skkn rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh bằng pp vec tơ và pp tọa độ trong chương trình hình học 10

HOÀNG THỊ TÚ
RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC
SINH BẰNG PP VEC TƠ VÀ PP TỌA ĐỘ TRONG
CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC 10
CHUYÊN NGÀNH PPGD TOÁN
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGUỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. BÙI VĂN NGHỊ
Chương 1
PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ VÀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10
1.1. Sơ lược về PPVT , PPTĐ và vấn đề đưa chúng vào trong chương trình THPT.
Hình học là một ngành Toán học ra đời từ xa xưa với một lượng kiến thức rất lớn. Chúng ta
không thể đưa hết khối lượng kiến thức đó vào dạy học cho HS, vì vậy phải có sự chọn lọc một
cách khoa học, hợp lí về mặt ND kiến thức cũng như về PP học tập, nghiên cứu. Hơn nữa, khi
XD ND chương trình đảm bảo tính hiện đại để HS làm quen dần với Toán học cao cấp và nhanh
chóng tiếp cận với các thành tựu khoa học mới. Chình vì vậy, trong chương trình hình học ở
phổ thông hiện nay nhiều kiến thức cơ sở hình học trước đây đã được thu gọn, và bổ sung vào
đó là các PPVT và PPTĐ.
1.1.1. PPVT.
Một trong những khái niệm nền tảng của toán học hiện đại là véc tơ khái quát của nó là Ten xơ.
Việc sử dụng rộng rãi khái niệm véc tơ trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học, cơ học cũng
như kĩ thuật, đã làm cho khái niệm véc tơ ngày càng PT. Giữa thế kỉ XIX trong các công trình
của W.R. Hamiltơn (1805- 1865), A.F.Mobiles (1790-1868), khái niệm véc tơ đã được sử
dụng để nghiên cứu các tính chất của không gian 3 chiều và nhiều chiều. Cuối thế kỉ XIX, đầu
thế kỉ XX, phép tính véc tơ đã được PT và ứng dụng rộng rãi. Nhiều lí thuyết đã ra đời như đại
study, study and more study
1
số véc tơ, giải tích véc tơ, lí thuyết trường, giải tích ten xơ, lí thuyết tổng quát về không gian
véc tơ nhiều chiều. Các lí thuyết này đã được sử dụng để XD thuyết tương đối- lí thuyết đóng
vai trò rất quan trọng trong vật lí hiện đại. Cũng trên cơ sở véc tơ người ta đã XD các phân môn

đại số tuyến tính, hình học giải tích, hình học vi phân. Việc sử dụng véc tơ để nghiên cứu hình
học đã hình thành nên một phương pháp gọi là phương pháp véc tơ.
Trong lịch sử toán học, việc sử dụng PPVT để nghiên cứu hình học đã chia thành 2 mức độ.
Mức độ 1: Đại số hoá hình học bằng phương pháp véc tơ. Phương pháp này cho phép trực tiếp
thực hiện các phép toán, nghiên cứu các mối quan hệ ngay trên đối tượng hình học mà không
thông qua lĩnh vực số như trong PPTĐ. Tức là không cần phải toạ độ hoá các hình mà vẫn giải
được các bài toán hình học thông qua các phép toán trên véc tơ. ở mức độ này, PPVT dựa vào
đối tượng có bản chất hình học là lớp những đường thẳng định hướng tương đương, trên đó
định nghĩa các phép toán đại số như phép cộng véc tơ, phép nhân véc tơ với một số.
ở mức độ này, hình học được xây dựng theo PPVT vẫn cho phép khai thác trực giác các hình
ảnh hình học trong không gian vật lí 3 chiều khi giải toán với việc sử dụng những kĩ thuật của
đại số véc tơ. ở giai đoạn này, vec tơ mang bản chất: Hình học- đại số. Trong các SGK dùng
trong nhà trường phổ thông nếu xây dựng hình học bằng PPVT đều đi theo hướng này.
Mức độ 2: Hình học trong không gian vật lí 3 chiều là một mô hình của cấu trúc đại số. Mức độ
này xuất hiện khi có cấu trúc không gian véc tơ trừu tượng, trong đó các véc tơ được hiểu là các
phần tử của tập hợp nào đó thoả mãn các tiên đề trong định nghĩa không gian véc tơ. Khái niệm
véc tơ ở mức độ 1 chỉ là một trường hợp đặc biệt khi phần tử của tập hợp là lớp các đoạn thẳng
định hướng tương đương. Mỗi phần tử trong không gian véc tơ được gọi là một véc tơ, do đó
véc tơ có thể là một số thực (trong R- không gian véc tơ R) hay có thể là một đa thức (trong R
không gian véc tơ K[x] các đa thức một biến x, ).
Từ không gian véc tơ ta xây dựng các không gian như không gian afin, không gian ơclit,
không gian xạ ảnh, sử dụng các kết quả trong không gian trừu tượng đó trong mô hình cụ thể
ta nhận được nhiều kết quả của hình học thông thường. Ví dụ: Trong hình học afin ta có kết
quả: “ Trong không gian afin n chiều, một m – phẳng nằm ngoài một siêu phẳng nếu cắt siêu
phẳng đó thì sẽ cắt theo một (m-1) phẳng”. Kết quả này khi không gian afin là mặt phẳng thông
study, study and more study
2
thường ta nhận được kết quả sau: “ Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt nếu cắt nhau
thì chỉ cắt tại một điểm”
1.1.2. Phương pháp toạ độ.

Nếu như hình học đã có từ thời Oclit (thế kỉ thứ III trước CN) thì mãi đến năm 1931, Rơ nê Đề
Các (1596-1650) – Một nhà triết học kiêm vật lí học và toán học người Pháp đã khám phá ra
những nguyên lí của môn hình học giải tích. Ông đã dùng đại số để đơn giản hình học cổ điển.
Trong phần cuối công trình triết học lớn của mình, xuất bản năm 1637, ông đã trình bày về
PPTĐ và những ứng dụng của PP này trong việc giải toán hình học.
PT tư tưởng của Đề Các, môn hình học giải tích đã ra đời và cung cấp cho chúng ta phương
pháp nghiên cứu hình học bằng công cụ đại số. Sự ra đời của PPTĐ đã lập được MQH mật thiết
giữa hai ngành khác nahu của Toán học, đó là hình học và đại số. Người ta xem đây là một cuộc
CM trong Toán học, vì nó giúp cho toán học nói chung và hình học nói riêng thoát ra khỏi cái
tư duy cụ thể của không gian vật lí để đạt tới những đỉnh cao của sự trừu tượng và khái quát.
Mặt khác, PPTĐ dùng trong các không gian một chiều, hai chiều và ba chiều có thể mở rộng
cho không gian n chiều. Thật vậy, khi khái niệm “ Chiều” theo nghĩa Vật lí được trừu tượng hoá
và mở rộng, ta được “chiều” theo nghĩa Toán học. Và như vậy ta được khái niệm không gian n
chiều và ta có thể nghiên cứu hình học của các không gian đó, chẳng hạn như không gian véc tơ
n chiều, không gian afin, không gian oclit n chiều, Trong các không gian n chiều đó, các khái
niệm đường thẳng , mặt phẳng đã được khái quát thành khái niệm m- phẳng với 1
≤
m
≤
n-1.
Với PPTĐ người ta có thể đại số hoá hình học bằng cách thay thế các đối tượng và các quan hệ
hình học bằng những quan hệ đại số, thông qua trung gian là một hệ toạ độ. Ví dụ: Trong mặt
phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc cho trước, điểm được biểu diễn là một cặp số có thứ tự
(x, y); đường thẳng được biểu diện là tập hợp các điểm (x ,y) thoả mãn phương trình Ax + By +
C = 0, trong đó A, B là các số không đồng thời bằng 0; tổng quát hơn, một đường thẳng bất kì
trong mặt phẳng được biểu diễn bằng phương trình f(x, y) = 0. Giao điểm của hai đường thẳng
có phương trình Ax + By + C = 0 và A’x + B’y + C’ = 0 được biểu diễn bằng tập nghiệm của hệ
phương trình:
study, study and more study
3

