BÁO cáo bài t p l n ậ ớ môn h i s TUY n TÍNH ọc đạ ố ế tên đề tài PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ
MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ---

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MÔN HỌC: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TÊN ĐỀ TÀI:
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
GVHD: Hà Văn Hiếu
Lớp: L03
Nhóm: 5

Tp.HCM, 19/4/2021

TIEU LUAN MOI download :


L ớ p: L03
Nhóm: 3
Danh sách thành viên

STT

H

1

D

2

L

3

P

4

L

5

L

6

V

7

V

8

V

9

T

10

B

11

P

12

N

13

L

2

TIEU LUAN MOI download :


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình thực hiện đề tài này, nhóm chúng em rất biết ơn vì đã nhận được rất
nhiều sự quan tâm và sự giúp đỡ tận tình của thầy cơ và bạn bè.
Nhóm chúng em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Hà Văn Hiếu là giảng viên
hướng dẫn cho đề tài môn học này. Nhờ có sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của thầy, đã giúp cho
nhóm chúng em tìm ra cách giải quyết những vướng mắc gặp phải và hoàn thiện đề tài này một

cách tốt nhất.
Sự hướng dẫn của thầy đã là kim chỉ nam cho mọi hành động của nhóm và phát huy tối

đa được mối quan hệ hỗ trợ giữa thầy và trị trong mơi trường giáo dục.
Lời cuối, xin một lần nữa gửi lời biết ơn sâu sắc đến các cá nhân, các thầy cô đã dành
thời gian chỉ dẫn cho nhóm. Đây chính là niềm tin, nguồn động lực to lớn để nhóm có thể
đạt được kết quả này.

3

TIEU LUAN MOI download :


TĨM TẮT BÀI BÁO CÁO
Báo cáo tìm hiểu chun sâu về ứ ng dụ ng củ a trị riêng và vecto riêng chính là hệ phương trình
vi phân tuyến tính cấp 1. Bằng những kiến thức cơ bản (ma trận, phép nhân 2 ma trận,…),

khái niệm chuyên sâu hơn (trị riêng, véctơ riêng, phép đổi biến, chéo hoá ma trận,…) để
giải các bài tốn tìm số lượng cá thể, tìm lượng muối ở thời điểm t và được ứng dụng rộng
rãi trong rất nhiều lĩnh vực: hoá học, vật lý, xây dựng, kinh tế, mơi trường, khoa học máy
tính, cơ lượng tử, lý thuyết đồ thị, trí tuệ nhân tạo,… Có thể thấy phương trình vi phân
mang lại cho chúng ta rất nhiều lợi ích.

4

TIEU LUAN MOI download :


Mụ c lục
Phần 1: Trị riêng và véctơ riêng………………………………………………6
I.

Trị riêng và véctơ riêng của ma trận vng……………..……….6

AI.

Chéo hố ma trận…………………….…………………...…….10

Phần 2: Ứng dụng trong hệ phương trình vi phân tuyến tính………….……13

5

TIEU LUAN MOI download :


Phầ n 1: Trị riêng và véctơ riêng
I. Trị riêng và véctơ riêng của ma trận vng
Cho ví dụ sau: Cho ma trận A =

1.1.

AX, AY và biểu diễn 4 véctơ X, Y, AX, AY lên cùng một hệ trục Oxy.

Lời giải
AX=(
2 −4

AY=(

3 −3

) (3)=(6).

3 −3

) (1)=( 0).

2 −4
Từ hình vẽ ta thấy AX cùng phương với véctơ X, cụ thể AX= 2X và AY không cùng
phương với véctơ Y.
Không tồn tại hệ số thực k để AY= kY.
Số λ= 2 được gọi là giá trị riêng của ma trận A và véctơ X ở trên được gọi là véctơ
riêng của ma trận A tương ứng với giá trị λ= 2.

