A5



       



P B   5.P  A1 .P A2 .P A3 .P A4 .P A5  5.0,4.0,6.0,6.0,6.0,6  0,2592
b)Gọi C là biến cố : “ Trong 5 lần khoan có ít nhất một lần trúng túi dầu”
- Nếu làm trực tiếp thì số trường hợp xảy ra của biến cố C thế nào? Gợi cho ta
làm bài toán bằng cách gián tiếp.
- Phủ định của mệnh đề “trúng ít nhất một lần” là gì?( khơng trúng lần nào).
Phủ định của C?

C là biến cố: “ Cả 5 lần khoan đều không trúng túi dầu”









Do đó : C  A1 A2 A3 A4 A5  P C  0,6  .Vậy P C   1  P C  0,92224
5

* Bài tập liên quan đến Thể dục - Giáo dục quốc phịng
Ví dụ 1 : Một vận động viên nhảy xa đang tập luyện, anh ta nhảy cho đến khi
nào vượt qua 7 m thì anh dừng lại nghỉ giải lao. Xác xuất nhảy vượt qua mức
7m là 0,6. Tính xác xuất để vận động viên ấy nhảy tới lần thứ tư thì ngừng nhảy
và nghỉ giải lao.
Ở bài này học sinh phải xác định được các yêu cầu:
- Vận động viên được nghỉ giải lao khi vượt qua 7m, nếu nhảy đến lần thứ tư
được nghỉ giải lao tức là phải đến lần thứ tư mới nhảy qua 7m.
15
SangKienKinhNghiem.net


- Xác định được xác suất nhảy không vượt qua 7m .
Gọi Ai là biến cố: “ Vận động viên nhảy vượt qua mức 7m ở lần thứ i”
với i = 1, 2, 3, 4
B là biến cố: “ Vận động viên nhảy đến lần thứ 4 thì dừng lại nghỉ giải lao”
Ta có:

P B   P A1  A2  A3  A4  P A1 P A2 P A3 P  A4 



    

 0,4  .0,6  0,0384
Ví dụ 2: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên
đạn là 0,7. Người đó bắn hai viên đạn một cách độc lập. Tính xác suất để một
viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu.
? Nhắc lại khái niệm hai biến cố độc lập và tính chất
Gọi biến cố A: “ Viên thứ nhất bắn trúng mục tiêu ”
B: “ Viên thứ hai bắn trúng mục tiêu ”
H: “ Một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu ”
Khi đó, H  AB  AB . Vậy P H   0,7.0,3  0,3.0,7  0,42
3

* Bài tập liên quan đến vật lý và sinh học
Ví dụ 1: Có 3 linh kiện điện tử xác suất hỏng tại cùng một thời điểm tương
ứng là 0,01; 0,02; 0,03. Tìm xác suất để dịng điện chạy qua mạch trong trường
hợp:
a) Mắc nối tiếp;
b) Mạch mắc song song
Ở đây học sinh phải hiểu được bản chất của dòng điện đi qua mạch mắc
nối tiếp thì tất cả các linh kiện điện tử phải khơng hỏng, cịn dịng điện muốn đi
qua được mạch mắc song song thì chỉ cần ít nhất một linh kiện điện tử khơng
hỏng. Khi đó chuyển làm bài toán lý rất đơn giản.
Gọi Ai : “ Linh kiện thứ i tốt ” ( i = 1,2,3),
A: “ Dòng điện chạy qua mạch mắc mắc nối tiếp ”
B: “Dòng điện chạy qua mạch mắc song song ”

Ta có: A  A1 A2 A3 , B  A1 A2 A3
Vì các biến cố Ai là độc lập nên
P  A   P  A1 P  A2 P  A3   1  0,011  0,02 1  0,03  0,94



   

P B   1  P B  1  P A1 P A2 P A3  1  0,01.0,02.0,03  0,999994
Ví dụ 2: Một cặp vợ chồng dự kiến sinh 3 người con .
a) Nếu họ muốn sinh 2 người con trai và 1 người con gái thì khả năng thực hiện
mong muốn đó là bao nhiêu?
b)Tìm xác suất để trong 3 lần sinh họ có được cả trai và gái.
Trước hết cần xác định cả 2 yêu cầu a và b đều thuộc dạng tính số tổ hợp
vì khơng phân biệt thứ tự các loại phần tử của biến cố (trai và gái)
Mỗi lần sinh là một sự kiện hồn tồn độc lập, và có 2 khả năng có thể
xảy ra: hoặc đực hoặc cái với xác suất bằng nhau và = 1/2, do đó:
16
SangKienKinhNghiem.net


