SKKN rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS thông qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong giải toán

www.huongdanvn.com
Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS
thông qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm
của học sinh khi giải toán
1. Đặt vấn đề:
ở trờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh,
có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Dạy học giải
toán có vai trò đặc biệt trong dạy học Toán ở trờng phổ thông. Các bài toán là
phơng tiện có hiệu quả không thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm
vững tri thức, phát triển t duy hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Hoạt động giải toán là
điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả
việc dạy học giải toán co vai trò quyết định đối với chất lợng giờ dạy học Toán.
Tuy nhiên, thực tiễn ở các trờng phổ thông cho thấy chất lợng dạy học
Toán còn cha tốt, thể hiện ở năng lực giải toán của học sinh còn hạn chế do học
sinh vi phạm nhiều sai lầm về kiến thức, phơng pháp toán học. Trong đó, một
trong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên còn cha chú ý một cách đúng
mức việc phát hiện, tìm ra nguyên nhân và sửa chữa các sai lầm cho học sinh
ngay trong các giờ học Toán để từ đó có nhu cầu về nhận thức sai lầm, tìm ra
nguyên nhân và những biện pháp hạn chế, sửa chữa kịp thời các sai lầm này,
nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh đồng thời nâng cao hiệu quả dạy
học toán trong các trờng phổ thông.
Với lí do đó, qua việc quản lý và giảng dạy, chúng tôi đề cập tới Rèn
luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua việc phân tích và sửa chữa các
sai lầm của học sinh khi giải toán, nhằm nghiên cứu các sai lầm phổ biến của
học sinh phổ thông khi giải toán, đồng thời đề xuất các biện pháp s phạm để hạn
chế và sửa chữa các sai lầm nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh, góp
phần nâng cao chất lợng dạy học môn toán ở trờng phổ thông.
Việc sửa chữa sai lầm là một hoạt động quan trọng, G.Polia cho rằng:
Con ngời phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình, A.A.Stoliar phát
biểu: Không đợc tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học
sinh, còn theo J.A.Komenxkee thì: Bất kỳ một sai lầm nào cũng có thể làm

cho học sinh kém đi nếu nh giáo viên không chú ý ngay đến sai lầm đó, và hớng
dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa, khắc phục sai lầm.
1


www.huongdanvn.com
Nguyên tắc sửa chữa sai lầm cho học sinh khi giải toán thì cần phải tạo
động cơ học tập sửa chữa các sai lầm. Học sinh thấy việc sửa chữa sai lầm là một
nhu cầu và cần phải tham gia nh một chủ thể một cách tự nguyện, say mê, hào
hứng. Tạo cho học sinh có động cơ hoàn thiện tri thức. Cần lấy hoạt động học
tập của học sinh để làm cơ sở cho quá trình lĩnh hội tri thức. Hơn nữa các
nguyên tắc phải tập trung vào phong trào hoạt động, rèn luyện các kỹ năng học
tập của học sinh.
Việc sử dụng các biện pháp s phạm nhằm hạn chế và sửa chữa các sai lầm
của học sinh khi giải toán, giáo viên cần phải lu ý, có 3 phơng châm đó là: tính
kịp thời, tính chính xác và tính giáo dục.
Ba phơng châm hỗ trợ, bổ sung cho nhau làm cho các biện pháp thực hiện
đúng mục đích và kết quả.
2. Nội dung:
2.1. Những sai lầm thờng gặp trong giải toán đại số:
Khi xem xét các sai lầm của học sinh, có thể sắp xếp theo từng chủ đề
kiến thức hoặc từ phơng diện hoạt động toán học. Trong bài viết này, chúng tôi
đề cập tới những sai lầm chủ yếu của học sinh khi giải toán, theo một số chủ đề
kiến thức tìm ra nguyên nhân và cách khắc phục sai lầm của học sinh.
2.1.1. Sai lầm khi biến đổi biểu thức:
Những sai lầm khi biến đổi biểu thức thờng mắc khi sử dụng các đẳng
thức không phải là hằng đẳng thức, đó là các á hằng đẳng đúng với điều kiện
nào đó. Đôi khi sai lầm xuất hiện do hiểu nhầm công thức.
Thí dụ 1: Rót gän:
P = (1 + x)2 + (1 − x) 2

Lời giải sai lầm: ? Ta có: P = 1 + x + 1 – x = 2
Ph©n tÝch sai lÇm: ! Nhí r»ng: a 2 = a víi a 0. Do đó phải sử dụng hằng
đẳng thức a 2 = a
Lời giải đúng là:

P = 1+ x + 1− x
2x nÕu x >1

P=

2 nÕu -1 ≤ x ≤ 1
-2x nÕu x < -1

ThÝ dơ 2: Rót gän:
2


www.huongdanvn.com
Q = x x + 2 − x3 + 2 x 2
? Ta cã: Q = x 2 ( x + 2) − x3 + 2 x 2
= x3 + 2 x 2 − x3 + 2 x 2 = 0
! Cã thĨ thay x = -1 vµo biĨu thøc Q th× thay Q = (-1).
( −1) + 2 − ( −1)3 + 2( −1) 2 = −1 − 1 = 2 . Chứng tỏ kết quả rút gọn trên là sai ! Vì

sao? HS nên nhớ rằng chi có a b = a 2b nÕu a ≥ 0. Lêi giải trên chỉ đúng khi x
0.
2.1.2. Sai lầm khi giải phơng trình, bất phơng trình:
Những sai lầm khi giải phơng trình thờng mắc khi HS vi phạm quy tắc
biến đổi phơng trình, bất phơng trình tơng đơng. Đặt thừa hay thiếu các điều kiện
đều dẫn đến những sai lầm, thậm chí sai đến mức không giải đợc nữa! Một số sai

lầm còn do hậu quả của việc biến đổi công thức không đúng, nh đà chỉ ra ở mục
2.1 .
Thí dụ 2: Giải phơng trình:
x3 + 3x 2 + x + 1 = 2

