SKKN Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu cá...

Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.

1.MỞ ĐẦU:
1.1. Lý do chọn đề tài:
Số phức là một phần quan trọng trong chương trình tốn học THPT. Từ năm
học 2008-2009 số phức được đưa vào chương trình phổ thơng và xuất hiện rất
nhiều trong các đề thi đại học, cao đẳng. Các dạng toán về số phức cũng đa dạng và
phong phú. Các phương pháp giải vừa mang tính tổng hợp vừa mang tính dặc thù
sâu sắc, đặc biệt bài tốn về số phức cũng là bài toán dễ lấy điểm, nhưng nếu các
em không nắm vững kiến thức cơ bản và biết cách giải các dạng toán một cách
thuần thục thì các em vẫn cịn chưa giải quyết triệt để được dạng tốn này. Để giúp
học sinh có thể hệ thống và nắm vững các phương pháp giải các dạng tốn về số
phức trong chương trình ơn thi THPT QG 2017 lớp 12 nên tôi chọn đề tài này.
Bản thân tôi nhiều năm được phụ trách lớp học theo ban Khoa học tự nhiên,
các lớp cơ bản theo khối, qua nghiên cứu giảng dạy tôi thấy việc triển khai sáng
kiến”Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức” là sát thực, phù hợp và cần thiết với
việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh yếu kém, khá giỏi và ôn luyện cho học sinh thi
tốt nghiệp, đại học, cao đẳng trong kỳ thi THPT QG. Do vậy tôi chọn đề tài "
Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương pháp giải
một số dạng bài toán về số phức '' để nghiên cứu nhằm phần nào đáp ứng yêu cầu
trên và góp phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường .
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song đề tài nghiên cứu không trách khỏi những
thiếu sót. Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp q báu của các thầy cơ và
cá bạn đồng nghiệp. Tơi xin chân thành cảm ơn!
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Trang bị cho học sinh về một số dạng và phương pháp giải bài tốn số phức trong
chương trình toán cơ bản.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải tốn. Qua đó học sinh nâng
cao kỹ năng tư duy sáng tạo.

1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài tập về số phức nằm trong chương trình tốn học phổ thơng, trong các đề
thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng .Từ đó phân loại, tổng hợp các dạng và cách giải
chúng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Tích lũy qua nhiều năm giảng dạy phần này.
- Thông qua việc kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu của học sinh.
- Thơng qua trao đổi góp ý và học tập kinh nghiệp từ các đồng nghiệp.
- Thông qua sách giáo khoa, sách bài tập, hệ thống bài tập và tài liệu tham khảo.
- Thông qua các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng từ năm 2008 đến nay và kỳ thi
THPT Quốc gia năm 2015, 2016.
- Thông qua các đề thi thử của các trường THPT trên toàn quốc.
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

1


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.

2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Căn cứ vào lý thuyết chương Số phức trong chương trình cơ bản Giải tích 12. Tơi
tóm tắt nội dung lý thuyết như sau:
* Số i: i 2  1
* Số phức z  a  bi (a, b  R) , trong đó a là phần thực , b là phần ảo, i là đơn vị ảo
Tập hợp số phức được kí hiệu là: C
* Số phức z  a  0i  a coi là số thực  R  C
* Số phức z  bi gọi là số thuần ảo

* Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
* Modun của số phức: | z | a 2  b 2
* Số phức liên hợp của z là : z  a  bi .
Nhận xét: . z  z
; . zz
. z  0, z  C
; . z 0 z0
* Số đối của z là:  z  a  bi
* Điểm biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy là M (a; b)
Trục Ox là trục thực, trục Oy là trục ảo.
* Hai số phức bằng nhau:

a  b
c  d

a  bi  c  di  

* Phép toán trên tập số phức:

(a  bi )  (c  di )  (a  c)  (b  d )i
(a  bi )  (c  di )  (a  c)  (b  d )i

(a  bi )(c  di )  (ac  bd)  (ad  bc)i
a  bi (a  bi )(c  di )

c  di
c2  d 2
* Căn bậc hai của số thực a  0 là : i | a |

* Giải phương trình bậc hai trên tập số phức với hệ số thực:

az 2  bz  c  0 (a  0; a, b, c  R)

Tính   b 2  4ac
. Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: z1, 2  

b 
2a

b
2a
bi 

2a

. Nếu   0 thì phương trình có nghiệm thực kép: z  
. Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm phức: z1, 2
Nhận xét:

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

2


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.

 z1  z 2
. Phương trình bậc 2 với hệ số thực cũng có định lý Viet 
 z .z 

 1 2
. Phương trình đa thức bậc n  1 trong trường số phức có đúng n



b
2a

c
a

nghiệm.