0
' ' ' 0
Ax By C
A x B y C
+ + =


+ + =

Ngoài ra ta còn có thể biểu thị nhiều hình khác nhau bằng các phương trình và bất phương trình.
Tất cả các định lí hình học đều có thể chuyển thành quan hệ đại số giữa các con số, các chữ và
các phép toán đại số. Bằng PPTĐ chúng ta có thể trình bày nhiều bài toán hình học ở phổ thông
mà không dựa vào hình vẽ. Ví dụ: Trong mặt phẳng muốn xác định vị trí tương đối của hai
đường thẳng nào đó, rồi tìm nghiệm của hệ gồm hai phương trình vừa tìm được. Tuỳ theo hệ
phương trình vô nghiệm, có nghiệm duy nhất hay vô số nghiệm ta kết luận được hai đường
thẳng song song, cắt nhau tại một điểm hay trùng nhau.
Nói tóm lại, với PPTĐ ta có thể thay những đối tượng, những tính chất hình học thành những
biểu thức và phương trình đại số, chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số và làm việc
thuần tuý trong lĩnh vực đại số. ở đây, phép toán đại số là hạt nhân của phép giải toán và về
nguyên tắc nó thoát khỏi trực giác hình học.
1.1.3. Vấn đề đưa PPVT và PPTĐ vào chương trình THPT ở nước ta.
Như đã trình ở trên, PPVT và PPTĐ là các PP cơ bản của toán học. Những PP này không chỉ
cung cấp cho HS các công cụ mới để nghiên cứu hình học mà chúng còn có tính chất hiện đại
hơn và mang nhiều ưu điểm so với PP truyền thống. Vì vậy, trong chương trình cải cách GD
chúng ta đã đưa PPVT và PPTĐ vào dạy trong chương trình HH lớp 10 và lớp 12.
Việc đưa PPVT và PPTĐ vào chương trình THPT ở nước ta nói riêng và nhiều nước trên TG
nói chung dựa vào các lí do cơ bản sau:
- PPVT và PPTĐ cho phép tiếp cận những kiến thức toán phổ thông một cách nhanh chóng,
tổng quát, đôi khi không cần đến hình vẽ. Mặt khác, chúng có tác dụng tích cực PT tư duy trừu

tượng, năng lực phân tích, tổng hợp,
- Hai PP này trang bị những công cụ giải toán, có thể xây dựng lí thuyết hình học chặt chẽ theo
tinh thần toán học hiện đại, đồng thời trình bày được các cách đại số hoá hình học và hình học
hoá đại số.
- Việc sử dụng PPVT và PPTĐ góp phần mở rộng nhãn quang toán học, góp phần PT năng lực
giải toán cho HS, như tạo khả năng cho HS làm quen với những phép toán trên các đối tượng
study, study and more study
4
không phải là các số, những lại có những tính chất tương tự. Điều đó sẽ dẫn đến sự hiểu biết về
tính thống nhất của Toán học, về các phép toán Đại số, các cấu trúc đại số.
- Việc học hai PP này tạo điều kiện thực hiện MQH giữa môn toán và một số môn khác trong
chương trình phổ thông. Ví dụ như việc sử dụng thành thạo các phép toán trên các véc tơ sẽ
giúp cho HS học bộ môn vật lí tốt hơn.
- Hiện nay, nhiều bộ môn toán ở bậc Cao đẳng , Đại học được XD trên c/s véc tơ và PPTĐ như
hình học giải tích, đại số tuyến tính, hình học vi phân, hình học xạ ảnh, Vì thế, việc nắm vững
hai PP này ở phổ thông sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho HS tiếp tục một cách không đột ngột
chương trình Toán ở các trường Cao Đẳng, Đại Học hoặc không khó khăn lắm khi tiếp cận với
một số thông tin về khoa học, kĩ thuật hiện đại.
Hiện nay trường trung học c/s HS được học hình học bằng PP tổng hợp và bắt đầu làm quen
với hệ toạ độ Đề các vuông góc. ở trường THPT HS được học véc tơ và toạ độ từ lớp 10 đến
lớp 12. Theo chương trình hiện hành, ở lớp 10 bắt đầu đề cập đến véc tơ và mở đầu về toạ độ
trong mặt phẳng. Tiếp đó sử dụng công cụ mới này và PP toán học mới-PPVT để khảo sát các
hệ thức đối với tam giác, đối với đường tròn và ứng dụng một phần để nghiên cứu một số phép
biến hình (phép tịnh tiến, phép vị tự, ).
Đến lớp 11 HS học hình học không gian bằng PP tổng hợp. ở lớp 12 HS tiếp tục được nghiên
cứu HHP và HHKG bằng PPTĐ với ND là: PPTĐ trong mặt phẳng, véc tơ trong không gian,
PPTĐ trong không gian.
Như vậy, trong chương trình hình học ở trường phổ thông hiện nay, PPVT và PPTĐ được xem
là những PP toán học cơ bản được kết hợp cùng với PP tổng hợp để nghiên cứu những đối
tượng và quan hệ hình học ở trên mặt phẳng và trong không gian.

1.2. Cơ sở lí luận của PPVT và PPTĐ đê giải các bài toán hình học phẳng.
1.2.1. Không gian véc tơ:
* Không gian véc tơ: (Xem sách ĐSTT)
1.2.2. Các hệ toạ độ trong mặt phẳng:
a. Hệ tọa độ afin (hay còn gọi là hệ toạ độ xiên).
* Hệ toạ độ afin:
study, study and more study
5
Hệ toạ độ afin gồm một điểm gốc O và 2 véc tơ cơ sở
1 2
,e e
ur ur
.
* Toạ độ afin của một điểm trong mặt phẳng:
Với mọi véc tơ
u
r
bất kì trong mặt phẳng ta có một cặp duy nhất (x, y) sao cho
1 2
u xe ye= +
r ur ur
.
Cặp số (x, y) đó được gọi là toạ độ của véc tơ
u
r
đối với hệ toạ độ afin
1 2
{ ; , }O e e
uurur
.

* Phương trình của đường thẳng trong hệ toạ độ afin của mặt phẳng:
Trong mặt phẳng cho hệ toạ độ afin
1 2
{ ; , }O e e
uurur
. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua
điểm M
0
(x
0
, y
0
) có véc tơ chỉ phương
( , )u
α β
=
r
là:

0
0

x x t
y y t
α
β
= +


= +


(trong đó t là tham số).
Phương trình tổng quát của đường thẳng: Ax + By + C = 0, trong đó A và B là hai số không
đồng thời bằng 0. Đường thẳng có PT trên nhận véc tơ
=(B,-A) u
r
là véc tơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
, y
0
) có véc tơ chỉ phương
( , )u
α β
=
r
là:
0 0
x x y y
α β
− −
=
.
Nếu chỉ nghiên cứu các MQH liên thuộc, thẳng hàn, tương giao của hai đường thẳng trong mặt
phẳng ta có thể dùng hệ toạ độ afin.
b. Hệ toạ độ Đề các vuông góc (hay hệ toạ độ trực chuẩn).
* Định nghĩa: Trong mặt phẳng hệ toạ độ afin
1 2