? Điều kiện căn thøc cã nghÜa:
− x 3 + 3x − 2 ≥ 0

x +1 ≥ 0
( x − 1) 2 ( x + 2 ) ≤ 0
⇔
 x ≥ −1

⇔

 x3 − 3x + 2 ≤ 0

 x ≥ −1

x + 2 ≤ 0
⇔ 
 x ≥ −1

 x ≤ −2
⇔ 
 x 1

Vậy không tồn tại giá trị của x để hai căn thức đồng thời có nghĩa nên phơng trình vô nghiệm.
! Có thể chỉ ra với x = 1 thì cả hai căn thức đều có nghĩa và x = 1 chính là
nghiệm của phơng trình. HS đà sai khi giải bất phơng trình (x 1)2(x + 2) ≤ 0

⇔ x + 2 ≤ 0.

ThÝ dô 3: Giải phơng trình:
x2 1 x + 1 = x + 1

? Điều kiện để căn thức có nghĩa:
x2 −1 ≥ 0

x +1 ≥ 0

( x − 1)( x + 1) ≥ 0
⇔ 
x +1 ≥ 0

3


www.huongdanvn.com
⇔

x −1 ≥ 0

x +1 ≥ 0

x ≥ 1
⇔ 
 x 1

x 1

Khi đó phơng trình có dạng:
( x − 1)( x + 1) − x + 1 = x + 1

Vì x 1 nên x + 1 > 0 , chia hai vÕ cho

x + 1 ta cã:

x −1 −1 = x + 1

V× víi x ≥ 1 th× x − 1 < x + 1 nªn x − 1 − 1 < x + 1
VËy phơng trình vô nghiệm.
x2 1 0

! Sai lầm khi gi¶i hƯ:  x + 1 ≥ 0 nhiỊu HS tởng rằng:

A.B0

A0



A0

B0

ở lời giải trên thiếu x = -1 và đó chính là nghiệm duy nhất của phơng trình.

HS ®· quªn r»ng

 A.B ≥ 0


A ≥ 0

⇔

 A = 0

  Bconghia
 A > 0

  B ≥ 0

Lêi giải đúng là: Điều kiện căn thức có nghĩa:
x2 −1 ≥ 0

x +1 ≥ 0

 x ≥ 1

⇔   x ≤ −1
 x ≥ −1


 x = −1
x 1



Thay x = -1 thoả mÃn phơng trình
Với x 1 làm nh lời giải trên.

Tóm lại: Phơng trình có nghiệm x = -1.
Thí dụ 4: Giải và biện luận phơng trình:
a 5+

2a + 5
= 0 (*) theo tham số a.
x2

? Điều kiện: x 2. Khi đó (*) ⇔ (a - 5) (x - 2) + 2a + 5 = 0

NÕu a ≠ 5 th× x =

⇔

(5 - a) (x - 2) = 2a + 5

⇔

x(5 - a) = 15

15
5−a

4


www.huongdanvn.com
Nếu a = 5 thì phơng trình vô nghiệm.
! Sai lầm của học sinh không để ý x =

15
khi nào không là nghiệm của
5a

phơng trình. Vì nghiệm phải thoả mÃn x 2 nên khi

15
5
=2 a=
thì ph5a
2

ơng trình vô nghiệm. Lời giải phải bổ sung điều này và kết luận đúng là:
a 5

Nếu
5
a 2

thì x =

a = 5

Nếu
5
a = 2

thì phơng trình vô nghiệm

15

15 a

Thí dụ 5: Giải phơng trình
2x + x − 3 = 16

(*)

? §iỊu kiƯn: x ≥ 3. Ta cã:
(*) ⇔
⇔

x − 3 = 16 − 2 x ⇔ x – 3 = 256 – 64x + 4x2
⇔

4x – 65x + 259 = 0
2

x = 7

 x = 37

4

Thoả mÃn x 3. Vậy phơng trình có 2 nghiƯm x = 7 hc x =

37
4

x − 3 = 16 − 2 x ⇔ x – 3 = 256 – 64x + 4x2

! Sai lÇm khi viÕt

b ≥ 0

CÇn lu ý HS r»ng: a = b ⇔ 

a = b

2

(không cần đặt điều kiện a 0). Ta có x =

37
không là nghiệm.
4

Thí dụ 7: Giải bất phơng tr×nh:
1
x − 2x − 3
2

? (*)

<

1
(*)
x+5

⇔

x + 5 < x2 − 2 x − 3

⇔

(x + 5)2 < x2 – 2x – 3

⇔

12x + 28 < 0

⇔

! HS sai lÇm khi nghÜ r»ng

x< −

1 1
<
a b

7
3
⇔

5

b

www.huongdanvn.com

Mà đúng ra

ab
>0
ab

1 1
<
a b

ab > 0

a > b
 ab < 0

a < b

⇔

2.1.3: Sai lÇm khi chøng minh bất đẳng thức:
Các sai lầm thờng bắt nguồn từ việc vận dụng các bất đẳng thức cổ điển
mà không ®Ĩ ý tíi ®iỊu kiƯn ®Ĩ bÊt ®¼ng thøc ®óng, hoặc sử dụng sai sót các quy
tắc suy luận khi từ bất đẳng thức này suy ra bất đẳng thức kia.
Thí dụ 1: So sánh:
x+