Từ cơ sở lý thuyết về số phức tơi định hướng giải quyết bài tốn số phức trong
các tiết ôn tập:
- Phân loại các bài tập về số phức theo yêu cầu của bài toán
- Nêu cách giải chung cho từng loại bài toán số phức
Trong chuyên đề này tôi liệt kê, hệ thống một số dạng toán tạo ra các mối
quan hệ biện chứng giữa các đối tượng và cách giải các bài toán về số phức.
Với đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề số phức và nêu các
phương pháp giải một số dạng toán về số phức.” sẽ giúp học sinh giải quyết nhanh
chính xác trước một bài tốn số phức trong chương trình Giải tích 12.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trong q trình ơn tập thi THPT QG cho học sinh lớp 12 phần Số phức. Học
sinh chỉ mới giải quyết được một số bài toán dễ , khi gặp một số bài toán yêu cầu
cao hơn đa số các em chưa đưa ra được hướng giải quyết ngay, hoặc có em đưa ra
được hướng giải quyết thì giải quyết chậm và trưa triệt để bài toán.
Trước khi áp dụng đề tài, tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút về số
phức. Kết quả :
8-10

6-7,9
5-5,9
3-4,9
0-2,9
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A2

47

5

10,6

17

36,2

19

40,4

6

12,8

0

12A3

43

2

4,6

10

23,3

15

34,9

13

30,2

3

7

Vì thế trong thực tiễn giảng dạy ôn tập THPTQG tôi đã nêu ra các dạng bài
toán về số phức và yêu cầu học sinh phát hiện ra hướng giải quyết các dạng đó.
Với các vấn đề của thực trạng trên, tôi đã mạnh dạn triển khai cho các em
mảng kiến thức này nhằm giải tỏa bớt những bất cập nói trên.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng trong sáng kiến
kinh nghiệm:
Giải pháp:
- Tổ chức 3 buổi (9 tiết) ôn tập cho học sinh ôn thi THPT QG
- Nêu các dạng bài toán về số phức, đưa ra cách giải cho từng dạng, hệ thống các
bài tập tự luận cho học sinh rèn luyện kỹ năng làm bài.
- Nêu các cách sử dụng máy tính casio bỏ túi để giải quyết nhanh bài toán trắc
nghiệm về số phức
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

3


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.

- Cuối chuyên đề cho học sinh làm bài kiểm tra trắc nghiệm.
Nội dung giải pháp:
DẠNG 1: Tổng hợp về kỹ năng cộng trừ nhân chia số phức:
Chủ yếu kiểm tra kỹ năng tính tốn của học sinh, kết hợp với một số kiến thức khác
về modun của số phức, số phức liên hợp, phần thực và phần ảo của số phức
Yêu cầu:- Nắm vững các khái niệm và rèn luyện kỹ năng tính tốn chính xác.
- Biết sử dụng máy tính bỏ túi casio để tính tốn và kiểm tra kết quả.
Bài 1: Thực hiện các phép tính:

a) (5  4i)(3  5i)  2i(4  7i)
b) (1  2i)3 

6i
3  2i

Chú ý : Có thể hướng dẫn các em bấm máy tính CASIO bằng các bước sau:
B1: bấm mode 2
B2: thực hiện các phép tính cộng trừ nhân chia trong máy tính.
Bài giải:
a) (5  4i)(3  5i)  2i(4  7i)  35  13i  8i  14  49  5i
b) (1  2i)3 

16 15 159 41
6i
 11  2i   i 
 i
13 13
13 13
3  2i

Bài 2: Tìm các số thực x, y biết: (2 x  3 y  1)  ( x  2 y )i  (3x  2 y  2)  (4 x  y  3)i
(Trích sách bài tập Giải tích 12 cơ bản)
Bài giải:
9

 x  11
2 x  3 y  1  3 x  2 y  2  x  5 y  1



Ta có: 
 x  2 y  4 x  y  3
 5 x  3 y  3  y  4

11

Nhận xét: Các em có thể dùng máy tính CASIO fx-570 để giải hệ phương trình bậc
nhất 2 ẩn
B1: bấm mode 5
B2: bấm 1
B3: nhập các hệ số a, b, c vào và bấm = ta được kq
Bài 3: Tìm modun của số phức z biết:
a) (2  i) z  4  3i  0
b) (1  5i)(1  i)2 z  1  2i  4iz
Bài giải:
a) (2  i) z  4  3i  0
2

z

2

4  3i 11 2
 11   2 
  i  z        5
2i
5 5
 5   5

Chú ý : Có thể hướng dẫn các em bấm máy tính CASIO bằng các bước sau:

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

4


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.

B1: bấm mode 2
B2: bấm shift hyp :
B3: nhập

4  3i
2i

B4: bấm = được kq.
b) (1  5i)(1  i)2 z  1  2i  4iz
 (10  2i ) z  1  2i  4iz  z 
2

1  2i 11 7
  i
10  6i 68 68

2

170
 11   7 
 z      

68
 68   68 

DẠNG 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) z 2  2 z  5  0
b)  3z 2  z  5  0
Bài giải:
a) Ta có: '  1  5  4  0 . Phương trình có 2 nghiệm phức : z  1  2i ; z  1  2i
b) Ta có:   1  60  59  0 .
1
6