{ ; , }O e e
uurur
trở thành một hệ toạ độ Đề các vuông
góc nếu
1 2
1e e= =
ur ur
và
1 2
e e⊥
ur ur
.
* Véc tơ trong hệ toạ độ Đề các vuông góc: Giả sử đối với hệ toạ độ trực chuẩn
1 2
{ ; , }O e e
uurur
ta có
1 1 2 2
( , ), ( , )u x y v x y= =
r r
.
+ Hai véc tơ bằng nhau khi và chỉ khi các toạ độ tương ứng của chúng bằng nhau.
+
1 2 1 2
( , )u v x x y y+ = + +
r r
.
+
1 2
( , );mu mx mx m R= ∈

r
.
study, study and more study
6
+ Điểm M gọi là chia đoạn AB theo tỉ số k nếu
MA kMB=
uuur uuur
. Khi đó nếu A = (x
A
, y
A
), B = (x
B
,
y
B
) thì M có toạ độ:
,
1 1
A B A B
M M
x kx y ky
x y
k k
− −
= =
− −
.
+ Tích vô hướng của 2 véc tơ dưới dạng toạ độ:
1 2 1 2

uv x x y y= +
rr
.
+ Độ dài véc tơ
u
r
là
2 2
1 1
u x y= +
r
.
+ Góc tạo bởi hai véc tơ
,u v
r r
kí hiệu là
ϕ
thì:
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
x x y y
x y x y
ϕ
+
=
+ +
.
* Chú ý quan trọng:

Hệ toạ độ Đề các là một hệ trục toạ độ đặc biệt, vì vậy các vấn đề có liên quan đến hệ toạ độ
afin ở phần trên vẫn được xét tương tự như đối với hệ toạ độ Đề các vuông góc.
Phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng được XD
như đối với hệ toạ độ afin. Tuy nhiên khi xét phương trình tổng quát của một đường thẳng trong
hệ toạ độ Đề các vuông góc cần chú ý thêm:
- Đường thẳng có PT tổng quát Ax + By + C = 0 nhận véc tơ
( , )n A B=
r
là véc tơ pháp tuyến.
- Ngoài các dạng của dạng phương trình đường thẳng đã được trình bày trong hệ toạ độ afin,
trong hệ toạ độ Đề các vuông góc đường thẳng còn có một dạng phương trình khác nữa là PT
pháp dạng của đường thẳng. Đó là phương trình dạng véc tơ pháp tuyến là véc tơ đơn vị.
* Vị trí tương đối của các đường thẳng trong mặt phẳng: Hai đường thẳng Ax + By + C = 0 và
A’x + B’y + C’ = 0.
+ Vuông góc với nhau khi và chỉ khi AA’ + BB’ = 0.
+ Song song với nhau khi và chỉ khi
' '
A B
A B
=
.
+ Cắt nhau khi và chỉ khi
' '
A B
A B
≠
.
+ Trùng nhau khi và chỉ khi
' ' '
A B C

A B C
= =
.
* Phương trình chùm đường thẳng:
study, study and more study
7
- Chùm đường thẳng là họ tất cả các đường thẳng cùng đi qua một điểm cố định, gọi là đỉnh của
chùm.
- Nếu đỉnh của chùm là giao điểm của hai đường thẳng Ax + By + C = 0 và A’x + B’y + C’ = 0
thì ta có PT của chùm:
λ (Ax + By + C) + µ (A’x + B’y + C’) = 0, trong đó λ, µ không đồng thời bằng 0.
* Tính góc trong hệ toạ độ Đề các vuông góc:
* Tính khoảng cách với hệ toạ độ Đề các vuông góc:
1.2.3. Tính bất biến trong mặt phẳng toạ độ:
a. Tính bất biến afin:
Với hai cách chọn hệ toạ độ afin tuỳ ý trong mặt phẳng các tính chất: phương , chiều được biểu
diễn qua các biểu thức toạ độ được bảo toàn. Ví dụ: Giả sử
1 2
{ ; , }O e e
uurur
(1) và
1 2
{ '; ' , ' }O e e
uuruur
(2) là 2
hệ toạ độ afin trong mặt phẳng. Đối với hệ toạ độ (1) các điểm M, N có toạ độ tương ứng là
M(x
1
, y
1

); N(x
2
, y
2
). Đối với hệ toạ độ (2) các điểm M, N có toạ độ tương ứng là M(x’
1
, y’
1
),
N(x’
2
, y’
2
). Khi đó đối với hệ toạ độ (1) véc tơ
MN
uuuur
có toạ độ
MN
uuuur
(x
2
– x
1
, y
2
– y
1
) và với hệ toạ
độ (2) véc tơ cũng có toạ độ
MN

uuuur
(x’
2
– x’
1
, y’
2
– y’
1
).
b. Tính bất biến trong hệ toạ độ Đề các vuông góc:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc thì các kết quả của tích vô hướng, khoảng
cách giữa hai điểm, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, không phụ thuộc vào việc
chọn hệ toạ độ Đề các vuông góc.
1.3. ND của chương trình HH 10.
1.3.1. Nhiệm vụ dạy học HH 10.
Cấp học THPT là một cấp học có nhiệm vụ nâng cao và hoàn chỉnh trình độ văn hoá phổ thông,
tạo nguồn để HS tiếp tục học ở các trường Đại học, Cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, trường
dạy học nghề hoặc có thể đi ngay vào SX.
Chương trình HH 10 đảm nhận các nhiệm vụ cơ bản sau:
1. Bổ sung và hoàn thiện một số kiến thức về HHP như:
- Khái niệm về véc tơ và toạ độ.
- Hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn.
study, study and more study
8
- Hệ thống lại các phép dời hình và phép đồng dạng.
2. Tiếp tục rèn luyện và phát triển tư duy lô gíc, trí tưởng tượng không gian , kĩ năng vận dụng
kiến thức HH vào việc giải toán, vào hoạt động thực tiễn, vào việc học tập các bộ môn khác.
1.3.2. Những chú ý khi giảng dạy HH 10.
Từ năm 2000- 2001, các trường THPT trong cả nước đã dùng chung một bộ sách giáo khoa

chỉnh lí hợp nhất đã sử dụng từ năm 1990. Để giảng dạy tốt chương trình HH 10 trước hết GV
phải hiểu rõ lí do phải chỉnh lí hợp nhất SGK.
Trong các buổi thảo luận về SGKT phổ thông, ý kiến chung đều cho rằng ND của SGKT phải
gồm những vấn đề cơ bản nhất của bộ môn Toán, đáp ứng được những đòi hỏi của khoa học,
của đời sống XH và phải không lạc hậu nhiều so với các nước tiên tiến. Qua 10 năm sử dụng,
SGKT đã bộc lộ những ưu, khuyết điểm của nó, trong đó có một số ND lại được khai thác quá
sâu cho mục đích luyện thi vào đại học và Cao đẳng.
Bộ SGKT chỉnh lí hợp nhất vẫn bao gồm những kiến thức cơ bản như trong 3 bộ SGK trước
đây, nhưng có một số ND được điều chỉnh bằng 3 PP sau:
- Loại bỏ những kiến thức không thật cơ bản.
- Giảm những yếu tố có tính chất kinh viện, học thuật, tăng cường các yếu tố thực hành. Chẳng
hạn, bỏ những bài toán có ử dụng cách CM quá phức tạp, tìm các PP tiếp cận đơn giản tuy có
phải hy sinh phần nào tính chính xác khoa học, lựa chọn thêm các VD minh hoạ,
- Đề cao các yếu tố sư phạm như: Thống nhất các kí hiệu và thuật ngữ dùng trong sách, chú ý
tính mẫu mực của các VD hay bài giải mẫu, số lượng bài tập ra vừa phải và với những yêu cầu
thích hợp, bỏ qua bài tập quá khó. Trên tinh thần đó, có những điều chỉnh quan trọng sau đây
liên quan đến HH 10: Vận dụng véc tơ để giải toán HH là một ND rất hay, có tính rèn luyện tư
duy tốt nhưng cũng rất khó và mất nhiều thời gian, do đó, trong sách mới không đề cao yêu cầu
này. Véc tơ trong HH 10 có vai trò là đối tượng nghiên cứu nhiều hơn là công cụ nghiên cứu.
Nói khác đi, các bài tập về dùng véc tơ để giải toán HH sẽ chỉ còn rất hạn chế . Vấn đề vận
dụng các hệ thức lượng trong các hình để giải tam giác và giải các bài toán thực tế được coi
trọng hơn nhằm tăng cường những yếu tố thực hành. Yêu cầu về các phép biến hình trong mặt
phẳng, một vấn đề khó không những đối với người học mà còn cả đối với người dạy là không đi
sâu vào các vấn đề quá trừu tượng mà đi thẳng vào các phép biến hình cụ thể, bỏ qua các khái
study, study and more study
9
niệm tích các phép biến hình tuy có nói tới việc thực hiện liên tiếp hai phép biến hình. Các bài
tập cũng chỉ tập trung vào việc nhận biết các phép biến hình mà không yêu cầu cao về vận dụng
biến hình trong giải toán.
Với tinh thần trên, trong SGK HH 10 ND được trình bày theo đề cương sau:

Chương 1: Véc tơ
Chương 2: Hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn
Chương 3: Các phép dời hình và phép đồng dạng
1.3.3. Mục đích yêu cầu của PPTĐ và PPVT trong chương trình HH 10.
Trong chương trình HH 10 HS được học về véc tơ, các phép toán trên các véc tơ, sau đó là
trục, hệ trục toạ độ, toạ độ của điểm, toạ độ của véc tơ và một vài ứng dụng quan trọng đơn giản
của PPTĐ. Chẳng hạn, các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn được xây dựng
nhờ véc tơ cùng các phép toán, đặc biệt là tích vô hướng của hai véc tơ; phép vị tự được định
nghĩa theo một đẳng thức véc tơ,
Các yêu cầu tối thiểu đối với HS về chủ đề véc tơ là:
- Về kiến thức cơ bản: nắm dược khái niệm véc tơ, hai véc tơ bằng nhau, hai véc tơ đối nhau,
véc tơ không; quy tắc ba điểm (còn gọi là quy tắc tam giác), quy tắc hình bình hành; quy tắc
trung điểm, định nghĩa và tính chất của phép cộng, phép trừ, phép nhân véc tơ với một số thực,
tích vô hướng của hai véc tơ.
- Về kĩ năng cơ bản: Biết dựng một véc tơ bằng véc tơ cho trước, biết lập luận hai véc tơ bằng
nhau; vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm để dựng véc tơ tổng và giải một số bài
toán; biết xác định số thực k đối với hai véc tơ cùng phương
,a b
r r
sao cho
b ka=
r r
; vận dụng tính
chất cơ bản của tích vô hướng, đặc biệt để xác định điều kiện cần và đủ của hai véc tơ khác véc
tơ không vuông góc với nhau; vận dụng tổng hợp kiến thức về véc tơ để nghiên cứu một số
quan hệ hình học như: tính thẳng hàng của 3 điểm, trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của
tam giác, giao điểm hai đường chéo hình bình hành,
Mức độ các yêu cầu tối thiểu về chủ đề toạ độ là:
- Về kiến thức cơ bản: Định nghĩa hệ trục toạ dộ Đề các vuông góc trên mặt phẳng, sự tương
ứng 1-1 giữa tập hợp các cặp số thực (x, y) với tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ.

study, study and more study
10
- Về kĩ năng cơ bản: Phân tích một véc tơ theo hai véc tơ khác
0
r
không cùng phương cho trước;
xác định toạ độ của một véc tơ trên mặt phẳng toạ độ và xác định một véc tơ biết toạ độ của nó;
vận dụng tổng hợp kiến thức về toạ độ để tính toạ độ của một điểm khi biết toạ độ của một số
điểm khác có quan hệ hình học với điểm này như: tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng theo
hai đầu mút của nó, tính toạ độ trọng tâm của tam giác khi biết các toạ độ của ba đỉnh tam
giác,
1.4. Xung quanh khái niệm năng lực giải toán.
4.4.1. Nguồn gốc của năng lực.
Cuộc tranh luận gay gắt và kéo dài từ cuối thế kỉ 19 đến nay về bản chất và nguồn gốc của năng
lực, tài năng vẫn chưa kết thúc. Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trên một số quan điểm cơ
bản, quan trọng về lí luận cũng như về thực tiễn:
+ Một là, những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu cho sự phát triển năng
lực. Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vật bậc cao sống với người hành ngàn năm vẫn
không có năng lực như con người vì chúng không có các tư chất bẩm sinh di truyền làm tiền đề
cho sự phát triển năng lực).
+ Hai là, năng lực con người có nguồn gốc XH, LS. Muốn một người của thế hệ sau được PT
trong TG tự nhiên, XH đã được các thế hệ trước cải tạo, XD và để lại các dấu ấn đó trong môi
trường VH-XH. Con người khi lọt lòng mẹ đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự PT các năng
lực tương ứng, nhưng nếu không có môi trường XH thì cũng không PT được (chẳng hạn một
em bé ấn độ, )
+ Ba là, năng lực có nguồn gốc từ hoạt đọng và là sản phẩm của hoạt động. Sống trong môi
trường XH tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra và chiujswj tác động của nó, trẻ em và người lớn
ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để
lại, mà còn chiếm lĩnh chúng và quan trọng hơn là cải tạo chúng để không chỉ đạt được các kết
quả “vật chất” mà còn tạo ra tiền đề mới cho hoạt động tiếp theo.

Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực, tài năng là hiện tượng có bản chất nguồn gốc
phức tạp. XH, các tố chất và hoạt động của con người tương tác qua lại với nhau để tạo ra các
năng lực, tài năng. Vậy đào tạo có hiệu quả nhất là đưa HS vào các dạng hoạt động thích hợp.
study, study and more study
11
1.4.2. Năng lực.
Năng lực là những đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của một loại
hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt loại hoạt động đó.
Thông thường, một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ
xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ TB của
những người khác cùng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện và hoản cảnh tương
đương.
Người ta thường phân biệt ba trình độ của năng lực:
+ Năng lực là tổng hoà các kĩ năng, kĩ xảo.
+ Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt động có kết quả cao,
những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổ của những thành tựu đạt được của XH
loài người.
+ Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được những thành tựu sáng tạo
mà có ý nghĩa lịch sử vô song.
Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định của con người. Năng
lực chỉ nảy sinh và quan sát dược trong hoạt động giải quyết những yêu cầu đặt ra.
1.4.3. Năng lực Toán học
Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực Toán học sẽ được giải thích trên hai bình diện:
+ Như là các năng lực sáng tạo (khoa học)- các năng lực hoạt động toán học tạo ra được các kết
quả, thành tựu mới, khách quan và quý giá.
+ Như là các năng lực học tập giáo trình phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các
kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng.
Như vậy, năng lực học toán là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là các đặc đitueejhoatj
động trí tuệ) đáp ứng được các yêu cầu của hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các
kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong

những điều kiện như nhau.
1.4.4. Năng lực giải toán
Là đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán, và là
điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán đó.
study, study and more study
12
Thông thường, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ
năng, kĩ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung
bình của những người khác cũng tiến hành hoạt động giải toán đó trong những điều kiện và
hoàn cảnh tương đương.
Các thành phần của năng lực giải toán gồm: năng lực phân tích tổng hợp; năng lực khái quát
hoá; năng lực suy luận lô gic; năng lực rút gọn quá trình suy luận; năng lực tư duy linh hoạt;
năng lực tìm ra lời giải hay; năng lực tư duy thuận nghịch; trí nhớ toán học, Để nghiên cứu
năng lực giải toán của HS qua việc giải các bài toán thực nghiệm, không những chỉ cần nghiên
cứu kết quả giải toán mà còn phải nghiên cứu cả quá trình suy luận để giải ra bài toán.
Để rèn luyện năng lực giải toán cho HS, phương pháp tốt nhất là đưa ra một hệ thống bài tập
nhằm giúp cho HS nắm vững tri thức, PT tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học
vào thực tiễn.
Trong phạm vi luận văn, việc XD hệ thống bài tập HHP có sử dụng công cụ véc tơ và toạ độ,
nhằm bồi dưỡng và rèn luyện cho HS những năng lực giải toán trên.
• ý nghĩa, vai trò tác dụng của hệ thống bài tập:
+ ý nghĩa: ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với HS có thể xem
việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Việc giải bài toán có nhiều ý
nghĩa (theo cuốn PPDH toán ở trường THCS-NXBGD-1998- Hoàng Chúng)
1. Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức và rèn luyện kĩ năng.
Trong nhiều trường hợp, giải bài toán là một hình thức rất tốt để dẫn dắt HS tự mình đi đến
kiến thức mới.
2. Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực
tế, vào các vấn đề mới.
3. Đó là hình thức tốt nhất để GV kiểm tra HS và HS tự kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp

thu và vận dụng kiến thức đã học.
4. Viẹc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho HS, PT trí tuệ và GD, rèn luyện
con người HS về rất nhiều mặt.
Việc giải bài toán cụ thể không chỉ nhằm vào việc một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường
bao hàm những ý nghĩa nhiều mặt đã nêu.
study, study and more study
13
Căn cứ vào vị trí và ý nghĩa của PPVT và PPTĐ trước tiên phải nhằm bồi dưỡng một số
năng lực toán học cho HS. Theo V.A.Krutexki, cấu trúc năng lực toán học của HS có thể
tóm tắt thành 9 yếu tố chủ yếu là:
1. Năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài
toán.
2. Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không gian, hệ thống kí hiệu
số và dấu, năng lực tư duy bằng các kí hiệu toán học.
3. Năng lực khái quát hoá nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng quan hệ toán học và các
phép toán.
4. Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương ứng, năng
lực tư duy bằng các cấu trúc được rút gọn.
5. Tính linh hoạt của các quá trình tư duy trong hoạt động toán học.
6. Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm hợp lí của lời giải .
7. Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình tư duy, năng lực
chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo (trong suy luận toán học)
8. Trí nhớ toán học , tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học, đặc điểm về loại, các
sơ đồ suy luận và CM, về các PP giải toán, nguyên tắc, đường lối giải toán.
9. Khuynh hướng toán học của trí tuệ.
+ Các chức năng của hệ thống bài tập:
Hệ thống bài tập có các chức năng sau:
[1] Chức năng dạy học: Giúp cho HS củng cố những tri thức, kĩ năng ,kĩ xảo ở những giai
đoạn khác nhau của quá trình dạy học; làm sáng tỏ và khắc sâu những vấn đề lí thuyết. Thu
gọn, mở rộng bổ sung cho lí thuyết trên c/s thường xuyên hệ thống hoá kiến thức mà nhấn

mạnh phần trọng tâm của lí thuyết. Đặc biệt hệ thống bài tập còn mang tác dụng GD kĩ thuật
tổng hợp thể hiện qua việc giúp HS:
i) Rèn luyện kĩ năng tính toán, sử dụng đồ thị, bảng biến thiên.
ii) Thói quen đặt vấn đề một cách hợp lí, ngắn gọn, tiết kiệm thời gian và PP tư duy.
[2] Chức năng GD: Giúp HS hình thành thế giới quan duy vật biện chứng, niềm tin phẩm
chất đạo đức của con người lao động mới, rèn luyện cho HS đức tính kiên nhẫn, chính xác
study, study and more study
14
chu ddaostrong học tập, từng bước nâng cao hứng thú học tập môn toán, PT trí thông minh,
sáng tạo.
[3] Chức năng PT: Giúp HS ngày càng nâng cao khả năng độc lập suy nghĩ, rèn luyện các
thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, suy diễn, quy nạp, tương tự, Thông thạo một số PP
suy luận toán học, biết phát hiện và giải quyết vấn đề một cách thông minh, sáng tạo.
[4] Chức năng Kiểm tra: Thông qua hệ thống bài tập, GV có thể kiểm tra, đánh giá kết quả
học tập của HS trong quá trình dạy học. Kiểm tra, đánh giá nhằm cung cấp cho GV và HS
những thông tin về kết quả dạy học: về tri thức, Kĩ năng, năng lực giải toán và hiệu quả dạy
học của GV.
1.5. Những khó khăn của HS khi giải toán HHP bằng PPVT và PPTĐ:
1.5.1. Những điều cần lưu ý khi dạy véc tơ và toạ độ trong HH lớp 10.
Như đã trình bày ở trên, ngay từ chương đầu tiên chúng ta đã trình bày cho HS các khái
niệm hoàn toàn mới: đó là véc tơ, các phép toán trên véc tơ và hệ trục toạ độ Đề các vuông
góc. Các khái niệm này được sử dụng trong trong toàn bộ ND của HH 10, và chúng còn tiếp
tục lặp lại và mở rộng thêm ở lớp 12.
Lần đầu tiên HS được làm quen với một đối tượng mới là véc tơ, mà trên đó vẫn có các phép
cộng, trừ, nhân như là đối với các số. Mặt khác các phép toán trên các đối tượng mới lại có
nhiều tính chất tương tự như đối với các số. Chẳng hạn phép cộng các véc tơ cũng có tính
chất giao hoán, kết hợp, các quy tắc rút gọn, chuyển vế,
Bởi vậy điều quan trọng là GV cần làm cho HS nắm chắc được bản chất của các khái niệm
được đưa ra và vận dụng chúng một cách đúng đắn. Người GV phải hết sức lưu ý trong việc
dạy cho HS về véc tơ và toạ độ ngay trong các tiết dạy lí thuyết. Điều đó chuẩn bị những c/s