≠
Định nghĩa 1: Cho A
vé ctơ X 0 0 sao cho

Véctơ X0 được gọi là véctơ riêng của ma trận A tương ứng
với λ0 6


TIEU LUAN MOI download :
Tập hợ p tất cả các giá trị riêng của ma trận A được gọi là phổ của ma trận A và được ký
Tìm
hiệu bởi
(A)
trị riêng và véctơ riêng của A.
Theo định nghĩa, tồn tại X0 ≠ 0 để AX0 = λ0X0⇔ AX0 - λ0X0 = 0
Suy ra X0 là 1 nghiệm ≠ 0 của hệ phương trình
(A - λ0I)X = 0
Hệ thuần nhất (1) có nghiệm khác khơng khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0.
Tức là det(A - λ0I) =≠0

Vậy λ 0 là 1 nghiệm 0 của phương trình det(A - λI) = 0(phương trình đặc trưng của A)
Định nghĩa 2:
1/ Số λ 0 là trị riêng cảu A khi và chỉ khi λ 0 là nghiệm của phương trình đặc≠trưng.
2/ Véctơ X0 là véctơ riêng của A ứng với λ 0 khi và chỉ khi X0 là 1 nghiệm 0 của hệ phương
trình (1)

1.2.

Các bước tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A.

Bước 1. (Tìm giá trị riêng)
- Lập phương trình đặc trưng.
- Tính định thức, giải phương trình.
- Tất cả các nghiệm của phương trình là tất cả các trị riêng của A.

Bước 2. (Tìm véctơ riêng)
- Tương ứng với λ 1. Giải hệ phương trình (A – λ1I)X = 0.
- Tất cả các nghiệm khác 0 của hệ là tất cả các véctơ riêng của A ứng với trị riêng λ 1
- Tương tự tìm véctơ riêng của A ứng với các trị riêng còn lại.
∈ (A)Địnhnghĩa3:Choλk

Bội đại số của λ k là số bội của nó trong phương trình đặc
trưng Ký hiệu: BĐS(λ k).
Định nghĩa 4: Không gian nghiệm của hệ phương trình (A – λkI)X = 0 được gọi là không
gian con riêng ứng với λk.
Ký hiệu: Eλk
Định nghĩa 5: Số chiều của không gian con riêng Eλk được gọi là bội hình học của λk và được

ký hiệu là BHH(λk).
7

TIEU LUAN MOI download :


Định lý 1: Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng.
Chứng minh. Ta có PB(λ) = det(B - λI) = det(P-1AP - P-1IPλ) = det(P-1(A - λI)P)

Đị

nh l 2: Cho

nó.

Chứng minh

∈ ( ) và một giá trị riêng của là 0 . Giả sử( 0) = .

Cho

Khi đó tồn tại cơ sở của khơng gian con riêng

0

có véctơ là = { 1 , 2, …, }.

Bổ sung vào
Gọi
Khi đó

−1

=

−1

A( 1| 2|…| |

+1| +2|…|

)
=

−1

(
1

=
=(

−1

(01|02|…|0

−1

= (0
Ta có =

−1

=

−1

( 1| 2|…| |

+1

|

+2|…|

0 1|

−1

1| 0

−1

−1

2|…| 0

0 2|

−

)
=(

−1

1|

−1

2|…|

Từ đây ta có:

Vậy

Suy ra phương trình đặc trưng của

−1

=


TIEU LUAN MOI download :
có cùng đa
Suydạngranênmachtrúậng −1

Định l 3: C c v ctơ riêng c a tương ng v
Tóm lại bội đa số của trị riêng

1.3. T nh ch t của trị riêng, véctơ riêng

trên đường chéo của .
1/ Tổng tất cả các trị riêng của
2/ Tích tất cả các trị riêng của

bằng với det ( ).

3/ Tổng tất cả các bội đại số của các trị riêng bằng với cấp của

.

4/ Tổng tất cả các bội hình học của các trị riêng bằng với số véctơ độℕc lập tuyến tính
cực đại. 5/ Nếu 0 là trị riêng của , thì 0 là trị riếng của ma trận , .
Chứng minh.
Giả sử

0

Khi đó tồn tại véctơ

0

là trị riêng của .