Phương trình có 2 nghiệm phức : z  

1
59
59
i;z  
i
6
6
6

Chú ý: Các em có thể dùng máy tính CASIO fx-570 để giải phương trình bậc 2
B1: bấm mode 5
B2: bấm 3
B3: nhập các hệ số a, b, c vào và bấm = ta được kq
Bài 2: Giả sử z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2 z 2  3z  10  0
Tính giá trị của biểu thức sau: A  z1  z2

Bài giải:
Ta có:   9  80  71  0 .
3
4

Phương trình có 2 nghiệm phức : z   

3
71
71
i;z  
i
4
4
4

2

2
 3   71 
A  z1  z2  2    
 10
 4   4 
Bài 3: Tìm các số thực b, c sao cho phương trình z 2  bz  c  0 nhận z  1  i làm

nghiệm. (Trích Phương pháp ơn luyện thi ĐHCĐ mơn Tốn theo chủ đề Số phứcHồng Văn Minh - Nguyễn Quốc Hùng)
Bài giải:
Ta có: (1  i)2  b(1  i)  c  0  b  c  (2  b)i  0

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2

SangKienKinhNghiem.net

5


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.
b  c  0
b  2


2  b  0 c  2

Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) z 4  2 z 2  3  0
b) (2 z  3  i)2  6(2 z  3  i)  13  0
2

iz  1 
 iz  1 
c) 3
  4
40
 z  2i 
 z  2i 

(Trích Phương pháp ơn luyện thi ĐHCĐ mơn Tốn theo chủ đề Số phức- Hồng
Văn Minh - Nguyễn Quốc Hùng)
Bài giải:
t  1

t  3

a) Đặt z 2  t , phương trình trở thành t 2  2t  3  0  
z2  1
 z  1

Khi đó:  2
 z  3  z  i 3

t  3  2i
t  3  2i

b) Đặt 2 z  3  i  t , phương trình trở thành t 2  6t  13  0  
3

z  2 i
2 z  3  i  3  2i

Khi đó: 
2 z  3  i  3  2i
z   i

2

2

t
iz  1
2


 t , phương trình trở thành 3t  4t  4  0 
c) Đặt
3

z  2i
t  2
2
 iz  1

 z  2i   3
z 

Khi đó: 
1
iz


z 
2
 z  2i


 3  4i 6 17
  i
2  3i 13 13
2 9
 1  4i
  i
5 5
2i

Nhận xét:Các em có thể dùng cách đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai.
Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức
a) z 3  8  0
b) 2 z 3  9 z 2  14 z  5  0
c) z 4  z 3  6 z 2  8 z  16  0
Bài giải:
z  2


2
z  2z  4  0
 z  1  i 3
z  2  0

a) ( z  2)( z 2  2 z  4)  0  

Nhận xét: Phương trình này các em dễ ngộ nhận phương trình chỉ có một nghiệm
thực z  2
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

6


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.

1


2 z  1  0
z


b) (2 z  1)( z  4 z  5)  0   2
2

z  4z  5  0
z  2  i
2

Chú ý: Các em có thể bấm máy tính bỏ túi CASIO fx 570 bằng các bước sau:
B1: bấm mode 5
B2: bấm 4
B3: Nhập các hệ số a, b,c,d rồi dấu= ta được kết quả.
z  2
z  2  0


c) ( z  2)( z  1)( z 2  8)  0   z  1  0   z  1
 z 2  8  0  z  2 2i



Nhận xét: Các em có thể thử nghiệm, hoặc dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích
phương trình về dạng tích để giải.
DẠNG 3: Chứng minh các tính chất về số phức
Chủ yếu chứng minh các tính chất về số phức liên hợp, modun của số phức
Yêu cầu: Nắm vững khái niệm số phức liên hợp, modun của số phức và các phép
toán cộng, trừ, nhân, chia số phức.

Bài 1: Cho 2 số phức z, w . Chứng minh rằng:
a) z  w  z  w

b) z.w  z.w

(Trích sách bài tập Giải tích 12 cơ bản)
Bài giải:
Giả sử z  a  bi ; w  c  di  z  a  bi ; w  c  di
Khi đó: z  w  a  c  (b  d )i  (a  c)  (b  d )i  z  w

z
z
c)   
 w

w

z.w  (ac  bd )  (ad  bc)i  (ac  bd )  (ad  bc)i  z.w

 z   a  bi   ac  bd  (bc  ad )i  ad  bd bc  ad
 2
 

 2
2
c2  d 2
c  d2
 w   c  di  
 c d
z a  bi (ac  bd )  (ad  bc)i



c2  d 2
w c  di
z z
 
 w w
Bài 2: Cho 2 số phức z, w . Chứng minh rằng:
z
z

a) z  w  z w
b)
với w  0
w w

c) z  w  z  w

(Trích sách bài tập Giải tích 12 cơ bản)
Bài giải:
Giả sử z  a  bi ; w  c  di

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

7


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.

