Thể tích khối nón- trụ - cầu luyện thi THPT Quốc gia

Tailieumontoan.com

Sưu tầm

CHUN ĐỀ
THỂ TÍCH KHỐI NĨN – TRỤ - CẦU

Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020


Website: tailieumontoan.com

DẠNG TỐN 8: KHỐI NĨN-TRỤ- CẦU ( CƠNG THỨC THỂ TÍCH KHỐI NĨN)

I.

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Cơng thức tính thể tích khối chóp:

1
V = π r 2 h trong đó chiều cao h và bán kính đáy r .
3
Diện tích xung quanh: S xq nón  rl , với r là bán kính đường trịn đáy, l đường sinh.
Diện tích tồn phần của hình nón: S tp  S xq  S đáy  rl  r 2 .
2
l=
h2 + r 2

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Khối Nón-Trụ- Cầu ( Cơng thức thể tích khối Nón)

 Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao
 Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần
 Tính thể tích khối nón, khối liên quan nón
 Bài tốn liên quan thiết diện với khối nón
 Hình nón nội tiếp-ngoại tiếp khối chóp
 Tốn Max-Min liên quan khối nón
 Tốn thực tế, liên mơn liên quan khối nón
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BGD 2019-2020) Cho khối nón có chiều cao h = 3 và bán kính đáy r = 4 . Thể
tích của khối nón đã cho bằng
A. 16π .

B. 48π .

C. 36π .

D. 4π .

Phân tích hướng dẫn giải
Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 1


Website: tailieumontoan.com

1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tính thể tích khối nón khi biết chiều cao và bán kính đáy
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Cơng thức tính thể tích khối chóp:
1

V = π r 2 h trong đó chiều cao h và bán kính đáy r .
3

3. HƯỚNG GIẢI:
1
Áp dụng cơng thức V = π r 2 h .
3

Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Thể tích của khối nón đã cho=
là V

1 2
1 2
=
πr h =
π 4 .3 16π .
3
3

Bài tập tương tự và phát triển:
 Mức độ 1
Câu 1.

Diện tích xung quanh của hình trụ trịn xoay có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l bằng
A. πrl

B. 4πrl

C. 2πrl

D.

4
πrl
3

Lời giải
Diện tích xung quanh của hình trụ trịn xoay: S xq = 2πrl .

Câu 2.

Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3π a 2 và có bán kính đáy bằng a . Độ dài đường
sinh của hình nón đã cho bằng:
A. 2 2a

B. 3a

C. 2a

D.

3a
2

Lời giải
Diện tích xung quanh hình nón: S xq = π rl với r = a ⇒ π .a.l = 3π a 2 ⇒ l = 3a .
Câu 3.

Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và bán kính đáy bằng a . Thể tích của khối nón
đã cho bằng
A.

3π a 3
.
3

B.

3π a 3
.
2

C.

2π a 3
.
3

D.

π a3
3

.

Lời giải

h
Ta có chiều cao của khối nón bằng=
Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

l = 2a
l 2 − r 2 với 
. Suy ra h = a 3 .
r = a
Trang 2


Website: tailieumontoan.com

Vậy thể tích khối nón=
là V
Câu 4.

1 2
1 2
π a3 3
.
=
a 3
πr h
π a=
3
3
3

Cho hình nón có bán kính đáy r = 3 và độ dài đường sinh l = 4 . Tính diện tích xung quanh

của hình nón đã cho.
C. S xq = 39π

B. S xq = 4 3π

A. S xq = 12π

D. S xq = 8 3π

Lời giải
Diện tích xung quanh của hình nón là: S=
π=
rl 4 3π .
xq
Câu 5.

Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3π a 2 và bán kính đáy bằng a . Tính độ dài đường
sinh l của hình nón đã cho.
A. l =

5a
.
2

C. l =

B. l = 2 2a .

3a
.

2

D. l = 3a .

Lời giải
Diện tích xung quanh của hình nón là: S xq= π rl= π al= 3π a 2 ⇒ l= 3a .

Câu 6.

Cho khối nón ( N ) có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 15π . Tính thể tích V
của khối nón ( N )
C. V = 36π .

B. V = 20π .

A. V = 12π .

D. V = 60π .

Lời giải
Ta có Sxq = 15π ⇒ π rl = 15π ⇔ l = 5 ⇒ h = 4.
1 2
Vậy
=
V
=
π r h 12π .
3

Câu 7. Cho hình nón trịn xoay có độ dài đường sinh là 2a , góc ở đỉnh của hình nón bằng 60° . Thể tích

V của khối nón đã cho là
A. V = π a 3 .