1
và 2

x

? áp dụng bất đẳng thøc Cauchy cho hai sè x vµ

1
ta cã:
x

1
1
1
 x + ữ x. = 1
2
x
x


x+

đẳng thức xảy ra

1
2
x

x=

1
x 2 = 1 x = 1
x

! Sai lầm vì không để ýđến điều kiện của các số a, b trong bất đẳng thức
Cauchy:
a+b
ab
2

Với a 0 và b 0.
2
1
(
x 1)

2
Lời giải đúng: Xét x +
=
x
x

( x − 1) 2 ≥ 0

⇔x>0 ⇔ x+

( x − 1) 2 < 0

⇔ x < 0 ⇒ x+

x
x

1
≥2
x
1
<2
x

ThÝ dô 2: Chøng minh r»ng víi mäi a ta cã:
a(1 – a)

1
4

(*)

? áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số a vµ 1 –a ta cã:
a (1 − a ) ≤

a +1− a 1
=
2
2

6


www.huongdanvn.com
⇔ a (1 − a) ≤

1

4

! L¹i vÉn sai nh đà phân tích ở thí dụ 1, vì a và 1 a chỉ không âm khi a
[ 0;1]

Lời giải đúng là:
(*)

a a2

1
1
a2 a + 0
4
4

2

1
a ữ 0


2

hiển nhiên ®óng víi mäi a

ThÝ dơ 3: Chøng minh r»ng nÕu:
a+b+c

>0

(1)

ab + bc + ca > 0

(2)

abc > 0

(3)

th× a > 0; b > 0; c > 0
? Do vai trß bình đẳng của a, b, c nên ta chỉ cần chứng minh a > 0.
Giả sử a < 0 thì tõ (3) ⇒ bc < 0.
Tõ (2) ⇒ a(b + c) > -bc > 0 ⇒ b + c < 0
Tõ a < 0, b + c < 0 ⇒ a + b + c < 0 m©u thn víi (1). Do đó a > 0.
! Khi phủ định a > 0 để thực hiện phép chứng minh phản chứng thì phải
biết xét a 0. Lời giải trên thiếu trờng hợp a = 0.
2.1.4. Sai lầm khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Những sai lầm khi tìm giá trị lớn nhât và giá trị nhỏ nhất cđa hµm sè hay
cđa biĨu thøc nhiỊu Èn thêng do vi phạm quy tắc suy luận lôgíc:
Nếu f(x) m (m h»ng sè), víi mäi x ∈ A vµ tån tại x0 A sao cho f(x0)
= m thì giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền A là m (có quy tắc tơng tự cho giá trị
lớn nhất của f(x).
§èi chiÕu víi biĨu thøc nhiỊu Èn cịng cã quy tắc tơng tự.
Thí dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất cña:
F (x, y) = (x + y)2 + (x + 1)2 + (y – 2)2
? víi mäi x, y ∈ R th×:
(x + y)2 ≥ 0
(x + 1)2 ≥ 0

(y – 2)2 ≥ 0
7


www.huongdanvn.com
VËy F (x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ R
Từ đó suy ra minF(x,y) = 0
! Sai lầm của lời giải là không chỉ ra các giá trị của x, y ®Ĩ F(x, y) = 0.
Nhí r»ng: F(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ R vµ nÕu tån tại x0, y0 sao cho F(x, y) = 0 thì mới
kết luận đợc minF(x;y) = 0. Đối với bài toán này, không tồn tại x 0; y0 để F(x0;y0)
=0
Lời giải đúng là:
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski với
a1 = -1

a2 = 1

a3 = 1

b1 = (x + y);

b2 = x + 1;

b3 = y -2

ta cã:
1 = ( −1).( x + y ) + 1.( x + 1) + 1.( y − 2)
≤ 3. F ( x, y ) ⇒ 1 ≤ 3F ( x; y) ⇒ F ( x; y)
b

b

1
3

b

3
1
2
Đẳng thức xảy ra a = a = a
2
3

4

x=−
2 x + y = −1 
3
⇔
⇔
 x − y = −3
y = 5

3

VËy: minF(x;y) =

1
4

5
⇔x=− ; y=
3
3
3

ThÝ dô 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2
f(x) = x +

? Đặt t = x +

1
1

2 x + ữ+ 5
2
x
x


1
1
thì x 2 + 2 = t 2 − 2 nªn
x
x

f(x) = g(t) = t 2 − 2t + 3 = (t − 1) 2 + 2 ≥ 2∀t ∈ R . Đẳng thức xảy ra t = 1
Do đó min f(x) = 2 ⇔ t = 1
! Sai lÇm là chuyển bài toán không tơng đơng. Giá trị nhỏ nhất của f(x)

không trùng với giá trị nhỏ nhất của g(t) víi t thc R. Cã thĨ thÊy ngay víi t =1
thì không tồn tại x và thực ra sai lầm ở lời giải này lại trở về sai lầm ở thí dụ 1 vì
không có giá trị của x để (x) = 2
Thí dụ 3: Tính giá trị nhỏ nhÊt cña:
8


www.huongdanvn.com
f(x) = x +
? Ta cã f(x) = x + 3 +

1
x +3
1
3
x +3

áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dơng
x + 3 và
x +3+

1
ta có:
x +3
1
2 ⇒ 2 − 3 = −1 víi mäi x ≥ 0
x +3

Đẳng thức xảy ra khi x + 3 =

1

x +3

(

)