a) z.w  (ac  bd )  (bc  ad )i  (ac  bd ) 2  (bc  ad ) 2  a 2c 2  b 2 d 2  b 2c 2  a 2 d 2
z w  a 2  b 2 c 2  d 2  a 2c 2  a 2 d 2  b 2c 2  b 2 d 2  z  w  z w

b)Với w  0 ;
z
ac  bd bc  ad
(ac  bd ) 2  (bc  ad ) 2



i 
w c2  d 2 c2  d 2
(c 2  d 2 ) 2
z

w

a 2  b2
c2  d 2



a 2c 2  b 2 d 2  b 2c 2  a 2 d 2
c2  d 2

z
(a 2  b 2 )(c 2  d 2 )
z



2
2
w w
c d

c) z  w  (a  c)  (b  d )i  (a  c) 2  (b  d ) 2
z  w  a 2  b2  c2  d 2

Ta có: (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2  ac  bd  (a 2  b 2 )(c 2  d 2 )
(BĐT Bunhia-copski )  z  w  z  w
Bài 3: Chứng minh rằng z  w 
Bài giải:
Số phức z là số ảo  z  z  0

zw
là số ảo
zw

zw zw
)  0  ( z  w)( z  w)  ( z  w)( z  w)  0
(
zw zw
DẠNG 4: Xác định số phức z thỏa mãn vài yếu tố nào đó.

Ta có:

Những bài tốn dạng này thường cho trong điều kiện có chứa z, z , z
Cách giải chung:
- Đặt z  a  bi (a, b  R)

- Đưa các yếu tố bài tốn cho về phương trình ẩn a, b
- Dùng các yếu tố hai số phức bằng nhau, modun số phức để đưa về phương
trình, hệ phương trình ẩn a, b
- Giải phương trình, hệ phương trình được a, b .
Bài 1: Tìm số phức z thỏa mãn: z  (2  3i ) z  1  9i (Trích đề thi ĐHCĐ năm 2011
khối D của Bộ giáo dục)
Bài giải:
Gọi z  a  bi (a, b  R) , ta có:
 a  3b  1
a  2

a  bi  (2  3i )(a  bi )  1  9i  
 3a  3b  9
b  1
 z  2i

Chú ý: Các em có thể sử dụng máy tính bỏ túi casio giải như sau:
B1: bấm mode 2
B2: bấm X - shift 2 2 X .(2+3i)
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

8


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.

B3: bấm CALC 1000+100i ( tương ứng đặt bằng a+bi, tức là a=1000, b=100)
B4: bấm = được kết quả -1300-2700i

B5: phân tích -1300=-a-3b; -2700=-3a+3b (bằng giấy nháp)
 a  3b  1
. Kết luận.
 3a  3b  9

B6: giải hệ 

Bài 2: Tìm số phức z biết: z  z 3
(Trích sách bài tập Giải tích 12 cơ bản)
Bài giải:
2
Nhận xét: z.z  z
Do đó: z  z 4
Gọi z  a  bi (a, b  R) , ta có:
2

a 2  b 2  a 4  b 4  6a 2b 2 (1)
a  b  a  b  6a b  4ab(a  b )i  
4ab(a 2  b 2 )  0
( 2)
2

2

4

4

2 2

2

2

a  0

Từ (2)  b  0
a 2  b 2

b  0
b  1
a  0
Với b  0 thay vào (2)  a 4  a 2  
a  1

Với

a  0 thay

vào (2)  b 4  b 2  

Với a 2  b 2 thay vào (2)  2a 2 (2a 2  1)  0  a  0
Vậy có 5 số phức z là : z  0 ; z  1 ; z  i
Bài 3: Tìm modun của số phức w  6 z  2  i biết: z  z  3  4i
Bài giải:
Gọi z  a  bi (a, b  R) , ta có:
a 2  b 2  a  bi  3  4i
a  3
7


 a 2  b 2  a  3  a 2  16  3  a

a  
 6a  7  


6
b  4
b  4
b  4
b  4

7
 z    4i
6
 w  7  24i  2  i  9  25i  w  81  625  706

Bài 4: Tìm số phức liên hợp của số phức z biết z  i  z  3i và z  i  z  1
Bài giải:
Gọi z  a  bi (a, b  R) , ta có:
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

9


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.

 a 2  (b  1) 2  a 2  (b  3) 2

8b  8
b  1


 2
2a  2b  0
a  1
 a  (b  1) 2  (a  1) 2  b 2
 z 1 i  z 1 i

9
z

Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn z  3i  1  i z và z  là số thuần ảo
Bài giải:
Gọi z  a  bi (a, b  R) , ta có:

z  3i  1  i z  a 2  (b  3) 2  (1  b) 2  a 2  4b  8  b  2
9
9(a  bi )
9a
9b
)  (b  2
)i là số thuần ảo
 (a  2
 a  bi  2
2
2
a  b2
a b

a b
z
a  0
9a
a 2
0 2
2
2
a b
a  b  9 (*)
z

Với b  2 ; (*)  a 2  5  a   5
Vậy có 3 số phức z  2i ; z  5  2i ; z   5  2i
DẠNG 5: Tập hợp điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ
Chủ yếu đề cập đến biểu diễn hình học các số phức hoặc tìm điểm, tập hợp điểm
biểu diễn số phức thỏa mãn một vài điều kiện nào đó.
Yêu cầu: - Nắm vững các khái niệm điểm biểu diễn hình học, modun của số phức
- Biết vận dụng các kiến thức tổng hợp để biến đổi phương trình, hệ
phương trình.
- Biết sử dụng các kiến thức hình học tọa độ trong mặt phẳng vào xác
định tập hợp điểm biểu diễn số phức
Cách giải chung:
Cách 1:
- Đặt z  a  bi (a, b  R)
- Đưa các yếu tố bài tốn cho về phương trình ẩn a, b
- Dùng các yếu tố hai số phức bằng nhau, modun số phức để đưa về phương
trình, hệ phương trình ẩn a, b từ đó xác định được hình dạng của tập hợp
điểm biểu diễn số phức.
Cách 2:

- Đặt z  a  bi (a, b  R)
- Sử dụng độ dài véc tơ, khái niệm modun số phức để đưa về hình học suy ra
tập hợp điểm biểu diễn số phức.
Bài 1: Gọi A, B, C , D lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1  7  3i, z2  8  4i,
z3  1  5i, z4  2i . Hỏi 4 điểm đó tạo ra hình gì?
Bài giải:
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

10


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.

A(7;3) , B(8;4) , C (1;5) , D(0;2)  AB  DC  (1;7) , BC  (7;1)
 AB  BC , AB // DC , AB  DC  BC
Vậy ABCD là hình vng.
Bài 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

a) z  1  i  z  3  2i
b) z  5i  3
Bài giải:
Nhận xét: Các em có thể dùng phương pháp hình học hoặc đại số để tìm tập hợp
điểm biểu diễn số phức
a) Gọi z  x  yi , ( x, y  R) , ta có:
Cách 1: ( x  1)2  ( y  1)2  ( x  3)2  ( y  2)2  8 x  6 y  11
Tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z là đường thẳng  : 8 x  6 y  11  0
Cách 2: Gọi M ( x; y ), A(1;1), B(3;2)  MA  MB  M   là đường trung trực đoạn AB
. Tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z là đường thẳng  : 8 x  6 y  11  0

b) Gọi z  x  yi , ( x, y  R) , ta có:
Cách 1: x 2  ( y  5) 2  3  x 2  ( y  5) 2  9
Tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (0;5), R  3
Cách 2: Gọi M ( x; y ), I (0;5)  MI  3
Tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (0;5), R  3
Bài 3: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z  i  z  i  4
Bài giải:
Nhận xét: Các em có thể dùng phương pháp hình học hoặc đại số để tìm tập hợp
điểm biểu diễn số phức
Gọi z  x  yi , ( x, y  R) , ta có:
Cách 1: x 2  ( y  1) 2  x 2  ( y  1) 2  4  x 2  ( y  1) 2  4  x 2  ( y  1) 2

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

11


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.
 x 2  ( y  1) 2  16
 x 2  ( y  1) 2  16
 x 2  ( y  1) 2  16


  y  4
  y  4

2

2
8 x  ( y  1)  16  4 y
4 x 2  4( y  1) 2  16  8 y  y 2
4 x 2  3 y 2  12


2
2
x
y
Ta thấy các điểm thuộc elip có phương trình:   1 đều nằm trong đường tròn
3
4
tâm I (0;1), R  4 , và tung độ thỏa mãn y  4

Vậy tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z là elip có phương trình:

x2 y 2

1
3
4

Cách 2: Gọi M ( x; y ), F1 (0;1), F2 (0;1)  z  i  MF1 , z  i  MF2
 MF1  MF2  4  F1F2

Vậy tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z là elip có trục lớn là trục tung, độ dài
trục lớn 2b  4  b  2 , tiêu điểm F2 (0;1)  c  1  a 2  4  1  3
x2 y 2


1
3
4
Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2 . Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
 elip

có phương trình:

w  (4  3i ) z  2

Bài giải:
Gọi z  a  bi , (a, b  R) , ta có:
z  1  2  (a  1) 2  b 2  2  a 2  b 2  2a  3
w  (4  3i ) z  2  (4  3i )(a  bi )  2  4a  3b  2  (3a  4b)i
 x  4a  3b  2
Điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức w thỏa mãn 
 y  3a  4b

 ( x  2) 2  ( y  3) 2  (4a  3b  4) 2  (3a  4b  3) 2
 ( x  2) 2  ( y  3) 2  25(a 2  b 2  2b)  25  100

Tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I (2;3), R  10
Bài 5: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  3z  (2  i 3 ) z


Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

12

Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài tốn về số phức.