B. V =

π 3a 3
3

.

C. V =

π a3
3

.

D. V = π 3a 3 .

Lời giải:

= 30° .
Ta có=
l CB
= 2a , BCA
Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 3

Website: tailieumontoan.com

Xét tam giác ABC vng tại A có: sin 30°=
cos 30°=

3
CA h
=
⇒ h= l.cos 30°= 2a. = a 3 .
2
CB l

Suy=
ra V
Câu 8.

1
AB r
=
⇒ r= l.sin 30°= 2a. = a .
2
CB l

1 2
1 2
π 3a 3
.
=
πr h
π a=

.a 3
3
3
3

Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón. Mệnh đề
nào sau đây đúng?
1
1
1
+ 2.
A. =
2
2
l
R h

2
B. l=
h2 + R 2 .

2
h2 + l 2 .
C. R=

D. l 2 = hR .

Lời giải

Gọi O là tâm đường tròn đáy hình nón, S là đỉnh và SA là đường sinh.

2
Ta có: SO ⊥ OA ⇒ SA2 = SO 2 + OA2 hay l=
h2 + R 2 .
Câu 9. Cho hình nón trịn xoay có đường cao h = 20 cm , bán kính đáy r = 25 cm . Độ dài đường sinh l
của hình nón bằng
A. l = 26 cm .

B. l = 28 cm .

C. l = 5 41 cm .

D. l = 6 30 cm .

Lời giải
Chọn C

Ta có: l 2 = h 2 + r 2 ⇒ l = h 2 + r 2 = 202 + 252 = 5 41 cm .
Câu 10. Hình nón có đáy là hình trịn bán kính R , chiều cao h . Mệnh đề nào sau đây sai?

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 4


Website: tailieumontoan.com

1 2
A. Thể tích khối nón V = π R h .
3

=
l
B. Đường sinh

=
S xq π R R 2 + h 2 .
C. Diện tích xung quanh

D. Góc ở đỉnh α = arctan

h2 + R 2 .

R
.
h

Lời giải
Góc ở đỉnh 2α = 2.arctan

R
.
h

 Mức độ 2
Câu 1.

Trong không gian, cho tam giác vuông ABC tại A , AB = a và AC = a 3 . Tính độ dài đường
sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB .
A. l = a

B. l = a 2

C. l = a 3

D. l = 2a

Lời giải

B

C

A

Xét tam giác ABC vng tại A ta có BC 2 = AC 2 + AB 2 = 4a 2 ⇔ BC = 2a
Đường sinh của hình nón cũng chính là cạnh huyền của tam giác ⇔ l= BC= 2a
Câu 2.

 = 30 o . Tính thể tích V
Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A , AB = a và ACB
của khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC .

A. V = πa 3

B. V
=

3πa 3

C. V =

3πa 3
9

D. V =

3πa 3
3

Lời giải

πa 3 3
1 2
πa .a 3 = .
Ta có AC AB
=
=
.cot 30 o a 3 . Vậy thể tích khối nón là : V =
3
3
Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 5


Website: tailieumontoan.com

Câu 3.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a . Hình nón ( N ) có đỉnh A có đáy là đường trịn

ngoại tiếp tam giác BCD . Tính diện tích xung quanh Sxq của ( N )
A. S
=
3 3πa 2
xq

B. S
=
6 3πa 2
xq

C. Sxq= 12 πa 2

D. Sxq = 6 πa 2

Lời giải
A

B
O
M
D

C

Gọi r là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD .
Ta có BM =

3a 3
2

2 3a 3
=
BM
. = a 3.
;r =
3
3 2
2

Sxq =πrl =πr. AB =πa 3.3a =3 3.πa 2 .
Câu 4. Một vật trang trí bằng pha lê gồm hai hình nón ( H1 ) , ( H 2 ) xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán
kính đáy và chiều cao tương ứng là r1 , h1 , r2 , h2 thỏa mãn r1 =

1
1
r2 ; h1 = h2 .
2
2

Biết rằng thể tích của khối ( H1 ) bằng 10 cm3 , thể tích tồn bộ của khối pha lê bằng
A. 90 cm3 .