2

x + 3 =1

Thấy ngay không có giá trị của x thoả mÃn vì

x +33

(

)

2

x +3 9 >1

Vậy f(x) không có giá trị nhỏ nhất.
! Không có giá trị của x để f(x) = -1 thì chỉ suy ra đợc giá trị min f(x) > -1
và lời giải trên không đi đến đợc min f(x)
Thí dụ 4: Cho x, y là các số nguyên dơng, thoả mÃn: x + y = 2011.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x(x2 + y) + y(y2 + x).
(TrÝch ®Ị thi HSG tỉnh Toán 9 năm học 2010 2011)

Có không ít học sinh đà có lời giải sai lầm:
? Ta cã P = (x + y)3 – 3 (x + y)xy + 2 xy
= 20113 - 6031 xy
2

¸p dơng B§T
=>

20112
x+ y
=
(*)

4
 2 

xy ≤ 

20112
20112.2013
P ≥ 2011 - 6031 .
=> P
(**)
4
4
3

20112.2013
Giá trị nhỏ nhất của P là

4

! Dấu bằng ở bất đẳng thức (*) không xảy ra do điều kiện x, y nguyên dơng nên dấu bằng ở bất đẳng thức (**) không xảy ra.
2.1.5. Sai lầm khi giải bài toán phơng trình bậc hai.
Khi giải toán về phơng trình bậc hai, các sai lầm xuất hiện do không chú ý
đến giả thiết của các định lý mà đà vội vàng áp dụng hoặc là lạm dụng suy diễn
những mệnh đề không đúng hoặc xét thiếu các trờng hợp cần biện luận.
Thí dụ 1: Tìm m để phơng tr×nh:
9


www.huongdanvn.com
(m – 1)x2 + (2m -1)x + m + 5 = 0
Có hai nghiệm phân biệt?
? Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt khi:
∆ > 0 ⇔ (2m – 1)2 – 4(m- 1)(m + 5) > 0
⇔

-20m + 21 > 0



21
20

m<

21
mà phơng trình chỉ có 1 nghiệm x = -6.
20

! Cã thĨ chØ ra víi m = 1 <

Nhí r»ng ax2 + bx + c = 0 cã ®óng hai nghiƯm ph©n biƯt
a ≠ 0
⇔
∆ > 0

ThÝ dơ 2:
BiÕt r»ng (x;y) lµ nghiƯm cđa hƯ:
x + y = m
 2
2
2
 x + y = m + 6

Tìm giá trị lớn nhÊt vµ nhá nhÊt cđa:
F = xy – 6(x + y)
? Ta cã: x2 + y2 = -m + 6

⇔

= -m2 + 6

(x + y)2 – 2xy

⇔

m2 – 2xy = -m2 + 6

⇔

xy = m2 -3

Do ®ã: F = m2 – 6m – 3
= m2 – 6m – 3 = (m – 3)2 – 12
VËy min F = -12

⇔

m=3

F kh«ng có giá trị lớn nhất vì F là hàm bậc hai víi hƯ sè m2 lµ a = 1 > 0
! Lời giải không đặt điều kiện để tồn tại x và y. Do đó đà xét với mọi m
thuộc R.
2.2. Phân tích các nguyên nhân dẫn tới sai lầm của học sinh trung học
cơ sở khi giải toán
2.2.1. Nguyên nhân 1: Hiểu không đầy đủ và chính xác các thc tÝnh
cđa c¸c kh¸i niƯm to¸n häc.
Chóng ta biÕt r»ng: Khái niệm là một trong các sản phẩm của t duy toán
học. Mỗi khái niệm đều có nội hàm và ngoại diện. Tập hợp các dấu hiệu đặc trng
cho bản chất của các đối tợng đợc phản ánh trong khái niệm chính là nội hàm
của khái niệm. Tập hợp các đối tợng có chứa các dấu hiệu trên chính là ngo¹i
10


www.huongdanvn.com
diên của khái niệm. Việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên của một khái
niệm sẽ dẫn HS tới sự hiểu không trọn vẹn, thậm chí sai lệch bản chất khái niệm.
Từ đó các sai lầm khi giải toán sẽ xuất hiện. Mặt khác nhiều khái niệm trong

toán học là mở rộng hoặc thu hẹp của một khái niệm có trớc đó. Việc HS không
nắm vững khái niệm này sẽ dẫn tới việc không hiểu và không thể có biểu tợng về
khái niệm khác.
Nhiều khi ngời ta hay nói tíi sù “mÊt gèc” cđa HS vỊ kiÕn thøc th× trớc hết
cần hiểu rằng: đó là sự mất gốc về c¸c kh¸i niƯm.
Nh vËy qua c¸c dÉn chøng cơ thĨ trên chúng ta có thể thấy từ việc không
nắm vững c¸c thc tÝnh cđa kh¸i niƯm, häc sinh cã thĨ bị dẫn tới các sai lầm
trong lời giải. Chúng tôi xin lu ý tới nguyên nhân này vì nếu giáo viên không có
các biện pháp kịp thời thì chính từ đó sẽ gây ra hậu quả lớn cho học sinh,
thể hiện qua sơ đồ sau (sơ đồ 1):
Nhận dạng sai