ban đầu cho HS để họ có thể dùng véc tơ và toạ độ làm phương tiện sau này để chuyển
những khái niệm hình học cùng những mQH giữa các đối tượng hình học sang những khái
niệm đại số và quan hệ đại số. Từ đó giải được các bài toán HHP bằng PPVT và PPTĐ.
Một trong những biện pháp giúp cho HS nắm chắc các khái niệm là GV phải soạn ra các hệ
thống câu hỏi nắm chắc các khái niệm là GV phải soạn ra hệ thống câu hỏi và lựa chọn các
bài tập thích hợp nhằm củng cố các khái niệm mới cho HS. VD: Sau khi có khái niệm véc tơ
và sự bằng nhau của hai véc tơ, ta có câu hỏi đầu tiên: Cho tam giác ABC. Có thể xác định
study, study and more study
15
bao nhiêu véc tơ khác véc tơ không mà có điểm đầu và đỉêm cuối là một trong các đỉnh A,
B, C ? Câu trả lời dường như khá đơn giản: Có 6 véc tơ . Tuy nhiên nếu GV hỏi trong 6 véc
tơ đó có những véc tơ nào bằng nhau hay không ? thì buộc HS phải suy nghĩ để tìm ra câu
trả lời đúng. Và trong quá trình đó HS hiểu và ghi nhớ ngay được khái niệm hai véc tơ bằng
nhau.
Điều quan trọng để HS có thể sử dụng PPVT và PPTĐ giải toán HHP là chuyển ngôn ngữ
véc tơ sang ngôn ngữ toạ độ và ngược lại. Do đó trong khi dạy học, GV phải liên hệ những
sự kiện hình học mà HS đã được học ở các lớp dưới với những điều đang học, từ đó diễn tả
chúng bằng ngôn ngữ véc tơ hay ngôn ngữ toạ độ và ngược lại. Nói cách khác là cần phải
rèn luyện cho HS biết cách chuyển đổi giữa các ngôn ngữ một cách thành thạo. Khi đó một
bài toán hình học nói chung HS được trang bị 3 công cụ để giải. Còn vấn đề sử dụng PP nào
để giải các bài toán hình học cụ thể đạt hiệu quả hơn chúng tôi sẽ đề cập đến ở các chương
trình sau.
1.5.2. Những khó khăn của HS lớp 10 khi giải bài toán hình học bằng PPVT và PPTĐ.
Như chúng ta đã biết PPVT và PPTĐ là những PP hiện đại có nhiều tiện lợi trong việc giải
các bài tập hình học. Tuy vậy khi sử dụng các PP này HS vẫn gặp phải một số khó khăn và
không tránh khỏi những sai lầm trong khi giải toán hình học 10. Trong phần này chúng tôi
đề cập đến một số khó khăn và sai lầm mà HS thường gặp.
+ Khó khăn thứ nhất mà HS gặp phải đó là lần đầu tiên làm quen với một đối tượng mới là
véc tơ và các phép toán trên các véc tơ. Các phép toán trên các véc tơ lại có nhiều tính chất
tương tự như đối với các số mà HS đã được học trước đó, do đó vì HS chưa hiểu rõ được

bản chất của các khái niệm và các phép toán nên dễ ngộ nhận và mắc sai lầm trong khi sử
dụng PPVT.
+ Khó khăn thứ hai khi sử dụng PPVT và PPTĐ là do thoát li hình ảnh trực quan, hình vẽ
nên khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức mà không hiểu hết ý nghĩa hình học
của bài toán. Bởi vì HS có thói quen đã giải bài tập hình học là phải vẽ hình nên khi sử dụng
PPVT và PPTĐ để giải một số bài tập không sử dụng hình vẽ, HS đã gặp nhiều khó khăn
lúng túng.
study, study and more study
16
+ HS thường gặp khó khăn khi chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học thông thường sang
ngôn ngữ toạ độ hay ngôn ngữ véc tơ và ngược lại.
Vì vậy cần rèn luyện cho HS kĩ năng chuyển tương đương những quan hệ hình học từ cách
nói thông thường sanmg dạng véc tơ hay toạ độ để có thể vận dụng công cụ véc tơ hay toạ
độ trong giải toán.
+ Khó khăn trong việc dùng các kiến thức về véc tơ hay toạ độ để giải bài toán. Dù sao đây
cũng là những kiến thức mới đối với HS nên kĩ năng sử dụng các kiến thức này còn hạn chế
so với PP tổng hợp mà HS đã được học trước đó.
+ Đối với dạng bài tập giải bằng PPTĐ HS thường gặp khó khăn khi chọn hệ trục toạ độ. Ta
biết rằng cùng một bài toán hình học, nếu ta chọn hệ toạ độ thích hợp thì lời giải sẽ ngắn gọn
dễ hiểu. Ngược lại sẽ gặp nhiều khó khăn trong khi giải, đôi khi còn không đi đến kết quả.
+ Như trên đã trình bày, sau khi học PPVT và PPTĐ HS có trong tay 3 công cụ để giải một
bài toán hình học. Không thể nói PP nào tốt hơn PP nào, vì có những bài giải bằng PP này
thì dễ nhưng lại rất vất vả khi giải bằng PP khác, thậm chí còn không giải được. Do đó việc
sử dụng PP nào để giải bài toán hình học nào thì thuận lợi là một trong những vấn đề khó
khăn với HS.
Kết luận
PPVT và PPTĐ là những PP hiện đại để giải các bài toán hình học. Nhờ những PP này mà ta
có thể đại số hoá hình học, khắc phục được những khó khăn trong việc giải toán hình học
bằng PP tổng hợp. Nếu rèn luỵên nhiều về PPVT và PPTĐ trong việc giải toán HHP thì HS
sẽ có thêm hứng thú, PT tư duy trừu tượng và hơn nữa sẽ PT năng lực giải toán của họ.

Chương 2
SỬ DỤNG PPVT GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC 10
ở lớp 10 học sinh được học về véc tơ, các phép toán trên véc tơ (phép cộng, phép trừ, phép nhân
véc tơ với một số thực, tích vô hương của hai véc tơ). Sau đó là trục, hệ trục toạ độ, toạ độ các
điểm, toạ độ của véc tơ và một vài ứng dụng đơn giản của PPtoạ độ. Tuy học sinh được học cả
hai PP: véc tơ và tọa độ- PP chủ yếu vần là PP véc tơ. Bởi vì các hệ thức lượng trong tam giác
và trong đường tròn được xây dựng nhờ véc tơ cùng các phép toán. Đặc biệt là tích vô hướng
study, study and more study
17
của hai véc tơ.; phép vị tự được định nghĩa theo một đẳng thức véc tơ Để giúp HS sử dụng
thành thạo PPVT để giải các bài toán đối với HS lớp 10, trước hết GV cần rèn luyện cho HS
nắm vững quy trình 4 bước giải bài toán bằng PPVT.
2.1. Quy trình 4 bước giải bài toán HH bằng PPVT.
Bước 1: Chọn các véc tơ cơ sở.
Bước 2: Dùng phân tích véc tơ và các phép toán véc tơ để biểu diễn, chuyển ngôn ngữ từ HH
thông thường sang ngôn ngữ véc tơ.
Bước 3: Giải bài toán véc tơ.
Bước 4: Kết luận, đánh giá kết quả.
GV cần tận dụng các cơ hội để rèn luyện cho HS khả năng thực hiện 4 bước giải bài toán HHP
bằng PPVT thông qua các bài tập, có thể minh hoạ quy trình 4 bước trên bằng VD: Cho góc
xOy và hai điểm di chuyển trên hai cạnh của góc: M
∈
Ox, N
∈
Oy, luôn thoả mãn
OM = 2ON. CMR trung điểm I của MN luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Trong quá trình hướng dẫn HS giải bài toán bằng PPVT, GV cần chú ý đến những tri thức PP:
+ ở bước 1: Nên chọn các véc tơ c/s sao cho các véc tơ khác trong bài toán đều có thể phân tích
theo chúng thuận lợi nhất. Qua mỗi bài toán HS sẽ thấy nên chọn các véc tơ c/s như thế nào .
+ ở bước 2: Cần rèn luyện cho HS chuyển đổi ngôn ngữ một cách thành thạo. Cách chuyển đổi

như thế nào ta có thể thấy qua từng nhóm bài toán sẽ được trình bày dưới đây.
+ ở bước 3: Cần nắm vững các phép toán véc tơ.
Đồng thời, thông qua các bài tập cụ thể, GV cần làm cho HS hiểu rõ được tính ưu việt của
PPVT. Đặc biệt các bài tập về tìm tập hợp điểm, các bài tập về CM 3 điểm thẳng hàng, CM hai
đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, là những dạng toán có nhiều cơ hội để
làm rõ vấn đề này.
Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng làm theo 4 bước như trên, không phải lúc nào cũng phân
tích các véc tơ theo hai véc tơ c/s cho trước, mà có thể giải quyết từng bài toán một cách linh
hoạt. Theo chúng tôi thấy, việc rèn luyện cho HS thông qua một hệ thống bài tập đã được phân
loại sẽ đem lại hiệu quả cao trong dạy học.
2.2. Hệ thống bài tập
study, study and more study
18
2.2.1. Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Đối với dạng toán trên ta có thể dùng điều kiện đồng phương của hai véc tơ để giải toán.
Giả sử
,a b
urr
là hai véc tơ khác véc tơ không ta có:
//a b b ka⇔ =
r r r r
(trong đó k là một số thực khác
0). Từ đó ứng dụng vào dạng toán: CM 3 điểm A, B, C thẳng hàng
//AB AC AB k AC⇔ =
uuur uuur uuur uuur
.
VD 1: Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, P, E sao cho
3 1
, , 2
5 2