≠ 0, sao cho
0=−1( 0)

Suy ra
2
( 0)

−2

0=⋯=

Vậy0 = ( 0) 0.
( 0) là trị riêng của

Suy ra
, thì

0

−1

và

là trị

6/ Ma trận vuông
riêng của ma trận
Chứng minh.
Thật vậy, giả sử 0 ∈ ( ).
Phương trình đặc trưng của
Thế = 0 vào phương trình ta được det( − 0 )
Giả sử
Khi đó tồn tại véctơ
−1

0= −100

⇒0
1

là trị riêng của

0
0

là trị riêng của


TIEU LUAN MOI download :


AI.

Chéo hố ma trận
Ma trận vng A gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận chéo D và ma trận khả nghịch

-

P để A = PDP

−1

❖ Chú ý:

1.1.Địnhnghĩa

➢ Khơng phải ma trận nào cũng chéo hóa được.
Giả sử A chéo hóa được, khi đó ta có:
=
−
⇔
=

p11
p21
⇔A(⋯ ⋯

pn1
➢ Cột thứ nhất của ma trận AP là AP∗1
➢ Cột thứ nhất của ma trận PD là
Vì
Ma trận P khả nghịch ⇔ P∗1 ≠ 0 ⇒ {
Tương tự, ta có

❖ Lưu : P khả nghịch nên họ vecto cột của P là họ độc lập tuyến tính
❖ Định lý: Ma tr n vng A cấp n ch o hóa được khi và chỉ khi tồn tại n vecto riêng đ c l p

tuy n tính c a A.

10


TIEU LUAN MOI download :


❖ Hệ quả:

➢ Ma trận A cấp n có n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được

➢ A chéo hóa được ⇔ Bội hình học = Bội đại số cho tất cả trị

riêng ⇒ Đây cũng là điều kiện để ma trận A chéo hóa.

Các bước chéo hóa ma trận

1.2.

❖ Bước 1: Tìm giá trị riêng
➢ Lập phương trình đặc trưng det(A- )=0
➢
➢

Nghiệm của phương trình là các trị riêng của A.

Vớimọik

( ) tìm bội đại số BĐS ( ).

,k

❖ Bước 2: Tìm cơ sở của các khơng gian con riêng
➢ Tương ứng với trị riêng k . Giải hệ phương trình (A- k ).X=0.
➢ Tìm nghiệm tổng quát, suy ra cơ sở không gian con riêng E k .
➢ Xác định bội hình học của k : BHH ( k)=dim(E k )
❖ Bước 3: Kết Luận
➢ Nếu tồn tại một trị riêng( k ) mà bội hình học (BHH) NHỎ HƠN bội đại số (BĐS) của

nó thì ma trận A KHƠNG chéo hóa được.

➢ Nếu với mọi trị riêng, bội hình học BẰNG với bội đại số của nó, thì ma trận A chéo
-1

được. Tức là A=PDP , trong đó ma trận P có các cột là những cơ sở của các khơng
gian con riêng đã tìm được ở BƯỚC 2 và ma trận D có các phần tử trên đường chéo
là các giá trị riêng của A.
Cho ma trận A =

❖ Ví dụ

Bước 1: Tìm các trị riêng

Phương trình đặc trưng det(A- )=0

TIEU LUAN MOI download :


⇔(3−λ)(−4−λ)−(−3).2=0⇔{

⇒

Ma trận A có 2 trị riêng là
{

Bướ c 2: Tìm các vecto riêng

Vecto riêng ứng với

1

3

= 2 là X=( ) với α ≠ 0

BHH ( 1)=1, cơ sở của không gian
Vecto riêng ứng với 2 là
BHH ( 2)=1, cơ sở của khơng

2β

Bước 3: Kết luận
Ta có BĐS ( )=BHH ( 1)=1; BĐS ( )=BHH ( 2)=1
⇒ A chéo hóa được ⇔ A = PDP

12

−1

với


TIEU LUAN MOI download :


Phầ n 2: Ứng dụng hệ phương trình vi phân tuyến tính
I.Vật Lý
Tính mức độ tan rã của một nguyên tố.
Ví dụ : Chu kì bán rã của radium là 1600 năm, điều đó có nghĩa cứ khoảng 1600 năm

khối lượng của radium giảm đi một nửa. Nếu ban đầu một mẫu radium có khối lượng 50
gram thì sau bao lâu khối lượng của nó là 45 gram?
•

•

Gọi y(t) là khối lượng của radium sau khoảng thời gian t ( năm ).
Ta biết rằng y(t) = ky(t) ( k là một hằng số ).