Không nắm vững
nội hàm

Biến đổi sai
Kí hiệu sai

Không nắm vững
các thuộc tính khái
niệm

Chứng minh sai hiện
Vẽ hình sai

Không nắm vững
ngoại diên
Học sinh

Thể

Diễn đạt sai
Không phát
phânhiện
tích
Không

sai

Giáo viên

Không củng cố
Không phân loại

2.2.2. Nguyên nhân 2: Không nắm vững cấu trúc lôgic của định lí.
Định lí là một mệnh đề đà đợc khẳng định đúng. Cấu trúc thông thờng của
định lí có dạng A B. Trong cấu trúc của định lí A B thì A là giả thiết của
11


www.huongdanvn.com
định lí và cho chúng ta biết phạm vi sử dụng đợc định lí. Ngời ta còn nói A là
điều kiện đủ để có B. Nhng khá nhiều học sinh lại không nắm vững hoặc coi thờng giả thiết A nên dẫn tới sai lầm khi giải toán.
Khi học định lÝ ViÐt thn, nhiỊu häc sinh chØ nhí tỉng vµ tích hai nghiệm
là bao nhiêu, chứ không để ý tới giả thiết của định lí là phơng trình phải là phơng
trình bậc hai có nghiệm (a 0, 0 ) do đó học sinh sẽ mắc sai lầm khi áp dụng
định lí này.
Khi học về bất đẳng thức Cauchy, học sinh không để ý tới giả thiết chỉ áp
dụng bất đẳng thức cho các số không âm nên khi gặp bài toán so sánh x + 1/x
với 2 số đà áp dụng ngay để có kết luận sai lÇm x + 1/x > 2 víi x ≠ 1 và x + 1/x

= 2 với x = 1.(?)
Tóm lại việc không nắm vững cấu trúc logic của định lí sÏ dÉn häc sinh tíi
nhiỊu sai lÇm trong khi häc toán và giải toán. Chúng tôi xin lu ý bởi sơ đồ sau
(sơ đồ 2):

ĐịNH Lí A B
Không nắm vững A

Không
có A
vẫn
suy ra
B

Không
có A
suy ra
không
có B

Không nắm vững B
Sử
dụng B
mà
không
có A

Sử
dụng
định lí

cha
đúng

Có B
suy ra
có A

Có A
nhng
suy ra
không
phải B

Lời giải sai

Học sinh

Giáo
viên
2.2.3. Nguyên nhân 3: Thiếu các kiến thức cần thiết về lôgic:
Suy luận là một hoạt động trí tuệ đặc biệt của phán đoán một trong các
hình thức của t duy. Hoạt động suy luận khi giải toán dựa trên cơ sở của lôgic
12


www.huongdanvn.com
học. Học sinh thiếu các kiến thức cần thiết về lôgic sẽ mắc sai lầm trong suy
luận và từ đó dẫn đến các sai lầm khi giải toán.
Ngay việc sử dụng từ nối và, hoặc vẫn là điều khó khăn của rất nhiều
học sinh. Lẽ ra cần khẳng định: tam giác cân hoặc vuông thì lại khẳng định tam

giác là tam giác vuông cân. Khi biến đổi phơng trình tích AB = 0, häc sinh vÉn
viÕt A = 0 vµ B = 0.
Không nắm đợc phép phủ định học sinh rất khó khăn khi dùng phơng
pháp chứng minh phản chứng. Việc phủ định không hoàn toàn sẽ dẫn tới sai
lầm trong lời giải phủ định a > 0 là a < 0 gây cho lời giải thiếu trờng hợp a = 0.
Trong SGK thì các phép chứng minh đợc trình bày theo phơng pháp tổng
hợp mà không qua phơng pháp phân tích để dẫn tới cách chứng minh trong khi
đó thì giáo viên lại không thể hiện dới dạng tờng minh các kiến thức về quy luật,
quy tắc, phơng pháp suy luận đà đợc sử dụng.
2.2.4. Nguyên nhân 4: học sinh không nắm vững phơng pháp giải các
bài toán cơ bản:
Học sinh không nắm vững phơng pháp giải các bài toán cơ bản thì dẫn tới
sai lầm trong lời giải.
Không nắm vững phơng pháp giải học sinh không nghĩ ra đợc đủ các khả
năng cần xét và dẫn tới đặt điều kiện sai.
Không nắm vững phơng pháp giải, học sinh sẽ biện luận không đủ các trờng hợp xảy ra của bài toán.
2.3. Bốn biện pháp s phạm chủ yếu nhằm hạn chế và sửa chữa sai lầm
cho học sinh.
2.3.1. Biện pháp 1: Trang bị đầy đủ chính xác các kiến thức về bộ
môn Toán:
* Tình huống 1: Dạy toán học nh thế nào để tránh sai lầm cho học sinh khi
giải toán?
Giáo viên cần dự đoán trớc (bằng kinh nghiệm bản thân hoặc trao đổi với
đồng nghiệp), các khả năng không hiểu hết những thuộc tính của khái niệm.
Nếu dự đoán đợc các sai lầm trên thì chắc chắn giáo viên sẽ chuẩn bị bài
giảng của mình để đề phòng trớc sai lầm cho học sinh. Sự chủ động đề phòng sai
lầm xuất hiện bao giời cũng mang tính tích cực hơn là sửa chữa sau này. Những
sai lầm cđa häc sinh vỊ kh¸i niƯm to¸n häc mang dÊu ấn khó phai và rất mất
công chỉnh lại cho chính x¸c.