(Trích đề thi thử ĐH 2014 khối A lần 2, trường THPT Lê Hoàn)
Bài giải:
Gọi z  x  yi , ( x, y  R) , ta có:
x  yi  3( x  yi)  (2  i 3 ) x 2  y 2  4 x  2 yi  2 x 2  y 2  i 3 x 2  3 y 2

x  0
4 x  2 x 2  y 2
x  0



 y  0
 2 y  3x 2  3 y 2
 y 2  3x 2  y   3x

Tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z là đường thẳng  : 3x  y  0; x  0
4i
2  6i
, z2 
Bài 6: Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 
. Tìm số
1 i
3i
phức z có điểm biểu diễn C sao cho tam giác ABC vuông cân tại C

Bài giải:

z1 

4i
2  6i
 2  2i, z2 
 2i  A(2;2); B(0;2)
1 i
3i

Gọi C ( x; y )  AC  ( x  2; y  2) , BC  ( x; y  2)
Tam giác ABC vuông cân tại C

( x  2) 2  ( y  2) 2  x 2  ( y  2) 2
 AC  BC
 x  1
 x  1






2
( x  2) x  ( y  2) 2  0
( y  1)  1  y  0; y  2
 AC.BC  0
 C (1;0); C (1;2)
 z  1

 z  1  2i

Bài 7: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: 1  z  2i  3
Bài giải:
Gọi z  x  yi , ( x, y  R) , ta có:
1  x 2  ( y  2) 2  3  1  x 2  ( y  2) 2  9

Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trong đường tròn tâm I (0;2) , R  3 kể
cả biên và nằm ngồi đường trịn tâm I (0;2) , R  1 khơng có biên.

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

13


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài tốn về số phức.

DẠNG 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của modun số phức
Bài 1: Cho z  1 .Tìm số phức z sao cho giá trị biểu thức A  1  z  31  z đạt giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bài giải:
Nhận xét: Các em đưa A về hàm số để tìm gtln, gtnn .
Gọi z  a  bi (a, b  R) , ta có: a 2  b 2  1  1  a  1
A  (a  1) 2  b 2  3 (1  a ) 2  b 2  2  2a  3 2  2a
f (a )  2  2a  3 2  2a ; a   1;1
1
3
4
f ' (a ) 


; f ' ( a )  0  2  2a  3 2  2a  a  
5
2  2a
2  2a

4
f (1)  6 ; f ( )  2 10 ; f (1)  2
5
4 3
Vậy Amax  2 10  z    i ; Amin  2  z  1
5 5
Bài 2: Trong số các số phức z thỏa mãn z  z  3  4i , tìm số phức có modun nhỏ

nhất.
Bài giải:
Nhận xét: Các em có thể áp dụng BĐT, xét hàm số hoặc dùng phương pháp hình
học.
Gọi z  x  yi , ( x, y  R) , ta có:
z  z  3  4i  x 2  y 2  ( x  3) 2  ( y  4) 2  6 x  8 y  25

Cách 1: Áp dụng BĐT Bunhia-copski ta có:
(6 x  8 y ) 2  (36  64)( x 2  y 2 )  z  x 2  y 2 

5
2

3
6 x  8 y  25 
3

x 

2  z   2i
y
2
 6  8
 y  2
Cách 2: Tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z là đường thẳng  : 6 x  8 y  25  0
25
5
Mặt khác: z  OM đạt giá trị nhỏ nhất  OM  d (O; ) 
  M là hình chiếu
100 2
của O trên   tọa độ của M là nghiệm của hệ:
3

6 x  8 y  25  x 
3
3

2  M ( ;2)  z   2i

2
2
8 x  6 y  0
 y  2

Vậy z min    x
5
2

Bài 3: Trong số các số phức z thỏa mãn z  5  2i  1 , tìm số phức có modun nhỏ
nhất và số phức có modun lớn nhất.
Bài giải:
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

14


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.

Gọi z  x  yi , ( x, y  R) , ta có:
z  5  2i  1  ( x  5) 2  ( y  2) 2  1

Tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (5;2), R  1

Mặt khác z  OM đạt giá trị nhỏ nhất z min  OI  R  29  1  M 1  (C )  OI
z  OM đạt giá trị lớn nhất z max  OI  R  29  1  M 2  (C )  OI

Tọa độ của M 1 , M 2 là nghiệm của hệ:


5

 x  5 
2 x  5 y  0
x   y



2

2
2

( x  5)  ( y  2)  1 29( y  2) 2  4

 x  5 

2
5
Vậy z min  29  1  z  (5 
)i
)  (2 
29
29
2
5
z max  29  1  z  (5 
)i
)  (2 
29
29

5
;y 2
29
5
;y 2

29

2
29
2
29

Nhận xét:
- Nếu tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z là đường thẳng  thì số phức có
modun nhỏ nhất là: z min  d (O; )  M là hình chiếu của O trên 
- Nếu tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (a; b), R thì
z  OM đạt giá trị nhỏ nhất z min  OI  R  a 2  b 2  R  M  (C )  OI
z  OM đạt giá trị lớn nhất z max  OI  R  a 2  b 2  R  N  (C )  OI

Bài 4: Xét các số phức z thỏa mãn z  2  i  z  4  7i  6 2 .Gọi M , m lần lượt là
giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của z 1  i . Tính P  M  m .
( Trích đề tham khảo thi THPT QG 2017 của BGD)
Bài giải:
Gọi z  x  yi , ( x, y  R) , ta có:
( x  2) 2  ( y  1) 2  ( x  4) 2  ( y  7) 2  6 2

Gọi I ( x; y ), F1 (2;1), F2 (4;7)  z  2  i  IF1 , z  4  7i  IF2 , F1 F2  6 2
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

15


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.