- Số khả năng xảy ra trong 3 lần sinh là 23
- Số tổ hợp của 2 ♂ là C32 và 1 ♀ là C31 (3 trường hợp con gái: trướcgiữa-sau ) → Tính khả năng để trong 3 lần sinh có được 2 trai và 1 gái
C2 3
chính bằng xác suất để sinh được 2 trai và 1 gái . Kết quả là 33 
8
2
b) Học sinh có thể làm trực tiếp( yêu cầu bài toán xảy ra những khả năng nào?
(2trai + 1 gái) và (1 trai + 2 gái)) hoặc gián tiếp( làm bài toán ngược tức là cả ba
lần sinh họ được con một bề hoặc cả 3 trai hoặc cả 3 gái)

* Cách 1:
C1`
C2
- Xác suất sinh 1 trai và 2gái là 33 ; Xác suất sinh 2 trai và 1gái là 33
2
2
1`
2
C3 C3
3
Vậy xác suất cần tìm là
+ 3 =
3
4
2
2
* Cách 2:
a)

3

1
1
Xác suất sinh 3 trai là   , Xác suất sinh 3 gái là  
2
2
3

3

3

3
1 1
Vậy xác suất cần tìm:
1-[   +   ] =
4
2 2
Chủ đề Tổ hợp – xác suất có quan hệ rất mật thiết với sinh học ở phần phân li
độc lập.
3.6. Ln khuyến khích học sinh giải toán bằng nhiều cách khác nhau –
sáng tạo trong giải toán.
Xuất phát từ bài toán trong SGK ( Đại số và giải tích lớp11 ):
Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp
thành hai dãy đối diện. Có bao nhiêu cách xếp để nữ ngồi đối diện nhau
Bằng tư duy cụ thể học sinh có thể phân chia các trường hợp và tìm ra kết quả
Nếu mở rộng bài tốn cho 6 đối tượng :Hai dãy ghế đối diện, mỗi dãy 6
ghế. Muốn xếp 6 học sinh trường A, 6 học sinh trường B. Có bao nhiêu cách xếp
để hai học sinh ngồi đối diện phải khác trường .
Thì nhiều học sinh gặp vấn đề lúng túng không đi đến kết quả đúng do xét thiếu
trường hợp.
Đánh số thứ tự chỗ ngồi cho hai dãy ghế như sau:
D1

D2

D3

D4

D5

D6

C1

C2

C3

C4

C5

C6

* Xảy ra trường hợp D1 là học ra trường A ( D1 có bao nhiêu cách chọn HS?)
17
SangKienKinhNghiem.net


+) D1 có 6 cách. Khi đó C1 có bao nhiêu cách xếp?( C1 có 6 cách vì C1 phải là
HS trường B).
+)D2 có bao nhiêu cách?( D2 có thể là HS trường A hoặc trường B nên có 10
cách vì có 12 HS nhưng đã xếp 2 HS vào 2 vị trí D1 và C1)
Tương tự HS tìm được số cách xếp các vị trí cịn lại
+)D3 có 8 cách; C3 có 4 cách
+)D4 có 6 cách; C4 có 3 cách
+)D5 có 4 cách; C5 có 2 cách
+)D6 có 2 cách; C3 có 1 cách

Do đó có 6.6.10.5.8.4.3.4.2.2.1=16588800 cách xếp
* Trường hợp D1 là HS trường B cũng có 16588800 cách xếp
Vậy số cách xếp là 2.16588800 = 33177600 cách xếp
Tiếp tục mở rộng số đối tượngbài toán tăng lên n học sinh trường A và n
học sinh trường B thì cách làm trên sẽ gặp trở ngại. Vậy cần khai thác bài toán
thế nào để khi mở rộng bài toán HS làm được( đặc biệt là HS trung bình – yếu
vẫn dễ hiểu )
Đối với bài tốn trên: Xếp 6 HS trường A vào một dãy có 6! Cách.
Xếp 6 HS trường B vào một dãy có 6! Cách.
Đổi chỗ mỗi cặp hai HS ngồi đối diện nhau có 26 cách.
Vậy tất cả có 26 .6!.6! = 33177600 cách.
Như vậy, bài tốn mở rộng trên có 2n.n!.n! cách.
Nhiều bài tốn cụ thể có những cách làm tối ưu, ngắn gọn thậm chí có
những cách thủ cơng, liệt kê cho ta đáp số nhưng hãy khuyến khích học sinh
nhìn bài tốn dưới nhiều góc độ, có thể khai thác bài toán ở dạng tổng quát theo
các làm chung được không. Gợi cho HS sự sáng tạo, phát triển tư duy biện
chứng, trong cái chung có cái riêng và từ cái riêng phát triển thành cái chung,
cái tổng quát.

18
SangKienKinhNghiem.net