BD BC AP PB EC EP= = = −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
CMR: A, E, D thẳng hàng.
VD 2: Cho tam giác ABC, gọi D, N, I là các điểm xác định bởi các hệ thức:
3 2 0, 3 , 2DB DC AN NB CI CN− = = =
uuur uuur r uuur uuur uur uuur
. CMR: A, I, D thẳng hàng.
VD 3: Cho tam giác ABC, đường phân giác trong của góc B cắt đường TB DE (song song với
AB) tại P. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại M, N. CM các điểm P, M, N
thẳng hàng.
VD 4: Cho tam giác ABC. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC ở D.
Gọi J và K tương ứng là trung điểm của BC và AD. CM 3 điểm I, K, J thẳng hàng.
2.2.2. CM hai đường thẳng song song.
Để giải các bài toán dạng này, chủ yếu ta sử dụng định nghĩa và tính chất của phép nhân véc tơ
với một số: “ Giả sử
,a b
urr
là hai véc tơ khác véc tơ không ta có:
//a b b ka⇔ =
r r r r
”. Ngoài ra ta còn
có thể sử dụng đến định nghĩa tích vô hướng của 2 véc tơ, bởi vì dạng toán trên có thể quy về
bài toán CM 2 góc bằng nhau.
VD 1: Cho tam giác ABC, AP là đường phân giác của góc A, trên cạnh BC và AC lấy hai điểm
D và E sao cho: BD = EC. Gọi M và N là trung điểm của DE và BC. CMR MN song song với
AP.
VD 2: CMR các cạnh của tam giác ABC tương ứng song song với các trung tuyến của tam giác
A’B’C’ khi và chỉ khi các cạnh của tam giác A’B’C’ tương ứng song song với các trung tuyến
của tam giác ABC.

study, study and more study
19
VD 3: Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy lần lượt các điểm A
1
, B
1
, C
1
sao cho
1 1 1
1 1 1
0
A B B C C A
k
A C B A C B
= = = >
. Trên các cạnh B
1
C
1
, C
1
A
1
, A
1
B
1
lần lượt lấy các điểm A
2

, B
2
, C
2
sao
cho:
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1A B B C C A
A C B A C B k
= = =
.
CMR tam giác A
2
B
2
C
2
có các cạnh tương ứng song song với các cạnh của tam giác ABC.
VD 4: Hai đoạn thẳng AB, CD bằng nhau trượt trên các cạnh Ox, Oy của góc xOy, A ∈ OB,
C ∈ OD; I, J theo thứ tự là trung điểm của AC , BD. CMR: IJ luôn song song với phân giác của
góc xOy và độ dài IJ không đổi.
2.2.3. CM hai đường thẳng vuông góc.
Vận dụng các kiến thức và PPVT để giải quyết các bài toán về quan hệ vuông góc sẽ cho lời
giải khá rõ ràng, ngắn gọn.
Thông thường với dạng toán trên ta có thể quy về bài toán CM hai đường thẳng song song, hay
từ định nghĩa tích vô hướng của 2 véc tơ ta có thể suy ra:
Nếu
,a b
r r

là hai véc tơ khác véc tơ không thì a ⊥ b
. 0a b⇔ =
r r
.
Vậy bài toán CM hai đường thẳng vuông góc có thể quy về bài toán CM vô hướng của 2 véc tơ
bằng 0.
VD 1: Cho tam giác ABC vuông tại C. Đặt M ∈ AB, N ∈ AC sao cho : BM = BC, CN = CH (H
là hình chiếu của C trên AB). CM: MN vuông góc với AC.
VD 2: Cho 2 véc tơ khác không
,AB CD
uuur uuur
. CMR: AB vuông góc với CD khi và chỉ khi:
AB CD AB CD+ = −
uuur uuur uuur uuur
.
VD 3: Cho tứ giác ABCD. CMR điều kiện cần và đủ để hai đường chéo của nó AC ⊥ BD là:
AB
2
+ CD
2
= BC
2
+ AD
2
.
VD 4: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BK ⊥ AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AK và
CD. CMR góc BMN vuông.
2.2.4. CM đẳng thức véc tơ.
study, study and more study
20

Để CM các bài tập dạng này, chủ yếu ta sử dụng các tính chất của véc tơ, phép cộng, phép trừ
véc tơ, phép nhân véc tơ với một số thực, các quy tắc như quy tắc 3 điểm, quy tắc trung điểm,
VD 1: Cho hai tam giác ABC và A
1
B
1
C
1
có cùng trọng tâm G. Gọi G
1
, G
2
, G
3
lần lượt là trọng
tâm của các tam giác BCA
1
, ABC
1
và ACB
1
. CMR:
1 2 3
0GG GG GG+ + =
uuuur uuuur uuuur
.
VD 2: Cho đa giác đều n cạnh A
1
, A
2

, ,A
n
tâm O (n lớn hơn hay bằng 3). CM:
1 2
0
n
OA OA OA+ + + =
uuur uuuur uuuur
.
VD 3: Cho hai điểm A, B và hai số thực α, β sao cho α + β ≠ 0:
1) CMR tồn tại duy nhất điểm I sao cho:
0IA IB
α β
+ =
uur uur
.
2) CMR với mọi điểm M ta luôn có:
( )MA MB MI
α β α β
+ = +
uuur uuur uuur
.
VD 4: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q theo thứ tự là các trung điểm của AD, BC, DB, AC.
CM:
a)
( )
1
2
MN AB DC= +
uuuur uuur uuur

b)
1
( )
2
PQ AB DC= −
uuur uuur uuur
VD 5: Cho tam giác đều ABC tâm O. Gọi M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác ABC. Hạ
MD, ME, MF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB. CM:
3
2
MD ME MF MO+ + =
uuuur uuur uuur uuuur
.
2.2.5. Các bài toán tìm tập hợp nghiệm
Trong HHP thường chỉ đề cập đến bài toán quỹ tích của điểm M chuyển động trong mặt phẳng
thoả mãn điều kiện nào đó.
Bằng PP tổng hợp thường chỉ nghiên cứu bài toán quỹ tích dựa trên các bài toán quỹ tích cơ
bản. Bằng PPVT, nghiên cứu quỹ tích của điểm M chuyển động trong mặt phẳng thoả mãn điều
kiện nào đó (ta gọi tính chất α) theo nguyên tắc chung là phải thiết laapjdd][cj tính tương đương
giữa tính chất α với các điều kiện của các véc tơ có liên quan đến điểm M và từ đó mô tả hình
study, study and more study
21
H = {M | M có tính chất α}. Do đó phạm vi nghiên cứu được mở rộng hơn và nhiều bài cho lời
giải khá dễ dàng.
Sau đây là một số VD điển hình cho việc giải bài toán quỹ tích bằng PPVT:
VD 1: Cho tam giác ABC và M là một điểm bất kì. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
1)
3 2MA MB MC MB MA− + = −
uuur uuur uuuur uuur uuur
2)