•

Giải ptvp trên ta được y’(t) =

•

Ta có y(0) = 50 và y(1600) = 25 ta tìm đư ợc

•

Vậy sau t = ln(45⁄ )
k

50

Một bài tốn thú vị trong vật lý là xác định vận tốc ban đầu nh nhất để một con tàu vũ trụ có
thể thốt ra ngồi từ trường của Trái Đất để đi vào khơng gian. Để giải quyết bài tốn ta cần
mộ t số kí hiệu sau :

•

R là bán kính Trái Đất
g là gia tốc Trái Đất. ( g ≈

•
•

x (t) là độ cao của tàu vũ trụ ở thời điểm t

Theo định luật vạn vật hấp dẫn của Newton, ta có : −g
′′

x (t) =(1 +Rx)2

II.Hóa Học
-

Ứng dụng của hệ phương trình vi phân tuyến tính trong hóa học :
+ Có nhiều vấn đề trong hóa học của các phản ứng hóa học
dẫn đến các hệ phương trình vi phân. Phản ứng đơn giản nhất là

khi hóa chất A biến thành hóa chất B. Điều này xảy ra với một hiệu
suất nhất định (k>0) . Phản ứng này có thể được thể hiện bằng cơng thức :

Kí hiệu [A], [B] là nồng độ (concentration) mole/l của A và B.Ta được :
13


TIEU LUAN MOI download :

Từ cấ u trúc trên ta có thể hiểu mộ t chuỗi phản ứng sau:

Ở đây có ba nồng độ và hai tỷ lệ thay đổi . Hệ thống phương trình

điều chỉnh phản ứng là :

Tốc độ thay đổi càng phức tạp là khi [B] tăng từ [A] thay đổi thành [B] và giảm khi [B] thay
đổi thành [C]. Do đó, có hai thuật ngữ trong tốc độ phương trình thay đổi nồng độ [B].

Ta có thể xem xét thêm các phản ứng trong đó có thể có phản ứng ngược.
Do đó, một khái quát hóa hơn nữa xảy ra cho phản ứng

Tỷ lệ phản ứng ngược góp phần vào các phương trình phản ứng cho [A] và
[B]. Hệ phương trình kết quả là:

14

TIEU LUAN MOI download :


Ta có ví dụ sau : Cho chuỗi phản ứng sau:A ⇌ B → C

Trong đó→3 hóa chất là→ A, B, C. Trong→ chuỗi phản ứng trên mỗi giai đoạn có một
hiệu suất riêng (A B là K1, B C là K2 và B A là K3)
Theo thời gian thì nồng độ mol/l của ba chất trên sẽ thay đổi [A](1), [B](1), [C](1), với K1=
0.4, K2=0.1, K3= 0.1
Ta có pt theo định nghĩa đã đưa ra:
d[A]/dt= -0.4[A] + 0.1[B]
d[B]/dt= 0.4[A] - 0.1[B] - 0.1[B]
d[C] = 0.1[B]

/dt

d[A]/dt= -0.4[A] + 0.1[B]
d[B]/dt= 0.4[A] - 0.2[B]
d[C]/dt= 0.1[B]
Biết [A](0)= 2 (mol/l)
[B](0)= 8 (mol/l)
[C](0)= 1 (mol/l)
Tính nồng độ mol của 3 hóa chất tại thời điểm t:
*Hệ pt được viết lại ở dạng ma trận:
d[ A]

(

dt
d [B])