B. 30 cm3 .

C. 50 cm3 .

D. 80 cm3 .

Lời giải

1 2
=
r1 .h1 10 cm3 .
3
1 2
1
1 2
2
=
V2 =
r2 .h2
r1 .h1 80 cm3 .
là:
( 2r1 ) .=
( 2h1 ) 8. =
3
3
3

Theo bài ra ta có thể tích của khối ( H1 ) =
là: V1
Thể tích của khối ( H 2 )

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 6


Website: tailieumontoan.com

Vậy tồn bộ thể tích của khối pha lê là: V =V1 + V2 =90 cm3 .
Câu 5. Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình trịn tâm O , thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a . Thể
tích của khối nón bằng

a 3π 3
.
A.
24

a 3π 3
C.
.
4

a 3π 3
B.
.
8

a 3π 3
D.
.
2

Lời giải

Gọi R , h , l lần lượt là bán kính đáy, đường cao và độ dài đường sinh của khối nón.
2

a

Ta có: R = , l = a , h =
2
Thể tích khối nón=
là: V
Câu 6.

a
a 3
a −
=
.
4
2

l −R =
2

2

2

a 3π 3
1
1 a2 a 3
2
=
.
=
πR h
π.

24
3
3
4 2

Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác
vng cân có cạnh huyền bằng a . Diện tích xung quanh của hình nón theo a .
A.

π a2 2
4

.

B.

π a2 2
2

.

D. π a 2 2 .

C. π a 2 .
Giải

Gọi r và l lần lượt là bán kính của đường trịn đáy và đường sinh của hình nón.
Ta có tam giác ABC vng cân tại A ⇒ BC= AB 2 ⇒ AB=

a 2

.
2

a 2
a a 2 π a2 2
BC a
Ta có=
và=
. Vậy S=
.
l AB
=
π=
rl π . =
r =
xq
2
2 2
4
2
2
Câu 7. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều và khoảng cách từ tâm của đáy đến đường

sinh bằng

a 3
. Tính diện tích tồn phần của hình nón.
2

A. Stp = 3π a 2 .

B. Stp = 5π a 2 .

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

C. Stp = 2π a 2 .

D. Stp = 4π a 2 .
Trang 7


Website: tailieumontoan.com

Giải

Gọi O là tâm của đường tròn đáy và ABC là tam giác thiết diện qua trục của hình nón. H , K
lần lượt là hình chiếu của O, C lên AB
Ta có: d(O ; AB ) =

a 3
a 3
.
⇒ OH =
2
2

=
CK 2=
OH a 3 .
Do tam giác ABC là tam giác đều nên CK

= AB
Ta có bán kính đường tròn đáy=
r

3
⇒ AB
= 2a .
2

AB
l AB
= 2a .
= a và chiều dài đường sinh=
2

Vậy Stp =π rl + π r 2 =π .a.2a + π .a 2 = 3π a 2 .
Câu 8. Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng 40 cm, độ dài đường sinh bằng 44 cm. Thể tích V
của khối nón này có giá trị gần đúng với giá trị nào sau đây?
A. 30700 cm3.
B. 92090 cm3.
C. 30679 cm3.
D. 92100 cm3.
Lời giải

Ta có chiều cao khối nón h = l 2 − r 2 = 442 − 402 = 336 cm.
1 2
1
V =
=
πr h

π .402. 336 ≈ 30712 cm3.
Thể tích khối nón
3
3
Câu 9. Một hình nón có bán kính 5a, độ dài đường sinh bằng 13a. Độ dài đường cao h của hình nón bằng
A. 7 a 6 .

B. 12a .

C. 17a .

D. 8a .

Lời giải

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 8


Website: tailieumontoan.com

Ta có chiều cao hình nón h =

(13a ) − ( 5a )

l2 − r2 =

2

2

= 12a .

Câu 10. Cho khối nón có bán kính đáy r = 3 và chiều cao h = 4 . Thể tích của khối nón bằng
A.

16π 3
.
3

B. 4π .

C. 16π 3 .

D. 12π .

Lời giải
Thể tích của khối nón là

π
1 2
=
V =
πr h
3

3 ) .4
(=
2

3

4π .

 Mức độ 3
Câu 1.