 IF1  IF2  F1 F2  I thuộc đoạn thẳng F1 F2

F1 F2  6;6  nF1F2  (1;1)  pt F1 F2 : x  y  3  0

Mặt khác z  1  i  ( x  1) 2  ( y  1) 2  IH ; H (1;1)
z 1  i  HI đạt giá trị nhỏ nhất  I  F2 hay M  F2 H  9  64  73
z 1  i  HI đạt giá trị lớn nhất  I là hình chiếu của H trên F1 F2 hay
m  d ( H ; F1 F2 ) 

5
2

hay M  m  73 

5
2

1
2

Bài 5: Cho 2 số phức z, w thỏa mãn iz  2  ; w  iz .Tìm giá trị nhỏ nhất của
zw

Bài giải:
Gọi z  x  yi , ( x, y  R)  w   y  xi  M ( x; y ) ; N ( y; x) lần lượt là 2 điểm biểu diễn
của z, w
Cách 1:Giải bằng phương pháp hình học.
1
1

1
 ( y  2 ) 2  x 2   x 2  ( y  2 ) 2 
2
2
4
1
 M  đường tròn tâm I (0; 2 ) ; R 
2
iz  2 

Ta thấy z  w  ( x  y ) 2  ( y  x) 2  MN ; OM  ON ; OM  ON
 MN  OM 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

16


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.

 M  OI  (C ) , OI  k OM , k  0  tọa độ của M là nghiệm của hệ:
x  0
x  0
1


 2
1

1  M (0; 2  )
2
2
 x  ( y  2 )  4
 y  2  2
2
 z  w min  2 
2

Cách 2: Giải bằng phương pháp đại số

1
1
1
 ( y  2 ) 2  x 2   x 2  ( y  2 ) 2 
2
2
4
1
1
1
1
  y 2    2  y  2
2
2
2
2
iz  2 

Mặt khác:

1
7
1
z  w  ( x  y ) 2  ( y  x) 2  2( x 2  y 2 )  2(  2  2 2 y )  2[  2 2 (  2 )]
4
4
2
 zw 
 z  w min

9
2 2 1
2
2 2 
2
2
2
2
2
2
2

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho số phức z  a  bi thỏa mãn 6(2  i) z  18 z  1  19i .Tính giá trị biểu thức:
S  3a  2b .( Đề thi KSCL 2017 lớp12, sở GD&ĐT Hà Nam) . Đáp án: S  

1
4

Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z  i  3 . Biết tập hợp điểm biểu diễn của số phức
w  (3  4i ) z  2i là một đường trịn. Tính bán kính đường trịn đó. ( Đề thi thử THPT
QG 2017 lần 3, trường THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội) . Đáp án: R  15
Bài 3: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình ( z 2  1)( z 2  2 z  2)  0 .Tính giá
trị biểu thức: S  z12014  z2 2014  z32014  z4 2014 .( Đề thi thử ĐH 2014 lần 2,trường THPT
Nguyễn Huệ) . Đáp án: S  2
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

17


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.

Bài 4: Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  1, z1  z2  3 . Tính giá trị lớn nhất của
biểu thức T  z1  z2 .( Đề thi thử THPT QG 2017 lần 3, trường THPT Lương Thế
Vinh - Hà Nội) . Đáp án: T  10
Bài 5: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  z  2  i .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: w  z  2  3i . (Đề thi thử THPT QG 2017 lần 3,trường THPT Lương Thế Vinh
- Hà Nội) . Đáp án: T 

11
10

Bài 6: Tìm tất cả các số phức z có phần thực dương thỏa mãn z 3 12i  z . (Đề thi
thử ĐHCĐ 2014 khối A, trường Đại học Hồng Đức) . Đáp án: z  2  i
Bài 7: Cho hai số phức z, w thỏa mãn z  w  1 .Chứng minh rằng số

z 2  w2

là số
1  z 2 w2

thực. (Đề thi thử ĐH 2014 lần 3, trường chuyên Nguyễn Huệ)
2
Bài 8: Tìm số phức z có phần thực dương thỏa mãn 1  z  z  i  (iz  1) 2 .(Đề thi thử
ĐHCĐ 2014 lần 3, trường THPT Quỳnh Lưu 1-Nghệ An) . Đáp án: z  1 2i
z 1
 z . (Đề thi thử THPT QG 2017
1 i
3 1
lần 3, trường THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội) . Đáp án: z  i, z    i
10 10
Bài 10: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:
1
a) 2 z  i  z  z  2i . Đáp án:Parabol y  x 2
4
2
1
1
b) z 2  z  4 . Đáp án:2 Hypebol y   ; y 
x
x

Bài 9: Tìm số phức z thỏa mãn ( z  1)(1  i) 