=(

−0.4

dt

’

Dùng phép đổi biến X=PY, ta được PY = APY Y’= P-1APY.
15

TIEU LUAN MOI download :

Tìm ma trận P sao cho P-1AP là ma trận chéo D (Cấu trúc đơn giản nhất có nghĩa là chéo
-1
hóa ma trận A, ta được A=PDP , với

’

Hệ pt đã cho đổi thành Y = DY

[]

=

[]
{

{

=

[]

=

[]

=

Từ: X=PY
([[]])= ( 4

−3−√5

[ ]=−√5−1
{

−3+√5

4110 4210 [ ] = 1
−3+√5

+√5−1
−3−

√5
10

−3+√5

+

2

10

16

10

TIEU LUAN MOI download :
Với [A]t

0,42.

[B]t =

[C]t = 0,1.[B]t =

Tốc độ tăng dân số

BI.

- P(t) là dân số ở thời điểm t (năm) . Chúng ta có mơ hình tốc độ tăng dân số là
P0
dx

dP

= kP P (0) =

,

trong đó k là hằng số tốc độ tăng dân số, P0 là dân số ở thời điểm t = 0

- Ví dụ :
Với bảng số liệu ở trên, hãy ước lượng dân số thế giới vào năm 2020?
•

Giải ptvp, ta được P(t) = P0. e

kt

k = 0.017

• Từ bảngP =số 4454liệutrên.e0 .017ttacó thể ước lượng
giá trị của k là • Do đó
17


TIEU LUAN MOI download :


Vậy đến năm 2020, tức là t = 40 , dân số thế giới P ≈ 8.791 tỷ.

IV. Môi trường sinh thái
Mơ hình thú mồi (predator-prey model) hay mơ hình Lotka-Volterra là một mơ hình dùng
để giải thích về sự cân bằng sinh thái trong hệ sinh thái giữa thú săn mồi và con mồi.
Ta xét một mơ hình quần thể có hai lồi động vật là thú săn mồi (sói,hổ,…) và con mồi
(th , hươu, nai,…). Giả sử:
•
•
•
•

Khi khơng có thú săn mồi, con mồi tăng trưởng khơng giới hạn (luật Malthus). ˆ
Thú ăn mồi và tốc độ con mồi bị ăn thịt tỉ lệ với tốc độ thú và mồi gặp nhau. ˆ
Khơng có con mồi, lồi thú săn mồi suy giảm tỉ lệ với dân số hiện tại. ˆ
Tốc độ sinh trưởng loài thú săn mồi tỉ lệ với lượng mồi bị ăn thịt.

Qua quá trình quan sát, người ta đã đưa ra được mơ hình phát triển của hai loài này là:
S′ = 0.5S(t) + 0.3T(t)
Giải thích bài tốn:
•
•
•

S’, T’ là tốc độ tăng trưởng lồi của thú săn mồi và con mồi trên một đơn vị thời
gian (trong bài toán ta lấy đơn vị thời gian là con/năm).
Tại phương trình (1), nếu khơng có con mồi thì số lượng thú săn mồi sau một năm sẽ
bị giảm đi cịn 0.5S(t). Nếu có con mồi thì số lượng thú săn mồi sẽ tăng thêm 0.3T(t).
Tại phương trình (2), nếu khơng có thú săn mồi thì số lượng con mồi sẽ tăng thêm 20%
hay 1.2T(t). Nếu có thú săn mồi thì số lượng con mồi sẽ giảm đi thể hiện qua -0.2S(t).

Tại thời điểm ban đầu khi nghiên Sc(ứu0 (t=0),)=2000sốlượ,Tng(0cá) th=ể1000tương ứng của từng loài là:

Từ những dữ kiện trên, tìm số lượng cá thể của mỗi lồi ở thời điểm t, tức là tìm S(t), T(t).
Lời giải:
Ta viết phương trình trên ở dạng ma trận:

Lập phương trình đặc trưng det(A − λ I) = 0

⇔|

0.5−λ
−0.2


TIEU LUAN MOI download :