2 3MA MB MC MB MC+ + = +
uuur uuur uuuur uuur uuuur
3)
2 ( )MA MB MC k MB MC− + = −
uuur uuur uuuur uuur uuuur
.
VD 2: Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M sao:
3 2 2MA MB MC MA MB MC+ − = − −
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
.
VD 3: Cho tứ giác ABCD. Hai điểm M, N thay đổi trên các cạnh AB, CD sao cho:
AM CN
AB CD
=
.
Tìm tập hợp các trung điểm I của MN.
VD 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, M là điểm thay đổi trong tam giác; D , E, F lần lượt là
hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
MD ME MF MA+ + =
uuuur uuur uuur uuur
.
VD 5: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác. Tìm quỹ tích những điểm M thoả mãn điều
kiện:
2
. .MB MC MB MG AB+ =
uuur uuuur uuur uuuur
.
2.2.6. Một số bài toán khác
VD 1: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I sao cho
0IA IB IC ID+ + + =

uur uur uur uur
.
CMR: ABCD là hình bình hành.
VD 2: Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho: AM =
3MC, NC = 32NB, gọi O là giao điểm của AN và BM. Tính diện tích tam giác ABC biết diện
tích tam giác OBN bằng 1.
VD 3: Cho tứ giác ABCD, trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho:
, ,( 1)AM k AB DN k DC k= = ≠
uuur uuur uuur uuur
. Hãy phân tích véc tơ MN theo các véc tơ AD, BC.
study, study and more study
22
VD 4: Trong đường tròn tâm O cho hai dây AB, CD cắt nhau tại M. Qua trung điểm S của dây
BD người ta kẻ đường thẳng SM cắt AC tại K. CM:
2
2
AK AM
KC CM
=
.
2.3. Biện pháp sư phạm
Trước hết xin được nhắc lại những điều đã được viết trong giáo trình PPDH Toán của nhóm tác
giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ.
2.3.1. Dạy học PP tìm tòi lời giải bài toán.
Trong môn toán ở trường phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải. Ta
phải hướng dẫn HS cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải. Đây là cơ hội tốt để GV trang bị cho HS
các tri thức PP để giải toán. GV cần biết đề ra cho HS đúng lúc, đúng chỗ, những câu hỏi gợi ý
sâu sắc, phù hợp với trình độ với trình độ đối tượng và trong chừng mực nào đó khéo léo để HS
tự phát hiện ra PP giải bài tập.
Không có một thuật toán tổng quát nào để giải được mọi bài toán, tuy nhiên khi hướng dẫn HS

giải một bài toán người ta thường dựa vào PP tìm tòi lời giải của Polya gồm 4 bước như sau:
- Tìm hiểu ND bài toán.
- XD chương trình giải.
- Thực hiện chương trình giải.
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
a) Tìm hiểu ND bài toán.
Để giải được một bài toán trước hết phải hiểu ND bài toán và ham thích việc giải bài toán đó.
Vì thế GV cần chú ý gợi động cơ, khêu gợi trí tò mò, hứng thú của HS và giúp các em hiểu bài
toán phải giải. Phải tìm hiểu bài toán một cách tổng thể để bước đầu tìm hiểu bài toán, tránh vội
vàng đi vào ngay các chi tiết. Tiếp theo phải phân tích bài toán đã cho: Cái gì đã cho ? Cái gì
chưa biết ? Có mối liên hệ nào giữa cái đã cho và cái phải tìm ?
b) XD chương trình giải.
Trong bước này, cần chú ý phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn , phải
huy động kiến thức (định nghĩa, định lí, quy tắc, ) có liên quan đến các khái niệm, những quan
study, study and more study
23
hệ trong đề toán, mò mẫm, dự đoán, thử xét một vài khả năng, kể cả trường hợp đặc biệt, xét
một bài toán tương tự hoặc bài toán khái quát của bài toán đã cho
c) Thực hiện chương trình giải.
Sau khi XD xong chương trình giải, HS đã nắm được các bước giải của bài toán. Ta cho HS
thực hiện chương trình giải theo các bước đã XD . Cần phải luyện tập cho học sinh khi thực
hiện chương trình giải phải kiểm tra lại từng bước, để đảm bảo tính đúng đắn trong quá trình
thực hiện.
d) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Cần phải luyện tập cho HS có thói quen kiểm tra lại lời giải bài toán, xét xem có sai lầm thiếu
sót gì không, đồng thời cũng nâng dần dần yêu cầu đi sâu cải tiến lời giải, khai thác lời giải.
Việc kiểm tra lại kết quả phải yêu cầu HS tiến hành thường xuyên.
2.3.2. Rèn luyện các bước giải bài toán HHP bằng PPVT.
2.3.3. Sử dụng hệ thống bài tập đã được phân dạng theo chủ đề.
Trong mục 2.2 đã trình bày hệ thống bài tập đã được phân dạng theo chủ đề. Qua mỗi dạng sẽ

hình thành được ở HS một thói quen, một kĩ năng. Qua các dạng HS sẽ được PT tư duy thuật
toán. Việc phối hợp giữa các dạng trong một bài toán tổng hợp sẽ củng cố và PT năng lực giải
toán cho HS.
Kết luận
Chương này nêu lên những ý cơ bản trong việc rèn luyện PPVT cho HS. Hệ thống bài tập phân
theo dạng là những tình huống điển hình sử dụng PPVT để giải toán. Qua những tình huống đó
có thể thấy phần nào tính ưu việt của PPVT trong việc giải toán HHP.

Chương 3
SỬ DỤNG PPTĐ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HH 10
study, study and more study
24
Chương này trình bày những cơ hội và những tình huống điển hình sử dụng PP tọa độ để
giải các bài toán hình học 10.
3.1. Quy trình giải bài toán hình học bằng PP tọa độ
Tương tự quy trình giải bài toán bằng PP véc tơ, quy trình giải bài toán bằng PP tọa độ gồm
4 bước:
Bước 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp.
Bước 2: Chuyển ngôn ngữ hình học thông thường sang tọa độ các điểm, phương trình đường
thẳng
Bước 3: Giải bài toán hình học giải tích.
Bước 4: Kiểm tra đánh giá kết quả, chuyển ngôn ngữ tọa độ về ngôn ngữ thông thường.
Quy trình này giúp học sinh định hướng tìm tòi lời giải bài tập hình học bằng PP tọa độ mà
trước hết là các bài tập có trong SGK- HH10.
Trong qúa trình giảng dạy, những ví dụ được lựa chọn, tuy không phức tạp nhưng cùng đủ làm
nổi bật quy trình nói trênthể hiện ở những dạng bài toán khác nhau như: Bài toán chứng minh
hình học, bài toán quỹ tích hay một số bài toán khác.
VD minh họa:
Cho hai điểm A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA = 2MB.
1- Chọn hệ toạ độ thích hợp: nên chọn hệ toạ độ sao cho toạ độ của A, B đơn giản nhất. Chẳng

hạn gốc toạ độ là A.
Trục hoành Ax trùng với đường thẳng AB.
Trục tung Ay vuông góc với AB.
2- Phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ toạ độ: Để tìm tập hợp các điểm M sao cho MA = 2MB ta
gọi điểm M có toạ độ (x; y). Theo trên ta có A(0; 0), B(1; 0). Điều kiện MA = 2MB tương
đương với:
2 2 2 2
2 ( 1)x y x y+ = − +
(1).
3- Dùng kiến thức về toạ độ để giải toán:
Ta có:
2 2 2 2
(1) 4( 1) 4x y x y⇔ + = − +
2 2
2 2 2 2
4 2
4( 1) 3 0
3 3
x x y x y
   
⇔ − − − = ⇔ − + =
 ÷  ÷
   
.
study, study and more study
25