13


www.huongdanvn.com
ở đây cũng cần lu ý phân biệt việc cha hiểu hết với hiểu sai. Có những
khái niệm khó, học sinh không hiểu hết các thuộc tính ngay một lúc mà phải qua
các hoạt động nhận dạng và thể hiện míi ®i tíi sù trän vĐn. ChÝnh viƯc cha hiĨu
hÕt c¸c thc tÝnh cđa kh¸i niƯm sÏ rÊt dƠ dÉn đến hiểu sai khái niệm. Do đó có
những sai lầm của học sinh phải làm cho học sinh hiểu hết các thuộc tính của
khái niệm thì mới mong học sinh hết hiểu sai. Ví dụ: Khái niệm hàm số, học
sinh cần phải hiểu rõ ba thuộc tính của khái niệm đó là:
+ Tập X, Y là các tập hợp số.
+ Mỗi giá trị của x đều có giá trị y tơng ứng.
+ Giá trị tơng ứng y là duy nhất.
* Tình huống 2: Dạy các định lí toán học nh thế nào để học sinh tránh sai
lầm khi giải toán?
Nói tới định lí toán học là nói tới một khẳng định đúng (dù chúng ta có
dạy phép chứng minh định lí hay không). Tuy nhiên, việc quan trọng mà giáo
viên cần quan tâm đầu tiên là cấu trúc lôgic của định lý. Nh chúng tôi đà phân
tích, việc không nắm vững cấu trúc định lí sẽ dẫn học sinh tới sai lầm khi giải
toán. Các định lí toán học thờng đợc diễn đạt theo cấu trúc A B. Ai cũng biết
A là giả thiết và B là khẳng định, kết luận của định lí. Nhng chúng tôi xin lu ý
thêm: A cho biết dùng định lí khi nào và B cho biết sẽ kết luận, suy ra đợc gì khi
có A.
Dạy định lí toán học có thể đợc thực hiện theo hai con đờng, con đờng suy
diễn và con đờng có khâu suy đoán.
Nhằm hạn chế và đề phòng các sai lầm của học sinh khi giải toán chúng
tôi thấy cần thiết phải phân tích rõ giả thiết của định lí. Học sinh nhiều khi
không quan tâm tới giả thiết định lí mà chỉ quan tâm tới kết luận của định lí nên
dẫn tới sai lầm.

Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm x1, x2 thì tổng
và tích các nghiệm cđa nã lµ:
b

 x1 + x2 = − a

 x .x = c
 1 2 a

CÊu tróc cđa gi¶ thiÕt: { a ≠ 0} ∧ { ∆ ≥ 0} . Trớc khi dùng định lí này phải
kiểm tra hoặc đặt điều kiện để bài toán thoả mÃn đồng thời hai điều kiện của giả
thiết. Học sinh rất hay quên điều kiƯn a ≠ 0. NhiỊu häc sinh vÉn tÝnh tỉng và tích
các nghiệm của phơng trình x2 x + 1 = 0 mặc dù phơng trình này vô nghiệm.
14


www.huongdanvn.com
Giáo viên cần tạo ra những thí dụ mà các điều kiện của giả thiết cha
thoả mÃn hoàn toàn để học sinh thấy rằng mọi điều kiện của giả thiết là không
thể thiếu đợc.
Giáo viên cũng cần nêu ra ở thí dụ để thuyết phục chứ không chỉ dừng lại
ở việc nhắc nhở. Các thí dụ, mà đặc biệt các phản thí dụ bao giờ cũng tạo ấn tợng
đối với häc sinh.
VÝ dô:
x nÕu x ≥ 0
x =
- x nÕu x < 0
ở đây x = -x khi x < 0 ( nhng khi x = 0 th× x = - x). Điều này chứng tỏ
x < 0 chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần để tránh sai lầm cho
học sinh.

Khi dạy một định lí cần chỉ ra cho học sinh các hớng dẫn ứng dụng của
định lí để tạo ra sự nhạy cảm của học sinh khi đứng trớc một bài toán biết nghĩ
tới việc vận dụng định lí nào.
Điều đặc biệt cần lu ý là khi dạy định lí toán học cho học sinh là giáo viên
cần cho học sinh thấy rõ phơng pháp phân tích chứng minh định lí. Chính biện
pháp này gióp cho häc sinh dƠ ®i tíi chøng minh ®óng trong giải toán sau này.
* Tình huống 3. Cung cấp các kiến thức về lôgic nh thế nào để học sinh
tránh sai lầm khi giải toán?
Theo thực nghiệm của chúng tôi, việc đa các ví dụ theo ngôn ngữ tự nhiên
cần đi trớc các thí dụ theo ngôn ngữ toán học. Đây chính là con đờng đi từ trực
quan sinh động đến t duy trừu tợng của nhận thức. Chẳng hạn có thể nêu
mệnh đề A = Trời nắng ; B = Đội mũ thì thông thờng học sinh đợc nhắc nhở
Nếu trời nắng thì đội mũ nên học sinh dƠ h×nh dung ra ý nghÜa cđa phÐp kÐo
theo A B.
A là đủ để có B nhng lu ý là nhiều học sinh vẫn đội mũ khi trời không
nắng, nghĩa là A cha phải là điều kiện cần để có B.
Đặc biêt, nếu A B là đúng thì đây là một ví dụ để nhấn mạnh mệnh đề
đảo B A không đúng, học sinh có thể thấy ngay việc mình đội mũ không làm
cho trời nắng.
Chẳng hạn, nếu A = số tự nhiên có tận cùng là 0 ; B = số tự nhiên có
tận cùng là 5 ; C = sè tù nhiªn chia hÕt cho 5
C ( A B ) do đó

thì ta cã ( A ∨ B ) ⇒ C ®ång thêi

( A B ) C là tiêu chuẩn chia hÕt cho 5 cđa sè tù nhiªn. Khi

kiĨm tra mét số chia hết cho 5 hay không chỉ cần kiểm tra A hoặc B. Từ đó phủ
15

www.huongdanvn.com
định mệnh đề này ta có ( A B) C , qua đây học sinh nắm rõ bản chất của dấu
hiệu chia hết cho 5.
Giáo viên có thể chủ động đa ra các suy luận sai để học sinh phân tích và
tránh vấp phải sau này.
Đặc biệt cần làm cho học sinh nắm đợc phơng pháp phân tích đi lên, phân
tích, tổng hợp, phản chứng, quy nạp.
Giáo viên cần tận dụng bất cứ cơ hội nào, miễn là hợp lí, để khắc sâu kiến
thức lôgic cho học sinh. Chẳng hạn với học sinh khá giỏi lớp 9, đối với hệ phơng
trình:
bx + y = a