Cho mặt cầu ( S ) tâm O , bán kính R = 3 . Mặt phẳng ( P ) cách O một khoảng bằng 1 và cắt

(S )

theo giao tuyến là đường tròn ( C ) có tâm H . Gọi T là giao điểm của tia HO với ( S ) ,

tính thể tích V của khối nón có đỉnh T và đáy là hình trịn ( C ) .
A. V =

32π
3

B. V = 16π

C. V =

16π
3

D. V = 32π

Lời giải

T

O

R=3

1
H
(C)

Gọi r là bán kính đường trịn ( C ) thì r là bán kính đáy của hình nón a có: r 2 =
R 2 − OH 2 =
8.

HT = HO + OT =1 + 3 = 4 = h là chiều cao của hình nón
Suy ra:
=
Vno´n
Câu 2.

1
1
32π
=
.h.S(C ) =
.4.π .8
3
3
3

Trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đều bằng a 2 . Tính thể tích V của khối nón
đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 9


Website: tailieumontoan.com

πa3
B. V =
2

2πa 3
A. V =
2

πa3
C. V =
6

D. V =

2πa 3
6

Lời giải

AC

Gọi =
O AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) . Lại có OC
= = a ⇒ SO=
2

AB
r =
Bán kính=
2
Câu 3.

SA 2 − OC 2= a .

2

πa3
1  a 
π
=
.
a
. Suy thể tích khối nón là: V =
.

3  2
6
2

a

Cho hình nón ( N ) có đường sinh tạo với đáy một góc 60° . Mặt phẳng qua trục của ( N ) cắt

( N ) được thiết diện là một tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp bằng 1 . Tính thể tích V
của khối nón giới hạn bởi ( N ) .
A. =
V 3 3π

B. =
V 9 3π

C. V = 3π

D. V = 9 π

Lời giải

= 60°
Hình nón ( N ) có đường sinh tạo với đáy một góc 60° nên SAH
= 60° nên DSAB đều. Do đó tâm I của đường trịn nội tiếp
Ta có DSAB cân tại S có A

DSAB cũng là trọng tâm của DSAB .
AB 3
⇒ AB =
2 3 ⇒ R =3 ⇒ SĐáy =
πR2 =π
3 .
Suy ra SH
IH 3. Mặt khác SH =
= 3=

2
Do đó V =

1
1
SH .SĐáy =
3.3π = 3π.
3
3

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 10


Website: tailieumontoan.com

Câu 4.

Cho một hình nón có chiều cao h = a và bán kính đáy r = 2 a . Mặt phẳng ( P ) đi qua S cắt
đường tròn đáy tại A và B sao cho AB = 2 3a . Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn
đáy đến ( P ) .
A. d =

2a
2

B. d = a

C. d =

3a
2

D. d =

5a
5

Lời giải

Có ( P ) ≡ ( SAB ) .
Ta có SO= a= h , OA= OB= r= 2 a , AB= 2 a 3 , gọi M là hình chiếu của O lên AB suy ra

M là trung điểm AB , gọi H là hình chiếu của O lên SM suy ra d ( O; ( SAB ) ) = OH .
Ta tính được OM =

OA 2 − MA 2 = a suy ra SOM là tam giác vuông cân tại O , suy ra H là

=
trung điểm của SM nên OH

SM a 2
=
.
2
2

Câu 5. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều và khoảng cách từ tâm của đáy đến đường
a 3

. Tính diện tích tồn phần của hình nón.
2
B. Stp = 5π a 2 .
C. Stp = 2π a 2 .
A. Stp = 3π a 2 .

sinh bằng

D. Stp = 4π a 2 .

Giải
Chọn A

Gọi O là tâm của đường tròn đáy và ABC là tam giác thiết diện qua trục của hình nón. H , K
lần lượt là hình chiếu của O, C lên AB
Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 11


Website: tailieumontoan.com

Ta có: d(O ; AB ) =

a 3
a 3
.
⇒ OH =
2
2

=
CK 2=
OH a 3 .
3
⇒ AB
= 2a .
2

Do tam giác ABC là tam giác đều nên CK
= AB

AB
l AB
= 2a .
= a và chiều dài đường sinh=
2
Vậy Stp =π rl + π r 2 =π .a.2a + π .a 2 = 3π a 2 .

Ta có bán kính đường trịn đáy=
r

Câu 6. Một hình nón đỉnh S đáy hình tròn tâm O và SO = h . Một mặt phẳng ( P ) qua đỉnh S cắt đường
h
AOB= 90° , biết khoảng cách từ O đến ( P ) bằng .
tròn ( O ) theo dây cung AB sao cho góc 
2
Diện tích xung quanh của hình nón bằng

A.

h 2 10
.
6

B.

h 2 10
.
3 3

C.

h 2 10
.
3

D.