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Với sáng kiến kinh nghiệm trên đây, bản thân rút ra được bài học kinh
nghiệm về công tác chuyên môn là: Để nắm vững ôn tập các dạng và phương pháp

giải các dạng bài tập về số phức trong chương trình thi THPT QG theo hướng trắc
nghiệm thì giáo viên cần phải hệ thống các kiến thức trọng tâm và phương pháp
giải một số dạng bài về số phức trong chương trình cơ bản. Đồng thời giáo viên
phải là người tạo ra động cơ để học sinh cùng tham gia giải quyết các vấn đề đã đặt
ra. Sau cùng giáo viên còn phải kiểm tra, đánh giá và rút kinh nghiệm cho các em
vận dụng các phương pháp giải này.
Ý nghĩa của sáng kiến: Giúp cho giáo viên chủ động trong việc giảng dạy ôn
tập cho học sinh khối 12 một cách hệ thống và tương đối đầy đủ các dạng bài tập
về số phức, đồng thời sáng kiến kinh nghiệm này còn giúp học sinh phát triển tư
duy và rèn luyện kỹ năng giải toán. Từ đó học sinh có cái nhìn tồn diện và tự tin
hơn khi tiếp cận các dạng toán này.
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

18


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.

Khả năng ứng dụng và triển khai: Sáng kiến đã được trình bày trước tổ
chuyên môn và học sinh lớp 12 ôn tập thi THPTQG dưới dạng chuyên đề. Tôi triển
khai áp dụng vào dạy các lớp 12A2, 12A3 và đã thu được kết quả tốt, đa số học
sinh nắm bắt tốt chuyên đề, biết vận dụng vào giải các loại bài toán về số
phức.Được học chuyên đề này, học sinh dễ dàng có sự lựa chọn phương pháp thích
hợp và vận dụng sáng tạo cho mỗi bài toán.
Sau khi áp dụng đề tài, tôi đã cho làm bài kiểm tra 45 phút về phần số phức.
Kết quả đã nâng lên rõ rệt, cụ thể:
8-10
6-7,9

5-5,9
3-4,9
0-2,9
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A2

47

15

31,9

24

51,1

8

17

0

12A3

43

8

18,6

15

34,9

16

37,2

4

0
9,3

.
3. KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Sau khi triển khai sáng kiến này vào dạy học ôn tập cho học sinh lớp 12 tôi
thấy mang lại hiệu quả học tốt. Đồng thời cũng là tài liệu tham khảo, bổ sung kinh
nghiệm ra đề và giảng dạy phần Số phức cho các đồng nghiệp, góp phần vào việc
nâng cao chất lượng dạy học chung cho nhà trường.Tuy nhiên với kinh nghiệm cịn

ít, trải nghiệm chưa nhiều nên đề tài khơng tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất
định. Rất mong nhận được nhiều góp ý của Hội đồng khoa học nhà trường THPT
Tĩnh gia 2 và Hội đồng khoa học sở GD&ĐT Thanh Hóa.
3.2. Kiến nghị:
Với đề tài này tơi đã triển khai trong q trình dạy học sinh lớp 12 ban
KHTN và các lớp ban Cơ bản học theo khối mang lại hiệu quả là rất tốt. Vì vậy tơi
hy vọng đề tài này sẽ đóng góp vào việc giải bài toán đã nêu trên, và được đồng
nghiệp khai thác mở rộng hơn nữa, là tài liệu tham khảo cho các em học sinh lớp
12 trong quá trình học tập cũng như ơn thi học sinh giỏi, ôn thi kỳ thi Quốc gia
THPT hàng năm.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2017
Tơi xin cam đoan đây là SKKN do
chính bản thân mình viết, không sao
chép nội dung của người khác

Lê Thị Dung
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

19


Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương
pháp giải một số dạng bài toán về số phức.

4. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
[1]. Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, NXB Giáo Dục, Trần Văn Hạo ( Tổng chủ

biên) - Vũ Tuấn ( Chủ biên) .
[2]. Sách bài tập Giải tích 12 cơ bản, NXB Giáo Dục, Vũ Tuấn ( Chủ biên) - Lê Thị
Thiên Hương - Nguyễn Thu Nga – Phạm Phu – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất.
[3]. Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục, Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ
biên) – Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên) .
[4]. Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục, Nguyễn Huy Đoan ( Tổng
chủ biên) .
[5]. Sách Phương pháp ôn luyện thi Đại học cao đẳng mơn Tốn theo chủ đề số
phức , Hồng Văn Minh – Nguyễn Quốc Hùng.
[6]. Đề thi mơn Toán Đại học, cao đẳng năm 2009, 2010, 2011, 2012, 2013 của bộ
GD&ĐT. Đề thi minh họa THPT QG 2017 mơn Tốn của bộ GD&ĐT
[7]. Đề thi mơn Tốn các trường Đại học trên toàn quốc .
[8]. Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 của các trường THPT trên toàn quốc.
5. DANH MỤC CÁC SÁNG KIẾN ĐẠT GIẢI CẤP SỞ GD&ĐT :
Năm học
Tên đề tài
Xếp loại
2010-2011 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình,
C
hệ phương trình và hệ bất phương trình.
2014-2015 Sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản và đạo hàm để tìm
C
giá trị lớn nhất và gái trị nhỏ nhất của hàm số nhiều biến
bằng cách đưa về hàm số một biến
2015-2016 Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng trong khơng
B
gian tọa độ theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

20