2
x + by = c + c

Thì việc phân tích hai yêu cầu sau đây là khác nhau chính là tăng cờng kiến thức
lôgic.
- Tìm a sao cho với mọi b luôn tồn tại c để hệ có nghiệm.
- Tìm a sao cho tồn tại c để hệ có nghiệm với mọi b
Học sinh nắm vững các kiến thức về lôgic sẽ hạn chế đợc nhiều sai lầm
khi giải toán.
* Tình huống 4: Trang bị phơng pháp giải các bài toán cơ bản nh thế nào
để tránh sai lầm của học sinh khi giải toán?
Có thể nói rằng các loại toán cơ bản trong chơng trình Đại số THCS đều
có phơng pháp giải. Việc trang bị các phơng pháp giải này chính là làm cho học
sinh có điều kiện nắm vững các loại toán cơ bản:
Ví dụ: Giải phơng trình:
ax2 + bx + c = 0
a0

a=0
b=0
c=0
vô định

= b2 4ac

b0

c0

PT có nghiệm

VN

duy nhÊt

Δ<0 Δ=0
VN

Δ>0

nghiƯm kÐp 2 nghiƯm ph©n biƯt

ViƯc rÌn lun cho học sinh lập các sơ đồ nh trên vừa làm học sinh nắm
vững phơng pháp giải, vừa phát triển t duy cho học sinh. Từ đó học sinh có thể
tránh sai lầm khi giải toán.
Tuy nhiên cũng cần lu ý học sinh là với một loại toán có thể có nhiều phơng pháp giải khác nhau, học sinh cần biết lựa chọn phơng pháp giải tối u để giải
quyết bài to¸n cơ thĨ.

16


www.huongdanvn.com
Từ lời giải một bài toán cụ thể, giáo viên cần gợi ý cho học sinh tìm ra phơng pháp giải cho một lớp bài toán. Biện pháp này giúp học sinh hiểu bản chất
lời giải cụ thể và t duy khái quát hoá đợc phát triển. Tránh tình trạng làm bài
nào biết bài ấy.
Nhờ thực hiện biện pháp 1, trong đó có việc trang bị các kiến thức về lôgic
cho học sinh mà việc thực hiện kiểm tra sự có lí của từng bớc suy luận thực hiện
đợc thuận lợi.
Mỗi khi có lời giải sai là một dịp tốt để giáo viên cho học sinh thực hành
thao tác các dấu hiệu nhận biết sâu sắc một cách thú vị và giờ học toán sẽ hấp
dẫn và học sinh tích cực hoạt động, nói đúng ra là có điều kiện để tích cực hoạt
động.
2.3.2. Biện pháp 2: Học sinh đợc thử thách thờng xuyên với những bài
toán dễ dẫn đến sai lầm trong lời giải.
Đây là biện pháp thờng trực, kể cả khi sai lầm nào đó đà đợc phân tích và
sửa chữa cho học sinh.
Để thực hiện biện pháp này, giáo viên phải biết đặt các bài toán có chứa
các bẫy.
Với bài toán Chứng minh với mọi a, b, c th× (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ≥
8a2b2c2 đà lôi cuốn 98,5% học sinh tham gia và có lời giải. Tuy nhiên, khá đông
học sinh bị sai lầm trong lời giải của mình khi nhân các bất đẳng thức cùng
chiều.
Nh vậy, để đạt mục đích s phạm thì bẫy phải làm cho bài toán có tính
thử thách để đo độ vững vàng về những kiến thức cụ thể cđa häc sinh.
2.3.3. BiƯn ph¸p 3: Theo dâi mét sai lầm của học sinh khi giải toán
qua các giai đoạn:
*Giai đoạn 1: Sai lầm cha xuất hiện
ở giai đoạn này giáo viên có thể dự báo trớc các sai lầm và thể hiện ở các

chú ý đối với học sinh.
Chẳng hạn giáo viên có thể chú ý bất đẳng thức Cauchy chỉ đợc áp dụng
với các số không âm, vì vậy để chứng minh a (1 a)

1
bằng cách áp dụng
4

bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và 1 a là sai lầm. Tất nhiên, để dự báo tèt
17


www.huongdanvn.com
giáo viên phải đợc trang bị hiểu biết về các sai lầm của học sinh khi giải toán và
phải có năng lực chuyên môn, kinh nghiệm s phạm.
*Giai đoạn 2: Sai lầm xuất hiện trong lời giải của học sinh:
Đây là giai đoạn đòi hỏi giáo viên phải kết hợp đợc ba nguyên tắc kịp thời,
chính xác, giáo dục cùng với sự tích cực hoá của học sinh để vận dụng các hiểu
biết về việc kiểm tra lời giải nhằm tìm ra sai lầm, phân tích nguyên nhân và sửa
chữa lời giải.
Quy trình ở giai đoạn này là giáo viên theo dõi thấy sai lầm giáo viên
gợi ý để học sinh tìm ra sai lầm học sinh tự tìm ra sai lầm giáo viên gợi ý
chỉnh lời giải học sinh thể hiện lời giải đúng giáo viên tổng kết và nhấn
mạnh sai lầm đà bị mắc.
Nhiều sai lầm của học sinh khá tinh vi, có khi giáo viên không phát hiện
kịp thời.
Giai đoạn này đòi hỏi giáo viên phải có thái độ đối xử khéo léo s phạm để
tăng hiệu quả giáo dục.
Tuỳ theo mức độ sai lầm mà giáo viên quyết định sử dụng các biện pháp
s phạm thích hợp.