2h 2 10
.
3

Lời giải

Gọi r , l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.
h
Kẻ OI ⊥ AB, OH ⊥ SI ⇒ OH =
.
2

=
Xét tam giác vuông cân OAB có OI

Xét tam giác vng SOI có

=
SI

AB r 2
=
.
2
2

h 6
4
1 2
1
1
1
.
=
+ 2 ⇔ 2 = 2 + 2 ⇔r=
2
2
h
h r
3
OH

SO OI

SO.OI 2 3
=
h.
OH
3

Xét tam giác vng SIA có l = SA =

SI 2 + IA2 =

SI 2 + OI 2 =

15
h.
3

h 2 10
S xq =
.r.l
Diện tích xung quanh của hình nón bằng =
.
3

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 12

Website: tailieumontoan.com

Câu 7. Cho tam giác ABC có AB  3, BC  5, CA  7. Tính thể tích V của khối trịn xoay sinh ra do
hình tam giác ABC quay quanh đường thẳng AB.
275
75
125
A. 50 .
B.
.
C.
.
D.
.
8
4
8
Lời giải
Chọn B

Kẻ CH  AB.
Ta có cos 
ABC 

AB 2  BC 2  AC 2 32  52  72
1


2. AB.BC
2.3.5

2

  600.

ABC  1200  CBH
Suy ra CH  BC.sin 600 

5 3
.
2

Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AB ta được một khối trịn xoay có thể tích bằng hiệu
thể tích của khối nón có chiều cao h1  AH , bán kính đáy CH và khối nón có đường cao
h2  BH , bán kính đáy CH .
Thể tích khối trịn xoay sinh ra là
1
1
1
V  .CH 2 . AH  .CH 2 .BH  . AH  BH 
3
3
3

1
1  5 3 
75
 .3 
 .CH 2 . AB  .
.
3

3  2 
4
2

Câu 8.

Các bán kính đáy của khối nón cụt lần lượt là x và 3x , đường sinh là 2,9x . Tính thể tích khối

nón cụt đó theo x .
A. V =

77π x3
.
10

B. V =

π x3
.
3

C. V =

π x3 2
.
9 3

D. V =

91π x3

.
10

Lời giải

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 13


Website: tailieumontoan.com

Cách 1:

21x
10

2
2
Ta có h =OO ' =M ' H = MM ' − HM = ( 2,9 x ) − ( 2 x ) =
2

Thể tích khối chóp cụt là:=
V

πh
3

=
( R 2 + r 2 + Rr

)

21π
30

2

(

)

.x
( 3x ) + x 2 + 3x=
2

91π x 3
.
10

Cách 2:
SO
OM
SO '+ OO '
OO '
=
=
=
=
3⇔
3⇔

2
SO ' O ' M '
SO '
SO '
63 x
OO ' 21x
, SO = 3SO ' =
⇔ SO ' =
=
2
20
20
Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích khối chóp có đáy lớn và đáy nhỏ.
Thể tích khối chóp cụt là:

1
1
1 63 x
1 21x 2 91π x 3
2
V = V1 − V2 = h1 B1 − h2 B2 =
π ( 3x ) −
πx =
3
3
3 20
3 20
10
Câu 9. Tính thể tích V của khối nón trịn xoay thu được khi quay hình thang ABCD quanh trục OO '
như hình vẽ. Biết OO ' = 200 , O ' D = 20 , O ' C = 10 , OA = 10 và OB = 5 .

A. V = 75000π .

B. V = 40000π .

C. V = 35000π .

D. V = 37500π .

Lời giải
Vẽ thêm S như hình

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 14


Website: tailieumontoan.com

' D : VSO ' D
Thể tích khối trịn xoay từ SO=

1
160000
=
π 202.400
π
3
3

Thể tích khối trịn xoay từ SO=
' C : VSO 'C

1
40000
=
π 102.400
π
3
3

=
Thể tích khối trịn xoay từ SOB
: VSOB

1 2
2500
=
π .5 .100
π
3
3

=
Thể tích khối trịn xoay từ SOA
: VSOA

1
10000
=

π .102.100
π
3
3

Thể tích khối trịn xoay ABCD :

VABCD = VSO ' D − VSO 'C − (VSOA − VSOB )
160000
40000
π−
π
3
3
= 37500π
=

2500 
 10000
−
π−
π
3
 3


Câu 10. Một tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của một hình nón, ba đỉnh cịn lại nằm trên
đường trịn đáy của hình nón đó. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
A. S xq =

π 3a 2
3

.

B. S xq =

π 2a 2
3

.

C. S xq = π 2a .
2

D. S xq =

π 3a 2
2

Lời giải

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 15


Website: tailieumontoan.com

Tứ diện ABCD đều cạnh a nên AO =

a 6
. Đường trịn đáy tâm O của hình nón ngoại tiếp
3

tam giác đều DBCD cạnh a nên bán kính đường trịn là
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq =

a 3
.
3

a 2 3π
3

 Mức độ 4
Câu 1.

Cho mặt cầu tâm O bán kính R . Xét mặt phẳng ( P ) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là
đường trịn ( C ) . Hình nón ( N ) có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường trịn ( C ) và có
chiều cao h ( h > R ) . Tính h để thể tích khối nón được tạo nên bởi ( N ) có giá trị lớn nhất.
A. h = 3R

C. h =

B. h = 2 R

4R
3

D. h =

3R
2

Lời giải

Cách 1:
Gọi I là tâm mặt cầu và H , r là tâm và bán kính của ( C ) .
Ta có IH= h − R và r 2 = R 2 − IH 2 = R 2 − ( h − R ) = 2 Rh − h 2 .
2

=
V
Thể tích khối nón

1
π
=
hπ r 2
h 2 Rh − h 2 .
3
3

(

)

1  4R 
 h + h + 4 R − 2h   4 R 

2
Ta có h ⋅ h ⋅ ( 4 R − 2h ) ≤ 
=
 
 ⇒ h ( 2R − h ) ≤ 
 .
3
2 3 

  3 
3

Do đó V lớn nhất khi h = 4 R − 2h ⇔ h =

3

3

4R
.
3

Cách 2:
Gọi I là tâm mặt cầu và H , r là tâm và bán kính của ( C ) .
Ta có IH= h − R và r 2 = R 2 − IH 2 = R 2 − ( h − R ) = 2 Rh − h 2 .
2

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 16

Website: tailieumontoan.com

=
Thể tích khối nón V

1
π
π
2
. 2h 2 R − h3
hπ r=
h 2 Rh − h 2=
3
3
3

(

)

(

)

−h3 + 2h 2 R, h ∈ ( R, 2 R ) , có f ′ ( h ) =
−3h 2 + 4hR .
Xét hàm f ( h ) =
f ′ ( h ) = 0 ⇔ −3h 2 + 4hR = 0 ⇔ h = 0 hoặc h =

4R
.
3

Bảng biến thiên

4R
32 3
R , tại h =
. Vậy thể tích khối nón được tạo nên bởi ( N ) có giá trị lớn nhất
27
3
4R
1 32 3 32 3
=
π
π R khi h =
R
.
là V =
3
3 27
81
max f ( h ) =

Câu 2. Bên trong hình vng cạnh a , dựng hình sao 4 cánh đều như hình vẽ bên ( các kích thước cần
thiết cho như ở trong hình vẽ bên).

Tính thể tích V của khối trịn xoay sinh ra khi quay hình bên quanh trục xy .

A. V =

5π a 3
.
48

B. V =

5π a 3
.
16

C. V =

π a3
6

.

D. V =

π a3
8

.

Lời giải
Chọn A
Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 17


Website: tailieumontoan.com

Thể tích khối trịn xoay cần tìm bằng 2 lần thể tích khối trịn xoay được tạo thành từ phần tô
vàng quay quanh trục xy .
Gọi V1 là thể tích khối nón có chiều cao =
h1 GI
= a , bán kính đáy =
r1 IA
=

a
2

1 2
π a3
=
V1 =
π r1 h1
3
12
Gọi V2 là thể tích khối nón có chiều cao h2 =
=
V2

a
a
, bán kính đáy r1 =

4
2

1 2
π a3
=
π r2 h2
3
96

Gọi V3 là thể tích khối nón có chiều cao =
h3 HI
=
V3
=

a
a
, bán kính đáy r3 =
2
4

1 2
π a3
π r3 h3
=
3
48

Gọi V là thể tích khối trịn xoay cần tìm, ta có

V = 2V1 − 2 (V2 + V3 ) =
Câu 3.