Có khi giáo viên cần ®a ra lêi gi¶i ®óng ®Ĩ häc sinh tù ®èi chiếu và tìm ra
sai lầm của lời giải sai, đây cũng là một gợi ý để học sinh nhận ra sai lầm.
Có khi giáo viên chủ động đa ra lời giải sai để học sinh nhận dạng các dấu
hiệu tìm ra sai lầm.
Có khi giáo viên đa ra nhiều lời giải khác nhau để học sinh phân biệt sự
đúng sai của lời giải, có thể sử dụng phơng pháp trắc nghiệm toàn lớp để mọi
học sinh đều phải suy nghĩ và có ý kiến.
Ngợc lại, nếu giai đoạn này giáo viên không kịp thời phân tích và sửa chữa
sai lầm của học sinh khi giải toán thì các sai lầm sẽ ngày càng trầm trọng, giáo
viên không hoàn thành nhiệm vơ d¹y häc, häc sinh sÏ sót kÐm vỊ kÕt quả.
* Giai đoạn 3: Sai lầm đà đợc phân tích và sửa chữa.
Giáo viên cần xây dựng hoạt động học cho học sinh và thử thách thờng
xuyên học sinh qua các bài toán dễ dẫn đến các sai lầm đà söa.
18


www.huongdanvn.com
Sự nỗ lực của thầy và trò cha dứt bỏ một sai lầm thì sai lầm đó lại bớc vào
một vòng tồn tại mới. Điều quan trọng là làm sao, cuối cùng có thể qua nhiều
vòng giáo viên cần xoá hẳn sai lầm cho học sinh.
Việc chia ba giai đoạn ®èi víi mét sai lÇm chØ cã ý nghÜa nhÊn mạnh thời
điểm của sai lầm. Trong một thời điểm dạy học giáo viên có khi đồng thời tác
động đến cả ba giai đoạn, bởi vì vừa phòng tránh các sai lầm cha xuất hiện,
vừa lo phân tích và sửa chữa các sai lầm đang xuất hiện đồng thời lo xoá hẳn
những sai lầm đà sửa chữa. Sơ đồ sau chỉ rõ sự kiên trì để xoá bỏ một sai lầm của
học sinh.
Sai lầm cha xuất
hiện

Sai lầm xuất

hiện

Phòng tránh

Phân tích sửa
chữa

Củng cố
thử thách

Chúng
Sai lầm
đợc
xoá bỏ

Chúng ta có thể khẳng định rằng, học sinh còn mắc nhiều sai lầm trong khi
giải toán, nếu những sai lầm của học sinh đợc hệ thống lại thì sẽ giúp giáo viên
dễ phát hiện trong lời giải của học sinh; những sai lầm đó xuất phát từ nhiều
nguyên nhân về kiến thức, để từ đó giáo viên có biện pháp phân tích, sửa chữa
sai lầm cho học sinh khi giải toán, nâng cao chất lợng giảng dạy học bộ môn
Toán ở trờng phổ thông.

19


www.huongdanvn.com

III. Kết luận
Đề tài đà chỉ ra các sai lầm của học sinh khi giải toán là hiện tợng phổ biến
hiện nay, kể cả học sinh khá giỏi môn toán. Các sai lầm này có thể hệ thống lại,

chẳng hạn theo từng loại toán chủ yếu nhằm giúp giáo viên dễ phát hiện và sửa
chữa cho học sinh.
Đề tài đà phân tích các nguyên nhân chủ yếu về kiến thức của học sinh gây
nên các sai lầm khi giải toán và đề xuất ba phơng châm chỉ đạo (tính kịp thời,
tính chính xác, tính giáo dục) để việc sử dụng bốn biện pháp s phạm nhằm hạn
chế và sửa chữa sai lầm cho học sinh có hiệu quả.
Nếu ngời giáo viên nắm bắt đợc các sai lầm phổ biến của học sinh khi giải
toán, đồng thời biết cách phân tích và sử dụng các biện pháp dạy học thích hợp
để hạn chế, sửa chữa các sai lầm này thì năng lực giải toán của học sinh sẽ đợc
nâng cao hơn.
Với kinh nghiệm của 20 năm dạy toán cho nhiều đối tợng và quản lý
chuyên môn, có thể bớc đầu đợc khẳng định tính khả thi, tính hiệu quả của các
biện pháp đà đề xuất.
IV. Khuyến nghị - đề xuất:
Các kết quả nghiên cứu còn có thể phát triển theo nhiều hớng. Chẳng hạn,
nghiên cứu các sai lầm của học sinh khi giải toán trong phân môn hình học hoặc
trong các môn học khác ở trờng trung học cơ sở. Nội dung có thể làm tài liệu
tham khảo bổ ích hoặc triển khai thành các chuyên đề bồi dỡng nghiệp vụ cho
giáo viên giảng dạy toán THCS.
Xác nhận của Phòng GD & ĐT
Trởng Phòng

20


www.huongdanvn.com
Xác nhận của UBND huyện
Chủ tịch

21