5π a 3
48

Một hình chóp tam giác đều có đỉnh trùng với đỉnh của hình nón và các đỉnh cịn lại nằm trên
đường trịn đáy của hình nón. Gọi V1 là thể tích khối chóp tam giác đều và V2 là thể tích của khối
nón. Hãy xác định tỉ số k 
A. k  3 3 .

V1
V2

.

B. k 

3 3
.
2

C. k 

3 3
.
4

D. k 

3
.
2

Lời giải
Chọn C

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 18


Website: tailieumontoan.com

Giả sử a là cạnh của tam giác đều nội tiếp đường trịn tâm H .
Suy ra, bán kính đường tròn là: R  HP 

2
2 a 3 a 3
.
IP  .

3
3 2
3

Vì hình nón và hình chóp tam giác đều có đường cao trùng nhau là SH nên ta có:
1
a2 3
.

.
.
S
SH


MNP
V
3 3
4
.
k 1  3


2
1
4
V2


.S
.SH
a 3 
 

3 H ,R
 3 

Câu 4.

Cho tam giác đều ABC có đỉnh A ( 5;5 ) nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AA′ , M là
trung điểm BC . Khi quay tam giác ABM cùng với nửa hình trịn đường kính AA′ xung quanh
đường thẳng AM (như hình vẽ minh họa), ta được khối nón và khối cầu có thể tích lần lượt là
V1 và V2 .

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 19


Website: tailieumontoan.com
A

B

C

M

A'

V1
Tỷ số V2 bằng

A.

9
.
32

B.

9
.
4

C.

27
.
32

D.

4
.
9

Lời giải
Chọn A
Gọi độ dài cạnh của tam giác ABC là a .
Khi đó khối nón tạo thành có bán kính đáy là:=
r BM
=

a 3
a
; chiều cao=
h AM
=

2
2

1 2
1  a  a 3 π a3 3
=
πr h
.π .   =
.
3
3 2
2
24
2

Thể tích khối nón=
là V1

Khối cầu tạo thành có bán kính=
là R

2
a 3
=
AM
3
3
3

4

4  a 3  4π a 3 3
Thể tích khối cầu là:
.π .  =
V2 =
=
π R3

3
3  3 
27

V π a 3 3 4π a 3 3 9
Suy ra: 1
.
=
=
:
V2
24
27
32

Câu 5.

Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón
có chiều cao 2 dm (mơ tả như hình vẽ). Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa đầy chất lỏng, chiếc ly
thứ hai để rỗng. Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột
chất lỏng trong ly thứ nhất còn 1dm. Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai sau khi
chuyển (độ cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt chất lỏng - lượng chất lỏng
coi như không hao hụt khi chuyển. Tính gần đúng h với sai số khơng q 0,01dm).

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 20


Website: tailieumontoan.com

A. h ≈ 1, 73 dm .

C. h ≈ 1,91 dm .

B. h ≈ 1,89 dm .

D. h ≈ 1, 41 dm .

Lời giải

Có chiều cao hình nón khi đựng đầy nước ở ly thứ nhất: AH = 2 .
Chiều cao phần nước ở ly thứ nhất sau khi đổ sang ly thứ hai: AD = 1 .
Chiều cao phần nước ở ly thứ hai sau khi đổ sang ly thứ hai: AF = h .
Rh
R′ AD 1 R′′ AF h
R
Theo Ta let ta có: = =
,= =
suy ra R′ = , R′′ =
.
2
R AH 2 R AH 2

2
Thể tích phần nước ban đầu ở ly thứ nhất: V = 2π R 2 .
Thể tích phần nước ở ly thứ hai: V1 = π R′′2 h =
Thể tích phần nước còn lại ở ly thứ nhất: V2 =

π R2

4

π R2
4

.

.

h3 1
3
7 ≈ 1,91 .
+ =
2 ⇔h=
4
4
4 4
Cho mặt cầu đường kính AB = 2 R . Mặt phẳng ( P ) vng góc AB tại I ( I thuộc

Mà: V= V1 + V2 ⇔
Câu 6.

π R 2 h3

π R 2 h3

+

=
2π R 2 ⇔

đoạn AB ), cắt mặt cầu theo đường trịn ( C ) . Tính h = AI theo R để hình nón đỉnh A , đáy là
hình trịn ( C ) có thể tích lớn nhất?
A. h = R .

B. h =

R
.
3

C. h =

4R
.
3

D. h =

2R
.
3

Lời giải:

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 21


Website: tailieumontoan.com

A

O

I
B
Gọi O là trung điểm AB , M là điểm bất kì trên đường trịn ( C ) .
Ta có IM=

OM 2 − OI 2=

Thể tích hình=
nón: V
Đặt
f (h)
=
=
f '(h)

π

( 2Rh
3

2

π

R2 − ( h − R ) =

2 Rh − h 2 .

2

1
1
. AI .S(C )
.h.π . ( 2 Rh − h 2 ) .
=
3
3

− h3 ) . ( R là tham số). Tập xác định D = [ 0; 2 R ] .

4R
.
4 Rh − 3h ) ; f ' ( h ) = 0 ⇔ h =
(
3
3

f ( 0) = 0 ; f ( R ) =

2

π

4R
 4 R  32π 3
.R 3 ; f 
R . Vậy hàm số f ( h ) đạt giá trị lớn nhất khi h =
=
3
3
 3  81

.
Hay thể tích hình nón lớn nhất đạt khi h =
Câu 7.

4R
.
3

Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối cầu
nội tiếp và nội tiếp hình nón đã cho. Tính
A. 4 .

V1
.
V2

C. 8 .

B. 2 .

D. 16 .

Lời giải
S

M
I

A

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

O

B

Trang 22


Website: tailieumontoan.com

Giả sử cạnh của tam giác đều SAB bằng 1 .
Gọi thiết diện qua trục hình nón là tam giác đều SAB .
Gọi I là trọng tâm tam giác đều SAB , khi đó I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón cũng là tâm
mặt cầu ngoại tiếp hình nón.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là =
R SI
=
Bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón là =
r IO
=
Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình nón=
là V1
Thể tích mặt cầu nội tiếp hình nón là
=
V2

Vậy
Câu 8.

2
2 3
SO
=
. =
3
3 2

1
1 3
SO
= . =
3
3 2

3
.
3

3
.
6

4
4 3
=
π R3
π.
3
27
4 3
3
=
πr
π.
3
54

V1
= 8.
V2

Cắt một khối nón trịn xoay có bán kính đáy bằng R, đường sinh 2R bởi một mặt phẳng (α )
qua tâm đáy và tạo với mặt đáy một góc 600 tính tỷ số thể tích của hai phần khối nón chia bởi
mặt phẳng (α ) ?

A.

2

π

.

B.

1
.
2 (π − 1)

C.

2
.
3π

D.

3π − 4
.
6π

Hướng dẫn giải

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 23


Website: tailieumontoan.com

Khơng mất tính tổng qt ta giả sử R = 1 .
Khi cắt một khối nón trịn xoay có bán kính đáy bằng R, đường sinh 2R bởi một mặt phẳng (α )
qua tâm đáy và tạo với mặt đáy một góc 600 thì ta được thiết diện là một đường parabol có
4
đỉnh là gốc O ( 0;0 ) và đỉnh cịn lại là A (1;1) , do đó thiết diện sẽ có diện tích là S = . Xét mặt
3
phẳng đi qua cạnh đáy của thiết diện vuông góc với hình trịn đáy của hình nón cắt hình nón
làm đơi.
Gọi đa diện chứa mặt thiết diện đó là ( H ) . Gọi ( K ) là đa diện chứa đỉnh O của hình nón
được sinh bởi khi cắt thiết diện Parabol với đa diện ( H ) .
Khi đó khoảng cách từ O đến mặt thiết diện là h =
Suy ra thể tích của đa diện ( K =
) là VK

Mặt khác thể tích của nửa khối nón là

3
.
2

1 3 4 2 3
.
.
.

=
3 2 3
9
11
π 3
.
.π 3 =
23
6

Do đó thể tích của đa diện nhỏ tạo bởi thiết diện và khối nón là V =

π 3
6

−

2 3 ( 3π − 4 ) 3
=
.
9
18

( 3π − 4 )
Vậy tỉ số thể tích của hai phần khối nón chia bởi mặt phẳng (α ) là

Câu 9.

18
π 3

3

3
=

3π − 4
.
6π

2
, độ dài đường sinh l = 2 . Người ta cắt theo một
3
đường sinh và trải phẳng ra được một hình quạt. Gọi M , N thứ tự là trung điểm của OA , OB

Cho tấm tơn hình nón có bán kính đáy là r =

Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038

Trang 24